chapitre 12 transformations dans l'espace · de rotation autour des axes de coordonnées tels...

CHAPITRE 12 TRANSFORMATIONS DANS L'ESPACE

12.1 INTRODUCTION

Dans ce chapitre on expose une généralisation à trois dimensions de la matière du chapitre 8. L'objectif est de transformer tout objet dans un espace virtuel pour en obtenir différentes observations. On généralisera la représentation matricielle d'un objet en coordonnées homogènes ainsi que la représentation matricielle des transformations élémentaires telles que la mise à l'échelle, le déplacement et la rotation. Finalement, nous introduirons une dernière famille de transformations: les projections. Il s'agit là de transformations d'un objet à trois dimensions en un objet à deux dimensions. Ceci est essentiel pour visualiser des objets tridimensionnels sur une surface plane. Pour un meilleur niveau de réalisme et afin de rendre le sens de la profondeur, les projections perspectives sont présentées ainsi que la stéréographie.

12.2 REPRÉSENTATION DE POINTS DANS L'ESPACE

On représente un point dans l'espace par un vecteur à trois composantes

P x y z= , ,a f Suivant un développement analogue à la section 8.7, on introduit une quatrième composante dont la représentation suivante:

x y z, , ,1a f (12.1)

que l'on interprète comme un point dans un espace à 3+1 dimensions. Il n'est pas possible de visualiser ceci. Cependant, par analogie avec la section 8.7, on peut dire que le point (x, y, z, 1) dans l'espace 3-D avec H = 1 possède une image dans chaque espace 3-D avec H = h, dont les coordonnées sont:

( , , , )hx hy hz h (12.2)

L'ensemble de tous ces points se trouve sur une "droite" reliant le point (x,y,z,1) avec (0,0,0,0) et perçant chaque espace en un point (hx,hy,hz,h). Inversement, chaque point (u,v,w,h) correspond à un seul point dans H = 1,

uh

vh

wh

, , , 1FH

IK (12.3)

La représentation d'un objet consiste en un tableau pour l'ensemble des points constituant celui-ci,

12.2 Chapitre 12

x y zx y z

x y zn n n

1 1 1

2 2 2

11

1

. . . .

. . . .

L

N

MMMMMM

O

Q

PPPPPP

(12.4)

dans l'espace H = 1.

12.3 TRANSFORMATIONS DANS L'ESPACE

On représentera toute transformation par une matrice 4 x 4, semblable à l'équation 8.7

a b cd e fg h il m n

0001

L

N

MMMM

O

Q

PPPP (12.5)

On peut partitionner l'équation (12.5) en quatre sous-matrices

33 3

11 3 1 1

×

× ×

L

N

MMMM

O

Q

PPPPx

(12.6)

La matrice 3 x 3 représente les rotations et les facteurs d'échelle, la matrice 1 x 3, les translations, la matrice 1 x 1 sera un facteur d'échelle global et finalement, la matrice 3 x 1 permettra les projections perspectives.

12.3.1 Translations

Le calcul des coordonnées d'un point déplacé par une translation donne

′ ′ ′ =

L

N

MMMM

O

Q

PPPPx y z x y z

T T Tx y z

, , , , , ,1 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

1

a f a f (12.7)

qui correspond à ajouter à chaque coordonnée

x x Ty y T

z z T

x

y

z

''

'

= +

= +

= +

(12.8)

Transformations dans l'espace 12.3

Figure 12.1 Translation.

12.3.2 Mise à l'échelle

Les éléments de la diagonale produisent des mises à l'échelle sur un objet.

Localement:

′ = ′ ′ ′

=

L

N

MMMM

O

Q

PPPP=

P x y z

xS yS zS

x y z

SS

S

PS

x y z

x

y

z

, , ,

, , ,

, , ,

=

1

1

1

0 0 00 0 00 0 00 0 0 1

b gd i

b g (12.9)

où P est le point original, et S la matrice pour la mise à l'échelle locale.

