Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente RAPPORT DE PROJET DE FIN DETUDES Filire Ingnieurs Diplms en Tlcommunications Option Ingnierie des rseaux CASA : CAlculette des paramtres des Systmes dAttente Elabor par : Jihene MHIRI Encadr par : M. Gerard HEBUTERNE M. Mounir FRIKHA Anne universitaire : 2001/2002 Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Rsum Dansceprojetdefindtudes,ralisdanslInstitutNationaldes Tlcommunications(INT),nousavonsimplmentunlogicielaccessibleauxnon spcialissquipermetdecalculerlesparamtresdunsystmedattentepouren dduiresesperformances,traversuneinterfaceentressorties.Nouslavons dveloppenVisualBasicpuisquecestlelangagedeprogrammationlemieux adapt ce genre dapplications.NousavonsconsacrunpremierchapitrelaprsentationdelINTainsi quau dpartement Rseaux et Services des Tlcommunications . Dans un deuxime chapitre, nous avons expliqu la thorie des files dattente, ainsi quune modlisation mathmatique qui la gre travers les diffrents formules et rsultats. Ce qui est utile pour lvaluation des performances comme cest expliqu dans le chapitre daprs. Dans le 4me chapitre, nous avons expos les diffrents rsultats de la thorie requis pour lanalyse des diffrentes files dattente utilises.En dernire tape, il fallait mieux que nous exposons des exemples pratiques qui expliquent le besoin dun logiciel qui calcule les paramtres des systmes dattente dans les applications de lvaluation des performances pour enfin proposer notre solution ce problme qui est CASA . Abst ract Theaimofthisproject,realizedintheINT(InternationalInstituteof Telecommunicationinevry)istodevelopasoftwarewhichsomeparametersofa queuing system to deduce its performances, through an interface.WehavemadeuseofVisualBASICasprogramminglanguagebecauseitis the more suited to this kind of application.ThefirstchapterisdevotedtothepresentationofINTaswellastheRST department "Networks and services of telecommunications".Inthesecondchapter,astudyofqueuingsystemstheoryispresented.A mathematical modeling manages it through different formulas and results. This will be used in the measurements of systems performances. After that, theory results of parameters for each type of queus are exposed. Inthethirdchapter,theimportanceofofhavingitsanalyticvaluesforthe problem of calculating performances is shown. So than, the solution for this problem is presented : the software CASA . Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Remerciements Aut er medecet r availdePFE,r alislI nst it ut Nat ionaldes Tlcommunicat ions, j e t iens r emer ciervivementmonsieurGr ar d Hebut er ne, chef dudpar t ement RSTlI NT,pour mavoir pr oposcesuj et et pour son assist ance,sesencour agement scont inuset sur t out sonopt imismeet sa gent illessesansmesur e,cequimaper mit demener t er mecet r avail.Quil t r ouve ici le t moignage de ma pr of onde etsincr e gr at it ude.J er emer cieaussimonsieur Mounir Fr ikha,Enseignant SUPCOMpouravoir accept er dt r emonencadr ant Tunis,et cemalgr sesnombr euses r esponsabilit s etoccupat ions. Unt r sgr andmer ciLiviaet Ver onica,mescollocat r iceset beaucoup daut r esper sonnesquiont f ait demon sj ouren Fr ance, une pr iode r ichissime r emplie de bonne ambiance dans le plan per sonnel. J expr imemar econnaissancet ousmescamar ades,pour leur aide j udicieuse etleursout ien t outau long de cet t e pr iode. Enf inunplusgr andmer cipour maf amillepour leur pat ience,leur amourdontj avais vr aimentbesoin etpourleursout ien pendantmon pr oj et . Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Liste des Figures FIGURE 1 : STRUCTURE DUN SYSTEME DE FILE DATTENTE ................................................. 16 FIGURE 2 :SCHEMA DUN SYSTEME DE FILES DATTENTE ...................................................... 17 FIGURE 3VARIABLES ALEATOIRES CARACTERISANTS LES SYSTEMES DATTENTE................ 19 FIGURE 4: LOI DE POISSON =1 ET =5 ................................................................................. 25 FIGURE 5 : LOI EXPONENTIELLE DE TAUX =0.5.................................................................. 26 FIGURE 6 : SYSTEME INFORMATIQUE ..................................................................................... 31 FIGURE 7 : MODELE MATHEMATIQUE DU SYSTEME INFORMATIQUE .................................... 32 FIGURE 8 : MODELE MATHEMATIQUE DUN ORDINATEUR BIPROCESSEUR ........................... 32 FIGURE 9 : FILE DATTENTE DANS UN COMMUTATEUR DE RESEAU DE COMMUNICATION.... 38 FIGURE 10 : TAUX DARRIVEE ET DE SORTIE DANS UNE FILE DATTENTE............................. 39 FIGURE 11 : SYSTEME A PLUSIEURS SERVEURS AVEC MEME TAUX DE SERVICE.................... 47 FIGURE 12 : NIVEAU DE SERVICE EN FONCTION DU COUT TOTAL DUN SYSTEME................. 52 FIGURE 13 : SIMULATION DES ARRIVEES ET SERVICE DANS UN SYSTEME DATTENTE.......... 54 FIGURE 14 : AIDE UTILISATEUR.............................................................................................. 55 FIGURE 15 : GUIDE DUTILISATION DE CASA........................................................................ 56 FIGURE 16 : PAGE DACCUEIL DE CASA................................................................................ 57 FIGURE 17 : FENETRE DE CALCUL POUR LA FILE M/M/C/K.................................................. 58 FIGURE 18 : PAGE DES EQUATIONS POUR LA FILE M/M/C/K................................................ 63 Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Liste des Tableaux TABLEAU 1 : VALEUR DU TRAFIC POUR LA LOI DERLANG........................................................ 28 TABLEAU 2 : ETAT DU SYSTEME DE T A T+DT ........................................................................... 34 TABLEAU 3 : RESULTATS PRESENTES POUR DIFFERENTS SCENARIOS DUN MEME SYSTEME....... 51 TABLEAU 4 :TEMPS DATTENTE DANS LE SYSTEME EN FONCTION DU TAUX DUTILISATION ...... 53 TABLEAU 5 : TAUX DE SERVICE ET COUT POUR LES 3 TYPES DE FILES ....................................... 53 TABLEAU 6 : RESULTATS EEN TEMPS DATTENTE GLOBAL ET GAIN........................................... 54 Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente TABLE DES MATIERES INTRODUCTION................................................................................................................................................. 9 CHP I : PRESENTATION DE LETABLISSEMENT DU STAGE............................................................... 12 1)INTRODUCTION ............................................................................................................................................. 12 2) LECOLE DE MANAGEMENT.......................................................................................................................... 