chapitre 1 (20 06-2013-3)

Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire

Chapitre I

Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire

I. Introduction

La physique de base nous enseigne que les états de la matière sont l’état gazeux, liquide

et solide. Mais de nombreuses substances organiques ne présentent pas une transition unique

entre l’état liquide et solide mais plusieurs transitions faisant apparaître des états

intermédiaires. Les mésophases ou plus communément cristaux liquides, qui présentent un

état de la matière qui combine des propriétés d’un liquide conventionnel et celles d’un solide

cristatallisé. Il ce caractérise par un empilement régulier de molécule atomes ou ions sur un

réseau périodique dans les trois directions de l’espace.

Il y a deux grandes classes de cristaux liquides : thermotrope et lyotrope, les

thermotropes changent de phase en fonction de la température. Tandis que les lyotropes sont

sensibles à la concentration et à la température [8,22].

Les différentes phases des cristaux liquides se distinguent par leurs propriétés

optiques différentes comme la biréfringence, qu’on peut observer facilement entre

polariseurs croisés par les textures qui se forment et par les défauts caractéristiques de ces

matériaux. Lorsque l’architecture des entités moléculaires considérées est plane, on observe

des phases colonnaires ou les molécules plates sont schématisées par des disques.

II. Les cristaux liquides colonnaires

II.1.a. Structure d’une mésophase discotique

Notre intérêt l’intérêt porte sur les recherches dans le domaine des mésophases

colonnaires, découverte en 1977 par Chandrasekhar [1,23], de cristaux liquides obtenus à

partir de molécules organiques en forme de disque. Ces molécules discotiques s’empilent les

unes sur les autres pour former des colonnes de longueur indéfinie, ces colonnes s’organisent

selon divers réseaux cristallins bidimensionnels, et le désordre positionnel dans chaque

2

Noyau rigide

Chaînes flexibles aliphatiques

n

Figure .I.1 : La molécule mésogène discotique


colonne est plus ou moins prononcé. Les colonnes sont donc en général formées par

l’association d’un grand nombre de molécule avec des types variés de leur arrangement

géométrique; la dimension latérale des colonnes est de l’ordre de quelque nanomètre et elle

est comparable aux dimensions moléculaires. La diffraction des rayons X aux petits et aux

grands angles (de Bragg) permet de décrire précisément l’arrangement moléculaire au sein

des édifices lamellaires ou colonnaires de ces phases fluides [2]. Les mésophases colonnaires

sont stables thermodynamiquement sur un très grand intervalle de température. Elles adoptent

une structure correspondant à l’empilement des cœurs aromatiques en colonnes latéralement

arrangées selon un réseau hexagonal. Leur cœur aromatique est plat et rigide. Il est entouré

par plusieurs chaînes flexibles aliphatiques de longueurs variables et des groupes dipolaires

qui lient les chaînes au cœur et qui renforcent les interactions attractives entre les molécules

voisines (figure I.1).

Dans cette mésophase, les disques s’empilent les uns sur les autres en colonnes

formant un réseau régulier (Figure .I.2). A l’intérieur de la colonne, les disques gardent une

certaine liberté de mouvement qui varie selon le type de phase et perdent cette liberté pendant

la cristallisation. Les distances entre les molécules présentent des variations importantes avec

la température et les colonnes peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres.

3

(a)(b)


II.1.b Nomenclature

Toute molécule discotique qui donne un empilement de disques moléculaires dans sa

phase colonnaire sera notée D. Le réseau des colonnes sera décrit par un indice en bas et à

droite.

On note par exemple : h = hexagonal r = rectangulaire (Figure.I.3)

Un deuxième indice indique, pour une même colonne, l’ordre (o = ordonné) ou le désordre (d

= désordonné) des molécules dans leur empilement (Figure.I.4) [16, 18,17].

4

Figure. I.2 : Aspect général des molécules discotiques formant un réseau hexagonal

Figure. I.3 : (a) Réseau hexagonal

(b) Réseau rectangulaire

(b)(a)

Figure. I.4 :Mésophase colonnaire ordonnée

(b) Mésophase colonnaire désordonnée


La connaissance de la structure des matériaux dans leurs différentes phases est une étape

essentielle pour l’analyse de leurs propriétés. Sous microscope polarisant, l’état cristal liquide

colonnaire se laisse identifier par ses textures caractéristiques et ses défauts typiques.

