1

Chapitre 14-Flambement-Poutre-colonne Commentaire: Pour fins académiques, la méthode appliquée ici au calcul des poutres-colonnes est une version simplifiée de la norme ACNOR S16.1-94. Pour des applications pratiques, il faudra se référer à la norme en vigueur dont l’application est beaucoup plus complexe que la méthode présentée dans le cours MEC2400. Exemple 1 La figure a) illustre le chargement agissant sur une poutre-colonne. La figure b) montre la section tubulaire de cette poutre-colonne et les propriétés de la section. Le matériau est un acier ( E= 200 000 MPa; SY = 300 MPa ) qui n’a pas été traité pour relâcher les contraintes résiduelles. En considérant un coefficient de tenue égal à 0,9 et un facteur de pondération de la charge égal à 1,5, vérifiez si cette membrure possède une capacité suffisante en flambement.

A = 3456 mm2 (hachurée) Iz = 17,94 x 106 mm4

Sz = 179,4 x 103 mm3

rz = 72,05 mm

Iy = 5,99 x 106 mm4 Sy = 119,8 x 103 mm3

ry = 41,63 mm

2

1. Analyse du comportement Il y a de la flexion dans les deux plans. Analysons les diagrammes de V et M dans les deux plans pour déterminer les valeurs maximales de My et Mz . Plan x-y ( Flexion autour de l’axe z ) Plan x-z ( Flexion autour de l’axe y )

Mz max = wL2/ 8 = 6 kN.m My max = FL/4 = 3,6 kN.m

(on prend la valeur absolue de My max et on calculera la contrainte en compression correspondante)

C= 1,5 x 200 kN= 300 kN Mz = 1,5 x 6 kN.m = 9,0 kN.m My = 1,5 x 3,6 kN.m = 5,4 kN.m 2. Capacité de résistance de la membrure AB en compression pure a) dans le plan x-y (flexion autour de z) : rotule-rotule, déplacement latéral bloqué ; k = 1.0

52,5505,724000x0,1

rkL

z==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

b) dans le plan x-z (flexion autour de y) : rotule-rotule, déplacement latéral bloqué ; k = 1.0

08,9663,414000x0,1

rkL

y==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Lorsqu’il y a de la flexion dans les deux plans, il faut choisir la plus grande valeur de (kL/r), ce qui mène à la plus faible valeur de la résistance Cr.

3

185,1MPa10x200x

MPa3001,96E

Sr

kL322

Y =π

=π

=λ

Nk 460,52N10 x 460,52

N 1,576) 1 ( 10 x 933,1

)185,11(mm

N300xmm3456x9,0)1(SAC

3

0,746-3

34,11

34,1x22

2n1

n2Y r

≡=

+=

+=λ+ϕ=−−

3. Capacité de résistance de la membrure AB en flexion seulement a) Plan x-y (flexion autour de l’axe z) ; k =1,0

157,1

Nk 2213,3kN3001

1

PC1

1F

Nk 2213,3 N10 x 2213,3 mm) 4000 x (1,0

mm 10 x 17,94 x MPa 10 x 200 x )kL(IEP

m.kN44,48

mm.N10x44,48mm

N300xmm10x4,179x9,0SSM

z/cr

z/amp

32

4632

2z

2

z/cr

62

33Yzrz

=−

=−

=

≡=π

=π

=

=

==ϕ=

b) Plan x-z (flexion autour de l’axe y) ; k =1,0

683,1

Nk 739kN3001

1

PC1

1F

Nk 739 N10 x 738,98 mm) 4000 x (1,0

mm 10 x 5,99 x MPa 10 x 200 x )kL(

IEP

m.kN 32,34

mm.N10x34,32mm

N300xmm10x8,119x9,0SSM

y/cr

y/amp

32

4632

2y

2

y/cr

62

33Yyry

=−

=−

=

≡=π

=π

=

=

==ϕ=

4. Capacité de résistance de la membrure AB

chargement lesupporter pour capacité la pas an' structure La 0,1147,1281,0215,0651,0