12 3) INT TELECOM ............................................................................................................................................... 12 4) INT ENTREPRISE............................................................................................................................................ 13 5) INT RECHERCHE............................................................................................................................................ 13 6) DEPARTEMENTS............................................................................................................................................. 13 7)CONCLUSION................................................................................................................................................. 14 CHP II : THEORIE DES SYSTEMES DATTENTE ..................................................................................... 16 1)INTRODUCTION ............................................................................................................................................. 16 2)CARACTERISTIQUES DUN SYSTEME DE FILE DATTENTE............................................................................ 17 2-1 Notation de KENDALL.X/Y/S/K/m/R ............................................................................................................... 18 2-2 Variables alatoires caractrisant un systme de files dattente. ........................................................................... 19 2-3Critres de performances. ..................................................................................................................................... 20 3)PROCESSUS STOCHASTIQUE........................................................................................................................ 21 4)PROCESSUS DE NAISSANCE ET DE MORT........................................................................................................ 22 5)CARACTERISTIQUES DUNE FILE DATTENTE .............................................................................................. 22 5-1Quelques dfinitions utiles : ........................................................................................................................... 23 5-1-1 Trafic offert ............................................................................................................................................. 23 5-1-2 Trafic coul ........................................................................................................................................... 23 5-1-3Trafic rejet.............................................................................................................................................. 23 5-1-4 Blocage dans le temps ............................................................................................................................. 23 5-1-5 Blocage dappel....................................................................................................................................... 23 5-2Loi des arrives .................................................................................................................................................... 23 5-3Loi des services .................................................................................................................................................... 26 6) MESURES DE LA PERFORMANCE DE LA LIGNE DATTENTE............................................................................ 27 7) GESTION DATTENTE.................................................................................................................................... 27 8) DISTRIBUTION DERLANG............................................................................................................................ 27 9)CONCLUSION............................................................................................................................................... 29 CHP III : CONTRIBUTION DE CETTE THEORIE AU CALCUL DES PERFORMANCES.................. 31 1)INTRODUCTION ............................................................................................................................................. 31 2) APPLICATION A LEVALUATION DES CARACTERISTIQUES DUN SYSTEME INFORMATIQUE : TEMPS DE REPONSE DUN ORDINATEUR ............................................................................................................................................. 31 3) LES PRINCIPALES METHODES QUANTITATIVES POUR LEVALUATION DES PERFORMANCES: ........................... 32 3-1 La mesure.............................................................................................................................................................. 32 3-2 L' instrumentation.................................................................................................................................................. 33 3-3 La simulation......................................................................................................................................................... 33 4)CAS D'UNE FILE D'ATTENTE A UNE STATION.................................................................................................. 34 5)CONCLUSION................................................................................................................................................. 35 CHP IV : CASA :CALCULETTE DES PARAMETRES DES SYSTEMESDATTENTE -PARTIE THEORIQUE...................................................................................................................................................... 37 1) INTRODUCTION ............................................................................................................................................ 37 2) CARACTERISTIQUES DES FILES DATTENTE CHOISIES : ................................................................................. 38 3) LA FILE DATTENTE M/M/1.......................................................................................................................... 38 4) LA FILE DATTENTE M/M/C ......................................................................................................................... 41 5)LE MODELE M/M/INFINI.............................................................................................................................. 42 6) LA FILE DATTENTE M/M/C/K ..................................................................................................................... 43 7) LE MODELE M/D/1......................................................................................................................................... 