ce manuel de cours et d’exercices d’asservissement et de

Ce manuel de cours et d’exercices d’Asservissement et de Régulation est un outil

permettant aux étudiants de suivre, comprendre et d’assimiler ce cours. En s’appuyant

sur la résolution des exercices, d’une façon méthodiques et pédagogiques, accompagnés

par une simulation de certains exercices, en utilisant le logiciel ‘’Matlab’’.

Il s’adresse en premier lieu aux étudiants du réseau ISET, à ceux qui désirent améliorer

leur connaissance dans cette matière. Il s’adresse également aux élèves ingénieurs.

Ce manuel comporte cinq chapitres, le premier chapitre est consacré à l’étude et l’utilité

de la transformée de Laplace, le deuxième chapitre traitant la modélisation d’un

système linéaire par une fonction de transfert, le troisième chapitre traite l’étude et

l’analyse temporelle et fréquentielle d’un système linéaire asservi, le quatrième chapitre

donne un aperçu sur les systèmes linéaires bouclés, le cinquième chapitre donne un

aperçu sur les différents techniques utilisés pour l’étude de la stabilité d’un système

linéaire continu. Enfin, il est terminé par des exercices avec éléments de correction de

chaque chapitre.

Auteur: SOYED Abdessamï

Sommaire

i

CHAPITRE 1: TRANSFORMEE DE LAPLACE DES FONCTIONS CAUSALES _____________ 7

1. FONCTIONS CAUSALES _____________________________________________________________ 8

2. FONCTIONS CAUSALES ELEMENTAIRES_______________________________________________ 8

2.1. Impulsion de Dirac unitaire _________________________________________________________ 8

2.2. Echelon unité ____________________________________________________________________ 8

2.3. Rampe unitaire ___________________________________________________________________ 9

3. FONCTIONS CAUSALES RETARDEES__________________________________________________ 9

4. AUTRES FONCTIONS USUELLES ____________________________________________________ 10

4.1. Fonction créneau (porte)___________________________________________________________ 10

4.2. Fonction triangulaire _____________________________________________________________ 10

4.3. Fonction sinusoïdale causale _______________________________________________________ 11

5. TRANSFORMEE DE LAPLACE D’UNE FONCTION CAUSALE_______________________________ 11

5.1. Propriétés de la transformée de Laplace_______________________________________________ 11

5.2. Transformée de Laplace d'une fonction périodique causale________________________________ 13

6. PRODUIT DE CONVOLUTION DES FONCTIONS CAUSALES_______________________________ 14

6.1. Propriétés du Produit de Convolution ________________________________________________ 14

6.2. Transformée de Laplace du produit de Convolution _____________________________________ 14

6.3. Transformée de Laplace d’intégrale d’une fonction causale _______________________________ 14

7. TRANSFORMEE DE LAPLACE INVERSE D’UNE FONCTION CAUSALE ______________________ 15

7.1 Propriétés de la transformée de Laplace Inverse ________________________________________ 15

8. TABLE DU TRANSFORMEE DE LAPLACE ET LAPLACE INVERSE __________________________ 16

9. RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES PAR LA METHODE DE (TL) ______________ 17

9.1. Equation du premier ordre à cœfficients constants_______________________________________ 17

9.2. Fonction de transfert______________________________________________________________ 17

Sommaire

ii

9.3. Solution ou réponse à une entrée ____________________________________________________ 17

9.4. Equation de deuxième ordre à cœfficients constants _____________________________________ 17

9.5. Equation différentielle d’ordre (n) à cœfficients constants_________________________________ 18

EXERCICES SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE _________________________________ 19

EXERCICES SUR LE PRODUIT DE CONVOLUTION __________________________________ 21

EXERCICES SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE INVERSE ________________________ 22

EXERCICES SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ______________________________ 24

CHAPITRE 2: MODELISATION D’UN SYSTEME LINEAIRE CONTINU INVARIANT_____ 25

1. DIFFERENTS TYPES DE SYSTEMES INDUSTRIELS _____________________________________ 26

2. MODELISATION DES SYSTEMES LINAIRES CONTINUS INVARIANTS _______________________ 27

2.1. Modèle de connaissance___________________________________________________________ 27

2.2. Modèle de comportement__________________________________________________________ 27

3. MODELISATION D’UN SYSTEME LCI __________________________________________________ 27

4. REPONSES PARTICULIERES (SIGNAUX TESTS) ________________________________________ 28

2.1. Réponse Impulsionnelle ___________________________________________________________ 28

2.2. Réponse Indicielle _______________________________________________________________ 28

2.3. Réponse harmonique _____________________________________________________________ 28

5. POLES ET ZEROS D’UNE FONCTION DE TRANSFERT ___________________________________ 29

6. ASSERVISSEMENT ET REGULATION D’UN SYSTEME LINEAIRE ___________________________ 29

7. EXEMPLE DE MODELISATION DES PROCESSUS INDUSTRIELS ___________________________ 30

7.1. Système mécanique ______________________________________________________________ 30

7.2. Système électrique _______________________________________________________________ 30

Sommaire

iii

CHAPITRE 3: ANALYSE TEMPORELLE ET FREQUENTIELLE D’UN SLC ______________ 31

1. ETUDE D’UN SYSTEME LINEAIRE CONTINU (SLC) DE PREMIER ORDRE____________________ 32

1.1. Analyse temporelle_______________________________________________________________ 33

1.2. Analyse harmonique______________________________________________________________ 35

2. ETUDE DU SYSTEME LINEAIRE CONTINU (SLC) DE DEUXIEME ORDRE ____________________ 39

2.1. Solutions de l’équation du système du 2eme ordre________________________________________ 41

2.2. Etude de la réponse temporelle d’un système 2eme ordre__________________________________ 42

2.3. Analyse harmonique d’un système de deuxième ordre ___________________________________ 50

CHAPITRE 4: LES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS BOUCLES _____________________ 55

1. INTRODUCTION ___________________________________________________________________ 56

2. SCHEMA FONCTIONNEL D’UN SYSTEME LINEAIRE CONTINU ASSERVI ____________________ 56

3. FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME LINEAIRE CONTINU EN BOUCLE FERMEE _______ 56

CHAPITRE 5: STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS (SLC) ______________ 59

1. CONDITIONS DE STABILITE _________________________________________________________ 60

1.1. Domaine temporel ________________________________________________________________ 60

1.2. Domaine fréquentiel ______________________________________________________________ 60

2. CRITERE DE STABILITE ALGEBRIQUE DE ROUTH ______________________________________ 60

3. CRITERE DE STABILITE GRAPHIQUES ________________________________________________ 61

3.1. Critère de Bode__________________________________________________________________ 61

3.2. Critère de Nyquist _______________________________________________________________ 61

ELEMENTS DE SOLUTIONS________________________________________________________ 69

SIGNAUX USUELS : ________________________________________________________________ 79

BIBLIOGRAPHIE _________________________________________________________________ 80

Chapitre ❶

Asservissement & Régulation Page: 7 Propose par: SOYED-Abdessamï

Chapitre 1: Transformée de Laplace des fonctions causales

Chapitre ❶


La transformée de Laplace est considérée comme étant un outil mathématique puissant, elle

permet de remplacer les opérateurs analytiques de dérivation et d'intégration par des opérateurs

algébriques. Elle facilite la résolution des équations différentielles.

1. Fonctions causales Une fonction de la variable réelle ( t ) est dite causale, si pour tout ( t<0 ). On a f(t)=0 .

2. Fonctions causales élémentaires

2.1.Impulsion de Dirac unitaire

Elle est définie par: δ(t)=1; si t=0

Fig.1.1: Impulsion de Dirac unitaire

2.2.Echelon unité

Elle est définie par:

0 t; 10 t; 0

u(t)

Fig.2.2: Echelon (Heaviside) unitaire

Remarques:

On obtient une fonction causale (g1(t)) tout en multipliant une fonction (g(t)) à variable réelle

par un échelon unité, on a donc 1g (t)=g(t).u(t) .

Un échelon est dit un non unitaire, si son amplitude est différente de (1).

t0

u(t)

1

t0

δ(t)

1

Chapitre ❶


2.3.Rampe unitaire

Elle est définie par<0 ; t<0

r(t)=t ; t>0

; ou bien r(t)=t.u(t)

Fig.1.3: Rampe unitaire

3. Fonctions causales retardées 3.1. Echelon retardé

Elle s’exprime par f(t)=E ; t>T , soit alors f(t)=E.u(t-T))

Fig.1.4: Echelon retardé

3.2. Rampe retardée

Elle s’exprime par g(t)=E.t ; t>T , soit alors g(t)=E.r(t-T)

Fig.1.5: Rampe retardée

g(t)

tT0

r(t)

t1

1

0

t0

f(t)

E

T

Chapitre ❶


4. Autres fonctions usuelles

4.1.Fonction créneau (porte)

Elle est définie par:0 ; t <a

p(t)= E ; a t b0 ; t b

, avec 2(a ,b) , telque (0<a<b) ; elle peut s’exprimée

aussi par: p(t)=E.[u(t-a)-u(t-b)] .