II.2.a Structure d’une mésophase phasmidique

La corrélation entre la forme des molécules et la symétrie des mésophases n’a pas été

démentie jusqu’à la découverte de Malthête et al. en 1985, d’une nouvelle classe de

mésogènes thermotropes, les phasmides [3,18,24] (nom donné à l’époque pour la

ressemblance existant entre ces molécules et les phasmes, insectes sans ailes dont le corps

allongé ressemble à des brindilles) qui correspondent à des mésogènes hybrides, entre

discotiques et calamitiques (Figure I.5). En effet, ces molécules comportent une partie

allongée et trois chaînes paraffiniques sur chaque cycle terminal rigide.

5


II.2.b. Nomenclature

Le nombre des mésogènes po1ycaténaires synthétisés est tellement important, que le

problème de leurs nomenclatures a été posé. On a résolu ce problème en se basant sur le

nombre (six, cinq, quatre, trois ou deux) et sur les positions possibles des branchements (ortho

"o", méta "m "ou para "p") des chaînes paraffiniques. Ces mésogènes ont été appelées

respectivement hexa-, penta-, tétra-, tri- et bicaténaires. En particulier, les bicaténaires sont

les mésogènes classiques qu'on appelle nématiques. Pour distinguer les différents isomères,

on marque à chaque extrémité le numéro et les positions des chaînes paraffiniques [4].

II.3 Défauts dans une mésophase colonnaire

a. Domaines développables

Un des types de défauts, observés dans les cristaux liquides colonnaires hexagonaux

discotiques au phasmidiques, sont les domaines développables. Dans ces configurations, M.

Kléman considère que le réseau hexagonal est localement conservé [20,21].

Ces domaines sont obtenus en considérant une surface Σ et la famille des demi-plans

tangents à cette surface, les colonnes décrivent des lignes Γ perpendiculaires à cette famille.

a. Exemples de domaines développables

Le plus simple est celui que l’on obtient en prenant pour surface développable Σ un

cylindre de révolution de rayon ro, les colonnes moléculaires décrivent alors les

développantes d’un cercle de rayon ro. Une telle configuration équivaut à une ligne dièdre de

rang S=1/2.

Nous appellerons les lignes S1d celles pour lesquelles r0 # 0. Si r0 =o (c.à.d si la surface

développable est dégénérée en une droite) nous les appellerons des lignes S1c. Dans ces

6

r0

rc c

(a)

rc

(b)

rc

(d)

r0

rc

(c)


conditions les colonnes moléculaires ont la forme de cercles concentriques. Lorsque la

surface développables est un demi-cylindre de rayon r0, on obtient une ligne de rang S=1/2.

Nous appellerons lignes S1/2d celles pour lesquelles r0 # 0 et S1/2c celles avec r0 = 0 (Figure.

I.6) [19].

III. Milieux optiquement anisotropes

III.1. Définition

Dans un milieu anisotrope, les propriétés optiques et l’indice de réfraction, vus par

l’onde électromagnétique, dépendent de la direction de propagation du vecteur d’onde K . A

partir des équations de Maxwell, on peut montrer que pour une direction de propagation

7

Figure .I.6 : Schéma de quelques types de domaines développables

(a) ligne S1d ; (b) ligne S1c ; (c) ligne S1/2d ; (d) ligne S1/2 c


donnéeK , il existe dans ce cas deux indices de réfraction possible. Ces indices de réfraction

sont associés à deux ondes électromagnétiques ayant des états de polarisation.

III.2. Propagation d’une onde électromagnétique polarisée rectilignement dan un milieu

anisotrope.

a. Rappels sur les propriétés de la lumière

La lumière est une forme d’énergie, tout comme l’électricité ou la chaleur. Elle est

composée de minuscules particules que l’on appelle photons et se déplace sous forme d’onde.

La lumière est en fait générée par les vibrations des électrons dans les atomes. Il s’agit d’un

mélange d’ondes électriques et magnétiques : on dit que la lumière est une onde

électromagnétique [9].

Ses ondes électromagnétiques sont définies par son vecteur d’onde K , par son champ

électriqueE qui génère son vecteur déplacement électrique D et par son champ magnétique

B qui génère son vecteur déplacement H qui correspond à l’excitation magnétique. Les

vecteursD , H et K sont associés à la propagation de l’onde avec (D , H ) est le plan d’onde

et (D ,K ) est le plan de polarisation. Ils forment ensembles un trièdre directe intrinsèque à

l’onde. Par contre, les vecteurs E , H et R sont associés au rayon lumineux, où R est le

vecteur de Poyting défini par la relationR=E∧ H , il nous renseigne sur la propagation

de l’énergie et son module mesure, à une constante près, l’énergie du flux électromagnétique

par unité de surface (Figure.I.7).