45 Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 8)LE MODELE M/M/N/INFINI .......................................................................................................................... 46 9)FILES DATTENTE NON-MARKOVIENNES : EXEMPLE FILES M/G/1.............................................................. 46 10)CONCLUSION : ............................................................................................................................................ 48 CHP V : CASA :CALCULETTE DES PARAMETRES DES SYSTEMESDATTENTE - PARTIE PRATIQUE.......................................................................................................................................................... 50 1)INTRODUCTION ............................................................................................................................................. 50 2)EXEMPLES DUTILITES DE LA CALCULETTE................................................................................................. 50 2-1Exemple dutilisation de la calculette :................................................................................................................. 51 2-2Comparaison entre des rendements de diffrents modles de files :..................................................................... 52 3)IDEES DE PREPARATION MISES EN FAVEUR DE LUTILISATEUR: .................................................................. 54 4)GUIDE DUTILISATION DE CASA : ................................................................................................................ 55 5) EXEMPLE DUTILISATION DE LA CALCULETTE: .............................................................................................. 56 6)GUIDE PROGRAMMEUR :............................................................................................................................. 64 7)CONCLUSION................................................................................................................................................. 66 CONCLUSION.................................................................................................................................................... 67 ANNEXE.............................................................................................................................................................. 68 NOTATION......................................................................................................................................................... 71 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES .......................................................................................................... 72 SITES INTERNET.............................................................................................................................................. 73 Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente IntroductionGnrale Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Introduction L'optimisationconomiquedessystmesetrseauxinformatiquesactuels ncessitelamiseenuvreetl'exploitationd'outilsperformantspourmieux apprhenderleurcomportementetoptimiserleursperformances.Lecalculdeces performances s'appuie largement sur la thorie des files d'attente et la simulation. En effet,lesphnomnesd'attentesurviennentnaturellementdanslaplupartdes environnements rencontrs dans la vie courante et dans les systmes informatiques. Cesphnomnessontlabasedelacrationdediffrentsmodlesdefiles dattente, suivant le nombre de stations ou de serveurs, suivant le type de distribution du taux des arrives et des sorties(dterministe, gnrale, poissonnienne) Delestnlebesoindeprvoirlemodledefileadquatpourunecertaine application,letauxdarrivesoudeserviceutiliserpouravoirdesmeilleurs rsultats. Il a fallu, donc, prvoir un outil de calcul des caractristiques dun systme dattenteselon chaque type des files, sans quil y a ncessit de perdre trop de temps chercherlesformulesetthormesdispersesdanslalittratureoufairelecalcul des quations trop complexes, ou mme connatreen informatique. Dansceprojetdefindtudes,ralisdanslInstitutNationaldes Tlcommunications(Evry),etprcismentdansledpartementRseauxetservices de Tlcommunication RST de lINT Tlcom, nous allons prsenter dans un premier chapitre ltablissement du travail, ainsi que le dpartement RST. Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Dans une deuxime tape, nous allons introduire la thorie des files dattente, lexpliqueretprsenterunemodlisationmathmatiquedesloisetdesthormes utiliss dans les calculs appropris. Nous allons aussi expliquer certaines notions qui facilitent cette tude et permettent en plus de caractriser les types de files dattentes etdonclesdiffrentesconfigurationsquepeut avoir un systme. Ce qui va avoir un grandrlesurlvaluationdesesperformancescommecestmentionndansle3me chapitre. Danslesuivant,nousallonsdcrirelesdiffrentstypesdefilesdattente utilissdansleprogrammeainsiquelescalculsanalytiquessuivispourobtenirles valeurs des paramtres dun systme selon une configuration choisie.Finalement, nous allons illustrer lutilit dun logiciel de calcul des paramtres conupardesexemplespratiquesetnousexposonsnotresolution : CASA ,qui permet en gros: -Decalculerlesperformancesdunsystmedattentepourchaque modle de files (pour choisir le meilleur scnario adapt la situation), -De fournir des informations (Help) pour bien comprendre le travail, -Depermettreauxprochainsprogrammeursdtendresonusageen ajoutant nimporte quel autre modle de files. Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Chapitre I : Prsentation deltablissement du stage Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Prsentation de ltablissement du stage 1)Introduction LinstitutnationaldestlcommunicationsfaitpartieduGroupedesEcolesdes Tlcommunications, tablissement public d'enseignement suprieur et de recherche. L'INT reprsente plus de 1 000 tudiants, 160 enseignants - chercheurs, 20 groupes de recherche, plus de 15 plates-formes de recherche, partenaire de 3 coles Doctorales, 5 DEA et 3 DESS cohabilits, 66 thsards, 2 Mastres of Science, 5 Mastres Spcialiss et plus de 100 sminaires de formation continue. Ellerassemblesursoncampus,uneGrandeEcoledeManagement,INT MANAGEMENT,uneGrandeEcoled'Ingnieurs,TELECOMINT,uncentredecration d'entreprises,INTENTREPRENEURIAT,unpledeformationcontinue,INT ENTREPRISES,etuncentrederecherche,INT-RECHERCHEcomposantduGET-RECHERCHE..

