Chapitre 3: TESTS DESPECIFICATION

• Rappel d u c h api t r e pr é c é d en t :

l’i de n t i f i c a t i o n e t l’e s t i m a t i o n de s y s t è m e s d’é q u a t i o n s s i m u lt a n é e sr e p o s e n t s u r la c la s s i f i c a t i o n a p r i o r i de s v a r i a b le s e n v a r i a b le s

en d o g è n es e t e n v a r i a b le s ex o g è n es

• C e t t e c la s s i f i c a t i o n r e p o s e à la f o i s :

1. sur des a priori économiques:les variables exogènes sont déterminées hors du systèmed’équations structurelles économiques que l’on souhaiteestimer, alors que les variables endogènes sontdéterminées par le système d’équations structurelles

2. mais aussi sur des a priori empiriques

1

• Point dé lic a t m a is e sse ntie l: f a ir e la différence ent re l’ex o g énéit é

éco no m iq u e et l’ex o g énéit é s t a t is t iq u e

• E n e f f e t, u ne v a r ia b le e x og è ne da ns le m odè le é c onom iq u e p e u t ê tr ee ndog è ne da ns le m odè le é c onom é tr iq u e :

c a r l’e x og é né ité a u se ns é c onom é tr iq u e se dé f init c om m e l’a b s ence de

co rréla t io n ent re rég res s eu r et erreu r

• L a situ a tion inv e r se ne se r e nc ontr e p a s e n p r a tiq u e :

c a r u ne v a r ia b le e ndog è ne a u se ns du m odè le é c onom iq u e e stg é né r iq u e m e nt e ndog è ne d’u n p oint de v u e é c onom é tr iq u e

• I llu s t ra t io n de ce p ro b lè m e:

▪ H y p oth è se : u ne de s é q u a tions de la f or m e r é du ite d’u n sy stè m ed’é q u a tions str u c tu r e lle s s’é c r it sou s la f or m e su iv a nte :

y i = x iβ + u i (1)

▪ le s v a r ia b le s x sont de s v a r ia b le s dé te r m iné e s h or s du sy stè m e e t

donc ex o g è nes du p oint de v u e é c onom iq u e

2

▪ On i nt er p r èt e le t er me d’er r eu r u i c o mme u n t er med’h é t é r o g é né i t é i no b s er v ab le ent r e ag ent s

▪ I l s e p eu t alo r s q u e les v ar i ab les x s o i ent “ex p li q u é es ” p ar u neau t r e h é t é r o g é né i t é i no b s er v ab le c o r r é lé e av ec la p er t u r b at i o n u i

▪ D ans c e c as , la c o ndi t i o n de mo ment Exi

′u i = 0 n’es t p as v ali deet les v ar i ab les x s o nt endo g ènes

• L’es t i mat eu r des M C O c o nv er g e v er s u ne v aleu r di f f é r ent e de la v r ai ev aleu r du p ar amèt r e β:

p li m βn = β + Exi

′x i −1

Exi

′u i

• I l y a do nc biais d’e n do g é n é it é

• S ans i nf o r mat i o n s u p p lé ment ai r e s u r les mo ment s Exi

′u i, i l es ti mp o s s i b le d’aller p lu s lo i n

• Les t es t s d’ex o g é né i t é r ep o s ent s u r l’e x ist e n c e de v ar iabl e s

in st r u m e n t al e s (v o i r c o u r s de 2ème anné e)

3

• Autre m a n i è re d e p ré s en ter c e p ro b l è m e: l’é q u a t i o n (1) e s t la f o r m e

r é du i t e o u s em i -s truc turel l e d’u n m o dè le p lu s g é n é r a l:

y i = x iβ + u i

x i = z iγ + v i

• V a r i a b le s e x o g è n e s : z

V a r i a b le s e n do g è n e s : x

• O n c o m p lè t e do n c le m o dè le e n f a i s a n t l’h y p o t h è s e q u e :

E z ′u = E z ′v = 0

• L’i de n t i f i c a t i o n de s p a r a m è t r e s β p r o c è de de s r è g le s dé v e lo p p é e s da n sle c h a p i t r e 2

• C o m m e o n e x c lu t le s v a r i a b le s z de l’é q u a t i o n d’i n t é r ê t , la r è g led’i de n t i f i c a t i o n e s t c e lle de s é q u a t i o n s s i m u lt a n é e s K1 ≤ L − K2

