chapitre 4 -l’approximation de diffusion à un groupe

8/4/2019 Chapitre 4 -Lapproximation de diffusion un groupe

1/59

1

Chapitre 4 - Lapproximation de diffusion ungroupe

4.1 Introduction

4.2 La diffusion en milieu non-multiplicateur

4.3 La diffusion en milieu multiplicateur

4.4 La recherche de criticit

4.5 Annexe : Mthode ditration de puissance


2/59

2

4.1 Introduction

Le modle de diffusion est un modle approch de lquation de transportqui joue un rle important pour le calcul des racteurs nuclaires. La

version la plus simple est le modle une vitesse dans lequel tous lesneutrons ont la mme nergie cintique.

Si les sections efficaces sont convenablement calcules (voir plus loin),mme ce modle rudimentaire peut fournir des rsultats pouvant servir

une tude davant-projet dinstallation de puissance. Le modle une

vitesse est un bon laboratoire pour ltude de techniques de rsolution

appliques des modles plus labors (quations multigroupes)

Rappelons que lquation de diffusion une vitesse en milieu multiplicateuravec source extrieure scrit (voir Eqs (3.42) et (3.44)) :

(1)(+)

avec et fonctions de lespace et du temps.


3/59

3

A la frontire S du domaine, le flux satisfait les conditions aux limites decourant entrant nul :

en tout point avec , la normale extrieure au domaine en cepoint. La condition de Robin (2) peut tre remplace par la condition:

condition de Dirichlet homogne sur la surface extrapole pour tous les

problmes pour lesquels , tant la longueur caractristique du

domaine.

On notera que le courant sortant au point de la frontire S avec

normale extrieure scrit :

(2)

(+)

(+)

(+)


4/59

4

Dans la suite, on utilisera plusieurs reprises les expressions des courantspartiels en gomtrie plane. A la frontire droite du domaine, ils

scrivent :

(+)

(3)

(+)

tandis qu la frontire gauche, ils scrivent :

(+)

(4)

(+)


5/59

5

4.2 La diffusion en milieu non-multiplicateur

Nous traitons pour commencer quelques problmes lmentairesindpendants du temps relatifs des milieux ne comportant pas de

matire fissile :

avec des conditions aux limites appropries. Si les proprits du milieu sontconstantes par rgion, dans chaque rgion de proprits constanteslquation prcdente peut scrire :

(+)

(+)

expression dans laquelle

(5)(+)

La grandeurL est appele longueur de diffusion du milieu . Nous endonnons une interprtation physique plus loin.


6/59

6

4.2.1 Source plane en milieu infini

Considrons une source plane mettant Q0 neutrons par unit de temps(dans les deux directions x>0 et x


7/59

7

Le flux devant rester born, pour x>0 il faut imposer B=0, tandis quepour x0, on a :

(+)

(+)

(+)

do il rsulte que la solution de (6) scrit :

(+) (8)

Le rsultat (8) montre que L peut tre interprte comme la longueur de

relaxation dun problme de diffusion. On peut montrer quen transport

le problme dune source plane en milieu infini de proprits (Ss, ,Sa) admet une longueur de relaxation solution de :

(9)(+)


8/59

8

En dveloppant (9) en srie de puissance de Sa/St, on obtient :

(10)(+)

Comme le coefficient de tte nest autre que la longueur de diffusion , onen conclut que .

A une certaine distance de la source, le taux de dcroissance (en espace)de la solution de diffusion est plus lev que celui de la solution detransport.

La relation (10) montre que lapproximation de diffusion est dautantmeilleure que le milieu considr estfaiblement capturant.


9/59

9

4.2.2 Source ponctuelle en milieu infini

Nous considrons cette fois une source ponctuelle mettant Q0 neutrons parunit de temps dans toutes les directions, dans un milieu infini de proprits

physique (D, Sa) :

(11)(+)

Figure 4.2

Le problme ayant la symtrie sphrique, lquation (11) scrit :

(12)(+)

Cette quation peut tre rsolue en faisant le changement de variable :

.(+)


10/59

10

Lquation qui en rsulte pour u est identique (7). En tout point r0, lasolution de (12) est donc :

(+)

En cartant doffice la solution non-borne (B=0) et en imposant la condition, on obtient :

(13)(+)


11/59

11

4.2.3 Interprtation physique de L

La solution (13) du problme de diffusion en milieu infini avec sourceponctuelle permet dtablir une interprtation physique deL. En effet,

considrons le cas dun neutron mis (Q0=1). Le taux dabsorption

dans une couronne sphrique de rayon r et dpaisseur dr est:

(14)(+)

On remarque que, comme le neutron mis ne peut disparatre que par

absorption, la distribution p(r) doit tre normalise .