Globalement:

′ = ′ ′ ′ =

L

N

MMMM

O

Q

PPPPP x y z s x y z

s

, , , , , , b g b g11 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0

(12.10)

On remarque que cette transformation envoie le point P en dehors de l'espace H = 1, dans l'espace H = s. On retrouve le point correspondant dans H = 1 en divisant par s l'équation (12.3). Donc

′ = ′ ′ ′ = LNMOQPP x y z x

syx

zs

, , , , , , 1 1b g (12.11)

12.4 Chapitre 12

La mise à l'échelle par rapport un point arbitraire ( )1,,, fff zyx s'exprime par l'équation suivante

′ ′ ′ =

− − −

L

N

MMMMM

O

Q

PPPPPx y z x y z

SS

SS x S y S z

x

y

z

x f y f z f

, , , , , , 1 1

0 0 00 0 00 0 0

1 1 1 1

b g b gb g d i b g

(12.12)

12.3.3 Glissement

La matrice de transformation de glissement ou cisaillement [shear] 3D a la forme suivante :

G

Sh ShSh ShSh Sh

xy xz

yx yz

zx zy

=

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

1 01 0

1 00 0 0 1

(12.13)

Ainsi, la transformation d'un point P s'exprime

′ =P PG

et la dépendance de la coordonnée ′x de P est exprimée par l'équation

′ = + +x x Sh y Sh zxy zx

Shxy indique de combien la coordonnée y affecte la coordonnée ′x ou le glissement dû à y sur x.

Figure 12.2 Glissement.

12.3.4 Rotations

En trois dimensions, les rotations ont lieu autour d'un axe plutôt qu'un point.


Avant d'exprimer la matrice de rotation autour d'un axe arbitraire, nous examinerons les cas particuliers de rotation autour des axes de coordonnées tels qu'illustrés à la Figure 12.3. Les angles sont mesurés dans le sens anti-horaire par un observateur le long de l'axe vers l'origine.

(a)

(b)

(c)

Figure 12.3 Rotation autour de a) l'axe des z; b) l'axe des x; c) l'axe des y.

12.6 Chapitre 12

Pour une rotation Rz(θz) autour de l'axe des z.

′ ′ ′ =−L

N

MMMM

O

Q

PPPPx y z x y z

z z

z z, , , , , ,

cos sinsin cos

1 1

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

b g b gθ θθ θ

(12.14)

est obtenue à partir de la matrice équivalente en 2D. Par une permutation des rangées et colonnes, le résultat Rx(θx) autour de l'axe des x devient :

′ ′ ′ =−

L

N

MMMM

O

Q

PPPPx y z x y z x x

x x

, , , , , ,cos sinsin cos

1 1

1 0 0 00 00 00 0 0 1

b g b g θ θθ θ

(12.15)

et finalement, Ry(θy) autour de l'axe des y

′ ′ ′ =

−L

N

MMMM

O

Q

PPPPx y z x y z

y y

y y

, , , , , ,

cos sin

sin cos 1 1

0 00 1 0 0

0 00 0 0 1

b g b gθ θ

θ θ (12.16)

On obtient une rotation générale autour de l'origine par une superposition de ces trois rotations, ce qui mathématiquement se traduit par des multiplications. Cependant, puisque ces opérations ne sont pas commutatives, il faut nécessairement respecter l'ordre. Ainsi pour trois rotations successives et dans l'ordre suivant, autour de x, de y et de z, on obtient :

′ ′ ′ = ⋅ ⋅ ⋅x y z x y z R R Rx x y y z z, , , , , ,1 1b g b g b g d i b gθ θ θ (12.17)

où Rz zθb g, Rx xθb g et Ry yθd i sont les matrices de rotation (12.14), (12.15) et (12.16) respectivement. Le

résultat

cos cos sin cos sinsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos sin

sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos

θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

z y z y y

z x z y x x z x y z y x

x z x y z z x z y x y x

−− + + −

+ − +

L

N

MMMM

O

Q

PPPPd i d i d id i d i d i

0 0 0

(12.18)


