CHAPITRE 5.La théorie de l’assurance

Objectif du chapitre 5

Ce chapitre présente une application de l’axiomatique de VNM à la demande d’assurance. Nous verrons, le principe de l’assurance par mutualisation des risques, l’assurance et l’aversion pour le risque ainsi que les limites de l’assurance.

I- Les mécanismes de l’assurance :

Un assureur agit en qualité d’intermédiaire auprès de nombreuses personnes exposées au même risque. L’assureur perçoit une somme appelée prime ou cotisation. Les fonds recueillis servent à constituer une caisse commune permettant d’indemniser les victimes du sinistre.

1- la fréquence : c-à-d du rapport existant entre les sinistres déclarés et le nombre d’assurés

2- Le coût moyen d’un sinistre : c-à-d le coût obtenu en rapportant le montant total des indemnités au nombre des sinistres.

3- la tendance : c-à-d la mesure de l’évolution d’une année sur l’autre de la fréquence et du coût moyen du sinistre.

Pour honorer ses engagements l’assureur doit tenir compte de trois éléments essentiels :

II- La mutualisation des risques

Considérons un individu ayant une richesse initiale w0 comportant un bien d’une valeur h pouvant être détruit avec la probabilité p.

La richesse finale de l’agent est donc :

ppwhwLw f 1,;, 00

Soit :

xwpphLww f~1,;0, 00

L’équivalent certain est déterminé par :

fwEuwu ~*

La prime de risque est déterminée par :

*~~, 00 wxEwxw

Donc l’individu sera prêt pour obtenir un contrat de pleine assurance à payer au maximum de :

xwxE ~,~0

Supposons maintenant que deux individus identiques fassent un « pool ».

Trois cas se présentent :

1- soit il n’y a pas de sinistre et la richesse des membres du « pool » reste identique w0 . Cet état survient avec la probabilité :

21 p

2- soit il n’y a qu’un seul sinistre. Chaque agent devra donc payer la moitié du montant du sinistre (y compris le sinistré). La richesse finale de chaque agent est donc égale à w0 – h/2. Cet état survient avec la probabilité :

pp 1.2

3- soit il y a deux sinistres. Chacun des deux agents devra donc payer la moitié du montant total des sinistres. La richesse finale de chaque agent est donc égale à w0 – 2.h/2. Cet état survient avec la probabilité :2p

Donc lorsque les agents font un « pool » leur richesse finale devient :

22

0 1,1.2,,;0,2

,~ pppph

hLww f

Extension du « pool »Supposons qu’il y ait n agents identiques qui décident de former un « pool ». La richesse finale de chaque agent est :

sinistresn , éprobabilit la avec

...

sinistresk , 1.C éprobabilit la avec

...

sinistre 1 , 1.C éprobabilit la avec

sinistreaucun , 1 éprobabilit la avec

~

0

kn0

11n0

0

n

knk

n

n

f

p-hw

ppn

h-kw

ppn

h-w

pw

w

Le fait d’intégrer le « pool » :

-réduit les probabilités des états extrêmes,- ne modifie pas la richesse moyenne,-réduit la prime de risque,-réduit la variance,-augmente l’utilité.

Les caractéristiques du « pool »

Exemple :

5

4,

5

1;0,5000~

€500000

Lx

w

wLnwu

Soit deux agents identiques ayant les caractéristiques suivantes :

1- Déterminez dans le cas ou un agent est seul la richesse finale, la richesse moyenne, la prime de risque, la prime maximale de pleine assurance.2- Même question dans le cas où le « pool » est formé de deux agents.

Réponse :

5

4,

5

1;0,500050000~ Lw f

1- La richesse finale est :

La richesse moyenne est :

€490005

40

5

1500050000~ fwE

La prime de risque est :

*~~,0 wwExw f

xwEuwEuwu f~~* 0

798,10500005

445000

5

1* LnLnwLn

€85,48922* 798,10 ew

L’équivalent certain déterminé par :

15,7785,4892249000*~~,0 wwExw f

La prime maximale de pleine assurance est :

€15,107715,771000~,~0 xwxE

64,0,32,0,04,0;0,2500,500050000~ Lw f

La richesse finale est :

La richesse moyenne est :

€4900064,0032,0250004,0500050000~ fwE

2- dans le cas du pool avec deux agents :

0 sinistre avec la probabilité : 1 seul sinistre avec la probabilité :

2 sinistres avec la probabilité :

64,08,0 2

32,08,02,02

04,02,0 2

La prime de risque est :

*~~,0 wwExw f

xwEuwEuwu f~~* 0

799,105000064,047500ln32,04500004,0* LnLnwLn

€80,48971* 799,10 ew

L’équivalent certain déterminé par :

19,2880,4897149000*~~,0 wwExw f

La prime maximale de pleine assurance est :

€19,102819,281000~,~0 xwxE

Comparaison entre les deux situations :

Hors du pool

Dans le pool

Richesse finale 45 000 (0,2)

50 000 (0,8)

45 000 (0,04)47 500 (0,32)50 000 (0,64)

Richesse moyenne

49 000 49 000

Prime de risque 77,15 28,19

Prime maximale de pleine assurance

1 077,15€ 1 028,19€

Les contrats d’assurance :

Le contrat de pleine assurance est un contrat où l’intégralité du sinistre est remboursée par l’assuranceLe contrat de co-assurance est un contrat ou seulement une part du sinistre est remboursée par l’assurance Le contrat d’assurance avec franchise est un contrat où l’assuré prend à sa charge le sinistre jusqu’à un certain montant fixé. Au delà de ce montant, la différence entre la perte et la franchise est à la charge de l’assurance.

