Thse

THESE

Prsente LUNIVERSITE JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1

Pour lobtention du titre de

DOCTEUR

Spcialit : Gophysique applique Gotechnique

Par

Etienne REY

Sujet de thse

CARACTERISATION DE SOLS HETEROGENES PAR DES METHODES GEOPHYSIQUES

Soutenue le 8 juin 2005.

Composition du jury : Pierre Foray Professeur Prsident du jury Denis Jongmans Professeur Directeur de thse Philippe Gotteland Matre de Confrence Co-directeur de thse Philippe Cte Directeur de recherche Rapporteur Isam Shahrour Professeur Rapporteur Andr Revil Charg de recherche Examinateur

REMERCIEMENTS

Au terme de ce travail, je tiens remercier chaleureusement Denis JONGMANS pour la qualit de son encadrement, pour ses nombreux conseils et sa disponibilit. Je le remercie pour sa confiance et son soutien sans faille tout au long de cette thse. Je suis aussi particulirement reconnaissant Philippe GOTTELAND pour mavoir permis de raliser cette thse, et en avoir assur la co-direction. Je len remercie sincrement. Je tiens remercier Stphane GARAMBOIS pour lintrt quil a port mon travail, pour son soutien et ses remarques pertinentes. Je tmoigne aussi toute ma gratitude ceux qui mont apport leur aide, pour leur sympathie, leur comptence, mais aussi pour les moyens techniques mis ma disposition. Ces remerciements sadressent tout spcialement Philippe COTE et Andr REVIL. Je remercie le service RTM Isre, et particulirement la sub-division de Saint-Ismier, pour mavoir accueilli sur leur site. Un grand merci, bien sr, toute lquipe du LIRIGM pour son accueil et ses contributions, et particulirement Marc WATHELET, Rodolphe PINON, Yves ORENGO, Henri MORA, Ombeline MERIC, Matthieu JEANNIN, Magali FRAYSSINES, et tous ceux, dj cits ou non, qui ont contribu rendre agrables ces trois ans passs au laboratoire.

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SOMMAIRE

Introduction ... .... 8

1 Mthodes de caractrisation des sols htrognes.......................................................... 12

1.1 Introduction ......................................................................................................................... 12 1.1.1 Notion de sol htrogne................................................................................................................. 12 1.1.2 Reprsentativit............................................................................................................................... 13

1.2 Identification physique........................................................................................................ 16 1.2.1 Granulomtrie ................................................................................................................................. 16 1.2.2 Forme des grains ............................................................................................................................. 18

1.2.2.1 Lindice de sphricit ............................................................................................................. 20 1.2.2.2 Lindice dallongement .......................................................................................................... 20

1.2.3 Teneur en eau .................................................................................................................................. 20 1.2.4 Masse volumique ............................................................................................................................ 22 1.2.5 Compacit ....................................................................................................................................... 23 1.2.6 Conclusions ..................................................................................................................................... 24

1.3 Caractrisation mcanique ................................................................................................. 25 1.3.1 Essais au laboratoire........................................................................................................................ 26

1.3.1.1 Appareils de mesure en laboratoire ........................................................................................ 26 1.3.1.2 Influence de la granulomtrie ................................................................................................. 29 1.3.1.3 Influence des dimensions de lappareil de mesure ................................................................. 31 1.3.1.4 Influence du type dappareil de mesure.................................................................................. 32

1.3.2 Essais in-situ.................................................................................................................................... 32 1.3.2.1 Lessai de cisaillement direct in-situ ...................................................................................... 32 1.3.2.2 Le phicomtre......................................................................................................................... 33 1.3.2.3 Le pressiomtre ...................................................................................................................... 36

1.3.3 Relations entre paramtres physiques et mcaniques...................................................................... 36 1.3.4 Conclusions ..................................................................................................................................... 38

1.4 Mthodes Gophysiques...................................................................................................... 39 1.4.1 Mesure de la rsistivit lectrique ................................................................................................... 39

1.4.1.1 Mthodes de rsistivit ........................................................................................................... 40 1.4.1.2 Les mthodes lectromagntiques .......................................................................................... 50

1.4.2 Mesure de la vitesse des ondes sismiques ....................................................................................... 54 1.4.2.1 Gnralits sur les ondes lastiques........................................................................................ 54 1.4.2.2 Sismique rfraction................................................................................................................. 56 1.4.2.3 Tomographie sismique ........................................................................................................... 57 1.4.2.4 Inversion des ondes de surface ............................................................................................... 58

1.4.3 Goradar.......................................................................................................................................... 61 1.4.3.1 Profondeur dinvestiguation ................................................................................................... 61 1.4.3.2 Vitesse de propagation ........................................................................................................... 62 1.4.3.3 Rsolution............................................................................................................................... 64 1.4.3.4 Diffraction des ondes radar..................................................................................................... 64

1.5 Corrlations empiriques ..................................................................................................... 67

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1.5.1 Relations proprits gophysiques / physiques ............................................................................... 67 1.5.2 Relations proprits gophysiques / gotechniques ........................................................................ 69

1.6 Analyse dimages ................................................................................................................. 70 1.6.1 Problmes lis lacquisition des donnes ..................................................................................... 71 1.6.2 Dmarche-type ................................................................................................................................ 73

1.7 Conclusions .......................................................................................................................... 74

2 Application des lois dhomognisation la caractrisation physique des sols htrognes. ............................................................................................................................. 76

2.1 Proprits lastiques............................................................................................................ 77 2.1.1 Introduction..................................................................................................................................... 77 2.1.2 Modles dhomognisation en dformations lastiques ................................................................ 80 2.1.3 Sensibilit du modle de Christensen.............................................................................................. 83

2.2 Rsistivit lectrique............................................................................................................ 85 2.2.1 Modles dhomognisation en lectrique ...................................................................................... 85

2.2.1.1 Bornes de la conductivit effective......................................................................................... 85 2.2.1.2 Estimations de la conductivit effective ................................................................................. 85

2.2.2 Application aux milieux poreux ...................................................................................................... 87 2.2.3 Valeurs du facteur de cimentation m ............................................................................................... 89

2.2.3.1 Rsultats exprimentaux......................................................................................................... 89 2.2.3.2 Rsultats thoriques................................................................................................................ 90 2.2.3.3 Synthse.................................................................................................................................. 91

2.2.4 Comparaison des diffrents modles dhomognisation ............................................................... 92

2.3 Sensibilit des proprits effectives *, VP*, VS* ................................................................ 93 2.4 Conclusions .......................................................................................................................... 95

3 Modlisation numrique de la mthode lectrique......................................................... 98

3.1 Introduction ......................................................................................................................... 98 3.1.1 La mthode des lments finis ........................................................................................................ 98 3.1.2 Le code de calcul CESAR-LCPC.................................................................................................... 99 3.1.3 Analogie entre diffusion thermique et circulation du courant lectrique ...................................... 100

3.2 Tests numriques............................................................................................................... 101 3.2.1 Distribution du potentiel en 2D..................................................................................................... 101 3.2.2 Conditions aux limites................................................................................................................... 102

3.2.2.1 Types de conditions aux limites ........................................................................................... 102 3.2.2.2 Eloignement des limites ....................................................................................................... 103

3.2.3 Prsentation du maillage-type ....................................................................................................... 104 3.2.3.1 Squence de mesures simule............................................................................................... 105 3.2.3.2 Dimensions caractristiques du maillage.............................................................................. 106 3.2.3.3 Maillage des zones priphriques......................................................................................... 107 3.2.3.4 Positionnement des inclusions.............................................................................................. 108

3.2.4 Influence de la zone externe.......................................................................................................... 109

3

3.2.5 Discrtisation spatiale de la zone htrogne................................................................................ 111 3.2.5.1 Choix de la famille dlments utiliss................................................................................. 111 3.2.5.2 Discrtisation en surface....................................................................................................... 111 3.2.5.3 Discrtisation au contact matrice - inclusions ...................................................................... 112 3.2.5.4 Espacement minimal entre les inclusions ............................................................................. 115

3.3 Condition dhomognisation........................................................................................... 116 3.3.1 Rcapitulatif des conditions sur le modle.................................................................................... 120 3.3.2 Calcul de la rsistivit effective du milieu htrogne.................................................................. 120 3.3.3 Effet de linversion........................................................................................................................ 121

3.4 Rsultats de ltude paramtrique ................................................................................... 122 3.4.1 Influence de la concentration en inclusions................................................................................... 123 3.4.2 Influence du contraste de rsistivit .............................................................................................. 124 3.4.3 Influence de la taille des inclusions............................................................................................... 125 3.4.4 Influence de lanisotropie.............................................................................................................. 128

3.4.4.1 Forme des inclusions ............................................................................................................ 130 3.4.4.2 Simulations 2D sur modle de type prouvette................................................................. 133 3.4.4.3 Simulations 2D sur modle de type in-situ ....................................................................... 138 3.4.4.4 Comparaison et interprtation des rsultats .......................................................................... 141

3.4.5 Simulations numriques en 2.5 D.................................................................................................. 145

3.5 Conclusions ........................................................................................................................ 148

4 Modlisation analogique de la mthode lectrique ...................................................... 151

4.1 Description du modle exprimental ............................................................................... 151 4.1.1 Structure ........................................................................................................................................ 151 4.1.2 Le sable limoneux ......................................................................................................................... 153

4.2 Rsistivit du mlange....................................................................................................... 153 4.2.1 Dispositif de mesure...................................................................................................................... 153 4.2.2 Rsultats ........................................................................................................................................ 154