8

D

E

K

RB

H

Plan de polarisation(O, x, z)

P

Plan d’onde (O, x, y)

D

Ez xO

y

R

E

H

B


9

Figure. I.7

et = plan d’onde - et = plan de vibration - et = plan de polarisation


α. Polarisation de la lumière

La lumière naturelle est un mélange aléatoire et très rapidement variable d’onde

linéairement polarisée dans toutes les directions. Polariser une onde électromagnétique

correspond à donner une trajectoire bien définie du champ électriqueE . Cette trajectoire est

elliptique dans le cas de la lumière naturelle.

Une onde électromagnétique est dite polarisée rectilignement si son vecteur champ électrique

E est constamment parallèle à une même direction de polarisation Dp.

β. Méthodes de production d’une lumière polarisée

Il y a plusieurs façons d’obtenir une source de lumière polarisée, le plus simple consiste à

utiliser une feuille polarisante. Cette feuille polarisante constituée de longues molécules toutes

orientées dans la même direction et figées dans une matrice plastique. Ces molécules

absorbent efficacement une onde lumineuse dont le champ électrique oscille parallèlement à

la direction des molécules et ainsi la lumière est polarisée rectilignement.

Nous allons nous intéresser à la propagation de la lumière polarisée à travers la matière.

a. Interaction entre la lumière et la matière

Quand un champ électromagnétique oscillant traverse un milieu matériel et excite de

façon non uniforme le milieu, il crée une polarisation P non uniforme oscillant qui fait

apparaître une densité de charge et une densité de courant de polarisation qui traduisent la

réponse du milieu. Cette polarisation P1 s’ajoute à la polarisation du vide

Po = eoE pour

donner le champ D au matériau tel que :

D = P1 +

Po

Dans un milieu linéaire et anisotrope, la relation entre D et E est tensorielle.

On écrit :

Di = ∑j

oeijEj avec i,j = x,y,z

10


Avec eij est la tenseur permittivité diélectrique

On définit également le tenseur des susceptibilités c tel que la densité de polarisation

s’écrive :

Pi = ∑j

ocij Ej

Tel que : eij = 1+ cij

α. Symétrie des propriétés optique : Tenseur des indices

L’optique des milieux matériels continus repose sur les équations de Maxwell

macroscopiques pour décrire la propagation d’une onde électromagnétique :

r o t E=−∂B

∂ t ; div { B=0¿

r o t H=∂D∂ t ; div { D=0¿

A l’interieur de tel matérériau, la relation constitutive entre le vecteur induction électrique D

et le vecteur champ électriqueE s’écrit :

Comme D = eo ( 1 + c)E alors D = eo er

E = e E

Avec er : permittivité diélectrique relative du matériau et eo : permittivité de vide

Parmi ces équations, l’anisotropie du milieu supposé linéaire se traduit uniquement par la

relation suivante :

D = [e] E

Où [e] est le tenseur de permittivité diélectrique ; c’est un tenseur de rang 2, matrice 3*3.

Dans une base quelconque, E et D ne sont pas colinéaires on aura alors :

11


Comme le travail élémentaire dW =E dD est une différentielle totale, le tenseur [e] est

symétrique ce qui donne eij = eji, la relation D = [e]E fait intervenir en fait 6 constantes.

Par des considérations mathématiques, il est possible de choisir un système d’axes particulier

dans lequel, on peut exprimer [e] sous la forme :

[ε ] =[ε x 0 00 ε y 0

0 0 ε z]

Et par suite :

D = [ε x 0 00 ε y 0

0 0 ε z]E

Dans ce système les axes x, y, et z sont appelés les axes principaux ou axes de symétrie

électrique du milieu et les constantes ex, ey et ez sont les constants diélectriques principales.

