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CHAPITRE 5

STABILITE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET

5.1. NOTION GENERALE DE STABILITE

5.1.1. Rappels

Tout rglage automatique, qu'il soit continu ou qu'il soit discret, doit absolumentsatisfaire des conditions strictes de Stabilit.

Il existe de nombreuses dfinitions de la Stabilit d'un systme. On peut, parexemple, envisager le cas o le systme tudi est excit pendant un certain temps parun signal d'entre d'une allure quelconque borne et ensuite soumis une valeur nulle.On pourra conclure quant la stabilit du systme, selon la valeur que prend la grandeurde sortie en rgime tabli (pour t > ). Trois cas pourront se prsenter :

Automatique - S.A.E. chapitre 5 : Stabilit [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits rservs.

Important : Dans le cas d'un systme linaire, la valeur finale du signal de sortie nedpend pas de l'allure du signal d'entre, mais uniquement de la forme desa fonction de transfert.

Remarque : Ceci est corrobor par le fait que si l'on choisit une entre impulsionnelle

(t), qui rpond tout fait la dfinition ci-dessus, la rponse h(t) dusystme est l'inverse de sa fonction de transfert H(p) :

h(t)=-'H(p)

Automatique - S.A.E. chapitre 5 : Stabilit

la sortie tend vers zro : le systme est stable (courbe a),

la sortie tend vers une valeur finie : le systme est la limite de la stabilit (il estqualifi d'astable) (courbe b),

la sortie diverge : le systme est instable (courbe c).

[A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits rservs.

La fonction de transfert d'un systme peut s'crire :

*>-$La limite de h(t) quand le temps tend vers l'infini dpend essentiellement des

ples de H(p), c'est--dire des racines de son dnominateur d(p) (qui reprsentel'quation caractristique du systme). Celles-ci sont soit relles, soit complexesconjugues :

h(t) = CiePi td

Pour que le systme soit stable (au sens des automaticiens), il faut que :

lim/i(0 = 0/>00

Ceci n'est possible que si les ples de la fonction de transfert reprsentant lesystme sont tous partie relle ngative, d'o la condition ncessaire de stabilit :

Re (R) < o

Remarque : Certains auteurs proposent la notion de Stabilit BIBO (Bounded InputBounded Output) : un systme au repos, linaire, causal et stationnaire estBIBO stable quand toute entre borne fournit une sortie borne.



5.1.2. Cas des systmes discrets

Ces considrations gnrales sont transposables aux systmes temps discret.

La condition gnrale de stabilit s'crit :

limh(nT) = 0

sachant que la rponse impulsionnelle h*(t) est une suite d'chantillons :

+00

h*(t) = h(nT).8(t-nT)n=o

En supposant que le degr du dnominateur de la fonction de transfert du

systme soit d, le systme possde d ples ai5 rels et/ou complexes conjugus, et leterme gnral de la rponse impulsionnelle peut se mettre sous la forme :

dh(nT) = Ci.a?

i=l

Cette expression tendra vers l'tat d'quilibre-zro si et seulement si tous les o^

ont leur module infrieur l'unit :

I (Xi | < 1L'tude de la Stabilit d'un systme temps discret, qu'il soit en chane ouverte

ou de type asservi, peut se faire soit par l'approche frquentielle dans le plan de Nyquist



5.2.1. Etude frquentielle

Soit le systme asservi temps discret ci-dessous :

Sa fonction de transfert en boucle ferme s'crit :

H*fp = P*(P)bflFJ j + D*(p).R*(p)



Il a pour quation caractristique (ou pour sensibilit) :

Z*(P)-I+D*(P).R*(P) = I+H;O(P) = ORemarque 1 : Les rappels sur la Stabilit des systmes du 5.1.1 s'appliquent aux

systmes asservis discrets en remplaant : d(p) par *(p). En particulier,le critre de Nyquist et sa forme simplifie, le critre du Revers, peuventtre utiliss pour rgler la stabilit des systmes asservis temps discret.