4

• Le t est d’ex o g é né i t é p eu t s’a p p l i q u er à n’i m p o r t e q u el m o dè l e

l i né a i r e

• Il p e r m e t d e s a v o i r :

1. si les variables explicatives sont exogènes ou non dansl’équation d’intérêt

2. si les deux conditions de validité des variablesinstrumentales sont vérifiées:▪ non corrélation des VI avec les erreurs▪ capacité de prédire les variables explicatives

• O b j e c t i f s d u c h a p i t r e :

1. exposer le principe du test d’exogénéité de variablesexplicatives

2. présenter le principe des tests de validité des variablesinstrumentales

5

1. Test d’exogénéité1.1. Présentation• Supposons q ue l’on di spose de de ux g r oupe s de r é g r e sse ur s

• L e m odè le s’é c r i t a lor s c om m e sui t :

y i = x1iβ1 + x2iβ2 + u i (2)

▪ x1i v e c t e ur de K1 v a r i a b le s

▪ x2i v e c t e ur de K2 v a r i a b le s

▪ K = K1 + K2

• O b j e c t i f : t e st e r q ue le s v a r i a b le s x1i sont endogènes sous l’h y pot h è se

m a i nt e nue q ue le s v a r i a b le s x2i sont ex ogènes

• C e t t e h y pot h è se se f a i t sa ns pe r t e de g é né r a li t é pui sq ue le nom b r ed’e x og è ne s pe ut ê t r e nul (K2 = 0)

6

• On c o m p lè t e l’équation d’intér ê t (2) p a r la f or m e r éduite dus y s t è m e , q u i e x p r i m e le s v a r i a b le s p o t e nt i e lle m e nt e ndo g è ne s c o m m ef o nc t i o n de t o u t e s le s v a r i a b le s e x o g è ne s

z i = x2i : x3i

o ù x3 s o nt de s v a r i a b le s e x o g è ne s n’a p p a r a i s s a nt p a s da ns l’é q u a t i o nd’i nt é r ê t (2)

• F or m e r éduite :

x1i = z i ⋅ π1 + v1i

▪ x1i v e c t e u r de di m e ns i o n 1,K1

▪ z i v e c t e u r de di m e ns i o n 1,K2 + K3

▪ π1 m a t r i c e de di m e ns i o n K2 + K3,K1

• L’e x og énéité de s v a r i a b le s z i s e t r a du i t i c i p a r :

Ezi

′u i = Ez

i

′v1i = 0

7

• Par so u c i de si m p l i f i c at i o n , o n su p p o se au ssi q u e :

Eu i

v1i

u i

v1i

′

∣ z i = Σ

• L’e n do g é n é i t é é v e n t u e l l e de s v ari ab l e s x i se t radu i t m ai n t e n an t e n

t e rm e de s covariances ent re t erm es d’erreu rs dans l es deu x

é q u at ions p u i sq u e :

Ex1i

′u i = Eπ1

′z

i

′u i + v1i

′u i = Ev1i

′u i ≡ σ u v

o ù σ e st u n v e c t e u r de di m e n si o n K1, 1

(so u s-v e c t e u r de l a m at ri c e Σ

• L’h y p o t h è se d’e x o g é n é i t é de s v ari ab l e s x1i s’é c ri t do n c au ssi c o m m e :

σ u v = 0

8

1.2. Construction du test• Soit l a m a tr ic e d e v a r ia n c e s -c ov a r ia n c e s d e v1i

(s ou s -m a tr ic e d e l a m a tr ic e Σ :

Ev1i

′v1i ∣ z i = Σ1

a v e c

d im Σ1 = K1, K1

• O n p e u t tou j ou r s é c r ir e l a r é g r e s s ion l in é a ir e p r ob a b il is te :

u i = v1iθ + i

a v e c

Ev1i

′ i = 0

• E n e f f e t, c e tte d e r n iè r e c on d ition im p l iq u e q u e :

Ev1i

′u i = Ev1i

′v1iθ + Ev1i

′ i = Ev1i

′v1i θ

9

• Donc, p a r dé f i ni t i on:

θ = Σ1

−1σuv

• R é ci p r oq u e m e nt , si

θ = Σ1

−1σuv

e t

i = u i − v1iθ,

a lor s la condi t i on de m om e nt

Ev1i

′ i = Ev1i

′ u i − v1iθ = σuv − Σ1Σ1

−1σuv = 0

e st v é r i f i é e .

