chapitre 5 : interpolation équipe de mathématiques ... · pdf filedans tout ce...

MT09-Analyse numrique lmentaire
Chapitre 5 : Interpolation
quipe de Mathmatiques Appliques
UTC
Juin 20075

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
suivant I
2
Chapitre VInterpolation
V.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3V.2 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8V.3 Interpolation avec les splines cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Exemples du chapitre V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Documents du chapitre V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Exercices du chapitre V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
chapitre N section suivante I
3
V.1 Motivations
V.1.1 Approximation dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4V.1.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
section N suivant I
4 II
V.1.1 Approximation dune fonction
Exercices :Exercice V.1
Dans la rsolution de certains problmes numriques on rencontre la situation suivante : onveut calculer les valeurs dune fonction f(t) pour un trs grand nombre de valeurs de t, mais onne connat pas f explicitement. Ceci se produit lorsque :
f nest connue quen certains points exprimentaux t0, t1, . . . , tn, ou lorsque la fonction f est value numriquement par un code de calcul dont lexcution
est coteuse.On veut alors reprsenter f par une fonction simple dont lvaluation est aise.
Autrement dit, il sagit dapprocher la fonction f par une autre fonction, plus facile calculer.Cette fonction approche f est choisie dans une classe F de fonctions dont le calcul nest pas tropcoteux. Citons lensemble des polynmes, lensemble des fractions rationnelles, lensemble despolynmes trigonomtriques,. . .
La question est alors de savoir en quel sens on dsire approcher f . Il y a un grand nombrede possibilits. Citons les plus courantes.
On peut chercher une fonction f F telle que :
i = 0, 1, . . . , n, f(ti) = f(ti).
Cest la technique de linterpolation. On peut chercher une fonction f F qui minimise lcart entre les deux courbes aux points
dabscisse ti (0 i n) :ni=0
(f(ti) f(ti))2 = mingF
ni=0
(g(ti) f(ti))2.

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
section N suivant I
JJ 5
Approximationdune
fonction
Cest la technique de la minimisation au sens des moindres carrs qui est tudie dansun autre chapitre.
On peut chercher une fonction f F telle que ba
|f(x) f(x)|2 dx = mingF
ba
|f(x) g(x)|2 dx.
Cest la technique de lapproximation quadratique. Enfin, on peut chercher une fonction f F telle que
maxx[a,b]
|f(x) f(x)| = mingF
(maxx[a,b]
|f(x) g(x)|).
Cest la technique de lapproximation uniforme.Dans la suite de ce chapitre, nous ne traitons que de linterpolation.

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
J prcdent section N
6 II
V.1.2 Interpolation
Dans tout ce qui suit on suppose donnes deux familles de n+ 1 rels : les abscisses : {t0, t1, . . . , tn}, supposes toutes distinctes, les ordonnes correspondantes : {y0, y1, . . . , yn}. Ces valeurs peuvent, par exemple, tre les{f(ti)}, o f est la fonction que lon cherche reprsenter.
On cherche alors une fonction h qui prend pour valeur yi en chaque point ti, ceci pour i = 0, . . . , n.videmment ce problme admet une infinit de solutions. Il faut donc prciser la classe F defonctions dans laquelle on va chercher h.
Dans ce qui suit nous allons considrer deux classes particulires de fonctions : lensemble Pn des polynmes de degr au plus n, lensemble des splines cubiques qui sont des fonctions dfinies comme des polynmes par
morceaux, chacun des polynmes tant de degr 3.Il existe galement dautres mthodes dinterpolation. Citons celles qui utilisent des informa-tions sur les drives de f aux points t0, t1, . . . , tn. Cest linterpolation dHermite, que nousne verrons pas ici. Contentons-nous den donner un exemple trs simple. Supposons connues lesvaleurs de f et de ses drives jusqu lordre n en un point t0. Alors, lunique polynme Pn dedegr n vrifiant
i = 0, 1, . . . , n, P (i)n (t0) = f (i)(t0),
est donn par
Pn(t) = f(t0) + (t t0)f (t0) + +(t t0)n
n!f (n)(t0).

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
J prcdent section N
JJ 7
InterpolationCe polynme nest rien dautre en fait que la partie polynomiale du dveloppement de Taylor def lordre n au point t = t0.