Remarque 2 : Ces critres de stabilit sont issus de l'tude frquentielle des systmes enconsidrant la transforme de Fourier en lieu et place de la transformede Laplace de l'quation caractristique des systmes tudis (onremplace l'oprateur p par jco). Ce sont donc des critres gomtriques.

Dans le cas frquent o la fonction de transfert en boucle ouverte du systme nepossde pas de ples partie relle positive, le critre de Nyquist s'nonce de la faonsuivante :

Critre de Nyquist : Un systme asservi est stable si la variation de l'argument de safonction de transfert en boucle ouverte, autour du point critique

d'abscisse : -1, lorsque co varie de 0 O, est nulle. Il est instable

dans le cas contraire.



Remarque : Le lieu de transfert Hj^co) tant cyclique du fait de l'chantillonnage lapriode T, il est entirement dcrit sur la plage : 0 .Q = (c.f. chapitreprcdent 4.4.1).

En dfinitive, il suffit de considrer si le lieu de transfert en boucle ouverteentoure le point critique d'abscisse : -1 (systme instable) ou s'il ne l'entoure pas(systme stable). Ceci constitue le critre du Revers.

5.2.2. Application aux systmes asservis temps discret

La stabilit dpend bien souvent du rglage de la valeur du gain statique en

boucle ouverte K car Hk0(jco) = K.G*(jco) ; aussi, est-il plus judicieux de considrerl'quation caractristique *(jc) = 0 sous la forme :

T*(jco) = T + K.TG*(jG)) = 0

soit : TG*(joo) = - JJv

sachant que le lieu TG*(joo) se dduit du lieu G(jo)) des lments continus associspar construction vectorielle (c.f chapitre prcdent, 4.4.1).



L'application du critre de Revers, qui dit que : si, en parcourant le lieu de

transfert en boucle ouverte dand le sens des 0) croissantes, on laisse le point critique


TLe lieu critique C(K) = - , gradu en K, est port par l'axe rel ngatif.K

Suivant les valeurs du gain statique K et la forme du lieu de transfert TG*(jco), on peutdonc tudier les cas qui, par application du critre du revers, conduisent la stabilit ou l'instabilit de l'ensemble.


Td'abscisse gauche, le systme asservi est stable, conduit :K

* KK 0 Instabilit

Si le rglage du systme asservi est tel que le point reprsentatif de sonfonctionnement soit exactement l'intersection des deux lieux :

K = K0 telque:G*Go)o) = --i-KO

alors, on a affaire un systme juste oscillant la pulsation :

rn -il-ILCOO-T-T

puisque pour cette valeur de la pulsation, le lieu de transfert TG*(jco) coupe Taxe rel(argument gal -TC).

Remarque : Quelque soit l'ordre et la forme de la fonction de transfert du systmeboucl tudi, si ses rglages sont tels que son lieu de transfert en boucle

ouverte passe juste sur le point critique [intersection des lieux TG*(j) etC(K)], le systme oscille une pulsation fixe, moiti de la pulsationd'chantillonnage 1.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESCeci constitue une particularit importante des systmes asservis tempsdiscret ; c'est l'chantillonnage qui impose la frquence d'auto-oscillation.

5.3. STABILITE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES DANS LE PLAN DES Z

5.3.1. Considrations gnrales

On peut tudier les conditions de stabilit d'un systme temps discret enexprimant sa fonction de transfert en transforme en z et en s'intressant ses ples,

c'est--dire aux racines de son quation caractristique d(z) ou E(z), selon que l'on aaffaire un systme en chane ouverte ou un systme boucl.

