chapitre 3 entraînement avec machine synchrone...

HEIG-Vd Entraînements réglés (MET2)

Chapitre 3

Entraînement avec machine

synchrone auto-commutée

3.1 Introduction et buts du chapitre

Dans le domaine des servo-entraînements, pour une gamme de puissance al-lant de quelques centaines de watts à quelques dizaines de kilowatts, le moteursynchrone auto-commuté est de plus en plus utilisé en remplacement du moteurDC à collecteur et, selon les prévisions son marché va continuer à s'étendre consi-dérablement d'ici à l'an 2004. Comme servo-entraînement, le moteur synchroneest à excitation constante par aimants permanents en terres rares, comme leSamarium-Cobalt (disponible dès 1970) ou le Néodyme-Fer-Bore (dès 1980), voireen ferrite pour des moteurs moins performants mais plus économiques.

Incontestablement, il s'agit d'un entraînement hautes performances qui béné-cie d'un avantage déterminant par rapport au moteur DC : l'absence de collecteur,puisqu'hormis les roulements, il n'y aucun contact mécanique entre la partie xe(le stator) et la partie mobile (le rotor).

L'objectif de ce chapitre est de donner un aperçu des techniques de pilo-tage de la machine synchrone auto-commutée en vue de son utilisation dans ledomaine des entraînements à vitesse variable. La structure est calquée sur le cha-pitre consacré à la machine DC à collecteur : après une première mise au pointimportante concernant le fonctionnement et les diérences entre les machinesDC brushless ("moteur à courant continu sans collecteur", 3.3.2 page 137) etAC brushless ("machine synchrone auto-commutée", 3.4 page 149), le modèlemathématique de cette dernière sera établi ( 3.5 page 153). L'alimentation parconvertisseur de fréquence sera ensuite étudiée et un modèle dynamique devraen être obtenu avant de pouvoir aborder la commande en couple/courant de lamachine ( 3.6 page 169). Une première réalisation consistera à mettre en oeuvreun régulateur de courant par phase (commande scalaire) et les limites de cettecommande seront mises en évidence ( 3.7 page 186). Finalement, une stratégie

Chapitre 3, v.1.5 131 MEE \cours_er.tex\11 octobre 2006

http://www.heig-vd.ch

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//iai/competences_iai/latex/competences_iai_MEE.pdf


T e mT e m c

A s s e r v i s s e m e n td e c o u p l e

C h a r g em é c a n i q u e

C a p t e u r d ev i t e s s e

R é g u l a t e u rd e v i t e s s e

S-

c o n s i g n ed e v i t e s s e

m e s u r ed e v i t e s s e

v i t e s s e

M o d è l e s d el ' a l i m e n t a t i o ne t d u m o t e u r

M o d è l e s d um o t e u r e t d e

l a c h a r g em é c a n i q u e

f _ 0 3 a _ 0 1 _ 1 . e p s

Fig. 3.1 Schéma de principe de l'asservissement en vitesse et couple d'un servo-entraînement électrique (chier source).

de pilotage plus évoluée appelée commande vectorielle sera présentée, ce quinécessitera l'acquisition d'un certain bagage théorique sur les phaseurs complexes( 3.8 page 208). L'ajustage du régulateur de vitesse ou de position pourra alorsse faire de la même manière que pour la machine DC, raison pour laquelle cepoint n'est pas traité dans le présent chapitre.

La gure 3.1 montre la structure générale de l'asservissement de vitesse, detype cascade. Elle est strictement identique à celle de la machine DC à collecteur.Le détail de l'asservissement de couple/courant apparaît à la gure 3.2 pagesuivante.

Comme pour les autres chapitres de ce cours d'entraînements réglés, les ré-férences bibliographiques sont volontairement détaillées et renvoient à la listed'ouvrages et d'articles donnée à la n du polycopié.

3.2 Principe de fonctionnement de la machine syn-

chrone

3.2.1 Généralités

Le fonctionnement de la machine synchrone à aimants permanents est beau-coup plus simple à comprendre que celui du moteur DC : le stator, muni d'unenroulement polyphasé, triphasé dans la plupart des cas, est alimenté par un

système de tensions et courants créant dans l'entrefer un champ d'induction−→Bri

tournant (gure 3.3 page 134).

Le champ−→Bri a tendance à attirer le rotor, lequel est muni d'aimants per-

manents produisant le champ−→Ba. De ce fait, les champs d'induction créés par le

stator et rotor ont tendance à s'aligner, raison pour laquelle un couple d'origineélectromagnétique prend naissance.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03a_01_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures///f_03a.dsf



u sc

Log

ique

de

com

man

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s de

cour

ant

Rég

ulat

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Cou

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tion

Mod

èles

du

mot

eur

et d

ela

cha

rge

méc

aniq

ue

f_03

a_01

_2.e

ps

Fig. 3.2 Détail de l'asservissement de couple/courant : le régulateur élaboreune commande u(t) prenant la forme de la tension qu'il juge bon d'appliqueraux bornes des phases du moteur an d'annuler l'erreur en courant mesurée(chier source).







1

1 '

2

3

2'3'

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

B a

B r i

NS

w

f _ 0 3 a _ 0 2 . e p s

Fig. 3.3 Illustration du principe de fonctionnement d'une machine synchroneà aimants permanents (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03a_02.pdf




La gure 3.3 page précédente représente schématiquement une machine syn-chrone à aimants permanents en exécution triphasée, possédant une seule pairede pôles (p = 1). Les fabricants de tels entraînements les développent en généralavec 2 à 4 paires de pôles, l'un des critères de design étant la vitesse nominaledu moteur. Bien entendu, les bobinages des phases sont en réalité répartis surtoute la périphérie de l'alésage et ne sont donc pas concentrés en une seule en-coche comme la gure pourrait le laisser croire. Les sens des courants indiquésdénissent le sens qui sera conventionnellement pris comme positif.

Comparativement à la machine DC, on voit que c'est le rotor qui joue le rôled'inducteur (excitation), l'induit étant alors au stator. Le rotor se met à tournerà une vitesse angulaire ω correspondant (au nombre p de paires de pôles près) à lapulsation ωs de l'alimentation triphasée, ce qui justie la désignation de moteursynchrone. Dans le cas triphasé, les axes magnétiques des trois enroulementsdes phases statoriques sont décalés d'un angle électrique 2·π

3. Lorsque le moteur

est à une seule paire de pôles (p = 1), les décalages électrique et mécaniquecorrespondent.

3.2.2 Démarrage

Le démarrage de la machine synchrone est problématique si l'on ne disposepas d'une alimentation à fréquence variable. En eet, si par exemple la fréquencede l'alimentation fs = ωs

2·π fait un saut brusque de 0 à 50 [Hz], comme par exemplelors d'un enclenchement (exemple à ne pas suivre !) sur le réseau, le moteur neparvient pas à démarrer et décroche, son inertie et celle de sa charge l'empêchantd'atteindre assez rapidement la vitesse de synchronisme. Il est donc nécessairede prévoir des dispositifs particuliers pour le démarrage, le plus répandu dansle domaine des servo-entraînements étant le convertisseur de fréquence ouonduleur triphasé, alimentation semblable au variateur de courant continu maispermettant de créer un système de tensions et courants triphasés d'amplitudesUs, Is et de fréquence fs variables ( 3.6 page 169).

3.2.3 Les aimants permanents ([10], chap.16 et chap.4, 4.2,[11], Synchronous Motor Design, [1], 3.3.1)

Matériaux

Notons tout d'abord que c'est bel et bien le champ d'induction−→Ba créé par

les aimants du rotor qui est de loin le plus élevé, alors qu'il est en fait souhaitableque celui résultant de l'alimentation des enroulements statoriques soit faible (pro-blème de la réaction d'induit). En fait, c'est plutôt le rotor qui attire le stator.Ce dernier, xé au bâti ne peut bien sûr pas se mettre en mouvement et c'est lerotor, monté sur paliers, qui se met à tourner.





Les matériaux principaux pour les aimants permanents sont obtenus par frit-tage (métallurgie des poudres). On a notamment :

la ferrite, dont le champ rémanent Br est de 0.25 à 0.4 [T ]. Ce matériau estéconomique mais son usinage est dicile ;

le Samarium Cobalt (SmCo), pour lequel Br vaut de 0.9 à 1.15 [T ] et lechamp coercitif peut atteindre des valeurs Hc = 7000

[Acm

]. Il s'agit d'un

matériau stable thermiquement mais relativement coûteux ; le Neodyme Fer Bore (NeFeB), avec Br = 0.8 . . . 1.25 [T ], légèrement pluséconomique que le SmCo. Il est cependant sensible à la corrosion et relati-vement peu stable en fonction de la température.

Disposition des aimants

Selon la manière dont les aimants sont magnétisés, on distingue plusieurscongurations. On ne cite ici que les magnétisations radiale et parallèle, pourlesquelles les aimants sont disposés à la périphérie du rotor et créent un champd'induction Ba constant dans l'entrefer. Le problème est alors la tenue à hautevitesse de leur xation, faite par collage, raison pour laquelle le rotor est chemisé.

Magnétisation radiale Magnétisation parallèle

1

1 '

2

3

2'3' NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

axe

mag

néti

que

du r

otor

f _ 0 3 a _ 0 4 . e p s

1

1 '

2

3

2'3' NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

axe

mag

néti

que

du r

otor

f _ 0 3 a _ 0 5 . e p s

On trouve d'autres types de magnétisations, comme les magnétisations tangen-tielle et radiale-tangentielle.







3.3 Mise au point sur la terminologie : moteurs

DC brushless et AC brushless ([10], 1.1, [1],

13.6.2)

3.3.1 Introduction

Il existe dans la pratique une grande confusion concernant la terminologie,les appellations diérant notablement selon le continent ou le pays, mais aussiet surtout selon l'interlocuteur ! D'une manière générale, les machines synchronessans balais, mises en oeuvre comme servo-entraînements, sont qualiées d'auto-synchrones, car leur alimentation électronique est commutée automatiquement(mais pas naturellement) en fonction de la position du champ d'induction créépar l'aimant. On distingue deux familles de moteurs auto-synchrones :

les moteurs à courant continu sans collecteur ou "DC brushless" ; les moteurs synchrones auto-commutés ou "AC brushless".

Le but de ce paragraphe est de présenter les diérences qualitatives entre lesdeux types d'entraînements. Tous les aspects du moteur à courant continu sanscollecteur, de son fonctionnement jusqu'à sa commande, sont abordés de ma-nière descriptive. Une étude détaillée de la machine synchrone auto-commutée(AC-brushless) constitue l'essentiel de ce chapitre et débute au paragraphe 3.5page 153.

3.3.2 Moteur à courant continu sans collecteur ([9], chap.5)

Généralités

Le moteur à courant continu sans collecteur, ou "DC brushless", que l'onappelle aussi parfois ECM ("Electronically Commutated Motor"), est la copiequasi conforme du moteur DC à collecteur, à la diérence près que la fonction decommutation, réalisée mécaniquement par le collecteur dans le cas de la machineDC, est eectuée électroniquement, sans qu'aucun contact mécanique entre statoret rotor ne soit nécessaire.

Les courants sont continus (en régime permanent constant, i.e. lorsque lecouple produit est constant) et dirigés vers l'une ou l'autre des phases selon laposition angulaire du ux d'excitation Φa créé par l'aimant. Ce dernier est détectépar un capteur de position très simple, constitué de trois sondes de Hall disposéesdans l'alésage du stator et espacées de 60 ou 120 []. Si la commutation fonctionneà satisfaction, un couple rigoureusement constant peut alors être produit avecl'avantage que la commande de la machine reste très simple et peu onéreuse.





- p/ 6 < q<

+ p/6

+ p / 6 < q < + p / 2+ p / 2 < q < + 5 p / 6

+5p

/6<

q <+

7p/ 6

+7p/6<q<+p +p<q<11p/6

NSNS

q(t)ax

e ph

ase

1

axe phase 2

a x e p h a s e 3

3

2'

1

3'

2

1 '

ua -+

ia

a x e i n d u c t e u r

F

ia l

Bf

-F

ia -l

Bf

f_03a_13.eps

Fig. 3.4 Vue simpliée d'un moteur DC à collecteur. L'angle θ(t) repère l'axemagnétique de la phase 1 par rapport à l'axe magnétique de l'enroulement induc-teur. Pour que la machine produise du couple, il faut que les conducteurs situésde part et d'autre de l'axe interpolaire soient alimentés (chier source).







Bref retour à la machine DC à collecteur : le rôle du collecteur dansla commutation

An de comprendre le fonctionnement du moteur à courant continu sans col-lecteur, il vaut la peine de revenir sur celui du moteur DC à collecteur, en consi-dérant le cas d'une machine à trois enroulements, i.e. trois phases, dont les axesmagnétiques sont décalés de 120 [] (gure 3.4 page ci-contre). Par ailleurs, les en-roulements sont connectés en étoile et ont de ce fait une borne commune, laquelleest ottante (gure 3.6 page 141). Les lamelles du collecteur forment chacune unarc de 120 [] (pour p = 1). L'excitation de la machine est constante et réaliséepar deux aimants logés dans l'alésage statorique.

Pour la gure 3.4 page ci-contre, on part du principe que les courants ia1, ia2

et ia3 des trois phases sont comptés positivement lorsqu'ils sortent du conducteur1, 2 ou 3 et rentrent dans le conducteur 1', 2' et 3' respectivement.

"Sortir" signie "sortir du plan de la feuille" :

"Rentrer" signie "rentrer dans plan de la feuille" :

En fonction de la position angulaire θ du rotor, i.e. de l'induit, mesurée parrapport à l'axe magnétique du stator, i.e. de l'inducteur, les courants dans lestrois phases 1, 2 et 3 produisant un couple positif sont donnés sur la gure 3.5page suivante.

On voit qu'avec le type de commutation choisi, seules deux des trois phasesconduisent en même temps le courant fourni par l'alimentation et produisent ducouple. Le couple résultant Tem est formé de la somme des trois contributionsTem1, Tem2 et Tem3 et l'on observe qu'il est constant, tout au moins dans le casidéal présenté.

La commutation des phases est réalisée ici automatiquement par un organemécanique solidaire du rotor, le collecteur. Le contact électrique est maintenupar les balais, dont l'inconvénient n'est plus à démontrer. Tout l'art du collecteurconsiste donc à alimenter les bonnes phases (ici deux sur trois) au bon moment, en

fonction de la position du rotor par rapport au champ d'induction−→Ba (constant

en amplitude, direction et sens) produit par l'excitation. Chacune des phasesconduit pendant 120 []. Grâce au collecteur, deux des trois conducteurs situéspar exemple du même côté de l'axe interpolaire du stator (i.e. l'axe horizontalpassant par le centre de rotation) sont toujours parcourus par un même courant etle couple produit agit donc dans le même sens. Au fur et à mesure de la rotation,le collecteur commute successivement les bonnes phases, assurant ainsi un coupleconstant et unidirectionnel. De ce point de vue, le moteur DC est indéniablementune machine quasi-idéale !







q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

T e m 1

T e m 2

T e m 3

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

T e m = S T e m i

i a 2

i a 1

i a 3

f _ 0 3 a _ 0 6 . e p s

+ p / 6 < q < + p / 2 + p / 2 < q < + 5 p / 6 + 5 p / 6 < q < + 7 p / 6 + 7 p / 6 < q < + 3 p / 2 + 3 p / 2 < q < + 1 1 p / 6 - p / 6 < q < + p / 6- p / 6 < q < + p / 6

Fig. 3.5 Allures des courants dans les trois enroulements de l'induit et descouples correspondants, en fonction de l'angle θ(t), i.e. l'angle entre les axesmagnétiques de l'inducteur et de l'enroulement 1 (chier source).







Zph1

Z p h 2

Zph3

f _ 0 3 a _ 1 2 . e p s

u 1 0

u 2 0

u 3 0

u 1

u 2

u 3

Fig. 3.6 Système triphasé à neutre ottant (chier source).

3.3.3 Structure du moteur à courant continu sans collec-teur

De façon à pallier aux inconvénients de la commutation mécanique, il faut dansla mesure du possible supprimer le collecteur et essayer de reproduire électroni-quement la fonction qu'il réalise. Dans ce but, la commutation va être eectuéede manière électronique et les adaptations de principe suivantes sont eectuées(gure 3.7 page suivante) :

l'excitation, réalisée jusqu'ici au niveau du stator par l'aimant, voire unenroulement, est maintenant créée par le rotor, i.e. la partie tournante dela machine (on considère ici le cas le plus fréquent d'un moteur à rotor inté-rieur), que l'on munit d'aimants permanents. Le rotor joue donc maintenantle rôle d'inducteur sans qu'il soit toutefois nécessaire de lui transmettre del'énergie par le biais d'un contact mécanique ;

les trois enroulements du rotor, toujours couplés en étoile, sont logés dansles encoches du stator, lequel fait désormais oce d'induit ;

le collecteur est supprimé ; trois sondes à eet Hall S1, S2 et S3 sont utilisées pour détecter le champ

d'induction−→Ba produit par l'aimant (en fait, seule la polarité de

−→Ba est

d'importance) et pour ainsi mesurer grossièrement la position du rotor. Ellessont solidaires du stator, logées directement dans celui-ci ou sur une piècexée au stator. Comme indiqué précédemment, elles sont espacées de 60 [](gure page précédente), voire 120 []. C'est sur la base de l'informationqu'elles délivrent que les phases seront commutées ;







S2

S3

S1

1 1'

2 '

3'

2

3

N S

N Saxe magnétique

du rotor

axe

phas

e 1

axe phase 2

a x e p h a s e 3

q(t)

-F (réa

ctio

nsu

r ro

tor)

i s1 l

Ba

i s1 -

l

Ba

F

(sur

enr

oule

men

t)

-F

(sur

enr

oule

men

t)

F (réa

ctio

nsu

r ro

tor)

f_03

a_08

.eps

Fig. 3.7 Structure du moteur à courant continu sans collecteur : les enroule-ments des trois phases sont logés dans le stator (induit), et la position de l'aimant(inducteur) est détectée par les trois sondes de Hall S1, S2 et S3 (chier source).







