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Capítulo 19 1

ω2 = ω

Capítulo 19 MCI - Turbinas de vapor

Aplicando la expresión del I° Principio para sistemas abiertos,

Lo cual también se puede expresar:

Que para el caso de una transformación adiabática, sin cambios de nivel y despreciando el trabajo de circulación, queda:

Que es la expresión de la velocidad de salida para el caso de una tobera como la de la Fig. 1, en la cual se puede considerar que ω1 = 0. Entonces, en la turbomáquina se trata de aprovechar el empuje obtenido por la variación de la energía cinética de la vena fluida. Para entender el proceso, se recurre al análisis de un cuerpo ideal, como el de la Fig. 2, el cual no posee rozamiento alguno, ni se lo produce al fluido que circula por su conducto en “U”.

En este caso, considerando que por una tobera se le inyecte un fluido con velocidad ω1; si el móvil se desplaza con una velocidad ωc , y si por definición, la velocidad del fluido no varía en el recorrido es:

⏐ω′1⏐= ⏐ω′2⏐ siendo las ω′ las velocidades relativas. Entonces, se cumplen las siguientes relaciones:

⏐ω′1⏐= ⏐ω1⏐−⏐ωc⏐ ⏐ω′2⏐= ⏐ω2⏐+⏐ωc⏐

∴ ⏐ω1⏐−⏐ωc⏐=⏐ω2⏐+⏐ωc⏐ ⇒ ⏐ω2⏐ = ⏐ω1⏐−2⏐ωc⏐ Entonces, calculando la fuerza actuante F en base al teorema del impulso para una corriente de caudal G, se tiene:

Si se grafica F en función del valor de la velocidad de arrastre ωc se tiene el diagrama de la Fig. 3, en el cual se pueden determinar los valores máximo y mínimo (0) de la función. De igual forma se puede graficar en forma superpuesta el valor del par o trabajo desarrollado por el fluido en el elemento de turbomáquina, para lo

( ) ( ) ( ) 1 222112122

21C U U

2g1- LA - Q −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−+− vpvphhωω

222222C1111

21 U Ap Ah

2gA AL U Ap Ah

2gA Q ++++=++++ vv ωω

( ) i 91,53 i A2g

2gA i qeda 0 si

2gA i - i i

2gA i

2gA 2

121

22212

221

21 Δ=Δ=→=Δ=∴−=⇒+=+ ωωωωωωω

ω1=0

Fig. 1

ω′1

ω′2

ωc

F

Fig. 2

( ) ( ) ( )c12121 - g G 2

gG F

gG F ωωωωωω =+=→−=

Fig. 3

ωc

ω1

1g

2G ω

F

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Capítulo 19 2

cual, se determina la función correspondiente en base a la variación de energía cinética:

Y como se puede expresar ω2 en función de la velocidad de arrastre ωc , queda:

Entonces, en la expresión del trabajo queda:

Esta función se puede graficar como se indica en la Fig. 4, en la cual se determinan los puntos por donde pasa por cero:

Y para determinar el máximo, se busca el valor de ωc que anule a la derivada:

Pero las funciones de fuerza y trabajo fueron deducidas sobre la base de un sistema teórico que no puede ser llevado a la práctica, puesto que si se requiere un trabajo continuo, se deberían vincular una serie de móviles, los cuales no podrían desplazarse en forma rectilínea, ni tampoco podrían desviar el flujo 180°, por lo cual el sistema aproximado resulta: Donde, tal como se indica en la figura 5, es necesario disponer el flujo con un determinado ángulo de incidencia α1., y el movimiento pasa a ser circular, señalándose los ejes del movimiento, es decir, las direcciones tangencial, radial y axial respectivamente ( t ; r ; e ). En este caso, las expresiones se transforman en:

Además, se tiene que:

Por lo cual queda:

Donde se tiene el valor de la fuerza desarrollada por el flujo G de vapor que adquiere velocidad merced al salto entálpico Δi, evolucionando en una turbomáquina que gira con velocidad angular ω y a un radio r del eje. De igual forma se puede calcular la expresión del trabajo o par desarrollado:

ω1 ω1/2

( )22

21c -

g 2G E W ωω=Δ=

( ) 2c1

21

2c

21

22

22 4 4 - 2 - ωωωωωωωω +=== c

[ ]

( )21

2c1

21

21

gG 2 W

4 g 2

G W

cc

c

ωωω

ωωωωω

−=

++−=

Wmax

W

ωc

( )2

0 2 gG 2

ddW 1

cc1

c

ωωωωω

=→=−=

Fig. 4

Fig. 5

ωc r

e

t

α1

( )cωαω −= 11real cos g

2G F

irc Δ==×= 53,91y 1 ωωωω

( )r×−Δ= ωα1real cos i92,53gG2F

( )r cos 91,53rg

2GW 1real ×−Δ×= ωαω i

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Capítulo 19 3

El intercambio de energía entre el fluido y el rotor también puede ser analizado mediante la ecuación de Leonhard Euler, para una máquina cualquiera en general, que gira en forma uniforme sobre su eje, con las siguientes consideraciones:

El fluido incide en la sección 1 con una velocidad absoluta C1, y luego de atravesar el rotor, deja la sección 2 con velocidad C2, tal como se indica en la Fig. 6. Se efectúan entonces las siguientes hipótesis: El flujo es constante y uniforme en todas las secciones. El flujo es laminar, por lo que no se consideran pérdidas por torbellinos. El rotor gira a velocidad constante ω. No hay pérdidas de fluido fuera del rotor. No hay transferencia de calor entre fluido y medio que lo rodea. No hay pérdidas por fricción.

El fluido puede ser compresible o no, y recorre una trayectoria de carácter general como la indicada en la figura. Se consideran de cada vector Ci las correspondientes componentes tangencial, radial y axial, señaladas con los subíndices T, r y e respectivamente. Las componentes que resultan de importancia para el movimiento del rotor son las tangenciales, es decir, las CiT, ya que los esfuerzos originados por las componentes axiales como las radiales son contrarrestadas por los vínculos mecánicos del rotor. Considerando en este caso, de igual forma que en el análisis anterior, la variación de la cantidad de movimiento M:

M = m/g . C Con lo cual, dado que la variación de la cantidad de movimiento es igual a la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre el fluido, queda:

Σ F = d/dt ( m/g . C )

ΣF =d/dt ∫ C dm/g = dM/dt

El momento angular del fluido ingresante será: M 1 = F . r1 = 1/g .(dm/dt) . C1T . r1

De igual forma para la sección de salida,

M 2 = F . r2 = 1/g . (dm/dt) . C2T . r2

Teniendo en cuenta que dm/dt = G que es la masa de fluido que pasa por la unidad de tiempo, es entonces el momento ejercido:

T = G/g ( C1T . r1 - C2T . r2 ) Y la potencia entonces, estará dada por:

N = T . ω = ω G/g ( C1T . r1 - C2T . r2 ) Siendo la potencia específica o por unidad de masa:

Ne = ω/g ( C1T . r1 - C2T . r2 ) Y como ω . r = U, es Ne = 1/g (C1T . U1 - C2T . U2 ) ( Ecuación de Euler )

ω

Fig. 6

1 2

C1TC1r C1

C1e

C2r

C2T

C2e

C2

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Capítulo 19 4

Si por el rotor pasa 1 kg de vapor por segundo, la masa que pasa será 1 / g, y en el elemento de tiempo dt, el flujo de masa será (1 / g) . dt Entonces, el momento estático de la cantidad de movimiento de la masa de vapor entrante será:

(1/g) dt . r1 . C1 . cos α1 de igual forma, en la sección saliente es:

(1/g) dt . r2 . C2 . cos α2

entonces, la diferencial de momento es:

dM /dt = (1/g).( r2.C2.cosα2 –r1.C1.cosα1) La diferencial de momento respecto al tiempo debe ser igual al momento transmitido por el rotor o rueda móvil como reacción de vínculo, o sea,

