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Chapitre 3 : Ondes sonores

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De toutes les ondes mécaniques longitudinales se propageant dans l'air ou dans un autre milieumatériel, les ondes sonores sont les plus banales. Si leur fréquence est comprise entre 20 Hz et20 kHz, ces ondes sont perceptibles par l'oreille humaine et, selon les cas, sont décrites commeun bruit ou comme un son musical. Les sons dont les fréquences sortent du domaine audible sontqualifiées d'infrasons si leur fréquence est basse, d'ultrasons si leur fréquence est élevée.L'énergie portée par les ondes sonores est également un paramètre important et le niveaud'intensité qui lui est associé se mesure en décibels. L'excitation d'une corde ou d'une colonned'air est la manière la plus simple de produire une onde sonore et présente de plus l'avantaged'être calculable.

3.1 Description des ondes sonoresLa vitesse de propagation des ondes sonores est fonction de la rigidité et de la densité du milieu.Dans l'air, elles se déplacent à la vitesse

€

vair = 20 T , soit à 342 m/s si la température de l'air estde 20°C. Contrairement à ce qui se passe pour la lumière se propageant dans un milieutransparent, la vitesse du son dans l'air est indépendante de la fréquence de l'onde : le son n'estpas dispersé et se propage donc sans se déformer.A titre de comparaison, voici la vitesse de propagation du son dans quelques milieux :

Milieu Air (20°C) Eau Sapin Cuivre AcierVitesse (m/s) 342 1480 3320 3500 5050

Un bruit est une onde qui ne présente aucune structure régulière. Sur le plan perceptif un bruit n'apas une hauteur bien définie : on ne saurait "chanter" un bruit ! Par contre, un son musical estcaractérisé par une structure régulière (périodique) et présente une hauteur bien définie : uneonde sonore audible de basse fréquence est perçue comme un son grave, une onde de fréquenceplus élevée comme un son plus aigu. On peut montrer de plus que tout son musical est constituéd'une onde harmonique ou d'une superposition d'ondes harmoniques.Le son musical le plus simple est un son sinusoïdal de fréquence f produit par un diapason. Pourune valeur donnée du temps t, on observe dans l'air une alternance de zones en surpression ou ensous-pression par rapport à la pression atmosphérique moyenne. L'amplitude de la perturbationse mesure en pascals [Pa]. Une autre manière de décrire le même phénomène est de remarquerque l'onde est constituée d'une succession de zones où le déplacement des molécules d'air estalternativement maximum ou nul. L'amplitude de la perturbation se mesure alors en mètres. Onnotera qu'aux endroits où la pression est maximale, le déplacement des molécules est nul et vice-versa : les deux descriptions sont déphasées de π/2 l'une par rapport à l'autre.

Haut-parleur générant une onde dans l'air, montrant les zones où la pression (le déplacement) est extremum


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Les expressions mathématiques pour ces deux descriptions sont les suivantes :Onde de pression (courbe en trait plein) :

€

p(x, t) = Δp ⋅ sin(kx ±ωt)

Onde de déplacement (courbe en trait-tillé) :

€

s(x, t) = A ⋅ cos(kx ±ωt) .

Le signe + décrit une onde se rapprochant de la source, le signe – une onde qui s'en éloigne.L'amplitude de déplacement A et l'amplitude de surpression Δp sont proportionnelles et leurrelation est donnée par :

€

Δp = ρωvA , où ρ est la masse volumique du milieu, ω la fréquencecirculaire de l'onde et v sa vitesse de propagation.

Exemple : Une onde de 500 Hz se propageant à 342 m/s dans l'air et dont l'amplitude est de0,01 mm (onde produite par la vibration de la membrane d'un haut-parleur) donne lieu à desmaxima de pression de

€

Δp =1,2 ⋅ 2π ⋅ 500 ⋅ 342 ⋅ 0,01⋅10−3 =13 Pa . Ce résultat est à comparer à lapression atmosphérique qui est de l'ordre de 100 kPa.Le son se comporte comme toutes les ondes : en passant d'un milieu à un autre il est en généralréfracté et à la surface de séparation de deux milieux il peut être partiellement réfléchi ouabsorbé. La réflexion sur une surface n'a lieu que si celle-ci est suffisamment grande. Si ce n'estpas le cas, le son contourne l'obstacle : c'est la diffraction. Grâce à ce dernier phénomène, unspectateur placé derrière un pilier peut entendre un musicien qui joue sur scène même s'il ne lene voit pas !

