chapitre 2 cinematique des solides indeformables · 2020. 9. 29. · ipeis-tunisie mécanique des...

IPEIS-Tunisie Mécanique des solides indéformables (MSI-STA) MP1/PC1

Prof. Hédi Chtourou (Ph.D.) - © 2020 Chapitre II : Cinématique page 1

OBJECTIFS Au terme de ce chapitre l’étudiant devrait être capable de :

• Maîtriser la dérivation vectorielle ; • Déterminer le vecteur vitesse d'un point d'un solide par rapport à un autre solide ; • Déterminer le torseur cinématique d’un solide en mouvement par rapport à un autre solide et

identifier le type de mouvement ; • Ecrire, dans le cas d’une chaîne fermée, la loi entrée sortie et les relations scalaires indépendantes

qui découlent de la fermeture cinématique de la chaîne cinématique ; • Calculer le vecteur glissement en un point de contact de deux solides en mouvement ; • Décomposer le vecteur instantané de rotation en un vecteur rotation de roulement et un vecteur

rotation de pivotement ; • Identifier un mouvement plan et utiliser les outils de la cinématique graphique pour déterminer le

mouvement d’un solide ; • Déterminer le vecteur accélération d'un point d'un solide par rapport à un autre solide

CONTENU : 1. Champ de vitesse d'un solide ............................................................................................................... 1

2. Champ d'accélération d'un solide ......................................................................................................... 4

3. Composition du mouvement d'un solide ............................................................................................... 4

4. Fermeture cinématique ......................................................................................................................... 6

5. Étude des mouvements fondamentaux ................................................................................................. 7

6. Cinématique des solides en contact ................................................................................................... 11

7. Forme canonique du torseur cinématique des liaisons ....................................................................... 11

8. Applications de cours .......................................................................................................................... 13

9. Cinématique graphique ....................................................................................................................... 14

1. Champ de vitesse d'un solide

1.1. Vecteur rotation instantanée d'un solide

À chaque point M d'un solide S, on peut associer un vecteur vitesse défini par

rapport au référentiel R par:

=RMV /)( ……………………………………………………………….

On définit ainsi un champ vectoriel appelé champ de vitesse du solide S par rapport au référentiel R. Soient A, B, C

et D les positions de quatre particules de S à l'instant t et soient les vecteurs ( CDlABl == 21 et ). Le solide étant

indéformable, le produit scalaire de ces deux vecteurs est indépendant du temps, i.e.:

..............................................................................................................................................................................

La dérivation par rapport au temps est donc une application linéaire ………………………………….. de l'espace vectoriel à

laquelle on peut associer le vecteur noté R/S tel que:

............................................................,........., SNSM

Le vecteur R/S est le vecteur rotation instantanée du solide S par rapport au référentiel R.

Chapitre 2 CINEMATIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES



1.2. Torseur distributeur de vitesse

En partant du résultat obtenu dans la section précédente, stipulant que la dérivation par rapport au temps est une

application linéaire antisymétrique et en intercalant dans l'expression l'origine du repère O, on obtient:

.................................................................................

.................................................................................

.........................................................................,.........,

SNSM

La relation ainsi obtenue montre que le champ de vitesse d'un solide est un champ antisymétrique auquel on peut

associer le torseur appelé "torseur cinématique" et noté: ...............;............vT . Ce torseur est souvent appelé "torseur des vitesses" ou aussi "torseur distributeur de vitesses".

Intérêt: La formule fondamentale de la cinématique des solides nous permet ainsi d'obtenir la vitesse à un point du solide S si

on connaît la vitesse instantanée de rotation du solide ainsi que la vitesse à un autre point du même solide.

Note: Une autre notation est souvent utilisée en cinématique. La relation obtenue, écrite selon cette notation, serait:

MNMVNVR

S

RR

+= )()(.

1.3. Quelques propriétés du torseur des vitesses

Comme tout torseur, le torseur cinématique du mouvement du solide indéformable S par rapport au référentiel R

est caractérisé par un certain nombre de propriétés dont on cite quelques-unes. Notons par 𝜏𝑣 𝑆 𝑅 ⁄ (𝑤𝑆𝑅⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑉(𝑃)𝑆𝑅⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) les

coordonnées de ce torseur en un point P de S.

