Chapitre 11:Solutions à certains exercices

D’autres solutions peuvent s’ajouter sur demande: nrsavard@sympatico.ca ou 647-5967

Ch. 11: Exercice E1

131

3

2

2 2 2

33 233 min 3.491

603.49 0

) 1.752

) 2 14.0 2 2.22

3.49 23.49 3 14.0

23.49 2

) 3.49 2 42

4 3.492 4.6

3.49

) 1.75 0.15 0.457

1.75 0.15 0.2

m

t

r

t

tr rad s

a rad st

b N tours

rad

c t

t s

d a R m s

a R

2

2 2 2

62

) 3.49 0.15 1.83

0r

t

m s

e a R m s

a R

3.49m

t2 s

Aire sous la courbe:

Ch. 11: Exercice E5

2

2

2

2

2 2 2

.11 5

10 5 4

3 1 31 9) 11

3 1 2

3 10 5 3 4 3 31

1 10 5 1 4 1 9

) 11 0.06 0.66

2 5 8 2 11

10 5 45 8

) 2 2 11 0.06 7.26

2 2 8 0.06 0.

moy

t

r

t

NYA Ch E

t t

a rad st

rad

rad

b v R m s

rad s

d t tdt

dt dt

c a R m s

a R

248

5 88

m s

d td

dt dt

Ch. 11: Exercice E12

2 21

3

2

2 4

3

22 1

32

31

2 1

) 10 24 1 14

2 10 810 24

2 5 22 10 8

46 0) 46

2 1 2 1

2 10 2 8 2 46

2 10 1 8 1 0

10 1) 17

2 1 2 1

s

s smoy

s

s

s smoy

a rad s

d t tdt

dt dt

d t t tdt t

dt dt

b rad st

rad s

rad s

c rad st

2 4

2

2 41

2 4

3

2 2 5 2 2 2 16

2 1 5 1 2 1 1

2 5 2

) 2 10 8 0

0.207 1.00

s

s

rad s

rad s

t t t

d t t

t s t s

Ch. 11: Exercice E15

22

2220

0

0

27.7230.9

0.25

27.87.72

2 50100 3.6 27.8

5031.8

2 0.25

2

)2

0

)

2

aa

R

va

xv

xb N

r

v v a

ad s

m s

m s

tour

x

sR

Ch. 11: Exercice E18

2

2

2 2 2

.11 18

555 0) 370

1.55300 2 60 555

) 370 0.09 33.3

370 0.09 12300

0 370 1 370

f i

f

t

r

i

NYA Ch E

a rad st t

rad s

b a R m s

a R m s

t rad s

Ch. 11: Exercice E22

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 ( 3, 1)

2 ( 2, 2)

3 ( 1, 1)

4 ( 2, 1)

) 1 1 2 2 3 1 4 1 16

) 1 3 2 2 3 1 4 2 36

) 36 16 52

x i i

y i i

z i i i i i i i i i y x

kg

kg

kg

kg

a I m y kg m

b I m x kg m

c I m r m x y m x m y I I kg m

ix

iyirx

y

im

Ch. 11: Exercice E23

' 2 2 2 2

2

2' 2 2 2

22 2

2 2 2

) 4 4 8

4

4

) 2 4 2 4

4 4 2 2

2 2 2 4 2

4

2

t t

t

t t

t

a I I Mh md md md

I md

M m

h d

b I I Mh m m m

I mr m m

r

M m

h r

r2

2

mm

mm

mm

m

m Dans les deux cas, on calcule le moment d’inertie total par rapport au centre de masse du système It puis on applique le théorème des axes parallèles pour trouver le moment d’inertie par rapport à l’axe indiqué I’t.

