CHAPITRE 2 : Trigonométrie 1 Cercle trigonométrique..................................................................................................................2

1.1 Définition du cercle trigonométrique.....................................................................................2

1.2 Définition du cosinus et du sinus d’un réel.............................................................................2

1.3 Définition du radian................................................................................................................3

2 Mesures d’un angle orienté de deux vecteurs...............................................................................4

2.1 Définition d’un angle orienté de deux vecteurs non nuls.......................................................4

2.2 Propriétés des angles orientés...............................................................................................6

Vecteurs colinéaires.......................................................................................................................6

Vecteurs orthogonaux....................................................................................................................6

Relation de Chasles avec les angles orientés..................................................................................6

2.3 Mesure principale d’un angle orienté.....................................................................................7

3 Trigonométrie.................................................................................................................................7

3.1 Cosinus et sinus d’angles associés..........................................................................................7

Angles associés x ; –x ; pi+x ; pi-x....................................................................................................7

Angles associés pi/2+x ; pi/2-x........................................................................................................8

3.2 Equations trigonométriques cos x = cos a et sin x = sin a.......................................................8

Equation cos x = cos a.....................................................................................................................8

Equation sin x = sin a......................................................................................................................9

3.3 Fonctions sinus et cosinus......................................................................................................9

Parité..............................................................................................................................................9

Périodicité......................................................................................................................................9

Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus............................................................10

1

(C )

+

CHAPITRE 2 : Trigonométrie

1 Cercle trigonométrique

1.1 Définition du cercle trigonométriqueSoit (O; i; j ) un repère orthonormé du plan.Le cercle (C ) de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi comme sens positif le sens contraire des aiguilles d’une montre est appelé cercle trigonométrique.

Le sens positif est le sens direct. L’autre sens est le sens négatif ou sens indirect.Soit D la tangente au cercle (C ) au point I et soit K le point de D de coordonnées (1 ;1 ) dans le

repère (O ; i ; j ).Par le procédé de l’enroulement de la droite D, qui représente les nombres réels, autour du cercle trigonométrique (C ) :

A tout point N de la droite D d’abscisse x dans le repère ( I ; IK ) on associe un point M du cercle (C )

A tout point M de (C ) on associe une infinité de points de la droite D dont les abscisses dans le repère ( I ; IK ) sont x, x+1×2π , x+2×2π , … , x−1×2π , x−2×2 π, …

Propriété : Soit x un réel et M le point du cercle (C ) associé au réel x. Le point M est associé à tous les réels de la forme x+k ×2π ,k∈Z.

1.2 Définition du cosinus et du sinus d’un réelSoit x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé au réel x.

On appelle cosinus du réel x l’abscisse du point M dans le repère (O;i; j ). On appelle sinus du réel x l’ordonnée du point M dans le repère (O ; i ; j ).

2

x

x 1

Propriétés Pour tout réel x, cos (x)∈ [−1 ;1 ] et sin (x)∈ [−1 ;1 ]. Pour tout réel x, cos ( x+k ×2π )=cos (x ) et sin ( x+k ×2π )=sin (x) avec k∈Z. Pour tout réel x, cos2x+sin2 x=1

1.3 Définition du radianSoit (C ) le cercle de centre O et de rayon r. L’angle AOB qui découpe sur le cercle un arc AB de longueur égale au rayon du cercle a pour mesure 1 radian.

3

Remarque :

Pour tout x∈ R−{π2 +kπ , k∈Z }, on a :

tan x= sin xcos x

D’où les valeurs remarquables :

x 0 π6

π4

π3

π2

sin x 0 12

√22

√32

1

cos x 1 √32

√22

12 0

tan x 0 √33

1 √3nondéfinie

(C )

Conversion en degrés

L’angle plat mesure π radians et aussi 180 °. La mesure d’un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degré.

Ainsi, on obtient le tableau des valeurs remarquables :

α en degrés 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135 ° 150 ° 180 °

360 °

α en radians

0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 2π

Exemple : Si α=2π5 rad alors α=2π

5×180

π=2×180

5=72°

2 Mesures d’un angle orienté de deux vecteurs

2.1 Définition d’un angle orienté de deux vecteurs non nulsSoit u et v deux vecteurs non nuls et D1 et D2 les demi-droites d’origine O dirigées respectivement par les vecteurs u et v. Soit A et B les points d’intersection des demi-droites D1 et D2 avec (C ).

L’angle orienté ( u ; v ) est le couple (OA ;OB ).

4

D1

D2

(C )

l=r

× 180π

× π180

Si a et b sont les réels associées aux points A et B par enroulement de la droite des réels autour du cercle, alors les mesures en radians de l’angle orienté (OA ;OB ) sont les réels b−a+k×2π , k∈Z

Parmi toutes les mesures d’un angle orienté, celle qui se trouve dans l’intervalle ¿−π ; π ¿¿ est la mesure principale.