Fig.1.6: Fonction porte

4.2.Fonction triangulaire

Elle est définie par: 1

2

0 ; t<aE.t ; a t bTtri(t) E.t- ; b t c T

0 ; t c

, avec 3(a ,b,c) , tel que (0<a<b<c) ; elle peut

aussi s’exprimée par: 1 2

1 1 2 2

E.(T +T )E Etri(t)= (t-a).u(t-a)- (t-b).u(t-b)+ (t-c).u(t-c)T T T T

Fig.1.7: Fonction triangulaire

t0

E

a b

p(t)

t0

E

a b c

1T 2T

tri(t)

Chapitre ❶


4.3.Fonction sinusoïdale causale

La fonction sinusoïdale causale est définie par: mv(t)=V .sin(t) ; t 0 ou bien mv(t)=V .sin(t).u(t) .

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

v(t)

Temps(s)

v(t)=Vm*sin(wt)

TT/2

Fig.1.8: Fonction sinusoïdale

5. Transformée de Laplace d’une fonction causale La transformée de Laplace d’une fonction causale ( f(t) ) à variable réelle, est définie par:

+

-pt

0

F(p)=L f(t) = f(t).e dt

. Avec 2p=σ+jw ; (σ,w) ; p: Opérateur de Laplace

5.1.Propriétés de la transformée de Laplace

Linéarité: 1 2 1 2L[αf (t)+βf (t)]=αF (p)+βF (p) , avec 2β) ,( .

Théorème de retard: -pTL[f(t-T)]=e F(p) , avec +T .

Théorème de décalage fréquentiel: 0-p.w .t0L[e .f(t)]=F(p+w ) .

Théorème de facteur d’échelle: 1 pL f(nt) = F( )n n

; Zn .

Chapitre ❶


Théorème de la dérivation:

+df(t)L[ ]=pF(p)-f(0 )dt

, (dérivée première)

2

2 + +2

d f(t) dfL[ ]=p F(p)-pf(0 )- (0 )dt dt

, (dérivée seconde).

n n-k-1 +n-1

n kn n-k-1

k=0

d f(t) d f(0 )L[ ]=p F(p)- pdt dt , (dérivée d’ordre n).

Théorème d’intégration:

+

0

F(p)+f(0 )L f(t)dt =p

Théorème de la valeur initiale:

On suppose que la fonction f(t) est dérivable et possède une transformée de Laplace. On admet

que+ +-pt -pt

0 0p + p +

df(t) df(t)lim ( e dt= lim ( e dtdt dt

.Sachant que +df(t)L[ ]=pF(p)-f(0 )dt

et -pt

p

dflim e =0dt

.

On obtient alors donc : +

p +lim pF(p) =f(0 )

.

Théorème de la valeur finale:

On suppose que la fonction f(t) est dérivable et possède une transformée de Laplace. Sachant

que: -pt -pt

0 0p 0 p 0

df(t) df(t)lim[ e dt]= lim[ e ]dtdt dt

et -pt

p 0

df(t) df(t)lim e =dt dt

. On obtient alors:

+-pt +00p 0 t +

df(t)lim[ e dt]= f(t) = lim [f(t)-f(0 )]dt

, en plus on a +df(t)L[ ]=pF(p)-f(0 )dt

.Si les limites

sont finies, on obtient alors donc: p 0 t +lim pF(p) = lim f(t)

.

Chapitre ❶


5.2.Transformée de Laplace d'une fonction périodique causale

La fonction causale suivante ( (t)f1 ) admet une transformée de Laplace ( (p)F1 ).

Fig.1.9: Fonction « (t)f1 »

La fonction f(t) est périodique et causale, définie par:+

1 2 n kk=1

f(t)=f (t)+f (t)+......+f (t).+...= f (t)

.

Fig.1.10: Fonction périodique causale

La fonction f(t) est une sommation de (t)f1 avec un décalage temporel régulier répétitif (T). Elle

peut s’écrire par: n 1n=1 n=1

f(t)= f (t)= f (t-nT)u(t-nT)

, sa transformée de Laplace est fournie par:

1n

n=1

F (p)L f(t) = f (t)= -pT1-e

T0

(t)f1

t

t0

f(t)

T 2T 3T

Chapitre ❶


6. Produit de Convolution des fonctions Causales Le produit de convolution traduit, le balayage d’une fonction sur une autre, il représente la

mesure des fonctions. Il s’applique sur des fonctions temporelles ou des fonctions fréquentielles.

Le produit de convolution de deux fonctions temporelles (f et g) est une fonction temporelle (h).

Il est définit par:0

h(t)=(f*g)(t)= f(τ).g(t-τ)dτ

.

6.1.Propriétés du Produit de Convolution

Le produit de convolution est linéaire, commutatif, associatif et distributif par l’addition.

Il possède aussi d’autres propriétés.

Commutativité: f(t)*g(t)=g(t)*f(t) .

Associativité: f(t)* g(t)+h(t) = f(t)*g(t) *h(t) .

Linéarité: αf(t)+βg(t) *h(t)=α f(t)*h(t) +β g(t)*h(t) ; (α,β)

Décalage Temporel: 1 2 1 2f(t-τ )*g(t-τ )=h(t-τ -τ ) .

Dérivation: d d dh(t)= f(t)*g(t) =[ f(t)]*g(t)=f(t)*[ g(t)]dt dt dt

.

6.2.Transformée de Laplace du produit de Convolution

Le produit de convolution de deux fonctions temporelles se traduit par un produit simple dans le

plan de Laplace, en effet on a h(t)=f(t)*g(t) , on obtient alors donc:

L f(t)*g(t) =L f(t) L g(t) =F(p).G(p)=H(p)

6.3.Transformée de Laplace d’intégrale d’une fonction causale

On considère une fonction réelle f(t) à variable réelle (t). Le produit de convolution de cette

fonction par un échelon unité est définit par:t t

0 0(u*f)(t)= f(τ).u(t-τ)dτ= f(τ)dτ . On obtient alors:

t

0

1L f(τ)dτ =F(p).P

Chapitre ❶


7. Transformée de Laplace inverse d’une fonction causale Pour trouver la fonction originale dune fonction temporelle, connaissant sa transformé de

Laplace F(p) .On applique la définition inverse +

-1 pt

-

1f(t)=L F(p) = F(p)e dp2πj

, ou bien on utilise

la méthode de Résidu (décomposition en élément simple de f(t)).

7.1 Propriétés de la transformée de Laplace Inverse

Linéarité: -11 2 1 2L [αF (p)+βF (p)]=αf (t)+βf (t) , avec 2(α;β) .

Théorème de retard: -1 -pTL [e F(p)]=f(t-T) , avec +T .

Théorème de décalage fréquentiel: 0-p.w .t-10L F(p+w )=e .f(t) .

Théorème de facteur d’échelle: -1 pL [F( )]=n.f(nt)n

; Zn .

Théorème d’intégration: +-1

p

f(t)L [ F(x)dx]=t

Théorème de dérivation: -1 F(p)F'(p)=L [ ]=-t.f(t)dp

Chapitre ❶


8. Table du Transformée de Laplace et Laplace inverse f(t) F(p) Remarque δ(t) 1

u(t)=1 p1 0p

t.u(t) 2p

1 0p

2t .u(t) 3p

2 0p

nt .u(t) n+1

n!p

Nn et 0p

-ate f(t).u(t) a)F(p a

.u(t)e at ap

1

0a)Réel(p

n -att e .u(t) 1na)(p

n!

Nn et 0a)(p

-ate sin(wt).u(t) 2wa)(p

w 2 0a)(p

-ate cos(wt).u(t) 2 2

p(p+a) +w

0a)(p

1 2

t t- -τ τ

1 21 2

11- (τ e -τ e )τ -τ

1 2

1p(1 τ p)(1 τ p)

m>1

0-m.w .t2

02

e1- sin (w 1-m ).t-φ1-m

21-mφ=-arctan( )m

0-m.w .t2

02

e1- cos (w 1-m ).t-φ1-m

2

mφ=arctan( )1-m

2

0 0

1p pp[1+2m +( ) ]

w w

1m

Chapitre ❶


9. Résolution des équations différentielles par la méthode de (TL) 9.1.Equation du premier ordre à cœfficients constants

Soit l’équation différentielle suivante dy +ay=ke(t)dt

, ou y (t): sortie et e (t): entrée. On suppose de

plus que la condition initiale n’est pas nulle, c’est à dire y(0+)=y0. Pour résoudre cette équation, il

suffit de la transformer dans le domaine de Laplace, on obtient alors 0kE(p)+yY(p)=p+a

.

9.2.Fonction de transfert

On appelle fonction de transfert (transmittance), le rapport Y(p) kH(p)= =E(p) p+a

, avec la condition

initiale nulle.

9.3.Solution ou réponse à une entrée

La solution générale est donnée par -1y(t)=L [Y(p)] .

Réponse Impulsionnelle:

L’entrée est une impulsion nuitée e(t)=δ(t) , la solution est fournie par -at0

ky(t)=[ +y ]ea

.

Réponse Indicielle:

L’entrée est un échelon unité e(t)=u(t) , la solution est fournie par -a.t -a.t0

ky(t)= (1-e )+y ea

.

9.4.Equation de deuxième ordre à cœfficients constants

L’équation différentielle de 2éme ordre est décrit par2

2

d y dya +b +cy=ke(t)dt dt

, avec y(t):sortie et

e(t):entrée. Les conditions initiales ne sont pas nulles et valent: +0y(0 )=y et + +

0dyy'(0 )= (0 )=y'dt

.