4.2.2.1 Correction de la perturbation lie aux effets de bord............................................................ 155 4.2.2.2 Effet de linversion ............................................................................................................... 155

4.3 Rsistivit individuelle de chaque composant ................................................................. 157 4.3.1 Echantillonnage............................................................................................................................. 157 4.3.2 Principe et ralisation des mesures sur chantillons...................................................................... 157 4.3.3 Mesures de la rsistivit des inclusions......................................................................................... 159 4.3.4 Mesure de la rsistivit du sable limoneux.................................................................................... 161 4.3.5 Rsistivit de la caisse de bois ...................................................................................................... 163

4.4 Interprtation des rsultats .............................................................................................. 163 4.4.1 Concentration en inclusions estime ............................................................................................. 163 4.4.2 Discussion ..................................................................................................................................... 164 4.4.3 Incertitude sur la concentration estime ........................................................................................ 166

4.5 Conclusions - Cohrence avec les rsultats numriques ................................................ 167

4

5 Etude multi-mthodes dun sol rel : les dpts du cne de djection du torrent du Manival .................................................................................................................................. 170

5.1 Site exprimental ............................................................................................................... 170 5.1.1 Localisation................................................................................................................................... 170 5.1.2 Formation des dpts .................................................................................................................... 171 5.1.3 Composition des dpts ................................................................................................................ 172 5.1.4 Etudes antrieures ......................................................................................................................... 173

5.1.4.1 Granulomtrie....................................................................................................................... 173 5.1.4.2 Autres caractristiques physiques......................................................................................... 177 5.1.4.3 Lithologie des dpts............................................................................................................ 178 5.1.4.4 Conditions hydriques............................................................................................................ 180

5.2 Mesures prliminaires....................................................................................................... 180 5.2.1 Zone de dpts principale (ZDP) .................................................................................................. 180

5.2.1.1 Mesures lectriques .............................................................................................................. 181 5.2.1.2 Mesures sismiques................................................................................................................ 183

5.2.2 Granulomtrie par analyse dimages ............................................................................................ 184

5.3 Campagne de mesures de lt 2003 ................................................................................ 191 5.3.1 Localisation des mesures............................................................................................................... 191 5.3.2 Donnes Gotechniques ................................................................................................................ 192

5.3.2.1 Protocole dchantillonnage ................................................................................................. 192 5.3.2.2 Donnes granulomtriques ................................................................................................... 193 5.3.2.3 Teneur en eau ....................................................................................................................... 195

5.4 Mthode lectrique ............................................................................................................ 195 5.4.1 Rsistivit des diffrents constituants ........................................................................................... 196

5.4.1.1 Mesures lchelle des formations gologiques .................................................................. 196 5.4.1.2 Mesures lchelle centimtrique ........................................................................................ 199 5.4.1.3 Rcapitulatif des mesures ..................................................................................................... 201

5.4.2 Rsistivit du sol htrogne......................................................................................................... 201 5.4.2.1 Tomographie lectrique........................................................................................................ 201 5.4.2.2 Mesures lectromagntiques................................................................................................. 203 5.4.2.3 Synthse des mesures ........................................................................................................... 204

5.4.3 Interprtation en terme de concentration dinclusions .................................................................. 205 5.4.3.1 Concentration estime .......................................................................................................... 205 5.4.3.2 Incertitude sur la concentration estime ............................................................................... 205 5.4.3.3 Interprtation en terme de granulomtrie ............................................................................. 207 5.4.3.4 Variations latrales de rsistivit .......................................................................................... 208

5.5 Mthode sismique ............................................................................................................. 211 5.5.1 Acquisition des donnes................................................................................................................ 212

5.5.1.1 Sources ................................................................................................................................. 212 5.5.1.2 Gophones ............................................................................................................................ 212 5.5.1.3 Rcapitulatif des mesures ..................................................................................................... 213

5.5.2 Vitesses sismiques dans le sol htrogne..................................................................................... 213 5.5.2.1 Sismique rfraction............................................................................................................... 213 5.5.2.2 Tomographie sismique ......................................................................................................... 215

5

5.5.2.3 Inversion des ondes de surface ............................................................................................. 216 5.5.3 Proprits lastiques de chaque constituant .................................................................................. 219

5.5.3.1 Blocs calcaires ...................................................................................................................... 220 5.5.3.2 Matrice fine .......................................................................................................................... 221

5.5.4 Estimation du pourcentage de blocs calcaires ............................................................................... 223 5.5.5 Conclusions sur la mthode sismique ........................................................................................... 225 5.5.6 Comparaison mthodes sismique et lectrique.............................................................................. 225

5.6 Goradar ............................................................................................................................ 226 5.6.1 Profondeur de pntration des ondes radar ................................................................................... 227 5.6.2 Hyperboles de diffraction.............................................................................................................. 227 5.6.3 Dveloppements et perspectives ................................................................................................... 229

Conclusions et Perspectives.230 Rfrences Bibliographiques ...234 Annexes...... 247

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LISTE DES SYMBOLES Dans lordre alphabtique, a espacement inter-lectrodes dans le cas dun dispositif Wenner Alpha amin espacement inter-lectrode minimal au sein de la squence simule amax espacement inter-lectrode maximal au sein de la squence simule c, c cohsion, cohsion effective C concentration des inclusions dans un milieu htrogne deux composants CU coefficient duniformit dune courbe granulomtrique CC coefficient de courbure dune courbe granulomtrique dm ouverture nominale du plus grand tamis maille carre utilis lors dun tamisage dxi largeur dune maille en surface du maillage dxs largeur dune maille au contact inclusion/matrice D50 diamtre des particules correspondant 50 % de passant (en masse) Dmax diamtre maximal des particules dun sol Dn plus petit cercle circonscrit au grain centr au centre de gravit Dm plus grand cercle inscrit au grain centr au centre de gravit Dr indice de densit relative e espacement entre deux inclusions voisines emin, emax indice des vides minimal et maximal E module dYoung El allongement dune inclusion (grand axe/petit axe) G, module de cisaillement (shear modulus) h hauteur de la zone htrogne du maillage E.F. simul h hauteur de la zone sous-jacente la zone htrogne dans le maillage E.F. simul H hauteur totale du maillage simul I intensit du courant INM indice dallongement J densit de courant k facteur gomtrique K module dincompressibilit (bulk modulus) L largeur de la zone htrogne du maillage E.F. simul L Largeur totale du maillage simul m facteur de cimentation n porosit (%) qc rsistance en pointe en pntration statique (CPT) R, R rayons des inclusions simules RMS Root Mean Square

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v vitesse des ondes radar VP vitesse des ondes de compression (m.s-1) VS vitesse des ondes de cisaillement (m.s-1) VR vitesse des ondes de Rayleigh (m.s-1) V potentiel lectrique w teneur en eau du sol (%) r permittivit dilectrique relative profondeur de peau (skin depth) masse volumique (kg.m-3) angle de frottement interne dun matriau granulaire () ' angle de frottement interne effectif dun matriau granulaire () i angle de frottement interne mesur au phicomtre () coefficient de Poisson , ' contrainte tangentielle, contrainte tangentielle effective (kPa) rsistivit lectrique (Ohm.m) conductivit lectrique (S.m-1) n contrainte normale (kPa) rapport dchelle entre Dmax et la dimension dun appareil de mesure Indices : ... i, M relatif aux inclusions, la matrice

o proprit effective obtenue par des mesures

* proprit effective obtenue par estimation daprs une loi de mlange L, T Longitudinal, transversal

H, V, N horizontal, vertical, normal

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INTRODUCTION

Les sols granulomtrie tale se rencontrent frquemment dans les rgions montagneuses (boulis, moraines, dpts de lave torrentielle, cnes de djection torrentielle, alluvions, ). La construction douvrages, et notamment douvrages en terre (digues, merlons de protection contre les risques naturels) sur ce type de sols, ainsi que leur remploi comme matriaux de remblai (loignement des zones dapprovisionnement en granulats) impose une bonne connaissance de ces matriaux. La caractrisation de ces sols par les mthodes gotechniques traditionnelles est cependant rendue trs difficile, voire impossible, par la prsence dhtrognits (galets, cailloux, blocs) de dimension dcimtrique mtrique, et ce pour au moins deux raisons :

- dune part la mise en uvre dessais in situ ponctuels (pntration dynamique, statique, forage + essai pressiomtrique) est inadapte la nature htrogne mme de ces matriaux, la prsence dun bloc rocheux pouvant par exemple tre lorigine dun refus lors dun essai pntromtrique.

- dautre part la dimension maximale des lments en prsence exige un volume lmentaire reprsentatif de sol (V.E.R.) beaucoup trop important (plusieurs tonnes de sol selon les normes franaises) pour les dispositifs classiques d'essai de sol. Lors de lchantillonnage de ces matriaux, les particules ou blocs de diamtre important (> 50 ou 100 mm) sont gnralement crts afin de limiter le volume des prlvements de sol ramens au laboratoire pour subir des essais gotechniques et/ou mcaniques. Un tel procd (crtage + remaniement, donc modification de la cohsion) conduit souvent une sous-estimation des caractristiques mcaniques du matriau (Holtz, 1961 ; Rathee, 1981 ; Aboura, 1999).