Invariant scalaire : La quantité scalaire 𝐼 = wSR⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. V(P)SR⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ est un invariant scalaire qui ne dépend que du torseur. Il

garde la même valeur à tous les points de l'espace.

Démonstration:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Nature et décomposition: Un torseur des vitesses ne peut être qu'un couple (si 𝑤𝑆𝑅⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0⃗ ) , un glisseur (si 𝑤𝑆𝑅⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ≠ 0⃗

et I=0) ou bien la somme d'un couple est d'un glisseur (si I ≠ 0).

Démonstration:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Formule fondamentale de la cinématique des solides (pour les vitesses)



Équiprojectivité : Si on projette la relation (V(P)SR⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = V(Q)SR⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + wSR⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∴ 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗)

sur la droite passant par deux points quelconques P et Q de S on obtient:

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Cette relation est celle de l'équiprojectivité qui caractérise tout torseur

Axe central: L'ensemble des points M du solides S, ayant une vitesse V(M)SR⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ parallèle au vecteur du torseur wSR⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

est appelé « axe central » ou aussi « axe de vissage » du torseur τv S R ⁄ . L'axe central du torseur τv S R ⁄ est la

droite parallèle à wSR⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ et passant par le point P tel que : 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ =wS

R⁄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∴ V(Q)S

R⁄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

(wSR⁄)2 ; Q étant n’importe quel point de S

ayant une vitesse connue /R. De plus, le moment sur l’axe central est constant et minimal en norme.

1.4. Formule de la base mobile

Puisque pour tous points M et N de S on a : MNdt

MNdRSR = //

)( , nous pouvons écrire cette relation pour tout

vecteur lié à S:

................................../)(

, à lié = Rdt

udSu

et en particulier pour les vecteurs de base du repère R1 lié à S:

......................./)(

et ......................./)(

;......................./)( 111 === RRR

dt

kd

dt

jd

dt

id

1.5. Dérivation composée d'un vecteur

Soit le vecteur a , de composantes )z,y,x( dans le repère )k,j,i,O( et )'z,'y,'x( dans le repère )'k,'j,'i,'O( .

La dérivée de a par rapport au temps s'écrit dans chacun des repères comme suit:

( ) ( ) ( )kjidt

adR ...................................................................../

)(++=

( ) ( ) ( ) '''/)(

.....................................................................' kjidt

adR ++=

Cependant, la dérivée dans le repère R peut s'écrire différemment en utilisant l'expression de a dans le repère R' :

......................................../)(

......................................................................................................................................./)(

......................................................................................................................................./)(

=

=

=

R

R

R

dt

ad

dt

ad

dt

ad

Intérêt: La formule fondamentale de calcul en cinématique nous permet d'obtenir la dérivée d'un vecteur dans un référentiel à

partir de sa dérivée dans un deuxième référentiel et de la vitesse instantanée de rotation du deuxième référentiel par

rapport au premier.

Formule de la base mobile

Formule fondamentale de calcul en cinématique



1.6. Propriétés du vecteur vitesse instantanée de rotation

Propriété no.1 : '//' RRRR −=

Démonstration: en appliquant la formule fondamentale de calcul en cinématique 2 fois on obtient:

.....................................................................................................................................

.......................................................................

.................................

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

Propriété no.2 : R/'R'R/''RR/''R +=

Démonstration: en appliquant la ……………………………………………………………………………………………….……………………………………………… :

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

................................................................

équations troisdes Somme

⎯⎯⎯⎯ →⎯

2. Champ d'accélération d'un solide

À chaque point M d'un solide S, on peut associer un vecteur accélération défini par rapport au référentiel R par:

............................................................)( / ==RM

Pour un deuxième point N du même solide, le vecteur accélération est donné par:

=

=

=

=

......................................................................................................................................................)(

......................................................................................................................................................)(

......................................................................................................................................................)(

......................................................................................................................................................)(

/

/

/

/

R

R

R

R

N

N

N

N

Le résultat obtenu montre que le champ des accélérations d'un solide n'est pas un champ antisymétrique. Il n'est

donc pas le champ de moment d'un torseur.