Le moment dordre 2 de la distribution (14) vaut :

(+)

do :

. (15)(+)


12/59

12

La longueur de diffusion L dun milieu est lie par (15) la valeur

moyenne du carr de la distance ( vol doiseau) parcourue par uneparticule entre lendroit o elle est mise et celui o elle est absorbe

dans le milieu. Plus le milieu est capturant (moins il est diffusant),

plus petite est la valeur de L. A titre dexemple, le tableau ci-dessous

donne les valeurs de L de quelques matriaux de structure, pour la

diffusion de neutrons thermiques (E 0.025 eV).

On comprend aisment que la taille dun milieu multiplicateur est relie

la longueur de diffusion des nuclides constitutifs du milieu.


13/59

13

Dans tous les cas o lapproximation de diffusion est moins valable

(absorption leve, voisinage dune frontire, ), la relation (15) sert

valuer une longueur de diffusion effective sous la forme :

4.2.4 Source plane en milieu fini

Nous retournons au problme de la source plane mettant Q0 neutrons

par unit de temps, cette fois dans un milieu fini de proprits physiques

(D, Sa) et dpaisseur (extrapole) a :

(16)(+)

(+)

La solution gnrale de (16) est nouveau une combinaison linaire

dexponentielles impliquant la longueur de diffusion. Les conditions aux

limites sont obtenues en imposant F=0 aux frontires et la condition :


14/59

14

(+)

Le rsultat final scrit :

La Figure 4.3 fournit lallure de la solution pour les problmes en milieux

infini et fini

(+)

(17)

Figure 4.3


15/59

15

4.2.5 Albedo dune plaque rflchissante

Considrons nouveau le problme de la plaque dpaisseur (extrapole)a, cette fois sans source de neutrons. A lextrmit gauche (voir Fig. 4.4)On envoie un courant entrant J-(0) et on sintresse au courant rflchi

(courant sortant) J+(0).

(18)(+)

Figure 4.4

La solution de (18) scrit :

(19)(+)

o A est une constante dintgration dterminer en appliquant le courant

entrant en x=0.


16/59

16

Sur la face gauche les courants partiels sont donns par (4) :

(+)

(+)

On en dduit la valeur de a, albdo (ou pouvoir de rflexion) de la plaque :

(+)

qui compte tenu de (19) vaut :

(+)

Comme , on en dduit que pour une plaque dpaisseurinfinie, la valeur de a tend vers

(+)


17/59

17

La figure 4.5 reprsente la dpendance de lalbdo en fonction de lpaisseurde la plaque a pour une valeur donne des paramtres physiques (D, Sa)

Figure 4.5


18/59

18

4.2.6 Problmes gnraux de diffusion en milieu infini

Nous avons obtenu les solutions lmentaires de lquation de diffusion enmilieu infini homogne avec sources Q0 plane (voir (8)) et ponctuelle (voir

(13)) localises en x=0 et en r=0 :

(+)

(+)

Lquation de diffusion tant linaire, pour un ensemble de sources localisesQi ou pour une rpartition continue Q(x) (ou, Q(r)) on a, par superposition de

solutions lmentaires :

(+)

(+)

pour le problme en gomtrie plane, et :


19/59

19

(+)

(+)

pour le cas gnral.

Les deux fonctions et :

(21)(+)

(22)(+)

sont lesfonctions de Green du problme de diffusion en milieu infini et

homogne, dans le cas plan et dans le cas gnral.

Rappelons que la connaissance de la fonction de Green dun problme fournit

la solution gnrale de ce problme (quel que soit le terme non-homogne),

moyennant la ralisation dune quadrature supplmentaire.


20/59

20

En effet, soit rsoudre le problme :

dans lequel loprateur M inclut les conditions aux limites du problme.Soit la fonction de Green du problme, savoir la solution de :

(23)

Il est facile de voir que la solution de (23) scrit :

car

(+)

(+)

(+)

(+)


21/59

21

Les fonctions de Green (3.19), (21) et (22) des problmes de transport et dediffusion rsolus jusqu prsent ont la proprit dtre invariantes par

translation, cest--dire de ne dpendre que de (ou ) .Ceci est d au fait que les problmes rsolus tait en milieu infini. Ds que

lon a faire un milieu fini cette proprit disparat.

4.2.7 Fonction de Green dune plaque homogne

On considre prsent le problme de diffusion avec source Q(x) dans une

plaque dpaisseur (extrapole) a :

(+) (24)

On rsout le problme (24) laide duproblme aux valeurs propres auxiliaire:

(+) (25)

dans lequel B2 est une valeur propre dterminer.