Dans un tel contexte, les mesures gophysiques, non-intrusives et capables d'investiguer simultanment un grand volume de sol, constituent une alternative intressante aux essais gotechniques in-situ. Leur rapidit de mise en uvre et leur cot relativement modr, peut permettre une caractrisation des matriaux htrognes sur une surface tendue, ainsi quventuellement une dtection des variations latrales lchelle du site. Linconvnient principal des mthodes gophysiques est une diminution de la rsolution avec la profondeur. La caractrisation du sol par les mthodes gophysiques suppose lexistence de corrlations entre les proprits mesures (observables gophysiques) et les caractristiques gotechniques ou physiques du matriau qui soient directement utilisables ( granulomtrie,

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teneur en eau, proprits mcaniques, ...). Dans le cas dun sol htrogne deux composants (par exemple, boulis constitu de blocs dcimtriques mtriques emballs dans une matrice fine), la mesure des proprits gophysiques effectives du sol, ainsi que des proprits individuelles de chacun de ses composants, peut permettre de remonter sa composition, grce aux lois de mlange issues des modles dhomognisation. Parmi les proprits gophysiques facilement mesurables, la rsistivit lectrique montre un large ventail de valeurs entre les diffrents matriaux naturels, variant de quelques Ohm.m dans le cas des argiles ou des sols pollus plus de 104 Ohm.m pour les roches telles le calcaire ou le granite. Si elle nest pas directement relie aux proprits mcaniques du sol, la rsistivit lectrique dun matriau htrogne savre trs sensible la prsence dinclusions rsistives ou conductrices quil contient. Cette tude a pour objectif dtudier lapport des mthodes gophysiques, et plus prcisment de la mthode lectrique, dans le cadre de la caractrisation des sols htrognes. Elle sarticule en cinq chapitres : Les diffrentes mthodes potentiellement applicables la caractrisation des sols htrognes sont tout dabord recenses dans un premier chapitre, ainsi que les relations existant dans la littrature entre les diffrentes caractristiques des sols (identification physique, proprits mcaniques et gophysiques). Les limitations inhrentes chacune des mthodes et relations sont abordes. Toujours dun point de vue bibliographique, le second chapitre sintresse aux lois de mlange et modles dhomognisation lis la rsistivit lectrique, mais aussi aux proprits lastiques. Les sensibilits des proprits effectives lectriques et lastiques par rapport la composition dun milieu htrogne y sont notamment compares. Les chapitres 3 et 4 ont pour objet la modlisation des mesures de tomographie lectrique sur des matriaux htrognes parfaitement connus. Les simulations numriques aux lments finis prsentes au chapitre 3 permettent notamment de prciser les conditions dhomognisation pour un sol htrogne. Les rsultats numriques obtenus sont relis aux modles dhomognisation thoriques. Le chapitre 4 consiste valider certains de ces rsultats numriques par des mesures en laboratoire sur un modle physique de taille rduite, en tentant de retrouver par la mthode dhomognisation lectrique, la concentration des inclusions rsistives rellement mises en place dans le modle.

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Enfin le dernier chapitre consiste appliquer sur un sol htrogne rel la mthode de caractrisation par homognisation dfinie par la modlisation. Dans cette optique, une campagne de mesure associant mesures gophysiques et mesures gotechniques (analyses granulomtriques) a t mene, afin de tester la validit des prvisions issues des mesures gophysiques en terme de composition granulomtrique du matriau.

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CHAPITRE 1

METHODES DE CARACTERISATION DES SOLS HETEROGENES

1 Mthodes de caractrisation des sols htrognes.......................................................... 12

1.1 Introduction ......................................................................................................................... 12

1.2 Identification physique........................................................................................................ 16

1.3 Caractrisation mcanique ................................................................................................. 25

1.4 Mthodes Gophysiques...................................................................................................... 39

1.5 Corrlations empiriques ..................................................................................................... 67

1.6 Analyse dimages ................................................................................................................. 70

1.7 Conclusions .......................................................................................................................... 74

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1 METHODES DE CARACTERISATION DES SOLS HETEROGENES

1.1 Introduction

Lobjectif gnral de ce travail consiste explorer les possibilits de caractrisation des sols contenant des particules de taille importante (jusqu mtrique) au moyen des mthodes gophysiques. Lhtrognit de ces matriaux les rend difficiles chantillonner et caractriser par les mthodes gotechniques classiques. Ce premier chapitre est focalis sur les diffrentes mthodes de caractrisation des sols (identification physique, caractrisation mcanique et gophysique). Il consiste recenser ces mthodes en examinant leur applicabilit dans le cas des sols granulomtrie trs tendue.

1.1.1 Notion de sol htrogne

La nature des matriaux granulomtrie tendue varie selon leur origine gologique. On recense sous cette dnomination : boulis, moraines, alluvions grossires, dpts issus de lave torrentielles, cnes de djection torrentielle, sol darnisation, dpts anthropiques La courbe granulomtrique cumule de ce type de matriaux prsente frquemment une rupture de pente assez nette prcde dun palier (Stupnicki, 1994 ; Aboura, 1999 ; Bonnet-Staub, 2000 ; Rey, 2001), traduisant la coexistence dune fraction fine (palier) avec des particules de taille importante (dcimtrique mtrique). Dans ce cas, une reprsentation du sol sous forme dun milieu htrogne diphasique peut alors tre propose (Figure 1-1). Le sol est alors modlis par des inclusions isoles dans une matrice continue correspondant la fraction fine du matriau. Une telle reprsentation, base sur des critres purement granulomtriques, ne fait pas apparatre la porosit du matriau comme une phase part entire. Base sur des critres physico-chimiques, la reprsentation classique dun sol non satur est un matriau htrogne trois phases : particules solides + eau + air. Dans le modle propos (Figure 1-1) la porosit du sol et le fluide poral sont associs la fraction fine du matriau (matrice). Pour caractriser un tel sol par des mthodes gophysiques, il est ncessaire que les deux phases prcdemment dfinies (matrice + inclusions) aient des proprits gophysiques diffrentes. A titre dexemple, le sol rel tudi au chapitre 5 est constitu de blocs calcaires emballs dans une matrice fine, ces deux constituants prsentant des proprits gophysiques contrastes en terme de rsistivit lectrique () et de vitesse de propagation des ondes P et S (VP, VS).

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Figure 1-1. Reprsentation dun sol granulomtrie trs tale sous forme dun milieu htrogne deux phases. (a) Photographie dun sol naturel granulomtrie tale (Torrent Manival, France), (b) Courbe granulomtrique, (c) Schmatisation sous forme dun sol htrogne diphasique form dinclusions disperses dans un milieu continu (matrice).

1.1.2 Reprsentativit

Dans le cas de sols comportant des particules de taille dcimtrique mtrique, la reprsentativit des chantillons constitue un obstacle majeur leur caractrisation, lElment de Volume Reprsentatif (EVR) dun sol tant gnralement dfini en rapport avec la taille des plus grosses particules qui le composent (Dmax). Les normes gotechniques relatives aux essais didentification physique des sols, donnent des prescriptions en terme de reprsentativit des chantillons de sol. Les principales normes franaises abordant ce sujet sont les suivantes :

- XP P94-041 (Dc./1995): Identification granulomtrique - tamisage par voie humide, - NF P 94-050 (Sept. 1995): Dtermination de la teneur en eau pondrale par tuvage, - NF P 94-056 (Mars/1996): Analyse granulomtrique - tamisage sec aprs lavage.

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La masse minimale reprsentative des chantillons prescrite selon ces trois normes est dfinie en fonction de dm, la dimension nominale douverture du plus grand tamis maille carre utilis lors de lanalyse granulomtrique du sol (Figure 1-2a). La Figure 1-2b reprsente ces prescriptions normatives sous forme graphique. La masse minimale chantillonner augmente selon une loi puissance fonction de dm pour atteindre rapidement des masses de sol impossibles mettre en uvre sur le terrain (par exemple, le volume reprsentatif dun sol comprenant des particules de diamtre suprieur 200 mm ncessite le prlvement dune masse de sol minimale denviron 1600 kg).

0.1

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

1 10 100 1000

dm (mm)

Mas

se (k

g)

Figure 1-2. Prescriptions normatives en terme de reprsentativit : masse minimale des chantillons prlever en fonction de dm. (a) Tableau extrait des normes franaises NFP 94-056, NFP94-050, XPP94-041, (b) Reprsentation graphique. La question de la signification de ces prescriptions normatives peut tre pose. Afin dillustrer la signification de ces normes, le nombre de particules de diamtre suprieur ou gal dm prsentes dans un chantillon de sol reprsentatif (au sens normatif), a t estim pour 2 sols diffrents :

- Cas 1 : sol parfaitement gradu (courbe granulomtrique cumule linaire) - Cas 2 : sol parfaitement tri (trs mal gradu), comportant uniquement des

particules de diamtre dm (matriau de type enrochement)

dm (mm) 1 5 8 10 12,5 16 20 40 50 80 dm > 80 mm Masse (kg) 0,2 0,3 0,5 0,8 1,2 2 3 12 20 50 M = 6.10-6.dm3.66

a.

b.

15

Lestimation du nombre de particules prsentes dans un chantillon est obtenue en faisant le rapport de la masse minimale prescrite par la masse individuelle dune particule de sol de diamtre gal dm (Figure 1-3). Les particules sont supposes en premire approximation de forme sphrique, avec une masse volumique gale 2650 kg.m-3.

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1 10 100 1000

dm (mm)

A B C D

Figure 1-3. Illustration des prescriptions normatives en terme de nombre de particules.