3. Composition du mouvement d'un solide

3.1. Composition des vitesses

La vitesse d'un point M du solide S par rapport au référentiel R )k,j,i,O( peut

être décomposée en faisant intervenir un deuxième repère R1 )k,j,i,O( 1111 . En

fait, en intercalant l'origine du deuxième repère dans l'expression de la vitesse du

point M on obtient:

..................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

......................................................................................................................................)( /

+=

=

=RMV

Composition des vitesses

x

z

y

x1

z1

y1

O O1

S

………………………………………….. ………………………..………………….. ……………………………….…………..……………..



La vitesse d'entraînement correspond à la vitesse de M dans le référentiel R, dans le cas où le référentiel R1 est lié

au solide S (i.e.: si M R1). Dans ce cas là, la composante relative est nulle. Pour cette raison elle est notée

R/RR/1 1)M(Vou )RM(V . Elle est également désignée par vitesse du point coïncidant. Ainsi on a:

R/R1R/R/

era

1)M(V)M(V)M(V

)M(V)M(V)M(V

+=

+=

De façon plus générale, on peut décomposer le torseur 𝝉𝒗 𝑺 𝑹 ⁄ (𝒘𝑺𝑹⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑽(𝑷)𝑺𝑹⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) en la somme de deux torseurs :

𝝉𝒗 𝑺 𝑹 ⁄ (𝒘𝑺𝑹⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑽(𝑷)𝑺𝑹⁄

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ). =…………………………………………..+…………………………………………..

Propriété no.1 de (M)Ve : 1R/RR/R )M(V)M(V 1 −=

Démonstration: en appliquant la …………………………………………………………………………………………………………………………………………

...................................................................................................................................

......................................................................................... ⎯⎯⎯⎯ →⎯

Propriété no.2 de (M)Ve : R/RR/RR/R 1122 )M(V)M(V )M(V +=

Démonstration: en appliquant la …………………………………………………………………………………….…………………………………

....................................................................

...............................................................

...............................................................

......................................................................................... ⎯⎯⎯⎯ →⎯

3.2. Composition des accélérations

L'accélération d'un point M du solide S par rapport au référentiel R )k,j,i,O( peut être décomposée, de façon similaire

aux vitesses, en faisant intervenir un deuxième repère R1 )k,j,i,O( 1111 et ce, en fait en intercalant l'origine du

deuxième repère dans l'expression de la vitesse du point M. On obtient ainsi :

++

++=

++=

++==

R1

/1R

/

///

/1

R1/

R

/

R/1

R

1//1/

R/

/

// )(/)(

)(

//)(

/)(

/)()(

/)(

)(

1

1

111

1

11

11

dt

MOdMO

dt

dMV

dt

MVdO

dt

MOd

dt

MVd

dt

OVd

dt

MOOVMVd

dt

MVdM

RRRR

RRRR

R

R

RRRR

RRRRRR

( )

( )

ce

ra

RRRRRRRRR

RRR

RRRRRRRRR

RRRRR

RRRRRR

RRRRR

MVMOMOdt

dOMM

MOMVMOdt

dMVMO

MOdt

MOdMO

dt

dMVMO

1111

1

1

1111

1

111

111

1

111

//1//1R

/

/1//

1////1R

/

////1

1/R1

/1R

/

////1

)(2 )(/)()()(

()(/)()()(

// )()()(

++++=

+++++=

+++++=

Formule de la composition des vitesses

………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………..



4. Fermeture cinématique

• Tout comme les fermetures géométriques, il faudra écrire autant de fermetures cinématiques qu’il y a de

boucles indépendantes dans le mécanisme.

• La fermeture cinématique permet d’établir la relation existante entre les vitesses (linéaires et angulaires) du

mécanisme.

• Elle permet donc entre autres, de déterminer la loi entrée-sortie en vitesse.

• La fermeture cinématique d’une boucle de N solides s’écrit par composition des torseurs cinématique... en

un seul et même point P !!!