mkN34,32

mkN4,5x683,1 m.kN44,48

m.kN9x157,1 kN52,460

kN300

0,1M

MF

MMF

CC

ry

yamp/y

rz

zamp/z

r

≥=++

=−−

++

≤++

4

Exemple 2

La figure a) illustre en isométrique un cadre composé d’une poutre rigide BC de 4 m de longueur et de deux colonnes identiques AB et CD de type W 200 X 52 (voir Fig. b) ayant 5 m de longueur. Les connexions entre la poutre BC et les colonnes sont rigides. Les bases A et D des deux colonnes sont montées sur des rotules et leurs extrémités B et C sont supportées latéralement dans la direction de l’axe z par des haubans BF, BE, CH et CG. La poutre supporte une charge verticale uniformément répartie wx = 150 kN/m et les colonnes AB et DC sont soumises à la force du vent wy = 1 kN/m. Les propriétés du matériau des membrures AB et CD sont : E = 200 000 MPa ; ν = 0,3 ; G = 76 900 MPa ; SY = 400 MPa Le matériau n’a pas été traité pour relâcher les contraintes résiduelles. En considérant un coefficient de tenue égal à 0,9 et un facteur de pondération de la charge égal à 1,5, vérifiez si cette structure possède une capacité suffisante en flambement.

Propriétés géométriques de la membrure de type W200 x 52

x

A = 6660 mm2 Iz = 52,7 x 106 mm4

Sz = 527,0 x 103 mm3

rz = 89,0 mm

Iy = 17,8 x 106 mm4 Sy = 178,0 x 103 mm3

ry = 51,7 mm

Fig. a) Fig. b)

wx = 150 kN/m

wy= 1 kN/m

5

Fig. c) Réactions (voir calculs à la page suivante) et déformée de la structure

Fig. d) Flexion dans le plan x-y : diagrammes de Vy et de Mz

Déformée

Analyse du comportement

FCx

=

6

1. .Analyse du comportement Charge axiale et flexion autour de l’axe z seulement (pas de flexion autour de l’axe y).

5x1x2RR0F

kN293,7kN306,3-600 R 4x150RR0F

kN3,306R5,2x5x1x22x4x150R40M

DyAyy

AxDxAxx

DxDxA

−+==

==⇒−+==

=⇒−−==

∑∑∑

On ne peut déterminer RAy et RDy directement avec les équations d’équilibre car le problème est hyperstatique. En le résolvant à l’aide de Castigliano, on trouvera que RAy = RDy = 5 kN. Cependant, par inspection de la déformée à la figure c), on constate que les deux colonnes se comportent de la même manière et on peut en déduire que RAy = RDy = 5 kN Les diagramme de l’effort tranchant et du moment fléchissant (voir fig. d) permettent d’obtenir la valeur maximale de Mz = 12,5 kN.m (en valeur absolue). Afin de simplifier les calculs, nous considérerons que la force axiale est la même dans les deux colonnes et égale à 300 kN C= 1,5 x 300 kN= 450 kN Mz = 1,5 x 12,5 kN.m = 18,75 kN.m My = 0 Commentaire : la structure se comporte comme une poutre- colonne dans le plan x-y seulement ; dans le plan x-z, elle se comporte comme une colonne. 2. Capacité de résistance en compression pure a) dans le plan x-y (flexion autour de z et plan où la structure est une poutre-colonne) : encastrement-rotule avec déplacement latéral permis ; k= 2,0

4,1120,895000x0,2

rkL

z==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

b) dans le plan x-z (flexion autour de y et plan où la structure agit comme colonne seulement) : rotule-rotule avec déplacement latéral bloqué ; k = 1,0