12.3.5 Rotation autour d'un axe arbitraire

La rotation est toujours définie autour d'un axe passant par l'origine. Pour un axe passant par le pointP T T Tx y z= , , , 1 , on doit d'abord déplacer l'origine au point P par une translation, et ensuite

procéder à la rotation. On terminera en ramenant le point à la position initiale

′ ′ ′ =

− − −

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

L

N

MMMM

O

Q

PPPPx y z x y z

T T T

R

T T Tx y z x y z

, , , , , , 1 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

1

b g b g (12.19)

où [R] représente une rotation autour d'un axe défini par le vecteur position u ayant les cosinus directeurs n1, n2 et n3 tels que définis à Figure 12.4, c'est-à-dire

nnn

1

2

3

===

coscoscos

αβγ

On peut décomposer la rotation par les étapes suivantes:

• Effectuer une transformation d'alignement de façon à aligner le vecteur u sur l'axe des z, • Effectuer une rotation d'un angle φ autour de l'axe des z,

• Effectuer la transformation d'alignement inverse de façon à repositionner le vecteur u à sa position originale.

Ainsi, la transformation d’alignement A uz a f du vecteur u avec l'axe des z peut s'expliciter comme une rotation autour de l'axe des z d'un angle −φ pour former un nouvel axe ′u dans le plan x-z, suivie d'une rotation d'un angle −ψ autour de l'axe des y ou sous forme mathématique A u R Rz z ya f a f a f= − ⋅ −θ ψ . Ensuite, il suffit d'effectuer une rotation d'un angle φ autour de l'axe des z et d'effectuer la transformation d'alignement inverse pour rétablir l'axe u à sa position originale. On exprime la rotation autour d'un axe u d'un angle φ par le produit des matrices de transformation suivantes:

R R R R R Ru z y z y zφ θ ψ φ ψ θb g b g b g b g b g b g= − • − • • − • −− −1 1

12.8 Chapitre 12

(a) (b)

Figure 12.4 Rotation autour d'un axe arbitraire. 12.3.6 Transformations inverses

Pour chaque transformation, il en existe une inverse qui ramène l'objet à son point de départ. Mathématiquement, ceci s'exprime par

x y z TT x y z I, , , , , , 1 11b g b g− =

où T-1 est la matrice inverse de T et I la matrice unitaire.

Ainsi, les matrices de transformation inverse s'expriment pour

• une translation d'un vecteur V=(Tx,, Ty, Tz) T Tv v−

−=1

• une rotation d'un angle θ autour d'un axe u ( ) ( )R Ru u− − −1 θ θ

• une homothétie ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− =

zyx

zyx

sss

sss SS1,1,1

1,,

Dans l'utilisation de transformations pour observer des objets on peut procéder, soit en transformant l'objet dans un repère avec l'observateur fixe, ou bien en transformant le repère avec l'objet fixe. Ces deux approches sont symétriques mais il faut bien faire la distinction. Par exemple, dans le cas d'une rotation, les matrices seront semblables, mais le signe d'angle sera différent. La même remarque vaut pour une translation.


12.4 PROJECTIONS

Pendant des siècles, les artistes, ingénieurs, dessinateurs, illustrateurs, cartographes et architectes ont cherché à dominer les difficultés et les contraintes du problème de la représentation d'objets ou de scènes à trois dimensions sur un support à deux dimensions -- le problème de la projection.

On peut réaliser différentes projections en fonction de l'objectif fixé.

Le Tableau 12.1 donne une typologie des familles de projections perspectives et parallèles. Certaines projections ont des noms traditionnels - orthogonale, cavalière, etc. D'autres sont identifiées par l'une de leurs caractéristiques - perspective à un point de fuite, etc.

Tableau 12.1

12.10 Chapitre 12

12.4.1 Projections orthographiques

Sur une surface d'affichage plane, on représente des images d'objets tridimensionnels par une technique qui consiste à appliquer ou à projeter l'ensemble des points de l'objet sur un plan à partir d'un point appelé centre de projection. Selon la position de ce centre de projection, on obtient différentes vues de l'objet donnant plus ou moins le caractère tridimensionnel de ce dernier.

Figure 12.5 Projection orthogonale multi-vues.