• Ce qui donne les deux équations vectorielles

et

• NB : Afin d’obtenir les relations cinématiques entre les différents paramètres, on peut aussi dériver la

fermeture géométrique, cela revient au même que d’écrire la fermeture cinématique !

Application : retour sur le Système bielle-

manivelle … application de la fermeture

cinématique

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1/ / / 0 ,0... NP S S P S S P S S P + + + =

𝜔1/2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝜔2/3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ……+ 𝜔3/1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0⃗ 𝑉(𝑃)1/2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉(𝑃)2/3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ……+ 𝑉(𝑃)3/1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0⃗



5. Étude des mouvements fondamentaux

5.1. Mouvement de translation

5.1.a. Définition

Un solide S est animé par un mouvement de translation par rapport au

référentiel R )z,y,x,O( si tout vecteur PQ lié à S garde une direction

fixe par rapport à R. Le solide étant indéformable, la norme du vecteur

est également constante donc:

........................................................................../ =Rdt

PQd

5.1.b. Propriétés

➢ Dans un mouvement de translation, le vecteur rotation instantanée est ……………………….....................

➢ Dans un mouvement de translation, tous les po

➢ ints d'un solide ont ……………………………………………..

➢ Dans un mouvement de translation, le torseur cinématique est un ………………………………………………

➢ Si la trajectoire d'un point M de S est une droite, la translation est dite ………………………… , si elle est un

cercle, la translation est dite …………………………….. et si elle est quelconque, la translation est dite

……………………..

5.2. Mouvement de rotation autour d'un axe

Un solide S est animé par un mouvement de rotation autour d'un axe par rapport au

référentiel R )z,y,x,O( s'il existe deux points A et B de S qui restent fixes par rapport à R.

Considérons par exemple la rotation du solide S autour de l'axe )z,O( par rapport au

référentiel R. Soient A et B deux points de S situés sur l'axe de rotation appelé . On a:

..................................................................................../

///

)(,

0)(,0)()(

=

===

R

RRR

MVSM

IVIetBVAV

À propos du torseur cinématique : ……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………..

5.3. Mouvement hélicoïdal simple

Un solide S est animé par un mouvement hélicoïdal simple par rapport au

référentiel R )z,y,x,O( si l'isométrie, qui à la position d'une particule de S à

l'instant t0 fait correspondre la position de la même particule au temps t, est le

produit d'une translation rectiligne et d'une rotation autour d'un axe parallèle à la

direction de la translation.

Translation

x

z

y P

Q

O

P

Q t=t0

t=t1

Rotation autour d’un axe

x

z

y A

B

O

Mouvement hélicoïdal simple

x

z

y O x'

y' z'

O' y

h



Considérons par exemple le mouvement du solide S (ci-dessous) composé par la

translation parallèle à la direction z et la rotation autour de l'axe )z,O( . Soit A

un point de S situé sur l'axe et tel que z)t(hOA = . On a:

.....................................................................................................

............................................................... .............................

/)(, :donc

/)(,et /)(

=

==

R

RR

MVSM

MVSMAV

ou aussi, si on défini le pas de l'hélice comme étant:

=

=

hh,

./)( .............................................................................................................................. +=RMV

À propos du torseur cinématique : ……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………..

Application

Un point P d'un solide S décrit une hélice circulaire de rayon r et

d'axe )z,O( par rapport au référentiel R )z,y,x,O( . Le point H

est la projection orthogonale de P sur le plan )y,x,O( . Le

référentiel R' )z,'y,'x,H( est tel que )'x,x(= . De plus, nous

définissons zkHP = , k étant le pas de l'hélice.

Démontrez que la vitesse du point P est donnée par: 'yr zk/)P(V R += . Déduire son accélération.

