Chapitre 2: Les ondes mécaniques

2.1 Les caractéristiques des ondes• Une onde est une perturbation par rapport à un état normal ou d’équilibre qui

se propage sans déplacement de matière.

• Une onde mécanique se déplace à la surface ou à l ’intérieur d ’un matériaux ayant des propriétés élastiques; il doit absolument y avoir un mécanisme qui tend à faire revenir le milieu à son état normal ou d’équilibre.

• Une impulsion est une perturbation momentanée par rapport à l’état d’équilibre.

• Dans une onde transversale, le déplacement des particules est perpendiculaire à la direction de propagation de l ’onde.

• Dans une onde longitudinale, le déplacement des particules a la même direction que la vitesse de l ’onde (liquide & gaz)

Simulations: types d’ondes, vagues

2.2 La superposition d’ondes• Des ondes superposées se chevauchent dans une région donnée.• Il y a superposition linéaire si l’amplitude totale est la somme algébrique des

amplitudes des ondes individuelles: yt = y1 + y2

Simulation: superposition

2.3 La vitesse d’une impulsion sur une corde

facteur de force de rétablissement

facteur d'inertie

Fv

F

F

v�

R

ca

2 222 sin 2

sin

2 : densité de masse linéique (kg/m)

cF ma

mv R vF F

R R

mm R

L

Fv

mDans un référentiel qui se déplace vers la droite avec l’impulsion, celle-ci est immobile alors que la corde se déplace vers la gauche à la vitesse v. Une petite section de corde de longueur l et de masse m subira une force centripète égale à la composante verticale de la tension dans la corde F

2 2

2Note:

N kg m s mm s

kg m kg m s

2.4 La réflexion• Lorsqu’une impulsion se propageant dans une corde en atteint l’extrémité,

elle est réfléchie.

• L’impulsion est inversée si l’extrémité est fixe.

• L’impulsion est droite si l’extrémité est libre.

Simulations: réflexion

2.4 La transmissionLorsqu’une impulsion rencontre la jonction entre une corde légère et une corde lourde, il y a une réflexion partielle avec inversion et une transmission partielle.Lorsqu’une impulsion rencontre la jonction entre une corde lourde et une corde légère, il y a une réflexion partielle sans inversion et une transmission partielle.L’impulsion transmise n’est jamais inversée. Une impulsion plus lente est aussi plus courte. En cas d’une onde sinusoïdale, la fréquence est la même mais la longueur d’onde diminue avec la vitesse.

1 2 1 21 2 1 2

1 2 2 1

F F vv v car F F

v

2.5 Les ondes progressives

• Une onde progressive dans le référentiel x,y correspond à une fonction (impulsion) indépendante du temps dans un référentiel x’,y’ se déplaçant avec l’onde à une vitesse v.

• .

Exemple 2.4

( )y f x et x x vt donc y f x vt car y y

322

2.5 2.5,

0.5 0.5 3x x ty x y x t

x x t

2.6 Les ondes sinusoïdale progressives

2 2

22 2

2

2 2

sin ' sin ( ) sin( ) sin( )

cos( )

sin( )

y

yy

k v v fT T k

y A kx A k x vt A kx kvt A kx t

yv A kx t A x

tv y

a A kx t yt t

: période (s)

: fréquence angulaire ( rad s)

:longueur d'onde (m)

: nombre d'onde ( rad m)

:vitessecontante des ondes ( m s)

T

k

v

Onde sinusoïdale progressive

2

sin( )

cos( )

sin( )

y

y

y A kx t

v A kx t

a A kx t

Exemple E21

sin 0.02sin(0.4 50 0.8)

) 2 2 2 0.4 15.7

) 0.8

) 2 2 2 50 0.126

) 0.02

) 50 0.4 125

) , cos( ) 50 0.02cos(0.4 50 0.8)

1,0.5 50 0.02cos(0.4

y

y

y A kx t x t

a k k cm

b rad

c T T s

d A cm

e v k cm s

yf v x t A kx t x t

tv

1 50 0.5 0.8) 0.4825cm s

La fonction d’onde d’une onde sinusoïdale progressive est où x et y sont en centimètres, et t, en secondes.Déterminer: (a) la longueur d’onde; (b) la constante de phase; (c) la période; (d) l’amplitude; (e) la vitesse de propagation de l’onde; (f) la vitesse de la particule pour x =1 et t = 0.5 s.

0.02sin(0.4 50 0.8)y x t

Exemple E3

0.4) 10

0.04) 50 0.025 1.25 3.93

2 2 0.04 50

3) 16.7

20

60 3

2 2 10 20

) cos 20 0.02cos 0 0 0.4 1.26

cos 20 0.02cos 50 0

o

y

y

va f Hz

b k x rad

k

c t ms car t

f

d v A kx t k m s

v A kx t

.045 0 4 1.26m s

4cm

y

Soit l’onde transversale décrite à la figure. Sa vitesse de propagation est de 40 cm/s vers la droite. Déterminer: (a) la fréquence; (b) la différence de phase en radiants entre des points distants de 2,5 cm; (c) le temps nécessaire pour que la phase en un point varie de 60o; (d) la vitesse d’une particule au point P à l’instant représenté.

x

2.7 Les ondes stationnaires

, sin sin

, sin cos cos sin sin cos cos sin

, sin cos cos sin sin cos cos sin

, 2 sin cos

, si

sin sin cos cos s

n

iny x t A kx t A kx t

y x t A kx t A kx t A kx t A kx t

y x t A kx t A kx t A kx t A kx t

y x t A k

car A B A B

x t

y x t A t

A B

1 2 1 3 1

2 cos

3 5 7 2 3 5 7: sin 1 , , , ,... , , , ,...

2 2 2 2 4 4 4 4 22 2 3

: sin 0 0, , 2 ,3 ,... 0, , , ,...2 2 2 2

21, 2,... 2 3

2 2 2 2n

n n nn

kx A t A t

xVentres kx kx x x

xNoeuds kx kx x x

L v v nv vL n n f f f f f f f

n L n L L

...

f1 est la fréquence fondamentale et les autres fn sont des harmoniques dont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale.

Simulations: corde simple, addition, corde de Melde, clavecin1, clavecin2

Exemple E30

1 1 1 1 1 1

1

1 1

3

) 600 480 120 1

) 2 0.566 2 28.3

67.9 120 0.566

12 2.6 10 67.9

n n n na f f f Hz car f f n f nf f

b L cm

v f m

v F m s

Pour une corde fixée aux deux bouts, la fréquence fn du mode n (harmonique n) est égale à un nombre entier de fois la fréquence fondamentale f1. La différence entre deux fréquences harmoniques consécutives est égale à la fréquence fondamentale.

Une corde de densité de masse linéique égale à 2,6 g/m est fixée aux deux extrémités. Elle a des modes d’onde stationnaire consécutifs de fréquence 480 Hz et 600 Hz. Le module de la tension vaut 12 N. Déterminer (a) la fréquence fondamentale; (b) la longueur de la corde.