22/59

22

La solution gnrale de (25) scrit :

(+)

avec les conditions aux limites pour dterminer C1 et C2 :

(26)(+)

Le systme algbrique (26) nadmet de solution non-triviale que si :

(+)

Les valeurs propres du problme (25) scrivent donc :

(+) (27)

Les fonctions propres associes scrivent :

(28)(+)


23/59


24/59

24

Le rsultat (31) sobtient en multipliant les deux membres de (30) par unefonction quelconque , en intgrant sur (-a/2,+a/2) et en tenant compte

de (29).

Pour toute fonction , le dveloppement (30)

existe, est unique et uniformmnt convergent.

En revenant au problme (24), nous supposons que Q(x) est suffisamment

rgulire pour que lon ait et . Dans ce cas, on

a les deux dveloppements uniformment convergents :

(+) (32)

(33)(+)

dans lesquels les coefficients sont donns et les coefficients sontles inconnues du problme.


25/59

25

En utilisant les dveloppements (32)-(33) dans (24), on a:

(+)

Compte tenu de (25), cette quation se rduit :

(34)(+)

En multipliant par et en intgrant, il vient :

(35)(+)

Comme par ailleurs, en vertu de (31), on a :

(+)


26/59

26

la solution analytique du problme (24) scrit:

(36)(+)

o

(37)(+)

est la fonction de Green du problme. La proprit dinvariance par translation

a cette fois disparu.

La figure 4.6 prsente les trois premires fonctions propres (28) dans lesquelles

est la frontire extrapole de la plaque.

Figure 4.6


27/59


28/59


29/59


30/59

30

(+)

On a donc explicitement :

(+)

et pour un temps suffisamment long :

(+)

Pour quune solution stationnaire puisse stablir dans le milieu, il faut que. En rcrivant (41) sous la forme :

(+) (42)

il faut donc que :

(+) (43)

Cette relation est la condition de criticit dans le modleP1 une vitesse.


31/59

31

Rappelons que selon la formule des 6 facteurs (voir Chap. 2), on a :

(+)

avec

Dans le modle une vitesse, , et la formule des 6 facteurs

se rduit . Montrons que dans ltat fondamental, la probabilit

de non-fuite Pth est donne par la relation :

(+)

(44)(+)

On a en effet :

La probabilit de non-fuite du milieu est donc: :


32/59

32

(+)

Or, le flux fondamental satisfait (40) avec . On en conclut

donc que

(+)

et que la relation (43) est bien la condition de criticit du milieu.

Par convention, la quantit ( dans le cas de la plaque de largeur

a ), qui ne dpend que des dimensions est appele buckling gomtrique est

note

La quantit

(+) (45)

qui ne dpend ques des proprits neutroniques du milieu est le buckling

matriel. A la criticit, les bucklings gomtrique et matriel doivent tre

gaux : .


33/59

33

On peut encore crire la constante de dcroissance donne par (42)

sous la forme :

avec

(+)

(+)

temps de vie dun neutron dans le modle P1 mono-nergtique. On observe

que pour un milieu de taille infinie ( ), on retrouve un rsultat du

chap. 1, .

4.3.2 Criticit dans dautres gomtries

La seule caractristique de la gomtrie (et des dimensions) du racteur dansle facteur de multiplication est le buckling gomtrique . Pour la plaquedpaisseur a, .

On peut imaginer que pour dautres gomtries la condition de criticit reste(43), moyennant adaptation de la valeur de .

L ti d diff i ili h it


34/59

34

Lquation de diffusion en milieu homogne scrit :

(+)

ou

cest--dire

(+)

(+)

En introduisant les conditions aux limites sur la frontire extrieure de mme

que , valeur du buckling matriel dfini par la relation (45).

Le milieu caractris par les proprits physiques (D, Sa, nSf) sera critique si

, o est la valeur propre fondamentale du problme (46).