A. Masse unitaire (kg) dune particule sphrique de diamtre gal dm, avec s=2650 kg.m-3 B. Masse minimale (kg) des chantillons prlever selon les recommandations normatives C. Nombre de particules de diamtre dm contenues dans un prlvement de sol (cas 1)

D. Idem (cas 2). Dans lintervalle qui nous intresse (50 mm < dm < 1000 mm ), le nombre de particules de diamtre suprieur ou gal dm dans un chantillon est assez important et relativement stable. Il est au maximum de 20 80 dans le cas dun sol parfaitement gradu (cas 1) et de 70 400 si le sol est compos uniquement de particules de diamtre dm (cas 2). Ce nombre de grosses particules a priori lev est cependant lgrement surestim. En effet, comme dm est infrieur Dmax (louverture du plus gros tamis utilis est lgrement infrieure la dimension des plus grosses particules), le nombre de particules calcul pour un diamtre dm est suprieur au nombre de particules de diamtre Dmax. Dans tous les cas, ces prescriptions normatives semblent garantir une marge de scurit importante.

En conclusion, lorsque le tamisage dun sol requiert lemploi dun tamis mailles carres douverture gale 100 mm, il devient en pratique trs difficile de prlever des chantillons rpondant aux critres de reprsentativit noncs dans les normes (masse minimale

16

reprsentative correspondante suprieure 125 kg). Lchantillonnage du sol reste alors possible moyennant un crtage des particules de diamtre suprieur 100 mm. Une telle opration introduit cependant un biais lors de lidentification physique et de la caractrisation mcanique du sol (cf paragraphes suivants). Des techniques alternatives doivent alors tre dveloppes afin de caractriser ce type de matriaux dans leur globalit.

1.2 Identification physique

La caractrisation physique dun sol (granulomtrie, teneur en eau, densit) est une phase essentielle qui permet notamment la description du sol, ainsi quune ventuelle classification. Tout comme la mesure des paramtres mcaniques ( 1.3), cette tape didentification physique ncessite des adaptations dans le cas des matriaux comportant de gros lments. Dans ce paragraphe, les caractristiques physiques intressantes dterminer dans le cas des sols granulomtrie tendue vont tre prsentes, en rappelant les prcautions particulires prendre avec ce type de matriaux.

1.2.1 Granulomtrie

Lanalyse granulomtrique peut tre ralise au moyen soit dun tamisage par voie humide (norme franaise XP P 94-041) soit dun tamisage sec aprs lavage (norme NF P 94-056). Dans le cas particulier des sols comportant des gros lments, une analyse granulomtrique complte nest videmment jamais ralise sur la masse totale de lchantillon reprsentatif initial. Des fractionnements successifs sont effectus in situ de manire rduire progressivement les volumes manipuler. En pratique, on procde donc gnralement un tamisage in situ au moyen de tamis de grandes dimensions dont les ouvertures respectives sont 200, 100, 80 et 50 mm (Figure 1-4). Pour des raisons techniques, lorsque le diamtre intermdiaire des particules excde 150 200 mm, ce dernier doit tre estim par des mesures individuelles ralises sur chacune des particules. En prsence dargile et de fines, les lments tamiss in situ doivent tre dbarrasss de leurs placages ventuels de fines par un brossage, afin de biaiser le moins possible lanalyse granulomtrique du matriau. Aprs le dernier fractionnement in situ, une masse reprsentative de la fraction 0/50 mm est prleve (> 20 kg) pour tre ramene au laboratoire afin de terminer lanalyse granulomtrique au moyen dune colonne de tamis de tailles conventionnelles puis par sdimentomtrie concernant la fraction fine (0/80 m).

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Figure 1-4. Tamisage in-situ laide dune grille maille carre douverture 100 mm.

Dans le cas des sols granulomtrie tendue, il est impratif deffectuer chaque fractionnement (in situ ou au laboratoire) par la technique du quartage, afin de ne pas modifier la composition granulomtrique du matriau. Cette technique simple de prlvement est destine prendre en considration le grano-classement radial existant au sein dun tas conique de sol form par dversement (les plus grosses particules, dont lnergie cintique est plus importante, roulent plus loin que les petites lors du dversement et se retrouvent en priphrie du tas). Le quartage consiste donc prlever une portion angulaire de matriau sur le tas conique, afin de ne pas modifier la composition granulomtrique du matriau. Une fois lanalyse granulomtrique effectue, la courbe granulomtrique reprsentative peut tre caractrise notamment par deux paramtres classiques (Philipponnat & Hubert, 2002) :

- le coefficient duniformit : 10

60

DDCU = (1-1)

- le coefficient de courbure : 6010

230

.DDDCC = (1-2)

Le coefficient CU reprsente ltalement de la courbe granulomtrique, un CU lev tmoignant dune granulomtrie tendue. Le coefficient de courbure CC reprsente la forme de la courbe granulomtrique. Un CC lev (>3) correspond une courbe granulomtrique cumule concave vers le haut, donc comportant une pente importante dans le domaine des particules de gros diamtre. Inversement, une faible valeur de CC (

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granulomtrique cumule convexe vers le haut, donc prsentant un accroissement important de la masse dans le domaine des fines. Le Tableau 1-1 fournit un ordre de grandeur pour chacun de ces coefficients en fonction du type de sol.

Type de sol Qualificatif CU CC bien gradue CU > 4 et 1 < CC < 3 Grave 2 60 mm mal gradue CU < 4 ou CC < 1 ou CC > 3 bien gradue CU > 6 et 1 < CC < 3 Sable 0.06 2 mm mal gradue CU < 6 ou CC < 1 ou CC > 3

Tableau 1-1. Valeurs types de CU et CC en fonction du type de sol.

Plusieurs courbes granulomtriques cumules sont reprsentes sur la Figure 1-5. A titre dexemple, une grave bien gradue (type courbe 1 sur Figure 1-5) aura un coefficient CU lev (>4) et un CC modr compris entre 1 et 3.

Figure 1-5. Exemples de courbes granulomtriques. (1) Grave propre bien gradue, (2) Sable limoneux avec graviers mal gradu, (3) Sable grossier mal gradu (=bien tri), (4) Limon argileux.

1.2.2 Forme des grains

La forme des grains est un paramtre important dterminer dans le cas des sols htrognes. Elle peut en effet intervenir de manire non ngligeable sur les proprits mcaniques de rsistance au cisaillement dun sol, via son influence sur langle de frottement interne des matriaux (Lebourg, 2000) (cf. 1.3.3).

19

Par ailleurs, lorsquelle est couple une orientation prfrentielle des grains (dpts en milieu forte nergie, laves torrentielles, moraines glaciaires) (Rappol, 1985 ; Dowdeswell & Sharp, 1986), la non sphricit des grains induit une anisotropie dans le sol, qui peut influer sur les proprits gophysiques mesures in-situ (cf. chapitre 3, 3.4.4). La forme des grains peut tre dcrite par de nombreux paramtres (Cailleux & Tricart, 1959 ; Frossard, 1978), parmi les lesquels : la sphricit, lmouss, lallongement Une mthode classiquement utilise consiste comparer la forme des lments constituant le sol avec des chartes visuelles existantes (Rittenhouse, 1943 ; Krumbein & Sloss, 1963). Ces chartes permettent dapprhender la sphricit (Figure 1-6) ou encore lmouss (~ angularit) des grains. Leur utilisation est cependant souvent trs subjective, comme la montr par exemple Lebourg (2000) travers la variabilit des rsultats obtenus grce plusieurs chartes diffrentes, sur trois grains dune mme moraine.

Figure 1-6. (a) Photographie des grains dun sol dboulis. (b) Charte visuelle pour lestimation de la sphricit des grains (daprs Rittenhouse, 1943). Par ailleurs, les contraintes lies lchantillonnage (nombre limit de grains) allies la grande variabilit de forme des lments au sein dun mme sol (Figure 1-6a), rend les rsultats obtenus par cette mthode souvent alatoires. Une analyse statistique est donc ncessaire, et le traitement systmatique par analyse dimage peut savrer un outil puissant pour ce type dapplication (Poczeck, 1997 ; Fabre et al., 1999 ; Principato, 2001). Ces traitements ncessitent la dfinition de paramtres de forme quantifiables. Parmi les trs nombreux paramtres de forme dfinis par la morphologie mathmatique, on peut citer par exemple lindice de sphricit et lindice dallongement.