• N ot ons q u e l’h y p ot h è se d’e x og é né i t é de x1i :

σuv = 0

p e u t m a i nt e na nt s’é cr i r e

θ = 0

10

• On no t e r a a u s s i q u e :

▪ Ezi

′ i = Ez

i

′u i − v1iθ = 0

▪ Ei

2 ∣ z i = Eu i − v1iθ ′u i − v1iθ ∣ z i

= Eui

2 −

σuv

′

Eui

′v1i

Σ1−1

σuv

θ −θ ′Ev1i

′ u i + θ ′

Σ1

Ev1i

′ v1i θ

= σu2 − σuv

′Σ1

−1σuv

▪ Ev1i

′ i ∣ z i = 0

• S u p p o s o ns q u e l’o n c o nna i s s e le p a r a m è t r e π1, c o e f f i c i e nt de lar é g r e s s i o n li né a i r e de s v a r i a b le s x1i s u r le s v a r i a b le s e x o g è ne s z i

• On p e u t do nc c a lc u le r la v a le u r de s p e r t u r b a t i o ns

v1i = x1i − z iπ1

• On p e u t a lo r s r é é c r i r e l’é q u a t i o n d’i nt é r ê t (2):

y i = x1iβ1 + x2iβ2 + u i = x1iβ1 + x2iβ2 + v1iθ + i (3)

11

• Montrons q u e l e s c ondi ti ons de v a l i di té d’u ne e sti m a ti on de (3) p a r l e sMC O sont re m p l i e s

• I l f a u t s’a ssu re r q u e l a c ov a ri a nc e du te rm e d’e rre u r i e t de s di v e rsré g re sse u rs e st nu l l e

• O r

Ev1i

′ i = 0 e t Ez

i

′ i = 0

C om m e x2i e st u n sou s-e nse m b l e de s v a ri a b l e s z i,

Ex2i

′ i = 0

F i na l e m e nt:

Ex1i

′ i = Eπ1

′z

i

′ i + v1i

′ i = 0

• L’e sti m a ti on de β1,β2 e t θ p a r l e s MC O e st donc c onv e rg e nte

12

• Remarque: l’é quat i o n (2)

y i = x1iβ1 + x2iβ2 + u i (2)

o met un t erme v1iθ qui es t c o rré lé aux v ari ab les ex p li c at i v es i nc lus esd ans l’é quat i o n:

Ex1i

′ v1iθ = Eπ1

′ zi

′v1iθ + v1i

′ v1iθ = Σ1θ c arEzi

′v1i = 0

s auf s i θ = 0

• L e biais d’e n do g é n é it é d ans l’es t i mat i o n p ar M C O d e (2) p eut ai ns i

s e c o mp rend re c o mme un b i ai s d û à l’o m issio n de v ar iabl e s

• P ro b lè me: π1 n’es t p as c o nnu. I l es t d o nc i mp o s s i b le d e c alc uler lesp ert urb at i o ns v1i

• N é anmo i ns no us p o uv o ns o b t eni r un e st im at e u r c o n v e r g e n t d e π1 p arles M C O que l’o n no t e π1n

• P ri nc i p e d e la p ro c é d ure: remp lac er les v ari ab les i nc o nnues v1i p ar lesv ari ab les ap p ro c h é es , les ré s i d us v1i

13

• Cette p r o c é d u r e es t c o n n u e c o m m e l a procédure de H ol l y-S a rg a n :

1. 1ère étape : Régresser les variables potentiellementendogènes x1i sur les variables exogènes z i pour estimer lesparamètres π1

2. 2ème étape : Construire les résidus de cette régressionv 1i = x1i − z iπ1

et estimer par MCO le modèle auxiliaire:

y i = x1iβ1 + x2iβ2 +v 1iθ + i (4)

Soit θn l’estimateur MCO de θ et Vθn un estimateur de savariance asymptotique

3. 3ème étape : Construire la statistique de WaldWn = nθn

′ V

θn

−1θn

associée à l’hypothèse nulle θ = 0

Rejeter l’hypothèse nulle à un niveau α si Wn est supérieure auquantile d’ordre 1 − α d’une loi du χ2 à K1 degrés de liberté