La transformée de Laplace de l’équation précédente est fournie par: 2

2

d y dyL[a +b +cy]=L[ke(t)]dt dt

, soit 0 02

kE(p)+y (ap+b)+y'Y(p)=ap +bp+a

.

Chapitre ❶


9.5.Equation différentielle d’ordre (n) à cœfficients constants

Soit un système industriel schématisé par la figure ci-dessous, il est modélisé par une équation

différentielle donnée par: n m

n 1 0 0 1 mn m

d s t ds t d e tde(t)a +...+a +a s(t)=b e t +b +...+bdt dt dt dt

.

Fig.1.11: Schéma d’un processus industriel

La transformé de Laplace du système est fournie par:

m m-1m m-1 1 0

n n-1n n-1 1 0

S p b p +b p +...+b p+bG(p)= =E p a p +a p +...+a p+a

Fig.1.12: Schéma fonctionnel d’un processus industriel

E(p) S(p)G(p)

e(t) s(t)Système

Chapitre ❶


Exercices sur la Transformée de Laplace

Exercice 1:

Trouver les fonctions de transfert, des fonctions temporelles suivantes:

a) 2 -2t1f(t)=(1- t -e ).u(t)2

,

b) -2t1g (t)=e cos(3t).u(t) ; -2t

2g (t)=e sin(3t).u(t) ,

c) 2 -3t1h (t)=(1-t+t )e .u(t) ; -2t 2

2h (t)=e (1-t) .u(t) ,

d) x(t)= (t+2).u(t)+(t+2).u(t-1) ,

e) 2-a.ty(t)=e .

Exercice 2:

Trouver les fonctions temporelles des signaux ci-dessous, en déduire leurs transformée de

Laplace.

tT

E

f

0t

T

E

g

0 2T

tT

E

h

0

Chapitre ❶


Exercice 3:

Déterminer les fonctions de transfert, des fonctions temporelles suivantes (u: Echelon):

a) π πf(t)=sin(wt- ).u(wt- )3 3

,

b) πg(t)=sin(wt).u(wt- )3

c) πh(t)=sin wt- .u(wt)3

.

Eléments de Réponses

Exercice 1:

a) 3

1 1 1L f(t) =F(p)= - -p p p+2

,

b) 1 2

(p+2)G (p)=(p+2) +9

; 2 2

3G (p)=(p+2) +9

,

c) 1 2 3

1 1 2H (p)= - +p+3 (p+3) (p+3)

, 2 2 3

1 2 2H (p)= - +p+2 (p+2) (p+2)

d) -p2 2

2 1 3 1X(p)= + +( + ).ep p p p

e) Y(p)=

Exercice 2:

Fonctions temporelles des signaux et leurs transformée de Laplace :

E Ef(t)= t.u(t)- (t-T).u(t-T)T T

, -pT2

EF(p)= (1-e )Tp

;

E Eg(t)= u(t)- (t-T).u(t-T)-(t-2T).u(t-2T)T T

, -pT -2pT2

E EG(p)= - (e -e )p Tp

;

E Eh(t)= u(t)- (t-T).u(t-T) -Eu(t-T)T T

, -pT -pT2

E EH(p)= (1-e )- e )Tp p

Chapitre ❶


Exercice 3:

Déterminer les fonctions de transfert, des fonctions temporelles suivantes (u: Echelon):

a) π-3wF(p)= e

p+w, en appliquant le théorème de retard

b) π-3

2 2(w-p 3)G(p)=e2(p +w )

,

c) πh(t)=sin wt- .u(wt)3

,

Exercices sur le Produit de Convolution

Exercice 1:

Déterminer la nature des systèmes continus suivants s’ils sont de type:

Linéaire ou non,

Dynamique ou statique,

Variant ou non,

Causal, anti-causal ou non causal,

1. f(t)=cos(5t).u(t) ;

2. g(t)=u(t-2)+u(t-2) ;

3. 0 ; t<0h(t)=

u(t)+u(t-2) ; t 0

4. du(t)y(t)=dt

;

5. t

-x(t)= u(τ)dτ

.

Chapitre ❶



Exercice 1:

1. Système statique, linéaire, variant et causal.

2. Système dynamique, linéaire, variant et non causal.

3. Système dynamique, linéaire, variant et causal.



Exercices sur la Transformée de Laplace Inverse

Trouver les origines des fonctions de transfert suivantes:

a) 4F(p)=P+3

; 2

1G(p)=P +4p+4

,

b) 2

1H(p)=p +3p+2

; 2

p+1X(p)=P +5p+6

,

c) 2

2W(p)=(p+2)

; 2 3

1 1 2S(p)= - -(p+1) (p+1) p

d) 2

p+2K(p)=p +2p+3

,

Chapitre ❶



a) -1 -1 -3t4f(t)=L F(p) =L ( )=(4e ).u(t)P+3

; -1 -2t2

1g(t)=L ( )=(te ).u(t)P +4p+4

,

b) -1 -1 -t -2t2

1 1 1h(t)=L ( )=L ( - )=(e -e ).u(t)p +3p+2 P+1 p+2

; -1 -2t -3t2p+4x(t)=L ( )=(2e -e ).u(t)

p +5p+6,

c) -1 -2t2

2w(t)=L =2e .u(t)(p+2)

; -1 -t -t 22 3

1 1 2s(t)=L [ - - ]=[e -te -t ].u(t)(p+1) (p+1) p

d) -1 -2t2

p+2 1k(t)=L [ ]=e [cos( 2.t)+ sin( 2.t)].u(t)p +2p+3 2

,

Chapitre ❶


Exercices sur les équations différentielles

Résoudre les équations différentielles suivantes par la méthode de la Transformé de Laplace

a) 2

2dy dy+2 +y=0dt dt

; y(0)=2 et y’(0)=0,

b) 2

-2t2

dy dy+6 +9y=e .u(t)dt dt

; y(0)= y’(0)=0,

c) 2

-2t 22

dy -y=(3e +t +1).u(t)dt

; y(0)= y’(0)=0,

d) 2

-t 22

dy -4y=(3e -t ).u(t)dt

; y(0)= 0, y’(0)=2,

e) 2

-t2

dy +y=e cos(2t).u(t)dt

; y(0)= y’(0)=0,

f) 2

2dy +y=u(t)-u(t-1)dt

; y(0)=2 ; y’(0)=0,

Eléments de Réponses: Eq_diff

Chapitre ❷


Chapitre 2: Modélisation d’un Système Linéaire Continu

Invariant

Chapitre ❷


1. Différents types de Systèmes Industriels

1.1. Système mono entrée sortie

C’est un système automatisé qui possède une seule entrée et une seule sortie.

1.2. Système plusieurs entrées et mono sortie

C’est un système automatisé qui possède plusieurs entrées et une seule sortie.

1.3. Système mono entrée et plusieurs sorties

C’est un système automatisés qui possède une seule entrées et plusieurs sorties.

1.4. Système Invariant

C’est un système dont leurs paramètres ne se modifient pas dans le temps. En réalité le processus

industriel subit un vieillissement, causé par l’usure, fatigue…etc.

1.5. Système Continu

C’est un système où les variables d’entrée et de sortie sont définies pour tout instant, les signaux

sont analogiques.

En revanche, les signaux de commande moderne des systèmes industriel, est de type digital ce

qui nécessite un échantillonnage de ces signaux. Ce sont des systèmes et des signaux discrets.

1.6. Système Linière

C’est un système qui obéit au théorème de Superposition

e(t) s(t)ProcessusIndustriel

1e (t) s(t)ProcessusIndustriel

ne (t)

e(t) 1s (t)ProcessusIndustriel

ns (t)

Chapitre ❷


2. Modélisation des Systèmes Linaires Continus Invariants

Les systèmes industriels ceux sont des systèmes complexes, il est plus facile de le décomposer

en sous-systèmes, afin de le modélisé, par un modèle de comportement ou un modèle de

connaissance.

2.1.Modèle de connaissance

C’est un modèle définit à partir des équations différentielles (lois physiques).

2.2.Modèle de comportement

C’est un modèle qui est remplacé par une boîte noire. Il est identifié (obtenu) à partir de résultats

expérimentaux.

3. Modélisation d’un Système LCI

En réalité, il n’existe pas un système linéaire continu décrivant ou modélisant un processus

industriel. On suppose que le modèle du processus est linéaire pour des raisons de simplification.

Un système linéaire est excité par une entrée x(t), il est régi par une sortie y(t), qui peut être

modélisé par une équation différentielle à coefficients constants de type: n n-1 m m-1

n n-1 0 m m-1 0n n-1 m m-1

d y d y d x d xa +a +...+a y=b +b +...+b xdt dt dt dt

L’étude portera autour d’un état stable, les conditions initiales seront considérées comme nulles.

La transformée de Laplace de cette équation, définie une fonction de transfert (transmittance) en

boucle ouverte du système Y(p)H(p)=X(p)

. Elle peut être représentée par un schéma fonctionnel

(schéma bloc), qui exprime la relation Y(p)=H(p).X(p) .