S 1

S3

S 2

f _ 0 3 a _ 1 0 _ 2 . e p s

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

S 1

S 2

S 3

f _ 0 3 a _ 1 0 _ 1 . e p s

l'alimentation par variateur de courant continu, i.e. pont en H, est rempla-cée par une électronique de commutation semblable, avec cependant unebranche de plus (gures 3.8 page suivante et 3.9 page 145). La tension Ue

du circuit intermédiaire est donc également continue. On a alors aaire à unonduleur triphasé, dispositif qui permettra de créer un système de courantset de tensions triphasés de fréquence variable. Les potentiels appliqués auxbornes de chaque phase sont donc commutables à volonté entre +Ue et −Ue,voire 0 [V]. Notons que c'est pour les mêmes raisons que celles évoquées lorsde la présentation du variateur de courant continu que l'alimentation choi-sie fonctionne en mode de commutation, ce dernier permettant de limiterles pertes thermiques dans l'étage de puissance.

Sous la forme de six transitions par tour, les signaux S1, S2 et S3 issus dessondes de Hall fournissent l'information minimale sur la position de l'aimant,laquelle est nécessaire à la commutation au temps opportun (lire "à la positionopportune") des trois phases (gure 3.10 page 146).

Détectant ainsi la polarité du champ d'excitation−→Ba , deux des trois phases

sont successivement enclenchées, une logique de traitement des signaux S1, S2 etS3 fournissant les commandes individuelles des trois branches de l'onduleur.

Bien qu'il existe plusieurs stratégies possibles, la séquence d'enclenchementdes phases est toujours telle que seules deux d'entre-elles conduisent simultané-ment, mises en série par une commande ad hoc des voies l'étage de puissance.Elles se voient donc parcourues par le même courant, lequel rentre par une phaseet sort par l'autre. La troisième phase est laissée en l'air et le courant la traver-sant est ainsi nul. Sur la gure 3.10, chacune des phases conduit pendant 120 []électriques. Il est également possible de porter cet angle à 180 [].







D 1T 1

D 2T 2

D 1 'T 1 '

D 2 'T 2 '

D 3T 3

D 3 'T 3 '

U e

f _ 0 3 a _ 1 1 . e p s

u 3 0

u 2 0

u 1 0

Fig. 3.8 Alimentation triphasée, constituée de trois demi-ponts (chier source).

3.3.4 Contrôle du couple

Les valeurs moyennes des courants dans les trois phases, et par conséquentcelle du couple, sont modiées en hâchant la tension du circuit intermédiaire detension continue Ue, l'action s'eectuant sur la branche correspondante. Par cemoyen, on peut imposer aux bornes de chaque phase la tension moyenne néces-saire à l'établissement ou au maintien du courant souhaité, celui demandé parexemple par un régulateur de courant. De façon identique à ce qui a été vu avecle variateur de courant continu (chap.2), le rapport cyclique te

Tpdu signal logique

d (voir gure 3.9 page ci-contre) est représentatif de la tension moyenne à appli-quer aux bornes de chaque phase. Sa combinaison avec ceux des sondes de Hallpermet de générer les signaux de commande c1, c1', c2, c2', c3 et c3' des six voiesde l'étage de puissance.

3.3.5 Distributions magnétiques du bobinage statorique etde l'aimant permanent

Les axes magnétiques des trois phases sont décalés de 120 []. Chaque demi-enroulement est réparti uniformément sur approximativement 180 [] à la péri-phérie intérieure de l'alésage statorique.







Z p h 1

Zph

2

Zph3

D1

T1

D2

T2

D1'

T1'

D2'

T2'

c1 c1'

c2 c2'

logiquede

commande

D3

T3

D3'

T3'

c3 c3'

d

S1

S3

S2

S3

S1

S2

c1 c1'

c2 c2'

logiquede

commandec3 c3

'

f_03

d_01

.eps

Fig. 3.9 Alimentation triphasée, logique de commande, enroulements(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03d_01.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures///f_03d.dsf



q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

T e m 2

T e m 3

T e m 1

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

T e m = S T e m i

i a 1

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

S 1

S 2

S 3

i a 3

i a 2

f _ 0 3 a _ 0 9 . e p s

e m 1

Fig. 3.10 Commutation des trois phases en fonction des informations donnéespar les sondes de Hall (chier source).







Phase 1 Phase 2 Phase 3

1 '

1

2

3

2'3'

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

f _ 0 3 b _ 0 1 . e p s

1 '

1

2

3

2'3'

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

f _ 0 3 b _ 0 3 . e p s

1 '

1

2

3'

2'3

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

f _ 0 3 b _ 0 3 . e p s

La distribution spatiale du bobinage statorique est donc de type rectangulaire,quoiqu'en réalité plutôt trapézoïdal.

La distribution du champ d'induction−→Ba produit par l'aimant se doit dans

le cas idéal d'être rectangulaire ou trapézoïdale, de façon à assurer une FEM(tension induite de mouvement) de même forme que celle produite par un moteurDC à collecteur et éviter des ondulations de couple. Ceci peut théoriquements'eectuer en disposant les aimants de manière particulière ou en les magnétisantdirectement avec la distribution requise. En pratique toutefois, la forme de laFEM générée a plutôt l'allure d'une sinusoïde (gure 3.10 page précédente).

3.3.6 Conclusion sur la machine DC brushless

Comme on peut s'y attendre, les équations décrivant ce type de moteur sonttrès simples, identiques à celles de la machine DC. De ce fait, la commandede ce genre de moteur est relativement simple, sans posséder l'inconvénient ducollecteur.

Bien que ce type d'entraînement soit théoriquement très performant notam-ment en terme de couple volumique, des problèmes liés à la commutation précisedes phases (tous les 120 []) peuvent intervenir et rendent dicile le maintiendu couple à une valeur rigoureusement constante ([1], 13.6.5-13.6.8). En eet,une commutation idéale impliquerait un temps d'établissement, respectivementd'extinction, inniment court du courant (cf problème de la coupure d'un cou-rant continu !). Au vu de la nature inductive des bobinages et par le fait que laconnaissance exacte de la voie qui conduit lors de la commutation est dicile,il se peut que pendant cette phase critique, les trois bobinages statoriques soitalimentés simultanément, ce qui se traduit par des variations du couple produit.

A partir de puissances de l'ordre de 400 [W], on préfère le moteur AC bru-shless au DC brushless. La suite de ce chapitre est justement consacrée aux en-traînements de type "AC brushless". Néanmoins, ces derniers nécessitant pourleur commutation un capteur de position angulaire de résolution élevée, le surcoûtcorrespondant peut s'avérer prohibitif pour les entraînements de petite puissance,ce qui rend la solution "DC brushless" plus attractive.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03b_01.pdf





Fig. 3.11 Moteur DC brushless de la rme Maxon.

Fig. 3.12 Moteur DC brushless de la rme Minimotor.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/DC.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/brushless_dc_servomotor.pdf



1

1 '2'3'

2 3

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

q

f _ 0 3 c _ 0 1 . e p s

Fig. 3.13 Répartition sinusoïdale des enroulements d'une machine AC brushless(chier source).

Les gures 3.11 page ci-contre et 3.12 page précédente représentent des mo-teurs DC brushless des rmes Maxon et Minimotor.

3.4 Moteur synchrone auto-commuté ([9], chap.5,

[10], chap.6)

On donne ici un aperçu de la machine synchrone auto-commutée dans lebut de la comparer avec le moteur à courant continu sans collecteur présentéau paragraphe précédent. Comme déjà indiqué, son étude détaillée constitueral'essentiel de la n du chapitre.

Pour unmoteur synchrone auto-commuté, ou "AC-brushless", les distributionsdes champs d'inductions produits par l'induit et l'inducteur sont (idéalement)sinusoïdales, ce que l'on peut faire en réalisant un bobinage statorique réparti eten distribuant ou magnétisant les aimants sur le rotor de façon à ce que le champ

d'excitation−→Ba soit pratiquement sinusoïdal (gure 3.13).



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Enroulement 1 Enroulement 2 Enroulement 3

1

1 '

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

f _ 0 3 c _ 0 5 . e p s

2'

2

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

f _ 0 3 c _ 0 6 . e p s

3'

3

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3 f _ 0 3 c _ 0 7 . e p s

De plus, la commande doit être telle que la répartition des courants statoriquessoit sinusoïdale, ce qui implique qu'en tout temps les courants de phases aientpour expressions

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.1)

is2(t) = Is(t) · cos

(θs(t)−

2 · π3

)(3.2)


(θs(t)−

4 · π3

)(3.3)

où l'amplitude instantanée Is(t) est variable dans le temps tout autant que lapulsation électrique statorique instantanée ωs(t) et par suite l'angle électriqueθs(t). Ces grandeurs sont donc imposables par la commande. Conjugués avec unerépartition sinusoïdale des enroulements, ces courants provoquent la création d'unchamp d'induction tournant à la pulsation instantanée ωs(t) (cf annexe). On apour l'angle électrique θs(t) :

θs(t) = θs0 +

∫ t

0

ωs(τ) · dτ (3.4)

Le fait que la répartition des courants statoriques soit sinusoïdale n'impliquepas forcément qu'ils aient une allure sinusoïdale, sauf lorsque ωs(t) est constant.Les seuls liens entre eux sont en fait que les trois courants :

ont la même pulsation instantanée ωs(t) ; ont la même valeur de crête instantanée Is(t) ; sont déphasés entre eux d'un angle (électrique) de 2·π

3;

ont pour somme 0 [A] en tout temps, is1(t)+is2(t)+is3(t) = 0 [A], les phasesétant connectées en étoile et le neutre étant ottant.

Comparativement au moteur à courant continu sans collecteur ("DC brush-less"), on relève notamment que les trois phases sont normalement alimentéesen tout temps, aucune n'étant laissée en l'air pendant une durée prolongée, i.e."éteinte" plus ou moins fréquemment.








La gure 3.14 page suivante montre l'allure des trois courants de phase enfonction de l'angle électrique θs(t) et de la valeur de crête Is(t). On a égalementreprésenté la pulsation électrique instantanée ωs(t). On voit que toutes les formesde courants sont possibles, même des formes carrées, obtenues lorsque θs(t) estconstante (moteur en principe à l'arrêt) et que Is(t) fait des sauts (correspondantcomme on le verra au 3.5.3 à des sauts de couple), comme représenté à la n dudiagramme.




HEIG-V

dEntraînementsréglés(MET2)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−1

0

1

Répartition sinusoïdale des courants

(per

uni

t)ω

s(t) Î

s(t)θ

s(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−2

0

2

i s1(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−2

0

2

i s2(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−2

0

2

i s3(t)

t [s]

f_03_60_1.eps

Fig. 3.14 Allures des courants statoriques en fonction du couple, de la vitesse et de la position angulaire : ces courantsne sont pas forcément sinusoïdaux, seule leur répartition est sinusoïdale (chier source).

Chapitre3,v.1.5

152MEE\cours_

er.te

x\11octobre

2006


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http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///f_03_60.m



3.5 Modélisation mathématique de la machine syn-

chrone auto-commutée ("AC brushless")

3.5.1 Introduction

On entreprend ici l'étude détaillée de la machine synchrone auto-commutéeen exécution triphasée, partant de son modèle mathématique pour aboutir audispositif d'asservissement de courant/couple puis vitesse/position, en passantpar la commande de l'étage de puissance. Pour l'essentiel, ce paragraphe a pourobjectif l'étude de l'asservissement en couple et en vitesse de la machine syn-chrone auto-commutée. Le modèle mathématique nécessaire au choix du systèmed'asservissement est tout d'abord établi. L'essentiel de ce modèle est constitué

des équations de tension des trois phases statoriques (3.5.2) ; de l'équation donnant le couple électromagnétique produit par la machine(3.5.3).

Les paramètres intervenant dans ces équations, tels que les inductances, le champd'induction produit par les aimants du rotor ou les constantes de couple et deFEM dépendent de la construction de la machine (dimensions, matériau, enrou-lements) et sont calculés en second lieu (voir annexes) dans le but d'être complet.Un rappel du principe de génération d'un champ tournant est également faiten annexe. Pour la modélisation mathématique de la machine synchrone auto-commutée, i.e. "AC brushless", on se contente d'un cas simplié où notamment :

la machine est triphasée ; la saturation du fer n'intervient pas, ce qui implique que les inductances nedépendront pas des courants (modèle linéaire) ;

la perméabilité du fer est supposée innie (µFe →∞) ; la distribution du champ d'induction créé par l'aimant est purement sinu-soïdale ;

la distribution des enroulements statoriques est également sinusoïdale ; les trois phases de la machine sont connectées en étoile ; les trois phases sont symétriques, i.e. leurs résistances et inductances sontidentiques ;

le point neutre est ottant, i.e. non relié à la masse.

On néglige donc notamment les harmoniques générées par les enroulements (dontla distribution spatiale n'est en réalité pas parfaitement sinusoïdale) et les ai-mants. De plus, conformément à la majorité des moteurs synchrones auto-commutés,i.e. des servo-entraînements AC-brushless, on suppose que la machine est à pôleslisses (entrefer constant) et non à pôles saillants.





3.5.2 Equations de tension

Equations de la tension induite ([1], 1.3.10)

On considère le schéma du système triphasé de la gure 3.15 page ci-contre.Les enroulements des trois phases étant xes, la rotation de l'aimant (inducteur)

plonge les enroulements dans un champ d'induction ~Bf = ~Ba variable et pro-voque de ce fait l'apparition d'une tension induite de mouvement (FEM) emi(t)aux bornes de chaque phase, à laquelle se superposent les tensions induites detransformation par les inductances des phases ([2], 1.6.7). On a, en nommantuii(t) la tension induite totale dans la ieme phase :

us1(t)− ui1(t) = Rs · is1(t) (3.5)

us2(t)− ui2(t) = Rs · is2(t) (3.6)

us3(t)− ui3(1) = Rs · is3(t) (3.7)

La tension induite uii(t) dans la phase i est donnée par la variation du ux totalisécorrespondant Ψsi :

ui1(t) =dΨs1

dt(3.8)

ui2(t) =dΨs2

dt(3.9)

ui3(1) =dΨs3

dt(3.10)

Les équations de la tension induite sont alors, sous leur forme usuelle :

us1(t) = Rs · is1(t) +dΨs1

dt(3.11)


dt(3.12)


dt(3.13)

Expression des ux totalisés

Les ux totalisés ont pour expressions, en admettant que les lignes de uxcréées par l'aimant, i.e. l'axe magnétique de l'aimant rotorique, forment un angleθ(t) avec l'axe de la phase 1 :





a x e m a g n é t i q u e

d u r o t o r

N

S

a x e m a g n é t i q u ep h a s e 1

axe

mag

nétiq

ue

phas

e 2

axe magnétique

phase 3

Z1 is1

Z 2

i s 2

Z3

i s 3

q

f _ 0 3 c _ 1 2 . e p s

p q

B a

Fig. 3.15 Vue schématique des 3 phases statoriques et de l'aimant rotorique,pour une paire de pôles. Pour p paires de pôles, il faut substituer p · θ(t) à θ(t)(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures///f_03c.dsf



Ψs1(t) =

ux propre︷︸︸︷L11 · is1(t) +

ux créé par les autres phases︷︸︸︷L12 · is2(t) + L13 · is3(t) +

ux créé par l'aimant︷︸︸︷Ψa · cos (p · θ(t))

(3.14)

Ψs2(t) = L22 · is2(t) + L21 · is1(t) + L23 · is3(t) +Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.15)

Ψs3(t) = L33 · is3(t) + L31 · is1(t) + L32 · is2(t) +Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.16)

Les inductances propres Lii et mutuelles Lij ainsi que le ux de crête Ψa créé parl'aimant dépendent des paramètres constructifs de la machine et sont calculés enannexe. Le moteur étant à entrefer constant (pôles lisses) et le circuit magnétiqueétant isotrope, on peut écrire :

L11 = L22 = L33 (3.17)

L12 = L21 = L13 = L31 = L23 = L32 (3.18)

En en tenant compte dans les relations donnant les ux totalisés :

Ψs1(t) = L11 · is1(t)+L12 · is2(t)+ L12 · is3(t)+Ψa · cos (p · θ(t)) (3.19)

Ψs2(t) = L11 · is2(t)+L12 · is1(t)+ L12 · is3(t)+Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.20)

Ψs3(t) = L11 · is3(t)+L12 · is1(t)+ L12 · is2(t)+Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.21)

Le point neutre étant ottant (non relié à la masse), la somme des trois courantsest nulle en tout temps

is1(t) + is2(t) + is3(t) = 0 [A] (3.22)

et les équations précédentes deviennent :

Ψs1(t) = L11 · is1(t) + L12 · (is2(t) + is3(t))︸︷︷︸−is1(t)

+Ψa · cos (p · θ(t)) (3.23)


+Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.24)


+Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.25)





Ψs1(t) = (L11 − L12) · is1(t) + Ψa · cos (p · θ(t)) (3.26)

Ψs2(t) = (L11 − L12) · is2(t) + Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.27)

Ψs3(t) = (L11 − L12) · is3(t) + Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.28)

En posant Ls = L11 − L12 , l'expression nale des ux totalisés est :

Ψs1(t) = Ls · is1(t) + Ψa · cos (p · θ(t)) (3.29)

Ψs2(t) = Ls · is2(t) + Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.30)

Ψs3(t) = Ls · is3(t) + Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.31)

Expressions des tensions induites de transformation et de mouvement

Compte tenu des expressions des ux totalisés, les tensions induites s'écrivent :

ui1(t) =dΨs1

dt=

tension induite de transformation︷︸︸︷Ls ·

dis1dt

tension induite de mouvement em1(t)︷︸︸︷−Ψa · sin (p · θ(t)) · p · dθ

dt(3.32)

ui2(t) =dΨs2

dt= Ls ·

dis2dt︸︷︷︸

tension induite de transformation

−Ψa · sin(p · θ(t)− 2 · π

3

)· p · dθ

dt︸︷︷︸em2(t)

(3.33)

ui3(t) =dΨs3

dt= Ls ·

dis3dt︸︷︷︸


−Ψa · sin(p · θ(t)− 4 · π

3

)· p · dθ

dt︸︷︷︸em3(t)

(3.34)

Les premiers termes correspondent à la tension induite de transformation (i.e.due à la variation seule de isi(t)), les seconds représentant la tension induite demouvement emi(t), consécutive à la rotation de l'aimant qui modie le couplagemagnétique entre rotor et stator.

