caract mouvement
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Caractristiques du mouvement
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1/ INTRODUCTION
OM, vitesse v
et lacclration a
est repre dans un
repre ( ; , , )O i j k
O
Z
X
Y
x
y
z
i j
k
M
. . .OM r x i y j z k = = + + (4.1)
IV/CINEMATIQUE
;
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3/ LES EQUATIONS HORAIRES (ABC;D):Un point matriel est au repos dans un repre choisi si ses coordonnes , ,x y z sont
indpendantes du temps, et il est en mouvementsi ses coordonnes varient en fonction du
temps.
(On a choisi des coordonnes cartsiennes, mais on aurait pu choisir nimporte
quelles autres coordonnes).
Ces coordonnes peuvent tre notes par :
( ), ( ), ( )x t y t z t
( ), ( ), ( )x f t y g t z h t= = = (4.3)
La trajectoire
( ; , )R O i j
2
2t s=
Rponse
t de lquation de x quon remplace dans z :
22
xx t t= =
21.25. 2.z x x= + Cest lquation dune parabole.
2/ Expression du vecteur position :
2( 2)
( 2)
. .
(2 ). ( 5 4 ). 4 12
4 12
t
t
OM x i y j z k
OM t i t t k OM i k
OM i k
=
=
= + +
= + + =
=
2 4x t ; y 0 ; z -5t t= = = +
(4.2)
On appelle ces fonctions, les quations horaires du mouvement. On peut les
exprimer sous la forme :
K;L( )La trajectoire est lensemble des positions occupes par le mobile au cours de son
mouvement pendant des instants successifs. La trajectoire peut tre matrielle ( la route
suivie par une automobile par exemple ) ou imaginaire (trajectoire de la lune par
exemple).
Ltude dun mouvement plan se fait en coordonnes rectangulaires dans le repre
o la position est dfinie par les deux coordonnes : )(),( tytx
La fonction )(xyx sappelle quation cartsienne de la trajectoire
)K;L>NOK;PC;D( .
On obtient lquation de la trajectoire par limination du temps entre les
deux quations horaires.
Exemple 4.1 : Les quations horaires du mouvement dun point matriel tir dans lespace
sont (toutes les units sont dans le systme
international).
1/ Trouver lquation cartsienne de la trajectoire, quelle est sa forme ?
2/ Ecrire lexpression du vecteur position au temps
:
1/ On tire
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Exemple 4.2 : Le mouvement dun point matriel est dfini dans un repre cartsien par ses
deux quations horaires :
)cos(
)sin(
+=
+=
tay
tax
Quelle est donc la trajectoire suivie ?
Rponse :
En lve au carr les deux quations, puis on fait la somme membre membre pour
aboutir lquation dun cercle de rayon a :2 2 2
2 2 2
2 2 2
sin ( . )
cos ( . )
x a tx y a
y a t
= +
+ == +
4/ LE VECTEUR VITESSE (
t'M
'
v ; vt t t= =
T
O'MM
t
'v
: Le vecteur vitesse instantane )(tv
est port par la tangente la
trajectoire au point M ; il est toujours orient dans le sens du mouvement(Figure 4.3).
Dans le repre cartsien par exemple, on en dduit lexpression du vecteur vitesse
instantane partir de lexpression du vecteur position en drivant :
. . . . . .OM r x i y j z k v x i y j z k = = + + = + +
'
'moy moy
MMMM
BCD4/0
M
M
(t)v
Vecteur vitesse instantane ) ?LS;DT>Z(Le vecteur vitesse instantane, c'est dire au temps
''
'lim limt t tt t
OM OM OM dOM t t t dt
= = =
t
dOMvdt
=
(4.5)
IMPORTANT
, est la drive )(Y[( duvecteur position par rapport au temps :
)VWXY?LS;DT(Regardons la figure 4.2 : entre linstant , et
linstant 't o le mobile occupe la position
(4.6)
?LS;DT):On considre que la vitesse est la distance parcourue par unit de temps.