14

• Proposition: L a s t at i s t i q u e de W ald Wn c o n v e r g e e n di s t r i b u t i o n s o u sl’h y p o t h è s e n u lle v e r s u n e v ar i ab le alé at o i r e do n t la di s t r i b u t i o n e s tu n e lo i du χ2 à K1 de g r é s de li b e r t é ■

• A v an t de p r o u v e r c e t t e p r o p o s i t i o n e t p o u r la s i m p li f i e r , o n n o t e r a u n e

proprié té r e m ar q u ab le de l’e s t i m at e u r de s M C O de l’é q u at i o n (4)

• C o m m e

x1i = x1i +v 1i

o n p e u t r é é c r i r e (4) c o m m e :

y i = x1iβ1 + x2iβ2 +v 1iβ1 + θ + i

• O n r e m ar q u e alo r s q u e l’o n a de u x g r o u p e s de r é g r e s s e u r s x1i,x2i)d’u n e p ar t , e t

v 1i d’au t r e p ar t

• O r , p ar c o n s t r u c t i o n , c e s de u x g r o u p e s de r é g r e s s e u r s s o n to r t h o g o n au x e n t r e e u x :

X1

′ V1i = 0 e t X2

′ V1i = 0

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• Les esti m a teu r s M C O des c o ef f i c i en ts des deu x g r o u p es de r é g r esseu r sp eu v en t do n c ê tr e o b ten u s p a r les deu x r é g r essi o n s a u x i li a i r es:

y i = x1iβ1 + x2iβ2 + η1i

y i =v 1iβ1 + θ + η2i

• I l f a u t a lo r s r em a r q u er q u e l’esti m a teu r M C O des c o ef f i c i en ts dup r em i er m o dè le est p a r c o n str u c ti o n l’esti m a teu r D M C de l’é q u a ti o nd’i n té r ê t: c et esti m a teu r est c o n v er g en t et o n c o n n a i t sa lo ia sy m p to ti q u e

• Les esti m a teu r s de β1 et β2 du m o dè le (4) so n t do n c c o n v er g en ts

• I l n o u s r este à m o n tr er q u e l’esti m a teu r du p a r a m è tr e θ est convergentet m o n tr er q u e sa lo i a sy m p to ti q u e est la m ê m e q u e da n s le c a s o ù lesp er tu r b a ti o n s v1i so n t c o n n u es

• C ette dé m o n str a ti o n est u ti li sé e c o m m e u n ex em p le de r a i so n n em en ta sy m p to ti q u e u su el en é c o n o m é tr i e

16

1.3. Preuve de la proposition• Principe de la preu v e: m o nt rer q u e l’erreu r de m es u re v1i −

v 1i f ait e

s u r le ré g res s eu r v1i n’a pas d’im pact s u r les pro prié t é s de l’es t im at eu rde θ

• Po u r allé g er les no t at io ns , o n s e placera dans le cadre s im plif ié o ù o nv eu t es t im er u n m o dè le :

y i = v1iα + i (5)

av ec v1i v ariab le u nidim ens io nnelle no n o b s erv ab le

• O n dis po s e d’u ne es t im at io n de v1i par le ré s idu d’u n m o dè leau x iliaire:

x1i = z iπ1 + v1i

• O n a par h y po t h è s e

Ev1i i = 0

17

• On s u p p o s e q u e l’e s t i m at e u r π1n e s t c o nv e r g e nt e t d e lo ias y m p t o t i q u e :

n π1n − π1d

n→∞

ˆ N0, Vπ

• On e s t i m e d o nc le m o d è le ap p r o c h é e n r e m p laç ant le r é g r e s s e u ri nc o nnu p ar le r é g r e s s e u r “c o ns t r u i t ”

v 1i:

y i = v1iα + i

i = i + v1i −

v 1iα

• Or c o m m e

v1i = x1i − z iπ1

e tv 1i = x1i − z iπ1n

o n a :

i = i + z iπ1n − π1α

18

• L’e s t i m at e u r de s M C O de (5) e s t do n n é p ar :