Par ailleurs on sait que :

D’où :

00 *~, wwxwPv

xwPxExw v~,~~, 00

00 *~~, wwxExw

xwxEww ~,~* 00

Équivalent certain = Richesse moyenne – Prime de risque

Le contrat de pleine assurance :

Soit un agent tel que la richesse finale est donnée par :

fw~

0w

Lw 0

p

p1

Le degré de satisfaction en l’absence d’assurance est mesuré par :

00 .1.~ wupLwupwEu f

Supposons qu’une compagnie d’assurance propose un contrat de pleine assurance à l’agent. Moyennant le paiement d’une prime d’assurance P l’assurance verse une indemnité I égal au montant du sinistre L.

fw~

Pw 0

PwPILw 00

p

p1

La richesse finale n’est plus risquée. Elle est sûre et certaine.

La prime d’assurance P vérifie la relation suivante :

assurance s~assurance avec~ answEuwEu ff

Soit : 000 .1. wupLwupPwu

Comme la prime est positive, il faut que la fonction d’utilité soit concave pour que l’inégalité précédente tienne. U’’>0

La prime maximum que l’individu acceptera de payer est telle que :

00max0 .1. wupLwupPwu

0wLw 0

Lwu 0

0wu

Pwu 0

max0 Pw Lpw .0

L’indemnité moyenne du sinistre coïncide avec l’espérance mathématique du sinistre quand l’assurance fait jouer la loi des grands nombres. LppLp .01

On remarque que : LpP .max

Le contrat de co-assurance :

Soit un agent tel que la richesse finale est donnée par :

fw~

0w

Lw 0

p

p1

Le degré de satisfaction en l’absence d’assurance est mesuré par :

00 .1.~ wupLwupwEu f

Supposons qu’une compagnie d’assurance propose un contrat de co-assurance à l’agent. Moyennant le paiement d’une prime d’assurance P l’assurance verse une indemnité I égal au montant du sinistre L pondéré par un coefficient positif mais strictement inférieur à 1 : I=L.

fw~

Pw 0

PLwPILw 100

p

p1

La prime d’assurance est déterminée par l’espérance de l’indemnité :

LpIEP .~

L’individu choisira le pourcentage maximisant son espérance d’utilité :

LpwupLLpwup

.11...max 00

LpwupLpLwup .1..1.maxarg 00

0.'1...1'..1 00 LpwupLpLpLwupLp

LpwuLpLwu .'..1' 00

En dérivant par rapport à on obtient :

LpwLpLw ...1 00

1

Donc l’individu choisirait toujours un contrat de plein assurance

La compagnie d’assurance doit nécessairement appliquer un

facteur de chargement pour que l’individu accepte un contrat de co-assurance pour lequel il acceptera de prendre à sa charge une partie

du risque.

La prime d’assurance sera alors :

LpIEP ..1~

1

A votre avis pourquoi une compagnie d’assurance à intérêt à proposer un contrat de co-assurance ?

Dans le cas d’un contrat de co-asurance, la richesse finale est donnée par :

fw~

Lpw ..10

LpLLw ..1.0 p

p1

Le contrat avec franchise :

La décision d’assurance consiste donc à déterminer un montant D qui correspond au montant en dessous duquel le risque incombe à l’assuré et non à l’assureur.

Pour les même raisons que la co-assurance la prime d’assurance P est de la forme :

DLpDxEIEP 10,~max1~

1

Dans le cas d’un contrat avec franchise, la richesse finale est donnée par :

fw~

DLpw 10

DLpDw 10

p

p1

L’individu choisira le montant de la franchise optimale qui maximisera l’espérance de son utilité finale :

DLpwupDDLpwupD 111.maxarg 00

Exercice :Un propriétaire de chevaux de course possède un cheval acheter 150000€. Sa richesse initiale est de 1 000 000€ et sa fonction d’utilité est logarithmique. La compagnie d’assurance lui propose 2 contrats :

Contrat 1- co-assurance avec un coefficient de chargement de 2%

Contrat 2- Franchise avec chargement de 2%

Pendant la période de préparation, le cheval a une chance sur 1000 d’avoir un accident le rendant inutilisable.

1- Calculez le taux de couverture du contrat 1-2- Calculez la franchise D du contrat 2-, concluez ?

Réponse :

Le risque auquel fait face le propriétaire est :

1000

999,

1000

1;0€,150000~ Lx

1- le taux de couverture est donné par la résolution du programme :

Lpwp

LLpwp

..)1(ln1

)1(..1ln.maxarg

0

0

Avec :p=1/1000, w0=1 000 000€, L=150 000€, =0,02

Après de nombreux et douloureux calculs que vous ferez ….on obtient :

pL

w

p

p

11111

1 0

%92,86

La prime d’assurance est :

€98,132..1 LpP

2- La franchise optimale est déterminée par :

€19625D

DLpwpDDLpwpD 1ln.11ln.maxarg 00

p

LpwD

11

.1

10

La prime payée est déterminée par :

€98,132.1 DLpP

Comparaison des deux contrats :

Contrat de

co- assurance

Contrat avec franchise

Prime

Rétention en cas de sinistre

Montant versé par l’assurance

132,98€

(1-)L

(1-0,8692)x150000=19620

L=0,8692x150000=130395

132,98€

D=19625

L-D=130375

À quelques Euros prés, Le propriétaire devrait être indifférent entre les deux contrats