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Chapitre 3 : Langages et grammaires

hors-contexte

Prof. Abdelmajid DarghamFaculté des Sciences, Oujda

Filière SMI - S4

Module Théorei des langages & Compilation

Université Mohamed Premier

Septembre, 2012

Sommaire du chapitre 3

Généralités sur les GHC

Propriétés des dérivations

Propriétés des langages hors-contexte

Simplification des grammaires hors-contexte

Lemme de pompage pour langages hors-contexte

Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte


Grammaire hors-contexte

Définition 1.1

Une grammaire hors-contexte est un quadrupletG = (V , T , P , S) où :

V est un ensemble fini, appelé alphabet des variables ounon-terminaux.

T est un ensemble fini, appelé alphabet des terminaux.V et T sont disjoints : V ∩ T = ∅.P ⊆ V × (V ∪ T )∗ est un ensemble fini, appelé ensembledes règles de prodution.

S ∈ V est un symbole variable spécial, appelé axiome.




Définition 1.1



T est un ensemble fini, appelé alphabet des terminaux.V et T sont disjoints : V ∩ T = ∅.

P ⊆ V × (V ∪ T )∗ est un ensemble fini, appelé ensembledes règles de prodution.





Définition 1.1



T est un ensemble fini, appelé alphabet des terminaux.V et T sont disjoints : V ∩ T = ∅.P ⊆ V × (V ∪ T )∗ est un ensemble fini, appelé ensembledes règles de prodution.




Notations 1.2

Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.

X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.



Notations 1.2

Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.

On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.




Notations 1.2

Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).

X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.




Notations 1.2

Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.

X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.




Notations 1.2





Notations 1.2


X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.

Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.



Notations 1.2





Exemples 1.3

Voici un fragment de règles de production qui décriventquelques instructions du langage C :instruction → ε ; | variable = expression;| {liste − instructions}| if (expression) instruction| if (expression) instruction else instruction| for (expression; expression; expression) instruction| while (expression) instruction| do instruction while (expression)



Exemples 1.3

Voici un fragment de règles de production qui décriventquelques instructions du langage C :

instruction → ε ; | variable = expression;| {liste − instructions}| if (expression) instruction| if (expression) instruction else instruction| for (expression; expression; expression) instruction| while (expression) instruction| do instruction while (expression)



Exemples 1.3

Voici un fragment de règles de production qui décriventquelques instructions du langage C :instruction → ε ; | variable = expression;| {liste − instructions}| if (expression) instruction| if (expression) instruction else instruction| for (expression; expression; expression) instruction| while (expression) instruction| do instruction while (expression)



Exemples 1.4

Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c

Ici :

l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .



Exemples 1.4

Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :

E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c

Ici :




Exemples 1.4

Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | T

T → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c

Ici :




Exemples 1.4

Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | F

F → (E ) | a | b | c

Ici :




Exemples 1.4


Ici :




Exemples 1.4


Ici :

l’alphabet des variables est {E , T , F}.

l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .



Exemples 1.4


Ici :

l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.

l’axiome est E .



Exemples 1.4


Ici :




Formes et dérivations

Définition 1.5

Soit G = (V , T , P , S) une grammaire hors-contexte(GHC ).

On appelle forme, un mot w sur l’alphabet V ∪ T,c’est-à-dire w ∈ (V ∪ T )∗.On dit qu’une forme v dérive directement ou dériveen une seule étape d’une forme u, et l’on écrit u ⇒ v,s’il existe deux factorisations u = xXy et v = xαy , avecX → α une production de G.




Définition 1.5


On appelle forme, un mot w sur l’alphabet V ∪ T,c’est-à-dire w ∈ (V ∪ T )∗.

On dit qu’une forme v dérive directement ou dériveen une seule étape d’une forme u, et l’on écrit u ⇒ v,s’il existe deux factorisations u = xXy et v = xαy , avecX → α une production de G.




Définition 1.5


On appelle forme, un mot w sur l’alphabet V ∪ T,c’est-à-dire w ∈ (V ∪ T )∗.On dit qu’une forme v dérive directement ou dériveen une seule étape d’une forme u, et l’on écrit u ⇒ v,s’il existe deux factorisations u = xXy et v = xαy, avecX → α une production de G.




Définition 1.6

Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.

On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v, s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :

1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.

Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v .Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.




Définition 1.6


On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v , s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :

1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.





Définition 1.6



1 u0 = u.

2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.





Définition 1.6



1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.

3 uk = v.





Définition 1.6



1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.





Définition 1.6



1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.

Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v.

Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.




Définition 1.6



1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.

Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v.Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.



Exemples 1.7

Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :

1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).

Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Exemples 1.7


1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).

2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).

Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Exemples 1.7


1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).

3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).

Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Exemples 1.7


1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).

4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).

Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Exemples 1.7


1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).

5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).

Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Exemples 1.7


1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).

6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).

Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Exemples 1.7


1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).

7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).

Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Exemples 1.7


1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).

8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Exemples 1.7


1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).

Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.



Langage engendré par une GHC

Définition 1.8

Soit G = (V , T , P , S) une GHC.

Le langage engendré par G est formé par tous les motsde T ∗ (mots terminaux) qui dérivent de l’axiome S de G.

La langage engendré par G se note par L(G ).

Formellement : L(G ) = {w ∈ T ∗ | S ⇒∗ w}.



Exemples 1.9

1 Soit G1 définie par : S → ε | a.Alors, L(G1) = {ε, a}.

2 Soit G2 définie par : S → a | aSa.Alors, L(G2) = {a2n+1|n ≥ 0} = a(a2)∗.

3 Soit G3 définie par : S → ε | aSb.Alors, L(G3) = {anbn|n ≥ 0}.



Arbre de dérivation

Définition 1.10


Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :

1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les

nœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.




Définition 1.10


Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.

Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :






Définition 1.10








Définition 1.10



1 La racine de D est le nœud X .

2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les





Définition 1.10



1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.

3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les





Définition 1.10



1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.

4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont lesnœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.




Définition 1.10








Définition 1.11

L’arbre D s’appelle un arbre de dérivation de u à partirde X .

Si X = S (l’axiome de G ) et si u ∈ T ∗ (un mot terminal),on dit que D est un arbre de dérivation total.

Sinon, l’arbre D est dit arbre de dérivation partiel.




Exemples 1.12

Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :

E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )




Exemples 1.12

Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.

Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :

E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )




Exemples 1.12


E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )




Exemples 1.12


E ⇒ ( E )

( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )




Exemples 1.12


E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )

( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )




Exemples 1.12


E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )

( a + E ) ⇒ ( a + b )




Exemples 1.12


E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )




Exemples 1.13

Figure: Un arbre de dérivation total pour le mot (a + b)



Grammaire ambiguë

Définition 1.14

Une grammaire G est dite ambiguë, si il existe au moinsun mot w terminal (w ∈ T ∗) ayant au moins deux arbresde dérivation distincts.

Exemples 1.15

La grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c est ambiguë.En effet, le mot w = a ∗ b + c possède deux arbres dedérivation distincts.



Grammaire ambiguë

Définition 1.14


Exemples 1.15

La grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c est ambiguë.

En effet, le mot w = a ∗ b + c possède deux arbres dedérivation distincts.



Grammaire ambiguë

Définition 1.14


Exemples 1.15

La grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c est ambiguë.En effet, le mot w = a ∗ b + c possède deux arbres dedérivation distincts.



Grammaire ambiguë

Figure: Deux arbres différents pour un même mot



Dérivation gauche, dérivation droite

Définition 1.16

Soit G une GHC et u0, ..., uk une dérivation de u en v(u = u0, v = uk).

La dérivation est dite gauche si, à chaque étape de ladérivation, c’est la variable la plus à gauche qui estdérivée.

De même, la dérivation est dite droite si, à chaque étapede la dérivation, c’est la variable la plus à droite qui estdérivée.




Exemples 1.17

Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :

1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.17

Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.

Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.17






Exemples 1.17


1 E ⇒ E + E;

2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.17


1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;

3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.17


1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;

4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.17


1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;

5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.17






Exemples 1.18

Pour la même grammaire, une dérivation droite du mota ∗ b + c est la suivante :

1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.18


1 E ⇒ E + E;

2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.18


1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;

3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.18


1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;

4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.18


1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;

5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;




Exemples 1.18


1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;



Proposition 1.19

Il y a bijection entre les dérivations gauches d’un mot w àpartir de l’axiome S et les arbres de dérivation total pour lemot w.



Preuve

Soit D un arbre de dérivation total pour w .

On obtient une dérivation gauche en appliquant les règlesdans un parcours en profondeur gauche de l’arbre D.

Réciproquement, étant donné une dérivation gauche dumot w à partir de l’axiome S , on obtient facilement unarbre de dérivation total correspondant à cette dérivationgauche.



Corollaire 1.20

G étant une GHC, pour tout mot terminal w ∈ L(G ), il y aautant de dérivations gauches que de dérivations droites.

Corollaire 1.21

Un mot terminal w est généré par une grammaire G(w ∈ L(G )), si et seulement si, il y au moins un arbre dedérivation total gauche (ou droite) pour w.



Notations 1.22

Soient G = (V , T , P , S) une GHC, α une forme sur G etX un symbole variable de G. On pose :

LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.

Corollaire 1.23

L(G ) = LG (S).

LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.



Notations 1.22


LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.

LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.

Corollaire 1.23

L(G ) = LG (S).

LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.



Notations 1.22


LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.

Corollaire 1.23

L(G ) = LG (S).

LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.



Lemme 1.24

Pour toutes formes α et β d’une GHC G, si α ⇒ β, alorsLG (β) ⊆ LG (α).

Lemme 1.25

Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.

Alors LG (α) = LG (β1) ∪ ... ∪ LG (βn).



Lemme 1.24


Lemme 1.25

Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).

Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.




Lemme 1.24


Lemme 1.25

Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.




Lemme de Levy

Lemme 1.26

Soient u, v , x et y quatre mots sur un alphabet A.

Alors uv = xy , si et seulement si, il existe un mot t de A∗

tel que :

soit u = xt et y = tv .soit x = ut et v = ty .



Lemme de Levy

Lemme 1.26


Alors uv = xy, si et seulement si, il existe un mot t de A∗

tel que :




Lemme de Levy

Lemme 1.26



tel que :

soit u = xt et y = tv .

soit x = ut et v = ty .



Lemme de Levy

Lemme 1.26



tel que :




Preuve du lemme de Levy

Il y a trois cas possibles :

1 |u| = |x |, et alors |v | = |y |. Donc, u = x et y = v(t = ε).

2 |u| < |x |. Alors, u est un préfixe (propre) de x . Donc, ilexiste un mot t tel que x = ut, etxy = uv = uty ⇒ v = ty .

3 |u| > |x |. Alors, x est un préfixe (propre) de u. Donc, ilexiste un mot t tel que u = xt, etuv = xy = xtv ⇒ y = tv .



Lemme 1.27


Soient u, v et w des formes sur G .

Alors uv ⇒ w, si et seulement si, il existe deux formesu′, v ′ telles que w = u′v ′ avec :

soit u ⇒ u′ et v = v ′.soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .



Lemme 1.27




soit u ⇒ u′ et v = v ′.

soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .



Lemme 1.27




soit u ⇒ u′ et v = v ′.soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .



Preuve du lemme

La condition est suffisante : supposons que w = u′v ′ etu ⇒ u′ et v = v ′ (l’autre cas se traite de la même façon),alors uv ⇒ u′v = u′v ′ = w .Réciproquement, si uv ⇒ w , alors il existe unedécomposition uv = xXy et une production X → α telleque w = xαy . Il y a deux cas possibles :

1 soit xX est préfixe de u. Donc, il existe un mot t tel queu = xXt et tv = y . Posons u′ = xαt et v ′ = v . On abien u ⇒ u′ et w = u′v ′.

2 soit Xy est suffixe de v . Donc, il existe un mot t tel quev = tXy et ut = x . Posons u′ = u et v ′ = tαy . On abien v ⇒ v ′ et w = u′v ′.



Preuve du lemme

La condition est suffisante : supposons que w = u′v ′ etu ⇒ u′ et v = v ′ (l’autre cas se traite de la même façon),alors uv ⇒ u′v = u′v ′ = w .

Réciproquement, si uv ⇒ w , alors il existe unedécomposition uv = xXy et une production X → α telleque w = xαy . Il y a deux cas possibles :





Preuve du lemme

La condition est suffisante : supposons que w = u′v ′ etu ⇒ u′ et v = v ′ (l’autre cas se traite de la même façon),alors uv ⇒ u′v = u′v ′ = w .Réciproquement, si uv ⇒ w , alors il existe unedécomposition uv = xXy et une production X → α telleque w = xαy . Il y a deux cas possibles :





Lemme 1.28


Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .

Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :

k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.



Lemme 1.28



Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.

Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :

k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.



Lemme 1.28




k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.



Lemme 1.28




k = k1 + k2.

u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.



Lemme 1.28




k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.

v ⇒k2 v ′.



Lemme 1.28




k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.



Définition 1.29

Un langage L est dit hors-contexte, s’il est engendré parune GHC.

Formellement, un langage L est hors-contexte, si etseulement, il existe une GHC G telle queL = L(G ) = LS(G ).



Theorem 1.30

La classe des langages hors-contexte est close paropérations régulières, c’est-à-dire par :

1 union.2 concaténation.3 étoile.

La classe des langages hors-contexte est close par miroir.



Theorem 1.30


1 union.

2 concaténation.3 étoile.




Theorem 1.30


1 union.2 concaténation.

3 étoile.




Theorem 1.30


1 union.2 concaténation.3 étoile.




Preuve de la clôture par union

Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .

Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.

Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :

S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}

On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.







S : un nouveau symbole, l’axiome.

V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}

On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.







S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}

P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.







S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}

On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.



Preuve de la clôture par concaténation


Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer qu

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