12.4.2 Projections axonométriques

Les projections axonométriques sont les plus simples à réaliser et consistent à projeter l'objet sur un plan à partir d'un centre de projection à l'infini. Ce qui distingue une projection axonométrique, d'une projection orthogonale est le choix du plan de projection. Dans cette dernière, on projette directement sur les plans z=0, y=0 ou bien x=0; ce qui donne les trois vues classiques du dessin technique (c'est-à-dire la vue en plan et les deux élévations). La projection axonométrique est une projection orthogonale dans laquelle la direction de projection n'est pas parallèle à l'un des axes principaux.

Quoique facile à réaliser par un dessinateur, la technique de projection orthogonale exige souvent une certaine habilité et expérience de la part de l'observateur pour reconstruire l'objet tridimensionnel. Par


contre, les dimensions sur chaque vue sont exactes. Mathématiquement, une telle projection est obtenue avec la matrice (12.5) et les valeurs suivantes:

Projection sur z=0

Pz =

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1

(12.20)

Projection sur y=0

Py =

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

(12.21)

Projection sur x=0

Px =

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(12.22)

On note que ces projections se caractérisent par une ligne de zéro ou bien un déterminant nul.

Projections axonométriques

Dans une projection axonométrique, on procède au préalable par une transformation de l'objet pour en obtenir un bon point de vue, c'est-à-dire un point d'observation qui donnera le maximum d'information sur la nature de l'objet. On projette ensuite sur un plan avec un centre de projection à l'infini. Une projection axonométrique comprend donc deux parties: deux rotations suivies d'une projection orthogonale de sorte que au moins trois faces adjacentes sont visibles.

De façon générale, l'observateur se situe sur l'axe des z et on projette sur z=0. Donc les seules rotations nécessaires pour obtenir une vue sont celles autour de x et y (on note qu'une rotation autour de z dans ce cas n'apporte absolument rien). Ces rotations sont représentées par les équations (*.23) et (*.24) et donnent

12.12 Chapitre 12

′ ′ ′ =

−L

N

MMMM

O

Q

PPPP

= ⋅

x y z x y z

x y z R

y y

y y

y y

, , , , , ,

cos sin

sin cos

( , , , ) ( )

1 1

0 00 1 0 0

0 00 0 0 1

1

b g b gθ θ

θ θ

θ (12.23)

′ ′ ′ =−

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

= ⋅

x y z x y z

x y z R

x x

x x

x x

, , , , , ,cos sinsin cos

( , , , ) ( )

1 1

1 0 0 00 00 00 0 0 1

1

b g b g θ θθ θ

θ (12.24)

On termine par la multiplication par l'équation (12.20).

Généralement, cette dernière opération n'est pas strictement nécessaire. Il suffit d'utiliser seulement les coordonnées x et y. La matrice d'une projection axonométrique sera alors

P R R Paxomonétrique x x y y z= ⋅ ⋅θ θb g d i (12.25)

Pour des valeurs particulières des deux angles, on obtient les projections axonométriques utilisées couramment dans le dessin technique. À l’exception du cas où une des faces de l’objet est parallèle au plan de projection, l’objet n’est pas projeté en pleine grandeur. En effet, les lignes parallèles demeurent parallèles mais sont raccourcies. Le facteur de raccourci est le rapport de la longueur projetée d’une ligne sur sa vraie longueur.

Projection isométrique

Une projection isométrique, par exemple d'un cube, peut être effectuée en direction d'une des diagonales du cube. La direction de la projection fait un angle égal avec chacun des trois axes principaux. Les trois axes sont également raccourcis (iso signifie *Projection «même», métrique signifie «mesure»); en conséquence les cosinus directeurs du vecteur normal au plan de projection n=(nx, ny, nz) doivent être égaux.. Cette condition peut s'exprimer ainsi: n n nx y z= ± = ± . Les dimensions des côtés d'un objet qui sont parallèles à un des axes principaux peuvent être mesurés directement du dessin, et toutes peuvent être mises à l'échelle d'un même facteur. En d’autres mots, les facteurs de raccourci selon chacun des trois axes principaux sont égaux.