71,967,51

5000x0,1r

kL

y==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Commentaire : Il est à noter que pour les cas où la structure agit comme poutre-colonne dans un plan seulement (ici, le plan x-y), la norme ACNOR recommande de choisir le rapport kL/r calculé pour ce plan spécifique, même si ce rapport n’est pas égal à la plus grande des deux valeurs ; il faudra également vérifier la condition de flambement dans le plan x-z, où la structure se comporte comme une colonne seulement. On choisit kL/r = 112,4 et on obtient:

Voir fig. c)

7

6,1MPa10x200x

MPa4004,112E

Sr

kL)( 322Y

zz =

π=

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=λ

112n 2 2x1,34 1,34n

rz Y 2

3 -0,746

3

NC A S (1 ) 0,9 x 6660 mm x 400 (1 1,6 )mm

2397,6 x 10 ( 1 3,524) N

777, 47 x 10 N 777,47 k

−−

= ϕ + λ = +

= +

= ≡ N

3. Capacité de résistance de la membrure en flexion seulement a) Plan x-y (flexion autour de l’axe z)

763,1

Nk 1040kN4501

1

PC1

1F

Nk 1040 N10 x 1040 mm) 5000 x (2,0

mm 10 x 52,7 x MPa 10 x 200 x )kL(IE

P

mkN72,189

mmN10x72,189mm

N400xmm10x0,527x9,0SSM

z/cr

z/amp

32

4632

2z

2

z/cr

62

33Yzrz

=−

=−

=

≡=π

=π

=

−=

−==ϕ=

b) Plan x-z : pas de flexion autour de l’axe y ;

My = 0 4. Capacité de résistance de la membrure

a) Poutre-colonne dans le plan x-y :

z

rz rz

MC 1, 0C M

450 kN , 763 x 18, 75 kN m777, 47 kN 189, 72 kN m

0,579 0,174 0, 753 1, 0

amp/zF

1

La structure supporte le chargement appliqué

+ ≤

−+ =

−

+ = ≤

8

b) Colonne seulement dans le plan x-z : Ici, il faut vérifier que C/ Cry < 1,0 Il n’est pas nécessaire d’effectuer les calculs puisqu’avec la valeur de (kL/R)y = 96,71, on sait que : Cry > Crz (Cry = 880,3 kN) . Et la valeur de C/ Cry = 450 kN / 880,3 kN < 1,0 (C’est O.K) Exemple 3 Un poteau d’acier de 4 m de longueur est chargé tel qu’illustré sur la figure a). La section est illustrée sur la figure b). La base du poteau est encastrée et son extrémité supérieure est bloquée dans la direction de l’axe z par une tige rigide rotule-rotule. Le matériau est un acier ( E= 200 000 MPa; SY = 300 MPa ) qui n’a pas été traité pour relâcher les contraintes résiduelles. En considérant un coefficient de tenue égal à 0,9 et un facteur de pondération de la charge égal à 1,5, vérifiez si le poteau possède une capacité suffisante en flambement.

1. Analyse du comportement

Il y a de la flexion dans les deux plans. Il faut analyser les diagrammes de V et M dans les deux plans pour déterminer les valeurs maximales de My et Mz . Ici, on a un problème hyperstatique.

A = 3456 mm2 (hachurée) Iz = 17,94 x 106 mm4

Sz = 179,4 x 103 mm3

rz = 72,05 mm

Iy = 5,99 x 106 mm4 Sy = 119,8 x 103 mm3

ry = 41,63 mm

BMBy

RBz

MBz

Fig. a) Fig. b)

rigide

9

(3) LRMM LRMM0M

(2) m-kN 9,375 MMMM0M

(1) RRR0F

ByAyBzByAyAy

BzAzBzAzAz

BzAzz

⋅+−−=⋅+−−==

==⇒+−==

==⇒=

∑∑∑

où MBy = 12,5 kN x 0,5 m = 6,25 kN.m ; pour simplifier les calculs qui suivent , posons MBy = M MBz = 37,5 kN x 0,25 m = 9,375 kN.m

On choisit R comme surabondante.