3.2 Intensité sonore et décibelsUne onde sonore produite par une source ponctuelle de puissance moyenne

€

P se propage

comme une onde sphérique. Il a été vu plus haut que son intensité diminuait selon

€

I =P S

=P 4πr2

[W/m2] où r est la distance à la source. On peut montrer qu'en un point donné, l'intensité del'onde sonore dépend de son amplitude de déplacement A, de sa fréquence f (ou ω = 2π f), de savitesse v de propagation et de la masse volumique ρ du milieu :

€

I =12ρ v A2ω 2 ou, si on exprime l'intensité en fonction de la surpression,

€

I =(Δp)2

2ρvLe détecteur de son le plus répandu est... l'oreille. Son domaine de sensibilité est considérablepuisque le seuil d'audibilité correspond à une intensité de 10-12 W/m2 alors que le seuil de douleurest atteint pour une intensité de 1 W/m2. L'oreille fonctionne ainsi sur 12 ordres de grandeur :imaginons une règle unique qui permettrait de mesurer non seulement le mm, mais aussi lemillion de km (1012 mm = 106 km) !

Exemple 1 : Une onde de 500 Hz, se propageant à 344 m/s dans l'air et dont l'amplitude est de0,01 mm donne lieu à une intensité de

€

I =12ρvA2ω 2 =

12

1,2 ⋅ 342 ⋅ (0,01⋅10−3)2(2π500)2 = 0,20 Wm2 .

Exemple 2 : Au seuil d'audition, l'amplitude de déplacement dans l'air est donnée par la relation

€

I =12ρvA2ω 2 , soit

€

10−12 =12ρvA2ω 2 =

121,2 ⋅ 342 ⋅ A2(2π500)2 d'où l'on tire

€

A = 0,22 ⋅10−12 m.

C'est moins que le diamètre d'un atome !

Pour traiter une gamme aussi vaste d'ordres de grandeur, l'échelle logarithmique est la plusappropriée. C'est aussi celle qui tient le mieux compte du comportement physiologique de


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l'oreille. En effet, la variation de sensation sonore, ΔS, est proportionnelle à la variation relativede l'intensité physique ΔI/I (analogie : ajouter 30 g à une charge de 300 g produit davantaged'effet que d'ajouter 30 g à une charge de 3 tonnes !). La relation entre la sensation S et l'intensitéphysique I est donc de type logarithmique.On définit le niveau d'intensité sonore comme :

€

LI =10 log( II0) décibel [dB]

où I est l'intensité physique et

€

I0 =10−12 W/m2 l'intensité de référence (seuil d'audibilité).Lorsque I = I0, L = 0 et lorsque I = 1 W/m2, LI = 120 dB.

Si le niveau d'intensité sonore est connu et donné en dB, on peut en déduire l'intensité physiqueen inversant la relation ci-dessus :

€

I = I0 ⋅10LI /10 [W/m2]

Exemple 1 : Une intensité de

€

6,4 ⋅10−3 W/m2 correspond à un niveau sonore de

€

LI =10log(6,4 ⋅10−3 /10−12) = 98 dB.

Exemple 2 : Le bruit d'une machine est de 60 dB. Le bruit de 2 de ces mêmes machines est alorsde

€

LI =10log(2I /I0) =10log(2) +10log(I /I0) = 3 dB + 60 dB = 63 dB.Pour 4 machines on obtiendrait 66 dB ; pour 10 machines 70 dB.Exemple 3 : Un niveau d'intensité 95 dB correspond à une intensité de

€

I =10−12 ⋅1095 /10 = 3,2 ⋅10−3 W/m2 .