Fig.2.1: Schéma bloc d’une fonction de transfert

La transformé inverse de Laplace de H(p) est délicate car elle fait intervenir un produit de

convolution+

-y(t)=h x(t)= h(τ).x(t-τ)dτ

.

H(p)Y(p)X(p)

Chapitre ❷


Par contre l’étude dans le plan de Laplace, fait intervenir une multiplication simple :

Y(p)=H(p).X(p)

La fonction de transfert H(p) peut se mettre sous la forme suivante: m

jm m-1j=1m m-1 0 1 2 mnn n-1

n n-1 0 1 2 ni

i

(p-p )b p +b p ..+b (p-z )(p-z )..(p-z )Y(p)H(p)= = =K. =K.

X(p) a p +a p ..+a (p-p )(p-p )..(p-p )(p-p )

Les (zi ) et (pj ) forment respectivement les zéros et les pôles de la fonction transfert H (p).

Les nombres des pôles et des zéros, donnent respectivement les degrés, du dénominateur et le

degré du numérateur (n; m). Elle peut s’écrire aussi sous la forme2

l 2N 2

l 2

1+c .p+c .p ...KH(p)= ( )P 1+d .p+d .p +...

.

Avec (N; K) , représente respectivement, la classe et le gain statique de système.

4. Réponses particulières (signaux tests)

La réponse sortie y(t) dépend de signal d’entré d’excitation x(t). Elle peut être décomposée en

une somme de deux fonctions 1 2(t) (ty =y +y) (t) , avec y1(t) est la réponse libre et y2(t) est la

réponse forcée.

2.1.Réponse Impulsionnelle

L’entrée est une impulsion de Dirac x(t)=δ(t) , alors la sortie est Y(p)=H(p) , par conséquent on a

y(t) = h(t) ; h(t): est appelée réponse Impulsionnelle.

2.2.Réponse Indicielle

L’entrée est un échelon unité x(t)=u(t) , la sortie y (t) est appelée réponse Indicielle.

2.3.Réponse harmonique

L’entrée est une fonction sinusoïdale de type 0x(t)=X .sin(wt) , la réponse harmonique obtenue

est exprimée par Y(p)=Y(jw) , par conséquent on obtient 0y(t)=Y .sin(wt-φ) .

Le module et l’argument de la fonction de transfert en régime harmonique, valent alors:

0

0

YH(jw) = ; φ=arg(H(jw)X

.

Chapitre ❷


5. Pôles et zéros d’une fonction de transfert

La connaissance des pôles et des zéros d’une fonction de transfert sont primordiaux pour l’étude

d’un asservissement. La fonction de transfert peut être mise sous une forme faisant apparaître les

pôles et les zéros, on peut l’écrire alors 0 1 m

0 1 n

p-z p-z p-zH(p)=k + +.....+p-p p-p p-p

.

6. Asservissement et Régulation d’un système linéaire

On parle d’un système asservi ou une poursuite, quand la sortie suit l’entrée (excitation), pour

une entrée dynamique (variable avec le temps).

Par contre si l’entrée de la boucle d’un processus Industriel est constante ou il varie par paliers,

on parle alors de régulation.

Fig.2.2: Schéma bloc d’une boucle d’asservissement ou de régulation

Avec

E(p) et S(p) : Entrée (consigne) et sortie du processus,

(p): Erreur,

K(p): Correcteur du processus,

H(p): Fonction de transfert du processus,

Cp(p) : Capteur d’informations de la chaîne de retour.

Exemples:

Asservissement de vitesse ou de position d’un moteur électrique,

Asservissement de l’altitude d’un avion.

Régulation de la température d’un réfrigérateur,

Régulation de la température d’un four électrique.

K(p)

E(p) S(p)H(p)

(p)Cp

Chapitre ❷


7. Exemple de modélisation des processus industriels

Un système industriel peut être décrit par une équation différentielle.

7.1.Système mécanique

On considère le système mécanique de la figure ci-dessous, qui est formé par une masse M(kg),

sur laquelle on applique une force F(t) elle est retenue par un ressort de raideur k(N/m) et un

amortisseur de coefficient de frottement visqueux f(N/m/s). On appelle (L) la position de la

masse. L’origine de ce repère est prise au niveau de la position du point de repos de la masse M.

Fig.2.3: Système Mécanique

7.2.Système électrique

On considère le circuit électrique série (RLC) de la figure ci-dessous, il est alimenté par une

source de tension alternative.

Fig.2.4: Système Mécanique

L‘équation différentielle modélisant ce circuit est donnée par2

2

d u due(t)=LC +RC +udt dt

.

F(t)f

k

M Masse

C

i

u

LR

e

Chapitre ❸


Chapitre 3: Analyse Temporelle et Fréquentielle d’un SLC

Chapitre ❸


1. Etude d’un Système Linéaire Continu (SLC) de premier ordre

On considère un processus industriel, modélisé par une équation différentielle de premier ordre

de type dsτ +s=ke(t)dt

; avec e: entrée, s: sortie, k: gain statique et : constante de temps.

La transformée de Laplace de cette équation différentielle, permet d’obtenir sa fonction de

transfert S(p) kH(p)= =E(p) 1+τp

.

Exemples : Circuit RC série et circuit RL série

Fig.3.1: Circuits RL et RC série

Circuit RC: L’équation différentielle décrivant ce circuit est donnée par due=u+RCdt

, avec

=RC: constante de temps du circuit. On suppose de plus que le condensateur est initialement

déchargé (u(0)=0). La transformée de Laplace de l’équation différentielle permettant d’obtenir sa

fonction de transfert, qui est exprimée par U(p) 1H(p)= =E(p) 1+τp

.

Circuit RL: L’équation différentielle décrivant ce circuit est donnée par L die=i+R dt

, avec

Lτ=R

: constante de temps du circuit. On suppose que l’inductance est initialement déchargée

(i(0)=0). La transformée de Laplace de l’équation différentielle permet d’obtenir sa fonction de

transfert I(p) 1H(p)= =E(p) 1+τp

.

Ce

i R

u L

i R

e u

Chapitre ❸


Pour le circuit RC série l’entrée et la sortie est une tension. Pour le circuit RL série l’entrée est

une tension, alors que la sortie est un courant. Les (la) conditions initiales sont nulles pour une

grandeur ou ses dérivées d’un système physique, prouve que ce dernier (processus physique) part

de son état de repos ou à partir d’un point de son fonctionnement.

1.1.Analyse temporelle

1.1.1. Réponse Impulsionnelle

Le système de premier ordre est excité par une impulsion de Dirac unitaire (t), sa transformée

de Laplace vaut E(p)=L[δ(t)]=1, d’ouS(p)=H(p).E(p)

La transformée inverse de Laplace de S(p) est fournie part--1 -1 τk kL [S(p)]=L [ ]=s(t)= e

(τp+1) τ.

1.1.2. Réponse Indicielle

Le système de premier ordre est excité par un échelon unitaire e(t)=u(t), sa transformée de

Laplace vaut 1E(p)=L[u(t)]=P

; d’ouS(p)=H(p).E(p) .

La transformée inverse de Laplace est fournie par: t--1 -1 τ

S p kL [ ]=L [ ]=s t =k(1- e )p p(τp+1)

Temps de réponse:

On caractérise le régime transitoire de la réponse indicielle, par un temps de réponse (tr). Il est

obtenue quand la valeur finale du régime permanent du processus atteint ( 32 ) de la valeur

finale d’entrée, elle est donnée par rt =3τ .

k1+τp

u(t)e(t) s(t)

k1+τp

e(t)=δ(t) s(t)

Chapitre ❸


Temps de montée:

C’est le temps mis pour que la sortie du processus atteigne 90% de la valeur finale du régime

établit. On a donc alors:mt-τ0.9k=k(1-e ) , d’ou mt =2.3.τ .

Conclusion:

Si la constante de temps () est faible, par conséquent le temps de réponse (tr) l’est aussi, donc le

système est rapide. Si () est grande, le système est lent.

1.1.3. Réponse à une Rampe

Le système de premier ordre est excité par une rampe unitaire e(t)=r(t). Elle est appelée aussi

réponse en vitesse, sa transformée de Laplace vaut 21E(p)=L[r(t)]=P

;d’ou S p =H(p).E(p) .

La transformée inverse de Laplace est t--1 -1 τ

2 2

S p kL [ ]=L [ ]=s t =k(t-τ+τe )p p (1+τp)

.

0 2 4 6 8 100

0.5

1Réponse Impulsionnelle

Sortie s

0 2 4 6 8 100

0.5

1

Sys

tem

e de

Pre

mie

r Ord

re

Réponse Indicielle

Entrée eSortie s

0 2 4 6 8 100

5

10

Temps(s)

Réponse à une rampe

entrée esortie s

Fig.3.2: Réponse à une δ(t) , à un u(t) et une r(t) d’un système de premier ordre

k1+τp

e(t)=r(t) s(t)

Chapitre ❸


La réponse à une rampe présente une erreur de traînage. On voit que si ( k 1 ), la sortie ne suit

pas l’entrée. On dit qu’elle traîne. L’écart s’agrandit régulièrement et à la limite devient infini.

L’erreur de traînage vaut: Tε =k.τ

Conclusions:

Un système du premier ordre ne suit pas en vitesse.

Un système du premier ordre est donc stable.

