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CHAPITRE 1

LA COMMANDE NUMERIQUE DES SYSTEMES

1.1. ROLE DES ORDINATEURS EN AUTOMATIQUE

1.1.1. Limite de la commande analogique

Dans le cours relatif aux Systèmes asservis linéaires continus, on a pu apprécier

les possibilités offertes pour le réglage des performances d'un système de commande,

d'une part, par la notion de rétroaction (système rendu automatique par l'emploi d'une

boucle de retour), d'autre part par l'emploi de régulateurs à actions multiples (actions P,

I, D). En particulier, le régulateur (appelé également correcteur) permet d'optimiser le

fonctionnement d'un système, généralement linéarisé autour d'un point de

fonctionnement.

Automatique - S.A.E. chapitre 1 : Commande numérique

NOTES PERSONNELLES

© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Si cette approche est satisfaisante dans bien des cas, on conçoit qu'elle ne peut

répondre d'une manière satisfaisante lorsque les paramètres du process évoluent. Les

actions du régulateur, réglées une bonne fois pour toutes pour un point de

fonctionnement donné, ne sont plus optimales dès lors que l'on s'éloigne de celui-ci.

Par exemple, le mouvement d'un robot ne pourra être optimisé durant la totalité

du cycle de travail, du fait de la variation permanente des moments d'inertie (par rapport

aux axes articulaires) des éléments du bras du robot durant le déroulement de la

trajectoire imposée (les performances dynamiques des moteurs d'axes étant fonction des

moments d'inertie ramenés à leurs axes).

NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESCe manque d'auto-adaptativité, préjudiciable au bon fonctionnement des

systèmes automatiques, peut être pallié par l'utilisation de machines numériques

capables de calculer en temps réel les paramètres adéquats à appliquer à la commande

du système en fonction de son évolution, dans le but de toujours les placer dans les

meilleures conditions de fonctionnement.

1.1.2. Apport des machines numériques

On a donc été amené à étudier la commande d'un système automatique par

calculateur numérique, dans le but d'optimiser son fonctionnement. Selon la nature et

l'importance du processus, la machine numérique peut être un microprocesseur, un

microcalculateur, un minicalculateur ou un ordinateur conséquent.

Les possibilités des systèmes informatiques sont telles que l'on peut confier au

calculateur de conduite du processus des tâches aussi diverses que :

- Vélaboration des consignes selon divers programmes de commande,

- le calcul des paramètres de réglage du régulateur (optimisation) en temps réel,

- la gestion des données statistiques de production, de consommation,...

- la gestion simultanée et coordonnée des systèmes multiboucles (génie chimique,

robotique, pilotage automatique,...),

- la gestion des alarmes et des défauts.



De plus, la qualité de transmission des informations numérisées (peu sensibles au

bruit), ainsi que les possibilités du multiplexage militent en faveur de l'utilisation des

machines numériques dans la conduite automatique des processus.

Cependant, sauf très rares exceptions, le processus et un certain nombre de

composants (actionneurs, chaînes cinématiques, capteurs) restent de type analogique.

L'introduction d'ordinateurs ou de microprocesseurs pour commander un système (ou

traiter localement les signaux) exige l'utilisation de convertisseurs analogiques-

numériques (CAN) ou réciproquement numériques-analogiques (CNA), aptes à

convertir un signal d'un type en l'autre.

Remarque : tout calcul, aussi simple soit-il, demande un certain temps pour être

exécuté. La notion de temps réel doit être comprise relativement à la

dynamique de l'ensemble du système : temps de calcul des nouveaux

paramètres de réglage très faible vis-à-vis des temps de réponse des

constituants de la chaîne d'asservissement.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES1.1.3. Structures de commande par calculateur numérique

Suivant l'importance du système et suivant le degré d'informatisation souhaité,

on peut rencontrer différentes configurations :

* machine numérique extérieure à la boucle de régulation (qui reste analogique).