M = - dM /dt = (1/g) . (r1.C1.cosα1 - r2.C2.cosα2) Pero en el análisis considerado, r1 = r2 = r, y además, de acuerdo a la Fig. 7, Ci . cos αi = CiT, o sea:

M = (r/g). (C1T - C2T) Que es el valor del momento transmitido por el rotor por unidad de masa circulante, y que coincide con lo deducido mediante el análisis de Euler. Es decir, que cualquiera sea la forma de analizar la transformación de energía que se produce en el sistema tobera – rotor, se arriba a resultados idénticos. Asimismo, se fija conceptualmente a dicho conjunto como trasductor de la entalpía inicial del fluido. En la fig. 8 se pueden notar la velocidad absoluta C, la de arrastre U y la relativa W sobre una esquematización del conjunto estator – rotor: Sobre esta base se estudiarán los diagramas de velocidades de entrada y salida del rotor, recurriendo para ello a diferentes formas de trazado, con el fin de poder interpretar las correspondientes componentes y en función de ello, el rendimiento interno del conjunto.

C2T

α2

W2 C2

-U

W1 U

C1

C1T α1

Fig. 8

absoluta

relativa

rotor

arrastre

REFERENCIAS

estator

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Capítulo 19 5

El diagrama que mas se aproxima a la ubicación real de los vectores es el de tipo “extendido” como el de la fig. 9: En este caso se puede ver que la velocidad absoluta de salida C2 tiene componente tangencial que se opone a la rotación. Se pueden dar, según el diseño de los valores de α1 , C1 y U, proyecciones positivas o negativas, incluyendo la posibilidad de proyección nula, la cual, según se verá, constituye la variante que representa el diseño de mejor rendimiento. El concepto de rendimiento interno esta asociado a la capacidad de transformar el salto entálpico disponible del fluido que pasa por el sistema ( estator + rotor ) en energía mecánica en el eje del rotor, de acuerdo a las expresiones deducidas previamente. La otra manera de representar los triángulos de velocidades es la forma “polar”, según fig. 10:

Este tipo de representación permite efectuar determinaciones en escala mas rápidas. En este caso, se obtiene componente tangencial de la velocidad absoluta de salida en el mismo sentido de la rotación. Debe destacarse asimismo, que en ambos casos, se supuso que |W2| = |W1|, es decir, que no existen pérdidas por rozamiento a lo largo del recorrido interno del álabe, tal como se planteó en el primer análisis.

Existe además otra tercera forma de representar los diagramas de velocidades, que es el método “condensado”, que es una variante del polar, y que se omite por no aportar herramientas ni facilidades adicionales, siendo preferible la variante sin rebatimiento del diagrama polar, tal como el de la fig. 11 que se utilizará para la deducción del valor del rendimiento interno:

W2 = W1

W1 C2T

C2

U

-U

C1T

C1

Fig. 9

C2T C1T

C1

-U

W1 C2

U

W2 = W1

Fig. 10

α1

U - U

C1T C2T

C2 W1 = W2 C1

Fig. 11

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Capítulo 19 6

Para la expresión del trabajo por unidad de masa de fluido que circula por el rotor en base a la expresión de Euler es:

Ti = U / g ( C1T – C2T ) De acuerdo al esquema de la fig. 11,

C2T = - [( C1 cos α1 – U ) – U ] = - ( C1 cos α1 – 2U ) Entonces queda:

Ti = U ( C1 cos α1 + C1 cos α1 –2U ) = 2U (C1 cos α1 – U ) Por otra parte, era:

Δi = C1² / 2g Entonces, el rendimiento interno se puede expresar:

ηi = Li / Δi reemplazando,

ηi = 2U (C1 cos α1 – U ) / C1² / 2g es decir,

ηi = 4 U/C1 ( cos α1 - U/C1 )

El rendimiento interno será máximo para C2T = 0, o sea que en la expresión correspondiente queda:

C2T = - ( C1 cos α1 – 2U ) = 0 se cumple para U/C = ½ cos α1 Sustituyendo queda:

ηi máx. = cos² α1

Esto implica que disminuyendo el ángulo de incidencia del fluido, el rendimiento interno mejora, y la relación U/C tiende al valor ideal 0,5 anteriormente deducido. Sirven de base los siguientes ejemplos:

Si α1 = 25° es ηi máx. = cos² 25° = 0,82 con lo cual U/C = 0,45

Si α1 = 15° es ηi máx. = cos² 15° = 0,93 con lo cual U/C = 0,48

ηi

U/C cos α1½ cos α1

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

cos² α1

α1 = 15

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Capítulo 19 7

r

C2R

UR

W2R

W1R

Ur

W2r

C2r

C1r

UR

Ur

W1r

C1R R

Además de la relación del rendimiento interno con el ángulo de incidencia, es necesario visualizar la influencia del valor del radio en los casos de rotores de gran sección de paso.

Para un álabe correspondiente a una sección de paso relativamente grande, como por ejemplo, alguna sección final en la zona de presiones bajas en una turbina de vapor, tal como se esquematiza en la fig. 12, se puede apreciar que, para una velocidad angular constante ω existirán dos valores de velocidad tangencial, una correspondiente a la raíz del álabe, Ur = ω . r y una velocidad de cabeza, UR = ω . R Entonces, aunque en principio se supongan los valores de la velocidad absoluta de entrada C1 iguales para ambos radios, es decir, C1r = C1R, la diferencia del los valores de velocidad de arrastre producirán vectores de velocidad absoluta de salida completamente distintos en módulo y dirección. Ello ocurre porque se ha supuesto al álabe como un cuerpo cilíndrico, es decir, cuya superficie lateral está compuesto por generatrices paralelas. O sea que la sección normal del álabe es la misma para cualquier radio entre el de raíz y el de cabeza. Para evitar ese efecto, que a su vez, provoca circulaciones y turbulencias internas que disminuyen el rendimiento interno del rotor, se construyen álabes con sección variable a lo largo del radio, de forma de compensar en cada punto los correspondientes triángulos de velocidades, resultando entonces sus superficies formadas por generatrices no paralelas o “alabeadas”, conociéndose este tipo de diseño como “de reacción constante” a diferencia de los anteriores, o “de torbellino libre”. El de la fig. 12 por lo tanto, corresponde a este último tipo de álabes, cuyo uso queda restringido por ello a las menores secciones de paso, o sea, a las menores alturas, como las secciones de alta e iniciales de media presión. Se puede considerar también la influencia del perfil del álabe para un mismo radio, analizando los casos extremos de diseño, el álabe plano y el de perfil curvo:

Fig. 12

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Capítulo 19 8

En la fig. 13 se esquematizan ambos tipos de álabes, ninguno de los cuales tiene ya aplicación práctica, sino que solamente tiene sentido analizarlos como casos teóricos. Caso de la paleta plana:

Si la paleta se mueve con una velocidad U = ω . r, La fuerza del fluido sobre el perfil será:

F = G/g ( C1 – U ) Y la potencia

N = F . U = G/g ( C1 . U - U²) El valor de U que produce la máxima potencia se determina en base a la anulación de la derivada correspondiente:

dN/dU = 0 = G/g . C1 – G/g . 2U ∴ U = ½ C1

entonces, será: Nmax =G/g ( C1. ½ C1 - ¼ C1² ) = G/g . ¼ C1²

Y el rendimiento interno será entonces, ηi = Nmax / Nvapor = ( G/g. ¼ C1² ) / ( G/g . ½ C1² ) ∴ ηi = 0,5

Caso de la paleta curva: En este caso, para una velocidad cualquiera U de la paleta, será:

C2 = - [ (C1 – U) – U ] = 2U – C1 Entonces, es

F = G/g . [ (C1) – (2U – C1)] F = G/g . 2 (C1 – U)

Y la potencia es N = F . U = G/g . 2U . (C1 – U) = G/g . 2 U C1 ( 1 – U/C1)

Multiplicando y dividiendo por C1: N = G/g . 2U/C1 . C1² . ( 1 – U/C1)

