MotivationsCalcul constructif de sorties plates pour les systèmes non-linéaires

Exemple numériqueConclusion

Caractérisation Formelle de SortiesPlates sur un Algèbre de Ore

V. Morio, F. Cazaurang and A. Zolghadriprésenté par D. Henry

Laboratoire de l’Intégration du Matériau au SystèmeUniversité de Bordeaux

351, cours de la Libération, 33400, Talence, France

vincent.morio@ims-bordeaux.frhttp://extranet.ims-bordeaux.fr/aria

5ème Conférence Internationale Francophone d’Automatique3-5 Septembre 2008, Bucarest, Roumanie

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MotivationsCalcul constructif de sorties plates pour les systèmes non-linéaires

Exemple numériqueConclusion

Sommaire

1 MotivationsContexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

2 Calcul constructif de sorties plates pour les systèmesnon-linéaires

Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

3 Exemple numérique

4 Conclusion

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MotivationsCalcul constructif de sorties plates pour les systèmes non-linéaires

Exemple numériqueConclusion

Contexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

Sommaire

1 MotivationsContexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

2 Calcul constructif de sorties plates pour les systèmesnon-linéaires

Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

3 Exemple numérique

4 Conclusion

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Contexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

Contexte Historique

Depuis le début des années 80, une grande attention a étéportée sur la détermination d’outils non-linéaires génériques,formels, efficaces et pratiques à des fins industrielles.Objectif: Extension des techniques de commande maturesdéveloppées dans un cadre linéaire.De manière générale, les systèmes non-linéaires peuvent êtrerangés en deux classes:

“Vrai” systèmes non-linéaires: Outils spécifiques, Commandeprédictive, Commande H∞ non-linéaire, ...“Pseudo” systèmes non-linéaires: Equivalent à des systèmestriviaux, Techniques de linéarisation entrées-états, platitude, ...

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Contexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

Contexte Historique

Le concept de platitude différentielle a été introduit en 1991 parFliess, Lévine, Martin et RouchonDepuis, cette théorie a été appliquée à un certain nombre deproblèmes:

- Commande robuste: H∞, LPV, ...- Planification de trajectoires- Plus récemment, diagnostic de pannes et estimation de

paramètres.Avantages:

- Planification de trajectoires en boucle ouverte, sans résolutiond’équations algébro-différentielles.

- L’équivalence avec les systèmes linéaires triviaux permetl’utilisation de techniques linéaires de poursuite robuste detrajectoires

- Pas de dynamiques non-linéaires non-observables (qui peuventêtre potentiellement instables).

Commande par platitude = Planification de trajectoires +Poursuite de trajectoires

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Contexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

Sommaire

1 MotivationsContexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

2 Calcul constructif de sorties plates pour les systèmesnon-linéaires

Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

3 Exemple numérique

4 Conclusion

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Platitude différentielle

Définition

Le système non-linéaire ˙x(t) = f (x(t),u(t)), avecx(t) = (x1(t), . . . ,xn(t)): états et u(t) = (u1(t), . . . ,um(t)): commandes,m ≤ n, est (différentiellement) plat si et seulement si il existe unensemble de variables z(t) = (z1(t), . . . ,zm(t)) tel que:

z(t) et ses dérivées ˙z(t), ¨z(t),. . . , sont indépendantes,

z(t) = Φ

(x(t),u(t), u(t), . . . ,u(α)(t)

)(sortie linéarisante),

Inversement, les expressions de x et u sont données par: x(t) = Ψx

(z(t), z(t), . . . ,z(β−1)(t)

)u(t) = Ψu

(z(t), z(t), . . . ,z(β )(t)

)Les éléments du vecteur z sont appelés sorties plates. Ainsi, lestrajectoires du système non linéaire sont équivalentes à celles dusystème trivial z(β ) = v

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Contexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

Sommaire

1 MotivationsContexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

2 Calcul constructif de sorties plates pour les systèmesnon-linéaires

Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

3 Exemple numérique

4 Conclusion

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Contexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

Conditions nécessaires et suffisantes de platitude

La formulation générale des conditions nécessaires et sufisantesde platitude est désormais bien établie non seulement pour lessystèmes linéaires multidimensionnels, mais également pour lessystèmes non-linéaires:Malheureusement, la plupart des algorithmes formels proposéssont difficiles à implémenter dans des outils de calcul formel.