- Elaboration de la consigne,

- Elaboration de la consigne + des modules de surveillance, de gestion,...

* machine numérique intégrée à la boucle de régulation (en partie numérique).


Dans cette configuration, le régulateur devient discret : il peut être soit câblé,

soit programmé ; ce dernier cas offre une grande souplesse d'emploi par les possibilités

d'action sur la structure-même du régulateur.

Remarque 1 : Certains composants mécatroniques utilisés dans les systèmes

automatiques assurent la fonction de convertisseurs CAN ou CNA ; on

peut citer par exemple le moteur pas-à-pas (CNA) ou les capteurs de

type codeur (CAN).

Remarque 2 : A partir d'informations fournies par un capteur de position, le calculateur

peut, par programmation, calculer (reconstruire) si besoin est la vitesse

et/ou l'accélération du mobile automatisé.

1.2. SIGNAUX ECHANTILLONNES ET DISCRETS

1.2.1. Signal échantillonné

Dans le contexte de l'informatisation d'une partie du processus et plus

généralement du traitement de l'information, échantillonner un signal analogique

signifie le remplacer par une suite de ses valeurs prises à des instants bien définis.

L'échantillonnage joue un rôle capital en réglage automatique du fait qu'un ordinateur

traite des nombres plutôt que des grandeurs analogiques.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESEn analogique, on a l'habitude de traiter des signaux continus, présents à tout

instant. Le signal x(t) de ce type possède une énergie finie, correspondant à son intégrale

sur un laps de temps fini :

/"w(t) = I x(x).dT

•ro

Le signal échantillonné x*(t), associé au signal continu x(t), est composé d'une

série d'impulsions de Dirac apparaissant uniquement aux instants d'échantillonnage.

Par la suite, on supposera que l'échantillonnage est périodique, de période T.

On rappelle que l'impulsion de Dirac (impulsion-unité) est une distribution.

Cette impulsion de Dirac s'obtient par un passage à la limite d'une impulsion

rectangulaire qui tendra vers une impulsion infiniment étroite et d'amplitude infinie tout

en gardant une surface constante, correspondant à l'énergie véhiculée par le signal à

l'instant d'échantillonnage. L'intégrale d'une impulsion-unité est égale à l'unité.



Remarque : La longueur de la flèche illustrant l'impulsion de Dirae représente

normalement son niveau énergétique. Par convention, on affectera plutôt

à l'impulsion de Dirac, apparaissant à l'instant d'échantillonnage kT,

l'amplitude x(kT) du signal continu associé, pris au même instant.

1.2.2. Signal discret

Un signal discret consiste en une séquence de valeurs distinctes (valeurs

numériques) qui ne sont définies qu'aux instants d'échantillonnage. En dehors des

instants d'échantillonnage, le signal discret n'existe pas. Un tel signal sera représenté

par une ligne pointillée et un point à une ordonnée correspondant à la valeur numérique

du signal x(t) continu associé, pris à l'instant d'échantillonnage considéré.

Le signal discret xn(t), associé au signal continu x(t), a pour valeur à l'instant kT :

xk = x(kT)


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESL'énergie d'un signal discret est nulle. Avec un signal discret, on peut faire

toutes les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication et division).

Par contre, on ne peut pas exciter un système continu parce que l'énergie du signal est

nulle.

En résumé, on peut noter qu'à l'instant d'échantillonnage kT :

. le signal continu vaut : x(kT)

. le signal discret est : xk = x(kT)

. le signal échantillonné est représenté par une impulsion : xk ô(t-kT)

1.3. MODELISATION DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET

1.3.1. Système continu

Les signaux qui transitent à travers les différents éléments d'un système de

commande subissent des transformations à tous les stades, que celles-ci soient

volontaires (par exemple, traitement par filtrage, ou analyse spectrale, pour en extraire

une information) ou non. Pour un système S quelconque, ceci est pris en compte par la

relation entrée-sortie qui décrit le système.