Force électromotrice (FEM) ([10], 6.2.5)

La rotation des aimants du rotor provoque l'apparition d'une tension induitede mouvement em(t) aux bornes de chaque phase. En tenant compte du fait que





sin(p · θ(t)) = − cos(p · θ(t) + π

2

), la tension induite de mouvement est donnée

pour la phase 1 par :

em1(t) =dΨ1a

dt=

d

dt

(Ψa · cos (p · θ(t))

)= −Ψa · sin (p · θ(t)) · p · dθ

dt

= Ψa · p · ω(t)︸︷︷︸Em

· cos(p · θ(t) +

π

2

)= Em · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.35)

alors que pour les deux autres phases, on a :

em2(t) = Em · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)(3.36)

em3(t) = Em · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)(3.37)

La tension induite de mouvement, qui joue le même rôle que FEM em(t) de lamachine DC à collecteur, est donc sinusoïdale grâce au fait que les distributionsdu champ des aimants ainsi que des enroulements sont sinusoïdales. Ceci im-plique des dispositions particulières au niveau de la construction du moteur. Lagure 3.16 page suivante montre les mesures de FEM eectuées sur un moteurd'entraînement de disque dur. Notons que si la distribution des enroulements pou-vaient être parfaitement sinusoïdale, les exigences sur la forme de la distributiondu ux créé par l'aimant pourraient être allégées, un tel enroulement ltrant trèsecacement toutes les harmoniques spatiales avec une caractéristique de type"notch" ([10], 6.1.2 et 6.2.4).

En plus du fait que la phase de la tension induite est déterminée par la posi-tion angulaire de l'aimant, i.e. du rotor, il est très important de remarquer quela valeur de crête de la tension induite de mouvement emi(t) est directementproportionnelle à la vitesse angulaire instantanée du rotor ω(t) = dθ

dt:

Em = Ψa · p · ω(t) (3.38)

En admettant que les enroulements soient connectés en étoile, la tension induitede mouvement de ligne, i.e. la FEM de ligne, est donnée pour sa valeur de crêtepar (correction par le facteur

√3) :

Eml =√

3·Em =√

3 · Ψa · p︸︷︷︸KE

·ω =√

3 · Ns · Φa · π4

· p︸︷︷︸KE

·ω =√

3 · Ns · Ba · l · r · π4

· p︸︷︷︸KE

·ω

(3.39)





0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t [s]

e mi(t)

[V]

FEM sinusoïdale, moteur AC brushless

f_fem_1.eps

Fig. 3.16 Mesures de FEM eectuées sur un moteur d'entraînement de disquedur. Le moteur a simplement été lancé à la main, toutes les phases étant enl'air, leurs tensions étant visualisées et enregistrées au moyen d'un oscilloscope(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///fem.m



Eml = KE · ω (3.40)

La constante de proportionnalité entre la valeur de crête de la FEM de ligne etla vitesse angulaire du rotor est désignée par :

KE =√

3 · Ns · Ba · l · r · π2

· p (3.41)

et l'on a :

Eml(t) = KE · ω(t) (3.42)

Forme nale des équations de tension

Les équations de tension sont nalement

us1(t) = Rs · is1(t) + Ls ·dis1dt

+KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2

)· dθdt

= Rs · is1(t) + Ls ·dis1dt

+ em1(t) (3.43)


+KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)· dθdt


+ em2(t) (3.44)


+KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)· dθdt


+ em3(t) (3.45)

et s'écrivent sous forme matricielle :us1

us2

us3

= Rs ·

is1is2is3

+

Ls 0 00 Ls 00 0 Ls

· ddt

is1is2is3

+KE√

3·

cos(p · θ(t) + π

2

)cos(p · θ(t) + π

2− 2·π

3

)cos(p · θ(t) + π

2− 4·π

3

)· dθdt

(3.46)où intervient notamment la constante KE ("constante de FEM").

Ces équations peuvent être représentées sous forme graphique. Le schémafonctionnel correspondant à la phase 1 est donné sur la gure 3.17 page ci-contre.

Le déphasage entre la FEM et le courant revêt une importance capitale commeon le verra lors du calcul du couple électromagnétique ( 3.5.3 page 162). On aici, par exemple pour la phase 1 :

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.47)

em1(t) =KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2

)· dθdt

(3.48)





S

-

w

u s 1

e m 1 = K E / 3 w c o s ( p q + p / 2 )

i s 1 = Î s c o s ( q s )1 + s L s / R s

1 / R s

f _ 0 3 c _ 1 9 . e p s

c o s ( p q )q

s1

K E

3

Fig. 3.17 Schéma fonctionnel de la phase 1 d'une machine synchrone auto-commutée "sinus". On remarque la contre réaction non-linéaire opérée par laFEM em1(t) (chier source).

Le déphasage entre le courant is1(t) et la FEM em1(t) se monte à un angle ψ telque

ψ = argis1(t)−argem1(t) = θs(t)−(p · θ(t) + 90 []) = θs(t)−p·θ(t)−90 [] = δT−90 [](3.49)

autrement dit, ce déphasage est directement dépendant de la phase instantanéeθs(t) des courants statoriques (que l'on peut imposer facilement par la commande)et la position angulaire θ(t) du rotor (que l'on mesure).

Schéma équivalent électrique d'une phase statorique

Sur la base des équations de tension, le schéma équivalent électrique d'unephase statorique fait apparaître, tout comme dans le cas de la machine DC, unesource de tension variable usi(t), une résistance Rs, une inductance Ls et unecontre-tension emi(t) qui n'est autre que la FEM. Ls est l'inductance synchrone ;elle dépend de L11 et L21 dont le calcul détaillé est fait en annexe. On obtient :

Ls = L11 − L21 =π

4· µ0 ·N2

s · l · rδ

− (−π8· µ0 ·N2

s · l · rδ

) =3 · π

4· µ0 ·N2

s · l · rδ

=3

2· L11 = −3 · L21

(3.50)






u s i ( t ) e m i ( t )

L s

w ( t )

i s i ( t ) R s

f _ 0 3 c _ 1 3 _ 3 . e p s

Fig. 3.18 Schéma équivalent électrique d'une phase d'une machine synchroneauto-commutée "sinus" (chier source).

Pour les FEM emi(t) des trois phases, on a vu qu'elles avaient pour expressions :

em1(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)= Em · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.51)

em2(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)= Em · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)(3.52)

em3(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)= Em · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)(3.53)

où la constante KE, i.e. la constante de FEM, dépend des paramètres constructifsde la machine.

3.5.3 Couple électromagnétique

Expression du couple

Le couple électromagnétique Tem(t) [N ·m] est lié à la puissance électro-magnétiquepem(t) par

pem(t) = Tem(t) · ω(t) (3.54)

où ω(t) est la vitesse mécanique. pem(t) intervient dans le bilan de puissance dela machine comme résultat de la substitution des pertes par eet Joule pJ(t) àla puissance électrique d'entrée pel(t) (gure 3.19 page ci-contre). La puissanceréactive instantanée totale pL(t) est nulle en tout temps par le fait que la sommedes 3 courants de phases est nulle. Les contributions individuelles des 3 phases à






p e l = u s 1 i s 1 + u s 2 i s 2 + u s 3 i s 3

p e m = e m 1 i s 1 + e m 2 i s 2 + e m 3 i s 3

p J = R s i s 1 2 + R s i s 2 2 + R s i s 3 2

p u i s s a n c e é l e c t r i q u e i n s t a n t a n é e

p u i s s a n c e i n s t a n t a n é e d i s s i p é e p a r e f f e t J o u l e

p u i s s a n c e é l e c t r o - m a g n é t i q u e i n s t a n t a n é ef _ 0 3 c _ 2 0 . e p s

p L = u s L 1 i s 1 + u s L 2 i s 2 + u s L 3 i s 3 = 0 [ W ]

Fig. 3.19 Bilan de puissances : pel(t) = pJ(t) + pL(t) + pem(t) (chier source).

la puissance électro-magnétique pem(t) sont alors :

pem1(t) = em1(t) · is1(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)· Is(t) · cos (θs(t))

(3.55)


3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)· Is(t) · cos

(θs(t)−

2 · π3

)(3.56)


3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)· Is(t) · cos

(θs(t)−

4 · π3

)(3.57)






S

-

w

u s 1

e m 1 = K E / 3 w c o s ( p q + p / 2 )

i s 1 = Î s c o s ( q s )

1 + s L s / R s

1 / R s

f _ 0 3 c _ 2 1 . e p s

T e m 1 = e m 1 i s 1 / w

qs1

c o s ( p q + p / 2 )K E

3

Fig. 3.20 Schéma fonctionnel de la phase 1 : construction de la FEM de phaseem1(t) et du couple électro-magnétique de phase Tem1(t) (chier source).

Les couples électro-magnétiques correspondants sont obtenus en divisant par ω(t)(gure 3.5.3) :

Tem1(t) =pem1(t)

ω(t)=KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2

)· Is(t) · cos (θs(t)) (3.58)

Tem2(t) =pem2(t)

ω(t)=KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)· Is(t) · cos

(θs(t)−

2 · π3

)(3.59)

Tem3(t) =pem3(t)

ω(t)=KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)· Is(t) · cos

(θs(t)−

4 · π3

)(3.60)

La somme des 3 contributions donne :

Tem(t) = Tem1(t) + Tem2(t) + Tem3(t) =KE√

3· Is(t) ·

[cos(p · θ(t) +

π

2

)· cos (θs(t))

+ cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)· cos

(θs(t)−

2 · π3

)+ cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)· cos

(θs(t)−

4 · π3

)](3.61)

Sachant que

cos (α) · cos (β) =1

2· cos (α+ β) +

1

2· cos (α− β) (3.62)







on a :

Tem(t) =1

2· KE√

3· Is(t) ·

[cos(p · θ(t) +

π

2+ θs(t)

)+ cos

(p · θ(t) +

π

2− θs(t)

)+cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3+ θs(t)−

2 · π3

)+cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3− θs(t) +

2 · π3

)+cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3+ θs(t)−

4 · π3

)+cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3− θs(t) +

4 · π3

)](3.63)

Comme

cos(p · θ(t) +

π

2+ θs(t)

)+ cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3+ θs(t)−

2 · π3

)+

cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3+ θs(t)−

4 · π3

)= 0 (3.64)

on obtient nalement :

Tem(t) =1

2· KE√

3· Is(t)·[

cos(p · θ(t) +

π

2− θs(t)

))+cos

(p · θ(t) +

π

2− θs(t)

))+cos

(p · θ(t) +

π

2− θs(t)

))

]=

3

2· KE√

3· Is(t) · cos

(θs(t)− p · θ(t)− π

2

)(3.65)

Le couple électromagnétique instantané Tem(t) a donc pour expression :

Tem(t) =pem(t)

ω(t)=

√3

2·KE · Is(t) · cos

(θs(t)− p · θ(t)− π

2

)(3.66)

En remplaçant le cosinus par une fonction sinus, on a :

Tem(t) =

√3

2·KE︸︷︷︸

KT

·Is(t) · sin (θs(t)− p · θ(t)) (3.67)

Le couple est proportionnel au courant de crête circulant dans les trois phasesstatoriques, la constante de proportionnalité étant KT :

Tem(t) = KT · Is(t) · sin (θs(t)− p · θ(t)) (3.68)





S N

B a

q s

p q

d T

SN

q s = a n g l e r é e l d u c h a m p t o u r n a n t ,i m p o s é p a r l ' a l i m e n t a t i o n

q = p o s i t i o n a n g u l a i r em é c a n i q u e d u r o t o r

" d T = q s - p q = t o r q u e a n g l e "

a x e m a g n é t i q u ed e l a p h a s e 1

w s ( t )

SN

B r i

f _ 0 3 c _ 1 8 . e p s

Fig. 3.21 Angle de couple δT : si δT = ±90 [], les champs sont en quadratureet le couple produit est maximum (chier source).

et l'on a :

KT =

√3

2·KE (3.69)

On voit qu'un couple rigoureusement constant peut être produit pour autant quel'angle (θs − p · θ) entre les axes magnétiques du champ tournant et celui del'aimant soit maintenu constant.

Couple maximum

Le couple électromagnétique possède deux extrêma ; pour ω(t) > 0[rads

], il

est maximum en moteur si l'on fait en sorte que

θs − p · θ = +π

2(3.70)

i.e. que l'axe magnétique du champ tournant (repéré par l'angle θs(t)) soit enavance de +90 [] par rapport à celui de l'aimant (repéré par l'angle θ(t)). Demême, un couple de freinage maximum est obtenu si l'on est à même d'impo-ser :

θs − p · θ = −π2

(3.71)






S N

SN

B a

B r i

q s

p q

d T = + p / 2

SN

q s = a n g l e d u c h a m p t o u r n a n t ,i m p o s é p a r l ' a l i m e n t a t i o n


d T = " t o r q u e a n g l e "


w s ( t )

f _ 0 3 c _ 1 6 . e p s

Fig. 3.22 Le couple maximal, pour un courant statorique donné, est obtenulorsque les champs les champs sont en quadrature (chier source).

L'axe magnétique du champ tournant est ici en retard de 90 [] par rapport àcelui de l'aimant. Dans les deux cas, les axes magnétiques des champs statoriqueet rotorique sont donc en quadrature.

3.5.4 Déphasage entre le courant et la FEM

Considérant les expressions du courant et de la FEM de la phase 1,

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.72)

em1(t) =KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2

)· p · dθ

dt(3.73)

on voit que le déphasage entre le courant is1(t) et la FEM em1(t) se monte à unangle ψ tel que

ψ = argis1(t)−argem1(t) = θs(t))−(p·θ(t)+90 []) = θs(t)−p·θ(t)−90 [] = δT−90 [](3.74)

Ayant ainsi déni l'angle ψ, le couple électromagnétique peut s'écrire :

Tem =

√3

2·KE · Is · sin (θs − p · θ) = KT · Is · cos (ψ) (3.75)






0

T e m

y

p / 2 p- p - p / 2

+ T e m m a x

- T e m m a x

Î s

f _ 0 3 c _ 1 4 . e p s

Fig. 3.23 Couple électro-magnétique Tem en fonction du déphasage ψ entrela FEM emi(t) et le courant isi(t) d'une même phase : c'est lorsque le FEM etle courant sont en phase ou en opposition de phase que le couple est maximum(chier source).

Tem = KT · Is · cos (ψ) (3.76)

Dans le cas d'un fonctionnement en moteur, le couple est maximal lorsque l'angleψ est de 0 [] : le courant et la FEM doivent donc être en phase, alorsqu'en frein (ou générateur), ces mêmes grandeurs devraient être en opposition dephase (gure 3.23).

La FEM peut donc constituer un repère très intéressant pour imposer le cou-rant statorique, du moins à vitesse susamment élevée puisqu'il faut que sonamplitude KE√

3· ω(t) soit pratiquement détectable (gure 3.39 page 193).






3.6 Alimentation par convertisseur de fréquence

([7])

3.6.1 Introduction

Tous les moteurs conçus pour une alimentation à courant alternatif peuventfonctionner à vitesse variable à condition qu'une alimentation à fréquence va-riable soit disponible. Par le passé, ceci était possible en mettant en oeuvre unalternateur à vitesse variable entraîné par un moteur DC alimenté par un généra-teur DC tournant à vitesse constante. Aujourd'hui, la disponibilité de composantsd'électronique de puissance permet de réaliser des convertisseurs statiques trèscompacts, la conversion de fréquence étant eectuée sans machine et surtout avecun rendement bien supérieur.

3.6.2 Le convertisseur de fréquence à circuit intermédiairede tension continue ([7], chap.3)

Le type de convertisseur utilisé pour les entraînements de précision (servo-entraînements) est essentiellement le convertisseur de fréquence à circuit inter-médiaire de tension continue (gure 3.24 page suivante), dont le rôle est de fournirun système de tensions généralement triphasé de fréquence ajustable à partir dela seule tension continue Ue produite par un redresseur ou une batterie. La ten-sion continue Ue est appliquée directement aux bornes du moteur via un ensembled'interrupteurs commandés. Le convertisseur de fréquence triphasé se composede trois branches (demi-ponts) formées chacune de deux voies (voir gure 3.24page suivante).