Exemples

34π,

1718

π et −512

π sont des mesures principales car 34π,

1718

π et −512

π se trouvent dans

l’intervalle¿−π ; π ¿¿, ou , ce qui revient au même, 34 ,

1718 et

−512 se trouvent dans l’intervalle

¿−1;1 ¿¿.

2003

π n’est pas une mesure principale car200

3π n’est pas dans l’intervalle ¿−π ; π ¿¿ ou ce qui

revient au même, 200

3 ne se trouve pas dans l’intervalle¿−1;1¿¿.

Angles orientés particuliers :

( u ; u )=0+k ×2 π , k∈Z

( u ;−u )=π+k ×2π , k∈Z

Si λ>0 , alors (u ; λ u )=0+k×2π , k∈Z

5

Si λ<0 , alors (u ; λ u )=π+k ×2 π , k∈Z

2.2 Propriétés des angles orientés

Vecteurs colinéairesDeux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si :

Cas où u et v sont de même sens

( u ; v )=0+k ×2π , k∈Z

ou

Cas où u et v sont de sens opposés

( u ; v )=π+k ×2π , k∈Z

Vecteurs orthogonauxDeux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si :

1er cas

( u ; v )=π2

+k ×2π ,k∈Z

ou

2ème cas

( u ; v )=−π2

+k ×2 π , k∈Z

Relation de Chasles avec les angles orientés

6

Pour tous vecteurs non nuls u, v et w on a :

( u ; v )+( v ; w )= (u ; w )

2.3 Mesure principale d’un angle orienté

La mesure principale α correspondant à 200

3π est telle que :

α∈ ¿−π ; π ¿¿ et

α=2003

π+k ×2π ,k∈Z

α=(2003

+k×2) π , k∈Z

On cherche k dans Z tel que :

−1<( 2003

+k ×2)≤1

−1< 2003

+ 6k3

≤1

−1< 200+6k3

≤1

−3<200+6k ≤3−203<6 k≤−197−203

6<k ≤−197

6−203

6≈−33,83−197

6≈−32,83

D’où k=−33

D’où la mesure principale α=( 2003

−33×2) πα=(200

3−66)π

α=(2003

−1983 )π

α=23π

3 Trigonométrie

7

3.1 Cosinus et sinus d’angles associés

Angles associés x ; –x ; pi+x ; pi-x 

Pour tout x∈ R ,{ cos (−x )=cos ( x )sin (−x )=−sin (x )

Pour tout

x∈ R ,{cos (π−x )=−cos (x)sin (π−x )=sin ( x )

Pour tout x∈ R ,{cos (π+x )=−cos ( x )sin (π+x )=−sin (x )

Angles associés pi/2+x ; pi/2-x

Pour tout x∈ R ,{ cos ( π2 −x)=sin ( x )

sin( π2 −x)=cos (x)

Pour tout x∈ R ,{cos ( π2 +x)=−sin ( x )

sin( π2 + x)=cos (x )

3.2 Equations trigonométriques cos x = cos a et sin x = sin a

Equation cos x = cos a

8

Soit x et a des réels.

L’équation :

cos x=cosa

a pour solutions x=a+k ×2π , k∈Z etx=−a+k ×2 π , k∈Z

Exemple :

Résoudre dans R l’équation cos x=12

Réponse :

cos x=12

On met l’équation sous la forme cos x=cosa

cos x=cos π3

Solutions : x=π3+k×2π , k∈Z et x=−π

3+k×2π , k∈Z

Equation sin x = sin a

Soit x et a des réels.

L’équation :

sin x¿ sin a

a pour solutions x=a+k ×2π , k∈Z etx=π−a+k ×2 π , k∈Z

Exemple :

Résoudre dans ¿−π ; π ¿¿ l’équation sin x=−√32

Réponse :

sin x=−√32

On met l’équation sous la forme sin x=sina

sin x=sin(−π3 )

Solutions : x=−π3

+k×2π , k∈Z et x=π−(−π3 )+k ×2 π , k∈Z

Dans ¿−π ; π ¿¿ les solutions sont x=−π3 et x=π+ π

3−2π=−2π

3

9

3.3 Fonctions sinus et cosinusLa fonction cosinus associe à tout angle de mesure x en radian le cosinus de l’angle, c’est-à-dire l’abscisse du point mobile M sur le cercle trigonométrique

La fonction sinus associe à tout angle de mesure x en radian le sinus de l’angle, c’est-à-dire l’ordonnée du point mobile M sur le cercle trigonométrique

Parité.La fonction cosinus est une fonction paire, en effet :

Elle est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0.cos (−x)=cos(x ) pour tout réel x.La fonction sinus est une fonction impaire, en effet :

Elle est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0.sin (−x )=−sin(x) pour tout réel x.

Périodicité.La fonction cosinus est périodique de période T=2, en effet :

Pour tout x∈R ,cos (x+2)=cos (x).

La fonction sinus est périodique de période T=2, en effet :

Pour tout x∈R ,sin (x+2)=sin(x).

Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.

Courbe représentative 

de la fonction cosinus

10

Courbe représentative 

de la fonction sinus

11