Question (ouverte)

Comment choisir un ensemble de sorties plates s’écrivant demanière simple:

bien adaptées aux mesures des capteurset/où pourvues d’un sens physique

Besoin de lignes de conduite plus systématiques pour la classe dessystèmes non-linéaires ayant le potentiel d’être plats

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Sommaire

1 MotivationsContexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

2 Calcul constructif de sorties plates pour les systèmesnon-linéaires

Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

3 Exemple numérique

4 Conclusion

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Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

Théorie des modules

Caractéristiques principales

Développement d’algorithmes effectifs afin de vérifier la propriétéde platitudePermet d’associer les propriétés géométriques d’une variétédifférentielle aux propriétés fonctionelles d’un systèmeCadre d’étude unifié pour traiter différentes classes de systèmeslinéaires multidimensionnels (systèmes continus, discrets, àretards, ...).Cadre mathématique moins conventionnel

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Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

Sommaire

1 MotivationsContexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

2 Calcul constructif de sorties plates pour les systèmesnon-linéaires

Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

3 Exemple numérique

4 Conclusion

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Formulation du problème

Définition

Soit Sz(γ) le sous-ensemble de sorties plates dépendant d’unnombre fini de dérivées de l’état tel que (forme implicite):

Sz(γ) ={

z ∈ Sz |z = Φimpl

(x(t), x(t), . . . ,x (γ)(t)

)}Alors, l’ensemble Sz,r des sorties plates d’ordre réduit est défini par:

Sz,r = minγ (Sz(γ))

ProblèmeL’obtention de Sz,r est équivalent à la détermination d’algorithmesconstructifs permettant de calculer:

1 Une base d’ordre réduit ω du D-module libre à gauche L .2 Un facteur intégrant M de la base ω satisfaisant d(M.ω) = 0

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Sommaire

1 MotivationsContexte HistoriquePlatitude différentielleConditions nécessaires et suffisantes de platitude

2 Calcul constructif de sorties plates pour les systèmesnon-linéaires

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3 Exemple numérique

4 Conclusion

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Méthodologie proposée

Modélisation

Modèle linéaire implicite ΣL Modèle NL implicite ΣNL

Calcul du modèle variationnel

(linéaire) P(ΣNL)

Calcul d’une base ω du D-module Calcul d’une base ω du D-module

libre à gauche LL libre à gauche LNL

Calcul d’un facteur intégrant M

satisfaisant d(Mω) = 0

Intégration de dy = M.ω

=> Sorties plates

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Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

ETAPE 1: D-module variationnel à gauche

Considérons le système non-linéaire x = f (x ,u) avec x ∈ X ,dim X = n, u ∈ Rm, f un champ de vecteurs lisse sur la variété Xsatisfaisant rang

(∂ f∂u

)= m, et le modèle implicite

sous-déterminé équivalent F (x , x) = 0 avec x ∈ X ,rang

(∂ f∂ x

)= n−m (invariant par bouclage dynamique

endogène).En utilisant le formalisme des algèbres de Ore, le modèlevariationel P(F ) associé à F est défini par:

P(F ) =∂F∂x

+∂F∂ x

Z

Il est alors possible de définir le D-module variationnel Lassocié à P(F ) sur l’anneau D = M [Z ;σ ,δ ] tel que:

L = D1×n/(D1×(n−m)P(F ))Retour

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Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

ETAPE 2: base d’ordre réduit d’un D-module libre

Théorème [?]

Soit M(Z ) ∈ Dm,s une base ordonnée d’ordre ~ω et de degré ~µ, etλ ∈ {1, . . . ,s} l’ensemble des indices de colonnes de M(Z ).

1 Si r1 = . . . = rm = 0, alors M(Z ) = M(Z ) est une base ordonnéede degré ~ν =~µ et d’ordre ~ω.

2 Autrement, soit π un indice tel que rπ 6= 0. Alors une baseordonnée M(Z ) de degré ~ν =~µ +~eλ , d’ordre ~ω, et dont lescoefficients sont définis sur M , peut être obtenue grâce auxformules suivantes:

M(Z )l ,k = M(Z )l ,k − rl

rπ

·M(Z )π,k , {l ,k}= {1, . . . ,m}, l 6= π

M(Z )π,k =(

Z − δ (rπ)rπ

)·M(Z )π,k − ∑

l 6=π

σ(pl)rπ

· M(Z )l ,k

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Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

ETAPE 2: base d’ordre réduit d’un D-module libre

Théorème

Soit L = D1×(n−m)/(D1×nP(F )∗) le D-module adjoint à gauche de L ,où P(F )∗ représente l’adjoint formel de P(F ) sur l’anneau adjoint D∗.

1 Une base d’ordre réduit Q(Z ) ∈ Dn,m satisfaisant P(F )Q(Z ) = 0peut être obtenue en calculant une base d’ordre réduitQ∗(Z ) ∈ Dm,n telle que:

Q∗(Z )P(F )∗ = 02 Alors, une matrice de transformation à gauche d’ordre réduit

T (Z ) ∈ GLn(D) peut être obtenue en calculant une forme dePopov faible W (Z ) ∈ Dn,m de Q(Z ) ∈ Dn,m telle que:

T (Z ) ·Q(Z ) = W (Z )3 Finalement, une base d’ordre réduit ω de L est donnée par:

ω = (Im,0m,n−m)T (Z )dx .