Ch. 11: Exercice E23

2 222 2 2 2 21 1 2 2 3 3

22 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

) 2 2 2 8

) 2 4

t i i

t i i

a I m r m r m r m r m d m d m d md

b I m r m r m r m r ml m l ml ml

mm

mm

mm

m

m Dans les deux cas, on calcule le moment d’inertie total en faisant la sommation des

1r

2r

3r1r

2r3r

2i im r

Ch. 11: Exercice E26

2

2

2

2

'

' 2

2

2

2

24 4 17.3 72

1.33 1 4 17.3

1 41.333

12

1

42 4

2

2 24

2

2 6 72

4 4

1

5

2

2

2

M R A

R R R

RR

M

M MM

A A A

I I I I

I I M h

M L

k

I

Lh R

M RI

I R

g m

M

M: Moyeu central

R: Rayon

A: anneau extérieur

RI'RI

Ch. 11: Exercice E29

h

' 2 2 234

2223

4

2' 2 2 2 2 25 252 25 2 5 4

225

3 52 2

2 2 6.65 14

3

12 12

6.65

t s

t

s s

s

I I I mR mR mR

m RMLI mR

I I mh mR m R mR mR mR

I mR

h R R R

Ch. 11 Exercice E31

4 3 312

412

2

212

2 3

2 2 2 2

2

2

D C

D D

D D

C C

C C

R R h R R h

R

R

R h

I I I

I M R

M A

R

I M

M A h

R

Cylindre

Disque

Disque

2:

Massedensité surfacique

Aire

Unité kg m

Ch. 11: Exercice E37

212

22

22 22

2

1

2 2 3

12 2 3

1

3

3

i f

cm

E E

mgh I

L ML vMg

L

ML L MLI I Mh M

v

L

gL v

v gL

v

Ch. 11: Exercice E39

2 2 21 1 12 2 2

22 2 21 1 1 1

2 2 2 2

2 21 12 2

2 21 12 2

2 21

1

2

2

2

2 4 9.810.981

80

2 4 9.81 0.2 80 0.21.58

4 2

0

0

0 2

2) 0

) 2

2

2 2

2

i fE E

kx mv I mgx

vkx mv MR mgx

R

kx m M v mgx

mga v x

k

b m M v mgx kx

mgx kx mgx k

m

m

xv

m M m M

sv

Ch. 11: Exercice E41

22 2 21 1 1 12 2 2 2

2 2 21 1 12 2 22 2

222 2 25 71 1 2

2 2 5 102

212 221 1 1

2 2 22

)

1

)

1

1

i f

S D S D

i f

cm rel

S S S

D

a E E

K U mgh

K K h h

b E E

K U

K K U

Mv I Mgh Mv I v R Mgh

I IMv v Mgh M v Mgh

R R

MRM v Mgh M v Mgh v gh

R

MRM v Mgh M v M

R

234

2710 7 4

10 3234

14 15

D D

SS D

D

gh v gh

v ghh h

v gh

hM

R

v

Ch. 11: Exercice E46

1 1

2 2

3 3

.11 46

sin 60 2 10 4 sin 60 34.6

cos 45 4 15 2 cos 45 21.2

2 8 4 32.0

o o

o o

NYA Ch E

F L Nm

F L Nm

F L Nm

L/2 L/2

Ch. 11: Exercice E49

2

2

) 0.03 1 3 0.01

0 201 3

60) 0.03 4 0.12 0.13

20 04

5

f f

f

m f m m

m

a I Nm

rad st

b I Nm

rad st

5 65t (s)

ω (rad/s)

20

La roue accélère pendant 5 s dans le sens positif sous l’effet du moment de force résultant τm + τf (τf étant négatif). Lorsque τm cesse, la roue ralentit sous le seul effet de τf.

Ch. 11: Exercice E55

21 12 2

12

12

2

2 20

sin

sin

sin

sin 9.81 sin 537.83

41 0.5 1

2 2 2

2

2 2 7.83 0.5 1 2.8

x

o

F ma mg T ma

I TR I

TR MR T MR

mg MR m R

mg R m M

grad s

MR

m

v v a x

v R x m s

R

Ch. 11: Exercice E57

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1

2 22 2 1 1 2 2 1 1

2 2 12 2 2 2

2 2 1 1

)

3 0.1 1 0.05 9.81

3 0.1 1 0.05 0

bloc

bloc

poulie

a F m a P T m a T P m r

F m a T P m a T P m r

I T r T r I P m r r P m r r I

P r Pr m r m r I

m r m r g

m r m r I

2

21 1

22 2

1 1 1

2 2 2

2 21 12 1 1 22 2

10.5.2

10.5 0.05 0.527

10.5 0.10 1.055

1 9.81 0.527 10.3

3 9.81 1.05 26.3

) 2

2 2 0.527 1.055 1.59

rad s

a r m s

a r m s

T m g a N

T m g a N

b h a t a t t h a a

t s

Puisque m2 > m1 et r2 > r1, il est clair que la poulie va accélérer dans le sens anti-horaire: m2 descend et m1 monte.