Ordre de grandeur pour quelques niveaux sonores :

Source sonore Niveau sonore LI

Tic-tac d'une montre 30 dBSalle de séjour 40 dB

Conversation normale à 1 m 60 dBAspirateur 80 dB

Gros camion 90 dBHurlement à 1m 100 dB

Site de construction 110 dB (intolérable)

3.3 Production d'une onde acoustiqueUn son musical est habituellement créé par un instrument à cordes, par un instrument à vent oupar la voix : on pince, frotte ou frappe une corde ou bien on excite la colonne d'air délimitée parun tube. Dans ce qui suit, on établira les fréquences (donc les notes de musique) que l'on peutproduire avec une corde ou avec un tuyau donné.

Résonances dans une corde aux extrémités fixesLes fréquences de résonance d'une corde sont le résultat des interférences conduisant àl'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde. En des points régulièrement espacés,la corde reste immobile (noeud), en d'autres points la corde oscille de part et d'autre de saposition d'équilibre (ventre). Cette situation se produit lorsque la corde, fixée à ses deuxextrémités, est excitée avec une fréquence correspondant à une longueur d'onde qui est un sous-


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multiple entier de deux longueurs de corde. La corde étant fixée à ses deux extrémités, laperturbation doit être nulle en ces endroits (noeuds).

€

λ1 = 2L =2L1

€

λ2 =2L2

€

λ3 =2L3

€

λn =2Ln

Les longueurs d'onde possibles sont ainsi données par :

€

λn =2Ln

.

La relation donnant la vitesse de propagation de la perturbation dans la corde,

€

vcorde = λn fn ,

permet de déduire que les ondes stationnaires se produisent lorsque

€

fn =vcorde

λn=n2L

vcorde .

La fréquence

€

f1 =12L

vcorde est appelée fréquence fondamentale.

Les fréquences fn multiples entiers de f1 sont les harmoniques de la fréquence fondamentale.

En résumé, la note produite par la corde est donnée par la fréquence fondamentale (égalementappelée harmonique n°1) :

€

f1 =12L

vcorde =12L

Fµ

A celle-ci se superposent les harmoniques

€

fn = n ⋅ f1..

On déduit de l'expression de f1 les constatations suivantes que chacun peut vérifier en écoutantun instrument à cordes :

• Si la corde est longue (L grand), la fréquence est petite et donc le son grave.• Une corde de grand diamètre produit un son plus grave qu'une corde mince.• En augmentant la tension de la corde, le son qu'elle produit devient plus aigu : c'est en

variant finement la tension des cordes que les violonistes accordent leur instrument.

Exemple : Une corde de piano en acier est tendue avec une force de 800 N. Sa longueur est de1,2 m et son diamètre de 0,9 mm. La masse linéique se calcule par

€

µ = ρπr2 = 7850π (0,45 ⋅10−3)2= 4,99 g/m. La fréquence fondamentale (ou harmonique 1) vaut

€

f1 = (0,5 /L) F /µ = (0,5 /1,2) 800 /4,99 ⋅10−3 =167 Hz . Les harmoniques sont des multiplesentiers de f1. Ainsi f2 = 334 Hz ; f3 = 500 Hz ; f4 = 667 Hz, etc.

Résonances dans une colonne d'air :Dans le cas d'un instrument à vent constitué d'un tuyau cylindrique de longueur L ouvert auxdeux extrémités (flûte traversière, certains tuyaux d'orgue), les conditions pour la formationd'une onde stationnaire sont les mêmes que pour une corde : aux deux extrémités du tuyau ouvertla surpression de l'onde doit être nulle (noeuds).


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Le même développement que ci-dessus conduit aux relations suivantes :

Fréquence fondamentale :

€

f1 =12L

vair où

€

vair est la propagation de la perturbation dans l'air.

Fréquences des harmoniques :

€

fn = n ⋅ f1.

Contrairement à la corde qui est toujours fixée aux deux extrémités, un tuyau cylindrique, au lieud'être ouvert aux deux extrémités, peut être fermé à une des extrémités et ouvert à l'autre. C'est lecas pour la flûte de Pan, la clarinette et certains tuyaux d'orgue. Les ondes stationnaires sontalors déterminées en imposant un noeud (surpression nulle) à l'extrémité ouverte et un ventre àl'extrémité fermée :

Les résonances ont lieu lorsque la longueur L est égale à un multiple entier impair d'un quart de

longueur d'onde :

€

L = (2n −1) λ2n−14

. On obtient ainsi pour les longueurs d'onde possibles :

€

λ2n−1 =4L2n −1

ce qui donne pour les fréquences de résonance :

€

f2n−1 =2n −14L

vair .