Nous rsolvons prsent le problme aux valeurs propres

(+)

(46)

Si cette condition nest pas vrifie, on modifie la gomtrie ou les donnesphysiques en consquence


35/59

On cherche une solution factorise de (46) qui scrive :


36/59

36

On cherche une solution factorise de (46) qui s crive :

(48)(+)

En introduisant (48) dans (46) et en divisant par , on obtient :

(+) (49)

Les deux premiers termes de (49), (respectivement fonctions de r et de z)

ne peuvent qutre gaux des constantes (- a2 et - l2) . On a donc :

(50)(+)

avec, pour (49) :

(+)

Le problme aux valeurs propres (50.a) admet les valeurs propres suivantes :

(+)

et les fonctions propres associes (28) :


37/59

37

et les fonctions propres associes (28) :

(+)

Le problme aux valeurs propres (50.b) scrit aussi :

(+) (51)

Rappelons que lquation diffrentielle

(52)(+)

admet comme solutions linairement indpendantes, les fonctions de Bessel

et . En faisant la transformation x=a r dans (52), on obtient :

(+)


38/59

38

Une comparaison entre cette quation et (51) montre que la solution gnrale

de (51) est :

(+)

A et B tant des constantes dintgration. Comme la fonction est

non-borne en r = 0, il faut que B=0. Par ailleurs, la condition radiale

impose :

(53)(+)

La fonction est oscillante et admet une infinit discrte de zrosaux points . Il en rsulte que si :

(+)

la condition aux limites (53) est satisfaite. On en conclut que la solution(valeurs propres et fonctions propres) du problme (50.b) scrit :

(+)

et

(+)

P l bl l (46) d l l ti


39/59

39

Pour le problme aux valeurs propres (46), on a donc la solution :

(+)

(+) (54)

La distribution fondamentale du flux dans le cylindre est donne par :

(55)(+)

expression dans laquelle est le premier zro de . La

constante A permet de normaliser la fonction propre. En pratique elle est

dtermine par le niveau de puissance de linstallation :

(+)

wf est le facteur permettant de transformer un nombre de fissions par seconde

en puissance (W).

Figure 4 8 Buckling gomtrique et profils de flux critique


40/59

40

Figure 4.8 Buckling gomtrique et profils de flux critiquepour les gomtries fondamentales


41/59

avec les conditions aux limites intrieures (voir (3.47) et (3.48)) :


42/59

42

( ( ) ( ))

(+)

(+)

et la condition sur la frontire extrieure :

(58)(+)

La solution de (57) satisfaisant (58) scrit :

(59)(+)

A1 tant une constante dintgration. Le flux satisfait (56), savoir :

(+) (60)

La solution de (60) scrit :

(61)(+)

avec A2 une autre constante dintgration. La solution qui satisfaitgalement (60) est carte pour des raisons de symtrie.

Il faut raccorder les solutions et linterface :


43/59

43

(+)

(+) (62)

En rgle gnrale, le systme (62) nadmet que la solution triviale A1=A2=0,sauf si le systme est singulier, cest--dire si :

On rcrit cette expression sous la forme :

(+)

(63)(+)

Cette relation est la condition de criticit du racteur rflchi liant les

dimensions du milieu (a,b) ses proprits physiques.

Une fois de plus la condition de criticit surgit comme la contrainte satisfaire


44/59

44

pour que le problme ait une solution non-identiquement nulle.

La figure 4.10 reprsente la relation (63) sous forme graphique, savoir

en fonction de . Les valeurs de rsultent de lintersection entre les courbes

LHS (membre de gauche de (63)) et la droite RHS (membre de droite de (63))

On remarque que si , le terme tend vers linfini et

o est le buckling gomtrique de la plaque dpaisseur .

Avec un rflecteur, (c--d. ) :

(+)

Ladjonction dun rflecteur a donc pour effet de diminuer la quantit de matire

fissile ncessaire pour maintenir la criticit

Figure 4.10


45/59

45

Introduisons la quantit d mesurant lcart entre les paisseurs a et ar des

plaques critiques non-rflchie et rflchie ayant le mme buckling matriel

:

(+)

En partant de cette dfinition, il vient :

(+)

(64)

Do il rsulte que :

(65)(+)

l (64) i d f i l l i i fl hi


46/59

46

Le rsultat (64) provient du fait que pour la plaque critique non-rflchie, on a

.

Si lpaisseur du rflecteur, b est grande vis--vis de , alors

et on peut montrer que :

(+)

4.4 La recherche de criticit


47/59

47

Le problme pos est le suivant: tant donn un milieu multiplicateur deproprits physiques et de gomtrie donnes, comment faire pour obtenir un

milieu critique?

Revenons lquation de diffusion dpendant du temps (1) sans source extrieure,avec conditions aux limites de flux nul sur la frontire extrapole S :

(+)

On cherche une solution de la forme :

(+)

expression dans laquelle est une solution non-identiquement nulle de

(+)


48/59

48

Une faon de rsoudre le problme consiste dterminer le spectre de

valeurs propres du problme ci-dessus et sarranger (en modifiant soit

la composition du milieu, soit sa gomtrie) pour que la valeur propre la plus

petite soit . Cette mthode est trs peu recommande car elle trs peu

prcise.