Dans le cas d'un systme asservi :


et Z(z) =-1 + D(z).R(z) = 1 + Hbo(z) = 0

Pour apprhender le degr de stabilit de ces systmes temps discret, sans avoir rsoudre pour autant leurs quations caractristiques, on peut s'appuyer sur descritres du type algbrique (SCHUR-COHN, ROUTH et HURWITZ, JURY) ou commeprcdemment sur des critres de type gomtrique (NYQUIST, EVANS).

L'tude de la stabilit par la transforme en z se fait plus volontiers, soit par lecritre de JURY, soit dans le plan des z par le lieu des racines (lieu d'EVANS).

5.3.2. Critre de JURY

II s'agit d'une forme simplifie du critre de SCHUR-COHN, qui est valablepour les polynmes coefficients rels. Le critre de JURY donne des relations sousforme d'ingalits se basant sur les coefficients d0, dp d2,...dn de l'quationcaractristique en z :

d(z) = E(z) = d0 + d, z + d2 z2 + ... dn zn = 0

Si et seulement si toutes les ingalits sont vraies, les racines de Vquationcaractristique se trouvent Vintrieur du cercle-unit ; le systme considr est alorsstable :


NOTES PERSONNELLES


Cas 1 - polynmes du second degr

d(z) = d2 z2 + dj z + d0 avec d2 > o

Le critre de Jury impose les conditions suivantes :

Cl d0 < d2 (produit des racines infrieur a l )

C2 d(+l) = (d0 + d, + d2) > 0 et d(-l) = (d0 - dt + d2) > 0

Ces conditions imposent que les racines, si elles sont relles, soient forcment comprisesentre -1 et +1.


NOTES PERSONNELLES


Dans le cas o les racines sont complexes conjugues, la condition Cl imposeque leurs points reprsentatifs soient contenus dans le cercle-unit, car alors leur

j "module: / est infrieur 1.

\d2

Cas 2 - polynmes du troisime degr

d(z) = d3 z3 + d2 z2 + d, z + d0 avec d3 > 0

Cl d0 < d3

C2 dg - d < d0 d2 - d, d3

C3 d(+l) = (d0+-a, + d 2+d 3)>0 et d(-l) = (d0 -d, + d2-d3)

Dans le cas des polynmes du troisime degr, il peut y avoir trois racinesrelles ou une racine relle et deux racines complexes conjugues (une seule intersectionde d(z) avec l'axe rel).

Cas 3 - polynmes du quatrime degr

d(z) = d4 z4 + d3 z3 + d2 z2 + d, z + d0 avec d4 > 0

Cl dj - d > d0 d3 - d! d4

C2 (d0 - d4)2 (d0 - d2 + d4) + (d, - d3) (d0 d3 - d, d4) > 0

C3 d(+l)>0 et d(-l)>0

(d0 + d, + d2 + d3 -f d4) > 0 et (d0 - d{ + d2 - d3 + d4) > 0



Exemple :

L'application de ces relations peut tre trs utile lorsque l'un ou l'autre desparamtres du systme est encore choisir. On peut ainsi dterminer le domaine devariation admissible de ce paramtre pour que le systme chantillonn reste stable.

Soit par exemple un systme asservi discret retour unitaire dont la fonction detransfert en boucle ouverte associe est :

Hto(p) = B0(p).5(1 + Tp)

Hbo(z) = K.G(z)=K(1~a)z-a

_Tavec a = e T < 1 T : priode d'chantillonnage

Son quation caractristique :

E(z) = 1 + K. G(z) = 0

conduit tudier les racines du polynme :

d(z) - z - a + K (1 - a)

L'application du critre de Jury ce polynme du premier degr impose lerespect des conditions suivantes :



Cl a < l (toujours vrifi)

C2 d(+l) = ( l + K ) ( l - a ) > 0

1 + K > 0 soit K> -1 (toujours vrifi, car K positif par essence)

et d(-l) = K ( l - a ) - ( l + c c ) > 0

K

Le lieu des racines de son quation caractristique : Z(z) = 1 + Hbo(z) = 0

c'est--dire des racines du polynme : d(z) = z3 - 1,368 z2 + (0,368 + K)z + 1,755 K = 0

est reprsent ci-dessous.