La fréquence fondamentale vaut

€

f1 =14L

vair et ses harmoniques correspondent à la suite

€

f3 = 3 f1, f5 = 5 f1, f7 = 7 f1...

On constate en particulier qu'un tuyau de longueur L, fermé à une extrémité, sonne à l'octaveinférieure d'un tuyau de même longueur ouvert aux deux extrémités.Exemple 1 : La note la plus grave produite par une flûte longue de 60 cm correspond à unevibration de fréquence

€

f1 = vair /2L = 342 /(2 ⋅ 0,6) = 285 Hz .Les harmoniques valent 570 Hz, 855 Hz etc.Exemple 2 : La note la plus grave produite par l'orgue a une fréquence de 20 Hz. La longueur

d'un tuyau ouvert-ouvert produisant cette note devrait valoir

€

L =vair

2 ⋅ f1=3422 ⋅ 20

= 8,6 m . Un tuyau

ouvert-fermé produisant la même note aurait une longueur L' = 4,3 m.


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Résonances dans les plaques et les membranesTrouver les fréquences de résonance d'une plaque ou d'une membrane est une tâche ardue. Dansune telle situation, les fréquences des harmoniques ne sont pas des multiples entiers de lafréquence fondamentale et selon la complexité de sa forme, une plaque peut même présenter uncontinuum de fréquences de résonance. C'est le cas pour la table d'un violon ou la tabled'harmonie d'un piano. Ces tables sont utilisées pour amplifier les sons produits par une corde.En effet, en vibrant, une table d'harmonie déplace davantage d'air qu'une simple corde et encouplant cette dernière à la table grâce à un chevalet, le son émis par l'instrument est donc plusintense.Les plaques et les membranes ne présentent pas de noeuds de vibration, mais plutôt des lignes oudes cercles nodaux le long desquels la surface est immobile. Ceci peut être mis en évidence ensaupoudrant la surface vibrante de sable fin et en l'excitant à ses fréquences de résonance : lesable se rassemble alors aux endroits où la surface est immobile, dessinant la série de figuresreproduites ci-dessous (figures de Chladni). Les fréquences de résonance correspondant auxfigures sont indiquées et mettent en évidence le fait que dans un tel cas les fréquences des"harmoniques" ne sont pas des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

252 Hz 264 Hz 735 Hz 1313 Hz

1904 Hz 3080 Hz 3690 Hz 4040HzFigures de Chladni pour une plaque carrée excitée en son centre

En résumé, le son produit par un instrument de musique est composé d'une fréquencefondamentale accompagnée de ses harmoniques qui apparaissent chacune avec une amplitudebien déterminée selon le type de corde (ou le type de tuyau ou le type de membrane) utilisée etde la manière dont on l'excite. La hauteur de la note est donnée par la fréquence de la résonancefondamentale, alors que la distribution des harmoniques détermine le timbre des instruments(voir chapitre suivant).


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3.4 UltrasonsPour qu'une onde soit réfléchie par un obstacle et ne le contourne pas (pas de diffraction), il fautque sa longueur d'onde soit plus petite que les dimensions de l'obstacle. Rappelons que leslongueurs d'onde pour le domaine audible vont de 11 m pour les sons graves à 0,1 m pour lessons aigus : les obstacles dont la dimension est inférieure à 10 cm ne réfléchissent donc pas detelles ondes sonores. C'est la raison pour laquelle les chauve-souris qui détectent leurs petitesproies par écholocation émettent des ultrasons. Ce sont également des ultrasons qui sont utilisésen médecine pour l'investigation des organes internes : en passant d'un milieu à un autre danslesquels les vitesses de propagation diffèrent, les ultrasons sont partiellement réfléchis, l'intensitéréfléchie étant fonction de la matière rencontrée.En enregistrant les coordonnées spatiales où les réflexions ont lieu ainsi que l'intensité de cesdernières, on peut reconstruire géométriquement la forme des organes internes :

