Chapitre 6

Division euclidienne - décimale

I. Division euclidienne

Définition : Effectuer une division euclidienne d'un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c'est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que :

dividende = ( diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur

Exemples :En utilisant les tables de multiplication, on a 52 = ( 6 x 8 ) + 4 et 4 < 6 Dans la division euclidienne de 52 par 6, le quotient est 8 et le reste est 4.

Attention, on pourrait écrire 52 = ( 6 x 7 ) + 10 mais 10 > 6 donc ce n'est pas la véritable division euclidienne. La division euclidienne est unique.

On peut également poser l'opération :

Exercice :En posant la division euclidienne de 185 par 7, on trouve 185 = ( 7 x 26 ) + 3 et 3 < 7

II. Critère de divisibilité

On a 38 = ( 2 x 19 ) + 0 = 2 x 19. Le reste de la division euclidienne de 38 par 2 est zéro.

Vocabulaire :On peut ainsi dire au choix que : • 38 est un multiple de 2• 38 est divisible par 2• 2 est un diviseur de 38

Exemples :

• 20 est un multiple de 5 car 20 est dans la table de 5.• 12 est divisible par 2 car le reste de la division euclidienne

de 12 par 2 est égal à 0.• 3 est un diviseur de 15 car le reste de la division

euclidienne de 15 par 3 est égal à 0.

Critères de divisibilité :

Un nombre entier est divisible :• par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.• par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.• par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.• par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et

son chiffre des unités est divisible par 4.• par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.• par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemples :

12 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 2.15 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.250 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0.216 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4.93 est divisible par 3 car 9 + 3 = 12 est divisible par 3.288 est divisible par 9 car 2 + 8 + 8 = 18 est divisible par 9.

III. Division décimale

Définition : Le quotient d’un nombre décimal a par un nombre entier non nul b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.

Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous suivante : b x ? = a.

Effectuer la division décimale du nombre a par le nombre b, c’est calculer la valeur exacte (ou une valeur approchée) de ce quotient. On le note a : b.

Exemple : Posons la division de 23 par 5.

On a donc 23 : 5 = 4,6

Remarque :

Lorsque, comme dans l’exemple ci-dessous, la division "ne s’arrête jamais", ou encore lorsque le quotient comporte un grand nombre de décimales, il est nécessaire de donner une valeur approchée du quotient.

On va donner une valeur approchée du quotient. Il en existe 2 sortes.

La troncature au dixième, au centième, au millième d'un nombre signifie que l'on coupe le nombres avec 1, 2, 3 chiffres après la virgule.

Remarques :

On parle aussi de troncature par défaut et par excès d'un nombre.

La troncature par défaut est la troncature normale.

La troncature par excès est le nombre décimal directement supérieur à la troncature.

Avec une troncature par défaut au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,4Avec une troncature par excès au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,5

Pour calculer un arrondi d'un nombre au dixième, il faut choisir regarde le chiffre suivant. Si le chiffre suivant est 0, 1, 2, 3 ou 4, on choisi comme arrondi la troncature par défaut. Si le chiffre suivant est 5, 6, 7, 8 ou 9, on choisi comme arrondi la troncature par excès.

Avec un arrondi au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,4Avec un arrondi au centième, on a 52 : 7 ≈ 7,43