Chapitre 3: Modélisationdes systèmes

3.1 Introduction

Deux approches de la modélisation

Modèle de connaissance– modèle « interne » obtenu à partir des lois de la

physique ou de la chimie– modèle pouvant être complexe et non linéaire

Modèle de conduite ou de comportement– modèle « externe » obtenu expérimentalement– modèle linéaire, valable autour d ’un point de

fonctionnement

Modèle de connaissance

Modèle utilisé pour :

– Simuler une installation avant sa réalisation• dimensionnement des éléments

• choix des points de fonctionnement - optimisation

• mise au point des stratégies de commande

– La formation du personnel

Exemples de simulateurs :– Simulink, ACSL (Advanced Continuous Simulation Language)

3.2 Une approche analogique pour l ’obtention d ’un modèle de

connaissance

Principe

– Les systèmes électriques, mécaniques, thermiques, hydrauliques ont des points communs ; il est donc possible de concevoir des analogies entre eux.

– Chaque type de système peut être caractérisé par :• 2 variables, x et y ; par exemple i et u dans un circuit électrique

• 3 éléments, a1, a2 ou a3 ; par exemple R, L ou C

– Les relations élémentaires sont du type : y = f(x, ai)

Variables et éléments

– Les variables sont :• des variables de flux x :

courant, force, couple, débit volumique, débit de calories

• des variables de potentiel y :

tension, vitesses linéaire et angulaire, température, pression

– Les éléments sont de 2 natures :• dissipateurs d ’énergie : y = a1 x (éléments de type R)

• accumulateurs d ’énergie :

y = a2 dx/dt (éléments de type L)

x = a3 dy/dt (éléments de type C)

Electrique MécaniqueTranslation

MécaniqueRotation

Thermique Hydraulique

Courant Force Couple Débit dechaleur

Débit

Tension Vitesselinéaire

Vitesseangulaire

Température Pression

Inductance Ressort Ressort Inertie

Capacité Masse Inertie Capacité Capacité

Résistance Amortisseur Amortisseur Résistance Résistance

Analogies

Il existe aussi une analogie Tension-Force

Varia

ble

sElé

men

ts

3.3 Les Elements de base

Dissipateurs d ’énergie - 1Electrique : résistance

– u : tension, i :courant– R : résistance

Mécanique (translation) : frottements visqueux– f : force, v : vitesse– b : coef. de frottement

Mécanique (rotation) : frottements visqueux– c : couple, : vitesse– b : coef. de frottement

R

uui

)( 12

Riu2 u1

)( 12 bc

Ex : amortisseur

)( 12 vvbf

Accumulateurs d ’énergie - 1Electrique : inductance

– u : tension, i :courant– L : inductance

Mécanique (translation) : ressort– f : force, v : vitesse, x : position– k : coef. de raideur

Mécanique (rotation) : ressort– c : couple, : vitesse, : position– k : coef. de raideur

u1iu2L

dt

diLuu 12

ou1

12 dt

df

kvv

ou1

12 dt

dc

k

)( 12 xxkf

)( 12 kc

Accumulateurs d ’énergie - 3 u1iu2

C

Electrique : condensateur– u : tension, i :courant– C : capacité

Mécanique (translation) : masse– f : force, v : vitesse– m : masse

Mécanique (rotation) : inertie– c : couple, : vitesse– J : inertie

dt

uudCi

)( 12

dt

dvmf 2

dt

dJc 2

Eléments de couplage

Les éléments précédents peuvent être couplés via des « modulateurs », par ex :– transformateur :

– réducteur :

2211 iuiu

2211 cc C1, 1

C2, 2

3.4 Equations de base

Pour relier ensemble les éléments constituant un système, diverses équations sont utilisées :– Electricité : lois des mailles et des nœuds – Mécanique : lois de Newton :

– Thermique, Hydraulique : équations de conservation de la matière ou de l ’énergie :

2

2

dt

xdmf

2

2

dt

dJc

onaccumulatisortantfluxentrantflux

Exemple d ’un système mécanique• Ressort : raideur = k

• Amortisseur : coefficient de frottement = b

onaccélératimforces

2

2

)()(dt

ydm

dt

dybtyktf

Le poids est pris en compte dans le point de fonctionnement (f0 = mg, y0)

m

f

kb

yy0

kbpmppF

pY

2

1

)(

)(

?)(

)(

pF

pY