Comme l’indice de réfraction est donné par la relation suivante :

n = √εr = √ εεo

On peut définir également les indices principaux du milieu par :

nx =√ ε x

εo ; ny =√ ε y

ε o ; nz = √ ε z

εo

Et par suite, on peut réécrire :

12


D = [nx

2 0 0

0 n y2 0

0 0 nz2 ]eo E

Avec : [nx

2 0 0

0 n y2 0

0 0 nz2 ]

= [n2 ] : Tenseur des indices

β. Equation aux indices et directions privilégiées

L’équation aux indices dérive des équations de Maxwell, elle permet de calculer

l’indice n dans une direction repérée par les cosinus directeurs Nx, Ny, Nz de la normale au

plan d’onde. En posant k = kN , connaissant les indices n1, n2, n3 qui caractérisent le milieu

anisotrope, L’équation aux indices est donné par :

n12

n2−n12

N x2

+

n22

n2−n22

N y2

+

n32

n2−n32

N z2

= 0

C’est une équation bicarrée en n ; elle peut donc avoir quatre racines réelles, dont seules les

deux racines positives possibles nous intéressent ; ces deux racines sont en général distinctes,

l’une n'est comprise entre n1 et n2 et l’autre n

''est comprise entre n2 et n3.

Pour une orientation donnée du plan d’onde, il existe deux vibrations rectilignes D’, D’’de

directions rectangulaires qui peuvent se propager sans altération dans le milieu anisotrope. A

ces deux vibrations correspondent deux indices n'et n

''différents et par conséquent deux

vitesse de propagation v' =

c

n' et v

''=

c

n'' différentes.

Les deux vibrationsD', D

''se propagent suivant des plans d’onde parallèles et elles

présentent une certaine différence de phase. La vibration résultante de la composition des

vibrations rectilignes D'et D

''est en général une vibration elliptique (Figure. I.8).

13

P

P1

'D

D

1D '1D

1D

D

Figure I.8


III.3 Représentation du tenseur des indices

a. Surface des indices et axes optiques

Pour représenter géométriquement les variations de l’indice en fonction de

l’orientation du plan d’onde, nous porterons à partir d’une origine O et dans une direction

parallèle à celle de la normale à l’onde, deux longueurs ON ' et ON } } } { ¿¿¿ égales aux deux indices

n'etn} } } { ¿¿¿. En répétant cette opération pour toutes les directions du plan d’onde, l’ensemble des

points N'et N} } } { ¿¿¿décrit une surface à deux nappes appelée surface des indices.

L’intersection de la surface des indices avec un des plans de symétrie optique se compose

d’un cercle dont le rayon est égal à l’indice principal de l’axe normal au plan principal

considéré et d’une ellipse dont chaque demi-axe est égal à l’indice principal correspondant à

l’autre demi axe.

Comme la surface des indices possède deux nappes, il en résulte que leur intersection

se produit en des points I, I’, J et J’ isolés de telle sorte que les directions OI et OI’ définissent

les axes optiques du milieu anisotrope (Figure. I.9).

14

X

Z

I I’

J’ J

n3O

n1

n2


Lorsque la normale N au plan d’onde coïncide avec un axe optique, les indices n'et n} } } { ¿¿¿sont

égaux ; les deux vibrations privilégiées D' et D} } } { ¿¿¿ se propagent alors à la même vitesse. Il en

résulte que l’onde se conserve au cours de sa propagation.

Si l’un des indices principaux est dégénéré (c.à.d. deux valeurs identiques dans le tenseur des

indices), le milieu a un seul axe optique, est dit un milieu uniaxe.

b. Ellipsoïde des indices et milieux uniaxes

α. Ellipsoïdes des indices

On peut représenter géométriquement les variations de l’indice du milieu en fonction

de la direction de vibration. Pour cela on introduit l’ellipsoïde des indices : C’est la surface

obtenue en partant d’une origine donnée o, dans la direction correspondant à la direction de

vibration.

L’équation d’ellipsoïde d’indice s’écrit sous cette forme :

x2

n12

+

y2

n22

+

z2

n32

= 1

15

Figure. I.9

n2ze

O

ye


Où n1, n2, n3 sont les indices principaux.

β. Milieux uniaxes

Dans les milieux uniaxes, deux des trois indices principaux sont égaux. Les cristaux

trigonaux, tétragonaux, et hexagonaux (qui ont un axe de symétrie d’ordre ≥ 3) sont uniaxes.