αn = V1

′ V1−1V1

′ Y

= V1

′ V1−1V1

′ V1α +

= α + V1

′ V1−1V1

′ + V1

′ V1−1V1

′ Zπ1n − π1θ

= α + V1

′ V1−1V1

′ (6)

p u i s q u e V1

′ Z = 0 p ar c o n s t r u c t i o n

• P o u r é t u di e r la c o n v e r g e n c e de c e t e s t i m at e u r , o n do i t c o n t o u r n e r ladi f f i c u lt é du e à l’u t i li s at i o n d’u n r é g r e s s e u r c o n s t r u i t v1i à la p lac e dev1i

• O r :

V1 = V1 − Zπ1n − π1

O n a au s s i p ar c o n v e r g e n c e de l’e s t i m at e u r :

n→∞

p l i m π1n − π1 = 0

19

• Il e s t a lo r s i m m é di a t de m o n t r e r q u e s o u s le s h y p o t h è s e s du m o dè le :

n→∞

plimV1

′ V1

n =

n→∞

plimV1

′ V1

n e tn→∞

plimV1

′

n =

n→∞

plimV1

′

n = 0

• L’e s t i m a t e u r de s M C O s u r le m o dè le a u x i li a i r e a v e c r é g r e s s e u rc o n s t r u i t e s t do n c c o n v e r g e n t e n u t i li s a n t (6) :

n→∞

p li m αn =

n→∞

p li m α + V1′ V1−1V1

′ = α

• P o u r é t u di e r la lo i a s y m p t o t i q u e de c e t e s t i m a t e u r , o n n o t e r a d’a b o r dq u e p a r h y p o t h è s e :

n V1

′

n d

n→∞

ˆ N0,V0

• P a r a i lle u r s

π1n − π1 = Z ′Z−1Z ′X1 − π1 = Z ′Z−1Z ′V1 ⇒ V1 = V1 − ZZ ′Z−1Z ′V1

20

• Donc nV1

′

n= n

V1

′

n− n

V1

′

PZ

n

• O r com m e la d i m e ns i on d e z e s t f i x e , e t com m e Ez ′v1 = 0, la

d e u x i è m e q u a nt i t é à d r oi t e conv e r g e e n p r ob a b i li t é v e r s 0 e t d onc:

n V1

′

n

d

n→∞

ˆ N0, V0

• A i ns i

n αn − α = nV1

′V1

n

−1

V1′

n

d

n→∞

ˆ N0, Vα

où

Vα = Ev1i′

v1i−1V0Ev1i′

v1i−1

• C onclu s i on: la m a t r i ce d e v a r i a nce cov a r i a nce a s y m p t ot i q u e d el’e s t i m a t e u r αn e s t la m ê m e q u e s i on a v a i t u t i li s é le r é g r e s s e u ror i g i na l a u li e u d u r é g r e s s e u r cons t r u i t ■

21

2. Test de restrictionssuridentifiantes

2.1. Enoncé du problème• Supposons q ue l e m odè l e s’é c r iv e sous une f or m e un peu pl us

g é né r a l e:

y i = x iβ + u i

x i = z iγ + v i

où des v a r ia b l es peuv ent ê t r e c om m unes à x et à z

(l es v a r ia b l es x2 de l a sec t ion pr é c é dent e)

• Si c el a est l e c a s, l es é q ua t ions c or r esponda nt à l a deux iè m e pa r t ie dum odè l e (x i = z iγ + v i) s’é c r iv ent c om m e des ident it é s (i.e. x2 = x2)sa ns t er m es d’er r eur s et en c ont r a ig na nt l es pa r a m è t r es γ

22

• K : n o m b r e de v a r i a b l e s da n s x

• L : n o m b r e de v a r i a b l e s da n s z

• H y p o t h è s e : l e s c o n di t i o n s de r a n g s o n t s a t i s f a i t e s :

r g E xi

′x i = K e t r g E zi

′z i = L

• L a condition d’or dr e p ou r l’ide ntif ica tion d’u n t e l s y s t è m e e s t

L ≥ K

• E n e f f e t , s o i t K1 l e n o m b r e de v a r i a b l e s e n do g è n e s da n s x

e t do n c K − K1 l e n o m b r e de v a r i a b l e s e x o g è n e s da n s x

• L e n o m b r e de v a r i a b l e s e x o g è n e s e x c l u e s de l a p r e m i è r e é q u a t i o n e s tdo n c L − K − K1, s o i t L − K − K1 ≥ K1, c e q u i p r o u v e l e r é s u l t a t