2) Lcole de management Elle offre une formation complte au management associe un enseignement pouss en tlcommunications, informatique et systmes d'information. Cest un tablissement public sous la tutelle du Ministre de lconomie, des Finances et de lindustrie. Il est un membre du Groupe des Ecoles des Tlcommunications, membre du Chapitre des Ecoles de Management delaConfrencedesGrandesEcoles,etaussiMembredel'EFMD(EuropeanFoundationof Management Development).3) INT TlcomINTTlcomoffreuneformationgnralistedansledomainedestechnologiesde l'information et de la communicationCestunmembredelaConfrencedesGrandesEcolesetduGroupedesEcolesdes Tlcommunications. Il est un tablissement public sous la tutelle du Ministre de lindustrie.C Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 4) INT Entreprise INTEntreprisesestlepledeformationcontinuedel'InstitutNationaldes Tlcommunications.INTEntreprisesbnficiedel'expertisedesdeuxcolesTELECOMINTetINT MANAGEMENT et du centre de recherche de l'Institut National des Tlcommunications.Cette double comptence, ainsi que les travaux de recherche raliss par les 160 enseignants-chercheurspermanents,lesrelationstroitesetsoutenuesaveclesentreprises,permettent INTEntreprises,deproposerunventailde"solutionsformation"rpondantaucontexte spcifique dune entreprise.Quelquesoitletyped'intervention,l'engagementd'INTEntreprisess'appuiesurune dmarche de qualit de service avec :Unresponsablepdagogique,enseignantpermanentdel'INTpourchaque formationDes interlocuteurs identifis pour chaque action,Une valuation formelle de chaque session ouverte la matrise d'ouvrage,Une proposition claire et dtaille sur le contenu de la formation5) INT Recherche LactivitderecherchelINT,englobelestagedeDEA,lesthsesdedoctorat,les contratsderechercheoudeconsultanceavecdegrandesentreprises,desPME-PMIetla Communaut Europenne, des brevets dposs, 6) Dpartements L'INT compte 8 dpartements d'enseignement-recherche et 1 Unit de Projets :1-Dpartement Systmes d'Information (SI) 2-Electronique et Physique (EPH) 3-Sciences de Gestion (SGES) 4-Informatique (INF) 5-Langues et Formation Humaine (LFH) 6-Logiciels-Rseaux (LOR) 7-Communications, Images et Traitement de l'Information (CITI) 8-Rseaux et Services de Tlcommunications (RST) Crle1erJanvier1994,ledpartement"RseauxetServicesdesTlcommunications" (RST) est l'un des huit dpartements de l'Institut National des Tlcommunications. Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Sondomained'activitsrecouvretouslesaspectsdel'enseignementetdelarecherchedes tlcommunications, y compris les communications avec les mobiles, les rseaux large bande et le RNIS.LedpartementRSTentretientdenombreuxcontactsaveclemondeindustrieldes tlcommunicationsainsiqu'avecleCNETetleslaboratoireslesplusimportantsdansle domaine;descontratsderechercheavecdespartenairesindustrielsetlaCommunaut Europennecontribuentgalementaudveloppementdescomptencesdesesquipesde recherche et de dveloppement.LedpartementRSTgreuncertainnombredelaboratoiresoprennentplacelesactivits d'enseignement et de recherche( laboratoire mobile, Transmission Hertzienne et laboratoire de gestion de rseau). 7)Conclusion LInstitutnationaldestlcommunicationsdeparisestdoncformdetroisgrandes coles, qui sunissent tous pour le progrs de la recherche et de lenseignement aussi bien pour les tudiants que pour les chercheurs et enseignants.. Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Chapitre II : ModlisationMathmatique Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Thorie des systmes dattente 1)Introduction Lesfilesdattentesontdesphnomnesquelonrencontredanslaviecourante,mais galement dans les processus informatiques ou automatiss. On appellera clients les individus quiconstituentlafiledattenteetstationleguichetounserveurleurprocureunservice dtermin. Il sagit dun processus stochastique o chaque client qui arrive, au hasard, prend la dernire place de la file. La dure de service nest en gnral pas constante. Figure 1 : Structure dun systme de file dattente Lessystmesdefilesdattentemodlisentengnrallesphnomnesnaturelsrencontrs frquemmentdanslecadredeclientsdevantunservicedeconsommation,systmes doptimisation des systmes informatiques et rseaux de production. C Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Par exemple, la gestion :-des paquets ou trames informatiques tombant sur des routeurs internet ou rseaux - -des automobiles un page dautoroute. Ce chapitre explore le domaine des files dattente simples, cest dire non couples en rseau. Nous donnerons des thories et dfinitions gnrales qui permettent de traiter les files dattente rpondants des hypothses markoviennes. Au cours de ce chapitre, certaines dmonstrations serontfaitespourservirdexemplesdemthodesdecalculusuellesenthoriedesfiles dattente. 2) Caractristiques dun systme de file dattente On modlise un systme de files dattente par :-une population de clients, limite ou non -unsystmedefilesolesunits,quandellessontl,attendentleservice.La capacit daccueil de la file pouvant tre limite ou non, suivant la nature du systme. -unsystmedeservicesolesserveurssontdispossenparallles,unserveur lui-mme, pouvant tre constitu de plusieurs serveurs en srie.-une rgle de discipline afin de grer les priorits si elles existent. On appelle systme, lassociation des files et des serveurs. Ainsi peut tre dcrit par ce principe, nimporte quel rseau de service. Figure 2 :Schma dun systme de files dattente N.B.Ilpeutexisterplusieursfilesdattente(parexempleunedevantchaqueserveur)etles serveurs pouvant tre disposs dune manire quelconque (parallle, srie) Serveur 1 Serveur i Serveur n Clientle : Limite ou non Files dattente Units de service Systme = Files+serveurs Sortie Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 2-1 Notation de KENDALL.X/Y/S/K/m/ROn rsume un systme de files avec la notation suivante, appele notation de Kendall :X:loi desarrivesX : reprsentel ' int ervalle de t emps entre deux arrives conscutivesY:loi deserviceY : reprsentel ' int ervalle de t emps entre deux services conscutifsS : Nombre de serveurs en parallleK : Capacit maximale du sytme d' accueil. Nombre maximal autoris de clientsdans le systme d' attente. Si ce nombre n' est pasprcis, alors ce nombren' est paslimit.m: taille de la population de clients. Si mn' est pasprcis, alors ce nombren' est paslimit.R : Rgle de service.Dans le cas o R n' est pas prcis: Rgle FIFO (First In First Out)' Traditionnellement, la place de X et Y, on utilise les symboles suivants : G.I. : variable alatoire des dures inter arrives de la loi Gnrale Indpendante. G : variable alatoire des dures de services de la loi gnrale Hk : loi darrive ou service hyper exponentielle : ikti ii 1f (k) e avec ki ii 11 et 0 Ek :loi darrive ou service Erlang dordre k : 11( )( 1)! ( ) 00 0k ktk kt ek f t pour tpour t '< M :loidarriveouserviceExponentielleouMarkovienne.