20

1.2.2.1 Lindice de sphricit

Il se dfinit par le rapport de deux diamtres diffrents : lun tant le diamtre du plus grand cercle inscrit Di ou le diamtre du plus petit cercle circonscrit Dc limage du grain projete en 2D ; lautre tant un diamtre quivalent dfini sur limage de ce grain (Frossard, 1978).

c

eS D

DC = , e

iS D

DC =' , avec SDe

4= , S tant la surface de projection du grain. (1-3)

1.2.2.2 Lindice dallongement

Il existe une grande diversit de dfinitions de lallongement. La plus commune correspond au rapport du plus grand diamtre apparent sur le plus petit diamtre apparent (Frossard, 1978). Lors de lanalyse morphomtrique de moraines pyrnennes, Lebourg (2000) a utilis une autre dfinition, proche de celle de la sphricit : lindice INM qui correspond au rapport entre le plus petit cercle circonscrit Dn et le plus grand cercle inscrit au grain Dm , centr au centre de gravit (Equation 1-4).

m

nNM D

DI = (1-4)

1.2.3 Teneur en eau

La teneur en eau a une influence dterminante sur les caractristiques mcaniques dun sol, de par son effet sur la masse volumique (essai Proctor, cf. 1.2.5) ou encore sur la cohsion apparente des sols contenant des argiles. Pour un matriau donn, sa teneur en eau va influer sur son tat de compacit (optimum Proctor) et donc influer sur ses performances mcaniques. En laboratoire, la mesure de la teneur en eau est ralise par tuvage du matriau. Comme les rgles de reprsentativit rendent la mesure impossible sur la fraction 0/Dmax, lancienne version de la norme franaise NFP 94-050 prconisait deffectuer la mesure de teneur en eau sur la fraction 0/20 mm, la quantit deau retenue par les particules de taille suprieure 20 mm tant alors suppose ngligeable. Une telle recommandation est suffisante si lon considre un modle simple de la rpartition de leau, o leau mobilisable consiste en une pellicule de 0.1 m dpaisseur adsorbe en surface des particules (Polubrina-Kochina dans Castany G., 1979), cette paisseur tant indpendante de leur taille. La quantit deau contenue dans chaque fraction granulomtrique du sol est donc directement lie sa surface spcifique. La rpartition thorique de leau pour des fractions (0/dm) croissantes est reprsente la Figure 1-7. Dans

21

ce modle bas sur la surface spcifique, la proportion deau adsorbe sur les particules de taille suprieure 20 mm, reste infrieure 2% de la quantit deau totale (fraction 0/Dmax) et peut donc tre nglige. Dans la ralit, la prsence de placages limono-argileux humides sur les particules de taille suprieure 20 mm modifie notablement la rpartition de leau, cette dernire ntant alors plus associe uniquement aux particules fines. Un crtage simple 20 mm est alors insuffisant pour mesurer la teneur en eau du sol avec prcision (Rey, 2001). La nouvelle version de la norme NFP 94-050 ne prconise plus dcrtage, laissant lutilisateur le soin destimer la fraction granulomtrique sur laquelle effectuer les mesures de teneur en eau. Lorsque Dmax est trop important pour effectuer ces mesures sur lintgralit du matriau, une tude pralable de la localisation effective de leau au sein des classes granulomtriques du matriau est donc ncessaire afin doptimiser la mesure. En 2001, la caractrisation dun sol granulomtrie trs tendue (boulis calcaire matrice argileuse : passant 80 m = 20%, Dmax = 350 mm) prlev sur la commune de Crolles (Isre), a donn lieu la ralisation de mesures de teneur en eau sur des fractions de sol croissantes (0/8 mm 0/100 mm). Les rsultats obtenus (Figure 1-7), nous ont permis de montrer que les mesures de teneur en eau sur la fraction devaient tre ralises sur la fraction 0/50 mm pour obtenir une prcision relative infrieure 2% (Rey, 2001). Cette observation peut tre gnralise lensemble des sols granulomtrie tale, condition deffectuer un brossage soigneux des lments suprieurs 50 mm lors du tamisage in situ.

50

60

70

80

90

100

1 10 100dm (mm)

% e

au to

tale

Rpartition thorique

Mesures relles

50

Figure 1-7. Rpartitions thorique et relle de leau dans un sol granulomtrie tendue, en fonction de la fraction 0/dm considre.

22

1.2.4 Masse volumique

La masse volumique dun sol en place () peut-tre mesure suite la ralisation dun prlvement in-situ. Les sols granulomtrie tendue ncessitant le prlvement dchantillons reprsentatifs de volume important, un protocole adapt a t dvelopp au Cemagref de Grenoble. Il est applicable lorsque la taille maximale des blocs nexcde pas 200 mm environ (suivant les dimensions du trou) et se dcompose en 5 phases successives (Figure 1-8) :

a. Ralisation dun avant-trou de surface carre (L, l =1.50 2m, H=0.2 0.8 m selon ncessit, pour supprimer la couche superficielle : terre vgtale, pavage de torrent)

b. Mise en place dun bti en bois et tablissement dun niveau de rfrence c. Mesure du volume V1 d. Prlvement + Pese du matriau extrait e. Mesure du volume V2

Figure 1-8. Mthode de mesure de la masse volumique en place (daprs P.Stupnicki, 1994, rapport interne Cemagref ).

23

Le volume du prlvement est gal V2-V1. Ces deux volumes peuvent tre dtermins selon deux mthodes diffrentes :

- remplissage du trou par de leau (Figure 1-8 c,e) ou par un sable calibr. Ce procd est relativement rapide et conomique mais pose le problme de lapprovisionnement en eau (ou en sable) sur le site. - relev gomtrique du trou :

En labsence deau sur le site, cette mthode consiste mesurer la profondeur du trou effectu de faon systmatique aux diffrentes intersections dun maillage horizontal

prtabli (Figure 1-9). La profondeur moyenne obtenue sur la surface du trou ( = ijhnh 1 ) permet de dduire directement son volume. Selon Azimi et al. (1983), lincertitude sur les mesures de volume est de lordre de 4% en utilisant cette mthode avec un maillage 10 x 10 cm.

Figure 1-9. Mesure du volume de sol prlev par un relev gomtrique

1.2.5 Compacit

La compacit est un paramtre particulirement significatif en terme de rsistance au cisaillement des sols, puisque cette notion traduit ltat dimbrication des particules du sol. Elle intgre plusieurs facteurs indpendants tels que la granulomtrie du sol, la forme des grains, mais aussi la teneur en eau et lnergie lie la mise en place du matriau. La compacit sexprime travers lindice de densit relative Dr du matriau, qui compare lindice des vides du sol en place (ratio du volume des vides sur le volume des particules solides, not e ) avec les indices des vides minimal emin et maximal emax caractristiques

24

intrinsques du matriaux (norme franaise NF P94-059). Lindice de densit relative sexprime sous forme dun pourcentage (Equation 1-5) :

)()((%)

minmax

max

eeeeDr

= (1-5)

Lindice des vides minimal emin correspond ltat le plus dense dun sol tandis que lindice des vides maximal emax correspond ltat le plus lche dun sol. Les mthodes de dtermination de ces deux indices (NF P94-059) sont assez mal adaptes aux sols granulomtrie tendue comportant de gros lments. Une mthode analogue celle dcrite dans la norme peut tre cependant utilise pour estimer in-situ lindice des vides maximal emax. Elle consiste dverser le matriau, remani et ar , dans un bac de volume adapt, connu et suffisamment important, en prenant soin de ne pas le tasser. A la fin du remplissage, le matriau est aras en surface de manire remplir parfaitement le volume. Aprs pese et correction de la teneur en eau, on obtient la masse volumique minimale dmin, dont on dduit ensuite emax et la porosit maximale nmax. Afin de concilier la reprsentativit des chantillons avec des considrations dordre pratique (volume de la caisse maximum ~ 100 litres), cette mthode est limite aux sols dont la taille des plus grosses particules nexcde pas 100 mm. Lessai Proctor (NF P94-093) permettant la dtermination de la masse volumique maximale max , correspondant lindice des vides minimal emin , est en revanche trs difficile dterminer pour les sols gros lments. En effet, compte tenu de la taille maximale des moules classiques disponibles (moule Proctor, =100 mm, moule CBR, =152 mm), cet essai est ralis sur la fraction 0/20mm et son domaine dapplication est limit aux sols contenant moins de 30% dlments suprieurs 20 mm. On peut signaler toutefois lexistence lINSA de Lyon dun moule de grande taille (=300 mm) qui permet la ralisation exceptionnelle de lessai Proctor sur une fraction plus importante des matriaux (0/31.5 mm) (Guichard, 1995).

1.2.6 Conclusions

Dans le cas des sols granulomtrie trs tendue, la prsence de blocs de taille importante (dcimtrique mtrique) savre souvent un obstacle aux mthodes didentification physique. En effet, les protocoles didentification dcrits dans les normes sont souvent peu prcis (ex. mesures de teneur en eau), ou les matriels exprimentaux classiquement utiliss peu adapts ces matriaux (ex. essai Proctor). Dune manire gnrale, les contraintes de reprsentativit sur les chantillons imposent le prlvement de masses de sol rapidement impossibles mettre en uvre en prsence de gros lments (masse minimale requise de 125 kg de sol lorsque dm est gal 100 mm). Un

25

crtage du matriau est donc souvent ncessaire lors du prlvement dchantillons pour caractrisation au laboratoire (ou sur site). Or ce procd, qui consiste carter les particules de dimension suprieure un seuil dfini, nest pas sans consquences sur les caractristiques du matriau, notamment sur ses proprits mcaniques.

1.3 Caractrisation mcanique

Les instabilits observes en gotechnique se traduisent en gnral par une rupture localise du sol en cisaillement. Elles peuvent affecter des talus (digues, remblais, berges) ou bien des fondations, sous leffet dune surcharge. Dans le but de pouvoir dimensionner correctement les ouvrages, ltude du comportement mcanique dun sol vise donc en particulier connatre sa rsistance au cisaillement. La rsistance au cisaillement dun sol est classiquement dcrite par son critre de plasticit (Philipponnat & Hubert, 2002 ; Coussy & Fleureau, 2002). Il exprime la relation existant lquilibre limite entre la contrainte tangentielle au plan de cisaillement et la contrainte n normale ce plan (Figure 1-10).

Figure 1-10. Reprsentation graphique de la loi de Coulomb.