• S i L = K e t l a c o n di t i o n de r a n g e s t s a t i s f a i t e , o n n e p e u t a l l e rb e a u c o u p p l u s l o i n

23

• Par c o nt re s i L > K, o n di s p o s e de p lu s de v ari ab le s e x o g è ne s q u ’i ln’e s t né c e s s ai re

• L’é q u at i o n d’i nt é rê t e s t s u ri de nt i f i é e e t o n di t q u e l’o n di s p o s e dere s t ri c t i o ns s u ri de nt i f i ant e s

• C e lle s -c i s o nt s i m p le m e nt le s c o nt rai nt e s d’e x c lu s i o n s u p p lé m e nt ai re sq u e l’o n a i m p o s é s u r le s y s t è m e

• O n p o u rrai t e n e f f e t re lâ c h e r au m o i ns u ne h y p o t h è s e d’e x c lu s i o nd’u ne v ari ab le z de l’é q u at i o n d’i nt é rê t s ans v i o le r la c o ndi t i o n d’o rdrep o u r l’i de nt i f i c at i o n du s y s t è m e

• Tests d i r ec ti o n n el s: Pe u t -o n re lâ c h e r c e rt ai ne s c o ndi t i o nsd’e x c lu s i o n (re s t ri c t i o ns a p ri o ri ) s ans af f e c t e r l’i de nt i f i c at i o n de sp aram è t re s ?

• Test d e S a r g a n (p lu s g é né ral): s i o n n’a p as de t e lle s re s t ri c t i o ns ap r i o r i , c e q u i e s t le c as le p lu s c o u rant

24

2.2. Test directionnel• On se p lac e dans le c as o ù la c o ndi t i o n d’o r dr e e st sat i sf ai t e L > K e t

o n su p p o se q u e la c o ndi t i o n de r ang l’e st au ssi

• S u p p o so ns q u e l’o n ai t e x c lu à t o r t u ne v ar i ab le z1 de l’é q u at i o nd’i nt é r ê t :

y = xβ + z1θ + u

x = zγ + v

• L’h y p o t h è se d’e x c lu si o n de la v ar i ab le z1 de l’é q u at i o n d’i nt é r ê ts’é c r i t alo r s θ = 0 : t e st t r è s f ac i le à m e t t r e e n o e u v r e

• N é anm o i ns, c e t e st a le dé f au t de ne p as p o u v o i r ê t r e u t i li sé p o u rp lu si e u r s r e st r i c t i o ns su r i de nt i f i ant e s

p u i sq u e le s t e st s p o u r di f f é r e nt e s v ar i ab le s i nst r u m e nt ale s ne so nt p asi ndé p e ndant s

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• Les r é g i o n s c r i t i q u es de r ej et de c es p r o c é du r es de t est so n ti n t er dé p en dan t es

• I l n e p eu t en f ai t s’ap p li q u er q u e si o n a des a p r i o r i f o r t s su r l’o r dr edan s leq u el do i v en t se f ai r e c es t est s

• O n do i t su p p o ser q u e l’o n a c h o i si u n o r dr e a p r i o r i des v ar i ab lesex o g è n es su i v an t le n i v eau de c o n f i an c e q u e l’o n ac c o r de à leu rex c lu si o n de l’é q u at i o n d’i n t é r ê t

• S o i t p ar ex em p le l’o r dr e z1, z2, . . . , zL• O n ado p t er a alo r s la dé m ar c h e su i v an t e:

1. on teste l’exclusion de z1

2. si elle est acceptée, on s’arrête3. sinon, on teste l’exclusion de z2

4. etc., jusqu’à arrêt de l’algorithme ou violation de la conditiond’ordre

26

2.3. Test de Sargan• Proposition: S o i t t u n v e c t e u r d e M v a r i a b le s a lé a t o i r e s c o m b i n a i s o n s

li n é a i r e s d e s v a r i a b le s z. C e s v a r i a b le s s o n t s u p p o s é e s n o n c o li n é a i r e se t d o n c M ≤ L. S o i t PT le p r o j e c t e u r o r t h o g o n a l, d é f i n i d a n s Rn, s u rl’e s p a c e e n g e n d r é p a r le s v a r i a b le s T, o ù T s o n t le s r é a li s a t i o n s d e t d ed i m e n s i o n n, M. A lo r s

