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Cas discretCas continu

Tomographie

Etienne Baudrier

Seminaire ISNUniversite de Strasbourg

11 fevrier 2015

UdS, ISN, 2015 1/61


ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections

Plan

1 Cas discretExempleTheorie HVm ≥ 2 projections

2 Cas continuGeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe

UdS, ISN, 2015 Cas discret 2/61



Introduction

Etude de la forme des cristaux d’argent

Question

2012 : A quoi ressemble-t-il a l’echelle atomique (10−10m)




Microscope et echelle




Images des cristaux acquises par microscopie electronique




Localisation des atomes




Que voit-on ?

Le microscope compte les atomes d’argent




Recherche ...




Solution




Solution 2

rem : pas unicite




Reconstruction en 3 dimensions

Votre methode est la base de la methode (plus complexe) dereconstruction !




Plan






Applications

microscopie electronique,

imagerie medicale,

compression de donnees,

physique statistique,

planification




Notations

A = (ai ,j) matrice binaire de taille (m, n)

hi =∑n

j=1 ai ,j : projection horizontale de la ligne i

H = (h1, . . . , hm projection horizontale de la matrice A

vi =∑m

i=1 ai ,j : projection verticale de la colonne j

V = (v1, . . . , vn projection verticale de la matrice A




Exemple

A =

3 1 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 0 1 1 1

HV

1 4 1 1 5




Existence

Existence

Donnees : H = (h1, . . . , hm) ∈ Nm,V = (v1, . . . , vn) ∈ Nn

Question : existe-t-il une matrice binaire se projetant en H et V ?

Reconstruction

Donnees : H = (h1, . . . , hm) ∈ Nm,V = (v1, . . . , vn) ∈ Nn Sortie :une matrice binaire si elle existe, se projetant en H et V .

Unicite

Donnees : H = (h1, . . . , hm) ∈ Nm,V = (v1, . . . , vn) ∈ Nn

Question : s’il existe une matrice binaire se projetant en H et V ,est-elle unique ?




Condition necessaire

Premiere condition necessaire : compatibilite∑ni=1

∑mj=1 ai ,j =

∑ni=1 vi =

∑mj=1 hj

exemple

V = (0, 2)→ 2

H = (1, 1)?H = (2, 0)?H = (0, 2)?

Definition (Matrice maximale)

Une matrice M est dite maximale si ses lignes sont composees degauche a droite de 1 puis de 0.

Une matrice maximale est uniquement determinee par la somme deses lignes.Soit A la matrice maximale associee a H.Soit V la permutation croissante de V




Exemple

A=

3 1 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 0 1 1 1

HV

1 4 1 1 5

V 5 4 1 1 1

, A =

3 1 1 1 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0

HV

5 5 2 0 0




Theoreme

Theorem (Ryser, 1957)

Il existe une solution pour la paire compatible (H,V) si etseulement si

n∑i=1

vi =m∑j=1

hj(compatibilite) etn∑

i=k

vi ≥n∑

i=k

vi (1)

avec k = 2, . . . , n.




Exemple

A=

3 1 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 0 1 1 1

HV

1 4 1 1 5

V 5 4 1 1 1

, A =

3 1 1 1 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0

HV

5 5 2 0 0

∑ni=k vi - 7 3 2 1∑ni=k vi - 7 2 0 0

, σ =1 2 3 4 5

5 2 3 4 1




Algo

Algorithm 1 Algorithme de Ryser

Entree : une paire (H,V ) satisfaisant (1)Construire V a partir de V par une permutation σinitialisation : matrice T = A et k = nwhile (k > 1) do

while (vk >∑m

i=1 ti ,k) doSoit j0 = max{j < k|ti ,j = 1, ti ,j+1 = . . . = ti ,k = 0}.Soit le rang i0 la ou j0 a ete trouveDefinir ti0,j0 = 0 et ti0,k = 1 (deplacer le 1 vers la droite)k = k − 1

end whileend whileappliquer la permutation inverse σ−1 a M : A = σ−1(M)return A




Algo



while (vk >∑m






Algo

T =

3 1 1 1 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0

H

V5 4 1 1 1

(vk = 1 >∑m

i=1 ti ,k = 0)




Algo



while (vk >∑m






Algo

j0 = 3, i0 = 1

T =

3 1 1 1 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0

H

V5 4 1 1 1




Algo



while (vk >∑m






Algo

T =

3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0

H

V5 4 1 1 1




Algo

k = 4

T =

3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0

H

V5 4 1 1 1




Algo

k = 4

T =

3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0

H

V5 4 1 1 1




Algo

k = 3

T =

3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0

H

V5 4 1 1 1




Algo

k = 3

T =

3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0

H

V5 4 1 1 1




Algo

T =

3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0

H

V5 4 1 1 1




Algo

T =

3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0

H

V5 4 1 1 1

3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0

H

V5 4 1 1 1




Algo



while (vk >∑m






Algo

T =

3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0

H

V5 4 1 1 1

σ =1 2 3 4 5

3 2 4 5 1, σ−1 =

1 2 3 4 5

5 2 3 4 1




Algo

T =

3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0

H

V5 4 1 1 1

σ−1 =1 2 3 4 5

5 2 3 4 1




Algo

A =

3 1 0 1 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 1 0 1 1

HV

1 4 1 1 5

σ−1 =1 2 3 4 5

5 2 3 4 1




Unicite ?

Definition (Bascule)

Une bascule est un ensemble de quatre cellules(i , j), (i , j + k), (i + h, j) et (i + h, j + k) tel que (i , j) et(i + h, j + k) sont de valeurs 1 et (i + h, j) et (i , j + k) sont devaleurs 0 ou inversement. Une operation elementaire consiste aechanger les 1 et 0.