Le lieu d'Evans prsente un nombre de boucles gal l'ordre du systme. Lesboucles sont paramtres en K (gain statique en boucle ouverte), de 0 +00.

Afin que le systme test soit stable, il est indispensable que les pointsreprsentatifs des racines de son quation caractristique, pour un gain statique K donn,soient l'intrieur du cercle-unit. On voit donc que sur l'exemple trait ici, le gain Kdoit imprativement tre limit des valeurs infrieure : 0,16.

5.4. MARGES DE STABILITE

Que cela soit par le critre de JURY ou par le trac du lieu d'EVANS, l'tude dela stabilit des systmes boucls conduit constater que sous certaines conditions(souvent imposes au gain statique en boucle ouverte) le systme est stable ou instable.Cependant, // n 'est gure possible de tirer des conclusions sur la qualit de cettestabilit, c'est--dire sur l'amortissement des phnomnes transitoires.

On sait, propos des systmes asservis linaires continus, qu'il est en particulierindispensable que le lieu de transfert en boucle ouverte (trac dans le plan de Nyquist)passe une certaine distance du point critique (c.f. cours SALC, 4.3.), distance exprimepar la marge de phase ou la marge de gain.

Ces notions s'appliquent sans aucune difficult aux systmes chantillonns.Prendre une marge de stabilit revient limiter encore plus la rgion autorise duplan des z o l'on reprsente les racines de l'quation caractristique du systmetudi.



La figure ci-dessous montre l'incidence de ces marges de stabilit dans le plandes p et dans le plan des z.

Le fait d'imposer aux racines de Z*(p) = 0 d'avoir des parties relles infrieures -A, (dcroissance des termes de la rponse impulsionnelles plus rapide que e"Xt)conduit, dans le plan des z, restreindre l'espace autoris au cercle de centre 0 et derayon : e"Xt < 1.

D'autres formes de marges de stabilit peuvent tre adoptes. La figure suivanteen donne quelques exemples.



Toutes les mthodes d'tude de la stabilit des systmes asservis temps discretpeuvent tre assortis de ces conditions de bonne stabilit ; il suffit d'en restreindre lechamp.

Note importante : l'oprateur z est directement li la valeur de la prioded'chantillonnage T. De ce fait, un mme systme aura uncomportement diffrent et par consquent rpondra desconditions de stabilit diffrentes, selon le choix de sa prioded ' chantillonnage.

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Page de titreIntroductionBibliographie conseilleSommaireCHAPITRE 1: LA COMMANDE NUMERIQUE DES SYSTEMESCHAPITRE 2 : ECHANTILLONNAGE ET RECONSTITUTION DU SIGNALCHAPITRE 3 : LA TRANSFORMEE EN ZCHAPITRE 4 : FONCTION DE TRANSFERT DISCRETECHAPITRE 5 : STABILITE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET5.1. NOTION GENERALE DE STABILITE5.1.1. Rappels5.1.2. Cas des systmes discrets

5.2 STABILITE DES SYSTEMES DISCRETS DANS LE PLAN DE NYQUIST5.2.1. Etude frquentielle5.2.2. Application aux systmes asservis temps discret

5.3. STABILITE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES DANS LE PLAN DES Z5.3.1. Considrations gnrales5.3.2. Critre de JURY5.3.3. Lieu des racines ou lieu d'EVANS

5.4. MARGES DE STABILITE

CHAPITRE 6 : PRECISION ET RAPIDITE DES SYSTEMES DISCRETSCHAPITRE 7 : COMPENSATION DES SYSTEMES ASSERVIS DISCRETSCHAPITRE 8 : LES REGULATEURS DISCRETS STANDARDCHAPITRE 9 : LE REGULATEUR RST

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