Rappelons qu'un système continu est modélisé par sa fonction de transfert H(p)

ou sa réponse impulsionnelle h(t), obtenues par partie de sa description par des

équations différentielles.

Y(p) = H(p).U(p)

y(t) = h(t) * u(t)

soit y(t) = H[u(t)]

1.3.2. Cas des systèmes à temps discret

* Description par les équations récurrentes

Dans le cas de signaux n'apparaissant qu'à des instants précis du temps (et nuls

dans les intervalles), on a affaire à des systèmes à temps discret (qualifiés souvent par

contraction de systèmes discrets) dont la relation entrée-sortie peut s'écrire :

y(kT) = H[u(kT)]


NOTES PERSONNELLES


Le système à temps discret qui en résulte est alors représenté par un modèle

mathématique liant les valeurs numériques du signal d'entrée à celles du signal de

sortie.

Cette relation peut être décrite par une équation récurrente qui joue le même

rôle que les équations différentielles pour les systèmes continus. L'équation récurrente,

qui se prête bien à la programmation, définit l'algorithme de génération de sa solution.

Soit par exemple, un système à temps discret décrit par une équation récurrente

du premier degré :

y(kT) - K y[(k-l)T] = u(kT)

Si u(t) est un échelon-unité, alors :

y(kT) = Kk + 1 y(-T) + * ; Kk+ 1

L - D±

* Description par les transformées de Laplace échantillonnées

Si les signaux d'entrée et de sortie sont échantillonnés, on est conduit à

caractériser le système considéré, régi par des équations différentielles, par sa fonction

de transfert échantillonnée H*(p) ; cette transmittance est établie à partir d'une

extension de la transformée de Laplace aux fonctions puisées (transformée de Laplace

échantillonnée). Par ce fait, la théorie des systèmes échantillonnés est voisine de celle

des systèmes continus et en découle directement.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESOn pourra écrire, par exemple :

Y*(p) = H*(p).U*(p)

Cependant le signal échantillonné u*(t), de transformée de Laplace

échantillonnée U*(p), est un train d'impulsions de Dirac, espacées de T, et de poids

uk=u(kT) à l'instant kT.

L'impulsion de Dirac étant un opérateur neutre en algèbre de convolution, on

obtiendra sur l'intervalle de temps [o,nT] :

y(t) = JT u(kT)h(t-kT)k=o

Le signal y(t), obtenu par convolution discrète, est continu.

Si on s'intéresse au poids de l'impulsion de sortie apparaissant à l'instant nT , on a :

y(nT)=Xu(kT)h[(n-k)T]k=o

Le signal de sortie échantillonné est alors :

+ 00

y*(t)= £ y(nT) «(t-aT)n = 0

y*(t) est une suite d'impulsions de Dirac, espacées périodiquement de T.



* Description par les transformées en z

L'écriture et la résolution des équations récurrentes sont facilitées par l'emploi

de l'opérateur z d'avance d'une période d'échantillonnage T, défini à partir de la

variable complexe p de Laplace par la relation :

z = eTP

Nous verrons qu'à toute équation récurrente linéaire, stationnaire, peut être

associée une transformée en z , dont l'originale est solution de l'équation récurrente ;

réciproquement, à toute transformée en z, on pourra associer une équation récurrente.

Le système à temps discret peut alors être modélisé par une fonction detransfert en z, qui lie les signaux d'entrée et de sortie :

Y(z) = H(z).U(z)

qu'on peut écrire également : y(z) = h(z). u(z)

Remarque : Comme l'on passe très facilement de l'équation récurrente à la transformée

en z, l'on peut tout aussi bien convertir la description des signaux et

systèmes par la transformée de Laplace échantillonnée en transformée en

z.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESPar exemple, le système continu de réponse impulsionnelle h(t), après

échantillonnage, pourra être aussi bien décrit par :

-00

h(z) - X hk.z-k

k=o

que par :

-00

h*(t) = 2 hk 6(t-kT)k=o



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