(arrivedepoissonetservice exponentiel ngatif D :loi darrive ou service dterministe, cest dire certaine (dure constantes) R peut indiquer une discipline de service :-FIFO : premier arriv, premier servi. Cest le cas par dfaut -LIFO : dernier arriv, premier servi -PS :partage de processeur. La puissance du processeur est partage entre les clients prsents (les temps de service sont multiplis par le mme facteur) -Random : les clients sont choisis au hasard -SPF : plus court temps dexcution dabord - Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 2-2 Variables alatoires caractrisant un systme de files dattente. Figure 3Variables alatoires caractrisants les systmes dattente N: nombre de clients dans le systme. NQ: nombre de clients dans la file. Y: dure de service. W : temps de sjour dans le systme. WQ: temps de sjour dans la file. N : variable alatoire tat du systme NQ : variable alatoire tat de la file L=E(N):nombre moyen de clients dans le systme. LQ =E(NQ) :nombre moyen de clients dans la file W :variablealatoire,duredattente dans le systme. WQ :variablealatoire,duredattente dans la file W=E(W) :dure moyenne de sjour dans le systme. QW =E(WQ) :dure moyenne de sjour dans la file. Serveur 1 Serveur i Serveur n Clientle : Limite ou non Files dattente Units de service WQ W Y NQ N Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Avec : 1E(X) :taux moyen darrive par unit de temps. E(X) :intervalle moyen entre 2 arrives successives. 1E(Y) :taux moyen de service (pour 1 serveur) par unit de temps. E(Y) :dure moyenne dun service. [ ]1/ 2X 2Var(X)CE(X) ' ; :coefficient de variation de la variable alatoire X, servant caractriser la nature de XF (t) . Par exemple : 2XC 0 arrives rgulires, X est constante. 2XC 1 arrives markoviennes, X est exponentielle. 2X1Ck arrives auhasard, X est du type Erlang-k 2X1Ck arrives auhasard, X est du type hyper exponentielle dordre k.. DanslasuiteonvautiliserW(respectivementWq)aulieudeW(respectivement Wq)pour allger lcriture. 2-3Critres de performances. -Intensit de trafic (mesure en Erlangs)E(Y)AE(X) -Facteurdutilisation : AS ( galementmesurenErlangs)avecSestle nombre de serveurs en parallle. Remarque :DansunintervalledetempsT,arriveenmoyenne T clients, qui consommeront T E(Y) units de temps de service. SiA 1 il faudra plus dun serveur. La demande moyenne de service par unit de temps est donne par T E(Y)/T= . En gnral, le nombre de serveurs ncessaire minimal pour faire face la demande est donn par A1S uX(t) estindpendant desX(s)s u Cest unprocessus sans mmoire, X(u) = x ne dpendpas de son comportement antrieur. 4)Processus de naissance et de mort Un tel processus est une gnralisation du phnomne de file d'attente dans le cas o et dpendent du nombre n de clients. Les arrives (ou naissances) restent poissoniennes, les services (ou morts) exponentiels et la politique de service est FIFO. S'il existe S stations, le service est proportionnel au nombre de clients tant que n est plus petit que S ; il est gal S. pour n = S. Ainsi : n = ; n = n. (si S > n) ; n = S. (si n = S) NoussommesdoncenprsencedunechanedeMarkovtempscontinu.Lafileest compltementcaractriseparlenombredeclientsprsentslinstantt.Lesdeuxprocessus quifontvoluerlenombredeclientstantmarkoviensnedpendentdaucuneautre information.Leprocessusdarrivefaitvoluerlenombredeclientsdenn+1avecune probabilit n dt pendant lintervalle [t, t+dt]. Le processus de service fait diminuer ce nombre de 1 avec une probabilit ndt pendant un intervalle de mme longueur. 5) Caractristiques dune file dattente Une file dattente est caractrise par : -la distribution du taux darrive (poisson ou autre) -la grandeur de la population de la source (limite ou illimite) -le comportement des arrives : chaque client !" rejoint la queue et attend pour tre servi !" si le systme est trop plein, refuse de joindre la ligne !" Renonce et quitte la ligne aprs y tre entr lorsque lattente est trop longue. !" Changer de file!" Se voir refuser lentre si le systme est plein. Caractristiques de la ligne dattente : -longueur de la queue(limite ou illimite) -priorit de service (FIFO ou autre) Caractristiques du service : -Nombre des canaux Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente -Nombre des phases dans le service -Distribution du temps de service (exponentiel ngatif ou autre) 5-1Quelques dfinitions utiles : 5-1-1 Trafic offert Cest le nombre moyen dappels arrivant pendant le temps moyen de service. On le note A et il est gal . Il est mesur en Erlang (E). 5-1-2 Trafic coul Cest le nombre moyen de serveurs (de circuits) occups simultanment. On le note Ae. Oninterprteletraficcoulcommelenombremoyendeclientsadmispendantladurede service. Il est aussi mesur en Erlang (E). 5-1-3Trafic rejet Cest le nombre moyen de serveurs (de circuits) quil aurait fallu pour prendre en compte tous les appels (pris et perdus). Il est not Ar et mesur en Erlang (E). 5-1-4 Blocage dans le temps On appelle ainsi la proportion de temps pendant laquelle tous les serveurs sont occups. OnlanoteBT.Danslecasdunprocessusdenaissanceetdemort,BT=P(R),P(R)tantla probabilit doccupation totale (occupation des R serveurs). 5-1-5 Blocage dappel A linverse, le blocage dappel B dsigne la proportion dappels rejets. 5-2Loi des arrives Ladescriptionduphnomnedesarrivesdesappelsestunprocessusalatoire (stochastique), not Tn : le processus darrives. T0=>date de dbut des observations. Tn=>date darrive du n-ime appel. tn=>dure sparant les instants dapparition des (n-1)-imes et n-imes appels tn = Tn -Tn-1 Danslecasgnral,tndpenddetoutlepassduprocessus.Poursimplifier,onseborne considrer le cas o les variables tn sont indpendantes, et de mme loi : on appelle processus de renouvellement un tel processus. On pose : A (t) = P { tn= Tn- Tn-1 1} Le processus de Poisson constitue un exemple important de processus darrives car il joue un rlefondamentaldansltudedesphnomnesdattenteetdetraficettlphonie,tantun processus sans mmoire. Voyonsmaintenantcommentilestpossibledeprouversimplementlutilisationdelaloide poisson pour les arrives alatoires des clients : Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Considronstoutdabordquelephnomnedarrivesdeclientsdansunefiledattenteest stationnaire. Cela signifie que lobservation que lon fait de la file dattente est indpendante de lorigine du temps. On ne tiendra donc par exemple pas compte des pics ou creux darrives des clients certains moments de la journe.Considronsgalementquelesarrivesdechaqueclientsontindpendanteslesunesdes autres.Lecasdarrivesintervallesrguliersdterminsoupargroupedeclientsestdonc exclu. Enfin,laprobabilitdarrivedunvnementpendantunintervalledetempsDtest proportionnelleDtetgale.Dt(deplus,laprobabilitquilarrivedeuxvnements pendantDtestdusecondordreparrapportlapremire),avecestletauxdarrivedes clients dans le systme. On suppose quil y ait n vnements enregistrs la date t + Dt. Ces n vnements ne peuvent provenir que des deux situations suivantes : Date t t + Dt n-1nNombre dvnements nn Donc la probabilit pn(t + Dt) de ralisation de n vnements pendant le temps t + Dt est : pn(t + Dt) = pn-1(t)..Dt + pn(t)[1- .Dt] Cetteformuleestvraiepourtoutnsaufn=0.Eneffet,danscecas,aucunvnementnat ralis au temps t + Dt et aucun vnement navait galement t ralis au temps t. On obtient alors : p0(t + D t) = p0(t) [1- .Dt] Cette dernire formule scrit galement :[p0(t + Dt)- p0(t)]/ Dt= - .p0(t) Cest--dire (quand Dt 0) : p0(t) = - .p0(t).La solution de cette quation est p0(t)=e- t Cettedernireformuleprovientducasn=0.Ducasnquelconque,ondduitlaformule suivante :pn(t) = .pn-1(t) - pn(t) Nous obtenons donc : - tnnep (t)=( t)! nCette dernire probabilit est la loi de Poisson de paramtre (il y a arrives au systme par unit de temps). Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Pour le cas dun systme stationnaire, la distribution de poisson devient :( )!XeP XXFigure 4: Loi de Poisson =1 et =5 . Nous remarquons que la probabilit est faible quand X est grand. Et, plus est faible plus la probabilit est importante pour les X faibles. Cecisexpliquepar :siletauxdarriveestfaible,alorslaprobabilitP(Xfaible)est importante : il y aX clients ou moins seulement dans le systme ce qui est tout fait normal. Autres lois : -Loi binomiale UnesuitedenvariablesalatoiresdeBernoulliXjrelativesnpreuvesidentiques indpendantes permet de former la variable alatoire

1njjY X Manifestement,Ypeutprendretoutesles valeurs entires de 0 n et prendra la valeur k si k des Xj sont gaux 1 et les autres 0. Soitp=Pr(Xj=1)Laprobabilitd'unesuiteparticulirede0etde1contenantkfois1est pk(1 - p)n-k . Ces diffrentes suites correspondent des vnements mutuellement exclusifs et laprobabilitquel'unquelconqued'entreeuxseproduise,c--dqueY=kestlasommede leursprobabilitsindividuelles.Commeilya !!(1 )kn n knCk pfaonsdechoisirlesk emplacements des 1 dans la suite des n rsultats on a finalement : P(Y = k) =(1 )k k n knC p p-Loi de Pascal : La loi binomiale rpond (au sens probabiliste) la question du nombre doccurrences d'un vnement au cours de n preuves indpendantes susceptibles de le produire. Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente LaloidePascal(encoreappele"binomialengative")rpondlaquestioninversedu nombre, soit Zk, d'preuves effectuer pour obtenir 1,2 ou k ralisations de cet vnement . (Il est entendu qu'on s'arrte ds que le nombre requis est atteint) Appelons'succs'unepreuvequiproduitlvnementcherchet'chec'unepreuvequine leproduitpas.Pourk=1larponses'obtientsimplementenobservantquesilenombre d'preuvesncessairesestnilyaeun-1 11( ) (1 )k n kk nP Z n C p p 1'checs'suivisd'un 'succs'.AinsiP(Z1=n)=(1-p)n-1p.Pourkquelconque,lersultatserans'ilyaeuk-1 'succs'parmilesn-1premirespreuvessuivisd'unkme 'succs'lanmepreuve exactement. On obtient donc :

11( ) (1 )k n k kk nP Z n C p p 5-3Loi des services De la mme faon, on se limite au cas o le temps de service peut se dcrire par une variable alatoire de loi F(x), identique pour chaque client, les temps de services des clients successifs tant choisis indpendants (variables i.i.d.). Laloilaplussimpledcrireestlaloiconstanteavecdestempsdesservicesayanttousla mme dure. On utilise aussi la loi exponentielle de tauxcaractrise par : F (x) =1 - xe Si on considre les intervalles de temps qui s'coulent entre les vnements successifs d'une loi de Poisson de taux , on constate qu'ils suivent une loi de la forme :p(q)=.exp(-.q)(olesqsontlesintervallesdetempsquisparent2vnements conscutifs). Figure 5 : Loi exponentielle de taux =0.5 La probabilit de servir les clients est dcroissante en fonction de X, puisque quand le nombre des clients est grand, la probabilit pour quils soient servis est faible. Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 6) Mesures de la performance de la ligne dattente Lesmesuresdesperformancesdessystmesdattentesontgnralementprsentsselonles grandeurs suivants: -temps moyen pass dans le systme W -temps moyen pass dans la file Wq -longueur moyenne de la file Lq (ou nombre de clients dans la file) -nombre moyen de clients prsents dans le systme L - probabilit de ne trouver aucun dans le systme, P0-taux dutilisation c , avec c nombre de serveurs. -probabilit dtat doccupation de k serveurs, Pk0): Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 0!( 0)! !Nn N NnA NN N APA A Nn N N A> + La densit de la loi dErlang est: 1( ) ( )( 1)!k ktf t k tke 1 1 1 ] o k = entier, = constante k = 1 => distribution exponentielle => f(t) =te 10( )( ) 1!n kk tnk tF t en (distribution dErlang-k). Cest la loi dErlang-k -coefficient de variation = 1/ k1/2 ; moyenne = 1/ -Moyenne de la variation :k/ Trafic dErlang Ceci va dsigner un systme capacit limite (R serveurs), fonctionnant appels perdus, et soumis un flux darrives obissant la loi de Poisson de taux . On suppose les temps de services exponentiels de taux T, ce qui permet dutiliser les modles de processus de naissance et de mort. Ltat du systme est caractris par n, le nombre de serveurs actifs. On pose Pn, la probabilit dtat du systme. rP probabilit doccupation totale. A partir de ces paramtres, on peut calculer les valeurs importantes de trafic : Tableau 1 : Valeur du trafic pour la loi dErlang Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 9)Conclusion Ainsinouspouvonsconstaterquelesphnomnesdattentenesontpasfacilesprvoir ou grer, ils sont dans la plupart des cas classs selon des catgories de files dattente.Ce qui permet de spcifier les formules mathmatiques utiliser pour calculer les paramtres de performances dessystmes tudis.Lobjectifprincipaldecechapitretaitdexpliquerlathoriedesfilesdattenteetde prsentercertainesformulesgnralespermettantsdobtenirlesrsultatsanalytiquesdes paramtresdessystmes.Decettefaon,lutilisateurnaurapaschercheretchoisirles formules quil doit en avoir besoin pour son application. Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Chapitre III : Contribution de cetteThorie au calcul des performances Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Contribution de cette thorie au calcul des performances 1)Introduction Lathoriedesfilesdattenteestunetechniqueparmidautrespourlecalculdes paramtresdessystmes.Nousallonsprsentericiunexempledutilisationdecetoutildans une application bien frquente dun systme informatique et montrer ensuite, limportance des rsultats analytiques mentionns dans lvaluation des performances des systmes. 2)Application lvaluation des caractristiques dun systme informatique : temps de rponse dun ordinateur Soit un ordinateur fonctionnant en monoprogrammation. A cet ordinateur sont connects n terminaux conformment au schma de la figure 6 .