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
J section prcdente chapitre N section suivante I
8
V.2 Interpolation polynomiale
V.2.1 Polynme dinterpolation dans la base de Lagrange . . . . . . . . . . . 9V.2.2 Calcul de linterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11V.2.3 Polynme dinterpolation dans la base de Newton . . . . . . . . . . . . 13V.2.4 Diffrences divises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15V.2.5 Calcul pratique des diffrences divises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18V.2.6 Algorithme de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20V.2.7 Convergence du polynme dinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
section N suivant I
9 II
V.2.1 Polynme dinterpolation dans la base de Lagrange
Exemples :Exemple V.1
Thorme V.2.1. tant donns n+1 nombres rels (t0, t1, . . . , tn) distincts et n+1 nombres rels(y0, y1, . . . , yn), il existe un polynme pn Pn (ensemble des polynmes de degr n) et un seultel que
i = 0, 1, . . . , n, pn(ti) = yi. (V.2.1)
Dmonstration -1. Lexistence est dmontre directement en exhibant le polynme cherch, soit
pn(t) =ni=0
yiLi(t) (V.2.2)
o les polynmes Li sont les polynmes de base de Lagrange qui prennent la forme
Li(t) =n
k=0,k 6=i
t tkti tk
. (V.2.3)
Ces polynmes sont appels polynmes de base, parce quils engendrent lespace Pn despolynmes de degr infrieur ou gal n. En outre, on les introduit plutt que dutiliserla base canonique {1, t, t2, . . . , tn}, parce quils permettent dexprimer immdiatement toutpolynme de degr infrieur ou gal n en fonction de ses valeurs aux points ti. On vrifie

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
section N suivant I
JJ 10
Polynmedinterpola-tion dans la
base deLagrange
bien en effet que, par construction mme de Li(t) :
Li(tj) ={
1, pour j = i,0, pour j 6= i.
2. Lunicit se montre de la faon suivante : supposons quil existe deux polynmes pn et qnappartenant Pn tels que pn(ti) = qn(ti) = yi. Alors si on pose dn = pn qn, dn appartient Pn et dn(ti) = 0, i = 0, ..., n. Autrement dit, le polynme dn a au moins n + 1 racinesdistinctes. Il est de degr infrieur ou gal n. Il est donc identiquement nul et lon a ainsipn = qn.

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
J prcdent section N suivant I
11 II
V.2.2 Calcul de linterpolation
Soit f : [a, b] IR une fonction donne. On construit le polynme pn(t) qui interpole lesvaleurs de f aux points t0, t1, . . . , tn (ti [a, b]), ce qui conduit poser pn(ti) = f(ti) pour i =0, . . . , n. On a ainsi approch la fonction f par le polynme pn. La question est alors la suivante :quelle erreur commet-on quand on approche f par pn ?
Hypothses et notations. Dans ce qui suit nous supposerons que f est (n + 1) fois contin-ment drivable sur [a, b] et nous noterons en(t) lerreur dinterpolation dfinie par :
en(t) = f(t) pn(t).
Soient alors Int(t, t0, . . . , tn) le plus petit intervalle ferm contenant les points t, t0, . . . , tn et n(t)la fonction dfinie par :
n(t) = (t t0)(t t1)(t t2) . . . (t tn).
Thorme V.2.2. Quel que soit t [a, b], il existe t Int(t, t0, . . . , tn), dpendant de t, tel que
en(t) =1
(n+ 1)!f (n+1)(t)n(t). (V.2.4)
Dmonstration

SommaireConcepts
ExemplesExercices
Documents
J prcdent section N suivant I
JJ 12
Calcul de lin-terpolation
Remarquons tout dabord que cette expression de lerreur na de sens que si la fonction f quelon interpole est n+ 1 fois continment drivable. Si ce nest pas le cas, lexpression prcdentede lerreur nest plus dfinie. On peut dailleurs vrifier exprimentalement dans ce cas quilne sert rien dinterpoler f par un polynme de degr n. Cest une rgle gnrale en analysenumrique : il est inutile dutiliser des mthodes dordre lev, construites pour des fonctionsrgulires, lorsque la fonction approcher na pas la rgularit requise.
Remarquons aussi que lexpression de lerreur obtenue dans le thorme ci-dessus est cequon appelle une estimation derreur. Elle est prcieuse en ce quelle donne la forme delerreur et montre comment varie (au prs) cette erreur quand on augmente le nombre depoints dinterpolation. Par contre, elle ne permet pas de calculer la valeur de lerreur e(t) en unpoint t donn. En effet, le point est inconnu (on sait seulement quil existe) et pire encore, onne sait pas en gnral calculer la drive (n+ 1)-me de f . En effet, si lon approche f cest quelon ne sait pas la calculer ou au moins que son calcul cote trs cher. Ceci exclut en gnraltoute possibilit de calcul de f (n+1)