Dans le cas où l’axe oz est l’axe optique, on note alors :

no = nx=ny et ne = nz

no : est appelé l’indice ordinaire

ne : est appelé l’indice extraordinaire

Le tenseur diélectrique s’écrit alors :

[ε ] =[ℇo 0 00 ℇo 00 0 ℇ e

]16

Figure. I.10: Ellipsoïde des indices


Suivant les valeurs relatives de l’indice ordinaire no et extraordinaire ne, on distingue deux

cas :

Le milieu uniaxe est dit positif si ne¿no (exemple : le quartez)

Le milieu uniaxe est dit négatif si no¿ne (exemple : la calcite)

La différence |n e−n o| est appelé la biréfringence.

IV. Ellipsoïde des indices dans un milieu uniaxe

Dans les milieux uniaxes, deux des indices principaux sont égaux. L’équation de

l’ellipsoïde des indices s’écrit :

x2+ y2

n02

+

z2

ne2

= 1

Où l’axe oz est l’axe optique :

no= nx= ny et ne= nz

On désigne par l’indice ordinaire no la valeur commune de deux premiers indices et par

l’indice extraordinaire ne la valeur du troisième indice.

a. Ellipsoïde des indices, onde ordinaire et extraordinaire

Une onde incidente se propageant dans un milieu anisotrope, dans une direction définie

par le vecteur d’ondeK , donne lieu à deux ondes de vecteurs d’onde K'et K

' '. Ces deux

ondes planes polarisées rectilignement, qui se propagent dans le milieu, se comportent

différemment.

On obtient une onde dite ordinaire pour laquelle l’indice de réfraction est no et les vecteurs

Do et E sont colinéaires (

Do est perpendiculaire au plan formé par la direction de

propagation et l’axe optique du cristal) [5].

On obtient également une autre onde dite extraordinaire pour laquelle l’indice de réfraction

ne(θ) dépend de la direction de propagation, θ étant l’angle entre K et l’axe optique. Pour cet

17


angle, les vecteurs E et

De ne sont pas colinéaire (De est perpendiculaire au plan formée par

Do et la direction de propagation) [5].

Les directions de vibration qui peuvent se propager sans altération (pour une direction du plan

d’onde) sont les directions qui correspondent aux axes de l’ellipse d’intersection du plan

d’onde avec l’ellipsoïde des indices (figure. I.11). Les indices correspondants sont égaux aux

demi-longueurs des axes de l’ellipse

Les vecteurs Do et

De , sont orthogonaux, les deux vibrations se propagent à des vitesses

différentes vo et ve et mettent des temps différents pour passer d’un plan d’onde à l’autre. Si

ces plans sont distants de d, la différence de chemin optique est : d = (ne – no) d.

Pour une lumière incidente de longueur d’ondeλo , on peut conclure que la lumière émergente

d’un milieu anisotrope est polarisée elliptiquement, elle se compose de deux vibrations

orthogonales Do et De déphasées, entre deux plans d’onde de :

18

Figure .I.11 : Ellipse d’intersection entre l’ellipsoïde et le plan d’onde

a.o

I1n

on

oK eK

H

oNeN1N

en X

Z

Figure .I.12


j = kod = ko (ne – no) d ; où ko =

2 πλo

a. Surface des indices dans un milieu uniaxe

Tandis que la surface d’indice d’un milieu isotrope est constitue d’une sphère dont le

rayon est donné par l’indice de réfraction du matériau, la surface des indices d’un milieu

uniaxe se compose de deux nappes : une sphère et un ellipsoïde de révolution autour de l’axe

optique.

V. Construction des vecteurs d’onde et des rayons lumineux

V.1. Construction relative aux vecteurs d’onde

La surface des indices permet la construction des vecteurs d’ondes associés aux ondes

qui se propagent dans le milieu uniaxe de la manière suivante:

On trace tout d’abord au point d’incidence I le cercle de rayon no et l’ellipse de demi- axes

no et ne, puis on prolonge le vecteur d’onde incident jusqu’à l’intersection avec la surface d’air

d’indice n = 1. A partir de ce point on trace une droite perpendiculaire au dioptre de

séparation entre les deux milieux. Les intersections de cette perpendiculaire avec les nappes

ordinaire et extraordinaire de la surface des indices donnent les deux vecteurs d’onde [5]

(figure .I.12).