Terminaux Figure 6 : Systme informatique Lesterminauxpeuventtreloignsgographiquementettreaussibiendecransde visualisation que des terminaux lourds. Supposonsqueletempsdetraitementdunetachesurlunitcentraledelordinateur soitexponentiellementdistribueetquesamoyennesoitde500ms.Lintervalledetemps entre2requtesprovenantdunmmeterminalestsuppossuivregalementuneloi Ordinateur C Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente exponentielledemoyennegale20s.Lemodlemathmatiquequipeuttreassocice systme est reprsent sur la figure 7. Cest une file M/M/1 de taux de service 2 par seconde et detauxdarrive 120*npuisquelasuperpositiondeflotspoissonniensindpendantsest poissonnienne.

20n 2 Terminauxn Figure 7 : Modle mathmatique du systme informatique Le temps de rponse ou le temps moyen pass par un client dans le systme sera : 1(1 ) 40nW avec Pourquelesystmepuisseeffectuertouteslestaches,ilfautque1 ! cestdirequele nombre des terminaux soit strictement infrieur 40. Prenonsunexemple.Supposonsquelenombredeterminauxnsoitgal36.Letempsde rponse W est alors de 5s. Supposonsquelordinateur,aulieudtreunmonoprocesseursoitunbiprocesseur,chaque processeurtantidentiqueceluidcritprcdemment.Lemodlemathmatiquedevient celui dcrit dans la figure 8 . Cest une file M/M/2. Dans ce cas le temps de rponse moyen, sil y a 36 terminaux, devient : W=0.28s 20n 2 Terminauxn Figure 8 : Modle mathmatique dun ordinateur biprocesseur 3) Les principales mthodes quantitatives pour lvaluation des performances: 3-1 La mesure Cestunemthodercentepourvaluerlesperformances,situlafrontiredela mesure et de la simulation et donne par l'mulation. Cette technique est base sur le concept Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente demachinevirtuelle:Unemachinevirtuelleestunenvironnementdeprogrammationquiest fonctionnellement le mme que celui de la machine cible, diffrente du systme physique sur lequel tourne l'environnement. Cette technique est, par exemple, utilise pour la conception de prototypes.Bienquelespropritsfonctionnellesdusystmeciblesoientmaintenueset conserves, les proprits temps-rel et les performances ne le sont gnralement pas. 3-2 L' instrumentation.Linstrumentationreprsenteunmoyensimpled'outillerunsystmepour mesurer ses performances et consiste en partie utiliser des sondes logicielles (microcode) ou matrielles. Les sondes matrielles sont des sondes lectriques haute impdance connectes au matriel mesurer.Ellespeuventtreutilisespourcapturerl'tatdescomposantesmatriellesdu systme(registres,mmoires,cheminsdedonnes).Lessignauxmesurspeuventtre combins afin d'tudier des tats plus complexes que ceux mesurs directement. Les moniteurs matrielsn'ontgnralementpasaccsauxinformationslogiciellesetcumulentdifficult d'intgrationetcotnonngligeable. Lessondeslogiciellessontralisesparl'intermdiaired'instructionsajoutesausystme mesur(OSouProgrammed'application)pourcollecterlesdonnesdeperformance.Elles peuvent capturer des donnes en lisant des cases mmoires ou des informations d'tat (status). Lesinstructionssupplmentairesexcuter(provenantdulogicielespion)peuventmodifier lesperformancesdusystme:Lesperformancesmesuressontalorsdiffrentesdes performancesrelles. 3-3La modlisation analytique. Diffrentesmthodesdemodlisationdesystmesinformatiquespeuventtreutilises, chacuned'ellestantmieuxadaptecertainsaspectsd'analysedesperformances. LesrseauxdePetri:Utilisspourreprsenterlecomportementlogiqued'unsystmesans faireintervenirdeconsidrationstemporelles. Leschanede MARKOV : Une chane de MARKOV, dcrit l'volution d'un systme partir de ses tats. Les spcifications suivantes rgissent le modle:-La quantit d'informations utilise pour dcrire les tats de la chane, -Le calcul des taux de transitions entre tats. Uneautrealternativedemodlisationestfournieparlesrseauxdefilesd'attente.C'estla mthodelaplusutilisepourestimerlesperformancesd'unsystmeinformatique.De nombreuxoutilspermettantlarsolutionexacteouapprocheexistent.Deplus,ilexistedes langagesspcialisspermettantladescriptionetl'tudequantitativedemodlesayantla structure gnrale de rseaux de files d' attente.3-4 La simulation Onpeutdiscernerdeuxtypesdesimulation,lasimulationpartraceetlasimulation vnement discrets:-La simulation par trace ("trace driven") C'estlasimulationd'unmodledterministequiestdirigparunesquenceouunetrace obtenuepartirdemesureseffectuessurunsystmeexistant.Lemodlepossderarement Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente unestructurederseaudefilesd'attente.Unetraceapproprie(ouscript)estobtenueen mesurant un systme.-La simulation vnement discrets ("discrete event") Cetteapprochereprsentetypiquementlasimulationd'unmodledefilesd'attentequiest dirigparunesquencedenombresalatoires(ousemi-alatoires)dontladistributionest spcifieparl'utilisateur.Cessquencesalatoiressontutilisespourobtenirlestempsde rponse,lesprobabilitsdebranchement(routage,...),etc. 4)Cas d'une file d'attente une station Danscettepartie,nousallonsconsidrerlecasd'unefileuniqueolesclientsarriventselon uneloidePoissonetsontservislastationdansuntempssuivantuneloiexponentielle. Cette partie a pour but de mettre en vidence les principaux rsultats qui interviennent dans les simulations ou les prvisions relatives aux files d'attente. La probabilit qu'il y ait n clients dans la station est : pn=( / )n.