La faon classique de procder consiste crire le problme de diffusion sousla forme (3.12) dcrite au 3.3. On introduit alors le facteur de multiplication

dans lquation de diffusion et on dtermine le couple solution de :

(+)(66)

Ayant dtermin le couple , il suffit alors de diviser par les valeurs

des sections de fission pour avoir un milieu critique. Une autre faon de procder

consiste modifier la section dabsorption et refaire les calculs jusqu ce

que lon obtienne la valeur .


49/59

Ayant dtermin on value laide de la relation (71) ci-dessous


50/59

50

Ayant dtermin on value l aide de la relation (71) ci dessous

et on itre jusqu la convergence du processus. Au bout de n itrations, (69)

devient :

(70)(+)

Pour n suffisamment lev (et pour autant que lalgorithme converge), on a :

(+)

Do, en intgrant sur tout le domaine V, il vient:

(+)

cest--dire :

(+)


51/59


52/59


53/59

53

Le processus itratif dcrit ci-dessus est gnralement dsign sous lenom itrations externes, pour le distinguer des itrations internes qui

interviennent dans la rsolution du problme avec source (72).

Nous avons prsent lalgorithme ISF de manire condense avec lesoprateurs K et J. Dans tous les cas pratiques, le problme continu

est discrtispar une mthode en DF, en EF ou par une mthode nodale.

Les oprateurs K et J sont donc gnralement des matrices de taille

NxN (o N est le nombre dinconnues).

Nous montrons dans lAnnexe 4.5 que le processus itratif dcrit plus haut

(ISF) et appliqu une matrice relle symtrique NxN converge vers une

des valeurs propres extmes (la plus petite ou la plus grande en valeur absolue),

selon la faon dont on lapplique.

4.5 Annexe : Mthode ditration de puissance


54/59

54

Soient A une matrice relle symtrique et les couplesvaleurs propres / vecteurs propres associs de A :

(74)

La matrice tant symtrique, les valeurs propres sont relles. Nous les supposeronsranges par ordre de valeurs (absolues) dcroissantes :

Algorithme 1. Etant donn la norme vectorielle et le vecteur arbitraire,valuer itrativement les scalaires et vecteurs laide des relations

A la convergence :

(75)

(76)

(77)

(+)

(+)

(+)

(+)

(+)

(78)(+)

En effet, en utilisant (76) successivement vers larrire, on a:


55/59

55

(79)(+)

Le vecteur tant arbitraire admet une dcomposition unique en les vecteurs

propres de A. Soit

cette dcomposition dont les coefficients sont inconnus. Il en rsulte que:

(+)

(+)

(80)

En introduisant (80) dans (79), on obtient :

(+) (81)

Comme pour des valeurs croissantes de m le vecteur saligne


56/59

56

de plus en plus sur le vecteur :

,(+)

ce qui dmontre la propit (77).

Comme par ailleurs on a (76), on en conclut que pour m 1 :

(+)

ce qui dmontre la propit (78).

Rangeons prsent les valeurs propres par ordre de valeurs absolues croissantes :

(+)

Lalgorithme itratif suivant fournit la valeur propres en valeur absolue la plus

petite de la matrice A

Algorithme 2. Etant donn la norme vectorielle et le vecteur arbitraire,


57/59

57

valuer itrativement les scalaires et vecteurs laide des relations

(82)(+)

(83)(+)

A la convergence :

(84)(+)

(85)(+)

La dmonstration de lalgorithme 2 est identique celle de lalgorithme 1 si lon

observe que la valeur propre la plus petite (en valeur absolue) de A est la valeurpropre la plus grande de A-1.

Comme lvaluation de A-1 est relativement coteuse lorsque N1, au lieu

d l i i i d (82) ff d i


58/59

58

dvaluer qui intervient dans (82), en effectuant un produit

matrice.vecteur on inverse le systme algbrique

Do il rsulte que :

(86)(+)

(+)

On reconnat aisment dans (86), la relation (72) avec . Rappelonsque la valeur propre la plus petite du problme de diffusion est 1/k.

Remarques


59/59

59

1. En ce qui concerne les normes vectorielles, en pratique on adoptera

des normes L2 ou L, dfinies repectivement par les relations :

(+)

(+)

2. A chaque itration, aprs avoir valu par inversion de (86) et

procd la multiplication par , on normalise avant de passer

litration suivante.

3. Il convient dintroduire deux critres de convergence et , le

processus itratif tant arrt si les erreurs relatives pour la valeur propre

et pour le vecteur propre sont infrieures la tolrance:

(+)

expression dans laquelle dsigne lestimation de litrationm.

chapitre 4 -l’approximation de diffusion à un groupe

Documents