Dans une projection isométrique, les angles de rotation du vecteur normal au plan de projection n sont θy = 54.7356o, θx = 45 o. En effet, si nous exprimons le vecteur n en coordonnées sphériques, les


composantes (nx , ny, nz ) = (sin θy sin θx, cos θy , sin θy cos θx ) doivent être égales. Si on assume que ces composantes sont positives, on obtient θx = 45 o en posant nx = nz ou sin θy sin θx = sin θy cos θx, ou encore sin θx = cos θx. Il y a trois autres valeurs de θx qui peuvent satisfaire l'équation cos = sin θ θx x± . En posant ny = nz, on obtient cos θy = sin θy cos θx ou cos θy = 0.707 sin θy ou encore tan = 2yθ , ce qui entraîne θy = 54.7356 o.

Figure 12.6 Projection isométrique.

Projection dimétrique

Pour une projection dimétrique, la direction de la projection fait un angle égal avec deux des trois axes principaux, ou deux des cosinus directeurs du vecteur n doivent être égaux (Figure 12.7), de sorte que n n n nz x z y = , = ± ± , ou n nx y = ± . Par exemple, les angles θy = 20,705 o, θx = 22,208 o

satisfont une de ces conditions.

[PIC DIMETRI2.EPS]

12.14 Chapitre 12

Figure 12.7 Projection dimétrique d'un cube.

Projection trimétrique

Enfin pour une projection trimétrique, la direction de la projection fait des angles inégaux avec les axes principaux.

12.4.3 Projections obliques

L'observateur est situé à l'infini et les rayons visuels sont parallèles entre eux mais font un angle avec le plan de projection. On définit cet angle α avec le rayon de projection et le segment L reliant le point projeté obliquement et le point projeté orthogonalement. La Figure 12.8 illustre cette construction. La ligne L fait un angle φ avec la direction horizontale dans le plan de projection et les points projetés

′ ′x y,a f peuvent s'exprimer en fonction de x, y, L et φ .

′ = +′ = +

x x Ly y L

cossin

φφ

(12.26)


Figure 12.8 Projection oblique.

On note que φ n'est pas l'angle de projection. Selon le choix de φ , on obtient différentes combinaisons

des vues de plan, de face et d'élévation.

La longueur L est une fonction de z et on évalue ce paramètre en écrivant

tanα = =zL L

1

1

(12.27)

où L1 est la longueur de la ligne projetée de (x, y) à ( )′ ′x y, quand z=1.

On a L = zL1

Figure 12.9 Projection oblique.

alors l'écriture des coordonnées devient

′ = + = +

′ = + = +

x x z x zL

y y z y zLtan

cos cos

tansin sin

αφ φ

αφ φ

1

1

(12.28)

et la matrice de transformation pour une projection oblique s'écrit

12.16 Chapitre 12

ML Loblique =

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

1 0 0 00 1 0 0

0 00 0 0 1

1 1cos sinφ φ (12.29)

Cette transformation n'est plus linéaire et lorsque α π= / 2 , on retrouve la projection orthogonale. Dans le plan de projection, les angles droits sont conservés, les cercles restent des cercles. Les surfaces de l'objet non parallèles au plan de projection ne seront pas projetées en vraie grandeur et forme.

L'orthogonalité du plan X - Y seulement est conservée. Dans ce genre de projection, on place la face principale de l'objet parallèle au plan de projection. On distingue 2 cas particuliers de la projection oblique:

• projection cavalière : La direction de projection est choisie de telle manière qu'il n'y a pas d'effet de raccourci des perpendiculaires au plan X-Y. C'est un projection oblique dans laquelle il n'y a pas de raccourcissement des droites perpendiculaires au plan X-Y.

L1=1 et φ = °45 avec échelle complète sur l'axe z

g h= = = ° = °2

245 45cos sin

Figure 12.10 Projection cavalière d'un cube a) φ = 30o; b) φ = 45o.

projection cabinet: La direction de projection est choisie de manière à ce que les perpendiculaires au plan X-Y soient raccourcies de moitié L1

12= et φ = °30 avec demi-échelle sur l'axe z

g

h

=

=

34

14


Figure 12.11 Projection cabinet d'un cube a) φ = 30o; b) φ = 45o.