5.4. Mouvement plan sur plan

5.4.a. Définition

Soient deux référentiels R )z,y,x,O( et R0 )z,y,x,O( 0000

liés à deux solides S et S0. Supposons qu'au cours du

mouvement de S par rapport à S0, les deux plans P

)y,x,O( et P0 )y,x,O( 000 restent confondus. Le

mouvement de S par rapport à S0 est alors dit mouvement

plan sur plan. Un exemple de ce type de mouvement est

montré ci-contre avec zRR =0/

5.4.b. Centre instantané de rotation

Désignons par 0/

)(; RRv OVzT le torseur cinématique du mouvement de R par rapport R0. L'axe central de ce

torseur existe uniquement si 00R/R . Dans ce cas, cet axe est une droite parallèle à z . L'intersection de

Exemple: hélice circulaire

x

z

y

O

x'

y'

H

P



cette droite avec le plan P )y,x,O( est appelé centre instantané de rotation (CIR). La vitesse de ce point est nulle.

En effet:

................................................................................ ................................................................................

................................................................................

Note : Le CIR du mouvement de S/R n’est pas nécessairement un point matériel de S. Il est cependant considéré comme

cinématiquement lié à S. (exemple : centre d’une roue).

5.4.c. Recherche géométrique du CIR

Désignons par 0C la trajectoire dans R0 d'un point M lié au plan P. On montre

que la vitesse de ce point est perpendiculaire au vecteur qui le lie au CIR. En

effet:

…………………………………………………………………………………………………………………………………....

La vitesse est ……………………………à la trajectoire d’un point. Ainsi, pour localiser le CIR à un instant t donné, il

suffit de ……………………………………………………….. . le CIR est obtenu par ………………………….……………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Dans le cas où les de 2 points à vitesses connues correspondent possèdent deux vitesses parallèles on utilise alors

le principe du triangle des vitesses. En effet, considérons P et Q deux points ayant deux vitesses connues

parallèles. Et soit I le CIR à trouver. On peut écrire :

{𝑉(𝑃)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑤𝑆/𝑅 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∴ 𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗

𝑉(𝑄)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑤𝑆/𝑅 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∴ 𝐼𝑄⃗⃗⃗⃗ } en passant aux normes on obtient :

{‖𝑉(𝑃)‖⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ‖𝑤𝑆/𝑅 ‖

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∴ ‖𝐼𝑃‖⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

‖𝑉(𝑄)‖⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ‖𝑤𝑆/𝑅 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ ∴ ‖𝐼𝑄⃗⃗⃗⃗ ‖} et en divisant les deux équations

membre à membre on obtient : ‖𝑉(𝑃)‖⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

‖𝑉(𝑄)‖⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=

𝐼𝑃

𝐼𝑄 …

Le CIR se situe donc sur l’intersection de deux droites : une première joignant les 2 points à vitesses parallèles et la

deuxième joignant les extrémités de ces 2 vitesses.

Le même principe peut aider à trouver graphiquement la vitesse de n’importe quel point du solide moyennant la

connaissance de ……………………………………………………………………………………………………

x0

y0

x

y O

O0

C0

V(M)

Recherche géométrique du CIR

(Exemple 1 : échelle tombante)

x0

y0

O

Recherche géométrique du CIR

(Exemple 2 : bielle)

x0

y0

O



Mouvement plan sur plan de trois plans

Soient trois solides 𝑆1, 𝑆2 et 𝑆3mutuellement en mouvement plan sur plan (deux à deux) sur le plan P. Soient :

- 𝐼12 le CIR du mouvement de 𝑆1 par rapport à 𝑆2



Alors, on peut démontrer que les 3 CIR 𝐼12 𝐼13 et 𝐼23 sont alignés. [À faire en exercice]

5.4.d. Axoïdes du mouvement : base et roulante

Au cours du mouvement de P par rapport à P0, le point I change de position dans P comme dans P0. La trajectoire

de I dans P0 est appelée base du mouvement plan sur plan alors que sa trajectoire dans P est appelée roulante du

même mouvement.

Note: Dans le cas d'un mouvement général de R par rapport à R0 (pas nécessairement plan sur plan), les axoïdes du

mouvement sont les positions occupées par l'axe central du torseur cinématique dans R0 (base) et dans R (roulante).

Application

Considérons le même exemple no.1 de la recherche du CIR ( échelle tombante). Déterminons et représentons

graphiquement la base et la roulante sachant que:

• Un référentiel R0 )z,y,x,O( 0000 est considéré comme galiléen.