Vecteur vitesse moyenne
M, le vecteur vitesse moyenne est dfini comme
tant lexpression 4.4.
o le mobile occupe la position
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v
y , par exemple, par rapport au
temps, pardt
MKS est 1./ = smsm .
Les composantes des vecteurs OM
et v
CONVENTIONS )( Notation de Newton : on note la drive par rapport au temps en mettant un
point sur le symbole de la variable. Si la drive est par rapport une variable
autre que le temps, la notation est de mettre une apostrophe() aprs le symbole
de la variable driver.
Notation de Leibnitz : On note la drive de
; ;dx dy dz x y zdt dt dt
= = =
dy.
Ainsi nous pouvons crire
)(
Module du vecteur vitesse instantane
2 2 (4.7)
Lunit de la vitesse dans le systme international
2v x y z = + +
en coordonnes cartsiennessont donc :
x
y
R z R
x vx
OM y v y v
z z v
=
=
=
5/ LE VECTEUR ACCELERATION ) S;DTYL;SK( :Nous considrons que lacclration est la variation de la vitesse par unit de temps.
Vecteur acclration moyenne ) S;DTSK;LYaWXY(
) S;DTYL;SK( :Nous considrons que lacclration est la variation de la vitesse par unit de temps.
Vecteur acclration moyenne ) S;DTSK;LYaWXY(
';
'moy moy
vv v v a a
t t t t
= = =
(4.8)
M
O
M v
'v
moya
Trajectoire
Fig 4.4
En considrant deux instants diffrents t et 't correspondants aux vecteurs position
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OMet 'OM et les vecteurs vitesse instantane v
et 'v
(figure 4.4), le vecteur acclration
moyenne est dfini par lexpression 4.8
Vecteur acclration instantane ) S;DTSK;LYbZ>(Le vecteur acclration instantane dun mouvement est dfini comme tant la
drive du vecteur vitesse instantane par rapport au temps.
v v v dv OM
2
2dv d OM a
dt dt = =
)(ta
2 22a x y z = + +
. . . . . . . . .
x x x
y y y
R z z zR R
x y z x y z
x v x v ax
r y v y v a y v a
z z v z v a
OM r x i y j z k v v i v j v k a a i a j a k
= = =
= = = =
= = =
= = + + = + + = + +
(4.12)
2
' ' 2
' dlim lim
't t t t a
t t t dt dt
= = = =
(4.9)
On peut crire maintenant en rsum les expressions des vecteurs position, vitesse et
acclration en coordonnes cartsiennes, avec les conventions de Newton et Leibnitz :
. . . . . . . . .OM r x i y j z k v x i y j z k a x i y j z k
dx dy dz d x d y d z 2 2
2 2 2. . . . . .
2
v i j k a i j k (4.10)dt dt dt dt dt dt
= = + + = + + = + +
= + + = + +
Important
( )
Ce module est donn par la formule 4.11
: Le vecteur acclration est toujours dirig vers la partie concave de la
trajectoire. (figure4.5)
Module du vecteur acclration instantane
: Dans un repre cartsien les vecteurs position, vitesse et acclration sont :CONCLUSION
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Remarque : Le mouvement est dit acclr si . 0a v
, et dclr ou retard si . 0a v
.
Quant au sens du mouvement il est indiqu par le sens de la vitesse v
.
Exemple 4.3 : Soit le vecteur position
=
=
=
3
2
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2
tzty
tx
OM . En dduire le vecteur vitesse et le
vecteur acclration instantanes, puis calculer le module de chacun deux.
Rponse
2
4
4 . 4 3 6
16 92 2
v t i j t k a 4i 0j tk
v 16t t , a 16 36t
= + + = + +
= + + = +
:Nous drivons deux fois de suite lexpression du vecteur position pour obtenir les
vecteurs demands et ensuite nous dduisons leurs modules :