PT = TT ′T−1

T ′

e t

1σ2

U ′PTUd

n→∞

ˆ χ2M

• Pre u v e : S o u s c e r t a i n e s c o n d i t i o n s s u p p o s é e s s a t i s f a i t e s , la lo i f a i b led e s g r a n d s n o m b r e s d o n n e :

T ′Un

P

n→∞

Et i′u i = 0

e t p a r u n t h é o r è m e c e n t r a l li m i t e :

27

nT ′U

n− 0

d

n→∞

ˆ N 0, Et i′u iu i

′

t i

o ù Et i′u iu i

′

t i = σ2Et i

′t i

D o n c :

1

nσ2

Et i′t i

−1/2T ′U

d

n→∞

ˆ N0, IM

E n p r e n a n t l a n o r m e e u c l i d i e n n e d e c e v e c t e u r , o n o b t i e n t :

1nσ

2U ′TEt i

′t i

−1T ′U

d

n→∞

ˆ χ2M

p u i s e n r e m p l a c a n t l e t e r m e c e n t r a l p a r s a c o n t r e p a r t i e e m p i r i q u e q u ie n e s t u n e s t i m a t e u r c o n v e r g e n t :

1nσ

2U ′T

T ′Tn

−1

T ′Ud

n→∞

ˆ χ2M

28

• Donc

1σ2

U ′PTUd

n→∞

ˆ χ2M ■

• Cas p ar t i c u l i e r : T ≡ Z

1σ2

U ′PZUd

n→∞

ˆ χ2L

C ons i d é r ons m a i nt e na nt l a s t a t i s t i q u e d e t e st d e S ar g an :

S =U

′

PZU

σ2

où U s ont l e s r é s i d u s ob t e nu s p a r l a m é t h od e d e s DM C :

U = Y − PZXβ = Y − PZXX ′PZX

−1X ′PZY

= Xβ − PZXβ + U − PZXX ′PZX−1

X ′PZ ⋅ U

= MZ ⋅ Xβ + MPZX ⋅ U

29

d’o ù

PZU = PZMPZXU c a r PZMZ = 0

S o i t Q = PZMPZX le p r o j e c t e u r s u r l’e s p a c e i n c lu s da n s l’e s p a c ee n g e n dr é p a r le s v a r i a b le s Z e t o r t h o g o n a l à PZX

S o i t T u n e b a s e de c e t e s p a c e de di m e n s i o n :

di m Z − di m PZX = L − K

D o n c , s o u s l’h y p o t h è s e n u lle H0:

S =U

′

PZU

σ2

=U ′QU

σ2

d

H0

n→∞

ˆ χ2L − K

R é g i o n c r i t i q u e du t e s t :

W = S > F1−αχ2L − K

o ù F1−α dé n o t e le f r a c t i le d’o r dr e 1 − α

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• Deux r em a r q ues f i n a l es :

1. il y a équivalence entre cette procédure et la procédure quiconsiste à inclure les variables T dans la régression :

Y = PZX. β + Tθ + U − Tθ

et à tester l’hypothèse θ = 0

2. la statistique de Sargan s’obtient facilement parl’intermédiaire d’une régression auxiliaire des résidus desDMC sur les variables z :

û i = z iγ + i

• P r euv e : s o i t l e R2 d e c e t t e r é g r e s s i o n :

R2 =γ ′Z ′Zγ

U

′

U

=U

′

ZZ ′Z−1Z ′U

U

′

U

31

Donc:

R2=

U′

PzU

U′

U

= S. σ2

U′

U

P os ons S = nR2. Com m e

n→∞

p l i m U′

Un = σ

2

le s s t a t i s t i q u e s S e t S s ont a s y m p t ot i q u e m e nt é q u i v a le nt e s

Donc s ou s l’h y p ot h è s e nu lle :

S = nR2d

H0

n→∞ˆ χ

2L − K

• C’e s t ce d e r ni e r t e s t q u i e s t u t i li s é e n p r a t i q u e p u i s q u ’i l e s t f a ci le àm e t t r e e n oe u v r e e n u t i li s a nt u n log i ci e l d e r é g r e s s i ons

32