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Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

ETAPE 3: Détermination d’un facteur intégrant

Etant donnée une base ω du D-module libre à gauche L , il estrelativement difficile de définir la struture générique des matricesunimodulaires M ∈ GLm(D) satisfaisant:

d(M.ω) = 0dω = µω

d(µ) = µ ∧µ

d(M) = −Mµ

Solution: Paramétrisation particulière de M = forme triangulairesupérieur à coeff. diagonaux =1 et polynomiale en Z afin dediminuer le nombre de solutions candidates, i.e.

M =

1 M12 . . . M1,m0 1 . . . M2,m

.... . .

...0 0 1 Mm−1,m0 0 . . . 0 1

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Théorie des modulesFormulation du problèmeMéthodologie proposée

ETAPE 4: Intégration de dy = M.ω

De ce fait, des sorties plates d’ordre réduit peuvent êtreobtenues en intégrant:

dy = M.ω

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Exemple: système hydraulique 3-tank

Modèle non-linéaire d’un système hydraulique académique:Sc

dh1dt = −az10Sn

√2gh1−az13Sn

√2g (h1−h3)+Q1

Scdh2dt = −az20Sn

√2gh2 +az32Sn

√2g (h3−h2)+Q2

Scdh3dt = −az30Sn

√2gh3−az32Sn

√2g (h3−h2)

+az13Sn√

2g (h1−h3)

où (h1,h2,h3): états, et (Q1,Q2): entrées.V. Morio, F. Cazaurang and A. Zolghadriprésenté par D. Henry Caractérisation Formelle de Sorties Plates sur un Algèbre de Ore

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Exemple: système hydraulique 3-tank

On considère l’anneau D = M [Z ;σ ,δ ] des opérateursdifférentiels, où σ = idM , δ = d

dt et M représente le champ desfonctions méromorphes de X (variété associée à l’espace d’état)vers R.Le modèle variationnel P(F ) associé au système non-linéaire estobtenu en calculant:

P(F ) =∂F∂x

+∂F∂ x

Z

=(−1

2K1√

h1−h3−1

2K2√

h3−h2

12

K1√h1−h3

+ 12

K2√h3−h2

+Z)

où K1 = az32SnSc

√2g et K2 = az13Sn

Sc

√2g.

Soit L = D1×3/(D1×1P(F )) le module variationnel présenté parP(F ). Retour

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Exemple: système hydraulique 3-tank

Le calcul de la matrice adjointe P(F )∗ sur l’anneau de Ore adjointD∗ = M [Z ;σ∗,δ ∗], où σ∗ = idM et δ ∗ =− d

dt =−LτXconduit à:

P(F )∗ =

−1

2K1√

h1−h3

−12

K2√h3−h2

12

K1√h1−h3

+ 12

K2√h3−h2

+Z

Détermination d’une base Q(Z ) de l’espace noyau à gauche deP(F )∗ en utilisant l’algorithme proposé:

Q(Z ) =

−K2K1

√h1−h3h3−h2

1+ K2K1

√h1−h3h3−h2

+ 2√

h1−h3K1

Z1 00 1

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Exemple: système hydraulique 3-tank

Calcul de W (Z ) tel que T (Z )Q(Z ) = W (Z ):

T (Z ) =

1 K2K1

√h1−h3h3−h2

−1− K2K1

√h1−h3h3−h2

− 2√

h1−h3K1

Z0 1 00 0 1

où

W (Z ) =

0 01 00 1

Retour

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Exemple: système hydraulique 3-tank

Une base d’ordre réduit ω est alors donnée parω = (Im,0m,n−m)T (Z )dx , c.a.d:

ω =(

0 1 00 0 1

) dh1dh2dh3

Retour

Comme ω1 = dh2 et ω2 = dh3, les conditions d’intégrabilité duD-module libre à gauche L sont satisfaites ici.

Retour

Finalement, en choisissant M comme étant la matrice identité,nous obtenons dy1 = dh2 et dy2 = dh3, et des sorties platescandidates sont simplement données par:{

y1 = h2 +C1y2 = h3 +C2

où C1 et C2 sont des constantes arbitraires.V. Morio, F. Cazaurang and A. Zolghadriprésenté par D. Henry Caractérisation Formelle de Sorties Plates sur un Algèbre de Ore

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Conclusion

Contributions

Présentation d’un algorithme constructif dédié au calculsystématique de sorties plates d’ordre réduit pour les systèmesnon-linéaires.Calcul d’une base d’un D-module libre à gauche par les basesd’ordre réduit et la forme de Popov faible.Détermination d’un facteur intégrant en choisissant uneparamétrisation particulière des équations du repère mobile deCartan généralisé.

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Exemple numériqueConclusion

Conclusion

Perspectives

Du fait de l’utilisation de l’anneau de Ore adjoint, les élémentsméromorphes de la matrice de transformation peuvent devenirrelativement complexes lors du calcul de la première base.Le choix d’un ensemble de pivots unique peut se révéler êtreune tâche délicate durant le calcul des bases d’ordre réduit: il esten effet relativement difficile de définir une métrique qui pourraitfournir une notion de complexité sur le champ des fonctionsméromorphes.

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