19

i1

ne-1

air n1 = 1

An1-1I

A’A’’

milieu uniaxe

i0

iei1

R0

Re

n0-1

a.0


V.2. Construction relative aux rayons lumineux

La surface d’onde permet la construction des rayons lumineux comme suit :

On trace tout d’abord, le cercle de rayon 1 correspondant au rayon incident provenant d’un

milieu isotrope (l’air d’indice n = 1), puis on trace le cercle ordinaire de rayon

1no et l’ellipse

d’axe

1no et

1ne . Ensuite, on prolonge le rayon incident jusqu’à l’intersection avec le cercle

de rayon 1. A partir de ce point, on trace la droite perpendiculaire à ce rayon qui représente le

plan d’onde incident, l’intersection de ce plan d’onde avec le dioptre de séparation détermine

un point A. A partir de ce point, on trace une droite tangente à la surface des vitesses en deux

points A' et A ' '

; les deux rayons ordinaire et extraordinaire issus du point A passent par ces

deux points A' et A ' '

[5] (figure. I.13).

VI. Phénomène d’interférences lumineuses

VI.1 Principe des interférences

20

Figure.I.13


Le phénomène d’interférence est un phénomène ondulatoire dû à la composition de

vibrations cohérentes (c'est-à-dire présentant une différence de phase constante) et de même

longueur d'onde. Les interférences s'expliquent en terme de déphasage ou de différence de

marche entre deux rayons cohérents arrivant au même point ; les interférences

destructives (les amplitudes des deux ondes qui s’interférent se retranchent) se produisent

lorsque la différence de marche est égale à une demi-longueur d'onde (à un nombre entier de

longueur d'onde près) ; les interférences sont constructives(les amplitudes des deux ondes qui

s’interférent s’ajoutent au point considéré) lorsque la différence de marche est égale à la

longueur d'onde (à un nombre entier de longueur d’onde près) [10].

La lumière est composée de plusieurs radiations de fréquences différentes, chacune de

ces radiations donne un système de franges. Pour observer ces franges avec un bon contraste

sur une surface de localisation déterminée, nous utilisons en général une lumière cohérente

laser.

VI.2 Les lames cristallines

Pour produire une lumière de polarisation bien déterminée, nous utiliserons des lames

découpées dans des feuilles plastiques transparentes qui tout en étant moins fragiles et moins

coûteuses se comportent comme des lames cristallines à faces parallèles taillées parallèlement

à l'axe optique d'un cristal uniaxe.

a. Les lignes neutres d’une lame cristalline

Le faisceau incident se propage dans l’air donne naissance, en pénétrant dans la lame,

à deux faisceaux qui se propagent aux vitesses de phase vo et ve. Ces faisceaux sont polarisés

linéairement selon des directions de vibration Do et De orthogonales.Ces deux directions des

vibrations sont appelées lignes neutres de la lame

b. Repérage des lignes neutres de la lame

Pour déterminer les lignes neutres de la lame, on introduit entre polariseur et analyseur

croisés d’axes connus la lame et on la fait tourner dans son plan jusqu’à l’extinction. On

déduit que les directions du polariseur et de l’analyseur sont précisément les directions des

lignes neutres.

c. Axe rapide et axe lent

Un matériau biréfringent présente un axe privilégié appelé axe optique (c'est un

matériau anisotrope). Or la polarisation de la lumière peut être décomposée en deux

21

P

DeEo

Do

Ee

RoRo Re

EO

P A

Axe optique

Milieu uniaxe négatif

e


composantes : chaque composante ne se propage pas à la même vitesse selon qu'elle est

parallèle ou perpendiculaire à l'axe optique. Ceci permet de définir deux axes particuliers de la

lame : l'axe lent et l'axe rapide. Pour un milieu uniaxe positif l’onde ordinaire se propage plus

rapidement que l’onde extraordinaire puisque ne > no ce qui donne vo > ve. On en déduit alors

que l’axe rapide correspond à l’axe de la vibration ordinaire et l’axe lent correspond à l’axe

de la vibration extraordinaire. Au contraire, pour un milieu uniaxe négatif les axes sont

inversés.

VII.2. Lame taillée parallèlement à son axe optique

Le plus souvent, la lumière incidente tombe sous incidence normale et l’axe optique de

la lame est perpendiculaire à la direction incidente.

Considérons une onde polarisée rectilignement qui tombe sous incidence normale sur une

lame cristalline taillée parallèlement à son axe optique (figure .I.14).

22

Figure .I.14: Lame taillée parallèlement à son axe optique

Figure. I.15

PP

X(ne)

Y (no)


Pour caractériser la polarisation des vibrations qui émergent de la lame, on utilise comme

système d’axes les deux lignes neutres.

Notons par O X la direction extraordinaire pour laquelle l’indice est ne et O Y la direction

ordinaire pour laquelle l’indice est no (figure. I.15).