Du point de vue fonctionnel, une voie comprend un interrupteur commandé(thyristor à commutation forcée, thyristor GTO, transistor bipolaire, MOSFETou IGBT) ainsi qu'une diode, dite diode de roue libre, connectée en antiparal-lèle. Celle-ci n'a pas pour objet principal la protection de l'interrupteur maisjoue un rôle fonctionnel en permettant au courant de circuler dans la voie dansles deux sens, ce qui est notamment utile en régime de freinage. En choisissantconvenablement la stratégie de commutation des composants de puissance, latension continue Ue est hâchée de façon à reproduire le mieux possible une sourcede tension dont la moyenne est de forme sinusoïdale. Les éléments de puissancefonctionnent en commutation (état bloqué ou saturé) et non en mode linéairean de diminuer leurs pertes thermiques, rendant celles-ci supportables.

En prenant pour référence la borne - du circuit intermédiaire, les tensions debranches u10(t), u20(t), u30(t) imposées à chaque borne du moteur (par rapportà la référence de potentiel mentionnée) par le convertisseur ne peuvent doncprendre que les deux valeurs 0 [V] et +Ue, et l'allure des tensions d'alimentationdu moteur est donc très éloignée de celle de la sinusoïde pure, ce qui se traduit





Z p h

Zph

Z p h

i 1

i 2

i3

u 1

u 2

u3

D1T1

D2T2

D1'

T1'

D2'

T2'

D3T3

D3'

T3'

u 10u 20

u 30u N

Résea

utrip

hasé

R S TU e

R b

LOGI

QUE

Redre

sseurCondensat

eur

tampon

Dissi

pateu

rOn

duleu

rCh

arge

C t

f_03d

_02.e

ps

Fig. 3.24 Convertisseur de fréquence à circuit intermédiaire de tension continue(chier source).







0 1 2 3 4 5 6−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u s1 u

s2 u

s3

Tensions de phases d’amplitude 1 et purement sinusoïdales

γ [rad]

f_u1020300_3.eps

Fig. 3.25 Tensions de phases (chier source).

par un contenu très (trop . . .) riche en harmoniques. L'eet de ces dernières sur lecourant produit est cependant limité par le comportement de nature ltre passe-bas des enroulements du moteur, leur impédance étant très nettement inductiveet s'opposant ainsi aux variations de courant. Au besoin, il sera dans certainscas (moteurs "ironless", i.e. "sans fer") nécessaire de connecter en série avec leconvertisseur des selfs de lissage.

3.6.3 Calcul des tensions de phases en fonction des tensionsde branche

Dans le cas de la machine synchrone AC brushless et de la machine asyn-chrone, les enroulements des phases statoriques sont alimentés par un systèmede courants et de tensions triphasés (cas des entraînements réglés), à répartitiontemporelle sinusoïdale (la charge électrique est supposée linéaire, donc tous lessignaux électriques sont sinusoïdaux, y compris la FEM). Les trois tensions dephase doivent donc être de la forme (lorsque la charge du convertisseur est unmoteur triphasé, les trois tensions u1(t), u2(t) et u3(t) sont les tensions statoriquesus1(t), us2(t) et us3(t)) :

u1(t) = Us(t) · cos (γ(t)) (3.77)

u2(t) = Us(t) · cos

(γ(t)− 2 · π

3

)(3.78)


(γ(t)− 4 · π

3

)(3.79)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_u1020300_3.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///u1020300.m



C'est cependant en agissant sur les valeurs instantanées des trois tensions debranches u10(t), u20(t), u30(t) que les tensions de phases peuvent être imposéesde manière indirecte.

Les expressions des trois tensions de branche sont (gure 3.24 page 170)

u10 = u1 − u2 + u20 (3.80)

u20 = u2 − u1 + u30 (3.81)

u30 = u3 − u1 + u10 (3.82)

Les tensions de branches u10, u20, u30 sont mesurées entre les bornes 1, 2, 3 desortie du convertisseur et la borne - de l'alimentation en tension continue Ue.Cette dernière fait en principe oce de référence (0 [V]) pour tout ce qui estmesure de potentiel.

Si l'on tient compte du fait que

u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0 [V] (3.83)

on peut facilement obtenir les expressions des tensions de phase en fonction decelles de branches :

u1 =1

3· (2 · u10 − u20 − u30) (3.84)

u2 =1

3· (2 · u20 − u30 − u10) (3.85)

u3 =1

3· (2 · u30 − u10 − u20) (3.86)

C'est donc en agissant de manière appropriée sur les tensions de brancheu10(t), u20(t) et u30(t) que l'on peut contrôler les trois tensions de phase, parexemple dans le but dans modier les courants.

Ce système s'écrit encore sous forme matricielle :u1

u2

u3

=1

3·

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

·u10

u20

u30

(3.87)

3.6.4 Calcul des tensions de branches

Les valeurs des trois tensions de phase u1(t), u2(t) et u3(t) doivent en principeprendre les valeurs bien déterminées données au paragraphe précédent, ce qui sefait indirectement au niveau du convertisseur en modulant les trois tensions debranche u10(t), u20(t) et u30(t). Celles-ci sont données par l'expression suivante,





en reprenant le résultat (3.87) :

u10

u20

u30

= 3 ·

2 −1 −10 −1 2−1 −1 2

−1

·

u1

u2

u3

= 3 ·

matrice des cofacteurs︷︸︸︷cof

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

∣∣∣∣∣∣

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸déterminant

·

u1

u2

u3

(3.88)

Ce système d'équations algébriques est indéterminé, puisque l'on a entre autres(on se passe du calcul de la matrice des cofacteurs) :∣∣∣∣∣∣

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (2 · 2− (−1) · (−1))︸︷︷︸3

− (−1) · ((−1) · 2− (−1) · (−1))︸︷︷︸−3

+ (−1) · ((−1) · (−1)− (−1) · 2)︸︷︷︸3

= 0 (3.89)

Contrairement aux apparences, ceci n'est pas une diculté de plus. Le fait quele système d'équations soit sous-déterminé se contourne comme on l'apprend enalgèbre linéaire, en xant l'une des inconnues (u10(t), u20(t) ou u30(t)) puis enrésolvant. Ceci ore une innité de solutions pour les tensions de branches u10(t),u20(t) ou u30(t), tout en satisfaisant bien sûr l'équation, puisqu'il faut impérative-ment que les tensions de phases soient égales à u1(t), u2(t) et u3(t). Parmi l'innitédes solutions, quelques-unes présentent des propriétés particulières, comme parexemple l'élimination de certaines harmoniques. On a en fait une relativementgrande marge de manoeuvre pour xer l'une ou l'autre des inconnues, u10(t),u20(t) ou u30(t), selon la situation, et calculer les deux restantes ([7], 3.4.15-16et 3.5). La première solution à laquelle on pense est celle consistant à choisircelle où les tensions de branches sont modulées sinusoïdalement autour de Ue

2:

u10(t) =Ue

2· (1 + cos (γ(t))) (3.90)

u20(t) =Ue

2·(

1 + cos

(γ(t)− 2 · π

3

))(3.91)

u30(t) =Ue

2·(

1 + cos

(γ(t)− 4 · π

3

))(3.92)

Il en résulte des tensions de phases u1(t), u2(t), u3(t) parfaitement sinusoïdalesd'amplitude Ue

2(gure 3.26 page suivante).

Mais cela ne constitue que l'une des solutions possibles. On peut en eet obte-nir des tensions de phase parfaitement sinusoïdales et d'une amplitude supérieure





0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

u s1 u

s2 u

s3

Tensions de phases d’amplitude 0.5Ue et purement sinusoïdales

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u 10 u

20 u

30

Tensions de branches correspondantes

γ [rad]

f_u1020300_1.eps

Fig. 3.26 Tensions de phases u1(t), u2(t), u3(t) lorsque les tensions debranches u10(t), u20(t) et u30(t) sont modulées sinusoïdalement autour de Ue

2:

u10(t) = Ue

2· (1 + cos (γ(t))), u20(t) = Ue

2·(1 + cos

(γ(t)− 2·π

3

)), u30(t) =

Ue

2·(1 + cos

(γ(t)− 4·π

3

)). Dans ce cas, l'amplitude maximale des tensions u1(t),

u2(t) et u3(t) estUe

2(chier source).







Zph

Z p h

Zp h

i 1

i2

i 3

u 1

u2

u 3

u 1 0

u 2 0

u 3 0 = 0 [ V ]

u N

E n f o r ç a n t ( a u b o n m o m e n t )c e p o t e n t i e l à 0 [ V ] , o n a t e n d a n c eà a b a i s s e r l e n e u t r e ,c e q u i f a c i l i t e l ' é t a b l i s s e m e n td e s c o u r a n t s d a n s l e s a u t r e s p h a s e s f _ 0 3 d _ 0 9 . e p s

Fig. 3.27 Pour que la tension de phase u3(t) devienne proche de sa valeurminimale, il est logique d'abaisser le potentiel de u30(t) (chier source).

égale à Ue√3≈ 0.5573 · Ue, ce qui constitue d'ailleurs la valeur maximale que l'on

peut obtenir en régime sinusoïdal pur (gure 3.26 page ci-contre). Pour y par-venir, on peut suivre la démarche suivante : lorsque l'on souhaite que l'une destensions de phase, par exemple u3(t) = us3(t), soit proche de sa valeur minimale,i.e. que u30(t)− uN(t) soit négative et aussi petite que possible, il semble logiqued'imposer pendant une période donnée que la tension de branche u30(t) soit aussifaible que possible (gure 3.27), soit :

u30(t) = 0 [V] (3.93)

En conséquence, les deux autres tensions de branches ont pour valeurs, repre-







nant leur expression initiale pour alléger les calculs :

u1 =1

3· (2 · u10 − u20 − 0) u10 −

1

2· u20 =

3

2· u1 (3.94)

u2 =1

3· (2 · u20 − 0− u10) u10 − 2 · u20 = −3 · u2 (3.95)

u3 =1

3· (2 · 0− u10 − u20) u10 + u20 = −3 · u3 (3.96)

Des deux dernières équations, on tire, en éliminant u10 :

u20 = u2 − u3 (3.97)

Cette expression, introduite dans la première équation, donne u10 :

u10 =3

2· u1 +

1

2· (u2 − u3) = u2 − u3 (3.98)

Les valeurs des tensions de branches u10(t) et u20(t) calculées ici à titre d'exempledans le cas particulier où u30(t) est forcée à 0 [V] correspondent à ce que l'onduleurdevrait fournir (en valeur moyenne puisqu'il fonctionne en mode de commutation)à ses bornes pour que les trois tensions de phases soient égales à u1(t), u2(t) etu3(t) respectivement. Or, les expressions des valeur souhaitées des tensions dephase sont connues :

u1(t) = Us(t) · cos (γ(t)) (3.99)


(γ(t)− 2 · π

3

)(3.100)


(γ(t)− 4 · π

3

)(3.101)





On peut en déduire les expressions des tensions de branches lorsque u30 = 0 [V]

u10(t) = u1(t)− u3(t) = Us ·[cos (γ)− cos

(γ − 4 · π

3

)]= Us · (−2) · sin

(2 · γ − 4·π

3

2

)· sin

( 4·π3

2

)= −

√3 · Us · sin

(γ − 2 · π

3

)=√

3 · Us · sin(

2 · π3

− γ

)(3.102)

u20(t) = u2(t)− u3(t) = Us ·[cos

(γ − 2 · π

3

)− cos

(γ − 4 · π

3

)]= Us · (−2) · sin

(2 · γ − 6·π

3

2

)· sin

( 2·π3

2

)= −

√3 · Us · sin (γ − π)

=√

3 · Us · sin (π − γ)

=√

3 · Us · sin (γ) (3.103)

Sachant que l'excursion des tensions de branches se limite à [0,+Ue], i.e. quel'on a

0 ≤ u10 ≤ Ue (3.104)

0 ≤ u20 ≤ Ue (3.105)

on voit d'une part que : on ne peut maintenir u30 à 0 [V] lorsque 0 ≤ (2·π

3− γ) ≤ π et 0 ≤ π ≤ π,

soit 0 ≤ γ ≤ 2·π3;

puisque ui0 ≤ Ue, la valeur maximale que peut atteindre Us estUe√

3, laquelle

est supérieure à l'amplitude 0.5 · Ue précédemment obtenue.La gure 3.28 page suivante illustre ce résultat, la technique consistant à

imposer u30 à 0 [V] pour 0 ≤ γ ≤ 2·π3ayant été appliquée par analogie aux tensions

de branches u20 et u10 pour 2·π3≤ γ ≤ 4·π

3et 4·π

3≤ γ ≤ 2 · π respectivement.

On retient donc que la solution pour les tensions de branches u10, u20 et u30

n'est pas unique.

3.6.5 La tension du neutre

Avec cette manière de faire, il vaut la peine de remarquer que la tension uN(t)du point neutre est variable, puisque l'on a, en protant des propriétés de latransformée de Laplace,





0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.50.5774

1u s1

us2

us3

Tensions de phases d’amplitude maximale et purement sinusoïdales

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u 10 u

20 u

30


γ [rad]

f_u1020301_1.eps

Fig. 3.28 Tensions de phases u1(t), u2(t), u3(t) d'amplitude maximale en régimesinusoïdal : les tensions de branches u10(t), u20(t) et u30(t) doivent avoir une formeparticulière et l'on a alors : U = Ue√

3= 0.5573 · Ue > 0.5 · Ue (chier source).

UN(s) = U10(s)− Zph(s) · I1(s) (3.106)

UN(s) = U20(s)− Zph(s) · I2(s) (3.107)

UN(s) = U30(s)− Zph(s) · I3(s) (3.108)

soit, la somme des trois courants étant nulle en tout temps

uN(t) =1

3· (u10(t) + u20(t) + u30(t)) (3.109)

(ce résultat peut sans autre être obtenu en appliquant les lois de Kichho) et l'onnote que

0 [V] ≤ uN(t) ≤ Ue (3.110)

La tension du neutre, mesure par rapport à la borne - de l'alimentation DC,est donc loin d'être xe ; elle se trouve en fait entre 0 [V] et Ue. Les valeursinstantanées qu'elle peut prendre sont les suivantes :







I II III IV V VI VII VIIIu10

Ue0 1 1 1 0 1 0

u20

Ue0 0 1 1 1 1 0 0

u30

Ue0 0 0 1 0 1 1 1

uN 0 Ue

323· Ue Ue

Ue

323· Ue

23· Ue

Ue

3

Dans le premier des deux cas particuliers étudiés au paragraphe précédent leneutre reste à une valeur constante puisque

u10(t) =Ue

2· (1 + cos (γ(t))) (3.111)

u20(t) =Ue

2·(

1 + cos

(γ(t)− 2 · π

3

))(3.112)

u30(t) =Ue

2·(

1 + cos

(γ(t)− 4 · π

3

))(3.113)

et donc

uN(t) =1

3· (u10(t) + u20(t) + u30(t)) =

Ue

2(3.114)

Dans le second cas, la situation est diérente. On avait, pour 0 ≤ γ ≤ 2·π3

:

u10(t) = u1 − u3 (3.115)

u20(t) = u2 − u3 (3.116)

u30(t) = 0 [V] (3.117)

et donc :

uN(t) =1

3· (u10(t) + u20(t) + 0 [V]) =

1

3· (u1(t)− u3(t) + u2(t)− u3(t)) = −u3(t)

(3.118)

Dans ce cas de gure, le neutre uN(t) suit la tension u3(t) ; le connecter à laterre du réseau d'alimentation peut aboutir à de cruelles désillusions... Commesouvent on aura

us3(t) = Us(t) · cos

(γ(t)− 4 · π

3

)(3.119)

on en déduit que le neutre évolue entre 0 [V] et Ue (gure 3.29 page suivante) :

uN(t) = −us3(t) = −Us(t) · cos

(γ(t)− 4 · π

3

)(3.120)





0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

u s1 u

s2 u

s3

Tensions de phases d’amplitude maximale et purement sinusoïdales

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

u 10 u

20 u

30


0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

u N

Tension du neutre correspondante

γ [rad]

f_u1020301_2.eps

Fig. 3.29 Evolution de la tension du neutre uN(t) : le neutre n'est pas à 0 [V]ni à un quelconque potentiel de référence ! ! ! (chier source).

3.6.6 Commande de l'onduleur par modulation PWM

La commande des six voies de l'onduleur se fait en hachant la tension continueUe : il s'agit d'une commande à pulsation.

Plusieurs stratégies sont envisageables ([7], 3.5.2). On se concentre ici unique-ment sur l'une d'elles, appelée commande par modulation de largeur d'impulsion(PWM, Pulse Width Modulation). Le principe est identique à celui déjà misen oeuvre pour la machine DC ; à partir de la connaissance des trois tensionsde branches u10, u20 et u30 calculées, on découpe, i.e. on hâche la tension Ue

du circuit intermédiaire périodiquement en variant au cours du temps les du-rées d'enclenchement te1, te2 et te3 des trois branches (gure 3.30 page 182). Lestensions de branches moyennes idéales (i.e. celles obtenues par moyenne et sansprendre en compte les imperfections du convertisseurs, tel que le problème de lasécurité anti-chevauchement) sont alors données par

u10 =te1Tp

· Ue (3.121)

u20 =te2Tp

· Ue (3.122)

u30 =te3Tp

· Ue (3.123)







où l'on rappelle que u10, u20 et u30 sont mesurées par rapport à la borne - ducircuit intermédiaire de tension continue Ue, ce qui explique qu'elles soient unipo-laires, ne variant qu'entre la borne - (0 [V]) et la borne +(+Ue). Tp est la périodede découpage, de valeur typique 100 [µs], ce qui correspond à une fréquence dedécoupage fp de 10 [kHz].