• Un référentiel R )z,y,x,A( est lié à l'échelle.

• xsinlOA = avec )x,x( 0=

• Les coordonnées de I sont (x,y,z) dans R et )z,y,x( 000 dans R0.

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

Application : base et roulante

x0

y0

O

x y

A



6. Cinématique des solides en contact

6.1. Vitesse de glissement

Considérons les solides S1 et S2 en mouvement par rapport à un référentiel R, de sorte que leurs surfaces restent en

contact. Supposons que ce contact est ponctuel. Nous distinguons à la zone de contact:

- I: point géométrique de contact

- I1: Point matériel appartenant à S1.

- I2: Point matériel appartenant à S2.

Nous définissons la vitesse de glissement de S1 sur S2 :

R/RR/RR/2R/1g 21)I(V)I(V)I(V)I(V)M(V −=−=

Remarques:

• Cette vitesse est complètement tangentielle au plan de contact. En effet, une composante normale positive

signifierait ……………………………. (perte de contact) tandis qu'une composante normale négative signifierait

……………………………………………………. (impossible car …………………………………………………….).

• En absence de glissement 0Vg = on dit qu'on est en présence d'un contact avec roulement sans glissement

(RSG) et on a : R/2R/1 )I(V)I(V = .

• Si S2 est fixe /R, il est appelé support.

6.2. Roulement et pivotement

Considérons le mouvement du solides S2 par rapport au solide S1 et décomposons le vecteur vitesse instantanée de

rotation du mouvement en une composante normale et une autre tangentielle. On défini :

• 12 S/Sn

: vitesse rotation de pivotement de S2 par rapport à S1

• 12 S/St

: vitesse rotation de roulement de S2 par rapport à S1

121212 S/StS/SnS/S +=

7. Forme canonique du torseur cinématique des liaisons

Considérons les solides S1 et S2 en liaison dans le référentiel R )z,y,x,O( . Désignons le torseur cinématique de

liaison au point O par: O/S/S

S/Sv 1212)O(V;T = et définissons les paramètres w),v,u,,,( tels que:

zyxSS ++=

12 / ; zwyvxuOV SS ++=

12 /

)(

Ce torseur est communément noté de la façon suivante:

O/

v

w

v

u

T

= . Sur le tableau de la page suivante

complétez la colonne réservée au torseur cinématique en remplaçant les paramètres des mouvements impossible

par 0.

Vitesse de glissement

x

y

z

I

I1

I2

S1

S2

n

12 / SSn

12 S/St

12 S/S



Torseur des actions mécaniques



8. Applications de cours

8.1. VIR

Trouver les VIR suivants :

8.2. Voiture

• La voiture avance / au rep. gal. R de façon linéaire à vitesse constante (V)

• Les roues S et S’ de rayons r et de centres respectifs C et C’ sont en RSG/ au sol (lié au rep. gal.) au niveau de I et de I’ respectivement

1. Pour chacun des mouvements suivants, on demande : la nature (exacte) du mouvement, la nature du torseur et le type de liaison

a. S1 / sol

b. S1 / S

c. S / sol

d. S/ S'

2. On demande le CIR du mvt de S/sol

3. Trouver la base et la roulante de ce mvt

4. Quelle serait la vitesse angulaire (norme) des roues ?

5. Déterminez 𝜔𝑆/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

6. En cas de freinage brusque il y a glissement entre le sol et les deux roues. Quelle serait la nouvelle position approximative du CIR ?

7. Le véhicule redémarre brusquement (à l’américaine !!) . Quelle serait la nouvelle position approximative du CIR ?

A B

C D F E



9. Cinématique graphique

En cinématique plane, la détermination de la vitesse d'un point P d'un solide S en mouvement par rapport à un

repère R (𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) peut être faite de façon ………………….. (en utilisant les principes étudiés dans ce chapitre),

ou aussi de façon graphique. La première façon de faire a l'avantage d'être plus …………….. (méthode exacte).

Graphiquement, ceci pourrait être fait selon l'une des 3 méthodes décrites dans les sections ci-dessous.