1.2.Analyse harmonique

Cette analyse est nommée aussi analyse fréquentielle, c'est-à-dire que le système de premier

ordre est excité par un signal sinusoïdal. Il suffit de remplacer l’opérateur de Laplace par (jw) .

La fonction de transfert s’écrit alors kH jw =1+jτ w

; avec c1w =τ

: appelle pulsation de coupure.

1.2.1. Diagramme de Bode

Il consisté à tracer deux courbes de la fonction complexe ( H(jw) ), le module et la de phase en

fonction de fréquences (pulsations). Ils sont donnes par:

2

c

c

kH(jw) =w1+( )w

wφ=arg(H(jw)=-arctan( )w

Soit en décibel (échelle semi-logarithmique), pour faciliter l’allure des courbes, et sont donnés

par:

2db

c

c

wH =20.Log(k)-10.Log[1+( ) ] w

wφ=arg(H(jw)=-arctan( )w

Chapitre ❸


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s) Fig.3.3: Diagramme de Bode d’un système de premier ordre

1.2.2. Diagramme de Black-Nichols

Il consiste à tracer une seule courbe, le module en fonction de l’argument d’une fonction de

transfert d’un processus, pour des pulsations orientées et graduées dbH =f(φ) . On peut déduire

plusieurs paramètres d’un système en boucle fermée à partir d’une fonction de transfert en

boucle ouverte.

Chapitre ❸


Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

6 dB 3 dB

1 dB 0.5 dB

0.25 dB 0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

Fig.3.4: Diagramme de Black d’un système de premier ordre

1.2.3. Diagramme de Nyquist

Il consiste à tracer dans le même plan, la partie imaginaire en fonction de la partie réelle d’une

fonction de transfert d’un processus. C’est un diagramme qui contient aussi l’allure du module

en fonction de l’argument (phase) de cette même fonction de transfert, pour une pulsation qui

varie de zéro à l’infini.

Chapitre ❸


Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

System: gReal: 0.11Imag: 0.313Frequency (rad/s): -2.85

0 dB

-20 dB

-10 dB

-6 dB-4 dB-2 dB

20 dB

10 dB

6 dB4 dB 2 dB

Fig.3.5: Diagramme de Nyquist d’un système de premier ordre

Conclusions:

Un système du premier ordre est un filtre passe-bas,

Un système rapide est un système qui a une bande passante large (faible constante de temps),

Un système lent est un système qui possède une bande passante étroite.

Chapitre ❸


2. Etude du Système Linéaire Continu (SLC) de deuxième ordre

Un processus industriel peut être décrit par une équation différentielle de deuxième ordre de

type 2

2 1 0 02

d s dsa +a +a s=b e(t)dt dt

; avec e: entrée et s: sortie et ( 2 1 0 0a ; a ; a ; b ) étant les paramètres

constants du processus.

La transformée de Laplace de l’équation différentielle précédente (toutes les conditions initiales

sont nulles), permet d’obtenir sa fonction de transfert:

0

0 22

2 012 1 0

2 2

bS p b aH p = = = aaE p a p +a p +a p + p +

a a

.

La transmittance canonique est fournie par 20

2 20 0

k.wH p =p +2mw .p+w

Il suffit comparer les deux expressions, pour identifier les coefficients caractérisant la fonction

de transfert canonique:

0

0

bk=a

: Gain statique,

00

2

aw =a

: Pulsation propre,

1

0 2

am=2 a a

: Coefficient d'amortissement.

Chapitre ❸


Circuit RLC série:

Fig.3.6: Circuits RLC série

Ce circuit est décrit par une équation différentielle de deuxième ordre de

type2

2

d s R ds 1 e+ + s=dt L dt LC LC

. Elle peut être mise sous sa forme canonique (les conditions initiales

sont nulles)2

2 20 0 02

d s ds+2mw +w s=w edt dt

.

01w =LC

: Pulsation propre du système (rad/s),

R Cm=2 L

: Facteur d’amortissement sans dimensions,

Lτ=R

: Constante de temps(s),

01 1 LQ= = =τw

2m R C: Facteur de qualité.

Par conséquent la transmittance de circuit est donné par20

2 20 0

kwS(p)H(p)= =E(p) p +2mw p+w

.

C

i

s

LR

e

E(p) S(p)20

2 20 0

kwp +2mw p+w

Chapitre ❸


2.1.Solutions de l’équation du système du 2eme ordre

Elle admet une équation caractéristique 2 20 0p +2mw .p+w =0 , son discriminant est 2 2

0Δ=4(m -1)w .

2.1.1. Cas du régime apériodique (m>1):

Pour ce régime l’équation caractéristique admet deux racines réelles négatives:

212 0p =-w (m± m -1) , si de plus on pose 1

1

1τ =P

et 2 12

1τ = >τp

.

2.1.2. Cas du régime pseudopériodique (m< 1):

Pour ce régime l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées:

1 21p =p =- +jwτ

, avec 0

1τ=mw

et 2p 0w =w 1-m .

wp: Pseudo pulsation (rad/s),

: Temps de relaxation, caractérise la durée des phénomènes transitoires.

2.1.3. Cas du régime critique (m=1):

Pour ce régime critique, l’équation caractéristique admet une racine double 1 2 01p =p =-w =-τ

.

Chapitre ❸


2.2.Etude de la réponse temporelle d’un système 2eme ordre

2.2.1. Coefficients d’amortissement (m>1)


La transformé de Laplace de l’entrée L δ(t) =E(p)=1. Sa réponse vaut alors:

1 2 1 2

1 2

k k 1 1S(p)=H(p)E(p)= =( )[ - ]1 1(1+τ p)(1+τ p) τ -τ (p+ ) (p+ )τ τ

, donc la réponse temporelle est

donnée par 1 2

t t- -τ τ

1 2

ks(t)= [e -e ]τ -τ

.

Réponse indicielle:

La transformé de Laplace de l’entrée 1L u(t) =E(p)=p

. Sa réponse vaut alors:

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

τ τk 1 1 1S(p)=H(p)E(p)= =k[ -( ) +( ) ]1 1p(1+τ p)(1+τ p) p τ -τ τ -τ(p+ ) (p+ )τ τ

.

Il s’ensuit la réponse temporelle est donnée par 1 2

t t- -τ τ1 2

1 2 1 2

τ τs(t)=k(1- e + e )τ -τ τ -τ

.

Réponse à une rampe:

La transformé de Laplace de l’entrée 2

1L r(t) =E(p)=p


2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

1 2

τ +τ τ τk 1 1S(p)=H(p).E(p)= =k[ - + .( - )]1 1p (1+τ p)(1+τ p) p p τ -τ (p+ ) (p+ )τ τ

. Il s’ensuit que la

réponse temporelle est donnée par 1

t t- -τ2 2 τ21 2 1 2

1 2

1s(t)=k.[t- τ +τ + (τ e -τ e )]τ -τ

.

L’erreur de trainage c’est l’écart entre l‘entrée et la sortie: T 1 2ε =k. τ +τ .

Chapitre ❸


Fonction de transfert: 2

4H(p)=p +6p+4

0 2 4 6 8 100

0.5


Sortie s

0 2 4 6 8 100

0.5

1

Syst

eme

de D

euxi

emm

e or

dre

(m>1

)

Réponse Indicielle

Entrée uSortie s

0 2 4 6 8 100

5

10

Temps(s)

Réponse à une Rampe)

Entrée rSortie s

Fig.3.7: Réponses à une δ(t) , à un u(t) et une r(t) d’un système de 2eme ordre (m>1)

2.2.2. Coefficient d’amortissement (m=1)


La transformée de Laplace de l’entrée L δ(t) =E(p)=1. Sa réponse vaut alors:

2

kS(p)=H(p).E(p)=(1+τp)

, il s’ensuit que la réponse temporelle est donnée part-τks(t)= t.e

τ.

Réponse Indicielle:

La transformée de Laplace de l’entrée 1L u(t) =E(p)=p


2 2k 1 τ τS(p)=H(p).E(p)= =k[ - - ]

p(1+τp) p (1+τp) (1+τp). Il s’ensuit que la réponse temporelle est

donnée part t- -τ τts(t)=k.(1-e - e )

τ.

Chapitre ❸


Réponse à une Rampe:

La transformée de Laplace de l’entrée r 21L r(t) =E(p)=p


2 2

2 2 2 2k 1 2τ 2τ τS(p)=H(p).E(p)= =k.[ - + + ]

p (1+τp) p p (1+τp) (1+τp).

Il s’ensuit que la réponse temporelle est donnée par t-τs(t)=k[t-2τ+ t-2τ e ] .

L’erreur de traînage vaut alors Tε =k.2τ .