Ch. 11: Exercice E59

212

12

23

1 1 22 2 3

13

sin

0 cos 0

)2

sin

sin

) cos sin

x s

y

s

s s

s s s

s

F ma mg f ma

F N mg

I f R I

mR aa f R f ma

Rmg ma ma

a g

b f N mg ma m g

tg

Application de la 2e loi de Newton:

Ch. 11: Exercice E62

212

212

212

212

2369237

102467 98.7 2369

45 2.09 98.7

2.09

45 10.5 2467

10

202

60

1.5

002

60

moy

f i

i i

i

f f

f

W

J

J

rad s

WP

tW

J

K

r

K

K I

K I

ad s

Ch. 11: Exercice E63F

P

R

L.11 63

) 147 0.2 29.4

15 9.81 147

) 0 0

147 0.0311.0

0.4

NYA Ch E

a P D v W

D mg N

b D R FL

DRF N

L

Ch. 11: Exercice E70

.11 70

0.050

0.025

0.015

2 2 4

4 0.050 0.2

0.2 0.2 88 4

0.025 2 2

0.2 0.2 13.313.3 6.67

0.015 2 2

g

i

p

g g g

g i p

g g i i p p

ii i

i

ip i

p

NYA Ch E

R m

R m

R m

N tours N

S S S

R R R

N toursR

N toursR

Ch. 11: Problème P2

mgv

2 21 12 2

22 21 1 22 2 5

2 2 21 1 22 2 5

2710

27

10

710

2

2

2

2

2

2

2.7

i fE E

mgH mg R mv I

mgH mgR mv mr v r

mgH mgR mv m v mg mv R

mgH mgR mv v gR

mgH mgR m gR

mgH mgR mgR

H R

iE

fEPour rester tout juste en contact avec la piste dans le sommet du cercle, il lui faut une vitesse minimale de manière à ce que sont poids soit égal à la force centripète.

Ch. 11: Problème P11

' ' 2

2 2 22 25 5

2 2 2 2 2

' 2 2 2

2 2 0.0128 0.300 2 1.31 2 0.119 3.168

5 0.08 0.0128

12 32 0.3 0.15 12 0.300

0.18375 4.5 0.5 1.309

tête torse bras jambe

tête

torse

bras bras b b

bras b

I I I I I kg m

I MR kg m

I M a b kg m

I I M h kg m

I ML

2 2 2

' 2 2 2

2 2 21 12 2

12 4.5 0.7 12 0.18375

2 2 0.7 2 0.3 2 0.5

0.0216 12 0.09 0.1188

12 0.06 0.0216

0.09

b b

jambe jambe j j

jambe

j

kg m

h L a m

I I M h kg m

I MR kg m

h m

hb

hj

aRj

Lb

b

Ch. 11: Problème P16

PF

DF

EF

RF

PrDr

Er

Rr

PR

)

0.12.5 2

0.04

) 100 0.16 16

) 0 16 0.1 160

) 160 0.04 6.4

) 16 2 2 64 201

) 10 0.35 11.0

R E P D

R R D

P P E

D P P

D D P P D P P D

R E E E D

D P

R R

R E P D

a s r r

N rcar N

N r

b F r Nm

c F r F r F F r r N

d F r Nm car F F

e P W

f v r m s

r r

4 0.1 0.04 10

) 0 160 0.04 0.35 18.3R P D E

R R E E R E E R

r r

g F r F r F F r r N

: rayon du pédalier

: rayon du disque denté

: rayon de l'engrenage

: rayon de la roue

: vitesse angulaire du pédalier

et du disque denté

:vitesse angulaire de

l'engrenage et de la roue

P

D

E

R

P

R

r

r

r

r