Les tensions de branches réelles dièrent de leurs valeurs idéales par le fait desphénomènes de commutation des transistors, de manière tout à fait analogue à cequi a été vu lors de l'étude de la machine DC. L'étude de la commande analogiquede cette dernière a d'autre part révélé que la modulation PWM introduisait unretard dans la propagation des signaux, i.e. entre le signal de commande ucm(t)et la tension moyenne ud(t) à la sortie du variateur. Il en est de même dans le casde l'onduleur triphasé, pour lequel on peut montrer ([7], 3.5.8) que le retard Tcm

moyen en régime de petits signaux a pour valeur, lorsque le signal modulationest de type triangulaire (à distinguer d'un signal de type dent de scie)

Tcm =Tp

3=

1

3 · fp

(3.124)

Les fonctions de transfert des ensembles modulateur PWM et étage de puissancesont donc pour chaque branche (gures 3.31, 3.32 et 3.33) :

Gcm1(s) =U10(s)

Ucm1(s)= Kcm · e−s·Tcm ≈ Kcm

1 + s · Tcm

(3.125)

Gcm2(s) =U20(s)


1 + s · Tcm

(3.126)

Gcm3(s) =U30(s)


1 + s · Tcm

(3.127)

où le retard pur Tcm est approximé par une petite constante de temps.





t e 2

t d

u 1 0 ( t )

U e

0

T p

u 1 0 ( t )

t

0 t

T p T p

t e 1

T p

u h ( t )

+ û h

- û h

u c m 1 ( t )

T pT p

f _ 0 3 d _ 0 4 . e p s

Fig. 3.30 Modulation de largeur d'impulsion (PWM), porteuse triangulaire(chier source).







K c m e - s T c m

K c m e - s T c m

K c m e - s T c m

u c m 1

u c m 2

u c m 3

u 1 0

u 3 0

u 2 0

f _ 0 3 d _ 0 8 . e p s

Fig. 3.31 Modélisation du modulateur PWM par un gain et un retard pur(chier source).







Z p h

Zph

Z p h

i 1

i 2

i3

u 1

u 2

u3

D1

T1

D2

T2

D1'

T1'

D2'

T2'

D3

T3

D3'

T3'

u 10

u 20

u 30

u N

Ue

c1 c1'

c2 c2'

logi

que

deco

mm

ande

et s

écur

ité

c3 c3'

c1 c1'

c2 c2'

c3 c3'

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 1u c

m1

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 2u c

m2

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 3u c

m3

f_03

d_03

.eps

Fig. 3.32 La modulation PWM se manifeste d'un point de vue dynamique parun retard pur de valeur Tcm (chier source).







D1

T1

D2

T2

D1'

T1'

D2'

T2'

D3

T3

D3'

T3'

u 10

u 20

u 30

Ue

c1 c1'

c2 c2'

logi

que

deco

mm

ande

et s

écur

ité

c3 c3'

c1 c1'

c2 c2'

c3 c3'

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 1u c

m1

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 2u c

m2

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 3u c

m3

Kcm

e-sT

cm

Kcm

e-sT

cm

Kcm

e-sT

cm

u cm

1

u cm

2

u cm

3

u 10

u 30

u 20

f_03

d_07

.eps

Fig. 3.33 La modulation PWM se manifeste d'un point de vue dynamique parun retard pur de valeur Tcm (chier source).







3.7 Une première stratégie de pilotage : la com-

mande scalaire de la machine synchrone auto-

commutée ([12], 14.1, [13], 8.10, [14], 8.8.3)

3.7.1 Principe

L'expression du couple électromagnétique Tem(t) produit par la machine syn-chrone auto-commutée montre que celui-ci est proportionnel à la valeur de crêteIs(t) des courants statoriques et au sinus de l'angle δT qu'il y a entre le champtournant Bri et celui de l'aimant Ba :

Tem(t) = KT · Is(t) · sin (θs(t)− p · θ(t)) = KT · Is(t) · sin (δT ) (3.128)

La relation couple-courant se simplie à l'extrême si l'on parvient à maintenirl'angle

δT = θs(t)− p · θ(t) (3.129)

égal à une valeur constante. Si de plus cette valeur est égale à ±π2(gure 3.34

page suivante), le couple électromagnétique est maximum pour un courant donné,et l'on a :

Tem(t) = ±KT · Is(t) · sin (δT ) (3.130)

Pour parvenir à xer le couple électromagnétique instantané Tem(t), on voitqu'il est nécessaire de pouvoir imposer :

la valeur de crête Is(t) des courants des trois phases statoriques ; l'angle δT = θs−p·θ de façon à ce qu'il soit égal à ±π

2selon que l'on accélère

ou que l'on freine. En d'autres termes, les champs Bri et Ba doivent être enpermanence en quadrature.

Dans ce but, il faut mettre en place : une mesure de l'angle θ(t) du champ Ba créé par l'aimant. Ce dernier étantsolidaire du rotor, on mesure en fait la position angulaire du rotor au moyend'un capteur de type resolver ou codeur optique (3.7.2). Cette informationest souvent déjà nécessaire pour eectuer l'asservissement de position del'arbre moteur ;

un système d'asservissement des trois courants statoriques, auquel on doitpouvoir spécier les consignes Isc(t) et θsc(t) pour la valeur de crête instan-tanée Is(t) et la phase θs(t) respectivement.

La gure 3.35 page 188 montre le schéma général du dispositif de commandede la machine synchrone AC-brushless répondant à ces exigences.

3.7.2 Mesure de la position angulaire

En principe, la mesure de position angulaire visant à fournir θ(t) devrait êtreabsolue et non-incrémentale. Une mesure absolue implique que la position θ(t)





S NS

N

B a

B r i

q s

p q

d T = + p / 2

SN

q s = a n g l e d u c h a m p t o u r n a n t ,i m p o s é p a r l ' a l i m e n t a t i o n




w s ( t )

f _ 0 3 c _ 1 6 . e p s

Fig. 3.34 Quadrature des champs Bri et Ba produits respectivement par l'ali-mentation et par l'aimant (chier source).







0-p

/2

+p/

2

S

S

S

S

cos(

q sc)

cos(

q sc-

4p/3

)

cos(

q sc-

2p/3

)

i sm3

u 10

i sm2

i sm1

u 20

u 30

-

-

-

i s1c=

Î scc

os(q

sc)

i s2c=

Î scc

os(q

sc-2

p /3)

i s3c=

Î scc

os(q

sc-4

p/3)

Km

i'/K

T'

Tem

c

Î sc

q sc

pq

q

i s1

i s 2

is3

u s1

u s 2

us3

u 10

u 20 u 3

0

u NR

EG

UL

AT

EU

RS

DE

CO

UR

AN

TE

TC

ON

VE

RT

ISS

EU

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TA

TIQ

UE

mes

ure

de la

po

siti

on a

ngul

aire

du r

otor

cons

igne

de c

oupl

e

f_03

d_10

.eps

abs

p

Fig. 3.35 Structure du système d'asservissement scalaire de couple/courant :les 3 consignes de courants sont construites de façon à ce que le champ Bri soiten avance de ±π

2par rapport au champ de l'aimant Ba de position angulaire

instantanée θ (chier source).







du rotor du moteur, et par suite celle de l'aimant (champ d'induction ~Ba) estconnue dès l'enclenchement de l'installation, tout au moins à un tour près, et quel'on peut d'emblée orienter correctement le champ ~Bri (angle θs) par rapport Ba

(angle θ). Le capteur de position absolue par excellence est le resolver (gure 3.36page suivante) mais aujourd'hui certaines applications se basent sur des capteursoptiques incrémentaux (gures 3.37 page 191 qui ne résolvent que partiellementle problème. Il existe également des codeurs optiques absolus 3.38 page 192).

Si la position angulaire θ n'est pas connue, le couple fourni aux premiersinstants, d'expression générale

Tem(t) = KT · Is(t) · sin (θs(t)− p · θ(t)) (3.132)

peut donc prendre une valeur quelconque (en amplitude et surtout en signe !),l'angle

δT = θs(t)− p · θ(t) (3.133)

étant inconnu. Un comportement quasi-chaotique peut en résulter. Même si cettephase peut être de durée limitée par la mise en place une stratégie d'initialisa-tion particulière, ceci est souvent inacceptable pour bon nombre d'applications,comme les entraînements de de disques durs par exemple.

Signalons que la mise au point d'une technique de pilotage de la machinesynchrone auto-pilotée, sans avoir recours à un capteur de position angulaire, estactuellement le sujet de nombreuses recherches en cours aussi bien dans le secteuracadémique qu'industriel. Beaucoup de techniques se basent évidemment sur laFEM emi(t), dont l'expression obtenue au 3.5.2 page 157 dépend de l'angle θselon (ici pour la phase 1) :

em1(t) = Ψa · p · ω(t)︸︷︷︸Em

· cos(p · θ(t) +

π

2

)(3.134)

La gure 3.39 page 193 montre les mesures des 3 FEMs de phase d'un moteurAC brushless destiné à l'entraînement de disques durs.

Une méthode classique de commande sans capteur est celle de la détectiondes passages par zéro de la FEM (zero crossings). On s'arrange systématiquementpour que l'une des 3 phases soit en l'air, i.e. parcourue par un courant nul. De cefait, la tension aux bornes de la phase en l'air coïncide avec la FEM de phase et lesignal de tension aux bornes de la phase, mesuré, peut être utilisé pour commuterle moteur :

us1(t) = Rs · is1(t)︸︷︷︸0 [A]

+Ls ·dis1dt︸︷︷︸

0 [As ]

+em1(t)

= em1(t) (3.135)





sin(PRES)·cos(PRD)−sin(PRD)·cos(PRES) = sin(PRES−PRD) −→ (PRES−PRD)(3.131)

Fig. 3.36 Resolvers : types "pancake" (sans palier, le rotor doit être placésur l'arbre moteur) et "taille 11" (avec roulements, il faut alors un accouplementmécanique entre l'arbre moteur et celui du resolver), principe de fonctionnement(transformateur tournant), signaux, démodulation.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/pancakeresolvers.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/size_11_resolver.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/res_tt_01_02_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/res2digi401_4.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/p2_01.pdf





Fig. 3.37 Codeur optique incrémental : exemples, disque obturant le passagede la lumière, principe de fonctionnement, allures des signaux. Lorsque ces der-niers ont la forme de signaux carrés en quadrature (bas de la gure à gauche),comme c'est cas dans la plupart des applications, il sut de compter/décompterles impulsions pour obtenir une position relative de l'arbre mesuré. Les microcon-trôleurs et les DSP spécialisés dans le motion control disposent d'entrées prévuesà cet eet. Une procédure d'initialisation est alors nécessaire à l'enclenchementan de connaître la position absolue du rotor du moteur et ainsi orienter conve-nablement le champ produit pas les enroulements statoriques par rapport à celuidu rotor (aimant permament). Certaines versions modulent la lumière de manièreapproximativement sinusoïdale (en bas à droite sur la gure), permettant d'aug-menter considérablement la résolution (plusieurs millions de points par tour !)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/rod426.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/rod420.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/7ab.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/codeur_optique.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/7d3a.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/spec_encodeur_sincos.pdf



Fig. 3.38 Codeur optique absolu : disque obturant le passage de la lumière,principe de fonctionnement. L'inconvénient de tels capteurs est leur coût.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/disks.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/8c1a.pdf



0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t [s]

e mi(t)

[V]

FEM sinusoïdale, moteur AC brushless

f_fem_1.eps

Fig. 3.39 La FEM est un signal dépendant de la position angulaire θ(t) durotor et peut ainsi être utilisée pour commmuter les phases du moteur si l'on doitse passer de capteur de position de type resolver (chier source).

Le problème majeur est que l'amplitude de la FEM tend malheureusement verszéro à base vitesse, i.e. pour ω → 0

[rads

]et qu'il donc dicile de démarrer conve-

nablement le moteur avec cette seule information.

3.7.3 Asservissement de courant

Schéma fonctionnel du système d'asservissement

La consigne de couple Temc(t), souvent produite par un régulateur de posi-tion/vitesse superposé (gure 3.35 page 188), est convertie en une consigne devaleur de crête des courants de phase par la relation :

Isc(t) =K ′

mi

K ′T

· Temc(t) (3.136)

où 1KT

′ · Temc(t) fournit la consigne de courant de crête en [A] etK′

mi

KT′ · Temc(t)

cette même consigne convertie dans l'unité des capteurs de courant.La phase θsc des courants de consigne est selon le signe de la consigne de

couple calculée de façon à ce que l'angle de couple

δT = θsc(t)− p · θ(t) (3.137)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_fem_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///fem.m



soit égal à

δT = ±π2

(3.138)

On a donc pour les trois consignes de courant :

is1c(t) = Isc(t) · cos (θsc(t)) = Isc(t) · cos (p · θ(t) + δT ) (3.139)

is2c(t) = Isc(t) · cos

(θsc(t)−

2 · π3

)= Isc(t) · cos

(p · θ(t) + δT −

2 · π3

)(3.140)

is3c(t) = Isc(t) · cos

(θsc(t)−

4 · π3

)= Isc(t) · cos

(p · θ(t) + δT −

4 · π3

)(3.141)

La consigne de courant de la troisième phase est déduite des deux premières defaçon à respecter, au niveau des consignes déjà, la condition que doivent forcémentsatisfaire les courants réglés :

is1c(t) + is2c(t) + is3c(t) = 0 [−] (3.142)

Les trois consignes de courants sont transmises aux trois régulateurs de cou-rants, comparées au préalable avec les mesures is1m, is2m et is3m (gure 3.40 pagesuivante). Les erreurs en courant sont traitées, typiquement par un régulateurPI ou par un régulateur à action à deux positions (i.e. régulateur tout-ou-rien)et forment les trois commandes us1c, us2c et us3c représentant les trois tensionsqu'il est souhaitable d'appliquer aux bornes de chaque phase en vue diminuerl'erreur en courant constatée.

Il reste à calculer les tensions de branche u10, u20 et u30 correspondantes. Selonles relations établies au paragraphe consacré au convertisseur statique, on a

u10 = f (us1c, us2c, us3c, θ) (3.143)

u20 = f (us1c, us2c, us3c, θ) = f

(us1c, us2c, us3c, θ −

2 · π3

)(3.144)

u30 = f (us1c, us2c, us3c, θ) = f

(us1c, us2c, us3c, θ −

4 · π3

)(3.145)

où la fonction f n'est pas déterminée et peut être choisie relativement librement( 3.6.4 page 172). Les tensions de phase us1, us2 et us3 résultant de l'applicationdes trois tensions de branche u10, u20 et u30 créent les variations des courant dephase is1, is2 et is3 attendues par les régulateurs de courants.

Modélisation du système à régler

Si l'on étudie plus particulièrement le cas où la commande du convertisseurs'eectue par modulation PWM, le système à régler est décrit par les équationssuivantes :





S

S

S

Gc(

s)

Gm(s

)

u s1c

i sm3

u 10

ui0c= f(us1c , us2c , us3c)

u s2c

i sm2

u s3c

i sm1

u 20

u 30

i s2i s1 i s3

Gcm

1(s)

Gcm

2(s)

Gcm

3(s)

u cm

1

=u 1

0c/K

cm

-

-

-

i s1c=

Î scc

os(q

sc)

i s2c=

Î scc

os(q

sc-2

p/3)

i s3c=

Î scc

os(q

sc-4

p/3)

u s1

u s2

u s3

us1=1/3(2u10-u20-u30)

us2=1/3(2u20-u30-u10)

us3=1/3(2u30-u10-u20)

Gcm

(s)

Gcm

(s)

Gcm

(s)

Giu

1(s)

Giu

2(s)

Giu

3(s)

Gm(s

)

Gm(s

)

Gc(

s)

Gc(

s)

Rég

ulat

eurs

de c

oura

nts

Con

vert

isse

ur d

e fr

éque

nce

et s

a co

mm

ande

Mac

hine

syn

chro

neau

to-c

omm

utée

Cap

teur

sde

cou

rant

s

Con

sign

esde

cou

rant

sC

oura

nts

qpo

siti

on a

ngul

aire

du

roto

r

u cm

2

=u 2

0c/K

cm

u cm

3

=u 3

0c/K

cm

f_03

d_11

.eps

Fig. 3.40 Schéma fonctionnel de l'asservissement de courant (chier source).







conversions des tensions de phase souhaitées us1c, us3c et us3c par lesrégulateurs, en tensions de commande de branches ucm1, ucm2 et ucm3 :

ucm1 = f (us1c, us2c, us3c) (3.146)

ucm2 = f (us1c, us2c, us3c) (3.147)

ucm3 = f (us1c, us2c, us3c) (3.148)

modulation PWM :

u10(t) = Kcm · ucm1 (t− Tcm) (3.149)

u20(t) = Kcm · ucm2 (t− Tcm) (3.150)

u30(t) = Kcm · ucm3 (t− Tcm) (3.151)

conversions des tensions de branches u10, u20 et u30 en tensions de phasesus1, us2 et us3 :

us1 =1

3· (2 · u10 − u20 − u30) (3.152)

us2 =1

3· (2 · u20 − u30 − u10) (3.153)

us3 =1

3· (2 · u30 − u10 − u20) (3.154)

moteur


+

em1(t)︷︸︸︷KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.155)


+

em2(t)︷︸︸︷KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)(3.156)


+

em3(t)︷︸︸︷KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)(3.157)

mesure de courant, dont on néglige ici le comportement dynamique (cecidoit être remis en question si la mesure est ltrée) :

ism1 = Kmi · is1 (3.158)

ism2 = Kmi · is2 (3.159)

ism3 = Kmi · is3 (3.160)





Les blocs ont tous des fonctions de transfert connues ; on a successivement :

la commande

Gcm1(s) =U10(s)


1 + s · Tcm

(3.161)

Gcm2(s) =U20(s)


1 + s · Tcm

(3.162)

Gcm3(s) =U30(s)


1 + s · Tcm

(3.163)

le moteur

Is1(s) =1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· Us1(s) +KE√

3·

1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Lω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.164)