Cliché d'un foetus de 18 semaines obtenu avec un appareil à ultrasons

3. 5 Effet Doppler et bang supersoniqueLorsqu’une ambulance s’approche ou s’éloigne, on constate que la hauteur du son de la sirènechange, devenant plus aigu lorsque le véhicule s’approche, plus grave lorsqu’il s’éloigne. C'estce que l'on nomme l'effet Doppler. Il se manifeste dès que la source d’une onde et son détecteursont en mouvement relatif. La fréquence perçue f' n'est alors pas la même que la fréquence vraief qui serait perçue si source et détecteur étaient immobiles.Calcul du rapport des fréquences perçue f' et vraie f pour différentes situations :

(a) Source immobile, observateur en mouvement (Fig. 1) : l’observateur s’approchant de lasource à la vitesse v0 traverse davantage de crêtes par unité de temps que s’il était immobile. Enun temps t il parcourt la distance v0t et voit donc v0t/λ crêtes supplémentaires. Cela correspond àune augmentation de fréquence de v0/λ. La fréquence perçue est donnée par :

€

f '= f + Δf = f +v0λ

= f +v0 ⋅ f

v= f (1+

v0v) , d'où

€

f 'f

=v ± v0

v.

On utilise le signe positif si l’observateur s’approche de la source, négatif dans le cas contraire.

(b) Observateur immobile, source en mouvement (Fig. 2) : si la source se déplace à la vitesse vs

l’observateur A (B) voit une longueur d’onde plus petite (grande) que si la source était immobile.Durant une période T, la source parcourt la distance vsT et la longueur d’onde observée par A est

raccourcie (rallongée) d’autant. On peut montrer que l'on obtient

€

f 'f

=v

v m vs.

(signe négatif si la source s’approche de l'observateur, positif dans le cas contraire).


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On en déduit que dans le cas général où observateur et (ou) source sont en mouvement l’un parrapport à l’autre, le rapport des fréquences vaut :

€

f 'f

=v ± v0v m vs

Numérateur : signe positif si l’observateur s’approche de la sourceDénominateur : signe négatif si la source s’approche de l'observateur.

Fig.1 Fig. 2

Exemple 1 : Une ambulance est à l'arrêt, sirène de fréquence 800 Hz enclenchée. Un observateurs'en approche à 120 km/h et perçoit une fréquence f ' calculée en utilisant

€

f 'f

=v + v0

v=342 +120 /3,6

342=1,097 d'où f' = 878 Hz.

Exemple 2 : L'ambulance décrite ci-dessus s'approche d'un observateur à la vitesse de 120 km/h.La fréquence perçue par l'observateur immobile est calculée par

€

f 'f

=v

v - v0=

342342 −120 /3,6

=1,108

d'où f' = 886 Hz. On notera que ce résultat est différent du précédent.

Lorsque la vitesse de la source est supérieure à la vitesse de l'onde dans le milieu (Fig. 3), il y aformation d'un front d'onde de choc, cône de demi-angle au sommet θ avec sinθ = v/vs. Dans lecas d'un avion volant à vitesse supersonique ce cône, appelé cône de Mach, est à l'origine de ladéflagration caractéristique perçue au niveau du sol. Le sillage laissé par un canard nageant à lasurface de l'eau procède du même phénomène, mais dans ce cas l'ouverture du cône estindépendante de la vitesse de la source et vaut toujours 39° !

Fig. 3


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Page à carreauximpaire


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Exercices

Sauf indication contraire, la température ambiante est de 20°C dans les exercices suivants.

1. Un sonar détecte une épave sous-marine. Il s'écoule 1,8 s entre le moment où l'onde estémise par le sonar et le moment où elle revient après réflexion sur l'épave. A quelle distancese trouve l'épave ?

2. Le niveau d'intensité sonore d'un aspirateur est de 70 dB. Quelle est l'intensité de ce son ?

3. Une source d'ondes sonores émet avec une puissance de 80 W. (a) Quelle est l'intensitéperçue à 3 m de la source ? (b) A quelle distance de cette source le niveau sonore vaut-il40 dB ?