Dans le cas des sols, le critre de plasticit le plus utilis est dcrit par la loi de Coulomb (1773) :

= n tan + c (1-6 )

- : angle de frottement interne () - c : cohsion (kPa)

Le cisaillement dun matriau granulaire saccompagne dune variation de son volume qui est fonction de son tat de compacit initial (Philipponnat & Hubert, 2002). Un sol compact a tendance augmenter de volume lorsque le cisaillement augmente. Son comportement est dilatant. A linverse, un sol initialement ltat lche a tendance diminuer de volume au

n

26

cours du cisaillement. Son comportement, dit contractant, traduit un rarrangement des grains (diminution de la porosit et augmentation de la masse volumique). La rsistance au cisaillement dun sol htrogne peut tre mesure au laboratoire ou in-situ.

1.3.1 Essais au laboratoire

Au laboratoire, il existe deux principaux essais permettant de mesurer la rsistance au cisaillement dun sol (Schlosser, 1988):

- Lessai triaxial, ou biaxial de rvolution (normes NFP 94-070 et NFP 94-070), qui consiste craser un chantillon cylindrique en lui appliquant une contrainte verticale croissante et une contrainte latrale de confinement. Dans ce cas le plan de rupture nest pas fix.

- Lessai de cisaillement direct la bote de Casagrande (norme NFP 94-071-1), o le matriau est contenu dans deux demi-botiers mobiles lun par rapport lautre. Le plan de cisaillement est impos et lpaisseur de la zone cisaille dpend de lespacement entre les botiers.

La mesure des paramtres c et sur les sols comportant de gros lments ncessite des appareils de taille importante, adapte la granulomtrie du matriau (Dmax).

1.3.1.1 Appareils de mesure en laboratoire

Plusieurs appareils de mesure de grandes dimensions ont t conus dans les annes 1960-70, afin de caractriser les matriaux grossiers et enrochements utiliss dans le cadre de chantiers exceptionnels, notamment la construction de grands barrages. Parmi ces dispositifs, on peut citer pour mmoire les cellules triaxiales gantes utilises par Marsal (1967) (dimensions : =1130, H=2500 mm), ou encore par Rasskazov et al. (1967) (=1000, H=2000 mm). Plusieurs botiers de cisaillement direct de grandes dimensions existent au niveau national, notamment au laboratoire dEDF dAix en Provence (1200 x 1200 mm) (Mamba, 1989), lINSA de Lyon (600 x 600 mm) (Laral et al., 1973) ou encore au CETE de Lyon (= 600 mm) (Shirdam, 1998). Au LIRIGM, un botier de cisaillement prototype, de dimensions 1000x1000 mm (Figure 1-11), a galement t dvelopp pour la ralisation de mesures sur dchets htrognes et sur sols grossiers (Gotteland et al., 2000). Cet appareil, entirement dmontable afin de pouvoir tre transport sur site, a t utilis notamment pour dterminer les caractristiques mcaniques des dpts htrognes constitutifs du cne de djection du torrent Manival

27

(Aboura, 1999, Gotteland et al., 2000). Ce matriau htrogne a t tudi par ailleurs au chapitre 5, grce plusieurs mthodes gophysiques.

Figure 1-11. Botier de cisaillement prototype 1000x1000 mm dvelopp au L.I.R.I.G.M. (a) Schma du dispositif exprimental, (b) Vue dede 3 des 4 vrins verticaux rpartissant la contrainte normale sur lchantillon et du vrin horizontal assurant la contrainte tangentielle (en bas droite). Pour trois contraintes normales diffrentes (n = 25, 50 ou 75 kPa), des essais de cisaillement ont t raliss avec ce dispositif sur la fraction 0/100 mm des dpts du cne de djection du torrent Manival (Figure 1-12). Les courbes contrainte-deformation (Figure 1-12a) montrent une absence de pic de rupture lors du cisaillement, la contrainte tangentielle () se stabilisant selon un palier subhorizontal lorsque le dplacement du botier devient suprieur 60-80 mm (dformation relative de lordre de 60 80 %). Les paramtres mcaniques (c, ) calculs pour une dformation relative gale 10%, tmoignent dune rsistance au cisaillement importante, avec un angle de frottement interne de 62,5 et une cohsion gale 45 kPa.

a. b.

28

Figure 1-12. (a). Courbes contrainte-dplacement obtenues sur la fraction 0/100 mm du sol du Manival (daprs Gotteland et al, 2000), (b). Dans le plan de Mohr-Coulomb, critre de plasticit et paramtres c, calculs pour un dplacement relatif gal 10%. Les diffrents essais de cisaillement direct effectus sur ce matriau (Aboura, 1999) ont montr en outre que les paramtres de rsistance au cisaillement obtenus taient sensibles au type dinterface mis en place la base et au sommet de lchantillon (Figure 1-13). En effet, la prsence de plaques horizontales rugueuses assurent une meilleure mobilisation du matriau que des plaques lisses lors du dplacement relatif des demi-botiers (Figure 1-13), et conduisent des caractristiques mesures diffrentes (rsultats obtenus avec des plaques lisses : =54 et c=53 kPa).

(b)

(a)

29

Figure 1-13. Courbes contrainte-dplacement obtenues sur la fraction 0/100 mm du sol du Manival, en fonction du type dinterfaces (plaques rugueuses ou plaques lisses) mis en place au sommet et la base du botier (contrainte normale n = 75 kPa) (daprs Aboura, 1999).

Le mme type de rsultats concernant linfluence de ltat de surface des plaques mises en place au sommet et au fond du botier ont t obtenus sur un matriau analogue (boulis calcaire matrice argileuse) (Rey 2001). Dun point de vue plus gnral, les dimensions caractristiques de lappareil de mesure utilis, ainsi que son type mme (cellule triaxiale ou boite de cisaillement) ont un effet souvent non ngligeable (Leslie, 1963 ; Rathee et al., 1981 ; Mamba, 1989 ; Fagnoul et Bonnechre, 1969). Cette influence des conditions de mesure sera aborde au paragraphe 1.3.1.3. De mme, les caractristiques granulomtriques du sol, et notamment le diamtre de ses plus gros lments (Dmax) vont influencer les proprits mcaniques mesures sur les matriaux.

1.3.1.2 Influence de la granulomtrie

La prsence de gros lments dans un sol ( 100 mm < Dmax < 1000 mm) rend son crtage souvent obligatoire pour pouvoir le caractriser en laboratoire. La granulomtrie du matriau test est donc troitement lie au mode dcrtage mis en uvre. Pour un Dmax final identique (aprs crtage), quatre types dcrtage sont possibles (Aboura, 1999) (Figure 1-14) :

- lcrtage direct, - lcrtage parallle, - lcrtage CBR, ou compens, - lcrtage granulomtrie quivalente (D50 constant).

30

Figure 1-14. Diffrentes mthodes dcrtage. Les courbes granulomtriques finales (en pointill) ont un Dmax final identique, et sont obtenues partir dune mme granulomtrie initiale (en noir) selon diffrents procds : (a) crtage direct, (b) crtage parallle, (c) crtage CBR ou compens, (d) crtage D50 constant. Le mode dcrtage direct est le plus simple et le plus rpandu : il consiste retirer les plus gros lments du matriau initial par tamisage. Cette mthode conduit une uniformisation de la granulomtrie et une augmentation de la proportion relative de la fraction fine. Compte tenu de leur lourdeur de mise en uvre, lutilisation des autres mthodes dcrtage reste relativement exceptionnelle et souvent limites au domaine de la recherche. Elles ne seront donc pas abordes. Ce paragraphe rsume les principaux rsultats concernant linfluence du diamtre Dmax sur la rsistance au cisaillement des sols, dans le cadre dun crtage direct.

A partir dessais sur un dispositif triaxial (dimensions : =230 mm, H=570 mm), Holtz & Villard (1961) ont tudi la rsistance au cisaillement de mlanges constitus simultanment par une matrice soit argileuse, soit sableuse (fraction 0/5 mm), et par des graviers (5/76 mm) dont la proportion est variable entre 0 et 65 %. Lorsque le pourcentage de graviers augmente, leurs rsultats ont montr une augmentation de langle de frottement interne, ainsi quune tendance la diminution de la cohsion. De mme, Fagnoul et Bonnechre (1969), en se basant sur diffrentes coupures obtenues par concassage et criblage, ont mis aussi en vidence une augmentation de la rsistance au cisaillement lorsque Dmax augmente. A partir dessais raliss sur des billes de verre, Cambou (1972) a constat une augmentation de langle de frottement lorsque Dmax crot. Rathee (1981) a mis en vidence une

31

augmentation de langle de frottement interne denviron 16 % lorsque Dmax crot de 6 28 mm, partir dessais de cisaillement sur un matriau sablo-graveleux. Taquet & Fry (1988) ont observ, partir dessais raliss sur les matriaux grossiers du barrage de Grand-Maison, que la rsistance au cisaillement passait par une valeur maximale pour la fraction 0/20 mm avant de chuter pour la fraction 0/63 mm. Sur les matriaux grossiers du filtre moyen de ce mme barrage, des essais triaxiaux mens par Dendani (1988) ont permis de conclure que lcrtage direct navait pas dinfluence notable sur le comportement mcanique du matriau, condition que le pourcentage de particules enlev reste infrieur 25%. Bien que tous ces auteurs naient pas exactement la mme position quant linfluence de Dmax sur les proprits mcaniques de rsistance au cisaillement, il semble se dgager une tendance gnrale laccroissement de langle de frottement interne lorsque Dmax augmente.

