CPGE Lissane Eddine - Laayoune Essaidi Ali mathlaayoune@gmail.com

Caractérisations topologiques de la dimension finie

Définitions et notationsDans tout le problème K = R ou C et E,F deux K-espaces vectoriels normés.On rappelle que :

— Dans K[X] : ∀P =n∑

k=0

akXk ∈ K[X], ‖P‖∞ = sup

0≤k≤n|ak| et ‖P‖1 =

n∑k=0

|ak|.

— C ([a, b]) (resp. C 1([a, b])) désigne l’espace des fonctions continues (resp. de classe C 1) sur [a, b] à valeurs dans R.

— Dans C ([a, b]) ou C 1([a, b]) : ∀f ∈ C ([a, b]), ‖f‖∞ = sup[a,b]

|f | et ‖f‖1 =

∫ b

a

|f |.

On admet que tout sous-espace vectoriel de E admet un supplémentaire dans E.Le but de ce problème est de chercher quelques propriétés topologiques qui caractérisent les espaces vectoriels normés dedimensions finies.

Première partieCaractérisation par la continuité des applications linéaires

1: Soit a ∈ K tel que |a| < 1. Montrer que l’application f(P ) = P (a) est continue sur K[X] muni de la norme ‖‖1.2: On considère C ([0, 1]) muni de la norme ‖‖1.2 - 1: Montrer que ∀f ∈ C ([0, 1]), t 7→ f(t)√

test intégrable sur ]0, 1].

2 - 2: En considérant la suite de fonctions (fn)n≥1 définie par ∀n ∈ N∗,∀x ∈ [0, 1], fn(x) =

®1− nx si x ∈

[0, 1

n

]0 si x ∈

[1n , 1] , montrer

que l’aplication ϕ(f) =∫ 1

0

f(t)√tdt n’est pas continue sur C ([0, 1]).

3: On suppose que E est de dimension infinie. Construire sur E une forme linéaire non continue.4: En déduire que E est de dimension finie si, et seulement si, toutes les formes linéaires sur E sont continues.5: On suppose que F est non nul. Montrer que E est de dimension finie si, et seulement si, ∀f ∈ L (E,F ), f est continue surE.

Deuxième partieCaractérisation par l’équivalence des normes

1: Soit les application N1 et N2 sur C 1([0, 1]) définies par N1(f) = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞ et N2(f) = |f(0)|+ ‖f ′‖∞.1 - 1: Montrer que N1 et N2 sont deux normes C 1([0, 1]).1 - 2: Montrer que les normes N1 et N2 sont équivalentes.1 - 3: En considérant la suite de fonctions (fn) définie par ∀n ∈ N,∀x ∈ [0, 1], fn(x) = xn, montrer que les normes N1 et‖‖∞ ne sont pas équivalentes.2: Soit f une forme linéaire sur E. Montrer que N : x 7→ |f(x)|+ ‖x‖ est une norme sur E.3: En déduire que si toutes les normes sont équivalentes sur E alors E est de dimension finie.4: Conclure que E est de dimension finie si, et seulement si, toutes les normes sur E sont équivalentes.

Troisième partieCaractérisation par la fermeture des sous-espaces vectoriels

1:1 - 1: Montrer que F = {f ∈ C ([0, 1])/f(1) = 0} est un sous-espace vectoriel de C ([0, 1]).1 - 2: Montrer que F est fermé dans C ([0, 1]) muni de la norme ‖‖∞.1 - 3: En considérant la suite de fonction (fn)n≥1 définie par ∀n ∈ N∗,∀x ∈ [0, 1], fn(x) = 1 − xn, montrer que F n’est pasfermé dans C ([0, 1]) muni de la norme ‖‖1.

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2: On suppose que E est de dimension infinie.2 - 1: Justifier l’existence d’une forme linéaire non continue f sur E.2 - 2: Justifier l’existence d’une suite (xn) ∈ EN telle que ∀n ∈ N, ‖xn‖ ≤ 1, f(xn) 6= 0 et |f(xn)| → +∞.2 - 3: Montrer que ∃a ∈ E tel que f(a) = 1.2 - 4: En considérant la suite (yn) ∈ EN définie par ∀n ∈ N, yn = xn

f(xn)− a. Montrer que ker f n’est pas fermé.

3: Conclure que E est de dimension finie si, et seulement si, tout sous-espace vectoriel de E est fermé.

Quatrième partieCaractérisation par la compacité de la boule unité fermée

1: En considérant la suite (Pn) définie par ∀n ∈ N, Pn = Xn, montrer que la boule unité fermée (K[X], ‖‖∞) n’est pascompacte.2: Soit l’espace C ([−1, 1]) muni de la norme ‖‖∞.