( 1 - / )= n ( ) Remarque : Cette probabilit ne dpend pas du temps car le phnomne est stationnaire. Dmonstration : Sinpersonnessontdanslesystmed'attentet+Dt,celanepeutprovenirquede4 situations:Nombre de personnes t Entres pendant Dt Sortiespendant Dt Nombre de personnes t + Dt n-110n n00n n11n n+101n Tableau 2 : Etat du systme de t t+Dt D'aprsleshypothses,laprobabilitqu'unepersonnequientrependantDtest.Dtalors que.D t est la probabilit qu'une personne sorte.On obtient donc la probabilit qu'il y ait n clients au temps t + D t: pn(t+D t) = pn-1(t)[ . D t.(1- . D t)] + pn(t)[(1- . D t).(1- . D t)] + pn(t) . D t. . D t + pn+1(t)[(1- . D t). . D t] On nglige tous les termes en Dt2 pour obtenir le rsultat : p0 = - / pn = ( / )n.( 1 - / ) Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Remarque : on dit que l'on a engorgement si : / >1. Le nombre moyen L de clients dans le systme est : L = /( - ) = /(1-) Le temps moyen Wq qu'attends un client dans la file est :Wq = / [.( - )] = /(1-) 5)Conclusion Dans ce chapitre, nous avons montr laction de la thorie des files dattente sur le plan decalculdesperformancesdessystmesdanslecadregnralpuisdanslecadredun exemple dun systme file dattente M/M/1. Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Chapitre IV: CASA la CAlculette desparamtres des Systmes dAttente (Partie thorique) Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente CASA :CAlculette des paramtres des SystmesdAttente Partie thorique 1) Introduction Onadcouvertquelamodlisation de la fiabilit des systmes complexes se formule bienentermedefilesdattentes.Cequiadonnlieuauxproblmesdoptimisationdesfiles dattentespcifiques.Ilfallaitdoncconnatrelesperformancesdunsystmepourpouvoir changerdeconfigurationssuivantleschangementsquisurgissentselonlesdemandes.Le programmeimplmentquenousavonsappelCASA(CAlculettedesparamtresdes SystmesdAttente)permetdecalculerlesperformancesdessystmesetdelesfourniren sortie grce une interface dentre - sortie, simple manipuler.Nousavonscherch,grcecelogiciel,faciliterlaccsdesrsultatssansquele concepteur ait recourt aux formules et calculs analytiques trop complexes en gnral, ou mme connatre un langage de programmation pour les faire.Ainsi, il peut prendre des dcisions appropries au cas quil traite, comme par exemple : -Ajouter ou retrancher dautres files dattente-Changer le taux de service des serveurs -Changer de discipline de service (utiliser des priorits par exemple) De cette faon, il peut trouver un compromis entre cot des ressources et cot dattente (ne pas perdre de clients). Par exemple, si nous voulons modliser un commutateur de rseau de communication dont les fonctions principales sont le routage et l'acheminement des paquets qu'il reoit, nous pouvons calculergrceCASAlenombredepaquetsacheminsetledbitutilis : C Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Figure 9 : File dattente dans un commutateur de rseau de communication Pourdcrireunsystmedattente,ilsuffitdeconnatrelesvaleursdesesdiffrents paramtres. Ceci est visualis par diffrents thormes. Le problme qui nous est apparu, cest quepeudedocumentsetderevuesprsententcessolutionsanalytiques.Ellessonttrop disperses dans la littrature et il fallait les trouver et grouper pour sen servir.2) Caractristiques des files dattente choisies : -les clients qui arrivent les premiers sont servis les premiers(discipline de service FIFO) -les arrives sont indpendantes des prcdentes -les arrives suivent la distribution de poisson -le temps deservice varie dun client un autre et ils sont indpendants, le temps moyen est connu -les temps de service sont dcris par la distribution exponentielle ngative -le taux de service est suprieur au taux darrive . -Le processus est sans mmoire, ltat du systme ne dpend pas des tats antrieurs. Pourquoi choisir les files Markoviennes ? LeprocessusMarkovienestunprocessussansmmoire,etdoncltatdusystmeun instanttnedpendpasdeceuxtpasdattentedanslafile. Lquation qui le dcrit est :

11, 2,...n nP n P n et donc 011, 2,...!nnP P nn En utilisant 01nnP on obtient Ecole suprieure des communications de Tunis

Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 1011!nP en 1 + 1 ] et finalement 0,1,...!nneP nn Dans ce cas spcifique, le nombre de clients est distribu selon une loi de poisson de paramtre , le nombre moyen dans le systme estL= ou nombre de serveurs occups Et grce la formule de Little le temps moyen pass dans le systme sera W=1. Lq=0 Wq=0. 6) La file dattente M/M/c/K Cest un systme capacit finie avec c serveurs ayants des temps de service exponentiels iid. ( 0,1,... 1)0 ( , 1, 2,...)nn Kn K K K' + + ( 0,1,..., )( 1, 2,...)1nn n cc n c cc' + + < La capacit K doit tre suprieure ou gale au nombre de serveurs c (c0.7 0.8 0.9 0) And (m > 0) And (c > 0) And (lam