Soit a l’angle entre la direction de la vibration rectiligne incidente avec l’une de lignes

neutres.

A l’entrée de la lame, le vecteur D de la vibration a pour composantes :

X = Dm cosa coswt

Y = Dm sina coswt

A la sortie de la lame, on a :

23


X = Dm cosa cos (wt - je)

Y = Dm sina cos (wt - jo)

La différence de phase j entre les deux vibrations est:

j = jo - je =

2 πe (no−ne)λ

Si on change l’origine du temps, on obtient :

X = Dm cosa coswt

Y = Dm sina cos (wt -j)

L’extrémité du vecteurD décrit une ellipse d’équation :

X2

Dm2

cos2 α+ Y 2

Dm2

sin2 α− 2 XY cos ϕDm

2 cos α sin α=1

Caractéristique de la polarisation elliptique de l’onde émergente.

VII.3. Interférences des vibrations issues d’une lame cristalline

Dans cette étude, nous considérons le cas d’une lame biréfringente à faces parallèles

taillée parallèlement à l’axe optique de la lame. Pour mettre en évidence le phénomène

d’interférence entre les deux vibrations qui émergent, on place à la sortie de la lame un

analyseur qui permet la projection de deux composantes parallèles.

On définit par O X et O Y les directions de polarisation des vibrations transmises et par

a et b les angles formés par la vibration polarisée rectilignement avec l’une des lignes neutres

de la lame (figure .I.16).

24

X

YA

P

a b

Figure .I.16


L’étude de la composition des vibrations orthogonales permet de décomposer la vibration

incidente en deux vibrations de composantes :

X = Dm cos wt

Y = Dm cos (wt -y(t))

Où y(t) n’est définie que pendant le temps de cohérence t.

Après la traversée de lame :

X = Dm cos wt

Y = Dm cos (wt -y(t) -j)

L’intensité observée est donc :

I = < OR2> = <X2> + < Y2> =

12(Dm

2 +Dm2 )=Dm

2

indépendant de j

Deux vibrations perpendiculaires ne peuvent donc pas interférer. Pour observer des

interférences, il est nécessaire de les recombiner avec un analyseur A (figure II.6).

Après l’analyseur l’amplitude devient :

A = Dm cosbcos wt + Dmsinb cos (wt -y(t) -j)

Et l’intensité :

25


I =

12

Dm2 cos2 β+ 1

2Dm

2 sin2 β+Dm2 sin β cos β≺cos (ψ ( t )−ϕ≻¿ ¿

ψ ( t )varie de façon aléatoire pendant la durée d’une observation : <cos (ψ ( t )−ϕ )> = 0, il n’y

a pas donc interférence. Il est nécessaire de placer devant la lame un polariseur P. Après ce

polariseur on obtient une vibration rectiligne d’amplitude :

Ap = Dm' cos [ωt−θ ( t )] où θ( t )n’est définie que pendant le temps de cohérenceτ .

En décomposant la vibration P suivant X et Y on obtient après la lame une vibration de

composantes X et Y égales respectivement à :

X = Dm' cosα cos(ωt−θ( t ))

Y = Dm' sin α cos (ωt−θ ( t )−ϕ )

Après l’analyseur l’amplitude de la vibration est :

A = Dm

' [cosα cos β cos (ωt−θ ( t ))+sin α sin β cos (ωt−θ( t )−ϕ )]

Et l’intensité observée I est donnée par :

I = <A2> =

Dm¿

2[cos2 α cos2 β+sin2 α sin2 β+2 sin α sin β cosα cos β cos ϕ ]

Comme l’intensité I dépend deϕ , on peut la mettre sous la forme :

I =

Dm¿

2(cos2 α cos2 β+sin2 α sin2 β )[1+ 2 sin α cosα sin β cos β

sin2 α sin2 β+cos2 α cos2 βcosϕ ]

= I0 [ 1 + C cos j ] avec I0 =

Dm¿

2

On définit le contraste C par l’expression suivante:

26


C

=

2sin α cosα sin β cos β

sin2 α sin2 β+cos2 α cos2 β

VII.4 Interprétation

On peut distinguer deux cas extrêmes suivant la valeur du contraste C.

a. Contraste C= 1

Sicos (α+ β )=0 , soit α+β=π

2 et l’on a alors :

I =

Dm¿

2sin2 2 α (1+cosϕ )