2 - 1: Montrer que l’application u(f) =∫ 0

−1f −

∫ 1

0

f est continue sur C ([−1, 1]).

2 - 2: En considérant la suite de fonctions (fn)n≥1 définie par ∀n ≥ 1,∀x ∈ [−1, 1], fn(x) =

−1 si x ∈

[−1,− 1

n

]nx si x ∈

[− 1

n ,1n

]1 si x ∈

[1n , 1] ,

montrer que sup‖f‖∞≤1

|u(f)| = 2.

2 - 3: Montrer qu’il n’existe pas de fonction f ∈ C ([−1, 1]) telle que ‖f‖∞ ≤ 1 et |u(f)| = 2.2 - 4: En déduire que la boule unité fermée de C ([−1, 1]) n’est pas compacte.3: Soit F un sous-espace de E de dimension finie distinct de E et a ∈ E \ F .3 - 1: Montrer que ∃b ∈ F tel que d(a, F ) = ‖a− b‖.3 - 2: Montrer que ∃x ∈ B(0, 1),d(x, F ) = 1 (Prendre x = a−b

‖a−b‖ et vérifier que d(x, F ) ≤ 1 et d(x, F ) ≥ 1).

4: On suppose que E est de dimension infinie. Montrer que ∃(xn) ∈ B(0, 1)N,∀m,n ∈ N,m 6= n⇒ ‖xn − xm‖ ≥ 1.

5: En déduire que E est de dimension finie si et seulement si B(0, 1) est compacte (Théorème de Riez).6: Application : Montrer que E est de dimension finie si, et seulement si, E contient un compact d’intérieur non vide.

Cinquième partieCaractérisation par les espaces de Banach

1: Montrer que l’espace C ([0, 1]) muni de la norme ‖‖∞ est un espace de Banach.

2: En considérant la suite (Pn)n≥1 définie par ∀n ≥ 1, Pn =n∑

k=0

Xk

k!, montrer que (K[X], ‖‖1) n’est pas un espace de Banach.

3: Soit F,G deux sous-espaces vectoriels de E tels que E = F ⊕ G, NF une norme sur F et NG une norme sur G. Montrerque l’application définie par ∀(x, y) ∈ F ×G,N(x+ y) = NF (x) +NG(y) est une norme sur E.4: On suppose que E est de dimension infinie. En s’inspirant des deux questions précédentes construire une norme sur E pourlaquelle E n’est pas Banach.5: En déduire que E est de dimension finie si, et seulement si, E est un espace de Banach pour toute norme sur E.

Sixième partieCaractérisation par la non connexité par arcs des complémentaires des hyperplans

Dans cette partie, on suppose que K = R.1: Montrer que si E est de dimension finie alors le complémentaire de tout hyperplan de E n’est pas connexe par arcs.2: On suppose que E est de dimension infinie. Soit f une forme linéaire non nulle sur E, H = ker f et (xn) ∈ EN une suitetelle que ∀n ∈ N, ‖xn‖ ≤ 1, f(xn) 6= 0 et |f(xn)| → +∞ (l’existence est justifiée dans les questions III-2-1 et III-2-2).2 - 1: Soit x ∈ E. En considérant la suite (yn) définie par ∀n ∈ N, yn = x− f(x)

f(xn)xn, montrer que H est dense dans E.

2 - 2: Soit a, b ∈ E \H . Justifier l’existence d’une suite (hn) ∈ HN telle que h0 = 0 et hn → a− b.2 - 3: Montrer que l’application γ : [0, 1] → E définie par γ(0) = a et ∀n ∈ N,∀t ∈

î1

n+2 ,1

n+1

ó, γ(t) = (n + 1)(n +

2)îÄt− 1

n+2

ähn +

Ä1

n+1 − tähn+1

ó+ b est bien définie sur [0, 1].

2 - 4: Montrer que γ est continue sur ]0, 1].2 - 5: Vérifier que ∀n ∈ N,∀t ∈

î1

n+2 ,1

n+1

ó, γ(t)−a = (n+1)(n+2)

îÄt− 1

n+2

ä(hn − a+ b) +

Ä1

n+1 − tä(hn+1 − a+ b)

ó.

En déduire que γ est continue en 0.2 - 6: Montrer que γ est un chemin de a à b dans E \H .3: Déduire que E est de dimension finie si, et seulement si, le complémentaire de tout hyperplan de E n’est pas connexe pararcs.

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