Is2(s) =1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· Us2(s) +KE√

3·

1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Lω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)(3.165)

Is3(s) =1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· Us3(s) +KE√

3·

1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Lω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)(3.166)

Comme on le voit, il n'est pas possible d'extraire une fonction de transfertentre les courants de phase is1, is2, is3, la position θ et la vitesse ω. Hormis ce "dé-tail" mathématique ennuyeux, on pressent déjà que le système d'asservissementde courant subira une contre-tension de nature sinusoïdale, d'amplitude d'autantplus élevée que la vitesse est grande, et qui n'est autre que la FEM. Si celle-ci étaitsimplement proportionnelle à la vitesse dans le cas de la machine DC, elle est icibeaucoup plus gênante d'un point de vue mathématique, puisqu'elle dépend enplus du sinus de l'angle θ. Pour la phase 1, on a par exemple :

em1(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.167)

Le schéma fonctionnel du système à régler vu par le régulateur de chaque phaseest donné à la gure 3.41 page suivante. Dans le cadre de la commande scalaireétudiée ici, on peut admettre dans une première approche que la FEM em1(t) estune perturbation, i.e. un signal aléatoire indépendant des courants de phase. On





S

-

S

T r e s

w

u s 1

-

i s 1 m

T e m

u c m 1

e m 1

i s 1

i s 2

i s 3

c o s ( p q )q

K T Î s s i n ( q s - q )

K m i

u c m 3

u c m 2

u 1 0

u 3 0

u 2 0

u s 1 = 1 / 3 ( 2 u 1 0 - u 2 0 - u 3 0 )K c m e - s T c m

K c m e - s T c m

K c m e - s T c m

1 + s L s / R s

1 / R s

s1

K E

3s J t

1

qf _ 0 3 d _ 1 4 . e p s

Fig. 3.41 Schéma fonctionnel détaillé d'une phase du moteur (chier source).

a alors pour la fonction de transfert simpliée du moteur :

Giu1(s) =Is1(s)

Us1(s)=

1Rs

1 + s · Ls

Rs

(3.168)

Giu2(s) =Is2(s)

Us2(s)=

1Rs

1 + s · Ls

Rs

(3.169)

Giu3(s) =Is3(s)

Us3(s)=

1Rs

1 + s · Ls

Rs

(3.170)

Quant aux blocs eectuant les conversions entre les tensions de phase et debranche, et réciproquement, leur comportement est purement statique et leurseets se compensent. On peut donc les omettre dans la modélisation dynamique.La fonction de transfert simpliée du système à régler vu par chaque régulateurest donc nalement :

Ga(s) =Ism(s)

Usc(s)=

1Rs

1 + s · Ls

Rs

·Kcm · e−s·Tcm ·Kmi ≈1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· Kcm

1 + s · Tcm

·Kmi

(3.171)

Régulateur de courant

L'ajustage du régulateur de courant pour une phase est relativement simple.Partant du principe que le régulateur est du type PI, pour des raisons identiquesà celles évoquées lors de l'étude de la machine DC, on a pour la fonction de







transfert en boucle ouverte :

Go(s) =Ismi(s)

Usci(s)

∣∣∣∣∣ics=0 Tres=0 [N·m]

= Gc(s) ·Ga(s)

= Kp ·1 + s · Ti

s · Ti

·1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· Kcm

1 + s · Tcm

·Kmi

Go(s) =Ko

s· (1 + s · Ti)(

1 + s · Ls

Rs

)· (1 + s · Tcm)

(3.172)

Pour l'ajustage, on propose ici de compenser la constante de temps dominanteLs

Rsen posant

Ti =Ls

Rs

(3.173)

et d'appliquer l'une ou l'autre des méthodes de synthèse, dans les plans de Bodeou d'Evans, pour trouver le gain de boucle Ko et par suite Kp. On a donc, aprèscompensation :

Go(s) =Ko

s · (1 + s · Tcm)(3.174)

Il faut ici ne pas oublier que Tcm est une petite constante de temps, statistique,de valeur moyenne Tp

3, soit typiquement 30 à 50 [µs], issue d'une modélisation de

représentation. Il serait donc dangereux de faire une synthèse en admettant queTcm est parfaitement connue et constante. La simulation peut ici aider à fairecertaines vérications préalables. Parmi les précautions à prendre, signalons quel'on évitera d'ajuster le régulateur de telle manière que :

le gain de boucle Go(j ·ω) soit unitaire jusqu'à des pulsations de l'ordre degrandeur de 1

Tcm;

ou que la constante de temps dominante en boucle fermée soit de l'ordre de gran-deur de Tcm .

Une limite raisonnable consiste à xer que la durée de réglage Treg du courant estsupérieure à environ 10 · Tcm, soit

Treg > 3 · Tp (3.175)

Si l'on travaille dans le plan de Bode (gure 3.42 page suivante) pour la synthèse,sachant que l'on a approximativement

ωco · Treg ≈ π (3.176)

la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte ωco sera ajustée à une valeurmaximale de

ωco =π

Treg<

1

3 · Tcm

(3.177)





w [ r a d / s ]

A [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j [ d e g ]

0

- 1 8 0

- 9 0

j m

i m p o s é p a r l a f r é q u e n c ed e d é c o u p a g e

w c o = p u l s a t i o n d e c o u p u r eà 0 [ d B ] e n b o u c l e o u v e r t e

K o

K o | G o ( j w ) |

| G w ( j w ) |

| G o ( j w ) |

a r g G o ( j w )

w c o < 1 / ( 3 T c m )

1 / T c m

f _ 0 3 d _ 1 2 . e p s

Fig. 3.42 Diagramme de Bode de Go(j · ω) (chier source).







Pour le choix de Kp, on peut encore procéder diéremment en appliquant laméthode algébrique déjà utilisée lors du calcul du régulateur de courant d'induitde la machine DC ([14], 7.2.8). En eet, la fonction de transfert de boucle Go(s)étant très simple, il est aisé de calculer algébriquement la fonction de transfert enboucle fermée, par exemple en régulation de correspondance, et de choisir alorsKp de façon à ce que les pôles dominants imposent un bon comportement enrégime transitoire.

Gw(s) =Ism1(s)

Isc1(s)=

Go(s)

1 +Go(s)=

Ko

s·(1+s·Tcm)

1 + Ko

s·(1+s·Tcm)

=Ko

s · (1 + s · Tcm) +Ko

Gw(s) =Ism1(s)

Isc1(s)=

1

1 + sKo

+ s2 · Tcm

Ko

(3.178)

Par comparaison avec la fonction de transfert d'un système fondamental du se-cond ordre

K

1 + 2·ζωn· s+ 1

ω2n· s2

(3.179)

on voit que :

1

ω2n

=Tcm

Ko

(3.180)

2 · ζωn

=1

Ko

(3.181)

On a :1

ω2n

(2·ζωn

)2 =

Tcm

Ko

1K2

o

(3.182)

d'où :

Ko =1

4 · ζ2 · Tcm

(3.183)

On en déduit les coecients du régulateur PI :

Kp =Ko · Ti

Ka

=Ti ·Rs

4 · ζ2 · Tcm ·Kcm ·Kmi

Ti =Ls

Rs

(3.184)

Sachant que la durée de réglage Treg est liée au facteur d'amortissement δ par larelation,

Treg =3

δ(3.185)





où δ est la partie réelle du (des) pôle(s) dominant(s), on a, avec le choix de Kp

et Ti proposé ci-dessus :

1

ω2n

=Tcm

Ko

(3.186)

2 · ζωn

=1

Ko

(3.187)

On a :2·ζωn

1ω2

n

=1

Ko

Tcm

Ko

=⇒ 2 · ζ · ωn︸︷︷︸δ

=1

Tcm

(3.188)

Treg =3

δ= 6 · Tcm (3.189)

La durée de réglage Treg obtenue avec la méthode de synthèse algébrique estdonc dans une large mesure conforme aux directives données plus concernant lesvaleurs relatives de Treg et Tcm puisque l'on avait proposé Treg ≈ 10 · Tcm.

La gure 3.43 page suivante montre la réponse indicielle obtenue avec l'ajus-tage proposé. La comparaison est également faite avec le résultat d'une simulationcomportant un 'vrai' modulateur PWM.

Limites de la commande scalaire ([14], 8.8.3)

La fonction de transfert en boucle fermée Gw(j · ω), régulation de corres-pondance, a une réponse harmonique dont l'allure générale est donnée sur lagure 3.44 page 204. Une fois n'est pas coutume, il vaut ici la peine de s'inté-resser à la phase de Gw(j · ω). Tout en se rappelant qu'elle n'a bien sûr aucunesignication quant à la stabilité, celle-ci étant dénie à partir de la fonction detransfert en boucle ouverte Go(j ·ω) et non sur la base de la fonction de transferten boucle fermée Gw(j ·ω), on constate qu'une consigne sinusoïdale de courant,telle que le système d'asservissement en recevra probablement souvent en régimepermanent (vitesse et couple constant) ne pourra être poursuivie parfaitementpar la grandeur réglée, i.e. le courant de phase, celui-ci étant

d'une amplitude diérente puisque Gw(j ·ω) présente une certaine atténua-tion, y compris dans la bande passante, i.e. pour ω < ωB ;

d'une phase diérente, Gw(j ·ω) déphasant de manière notable même dansla bande passante, typiquement de −90 [] en ω = ωB (voir gure 3.45page 205).

Seul le second phénomène est réellement d'importance. Il a pour conséquenceque l'angle θs ne correspond pas exactement à sa consigne θsc, l'écart variant enfonction de la pulsation. Par conséquent, l'angle δT entre les deux champs Bri etBa n'est pas tout à fait égal à sa valeur optimale (±π

2) et le couple produit est

donc inférieur à ce qui est escompté (gure 3.46 page 206).





0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponses indicielle avec ’vrai’ modulateur PWM et avec son modèle de représentation (système d’ordre 1)

Modulé PWMModèle de représentation

f_reg_scal_i_2.eps

Fig. 3.43 Réponses indicelles avec 'vrai' modulateur PWM et avec un modèledu type Kcm

1+s·Tcm(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_reg_scal_i_2.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///reg_scal_i



w [ r a d / s ]

A [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j [ d e g ]

0

- 1 8 0

- 9 0

w wc o B@

1

T c m

( )G jw × w

( ) a r g G jw × w

- 2 7 0

1

T c mw wc o B@

u n e c o n s i g n e s i n u s o ï d a l ed e c e t t e p u l s a t i o n n e p o u r r aê t r e p o u r s u i v i e q u ' a v e c u n c e r t a i n d é p h a s a g e

f _ 0 3 d _ 1 3 . e p s

Fig. 3.44 Diagramme de Bode de Gw(j · ω) : le déphasage entre la grandeurréglée et le courant intervient bien avant la bande passante en boucle fermée.En conséquence, les champs d'induction Bri et Ba ne sont pas tout à fait enquadrature (chier source).







0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1Courants de consigne et courants réels

i s1c e

t is1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1

i s2c e

t is2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1

i s3c e

t is3

t [s]

f_03_61_1.eps

Fig. 3.45 Déphasage entre les grandeurs réglées is1, is2, is3 et leurs consignesrespectives isc1, isc2, isc3 (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03_61_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///f_03_61.m



S N

B a

B r i

q s

p q

d T < p / 2

SN

q s = a n g l e r é e l d u c h a m p t o u r n a n t ,i m p o s é p a r l ' a l i m e n t a t i o n




w s ( t )

SN

B r is o u h a i t é

r é e l

q s c

f _ 0 3 c _ 1 7 . e p s

Fig. 3.46 Le déphasage entre les grandeurs réglées is1, is2, is3 et leurs consignesrespectives isc1, isc2, isc3 a pour conséquence que les champs d'induction Bri etBa ne sont pas tout à fait en quadrature. En conséquence, le couple n'est pasmaximum (chier source).







0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

Poursuite sans déphasage d’une consigne sinusoïdale (régulateur RST)

Consigne

Grandeur réglée

Fig. 3.47 Avec un ajustage particulier du régulateur RST [28], le déphasageentre la grandeur réglée et la consigne peut être annulé et les champs d'inductionBri et Ba sont alors tout à fait en quadrature.

Une façon de remédier au phénomène consisterait à mettre en oeuvre unrégulateur plus perfectionné, tel que par exemple la phase de Gw(j · ω) soit nulleen une pulsation donnée (gure 3.47 et voir [28], 5.2.5). La commande vectorielle,par opposition à la commande scalaire résoudra cependant ce problème d'unemanière encore plus élégante.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_sinus.pdf



3.8 Commande vectorielle de la machine synchrone

auto-commutée ([14], chap.9)

3.8.1 Phaseurs spatiaux

Dénition ([29], 2.1.2, [2], 5.7, [14], A.1)

A un instant quelconque t, les courants dans les trois phases statoriques ontpour expressions :

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.190)


(θs(t)−

2 · π3

)(3.191)


(θs(t)−

4 · π3

)(3.192)

Les trois phases sont connectées en étoile, le neutre étant ottant ; de ce fait, ona en permanence :

is1(t) + is2(t) + is3(t) = 0 [A] (3.193)

Les enroulements des trois phases statoriques sont disposés de telle sorte que leursaxes magnétiques soient décalés de 120 [] degrés électriques (degrés mécaniquessi le nombre de paires de pôles est p = 1).

Répartition spatiale idéale des enroulements Représentation schématique

1

1 '

2'3'

2 3

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

q

f _ 0 3 c _ 0 1 . e p s

a x e m a g n é t i q u e p h a s e 1

axe

mag

nétiq

ue p

hase

2

axe magnétique phase 3

u s 1

i s 1

us2

i s2

us3

is3

f _ 0 3 e _ 1 1 . e p s




http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03e_11.pdf



En se rappelant que leur distribution spatiale est par construction aussi sinusoï-dale que possible, les champs d'induction idéaux créés par chacun de ces courantssont, en nommant Ns le nombre total de spires par phase et δ la largeur de l'en-trefer :

Bri1(θ) = µ0 ·

Hri1︷︸︸︷Ns · is1(t)

δ· cos (θ) (3.194)

Bri2(θ) = µ0 ·Ns · is2(t)

δ· cos

(θ − 2 · π

3

)(3.195)

Bri3(θ) = µ0 ·Ns · is3(t)

δ· cos

(θ − 4 · π

3

)(3.196)

Le champ d'induction total créé par les enroulements statoriques seuls (sans lacontribution de l'aimant permanent) est donné par la somme des trois contribu-tions :

Bri(θ) = Bri1(θ) +Bri2(θ) +Bri3(θ)

= µ0 ·Ns

δ·[is1(t) · cos (θ) + is2(t) · cos

(θ − 2 · π

3

)+ is3(t) · cos

(θ − 4 · π

3

)]

=3

2· µ0 ·

Ns

δ· <

2

3· (is1(t) + is2(t) · ej· 2·π

3 + is3(t) · ej· 4·π3 )︸︷︷︸

is

·e−j·p·θ

=

3

2· µ0 ·

Ns

δ· <is · e−j·p·θ

(3.197)

où la multiplication par 32sera justiée ci-après. Le nombre complexe

is(t) =2

3·

is1(t) + is2(t) · ej· 2·π3︸︷︷︸

a

+is3(t) · ej· 4·π3︸︷︷︸

a2

=2

3·(is1(t) + is2(t) · a+ is3(t) · a2

)(3.198)

porte le nom de phaseur complexe. Il s'agit d'un phaseur spatial et non pastemporel, ces derniers intervenant lors du traitement de circuits en régime sinusoï-dal (voir cours "Théorie des circuits"). A noter que l'opérateur de rotation d'un

angle 2·π3

est désigné indiéremment par ej· 2·π3 ou par a. On voit qu'au moyen du

phaseur, toutes les informations relatives aux trois courants des trois phases sontconcentrées en un seul objet mathématique is(t). Sa construction géométriqueest illustrée sur la gure 3.48 page suivante, où l'on admet que l'axe réel coïncideavec l'axe magnétique de la phase 1.