12.5 PROJECTIONS PERSPECTIVES

La projection perspective dépasse tous les autres modes de représentation d'objets tridimensionnels. Cette caractéristique est certainement liée au fait que de telles images sont les mêmes que celles formées par l'oeil et par des lentilles photographiques. Cette familiarité nous donne une sensation de réalisme. Celle-ci découle d'un effet tridimensionnel obtenu par l'utilisation de la profondeur dans le calcul des coordonnées transformées. En effet, alors que la valeur de la profondeur, disons z, n'intervient pas dans les autres projections, celle-ci apparaît explicitement dans le calcul d'une projection perspective. Quoique assez difficile à réaliser à la main par un dessinateur parce que, contrairement aux transformations affines, les parallèles ne demeurent pas parallèles. Ceci donne lieu à des constructions assez compliquées. Cependant, elles peuvent s'expliciter par des produits matriciels et dans ce cas, la projection perspective par ordinateur est aussi simple que toutes les autres.

12.5.1 Projection perspective sur le plan X-Y

On définit une projection perspective par deux paramètres:

1. la position de l'observateur,

2. le plan de projection.

On trace les lignes de projection du point d'observation à chaque point de l'objet. La projection sera l'intersection de ces lignes avec le plan de projection. Ceci est illustré pour un point à la Figure 12.13.

12.18 Chapitre 12

Figure 12.12 Projection perspective.

Figure 12.13 Profil de la projection.

On obtient les coordonnées du point projeté à partir de la Figure 12.13 en utilisant


yy

d zd z

y y d zd z

′=

−−LNMOQP

′ =−−

1

1

(12.30)

Comme le plan de projection est arbitraire, on pose z1=0. Ce qui donne

′ =−

LNM

OQPy y d

d z (12.31)

En répétant avec un schéma semblable à celui de la Figure 12.13, où les y sont remplacés par des x, on obtient

′ =−

LNM

OQPx x d

d z (12.32)

On note qu'en déplaçant le point d'observation d vers l'infini, on retrouve dans les équations (12.33) et (12.34) , les projections orthogonales. La non-linéarité de ces expressions montre en effet comment la profondeur intervient dans le calcul des coordonnées transformées.

′ =−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

x xzd

1

1 (12.33)

′ =−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

y yzd

1

1 (12.34)

′ = =z z1 0 (12.35)

Il faut aussi prévenir le cas où l'oeil est dans le solide: tout ce qui est derrière ne doit pas être projeté.

Le nouveau point ( )′ ′ ′x y z, , doit être obtenu à partir de (x, y, z) par un produit matriciel.

x

zd

yzd

xh

yh1 1

0 1 0 1−FHGIKJ −FHG

IKJ

F

H

GGG

I

K

JJJ= FHG

IKJ, , , , , , (12.36)

12.20 Chapitre 12

Donc ′ ′ ′ =x y z h x y z T, , , , , , b g b g1

où h zd

= −FHIK1 . On voit que la matrice de transformation pour une projection perspective s'écrit

Md

Pers =−

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

1 0 0 00 1 0 00 0 0 1

0 0 0 1

(12.37)

De façon semblable, on peut obtenir des matrices de transformations perspectives avec un point d'observation sur l'un des deux autres axes avec projection sur des plans correspondants.

Figure 12.14 Projection perspective.

Généralement, une projection perspective peut être précédée d'un nombre de transformations affines (rotation, translation) qui placent l'objet par rapport à l'observateur à z = d. Cette approche est symétrique à celle qui consiste à déplacer l'observateur autour de l'objet.

12.5.2 Anomalies de la projection perspective

La projection perspective, tout en renforçant le réalisme par un effet de profondeur, distord les formes et les proportions, et introduit aussi certaines anomalies:

• Effet de raccourci. Plus un objet est éloigné du centre de projection, plus il paraît petit.


Figure 12.15 Deux sphères de taille différente semblent de même taille lorsque projetées.

chapitre 12 transformations dans l'espace · de rotation autour des axes de coordonnées tels...

Documents