4H(p)=(p+2)

0 2 4 6 8 100

0.5


Sortie s

0 2 4 6 8 100

0.5

1

Sys

tem

e de

Deu

xiem

me

ordr

e (m

=1)

Réponse Indicielle

Entrée uSortie s

0 2 4 6 8 100

5

10

Temps(s)


Entrée rSortie s

Fig.3.8: Réponses à une δ(t) , à un u(t) et une r(t) d’un système de 2eme ordre (m=1)

Chapitre ❸


2.2.3. Coefficient d’amortissement (m<1)


La transformée de Laplace de l’entrée Lδ(t)=E(p)=1. Sa réponse vaut alors:

20

2 20 0

kwS p =p +2mw p+w

. Il s’ensuit que la réponse temporelle est donnée par :

0-mw .t20

02

kw e s(t)= sin(w 1-m .t)1-m

.Réponse Indicielle:

La transformée de Laplace de l’entrée 1L u(t) =E(p)=p

, sa réponse vaut alors :

20 0

2 2 2 20 0 0 0

kw p+2mw1S p = =k.[ - ]p(p +2mw p+w ) p p +2mw p+w

. Il s’ensuit que la réponse temporelle est

donnée par0-mw .t

202

e s(t)=k.[1- cos(w 1-m .t-φ)]1-m

, avec 2

m φ=arctan( )1-m

La réponse indicielle est donc oscillatoire amortie, elle est caractérisée par cinq paramètres:

Le temps de montée: tm,

Le temps de réponse: tr,

Le temps de pic: tpic,

Le premier dépassement: D,

La pseudo-période: Tp.

Chapitre ❸


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

Am

plitu

de

t(s)tm

Tp

D

tpic

Fig.3.9: Dépassement, temps de pic et temps de monté

Réponse à un u(t) d’un système de 2eme ordre (m|<1)

Calcul du temps de montée:

C'est le temps qui met le système pour atteindre la valeur finale, c’est à dire s(t) atteint la valeur

k, soit encore:0 m

20 m2

mw te-k[1- cos(w 1-m .t -φ)]=k1-m

, donc 20 mcos(w 1-m .t -φ)=0 .

D’où 20 m

πw 1-m .t -φ= +2nπ ; (n )2

Z . Pour (n = 0), on obtient le temps de montée:

m 2 20

1 π mt = [ -arctan( )]2w 1-m 1-m

.

Calcul du temps de pic:

La dérivée de la réponse du système ( ds =0dt

) permet de déterminer les extremums, donc les

valeurs de temps qui correspondent à la réponse de s(t).

02 2 20

0 02

-mw tkw eds = [m.cos(w 1-m .t-φ)+ 1-m .sin(w 1-m .t-φ)]=0dt 1-m

.

Chapitre ❸


Soit encore 2 2 20 0[m.cos(w 1-m t-φ)+ 1-m .sin(w 1-m t-φ)]=0 .

Donc n 20

n πt =w 1-m

. Le temps de pic s’obtiendra pour n=1: pic 20

πt =w . 1-m

.

Calcul de dépassement:

Il suffit de remplacer le temps (t= tn) dans s(t), pour trouver les dépassements:

2

nmπ-1-m

n 2

e s(t )=k[1- cos(nπ-φ)]1-m

Les valeurs minimales de s(t) s’obtient si n est impaire: 2

nmπ-1-m

n mins(t ) =k[1-e ] .

Les valeurs maximales de s(t) s’obtient si n est paire: 2

nmπ-1-m

n maxs(t ) =k[1+e ] .

Le premier dépassement s’obtient pour (n = 1), on a obtient alors:

2

mπ-1 max 1-ms(t ) -kD%=100.( )=100.e

k.

Calcul de pseudo période:

C'est le temps qui sépare deux maximums successifs (ou deux minimums successifs):

p 20

2πT =w 1-m

Calcul de temps de réponse:

Le temps de réponse (tr) est le temps au bout duquel la sortie atteint son régime permanent à 5%,

il est décrit par les deux équations suivantes:

0-mw t2

02 2

t t- -τ1 τ2

1 2

1 2 1 2

e m[ cos(w 1-m .t-arctan( )] 5% ; 1-m 1-m

τ e τ e[ - ] 5% ; τ -τ τ -

m 1

m 1τ

Chapitre ❸


Tableau récapitulatif

Temps de montée m 2 20

1 π mt = [ -arctan( )]2w 1-m 1-m

Temps de pic pic 20

πt =w 1-m

Premier dépassement

2

mπ-1-mD%=100.e

Pseudo-période p 20

2πT =w 1-m

Temps de réponse réduit à n% ( 2m<2

1m

r 0100t w =Log( )

n

m 20

1t = [π-arccos(m)]w 1-m

On utilise l’abaque de la figure ci-dessous:

Fig.3.10:Temps de réponse réduit en fonction de facteur r 0t .w =f(m) pour (m<1 et m 1)

Chapitre ❸


Réponse d’un système de 2eme ordre à une Rampe:

La transformé de Laplace de l’entrée 21L r(t) =E(p)=p


2

20 0

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0

2m p+4m -1kw w1 2mS p = =k[ - + ]

p(p +2mw p+w ) p w p (p+mw ) +w (1-m).

Il s’ensuit que la réponse temporelle est donnée par:

02 2

020 0

-mw .t2m es(t)=k t- - cos w 1-m .t-arctan(2m 1-m )w w 1-m

L’erreur de traînage vaut alors: T0

2.k.mε =w

.


1H(p)=p +0.4p+1

0 5 10 15 20-1

0


Sortie s

0 5 10 15 200

1

2

Sys

tem

e de

Deu

xiem

me

ordr

e (m

<1)

Réponse Indicielle

Entrée uSortie s

0 5 10 15 200

10

20

Temps(s)


Entrée rSortie s

Fig.3.10: Réponses à une δ(t) , à un u(t) et une r(t) d’un système de 2eme ordre (m<1)

Chapitre ❸


2.3.Analyse harmonique d’un système de deuxième ordre

La fonction de transfert harmonique d'un système du second s’obtient, en remplaçant l’opérateur

par ( p=jw ). On a donc 20

2 220 0 0

0 0

kw kH(jw)= = w ww +2jmww +(jww ) 1-( ) +2m jw w

Le module et l'argument de H(jw) sont donnés par:

02 2 2

20

0 0

w2m( )wkH(jw) = et arg H(jw) =-arctan w1-( )w w1-( ) + 2m ww w

Caractéristiques du système de 2e ordre:

La dérivée du module (H(jw)d

=0dw

) s’annule pour les valeurs suivantes:

Une seule racine: w= 0 si 1m2

Deux racines: w=0 et 20w=w 1-2 m si 1m<

2

Pulsation et facteur de résonance:

Pour ( 1m 0.72

) on a 2R 0w =w 1-2m : appelée pulsation de résonance, elle est inférieure à

la pulsation propre non amortie. L'amplitude de résonance est donné parmax 2

kH(jw) =2m 1-m

.

Le facteur de résonance est définit par max2

H(jw) 1M= =k 2m 1-m

.

Chapitre ❸


Pulsation de coupure:

Pour un gain à -3dB, ce qui correspond à une division par 2 du gain statique naturelle.

On a donc2 2

2

0 0

k kH(jw) = =2w w1-( ) + 2m

w w

. La solution de cette équation donne la

pulsation de coupure 22 2c 0w =w . 1-2m + 2m -1 +1 .

Phase :

Le déphasage de la fonction de transfert H(jw)est donnée par:

0

2

0

w2m( )wφ=arg H(jw) =-arctan w1-( )

w

2.3.1. Diagrammes fréquentielles pour ( 2m<2

)

Diagramme de Bode:

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Chapitre ❸


Diagramme de Black-Nichols:

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

6 dB 3 dB

1 dB 0.5 dB

0.25 dB 0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

Nichols Chart


Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)

Diagramme de Nyquist:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

20 dB

-20 dB

-10 dB

-6 dB

-4 dB

-2 dB

20 dB10 dB

6 dB4 dB

2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Chapitre ❸


2.3.2. Diagrammes fréquentielles pour ( 2m>2

)

Diagramme de Bode:

-80

-60

-40

-20

0M

agni

tude

(dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Diagramme de Black-Nichols:

-180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB 3 dB

1 dB 0.5 dB

0.25 dB 0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

Nichols Chart


Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)

Chapitre ❸


Diagramme de Nyquist:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.80 dB

-20 dB

-10 dB

-6 dB -4 dB-2 dB

20 dB

10 dB

6 dB

4 dB 2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Chapitre ❹


Chapitre 4: Les Systèmes Linéaires Continus bouclés

Chapitre ❹


1. Introduction Un système (processus) industriel étant en boucle ouverte n’est pas contrôlé, pour avoir des

informations sur l’évolution de la sortie, on doit boucler la sortie à l’entrée. Dans ce cas, on parle

de la notion d’un système d’asservi.

2. Schéma fonctionnel d’un Système Linéaire Continu Asservi

Fig.4.1

E(p) et S(p) : Entrée (consigne) et sortie du processus,

(p): Erreur,

K(p) et H(p): Correcteur et fonction de transfert du processus,

Cp(p): Capteur d’informations de la chaîne de retour.

3. Fonction de transfert d’un Système Linéaire Continu en Boucle Fermée Un système asservi est constitué d’une chaîne directe représentée par une fonction A (p) et d’une

chaîne de retour représentée par une fonction B(p). La fonction de transfert en boucle fermée du

système est donné par: A(p)G(p)=1+A(p).B(p)

.

Fig.4.2

H(p)K(p)

pC (p)

E(p) S(p)_+

ε(p)

Perturbation

A(p)E(p) S(p)

_+

B(p)

Chapitre ❹


Système asservi à retour unitaire:

Fig.4.3

La fonction de transfert en (BF) de système à retour unitaire est donné par: A(p)G(p)=1+A(p)

.