1.3.1.3 Influence des dimensions de lappareil de mesure

Afin dvaluer linfluence des conditions dessai sur la mesure des paramtres de la rsistance au cisaillement, il est utile dintroduire le rapport dchelle suivant :

maxDd= (1-7)

o d reprsente la dimension caractristique de lappareil de mesure (diamtre de la cellule triaxiale, diamtre de la bote de cisaillement section circulaire ou ct de la bote de cisaillement section carre), et Dmax la taille des plus gros lments contenus dans le sol. Concernant les appareils triaxiaux, Leslie (1963) a propos un rapport dchelle minimal

6 . Lors dessais de cisaillement direct sur une bote 300 x 300 mm, Rathee et al. (1981) ont constat que langle de frottement interne mesur pour des matriaux pulvrulents augmente lorsque le facteur dchelle diminue. Ils ont montr que cet angle devient indpendant de la taille de lappareil lorsque 10 pour les sables et 20 pour les graviers. De mme, partir dessais de cisaillement direct, Mamba (1989) a mis en vidence que linfluence de la taille du botier sur langle de frottement interne du matriau devient ngligeable pour des rapports dchelle 20 . Au vu des ces donnes, les mesures de rsistance au cisaillement la bote semblent plus

sensibles au rapport dchelle que les essais triaxiaux. Il est donc intressant de confronter les rsultats obtenus au moyen de ces deux types dappareils.

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1.3.1.4 Influence du type dappareil de mesure

A partir de nombreux essais raliss sur des matriaux pulvrulents et au moyen de 7 appareillages diffrents, Fagnoul et Bonnechre (1969) ont constat que les valeurs de rsistance au cisaillement mesures lessai triaxial sont gnralement infrieures celle obtenues la boite de cisaillement direct pour un mme matriau. Ces diffrences peuvent tre attribues une surestimation de la cohsion lors de lessai de cisaillement direct. Les auteurs ont aussi observ une augmentation assez nette de la rsistance au cisaillement du sol lorsque lespacement entre les deux demi-botiers devient infrieur 0.5 Dmax. Des rsultats similaires (Aboura, 1999 ; Rey, 2001) ont t obtenus sur deux boulis calcaires matrice limono-argileuse (granulomtrie trs tale, Dmax=100 mm) lors de mesures effectues au LIRIGM au moyen du botier de cisaillement 1000x1000 mm. Les fortes valeurs de cohsion mesures, jusqu 50-60 kPa peuvent tre attribues la relativement faible paisseur de la zone cisaille impose par le botier utilis. En effet, lespacement entre les botiers nest que de quelques mm (~ 5 mm) donc largement infrieure Dmax. Pour les mmes raisons, des valeurs de cohsion trs leves, jusqu environ 100 kPa, ont t mesures la bote de cisaillement cylindrique (d=300 mm) sur des sols htrognes de type dpts de lave torrentielle (Zhang & Xiong, 1997). Pour conclure quant linfluence du type dappareil de mesure, la localisation et lpaisseur de la zone de rupture ntant pas fixes dans lessai triaxial, ce dernier semble fournir une mesure de la rsistance au cisaillement plus raliste que celle obtenue la bote. Toutefois la ralisation et la mise en uvre des botiers de cisaillement de grande taille apparat plus simple et moins coteuse. Ils sont donc plus nombreux et prsentent galement lavantage de pouvoir effectuer des mesures in-situ sur sol non remani (Laral et al., 1973 ; Jain & Gupta, 1974).

1.3.2 Essais in-situ

Les essais in situ peuvent savrer indispensables lorsque la nature, la structure ou ltat du sol en place (granulomtrie, stratigraphie, teneur en eau ) ne permettent pas dextrapoler les rsultats obtenus en laboratoire sur chantillon remani au comportement du sol en place.

1.3.2.1 Lessai de cisaillement direct in-situ

Lessai de cisaillement direct in situ consiste introduire la partie suprieure dun botier de cisaillement direct dans le sol tester. Une contrainte verticale est applique sur le demi-botier ainsi quun effort de traction horizontal, qui cr un cisaillement la base du demi-botier. Ces essais peuvent se raliser au fond dune tranche ou dun puit selon le dispositif.

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Dans la littrature (Laral et al., 1973 ; Jain & Gupta, 1974) , on dnombre lexistence de plusieurs dispositifs de cisaillement direct de grande taille pouvant tre utiliss in-situ, parmi lesquels (Figure 1-15) : - un botier de 600x600 mm, mis au point lINSA de Lyon, et ayant servi notamment la caractrisation mcanique des alluvions graveleuses de la valle du Rhne (Laral et al., 1973) (Figure 1-15 a), - deux botiers raliss par Jain & Gupta (1974) : lun de 600x600 mm et lautre de 1200x1200 mm destins mesurer les caractristiques mcaniques des enrochements et matriaux de barrages (Figure 1-15 b). Cet essai reste peu utilis compte tenu de sa lourdeur de mise en uvre. Il pose le mme type de problmes concernant linfluence des gros lments, du type et des dimensions de lappareillage que les essais de cisaillement au laboratoire.

1.3.2.2 Le phicomtre

Comme son nom lindique, cet essai a pour objectif de mesurer les paramtres de rsistance au cisaillement dun sol (c, ). Il consiste en un cisaillement direct du sol le long dune surface cylindrique (Figure 1-16). Bien adapt aux sols permables, jusqu une profondeur gale 30 m. Cet essai fait lobjet dun protocole normalis (NF P94-120) et peut-tre utilis jusqu une profondeur de 30m. Le domaine dapplication de cet essai comprend tous les types de sols, y compris les sols relativement grossiers, condition que la taille maximale des htrognits (Dmax) reste infrieur 150 mm. Le principe de essai consiste introduire dans un forage une sonde cylindrique gonflable (=58 mm ltat dgonfl), dont les coquilles sont munies de dents annulaires horizontales qui pntrent dans le sol (Figure 1-16) lors de la mise en pression de la sonde. La pression horizontale tant maintenue constante, on applique un effort de traction vertical sur le train de tiges jusqu la rupture du sol sur la surface cylindrique (surface de rupture moyenne : 500 cm2). Le mme processus, ralis pour plusieurs pressions latrales (normales)

diffrentes, permet dobtenir la courbe intrinsque du sol. On note ci et i les paramtres du sol mesurs par le phicomtre.

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Figure 1-15. Dispositifs de cisaillement in-situ pour matriaux grossiers. (a) Appareil dvelopp lINSA Lyon, dimensions 600x600 mm (Laral et al., 1973). (b) Boite de cisaillement gante de 1200x1200 mm (Jain & Gupta, 1974). Les conditions de drainage dans le sol sont gnralement mal connues, Philipponnat & Zerhouni (1993) ont propos des rgles empiriques permettant dobtenir les caractristiques

intrinsques effectives du matriau (=corriges de leffet de leau) c et partir de ci et i mesures au phicomtre (Tableau 1-2), en synthtisant les rsultats dessais obtenus sur diffrents types de matriaux.

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Figure 1-16. Le phicomtre : (a) Schma du dispositif, (b) Principe de lessai (Philipponnat, 1986)

Mesures Estimations Nature du sol i ( ) ci (kPa) ( ) c (kPa)

Argile molle (*) * 17 0 Argile moyenne raide

15 20 17 ci /4

Autres sols lches (*)

< 20 **

max (25, i ) 0

Limons, marnes argileuses, complexe argilo-sableux

> 15

et

30 20 **

max (25, i ) ci /3

Sols granulaires < 10 i 0 Sols granulaires et cohrents,

sauf roches tendres

> 30 10 i ci /2

Roches tendres (*) > 25 * i < ci

Tableau 1-2. Estimation des caractristiques effectives (Philipponnat et Zehrouni, 1993). (* signifie hors du domaine dapplication de lessai). ci et i sont les paramtres du sol mesurs par le phicomtre et c et les paramtres corrigs de leffet de leau. Par une analyse statistique, Philipponnat (1986) a trouv une bonne corrlation entre les caractristiques obtenues au phicomtre et celles obtenues au laboratoire par un cisaillement rapide sur des matriaux non consolids (les sols pouvant tre trs permables, cisaillement rapide ne signifie pas forcment conditions non dranes).

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A titre dexemple, Zerhouni et al. (2002) ont pu mesurer les caractristiques mcaniques de graves et de galets situs une profondeur de 17,3 m grce au phicomtre. Sur ces

matriaux, les auteurs ont obtenu un angle de frottement interne i =40 = et une cohsion ci = c= 0 kPa. Lorsque cela est possible, lessai phicomtrique peut-tre combin avec un essai pressiomtrique ralis dans le mme forage.

1.3.2.3 Le pressiomtre

Lessai pressiomtrique est lun des essais in situ les plus rpandus pour caractriser les sols (Mnard, 1955). Il consiste introduire dans un forage une sonde gonflable dont on mesure en parallle la pression de gonflement et le volume. Cet essai permet de dterminer la fois une caractristique de dformation du sol (le module pressiomtrique) et une caractristique de rsistance (la pression limite).

A partir de lessai pressiomtrique cycle (variante de lessai classique), une mthode permet dobtenir simultanment les proprits lastiques sous ltat de contrainte rencontr dans le sol et langle de frottement interne du sol pour les matriaux pulvrulents (Monnet & Khlif, 1994) ou encore les proprits lastiques et la cohsion non draine dans le cas des sols cohrents (Monnet & Chemaa, 1995).