4. A une certaine distance d'un haut-parleur vibrant à 1000 Hz, l'intensité d'une onde est de0,06 W/m2. (a) Que vaut cette intensité si on passe à une fréquence de 2500 Hz mais engardant la même amplitude de déplacement ? (b) Calculer l'intensité si on réduit lafréquence à 500 Hz tout en doublant l'amplitude de déplacement.

5. Quelle est l'amplitude de déplacement des molécules d'air lorsqu'un son de 1 kHz produit unniveau sonore de 80 dB ? Quelle est alors l'amplitude de surpression ?

6. A 3 m d'une source, le niveau sonore atteint 120 dB. A quelle distance ce niveau sera-t-il de100 dB ? De 50 dB ? De 10 dB ?

7. Quel est le niveau sonore de 3 cymbales jouant simultanément, si chacune d'entre ellesproduit 78 dB ?

8. Un haut-parleur de puissance électrique 150 W et de rendement acoustique 2%, est placé à20 m des auditeurs. Quel est le niveau d'intensité sonore qu'ils perçoivent ? A quelledistance les auditeurs devraient-ils se trouver pour que le niveau soit de 60 dB ?

9. Le niveau sonore produit par une foule en conversation est de 87 dB. Le niveau sonoremoyen de la conversation d'une personne est d'environ 65 dB. Combien y a-t-il de personnesdans cette foule ? Si 40 personnes s'en vont, que vaut alors le niveau sonore ?

10. On tend une corde en plastique longue de 1,4 m en lui accrochant une masse de 150 g. Lamasse de la corde est de 3,8 g. Calculer les trois premières fréquences de résonance.


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11. La corde de Mi du violon est en acier de diamètre 0,25 mm, de longueur 32,5 cm et elle esttendue avec une force de 70 N. Calculer la fréquence fondamentale de cette corde ainsi queles deux harmoniques suivantes.

12. La corde produisant le La le plus aigu du piano (3520 Hz) est, dans certains modèles depiano, longue de 6,1 cm. Son diamètre valant 0,8 mm, calculer la tension à laquelle la cordeest soumise.

13. Un tuyau ouvert-fermé est long de 12 cm. Calculer les trois premiers modes de résonance.

14. Une corde de harpe produit une fréquence fondamentale de 580 Hz. Quelle serait cettefréquence si (a) on doublait la longueur de la corde, (b) on triplait le diamètre de la corde,(c) on doublait la tension et la longueur de la corde, (d) on prenait une corde de massevolumique deux fois plus petite ?

15. Quelle longueur de tuyau ouvert aux deux extrémités produit, comme note fondamentale, unLa (440 Hz) à 20°C ? Même question pour un tuyau ouvert-fermé.

16. Quelles sont les fréquences des trois premières harmoniques pour chacune des situationsdécrites dans l'exercice précédent ?

17. Expliquer comment on pourrait mesurer la fréquence d'un diapason en l'approchant d'untube ouvert aux deux extrémités que l'on a plongé dans l'eau de manière à limiter lalongueur L de la colonne d'air.

18. Une voiture de police poursuit un chauffard lancé à 30 m/s. La voiture de police se déplaceà 50 m/s et sa sirène émet un son à la fréquence de 1100 Hz. Quelle est la fréquence perçuepar le chauffard ?

19. Une chauve-souris vole à 6 m/s en direction d'un insecte immobile et le détecte en émettantdes ultrasons de fréquence 40,2 kHz. (a) Quelle est la fréquence du signal (réfléchi parl'insecte) que la chauve-souris reçoit ? (b) Quelle est la différence de fréquence entre lesignal émis et le signal reçu ? (c) Quelle est la taille minimale de l'insecte que la chauve-souris peut percevoir ?

20. Principe du radar : montrer que la vitesse v d'une voiture est donnée par

€

v ≅ cf' -f2 f

où f est

la fréquence émise par le radar et f' la fréquence qu'il détecte après réflexion par la voiture.Les ondes radar utilisées sont des ondes électromagnétiques dont la vitesse est trèssupérieure à celle de la voiture.


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