I m

R ea x e m a g n é t i q u e p h a s e 1

axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


( )i ts 1

( )i t es

j

2

23×

×× p

( )i t es

j

3

43×

×× p

( )i t es

j

3

43×

×× p

( )i t es

j

2

2

3××

× p

( )i ts

q s ( t )1 /

3

2 /3

f _ 0 3 e _ 0 1 . e p s

Fig. 3.48 Construction du phaseur complexe is(t) à partir des courants instan-tanés is1(t), is2(t) et is3(t) (chier source).




http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures///f_03e.dsf



Interprétation

En détaillant l'expression mathématique du phaseur is(t) dans le but d'enextraire les parties réelles et imaginaire exprimées dans du système d'axe réel-imaginaire xé sur le stator, on a :

is(t) =2

3·(is1(t) + a · is2(t) + a2 · is3(t)

)=

2

3·[is1(t) + is2(t) · cos

(2 · π

3

)+ is3(t) · cos

(4 · π

3

)]+ j · 2

3·[0 + is2(t) · sin

(2 · π

3

)+ is3(t) · sin

(4 · π

3

)]=

2

3· Is(t)·[

cos (θs(t)) + cos

(θs(t)−

2 · π3

)· cos

(2 · π

3

)+ cos

(θs(t)−

4 · π3

)· cos

(4 · π

3

)]+ j · 2

3· Is(t)·[

0 + cos

(θs(t)−

2 · π3

)· sin

(2 · π

3

)+ cos

(θs(t)−

4 · π3

)· sin

(4 · π

3

)](3.199)

A l'aide des identités trigonométriques suivantes

cos

(θs(t)−

2 · π3

)· cos

(2 · π

3

)=

1

2·(

cos (θs(t)) + cos

(θs(t)−

4 · π3

))cos

(θs(t)−

4 · π3

)· cos

(4 · π

3

)=

1

2·(

cos (θs(t)) + cos

(θs(t) +

2 · π3

))cos

(θs(t)−

2 · π3

)· sin

(2 · π

3

)=

1

2·(

sin (θs(t))− sin

(θs(t)−

4 · π3

))cos

(θs(t)−

4 · π3

)· cos

(4 · π

3

)=

1

2·(

sin (θs(t))− sin

(θs(t) +

2 · π3

))le phaseur devient :

is(t) =2

3· Is(t) ·

(3

2· cos (θs(t)) + j · 3

2sin (θs(t))

)= Is(t) · ej·θs(t) (3.200)

On voit que is(t) est un nombre complexe de module égal à la valeur de crêtedes courants de phase, grâce au terme correctif 2

3introduit plus haut sans autre

justication, et d'argument θs(t) égal à la phase instantanée du courant is1(t) :

|is(t)| =∣∣∣∣23 · (is1(t) + a · is2(t) + a2 · is3(t))

∣∣∣∣ =∣∣∣Is(t) · ej·θs(t)

∣∣∣ = Is(t) (3.201)

argis(t) = θs(t) (3.202)





Ce vecteur complexe tourne à la vitesse angulaire instantanée

ωs(t) =dθs(t)

dt= p · dθ(t)

dt(3.203)

soit à la même pulsation que les courants statoriques is1(t), is2(t) et is3(t). Lescourants is1(t), is2(t) et is3(t) sont simplement donnés par la projection (orthogo-nale) du phaseur is(t) sur les axes de leurs phases respectives, comme le montrela gure 3.49 page suivante. On a en eet :

is1(t) = |is(t)| · cos (θs(t)) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.204)

is2(t) = |is(t)| · cos

(2 · π

3− θs(t)

)= Is(t) · cos

(θs(t)−

2 · π3

)(3.205)

is3(t) = |is(t)| · cos(π

3− θs(t)

)= −|is(t)| · cos

(π +

π

3− θs(t)

)= −|is(t)| · cos

(4 · π

3− θs(t)

)= Is(t) · cos

(θs(t)−

4 · π3

)(3.206)





I m


axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


( )i ts 1

( )i t es

j

3

43×

×× p

( )i t es

j

2

23×

×× p

( )i ts

q s

2 p / 3 - q s

p / 3- q s

f _ 0 3 e _ 0 6 . e p s

Fig. 3.49 Interprétation du phaseur complexe is(t) : sa projection orthogonalesur les axes magnétiques des trois phases donne les courants de phases instantanésis1(t), is2(t) et is3(t) (chier source).







Résumé

Les courants des trois phases ont pour expressions :

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.207)


(θs(t)−

2 · π3

)(3.208)


(θs(t)−

4 · π3

)(3.209)

On voit qu'ils ont : la même amplitude instantanée Is(t) ; la même pulsation (électrique) ωs(t) instantanée.

La distinction entre eux n'est nalement due qu'à leur déphasage temporel de±2·π

3. En conséquence, on décide de les réunir en un seul être mathématique

is(t) appelé phaseur complexe ou phaseur spatial. Mathématiquement, ce phaseurcomplexe se construit par la relation

is(t) =2

3·

is1(t) + is2(t) · ej· 2·π3︸︷︷︸

a

+is3(t) · ej· 4·π3︸︷︷︸

a2

=2

3·(is1(t) + a · is2(t) + a2 · is3(t)

)(3.210)

Il a pour module Is(t) et pour argument θs(t) =∫ t

−∞ ωs(τ) · dτ . Son interprétationest simple : sa projection (orthogonale) sur les trois axes magnétiques des troisphases statoriques restitue les trois courants instantanés de phases is1(t), is2(t) etis3(t). Un des avantages de traiter des phaseurs spatiaux plutôt que des grandeursscalaires est que les trois informations sinusoïdales sont "compactées" en un seulnombre complexe.

Système biphasé équivalent

Les composantes réelle isd(t) = Is(t) · cos (θs(t)) et imaginaire isq(t) = Is(t) ·sin (θs(t)) de is(t) correspondent aux courants qui devraient parcourir un systèmebiphasé équivalent formé de deux enroulements statoriques en quadrature pourformer le même phaseur (et par suite le même champ d'induction ~Bri) que lesystème triphasé original (gure 3.50 page ci-contre). Ces composantes sont éga-lement obtenues par projection orthogonale de is(t) sur les axes magnétiques dusystème biphasé équivalent.

Formules de passage du système triphasé au système biphasé

Les relations obtenues au paragraphe précédent permettent de déterminerformules de transformation pour passer de la représentation triphasée du phaseur





I m( a x e q" t r a n s v e r s e " )

R e( a x e d " d i r e c t " )


( )i ts

q s

f _ 0 3 e _ 1 0 . e p s

i s qs ( t ) = | i s ( t ) | s i n ( q s ( t ) )

i s ds ( t ) = | i s ( t ) | c o s ( q s ( t ) )

Fig. 3.50 Système biphasé équivalent au système triphasé original : les deuxproduisent le même phaseur, et par conséquent le même champ d'induction ~Bri

dans l'entrefer (chier source).

à la représentation biphasée et vice versa. On a, pour le passage du systèmetriphasé au système biphasé :

issd = <is(t) =2

3· <

(is1(t) + is2(t) · ej· 2·π3 + is3(t) · ej· 4·π

3 )

=2

3·[is1 + is2 · cos

(2 · π

3

)+ is3 · cos

(4 · π

3

)]

=2

3·

is1 − 1

2· (is2 + is3︸︷︷︸

−is1

)

= is1 (3.211)

issq = =is(t) =2

3· =

(is1(t) + is2(t) · ej· 2·π3 + is3(t) · ej· 4·π

3 )

=2

3·[is2 · sin

(2 · π

3

)+ is3 · sin

(4 · π

3

)]=

2

3·√

3

2· (is2 − is3) =

1√3· (is2 − is3) (3.212)







i s ds

r é f é r e n t i e ls = s t a t o r i q u er = r o t o r i q u ek = q u e l c o n q u e

c o m p o s a n t ed = d i r e c t = r é e lq = t r a n s v e r s e = i m a g i n a i r ee n r o u l e m e n t

s = s t a t o rr = r o t o r

g r a n d e u ri = c o u r a n tu = t e n s i o nY = f l u x t o t a l i s ée t c

f _ 0 3 e _ 1 2 . e p s

Fig. 3.51 Notation, convention pour les indices et exposants (chier source).

Dans le sens inverse, on a :

is1 = issd (3.213)

is2 = −issd ·

12︷︸︸︷

cos(π

3

)+issq ·

√3

2︷︸︸︷cos(π

6

)=

1

2·(−issd + issq ·

√3)

(3.214)

is3 = −issd ·

12︷︸︸︷

cos(π

3

)−issq ·

√3

2︷︸︸︷cos(π

6

)=

1

2·(−issd − issq ·

√3)

(3.215)

En résumé :

3 phases / 2 phases 2 phases / 3 phases(is1, is2, is3) −→ (issd, i

ssq) (issd, i

ssq) −→ (is1, is2, is3)

issd = is1 is1 = issdissq = 1√

3· (is2 − is3) is2 = 1

2·(−issd + issq ·

√3)

is3 = 12·(−issd − issq ·

√3)

Pour les notations, on adoptera par défaut la convention symbolisée à la -gure 3.51.

Dans certains cas, lorsque d'oce on travaille par exemple dans un référentielbien spécié sans en changer très fréquemment, l'indice supérieur s, k, ou r peutêtre omis.







Phaseurs de tension et de ux totalisé

Reprenant les équations de tension de la machine synchrone auto-commutée( 3.5.2 page 154),


dt(3.216)


dt(3.217)


dt(3.218)

multipliant la première équation par 23, la seconde équation de tension par 2

3·ej· 2·π

3

et la troisième par 23· ej· 4·π

3 , on a :

2

3· us1(t) =

2

3·(Rs · is1(t) +

dΨs1

dt

)(3.219)

2

3· us2(t) · ej· 2·π

3 =2

3·(Rs · is2(t) · ej· 2·π

3 +dΨs2

dt· ej· 2·π

3

)(3.220)

2

3· us3(t) · ej· 4·π

3 =2

3·(Rs · is3(t) · ej· 4·π

3 +dΨs3

dt· ej· 4·π

3

)(3.221)

La somme des trois membres de gauche permet de former ce qui n'est autreque le phaseur de tension,

us(t) =2

3·(us1(t) + us2(t) · ej· 2·π

3 + us3(t) · ej· 4·π3

)(3.222)

alors que le membre de droite fait intervenir les phaseurs de courant et de uxstatoriques,

is(t) =2

3·(is1(t) + is2(t) · ej· 2·π

3 + is3(t) · ej· 4·π3

)(3.223)

Ψs(t) =2

3·(Ψs1(t) + Ψs2(t) · ej· 2·π

3 + Ψs3(t) · ej· 4·π3

)(3.224)

et l'équation de tension s'écrit de manière compacte :

us(t) = Rs · is(t) +dΨs(t)

dt(3.225)





Expression détaillée de l'équation de tension

Les composantes du ux totalisé statorique sont données par :

Ψs1(t) =

ux propre + ux mutuel entre phases︷︸︸︷Ls · is1(t) +

ux mutuel entre phase 1 et rotor︷︸︸︷Ψa · cos (p · θ) (3.226)

Ψs2(t) = Ls · is2(t) +Ψa · cos

(p · θ − 2 · π

3

)(3.227)

Ψs3(t) = Ls · is3(t) +Ψa · cos

(p · θ − 4 · π

3

)(3.228)

Le phaseur Ψs(t) s'écrit donc :

Ψs(t) =2

3·(Ψs1(t) + Ψs2(t) · ej· 2·π

3 + Ψs3(t) · ej· 4·π3

)(3.229)

= Ls · is(t) +2

3· Ψa ·

[cos (p · θ) + cos

(p · θ − 2 · π

3

)· ej· 2·π

3 + cos

(p · θ − 4 · π

3

)· ej· 4·π

3

](3.230)

Les deux derniers termes du membre de droite peuvent être transformés à l'aided'identités trigonométriques :

cos

(p · θ − 2 · π

3

)= cos (p · θ) · cos

(2 · π

3

)+ sin (p · θ) · sin

(2 · π

3

)(3.231)

= −1

2· cos (p · θ) +

√3

2· sin (p · θ) (3.232)

cos

(p · θ − 4 · π

3

)= cos (p · θ) · cos

(4 · π

3

)+ sin (p · θ) · sin

(4 · π

3

)(3.233)

= −1

2· cos (p · θ)−

√3

2· sin (p · θ) (3.234)

En sommant, on obtient :

cos (p · θ)− 1

2· cos (p · θ) ·

(ej· 2·π

3 + ej· 4·π3

)+

√3

2· sin (p · θ) ·

(ej· 2·π

3 − ej· 4·π3

)= cos (p · θ)− 1

2· cos (p · θ) ·

(−1

2− 1

2

)+

√3

2· sin (p · θ) ·

(j ·√

3

2+ j ·

√3

2

)= cos (p · θ) +

1

2· cos (p · θ) + j · 3

2· sin (p · θ)

=3

2· [cos (p · θ) + j · sin (p · θ)]

=3

2· ej·p·θ (3.235)





On a donc nalement :

Ψs(t) =2

3·(Ψs1(t) + Ψs2(t) · ej· 2·π

3 + Ψs3(t) · ej· 4·π3

)= Ls · is(t) + Ψa · ej·p·θ︸︷︷︸

Ψa

(3.236)Pour obtenir l'équation de tension, il faut encore calculer la dérivée du ux parrapport au temps :

d

dtΨs(t) =

d

dt

(Ls · is(t) + Ψa · ej·p·θ

)= Ls ·

d

dtis(t) + j · Ψa · p ·

dθ

dt· ej·p·θ (3.237)

Finalement, l'équation de tension s'écrit :

us(t) = Rs · is(t)︸︷︷︸chute de tension ohmique

+

ddt

Ψs(t)︷︸︸︷Ls ·

d

dtis(t)︸︷︷︸


+ j · Ψa · p ·dθ

dt· ej·p·θ︸︷︷︸

tension induite de mouvement

(3.238)

On y reconnaît les termes de chute de tension ohmique, de tension induite detransformation ainsi que de tension induite de mouvement (FEM). Le phaseurde cette dernière a donc pour expression

em = j · Ψa · p ·dθ

dt· ej·p·θ = j · p · dθ

dt·Ψa (3.239)

On constate sans surprise que le phaseur de FEM em est en avance de 90 [](électriques) par rapport à celui du ux Ψa produit par le rotor.

A nouveau, la projection (gure 3.52 page suivante) de chacun des termes decette équation sur les axes des trois phases du système triphasé original, respec-tivement des deux phases du système biphasé équivalent, permet de retrouver lesvaleurs instantanées de chacune des grandeurs.





I m


axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


( )L i ts s×

p q ( t )

( )e tm ( )Y a t( )u ts

( )Y s tR is s×

Ldd t

is s×

( )i ts

q s ( t )

a xe m

a gn é t i

q u e du r o

t o r

f _ 0 3 e _ 0 2 . e p s

Fig. 3.52 Représentation graphique de l'équation de tension : us(t) = Rs ·is(t)+Ls · d

dtis(t) + em(t) (chier source).







Application : phaseur des tensions de phases instantanées d'un conver-tisseur statique ([7], 3.4.5, [14], 2.9-10)

Le phaseur des tensions de phases a pour expression :

us(t) =2

3·(us1(t) + us2(t) · ej· 2·π

3 + us3(t) · ej· 4·π3

)(3.240)

An de représenter graphiquement ce phaseur en fonction des diérents états decommutation des branches, calculons les parties réelle et imaginaire :

ussd = us1 (3.241)

ussq =

1√3· (us2 − us3) (3.242)

Les tensions de phases sont liées aux tensions de branches par les trois relations( 3.6.3 page 172) :

us1 =1

3· (2 · u10 − u20 − u30) (3.243)

us2 =1

3· (2 · u20 − u30 − u10) (3.244)

us3 =1

3· (2 · u30 − u10 − u20) (3.245)

On sait que les trois tensions de branches instantanées u10, u20, et u30 ne peuventprendre que l'une des deux valeurs 0 [V] et Ue. En conséquence, l'ensemble desvaleurs instantanées possibles (à ne pas confondre ici avec valeurs moyennes) destensions de phases us1, us2, et us3 se réduit à :

Etat/tension 0 1 2 3 4 5 6 7

u10 0 Ue Ue 0 0 0 Ue Ue

u20 0 0 Ue Ue Ue 0 0 Ue

u30 0 0 0 0 Ue Ue Ue Ue

us1 0 +23· Ue +1

3· Ue −1

3· Ue −2

3· Ue −1

3· Ue +1

3· Ue 0

us2 0 −13· Ue +1

3· Ue +2

3· Ue +1

3· Ue −1

3· Ue −2

3· Ue 0

us3 0 −13· Ue −2

3· Ue −1

3· Ue +1

3· Ue +2

3· Ue +1

3· Ue 0

ussd 0 +2

3· Ue +1

3· Ue −1

3· Ue −2

3· Ue −1

3· Ue +1

3· Ue 0

ussq 0 0 1√

3· Ue

1√3· Ue 0 − 1√

3· Ue − 1√

3· Ue 0

Le phaseur de tension ne peut donc prendre que sept états diérents, sixdesquels étant situés aux extrêmités d'un hexagone de rayon 2

3· Ue (gure 3.53

page suivante).





I m


axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


( )u ts

2( U e , U e , 0 )

1( U e , 0 , 0 )

6( U e , 0 , U e )

5( 0 , 0 , U e )

4( 0 , U e , U e )

3( 0 , U e , 0 )

0( 0 , 0 , 0 )

7( U e , U e , U e ) + 2 / 3 U e )- 2 / 3 U e )

+U e

3

-U e

3

f _ 0 3 e _ 1 3 . e p s

Fig. 3.53 Les 7 diérentes valeurs instantanées que peut prendre le phaseur detension us(t). Le cercle indique l'amplitude maximale ( Ue√

3) que peut prendre la

valeur moyenne du phaseur us(t) tout en garantissant des valeurs moyennes detensions de phases purement sinusoïdales, i.e. sans harmoniques. Voir égalementgure 3.28 page 178 (chier source).







I m( a x e q s t a t o r i q u e )

R e( a x e ds t a t o r i q u e )


q s

f _ 0 3 e _ 1 5 . e p s

0

x s qs

x s ds

x s ( t )I m

( a x e q

t o u r n a n t )

R e( a x e d

t o u r n a n t )

x s qk x s d

k

q k

Fig. 3.54 Système d'axes tournant : les bobinages ctifs sont parcourus par descourants produisant le même phaseur, i.e. le même champ d'induction (chier source).

Expression dans un système d'axes quelconque

Les phaseurs complexes entrant en jeu jusqu'ici ont été référencés implicite-ment à un système d'axes réel-imaginaire d− q xe par rapport au stator. Alorsque les phaseurs sont formés des contributions de chacune des trois phases, onles a construit dans un système statorique biphasé équivalent, constitué de deuxenroulements, l'un étant solidaire de l'axe réel et l'autre de l'axe imaginaire.

Il est toutefois extrêmement utile de référencer les mêmes phaseurs par rap-port à un système d'axes réel-imaginaire tournant par rapport au stator, repérépar rapport à celui-ci par l'angle θk. Si l'on raisonne à partir du phaseur decourant is(t), cela revient à trouver les courants iq et id devant parcourir deuxbobinages xés sur les axes réel et imaginaire d'un système décalé d'un angleθk pour produire le même phaseur de courant (gure 3.54). Un phaseur exprimédans ce nouveau système d'axes k est donné par :

xks(t) = xs

s(t) · e−j·θk (3.246)

Cette relation est presque évidente : en eet, le phaseur exprimé dans lenouveau système d'axes (gure 3.55 page suivante)

a le même module |xks(t)| = |xs

s(t) · e−j·θk | = |xss(t)| ;

a un argument simplement diminué de θk : argxks(t) = argxs

s(t) − θk.