9.1. Par équiprojectivité

9.1.a. Données requises

1. Un graphique à l'échelle du solide étudié [Grandeur dessinée (cm) : Vraie grandeur (cm) ]

2. Une échelle de correspondance [Grandeur dessinée (cm) : Vitesse (m.s-1

) ]

3. La vitesse d'un autre point Q de S : 𝑉(𝑄)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

4. La position exacte de Q par rapport à P

5. La direction de la vitesse recherchée (𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )

9.1.b. Principe

Exploiter le fait que les projections de (𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) sur (PQ) et de (𝑉(𝑄)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) sur (PQ) sont égales

9.1.c. Etapes

1. En utilisant l'échelle de correspondance, dessiner la vitesse connue du point Q (𝑉(𝑄)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )

2. Projeter (𝑉(𝑄)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) sur la droite PQ

3. Reporter cette projection (segment) au niveau de P (du même coté que celui au niveau de Q)

4. Dessiner (𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) selon la direction connue et de façon à ce que sa projection sur (PQ) soit

correspondante au segment obtenu à l'étape 3

5. Mesurer la longueur de (𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) et déduire sa norme à l'aide de l'échelle de correspondance

9.1.d. Application : système bielle-manivelle

A



9.2. Exploitation du CIR connu


1. Un graphique à l'échelle du solide étudié [Grandeur dessinée (cm) : Vraie grandeur (cm) ]

2. Une échelle de correspondance [Grandeur dessinée (cm) : Vitesse (m.s-1

) ] 3. La position exacte dans R du CIR (I) du mouvement de S/R 4. La position exacte de P dans R

5. La norme de la VIR (‖𝜔𝑆/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖) en [rad.s-1

] et son sens (+ / -)

9.2.b. Principe

Exploiter le fait que : ‖𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ est

proportionnelle à ቛ𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗ ቛ et 𝑉(𝑃) /𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⊥ (IP)

9.2.c. Etapes

1. Mesurer la distance ‖𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗ ‖

2. Convertir cette distance en vrai grandeur à l'aide de l'échelle dessin

3. Trouver la norme ‖𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) ‖ par le produit des deux scalaires ‖𝜔𝑆/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ x ‖𝐼𝑃⃗⃗⃗⃗ ‖

4. Reconstituer 𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ par sa normé déjà trouvée, sa direction ⊥ [ P I ] et son sens cohérent avec le

sens de 𝜔𝑆/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (ex.: si, dans un mouvement plan sur plan de normale 𝑦 ; 𝜔𝑆/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ est selon 𝑦 négatif

alors 𝑉(𝑃)/𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ matérialise une rotation de 𝑥 vers 𝑧 autour de I)

9.2.d. Application : Voiture dans un virage



9.3. Utilisation du triangle des vitesses (composition)


1. Une échelle de correspondance [Grandeur dessinée (cm) : Vitesse (m/s) ] 2. La direction des 3 vitesses du point P (appartenant à un solide S lié à un repère R

2) :

absolue : 𝑉(𝑃R2/R

0)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ relative : 𝑉(𝑃R

2/R

1)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ d’entrainement : 𝑉(𝑃R

1/R

0)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

3. La norme de l’une de ces 3 vitesses

9.3.b. Principe

Graphiquement, la loi de composition des vitesses

𝑉(𝑃)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 2/0=𝑉(𝑃)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 2/1+ 𝑉(𝑃)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 1/0 est matérialisée par un triangle dont

les côtés correspondent aux 3 vitesses

9.3.c. Etapes

1. Dessiner (à l’échelle) la vitesse de norme connue en partant du point P. Remarque: ça pourrait être n’importe laquelle des 3.

2. Mettre les droites portant les 2 autres vitesses chacune sur une extrémité de la vitesse dessinée (origine et flèche). Remarque : l’ordre n’est pas important.

3. L’intersection obtenue donne la norme ainsi que le sens des deux autres vitesses

9.3.d. Application : Elévateur



9.4. TD1 : Machine à poinçonner



9.5. TD2 : Porte d'autobus

chapitre 2 cinematique des solides indeformables · 2020. 9. 29. · ipeis-tunisie mécanique des...

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