I est maximum si sin2 2 α=1 , soit 2α= π

2 donc α=π

4et β=π

4

Le contraste est égal à 1 si le polariseur et l’analyseur sont parallèles et à 45o des vibrations

transmises.

b. Contraste C= -1

Si cos (α−β )=0 , soit α−β= π

2 et on a alors :

I =

Dm¿

2sin2 2 α (1−cos ϕ )

I est maximum sisin22 α=1 , soit 2α= π

2 donc α=π

4et β=−π

4

Le contraste est égal à -1 si le polariseur et l’analyseur sont perpendiculaires et à 45o des

vibrations transmises qui donnent des intensités complémentaires I1 et I2 dont la somme

permet de restituer l’intensité incidente I = I1+I2

c. Conclusion

Quelque soit la position des nicols, croisés ou parallèles, on a toujours un phénomène

d’interférence.

27


VIII. Orientation de l’échantillon

VIII.1 Orientation hométropes

a. Définition

Orienter un cristal liquide colonnaire hexagonale revient à imposer une direction

donnée à son axe cristallographique principale [25,26].

On désigne par orientation homéotrope, le cas ou l’axe des colonnes est perpendiculaire au

plan des lames (figure I.17). En faisant tourner l’échantillon dans son plan entre analyseur et

polariseur croisés. L’observation de la lumière transmise donne toujours extinction.

b. Etude optique

Considérons une onde plane de polarisation rectiligne qui tombe normalement aux

faces d’une lame cristalline anisotropes dont l’axe optique est perpendiculaire à ses faces. La

construction utilisent les vecteurs d’onde (appelée aussi construction d’Huygens), appliquée

aux deux nappes de la surface d’onde, permet de trouver un seul rayon réfracté (figure I.17).

28

Figure I.17: Orientation homéotrope

P

Eo

Roon

1en

1

1 Eo

Eo

Ro

a.o

Ro

P A


Ce rayon est qualifié d’ordinaire et sa polarisation est celle de l’onde incidente.

D’après la construction, on a toujours extinction total lorsqu’on interpose un nicol analyseur

croisé avec un nicol polariseur, quelle que soit l’orientation de la lame autour de son axe

optique, la lame se comporte comme un milieu isotrope.

c.Réalisation expérimentale

L’orientation homéotrope est réalisée par une technique basée sur la descente lente de

la température à partir de la phase isotrope. On diminue la température à raison de 0.01°C/min

jusqu'à l’apparition du premier germe. On continue à abaisser la température très lentement

jusqu'à l’orientation homéotrope complète. Lorsque l’abaissement de la température se fait de

manière rapide on remarque l’apparition de plusieurs grains désorientés pour les fortes

épaisseurse⋍100 µm. Si l’épaisseur est faible e≃≤ 10 µm on remarque que l’orientation est

systématique même si la transition liquide isotrope C.L se fait d’une à un fort gradient

thermique.

VIII.2 Orientation planaire

a. Définition

L’orientation est dite planaire dans Le cas ou l’axe des colonnes est parallèle aux plans

des lames. Le cristal liquide donne une extinction pour 4 positions de l’échantillon, obtenues

29

Figure I.18 : Construction du rayon réfracté dans le cas d’une orientation homéotrope


par rotations successives de 90° à partir d’une première position d’extinction (figure .I.19)

[27].

b. Etude optique

Considérons une lame cristalline anisotrope dont l’axe optique est parallèle à ces faces,

soit une onde plane polarisée rectilignement qui tombe normalement aux faces de la lame.

D’après la construction d’Huygens, l’onde transmise est formée par deux rayons confondus,

l’un ordinaire et l’autre extraordinaire. Chacun des deux rayons transporte une vibration de

polarisation rectiligne (figure. I.20).

30

Figure. I.19 : Orientation planaire

P

DeEo

Do

Ee

RoRo Re

Eo

P A

a.o


Figure. I.20 : Construction des rayons réfractés dans le cas d’une orientation planaire

c. Réalisation expérimentale

L’orientation planaire d’un cristal liquide colonnaire hexagonale est obtenue par

cisaillement d’un échantillon orienté homéotrope. Pour cela on utilise une cellule adaptée.

L’amplitude des cisaillements successifs séparés par des périodes de recuit d’une dizaine de

minutes, en moyenne, montre que l’axe des colonnes est parallèle à l’axe de cisaillement.

31


32

chapitre 1 (20 06-2013-3)

Documents