chapitre 62
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7/23/2019 Chapitre 62
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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI
Dipole electrostatique
Table des matieres
1 Champ et potentiel du dipole electrostatique 2
1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Potentiel du dipole electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Champ cree par un dipole electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Surfaces equipotentielles et lignes de champ dun dipole electrostatique 42.1 Surfaces equipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Actions dun champ electrostatique sur un dipole 5
3.1 Dipole regide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Action dun champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.1 Force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Moment de la force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Action dun champ non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI
1 Champ et potentiel du dipole electrostatique
1.1 Definitions
Dipole electrostatique : Il sagit dun doublet de charges ponctuelles A(q) et B(+q)separees par une distance AB =d,supposee petite par rapport a la distance OM=r ouon cherche a determiner ses effets.
Approximation dipolaire : lapproximation OM >> d est appelee approximationdipolaire.
O est le milieu de AB
OM=r et d= AB
lapproximation dipolaire OM >> d
A B
-q +q
r
M
O
z
Moment dipolaire: On definit le moment dipolaire
p dun dipole electrostatique parp =q
AB; q >0
oriente toujours de vers
Exemples
molecule H Cl
molecule H2O
Unite du moment dipolaire
lunite dans le systeme international est C.m
on utilise aussiDebye (D): 1D=1
3.1029C.m
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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI
1.2 Potentiel du dipole electrostatique
le potentiel electrostatique en M :
V(M) = q
40
1
r1
1
r2
r1= ||BM||; r= ||
OM||
r2= ||AM||
BM=
OM
OB
AM=
OM
OA A B
q +q
r
M
O
z
r2 r1
e re
BM2 =
OM2+
OB22
OM .
BM=r2+
d2
42r.
d
2cos = r2
1 +
d2
4r2
d
rcos
1
BM2 =
1
r1=
1
r
1
d
rcos +
d2
4r2
1
2
approximation dipolaire : r >> d
1
r1
1
r
1 +
d
2rcos
de meme on montre que1
r2
1
r
1
d
2rcos
V(M) = q
40
2
d
2rcos
V(M) = qd cos
40r2 =
p .r
40r3
Remarque: le potentiel V dun dipole electrostatique varie en 1
r2
alors que le potentiel
dune charge ponctuelle varie en 1
r.
1.3 Champ cree par un dipole electrostatique
En coordonnees spheriques :
E =Er
e r+Ee + E
e
gradV =
V
r
,
e r+1
r
V
r,
e + 1
r sin
V
,r
e
E = gradV
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Er = V
r =
2p cos
40r3
E =
1
r
V
=
p sin
40r3
E = 1
r sin
V
= 0
E =
p
40r3(2cos e r+ sin
e )
expression vectorielle intrinseque
p =p cos e r p sin e
E
=
1
40
(3p .r)r p .r2
r5
2 Surfaces equipotentielles et lignes de champ dun
dipole electrostatique
2.1 Surfaces equipotentielles
surface equipotentielle : V =cte = V0
C= q.d cos
40r2 donc
r2 =C. cos
avec C= q.d
40V0 si V0 est positif,alors le cos est posi-
tif et lequipotentielle se situe dans ledemi-plan z >0
si V0 < 0 est negatif,alors le cos est negatif et lequipotentielle se situedans le demi-plan z
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chaque ligne de champ est caracterisee par une constantek . Elle est orthogonaleaux equipotentielles rencontrees.
p
=
2
z
ligne de champ
3 Actions dun champ electrostatique sur un dipole
3.1 Dipole regide
Definition : Un dipole AB est dit regide si la distance d = AB entre les charges restefixe et les charges restent constantes.
On suppose dans toute la suite que le dipole electrostatique est regide.
3.2 Action dun champ uniforme
3.2.1 Force
Considerons un dipole electrostatique place dans une region ou il regne un champ
electostatique exterieur uniforme
E0
la resultante des forces appliquees sur le dipole :
F =qE0 q
E0=
0
F =
0
Conclusion: la resultante des forces qui sexercent sur un dipole place dans un champuniforme est nulle :
F =
0
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3.2.2 Moment de la force
MO =
OA (q
E0) +
OB (q
E0)
MO = (OA+ OB) (qE0)
=qAB
E0
MO =
p E0
qE0
qE0
A(q)
B(+q)
O
E0
Conclusion: Dans un champ uniforme,le dipole subit un couple de momentMO =
p E0 qui tend a alligner parrallelement au champ applique dans le meme sens
que celui-ci.
3.3 Action dun champ non uniforme
dans le cas dun champ exterieur non uniforme,le moment en O de la resultantede le force sexercant sur un dipole est donnee par
MO =
p E(O)
A B
-q +q
E(A)
E(B)
F =q(E(B)
E(A))
Fx=q(Ex(B) Ex(A)) =qdEx
dEx=
Ex
x
y,z
dx+
Ex
y
x,z
dy+
Ex
z
y,x
dz
Fx=q
Ex
x
y,z
dx+
Ex
y
x,z
dy+
Ex
z
y,x
dz
Fx=pxEx
x y,z
+py Ex
y x,z
+pz Ex
z y,x
px=qdx;py =qdy;pz =qdz
Fx = (p .grad)Ex
on montre aussi que
Fy = (p .grad)Ey; Fz = (
p .grad)Ez
F = (p .
grad)
E
On definit loperateur rotationnel par
rotE =
E
avec : operateur nabla
on montre quen regime permanent
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rot(
gradV) =
0
donc en coordonnees cartesiennes on a : Ex
y =
Ey
x et
Ez
x =
Ex
z
Fx=pxEx
x +py
Ey
x +pz
Ez
x
Fx=p .
E
x
de meme
Fy =p .
E
y et Fz =
p .E
z
F =
p .
Ex
e x+
p .
Ey
e y+
p .
Ez
e z
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