Transfomation 1:

Fig.4.4

A(p)E(p) S(p)_+

B

E(p) S(p)_+ A

E(p) S(p)_+ A.B

1B

Chapitre ❹


Transfomation 2:

Fig.4.5

Transfomation 3:

Fig.4.6

Remarque: L’étude temporelle et fréquentielle des systemes, en boucle fermée se fait de la

même façon que l’etude des systemes boucles ouvetes.

B

E(p) S(p)_+ A _+ C

D

E(p) S(p)_+ A.C

1+C.D

B

E(p) S(p)_+ ABC

1+CD

E(p) S(p)_+ A

-+ C

D

B

Chapitre ❺


Chapitre 5: Stabilité des Systèmes Linéaires Continus (SLC)

Chapitre ❺


1. Conditions de stabilité

1.1. Domaine temporel

Un système est dit stable, si sa réponse Impulsionnelle est le siège d’un régime amortie.

1.2. Domaine fréquentiel

La décomposition en élément simple de la fonction de transfert est donnée par i

i i

AH(p)=p-p .

Sa réponse Impulsionnelle vaut alors i-p .tii

i i

Ay(t)=L S(p) =L H(p) =L( )=A .ep-p .

Un système linéaire continu n’est stable que si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à

partie réelle négative, donc s’ils sont situés dans le demi-plan négatif dédié à la variable

complexe (p).

2. Critère de stabilité algébrique de Routh

La fonction de transfert d’un système linéaire est donnée par N(p)H(p)=D(p)

. Les pôles de H(p) sont

les racines de l’équation caractéristique ( D(p)=0 ). Elle est fournie par un polynôme:

n n-1n n-1 1 0D(p)=a .p +a .p +.......a .p+a =0 . On dresse la table de Routh suivante:

np na n-2a n-4a k

n-1p n-1a n-3a n-5a k

n-2p A1 A2 A3 k

n-3p B1 B2 B3 k

mp M M M M

2p M1 M2 M3 k

1p N1 N2 N3 k

p C1 C2 C3 k

Chapitre ❺


On calcule les coefficients de la première colonne:

n-1 n-2 n n-31

n-1

a .a -a .aA =a

; n-1 n-4 n n-42

n-1

a .a -a .aA =a

; 1 n-5 n-1 32

1

A .a -A .AB =A

; 1 n-5 n-1 32

1

A .a -A .AB =A

1 2 1 21

1

N .M -M .NC =N

.

Le système est dit stable si, les coefficients de la première colonne, ont le même signe.

3. Critère de stabilité graphiques

3.1.Critère de Bode

Un système est stable en boucle fermée si le diagramme de Bode de la fonction de transfert en

boucle ouverte, pour une pulsation (w) correspondant un déphasage égal à ( φ=-180° ), la courbe

de gain passe en dessous du niveau ( 0db ).

3.2.Critère de Nyquist

Un système est stable en boucle fermée, si sa réponse fréquentielle en boucle ouverte,

pour w - ; + , il entoure le point critique dans le sens trigonométrique un nombre de fois

égal au nombre de pôles à partie réelle positive de la boucle ouverte.

Exercices


Exercices Exercice 1:

Soit un systéme asservi représenté par le schéma ci-dessous.

1. Simplifier le schéma blocs ci-dessus,

2. En déduire la fonction de transfert S(p)H(p)=E(p)

, en fonction de H1(p) et H2(p),

3. Soit 11H (p)=

p+1et 2

1H (p)=p

, déterminer l’expression de H(p).

Par la suite on prend 2

1H(p)=p +3p+2

.

Le systeme est successivement excité par un échelone =(t) u(t) et une rampee =t(t) .u(t) .

4. Détreminer les expresions 1S (p) et 2S (p) , pour les deux entrées,

5. En déduire leurs valeurs initiales finales,

6. Détreminer les expressions de s1(t) et s2(t), pour les deux entrées,

7. Détreminer le module et l’argument de H(jw).

(p)H1

E(p) S(p)

2H (p)

Exercices


Exercice 2:

Soit un circuit électrique régit par l’équation différentielle suivante: di 1Ri+L + idt=e(t)dt C .

On suppose que toutes les conditions intiales sont nulles, et on pose: 20

1LC=w

et R Cm=2 L

.

On prend e(t) =10.u(t).

1. Détreminer l’expression du courant I(p), en fonction de (m, R et w0),

2. Pour m =1, R =1 et w0 =1rad/s, en déduire i(0) et i(+),

3. Détreminer l’expression temporelle du courant i(t), et la réprésenter,

4. En deduire le temps et le courant maximum correspondant.

Exercice 3:

1. Trouver la transformée de Laplace des fonctions suivantes, en déduire leurs expressions

temporelles.

f(t)

T

t

E

0

E

t

g(t)

T0

0

E

t

h(t)

T 2T 1.5T

k(t)

t

T

E

0.5E

0

Exercices


Exercice 4:

Soit un processus industriel modélisé par l'équation différentielle suivante: dy2 +y=5udt

1. Etablir la fonction de transfert de ce processus.

2. Donner la réponse de ce processus (conditions initiales nulles) pour une entrée de la forme:

Exercice 5:

On considère un système industriel modélisé par l'équation différentielle suivante:

2

2

d y dy du+6 +9y=8 +8udt dt dt

.

1. Etablir la transformée de Laplace de l’équation précédente,

2. En déduire l'expression de la sortie pour entrée (impulsion de Dirac unitaire), on suppose

que toutes les conditions initiales sont nulles),

3. Retrouver les valeurs initiale et finale de y(t), en appliquant les théorèmes de la valeur

initiale et finale,

4. Etablir et tracer l’allure de y(t), en déduire sa valeur minimale.

0

E=10

T=0.1

t

u(t)

Exercices


Exercice 6:

Soit un système automatisé est modélisé par l’équation différentielle:2

2

d x dxM +h +kx=f(t)dt dt

, il

est donnée par la figure ci-dessous:

1. Déterminer la fonction de transfert: X(p)H(p)=F(p)

, en fonction des paramètres du système,

2. Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique:20

2 20 0

K.wH(p)=p +2mw .p+w

.

Avec K: gain statique, m: facteur d’amortissement et w0: pulsation propre,

3. En déduire les expressions de (K, m et w0 ) en fonction des paramètres (k, h et M),

4. Etablir l’expression de20

2 20

K.wH(p)=(p+a) +w

, pour K=1, m=0.5 et 20w =1(rad/s) et identifier les

valeurs de a et w0.

5. Etablir l’expression de x(t), pour une entrée f(t)=δ(t) , donner son régime de fonctionnement

et calculer la valeur de x(+), conclure sur la stabilité de système,

Polie

k

Solide deMasse: MLiquide

M

Exercices


Le schéma fonctionnel du système en boule fermée est donné par la figure ci dessous:

6. Etablir la transmittance du système en boule fermée:2

B B2 2

B B B

k wT(p)=p +2m w .p+w

,

7. En déduire les paramètres kB, mB et wB en fonction de (K, m et w0).

8. Etablir l’expression de x(t) en boucle fermée pour un échelon f(t)=10.u(t) , en déduire son

allure.

Exercice 7:

Soit un système asservi donné par le schéma fonctionnel suivant:

1. Déterminer l’expression T(p) en boucle fermé,

2. Etablir l’équation caractéristique du système,

3. Etudier la stabilité, en utilisant le critère de Routh,

4. Donner la condition sur pour que le système soit stable.

H(p)

F(p) X(p)

E(p) S(p)

1λ.pp1

2

1p1

Exercices


Exercice 8:

Soit le circuit électrique passif, de la figure ci-dessous. On donne R=1kΩ et C=500μF .

1. Calculer l’expression de la fonction de transfert de ce circuit,

Ce circuit peut être décrit par le schéma fonctionnel de la figure suivante:

2. Calculer alors les expressions des fonctions de transfert F1(p) et F2(p),

Le circuit précédent est excité par le signal suivant:

3. Calculer S(p),

4. En déduire s(t), calculer le temps de stabilisation à 5%.

E(p) S(p)

I(p)

1F (p) 2F (p)

e(t)

E

t

0 T

e s

i R

C

Exercices


Exercice 9:

Soit un système industriel décrit par l’équation différentielle:2

2

d s(t) ds(t)+3 +9s(t)=45e(t)dt dt

.

On note par e(t) et s(t) respectivement l’entrée et la sortie de système. Les conditions initiales

sont nulles,

1. Déterminer la fonction du transfert H(p) du système, en déduire l’ordre du système.

2. Déterminer le gain statique K, le facteur d’amortissement m et la pulsation propre du

système w0.

3. Pour le facteur d’amortissement trouvé, déterminer la nature du système (apériodique,

pseudopériodique etc..).

4. Tracer l’allure s(t) de la réponse indicielle,

5. Déterminer le pseudo période Tp, le 1er dépassement D et le temps de pic tp.

6. Tracer le diagramme de Bode.

Exercice10:

Soit un processus électrique asservi définit par le schéma fonctionnel suivant:

1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée F(p),

2. En déduire l’équation caractéristique du processus,

3. Etudier la stabilité, en utilisant le critère de Routh,

4. Etablir les conditions sur k, pour que le système soit stable.

3 2

kH(p)=2p +p +3p+1

E(p) S(p)

Eléments de solutions d’Exercices


Eléments de solutions

Exercice 1:

1. Schéma blocs simplifié

2. 1 2

1 2 1 2

H HH(p)=1+H +H +H H

.

