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Chapitre 6 : Espace et géométrie.

I- Représentation des solides. Patrons et volumes.

Définition : Représentation : Patron : Volume : Un parallélépipède

rectangle et un solide composé de 6 faces

rectangulaires. On l’appelle aussi pavé

droit. Un cube est un cas

particulier de parallélépipède rectangle.

Ex : un morceau de sucre.

V = L×l×h

Un cylindre de révolution est un solide composé de :

Deux faces parallèles et superposables en forme de disques (les bases) ;

D’une face latérale non plane.

Ex : une boîte de conserve.

V = aire de la base × hauteur

C’est-à-dire :

V = π × R2 × h

Une pyramide est un solide composé :

D’un sommet (ici le point S) ;

D’une base (ici le quadrilatère ABCD) ;

De faces latérales triangulaires.

Ex : la pyramide du Louvre.

V =

×aire de la base×hauteur

Ou :

V =

L’aire de la base dépend de sa

nature (carré, rectangle…)

Un cône de révolution est un solide composé :

D’une base en forme de cylindre ;

D’un sommet (ici H) ;

D’une face latérale plane.

Ex : un cornet à glace.

V =

×aire de la base×hauteur

C’est-à-dire :

V =

× π × R2 × h

- La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M tels que : OM = R Ex : une balle de ping-pong - La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M tels que : OM R Ex : une boule de pétanque.

Il n’existe pas de patron d’une sphère.

Remarque : Les planisphères que tu trouves sur ton manuel de géographie ne sont pas des

patrons de la terre mais des projections planes des deux

hémisphères.

V =

× π × R3

Aire d’une sphère :

A = 4 × π × R2

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II- Se repérer dans l’espace.

1) Rappels : se repérer dans le plan. Définition : Deux droites graduées, de même origine et perpendiculaires forment un repère orthogonal du plan. La droite horizontale est appelée l’axe des abscisses. La droite verticale est appelée l’axe des ordonnées. Dans un repère du plan, un point est repéré par deux nombres relatifs :

Le premier nombre est l’abscisse du point,

Le second nombre est l’ordonnée du point. Ces deux nombres forment les coordonnées du point.

2) Se repérer dans un parallélépipède rectangle. Sur un parallélépipède rectangle (ou pavé droit), on peut se repérer par rapport à un des sommets (qui sera l’origine du repère) en traçant 3 demi-droites portées par les 3 arêtes issues de ce sommet. Ces trois axes se nomment :

axe des abscisses ;

axe des ordonnées ;

axe des altitudes (ou cotes).

Les coordonnées d’un point M s’écrivent de la façon suivante : M(abscisse ; ordonnée ; altitude)

Application : Pour se repérer dans un parallélépipède rectangle, on a besoin de trois

coordonnées : l’abscisse x, l’ordonnée y et l’altitude (ou cote).

Les coordonnées des points A et B sont :

A(…. ; ….) et B(….. ; …...).

En Français :

Etymologie du mot orthogonal : du grec

ortho = droit et gonia = angle.

Autres mots avec le préfixe ortho :

orthographe ; orthodontiste ; orthophoniste…

L’orthographe « redresse » la bonne écriture,

l’orthodontiste redresse, répare, arrange les dents,

l’orthophoniste traite les troubles de l'élocution et du

langage écrit.

Le point O a pour coordonnées (0 ; 0 ; 0),

c’est l’origine du repère.

1) Sachant que les nombres sont en mètres,

complète : AB = ……………………..

2) Complète les coordonnées des points :

B(… ; … ; 0) A(… ; … ; …) et C(… ; 0 ; …)

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3) Se repérer sur Terre. Les méridiens et parallèles sont des lignes imaginées par les hommes pour se

repérer sur la Terre.

Un méridien est un demi-cercle tracé sur le globe terrestre reliant les pôles

Nord et Sud.

Un parallèle est un cercle tracé sur le globe terrestre et qui est parallèle

à l’équateur.

La latitude d’un point sur la Terre est

la mesure de l’angle entre l’équateur et

le parallèle passant par ce point.

La longitude d’un point sur la terre est

la mesure de l’angle entre le méridien

de Greenwich (Londres) et le méridien

passant par ce point.

Exemple : Les coordonnées géographiques de Brive sont : 45,2°Nord et 1,5°Ouest.

Application :

Donne les coordonnées géographiques des villes suivantes.

Londres : Saint-Pétersbourg :

Dhaka : Shanghaï :

Le Caire : Durban :

La Nouvelle-Orléans : São-Paulo :

M :…………………………………………………….

.

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III- Sections de solides. 1) Section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit).

La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face.

La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

2) Section d’un cylindre de révolution.

La section d’un cylindre de rayon R par un plan parallèle aux bases est un disque de rayon R.

La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe est un rectangle.

3) Section d’une pyramide ou d’un cône de révolution. La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Cela signifie que c’est une figure de même nature (rectangle, carré, cercle…) mais dont les longueurs sont proportionnelles

à la base.

Propriété conjecturée avec GeoGebra : Quand on agrandit (ou réduit) une figure, si les longueurs sont multipliées par le nombre k, alors :

Les aires sont multipliées par k² ;

Les volumes sont multipliés par k3.

4) Section d’une sphère. La section d’une sphère par un plan est un cercle.

Remarque :

Quand le plan passe par le centre O (Plan P2),

le cercle a le même rayon que la sphère :

c’est un grand cercle de la sphère.

Coefficient de réduction :

- Pour le cône de révolution, on a :

k =

- Pour la pyramide, on a :

k =