LRMLRMM ByAy ⋅+−=⋅+−=

xRLR -MxRM - m zéro. à égal doncest 4 éq.l' de droite de termedeuxième le R de pas dépend neet m-kN 9,375 m

L)x(0 Bet A Entre

(4) dxR

mmEI1 dx

Rm

mEI

1RU

RU0

AyyAB

zAB

L

0

zABzAB

z

L

0

yAByAB

yBzBz

⋅+⋅=⋅+=⇒=

≤≤

∫∂

∂+∫

∂

∂=

∂∂

=∂∂

==δ

LM

23R

0dx)Lx()xRLR -(MEI10

L

0yBz

⋅=⇒

+−⋅+⋅==δ ∫

Plan x-y ( flexion autour de z) Plan x- z ( flexion autour de y)

Mz

M y

x

9,375kN.m

37,5 kN

A

B

z

Effort tranchant nul

x

y

xVy

x

xVz

3/2 M/L

RA =3/2 M/L

RB =3/2 M/L M/2

M

A B

x

M/2

-M

∼ myAB

MAy

x

RAz= R

10

C= 1,5 x 50 kN= 75 kN Mz = 1,5 x 9,375 kN.m = 14,06 kN.m My = 1,5 x 6,25 kN.m = 9,375 kN.m

11

2 .Capacité de résistance de la membrure AB en compression pure a. dans le plan x-y (flexion autour de z) : encastrement –rotule avec déplacement

latéral permis ; k = 2,0 .

0,11105,724000x0,2

rkL

z==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

b. dans le plan x-z (flexion autour de y) : encastrement-rotule avec déplacement latéral bloqué ; k = 0,7

26,6763,414000x7,0

rkL

y==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Flexion dans les deux plans : il faut choisir la plus grande valeur de (kL/r) , ce qui mène à la plus faible valeur de la résistance Cr.

368,1MPa10x200x

MPa3000,111E

Sr

kL322

Y =π

=π

=λ

Nk 6,381N10 x 381,6

N 3,316) ( 10 x 933,1

)368,11(mm

N300xmm3456x9,0)1(SAC

3

0,746-3

34,11

34,1x22

2n1

n2Y r

≡=

=

+=λ+ϕ=−−

3. Capacité de résistance de la membrure AB en flexion seulement a) Plan x-y (flexion autour de l’axe z)

157,1

Nk 553,3kN751

1

PC1

1F

Nk 553,3 N10 x 553,3 mm) 4000 x (2,0

mm 10 x 17,94 x MPa 10 x 200 x )kL(IEP

m.kN44,48

mm.N10x44,48mm

N300xmm10x4,179x9,0SSM

z/cr

z/amp

32

4632

2z

2

z/cr

62

33Yzrz

=−

=−

=

≡=π

=π

=

=

==ϕ=

12

b) Plan x-z (flexion autour de l’axe y)

0523,1

Nk 1508kN751

1

PC1

1F

Nk1508 N10 x 1508 mm) 4000 x (0,7

mm 10 x 5,99 x MPa 10 x 200 x )kL(IE

P

mkN 32,35

mmN10x35,32mm

N300xmm10x8,119x9,0SSM

y/cr

y/amp

32

4632

2y

2

y/cr

62

33Yyry

=−

=−

=

≡=π

=π

=

−=

−==ϕ=

4. Capacité de résistance de la membrure AB

La structure peut supporter le chargement

0,1 0,837 0,305 0,336 1966,0

0,1? mkN35,32

mkN375,9x052,1 mkN44,48

mkN06,14x157,1 kN6,381

kN75

0,1M

MF

MMF

CC

ry

yamp/y

rz

zamp/z

r

≤=++

≤−

−+

−−

+

≤++