3. Expression de fonction de transfert: 2

1 1 1H(p)= = -p +3p+2 p+1 p+2

.

4. Expressions de deux sorties: 1 2

1 1 1 1S (p)= = + -p(p +3p+2) 2p 2(p+2) (p+1)

et

2 2 2 2

1 3 1 1 1S (p)= =- + + -p (p +3p+2) 4p 2p p+1 4(p+2)

5. Valeurs initiales et finales de: 1s (0)=0 ; 11s (+ )=2

et 2s (0)=0 ; 2s (+ )=+ .

6. Expressions de: -2t -.t1

1 1s (t)=( + e -e ).u(t)2 2

et -t -2t2

3 1 1s (t)=(- + t+e - e ).u(t)4 2 4

0 5 10 15 200

0.5

1

Entrée:e1Sortie:s1

0 5 10 15 200

5

10

15

20

Temps(s)

Entrée:e2Sortie:s2

E S1 2

1 2 1 2

H HH(p)=1+H +H +H H



7. Module et argument:2 2 2

1H(jw) =(2-w ) +9w

et 23wφ=arg H(jw) =-arctang( )

2-w.

-100

-80

-60

-40

-20

0M

agni

tude

(dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s) Exercice 2:

1. Expression de courant: 02

0 0

2mw .pI(p)= E(p)R.(1+2mw .p+w )

.

2. 2

2pI(p)= E(p)(p +2p+1)

; i(0) = 0, i(+) = 0.

3. Expression de courant: 2

20I(p)=(p+1)

, d’ou -ti(t)=20te .u(t)

4. Temps et courant maximums: tmax=1s et -1max maxi =i(t )=20e =7.35A .



0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X: 1.01Y: 7.357

Temps(s)

e:Entréei:Sortie

Exercice 3:

1. Transformée de Laplace de:

-PT

2E (1-e )L f(t) =F(p)= .T p

et Ef(t)= . tu(t)-(t-T)u(t-T)T

-PT -PT

2

E (1-e ) eL g(t) =G(p)= . -E.T p p

et Eg(t)= t.u(t)-(t-T).u(t-T) -E.u(t-T)T

2-PT -PT -2PT

2 2 2E 1-e E 1 2e eL h(t) =H(p)= . = .( - + )T p T P P P

.

Eh(t)= tu(t)-2.(t-T)u(t-T)+(t-2T)u(t-2T)T

L k'(t) =K'(p)=pK(p)-pk(0) , d’ou

3PT--PT -PT -PT2E.(1-e ) E.(e -e ) E.eK'(p)= - -Tp Tp 2

.

On obtient:3PT--PT -PT2

2

E EK(p)= (1-2e +e )- eTp 2P

;

E 3 3 Ek(t)= tu(t)-2(t-T)u(t-T)+(t- T)u(t- T) - (u(t-T)T 2 2 2



Exercice 4:

1. Fonction de transfert du processus: Y(p) 5G(p)= =U(p) 1+2p

2. Réponse du processus:p-

101 2Y(p)=50.( - ).(1-e )P 1+2p

, d’où

-0.5t -0.5(t-0.1)y(t)=50. (1-e )u(t)-(1-e )u(t-0.1) .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Temps(s)

u:Entreey:Sortie

ET

E-T

E-2

T 3T2

dk(t) =k'(t)dt

t(s)0



Exercice 5:

1. Fonction de transfert du processus: 2Y(p) 8.(p+1)H(p)= =U(p) (p+3)

.

2. Réponse du procédé à une impulsion unitaire: 21 2Y(p)=H(p).U(p)=8( - )

p+3 (p+3).

3. Valeurs initiale et finale de y(t) :

2

2p p®+¥

8p+8py(0)= lim [p.Y(p)]= lim =8(p+3)

;

+ +

2

2p 0 p 0

8p+8py(+ )= lim [p.Y(p)]= lim =0(p+3)

.

4. Expression et allure de -3ty(t)=8e (1-2t).u(t) .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

X: 0.77Y: -0.4288

Temps(s)

y:Sortie

miny(t) =-0.46 , pour 1t =0.77

Exercice 6:

1. Fonction de transfert : 21H(p)=

Mp +hp+k

2. Expression de20

2 20 0

K.wH(p)=p +2mw .p+w

, avec 01 h kK= ; m= et w =k M2 M.k

.

3. Expression de20

2 20 0

K.wX(p)=p +2mw .p+w

.



4. Pour K=1, w0=1 et m=0.5, l’expression devient

22 2 2

31 1 2 2X(p)= = = .1 3p +p+1 3 1 3(p+ ) + (p+ ) +( )2 4 2 2

5. Expression temporelle det-22 3x(t)= e .sin( t)

23, pour f(t)=δ(t)

6. Réponse Impulsionnelle de x (t):

0 5 10 15-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps(s)

y:Sortie

Ce régime est appelé pseudopériodique, le système est stable car ( x(+ )=0 ).

7. Fonction de transfert en boucle fermée: 2 20 B B

2 2 2 2 20 0 0 B B B

K.w K .wT(p)= =p +2mw .p+K.w +w p +2m w .p+w

.

8. B B 0 BK 1 m 1K = = ; w =w 1+K = 2 et m = =

1+K 2 1+K 2 2, d’où la fonction de transfert en

boucle fermée: 2

1T(p)=p +p+2

.



9. Expression de x(t) en boucle fermée pour un échelon f(t)=10.u(t) , on a donc:

2

10X(p)=p(p +p+2)

, vaut alors: 1- .t2 8 7x(t)=5 1-e .cos( .t-φ) u(t)

7 2

et 1 φ=arctan( )7

.

Allure de x(t):

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Temps(s)

f:Entréex:Sortie

Exercice 7:

1. 3 2p+1H(p)=

p +(λ+1)p +(λ+1)p+2

2. Equation caractéristique: 3 2p +(λ+1)p +(λ+1)p+2=0

3. Table de Routh

3p 1 λ+1 0

2p λ+1 1 0

1p 2(λ+1) -2λ+1

0 0

0p 2 0 0



4. Conditions de stabilité

2

λ+1>0λ>-1+ 2

λ+1) -2>2

Exercice 8:

1. Fonction de transfert 1 1 1H(p)= = =1+RCp 1+τp 1+0.5p

.

2. Fonctions de transfert: 11F (p)=R

et 21F (p)=

C.p.

3. -pTEL e(t) = ep

.

4. On a-pTE.eS(p)=H(p).E(p)=

p(1+0.5p).

5. On a -2(t-T)s(t)=E(1-e ).u(t-T)

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Temps(s)

u:Entréey:Sortie

Le temps de reponse: rt =2.5s .



Exercice 9:

1. 245H(p)=

p +3p+9, c’est système d’ordre (2).

2. 20

2 20 0

k.wH(p)=p +2mw .p+w

; on trouve 01k=5; m= et w =3(rad/s)2

.

3. Le facteur d’amortissement vaut ( 1m= <12

), donc le système est pseudopériodique.

4. 2

45S(p)=H(p).E(p)=p(p +3p+9)

, d’où3- t22 3 3 3 πs(t)=[1- e .sin( t+ )]

3 2 3.

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

Temps(s)

u:Entréey:Sortie

5. pp

2T = =2.418sw

; pp

p

T 2t = = =1.209s2 w

et 2

π.m-1-mD(%)=100.e =16.3 .



6. Diagramme de Bode.

10-1

100

101

102

-60

-40

-20

0

20

G(d

B)

10-1 100 101 102-200

-150

-100

-50

0

(°)

(rad/s) Exercice 10:

1. F3 2

F

Num (p) kF(p)= =Den (p) 2p +p +3p+k+1

.

2. L’équation caractéristique est obtenue par: 3 2FD (p)=2p +p +3p+k+1=0 .

3. Table de Routh

Les conditions de stabilité sur k pour que le système soit sont fournies par:1-2k>0 10 k<k+1>0 2

.

3p 2 3 0

2p 1 k+1 0

1p 1-2.k 0 0

0p k+1 0 0



Signaux Usuels :

-10 -5 0 5 100

0.5

1(

t)Impulsion

-10 -5 0 5 100

0.5

1

u(t)

Echelon

-10 -5 0 5 100

5

10

r(t)

Rampe

Temps(s)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

P(t)

Porte

-10 -5 0 5 10-1

0

1

Sig

ne(t)

Signe

-10 -5 0 5 10-1

0

1P

gn(t)

Peigne de Dirac

Temps(s)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1

0

1

Ds(

t)

Ds(t):Signal-Dent-Scie

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1

0

1

Rec

t(t)

Rect(t):Signal-Carre

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.5

1

Tri(t

)

Temps(s)

Trit(t):Signal-Triangulaire

Bibliographie


Bibliographie

[1] P. Codron et S. Le Ballois. Automatique, systèmes linéaires et continus Dunod (1998).

[2] F. Manneville et S. Esquieu. Systèmes bouclés linéaires Dunod.

ce manuel de cours et d’exercices d’asservissement et de

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