Dans le cas de mesures sur matriaux granulomtrie trs tale, lutilisation possible dun tube lantern mtallique de 1.20 m de longueur, et fendu selon six gnratrices verticales, permet la sonde pressiomtrique daffecter un volume de sol relativement important. Des mesures effectues avec cette mthode sur des alluvions fluvio-glaciaires et des graves de comportant des blocs jusqu 150 mm ont permis le dimensionnement dun grand mur de soutnement situ sur le trac de lautoroute A49 entre Grenoble et Valence (Monnet & Allagnat, 2001). Lapplication de cette mthode sur des matriaux de type graves, contenant simultanment des argiles et des blocs, implique une hypothse dterminante quant au comportement a priori du sol (cohrent ou pulvrulent).

1.3.3 Relations entre paramtres physiques et mcaniques.

Pour la plupart des sols, des corrlations existent entre les paramtres physiques et les paramtres mcaniques. Dfinies de manire empirique, elles permettent gnralement destimer les proprits mcaniques des matriaux (notamment langle de frottement interne) partir de certains paramtres physiques. Ainsi, dans le cas des sols htrognes, la dtermination de certains paramtres physiques par des mthodes indirectes de type

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gophysique ou analyse dimage peut permettre dans un second temps une estimation des paramtres mcaniques des matriaux. Lundgren (1960) propose une formule empirique (quation 1-9) reliant langle de frottement interne une constante et quatre paramtres correctifs dont les valeurs sont exprimes dans le Tableau 1-3 :

= 36 + 1 + 2 + 3 + 4 (1-9)

1 Granulomtrie Uniforme Moyennement uniforme Etale

- 3 0

+ 3

2 Forme des grains

anguleux intermdiaires arrondis Trs ronds

+ 1 0

- 3 - 6

3 Compacit Minimale Moyenne Maximale

- 6 0

+ 6

4 Taille des grains Sable Gravier fin Gravier moyen gros

0 + 1 + 2

Tableau 1-3. Paramtres correctifs pour langle de frottement (Lundgren, 1960)..

Outre leffet prpondrant de la compacit sur langle de frottement, cette relation montre linfluence non ngligeable des paramtres granulomtriques et de la forme des grains sur la rsistance au cisaillement.

Dans loptique de pouvoir estimer le comportement mcanique de matriaux grossiers non carottables, Azimi et al. (1983) ont ralis des essais triaxiaux raliss sur des sols de type moraines ou boulis crts 20 mm. Les rsultats obtenus leur ont permis de proposer une corrlation empirique reliant langle de frottement interne la masse volumique d et 3 paramtres relativement simples mesurer (quation 1-10) :

- le pourcentage massique de la fraction infrieure 0,4 mm, M (en %) - la limite de liquidit wL (en %) - un coefficient de forme Cf gal 0 pour des grains anguleux, et 1 pour les grains

arrondis

4010100

15,0100

.1,18,1*5015*5015' +

++

+

+= CfwM

wM

wM L

Ld

L

(1-10)

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Plus rcemment, Lebourg (2000) a tabli une relation empirique entre langle de frottement effectif mesur partir dessais triaxiaux sur 8 moraines glaciaires et lindice dallongement des grains INM (cf. dfinition 1.2.2), ce dernier ayant t quantifi par analyse dimages :

72.185' = NMI (111) Linfluence de lallongement des grains sur langle de frottement interne des moraines est importante puisque passe de 20 presque 40 lorsque INM crot de 0.5 0.6. On notera par ailleurs que ces valeurs dangle de frottement interne sont lgrement sous-estimes par leffet dchelle li lcrtage du matriau, tant mesur sur des prouvettes de 4 ou 8 cm de diamtre (Dmax ~ 5 mm). Ce rsultat montre que, dans certaines conditions, lanalyse dimage peut savrer un outil intressant pour participer indirectement la caractrisation mcanique des matriaux comportant de gros lments.

1.3.4 Conclusions

Comme lidentification physique, la caractrisation mcanique des sols comportant de gros lments se heurtent un certain nombre de difficults. Au laboratoire, les essais de rsistance au cisaillement ncessitent des appareils de mesure de grandes dimensions, et les masses de sol manipuler sont particulirement importantes. En outre, ces essais ncessitent gnralement un crtage du matriau, effectu lors de lchantillonnage, pour garantir un rapport dchelle suffisant entre la dimension des plus gros lments contenus dans le matriau test (Dmax) et les dimensions de lappareil de mesure. Cet crtage du sol influence ses caractristiques de rsistance au cisaillement. Les rsultats sont aussi largement influences par les conditions dessai, non seulement par le rapport dchelle d/Dmax , mais aussi par le type mme de lessai ralis (cisaillement direct ou essai triaxial). Pour toutes ces raisons, et cause de leur lourdeur de mise en uvre, ces essais sont rarement utiliss. In-situ, les essais de cisaillement direct sur sol non remani se heurtent aux mmes difficults quen laboratoire. Les essais ponctuels (phicomtre et pressiomtre) sont limits des tailles dhtrognits de lordre de 150 mm. Dans ce contexte, les mthodes gophysiques, non-destructrices, peuvent savrer une alternative intressante aux essais gotechniques in-situ.

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1.4 Mthodes Gophysiques

Les mthodes gophysiques de sub-surface, qui permettent d'investiguer simultanment un grand volume de sol, deviennent particulirement intressantes dans le cas de sols comportant des particules de dimensions dcimtrique mtrique. Leur cot relativement modr, ainsi que leur rapidit de mise en uvre, peut permettre de caractriser des terrains grossiers et htrognes et de dtecter des variations latrales en terme de proprits gophysiques.

Leurs inconvnients principaux sont dune part la diminution de la rsolution avec la profondeur et dautre part le fait que les proprits mcaniques du sol ne sont pas obtenues directement. Lexistence de corrlations entre les paramtres gophysiques et certaines caractristiques gotechniques permet cependant de les dterminer indirectement (cf. 1.5). Parmi les paramtres gophysiques potentiellement utilisables pour caractriser les sols, et notamment des sols htrognes, nous avons tudi lapport de :

- la rsistivit lectrique () - la vitesse de propagation dans le sol des ondes de compression (VP) - la vitesse de propagation dans le sol des ondes de cisaillement (VS)

Ce paragraphe consiste en une prsentation rapide des mthodes gophysiques permettant la mesure de ces proprits gophysiques.

1.4.1 Mesure de la rsistivit lectrique

On distingue deux types de mthodes pour mesurer la rsistivit lectrique dun sol : les mesures directes de type sondage ou tomographie lectrique (DC) et les mthodes lectromagntiques (EM). Bien que bases sur deux phnomnes physiques diffrents (les premires sur la loi dOhm et les secondes sur les quations de Maxwell) ces deux mthodes permettent de mesurer la mme proprit gophysique (la rsistivit lectrique ). Compte tenu des frquences relativement faibles utilises par les mthodes lectromagntiques (de lordre de 104 Hz) on peut considrer que la rsistivit lectrique obtenue par les mesures lectromagntiques est quivalente celle mesure en courant continu (DC) (Reynolds, 1997).

40

1.4.1.1 Mthodes de rsistivit

Ces mthodes consistent mesurer le potentiel induit par linjection dans le sol dun courant continu au moyen dlectrodes mtalliques plantes en surface. Les mesures sont gnralement ralises en courant continu, ventuellement basse frquence (quelques Hz) (Telford et al., 1990). Comme cette mthode a t largement utilise dans ce travail, son principe est dtaill dans les paragraphes suivants.

1.4.1.1.1 Distribution du potentiel lectrique dans le sol

Dans le cas dune source de courant ponctuelle situe en surface dun demi-espace infini

homogne isotrope, la diffrence de potentiel V entre deux quipotentielles hmisphriques spares par une distance infinitsimale r (Figure 1-17) sexprime selon lquation (1-12) o reprsente la rsistivit, J la densit de courant sur la surface quipotentielle situe la distance r de la source, et I lintensit du courant (Equation 1-13).

JrV

.=

(1- 12)

22 rIJ = (1- 13)

Par intgration de (1-12), on obtient :

rIV 1

2= + C (1- 14)

Comme 0=V lorsque =r , lquation (1- 14) se simplifie en :

rIV

2

= (1- 15)

41

Figure 1-17. Reprsentation 3D de deux quipotentielles hmisphriques spares par une distance infinitsimale r autour dune lectrode de courant ponctuelle (flche verticale) (daprs Reynolds, 1997).

1.4.1.1.2 Mesure de la rsistivit dun sol

En pratique, une mesure de rsistivit du sol ncessite 4 lectrodes (Figure 1-18). Relies un gnrateur, deux des lectrodes, dites de courant (C1, C2), font circuler dans le sol un courant continu dintensit fixe et contrle par un ampremtre. La diffrence de potentiel induite dans le sol par la circulation de ce courant est mesure par un voltmtre reli aux deux lectrodes dites de potentiel (P1, P2). Lensemble (ampremtre + voltmtre, ventuellement gnrateur de courant) est appel rsistivimtre.

Figure 1-18. Schma gnral dune mesure de rsistivit du sol utilisant un dispositif 4 lectrodes.

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La circulation dun courant continu dans un demi-espace homogne infini entre 4 lectrodes est reprsente la Figure 1-19. Le courant entre dans le sol en un point C1 (+I) et en sort par un point C2 (-I). Le potentiel en un point M quelconque est la somme des contributions des sources C1 et C2.

Figure 1-19. Lignes de courant (en gras) et courbes quipotentielles (normal) induites par deux lectrodes de courant C1 (+I) et C2 (-I).Les flches verticales en surface reprsentent les lectrodes.

Au niveau des points P1 et P2, le potentiel sexprime selon :

=

2111)1(

112

.CPCP

IV P

=

2212)2(

112