I m


axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


q s ( t )

I m

R e

q

d

q k ( t )

f _ 0 3 e _ 0 4 . e p s

x s ( t )

Fig. 3.55 Expression d'un phaseur dans un référentiel quelconque repéré parrapport au référentiel statorique par l'angle θk (chier source).

En extrayant xss(t) de la relation ci-dessus :

xss(t) = xk

s(t) · e+j·θk (3.247)

On voit ici tout l'intérêt de travailler avec des nombres complexes, l'alternativeconsistant a faire usage de vecteurs et de matrices, ces dernières faisant oced'opérateurs de rotation. En extrayant parties réelle et imaginaire, on a :

xssd+j·xs

sq︷︸︸︷xs

s(t) =

xksd+j·xk

sq︷︸︸︷xk

s(t) ·

cos (θk)+j·sin (θk)︷︸︸︷e+j·θk (3.248)

xssd = xk

sd · cos (θk)− xksq · sin (θk) (3.249)

xssq = xk

sd · sin (θk) + xksq · cos (θk) (3.250)







Formules de passage du référentiel statorique au référentiel tournant

Pour obtenir les relations entre les composantes réelles et imaginaires d'unmême phaseur xs(t) exprimées tantôt dans le référentiel statorique s, tantôtdans le référentiel tournant k, on applique la relation de transformation établieau paragraphe précédent :

référentiel xe / référentiel tournant référentiel tournant / référentiel xe(issd, i

ssq) −→ (iksd, i

ksq) (iksd, i

ksq) −→ (issd, i

ssq)

xksd = xs

sd · cos (θk) + xssq · sin (θk) xs

sd = xksd · cos (θk)− xk

sq · sin (θk)xk

sq = −xssd · sin (θk) + xs

sq · cos (θk) xssq = xk

sd · sin (θk) + xksq · cos (θk)

3.8.2 Equations de la machine dans un système d'axes xéau rotor ([14], 3.4.7)

On propose ici d'exprimer les équations de la machine dans un référentiel liéau rotor

θk = p · θ (3.251)

Le système d'axe réel-imaginaire d − q est donc xé sur le rotor, l'axe direct dcoïncidant avec l'axe magnétique de l'aimant. En faisant les substitutions

uss(t) = uk

s(t) · e+j·θk (3.252)

iss(t) = iks(t) · e+j·θk (3.253)

Ψss(t) = Ψk

s(t) · e+j·θk (3.254)

dans l'équation de tension, on obtient :

uks(t) · e+j·θk = Rs · iks(t) · e+j·θk +

d

dt(Ψk

s(t) · e+j·θk) (3.255)

= Rs · iks(t) · e+j·θk + Ψks(t) ·

d

dt(e+j·θk) + e+j·θk · d

dt(Ψk

s(t)) (3.256)

= Rs · iks(t) · e+j·θk + j · dθk

dt·Ψk

s(t) · e+j·θk + e+j·θk · ddt

Ψks(t)

(3.257)

Finalement, en divisant par le terme e+j·θk , on obtient l'équation de tension dansle référentiel tournant (gure 3.56 page suivante) :

uks(t) = Rs · iks(t) +

d

dtΨk

s(t) + j · dθk

dt·Ψk

s(t) (3.258)





( )jd

d ttk

sk× ×

qY

( )d

d tts

kYq

da x e m a g n é t i q u e d u r o t o r

( )L i ts sk×

q s ( t ) - q k ( t )

( )Y ak t

( )u tsk

( )Y sk t

R is sk×

( )i tsk

q k ( t ) = p q ( t )f _ 0 3 e _ 0 3 . e p s

Fig. 3.56 Construction de l'équation de tension uks(t) = Rs · iks(t) + d

dtΨk

s(t) +

j · dθk

dt·Ψk

s(t) dans un référentiel quelconque repéré par l'angle θk (chier source).

En prenant en compte l'expression détaillée du ux statorique

Ψks(t) = Ls · iks(t) + Ψk

a = Ls · iks(t) + Ψa (3.259)

car

Ψka(t) = Ψs

a(t) · e−j·θk = Ψa ·

p·θ=θk︷︸︸︷ej·p·θ · e−j·θk = Ψa (3.260)







q


( )L i ts sk×

q s ( t ) - q k ( t )

( )e tmk

( )Y ak t

( )u tsk

( )Y sk t

R is sk×

Ldd t

is sk×

( )i tsk

q k ( t ) = p q ( t )

jd

d tL ik

s sk× × ×

J

jd

d tL ik

s sk× × ×

J

f _ 0 3 e _ 0 8 . e p s

Fig. 3.57 Construction de l'équation de tension dans un référentiel quelconquerepéré par l'angle θk. Noter la position du phaseur de FEM em(t), en avanced'exactement ±π

2par rapport au phaseur du ux de l'aimant Ψa (chier source).

on peut encore écrire (gure 3.57) :

uks(t) = Rs · iks(t) +

d

dt(

Ψks (t)︷︸︸︷

Ls · iks(t) + Ψa) + j · dθk

dt· (

Ψks (t)︷︸︸︷

Ls · iks(t) + Ψa) (3.261)

uks(t) = Rs · iks(t)︸︷︷︸

chute de tension ohmique

+ Ls ·diks(t)

dt︸︷︷︸chute de tension inductive

+ j · dθk

dt· Ls · iks(t)︸︷︷︸

terme de couplage entre axes

+ j · dθk

dt· Ψa︸︷︷︸

FEM, solidaire de l'axe q

(3.262)

La décomposition en parties réelle et imaginaire donne les équations de tensionpour les axes réel d et imaginaire q, en omettant l'indice k :







usd = Rs · isd + Ls ·disddt

− dθk

dt· Ls · isq (3.263)

usq = Rs · isq + Ls ·disqdt

+dθk

dt· Ls · isd +

dθk

dt· Ψa︸︷︷︸

Em

(3.264)

Dans le ux direct (axe d) est compris le ux produit par l'aimant :

Ψsd = Ls · isd + Ψa (3.265)

Ce dernier est donc bel et bien câlé sur l'axe direct. Par contre, la tension induitede mouvement qu'il génère, i.e. la FEM est en avance par rapport à lui de 90 [],et se trouve par conséquent sur l'axe transverse q :

em = j · Em = j · dθk

dt· Ψa = j · p · dθ

dt· Ψa = j · KE√

3· ω (3.266)

Le couple électromagnétique produit est donné par :

Tem(t) = KT · Is(t) · sin ( δT︸︷︷︸θs(t)−θ(t)

) =

√3

2·KE · Is(t) · sin (θs(t)− θ(t))

=

√3

2·√

3 · Ψa · Is(t) · sin (θs(t)− θ(t)) =3

2· Ψa · Is(t) · sin (θs(t)− θ(t))︸︷︷︸

isq(t)

(3.267)

soit nalement :

Tem(t) =3

2· Ψa · isq(t) = KT · isq(t) (3.268)

ce qui montre bien que le couple est proportionnel au courant de l'axe transverseet au ux créé par l'aimant seul. On voit d'autre part que le couple est maximalpour un courant is(t) lorsque l'angle

δT = θs − θ (3.269)

est égal à ±π2, auquels cas le courant isd dans l'axe direct est nul.

3.8.3 Commande de la machine

Stratégie de commande ([14], 9.2)

Pour commander la machine, il sura donc d'imposer, i.e. d'asservir le courantisq dans l'axe imaginaire (i.e. l'axe transverse) à une valeur xée par le coupleexigé ci-dessus selon la relation

Tem(t) = KT · isq(t) (3.270)





q


q s ( t ) - q k ( t )

e j emk

m qk= ×

( )Y ak t

i j isk

s qk= ×

q k ( t ) = p q ( t )

F E M i m a g i n a i r e

p u r e

( e m dk = 0 [ V ] )

C o u r a n t s t a t o r i q u e

e n p h a s e a v e c l a F E M

( i s dk = 0 [ A ] )

F l u x d e p r o d u i t p a r

l ' a i m a n t f i x é s u r l ' a x e r é e l

p a r l e c h o i x q k ( t ) = p q ( t )

( Y a qk = 0 [ V s ] )

S y s t è m e d ' a x e t o u r n a n t ,

f i x é s u r l e r o t o r

( q k = p q )

f _ 0 3 e _ 0 7 . e p s

q s ( t )

0

Fig. 3.58 Situation lorsque les champs sont en quadrature : le phaseur decourant is(t) est sur l'axe transverse et par conséquent imaginaire pur is(t) =0 + j · isq(t). Cela traduit également le fait que le courant et la FEM sont enphase (chier source).

Pour un courant de crête Is(t) donné, le couple obtenu sera comme on le voitmaximal si le courant isd dans l'axe réel (i.e. l'axe direct) est nul, ce que l'asser-vissement tâchera de garantir. Graphiquement, cela correspond pour les phaseursà la situation décrite sur la gure 3.58, où l'on voit que le phaseur de courantis(t) est purement imaginaire, colinéaire avec celui de la FEM em(t) :

is(t) = isd(t)︸︷︷︸0 [A]

+j ·isq(t)︸︷︷︸Is(t)

= j · Is(t) (3.271)

Les équations du paragraphe précédent montrent que la commande de la ma-chine peut s'eectuer avantageusement dans le référentiel tournant lié au rotor.La stratégie consiste à imposer le courant isq de l'axe transverse à une valeurcorrespondant au couple souhaité tout en maintenant nul le courant isd dans







l'axe direct d. La régulation de couple/courant s'eectue donc sur des grandeurstransformées exprimées dans le référentiel tournant. Il en résulte deux tensionsde commande pour les axes d et q, tensions qu'il s'agit de convertir nalement entrois commandes pour les branches du convertisseur.

Les fonctions suivantes doivent être réalisées pour mettre en oeuvre ce typede commande (gure 3.59 page suivante) :

conversion système triphasé xe / biphasé xe (3/2) ; conversion système biphasé xe / biphasé tournant (s/k) ; algorithme de régulateur (Régulateurs de courants) ; conversion système biphasé tournant / biphasé xe (k/s ) ; conversion système biphasé xe / triphasé xe (2/3) ; calcul des cosinus et sinus de l'angle rotorique (cos, sin).

Au vu du nombre et de la complexité des ces opérations, ce type de commandedoit presque impérativement être réalisée par un système à processeur rapide,typiquement par processeur de signal (DSP).

Avec ce système de commande, les performances sont meilleures que cellesobtenues avec la commande scalaire. En eet, plutôt que d'asservir les trois cou-rants indépendamment, c'est le phaseur (vecteur) de courant qui est directementcontrôlé. Le surplus de calculs occasionné par les conversions de coordonnées estcompensé par un algorithme de régulation plus simple à performances équiva-lentes. On relève en particulier qu'avec la commande vectorielle, le régulateurasservit les amplitudes et les phases des courants et traite ainsi des grandeursqui ne sont plus, après transformations de coordonnées, sinusoïdales. L'une desconséquences est par exemple que le régime permanent sinusoïdal devient un ré-gime permanent constant, ce qui permet de positionner très précisément le champstatorique et de garantir un angle de charge δT optimum.

Modèle mathématique du système à régler ([14], 3.4.7)

Reprenant les équations de tension

usd = Rs · isd + Ls ·disddt

− dθk

dt· Ls · isq (3.272)


+dθk

dt· Ls · isd +

dθk

dt· Ψa (3.273)

et appliquant la transformée de Laplace, on a :

Usd(s) = Rs · Isd(s) + Ls · s · Isd(s)− s ·Θk(s) · Ls ∗ Isq(s) (3.274)

Usq(s) = Rs · Isq(s) + Ls · s · Isq(s) + s ·Θk(s) · Ls ∗ Isd(s) + s ·Θk(s) · Ψa

(3.275)

Ces équations sont non-linéaires, puisqu'un produit de convolution dans l'espaceopérationnel intervient. Elles ne sont linéaires que lorsque que le moteur tourne





S

S

i sm1

u 10

i sm2

i sm3

u 20

u 30

-

-i sq

ck

i sdck =

0

1/K

TT

emc

Î sc

q

i s1i s 2

is3

u s1

u s 2

us3

u 10

u 20 u 3

0

u N

COMMANDE&

CONVERTISSEUR

posi

tion

ang

ulai

redu

rot

or

cons

igne

de c

oupl

e

3

2

s

u cm

1

u cm

2

u cm

3

3

2

s

k

sin(qk)

cos(qk)co

ssi

n

u sdk

u sqk

Rég

ulat

eurs

deco

uran

ts

i sdk

i sqk

u sds

u sqs

i sds

i sqs

Au

régu

late

urde

pos

itio

név

entu

elf_

03e_

05.e

ps

Fig. 3.59 Schéma montrant l'implantation de la commande vectorielle de lamachine synchrone auto-commutée (chier source).







à vitesse ω constante. Ceci indique que les paramètres des régulateurs devraienten principe être ajustés en fonction de la vitesse de rotation, an de garantir desperformances indépendantes du point de fonctionnement. De plus, un couplageintervient très nettement entre les axes d et q, un variation de isd ayant un eetsur usq et réciproquement.

L'origine de ce couplage est à rechercher dans la nature alternative des si-gnaux (courants, tensions, etc) réels, lesquels provoquent, même en régime sinu-soïdal permanent, des chutes de tensions inductives aux bornes des inductancesstatoriques L11, L12, etc. Ce type d'eet ne s'observe bien sûr pas aux bornes dela machine DC et l'on voit donc que malgré tout l'apport des transformations decoordonnées, on n'a pas totalement réussi à transformer la machine synchroneauto-commutée en une machine DC.

En se rappelant d'une part que

s ·Θk(s) = s · p ·Θ(s) = p · Ω(s) (3.276)

où Ω(s) est la transformée de Laplace de la vitesse mécanique ω(t), et d'autrepart que ( 3.5.2 page 157)

KE =√

3 · p · Ψa =⇒ s ·Θk(s) · Ψa = s · p ·Θ(s) · Ψa =KE√

3· Ω(s) (3.277)

les équations peuvent encore être mises sous une forme facilitant leur présentationpar schéma fonctionnel :

Isd(s) =1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· Usd(s) +1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· p · Ω(s) · Ls ∗ Isq(s) (3.278)

Isq(s) =1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· Usq(s)−1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· p · Ω(s) · Ls ∗ Isd(s)−1

Rs

1 + s · Ls

Rs

· KE√3· Ω(s)

(3.279)

La gure 3.60 page suivante montre le schéma fonctionnel de la machine syn-chrone, où les non-linéarités apparaissent clairement (blocs produit). Sous ré-serve d'une bonne mesure de vitesse, des commandes anticipées peuvent linéa-riser la charge. En eet, si l'on soustrait à usd la quantité p · ω(t) · Ls · isq(t),le terme correspondant est compensé. Il en va de même si l'on ajoute à usq laquantité p ·ω(t) ·Ls · isd(t). Cette dernière commande peut encore être complétéepar KE√

3· ω(t), de façon à anticiper l'eet de la FEM. Il faut se rappeler que cette

dernière n'est en soi pas une perturbation, mais qu'elle n'est qu'un signal de laboucle de régulation, obtenu après que le moteur atteigne une vitesse dépendantdu couple lui étant appliqué et de la charge mécanique.





1

1

R

sL

R

s

s

s

+ ×

u s q ( t )

w ( t )

S

1

1

R

sL

R

s

s

s

+ ×S

L s

L s

i s d ( t )

i s q ( t )

u s d ( t )

-

-

f _ 0 3 e _ 0 9 . e p s

p

w s ( t )

K E

3

Fig. 3.60 Schéma structurel du modèle de la machine synchrone dans le réfé-rentiel tournant (chier source).

Il faut remarquer l'analogie entre l'équation de la tension aux bornes de l'axeq, en supposant isd ≈ 0 [A]


+KE√

3· ω (3.280)

et celle de la tension aux borne de l'induit d'une machine DC :

ua = Ra · ia + La ·diadt

+KE · ω (3.281)

Si l'on tient encore compte des équations de couple

Tem(t) = KT · isq(t) (3.282)

etTem(t) = KT · ia(t) (3.283)

on voit que dans le système d'axes tournant xé sur le rotor, la machine synchronese commande aussi simplement qu'une machine DC. La gure 3.62 page suivantemontre les performances mesurées de la régulation vectorielle de courant.







u s q

1

1

R

sL

R

s

s

s

+ ×S

i s q

-

f _ 0 3 e _ 1 4 . e p s

S

T r e s

w-T e m

e m

K T

g r a n d e u r r é g l é e

b r u t ei s q

K E

s J t

1

3

Fig. 3.61 Schéma fonctionnel du modèle de la machine synchrone dans le réfé-rentiel tournant, axe q (chier source).

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−0.02

0

0.02

0.04

0.06

ω(t)

Commande vectorielle d’un moteur synchrone auto−commuté

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−4

−2

0

2

4

T emc(t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−10

−5

0

5

10

i sc1(t)

, is1

(t)

t [s]

f_test_com_vect_01_1.eps

Fig. 3.62 Déplacement point à point (prol de vitesse trapézoïdal) dans lecas d'une commande vectorielle : on observe la qualité du suivi de consigne decourant (reconstituée puisqu'elle n'est plus sinusoïdale) (chier source).





http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_test_com_vect_01_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///test_com_vect_01.m


chapitre 3 entraînement avec machine synchrone...

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