Les projections orthogonales d’une matrice binaire restentinchangees apres les operations elementaires.




Algo

A =

3 1 0 1 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 1 0 1 1

HV

1 4 1 1 5




Algo

A =

3 1 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 0 1 1 1

HV

1 4 1 1 5




Unicite

Theorem (Ryser)

Si A et B sont deux reconstructions differentes de (H,V ), alors Ase transforme en B a l’aide d’une suite finie d’operationselementaires.

Proposition (Wang et Chang, 1998)

Pour H = V = (1, 1, . . . , 1) il existe (n!) solutions equivalentestelles qu’il est possible de passer d’une solution a une autre par unesuite finie d’operations elementaires .




Unicite du perimetre ?

Exercice




Unicite du perimetre ?




Unicite HV

Conditions pour reconstruction unique

Il y a unicite de la reconstruction si et seulement s’il n’y a pas debascule possible




Plan






Unicite ?

Proposition

Pour un ensemble de m directions, il est toujours possible dereconstruire 2 ensembles distincts ayant les memes projectionsselon les m directions choisies.

Exercice...




Unicite ?

Restriction a un ensemble de m points (Renyi, 1952)

Un ensemble de m points dans Z2 ou Z3 peut etre distingue den’importe quel autre ensemble par (m + 1) projections dans desdirections mutuellement non paralleles.




Cas multiple

Restriction sur les ensembles : convexite

Definition (Convexite discrete)

Un ensemble discret est dit totalement convexe s’il est egal audiscretise de son enveloppe convexe.

Combien de projections pour reconstruire un ensemble tt-convexe ?




Angles particuliers

Proposition (Gardner 1997)

Il y a unicite pour quatre directions de Zn dont les pentes(ordonnees) ont un quotient differents de 4/3, 3/2, 2, 3 ou 4

Mais pas pour 3 directions




Angles quelconques

Theorem (Gardner 1997)

Soit un ensemble de sept directions (de Z2) mutuellement nonparalleles, alors n’importe quel ensemble convexe de Z2 peut etredistingue d’un autre par ses projections selon ces directions.

rem resultat similaire en continu.

Travaux dans l’equipe : extension de la notion de convexite(convexite par quadrant)



GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe

Plan



UdS, ISN, 2015 Cas continu 44/61



Applications

Imagerie medicale (IRM, radiographie X, echographie,..)

Geophysique

Astrophysique

Biologie moleculaire

technique sans contact (non destructive)




Principe de la tomographie

1 Projections sous differents angles

2 Sinogramme

3 Reconstruction




Modelisation

La transformee de Radon (1917)

modelisation mathematiques de la tomographie

R[f ](θ, s) = pθ(u) =∫R f (u cos θ − v sin θ, u sin θ + v cos θ)dv

probleme inverse :

methodes analytiquesmethodes algebriquesmethodes heuristiques




Plan






Retroprojection

Idee

Attribuer pθ(u) a tout point place sur le rayon de projection, puissommer ces contributions




Retroprojection

Operateur de retroprojection

B[p](x , y) =∫ π

0 pθ(x cos θ + y sin θ)dθ

Relation

B[p](x , y) = (f ? h)(x , y) avec h(x , y) = 1√x2+y2

Inversion

f = TFI [TF (B[p]) · ρ] avec ρ(X ,Y ) =√

X 2 + Y 2




Algebrique

Recherche des solution dans une espace de dimension finie, commecombinaison lineaire de fonctions de base ϕi

f (x , y) =n∑

i=1

fiϕi (x , y).

Exemple ϕi indicatrice du pixel i (ordre arbitraire).




Algebrique

Une projection :

pj =n∑

i=1

Rji fi

avec

Rji =

∫ϕi (ul cos θk − v sin θk , ul sin θk + v cos θk)dv

pj : valeur de la projection d’angle θk au point ul .

Expression matricielle de la projection

P = Rf

Taille P : M × NPf N × N




les methodes algebriques

ART et SIRT : algorithmes iteratifs pour resoudre ce systeme




Plan






Principe

Specimens de la molecules isoles dans une fine couche de glace

Grossissement au microscope electronique

1 seule prise a cause des radiations

→ orientations inconnues




Donnees

Images de microscopie electroniquede � particules isolees �

tres bruitees

angles de projection inconnus

une conformation :10 000-100 000

plusieurs : 1 000 000




Modele

Transformee en rayon X

TR(f , θ) =∫ 1−1 Rθ(f )(x , y)dy

1 rotation de l’objet

2 integration verticale

Probleme

Reconstruire l’objet f a partir des projections(TR(f , θ1), . . . ,TR(f , θn))

angles connus : methodes classiques

angles inconnus : plus dur !




Methode

Observation

L’estimation des orientations influence la reconstruction de l’objetet reciproquement

Principe

Reconstruction conjointe des orientations et de l’objet (3D+t)

Methode

Definition d’une fonction de cout et optimisation heuristique




Methode

Donnees :

images (projections) du microscope

objet courant aleatoire

angles courants aleatoires




Modification elementaire

Sur les angles

Permutation aleatoire de deux angles,

Sur le sinogramme donne, permutation de deux lignes.




Modification elementaire

Objet

choix aleaoire d’un pixel,choix aleatoire d’un nouveau niveau de gris

Sur le sinogramme courant, changement d’une valeur dans chaqueligne.




Illustration

Originale notre methode Logiciel (SIMPLE)


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