Si al cociente U/C1 se lo denomina p, queda: N = G/g . 2 p C1² ( 1 – p) = G/g . 2p C1² - G/g 2p² C1²

El valor de U correspondiente a la potencia máxima será entonces el valor que anule a su derivada:

dN/dp = G/g . ( 2 C1² - 4p C1²) = 0 = G/g . ( 2 C1² - 4 p C1² ) ∴ 4p = 2 o sea, p = U/C = ½ entonces, queda:

Nmax = G/g . 2U/C1 . C1² ( 1 - U/C1) = G/g . C1² ( 1 – 0,5) = G/g . ½ C1² Entonces, el rendimiento correspondiente será:

ηi = G/g . ½ C1² / G/g . ½ C1² ∴ ηi = 1 resultado que se condice con lo deducido al principio, considerando el caso ideal de la desviación de 180° con el cuerpo ideal sin rozamiento, y con el cual se comenzó a evaluar la transformación de energía a partir de un flujo de un fluido compresible o no.

U C1

Fig. 13

U

C2

C1 - U

C1

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Capítulo 19 9

Ecuación fundamental de las turbomáquinas: Considerando los siguientes triángulos de velocidades, correspondientes a la entrada y a la salida de un rotor tal como se señala en la fig. 14: Si se considera la potencia que genera el flujo G, de acuerdo a la expresión de Euler, es:

N = G/g ( C1T . U1 – C2T . U2 )

De la fig. 14 se puede deducir que:

W1² = C1² + U1² - 2 C1.U1. cos α1 = = C1² + U1² - 2 U1 . C1T de igual forma, W2² = C2² + U2² - 2 U2 .C2T Entonces, reemplazando en la expresión de Euler, se tiene: C1T . U1 = ½ ( C1² + U1² - W1² ) C2T . U2 = ½ ( C2² + U2² - W2² ) Reemplazando en la ecuación de la potencia, queda:

N = G/g [ ½( C1² - C2² ) + ½( U1² - U2² ) + ½( W1² -W2² )] Dado que en las turbinas axiales, para un radio determinado se puede considerar U1 = U2, es

N = G/g [ ½( C1² - C2² ) + ½( W1² -W2² )]

El salto energético periférico será:

I0 – i2 + ½ ( C0² - C2² ) + ½( W1² -W2² ) + g ( z0 – z2 )

Donde C0 y z0 son respectivamente los valores de velocidad y altura a la salida del elemento que produce la aceleración del fluido ( tobera ). Asimismo, y en este planteo teórico, puede asimilarse directamente el valor de la velocidad absoluta de salida de la tobera equivalente a la de entrada al rotor ( se desprecian numéricamente las pérdidas en el entre hierro ). Pero como se puede considerar también en las turbinas axiales, z0 – z2 ≅ 0, y ½C0² ≅ ½ C1², entonces queda lo que se conoce como ecuación fundamental de las turbomáquinas:

I0 – i2 = Δ i = G/g [½( C1² - C2² ) + ½( W1² -W2² )]

C1T C2T

U1 U2

C1 C2

W1 W2 α1 β1 α2 β2

Fig. 14

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Capítulo 19 10

Acción y reacción: Una forma rápida de apreciar la diferencia entre ambos tipos de turbinas es mediante la observación de la variación de los principales parámetros del fluido (vapor) a lo largo de los escalones de las mismas, dos en este caso. Para ello, se suponen pérdidas nulas en los entre hierros y entre las entradas y las salidas de cada sección de la Fig. 15. Los parámetros a considerar son:

Presión:........................ Entalpía:....................... Volumen específico:..... Velocidad absoluta:......

Utilizando en ambos casos como ejes correspondientes a cada parámetro, la dirección tangencial, y el restante, la dirección axial. En el primer caso, 15-a, correspondiente al caso de las turbinas de acción, se puede notar que la totalidad de caída entálpica y de presión se realiza en forma exclusiva en la primera sección estatórica, como asimismo allí se produce la aceleración del fluido hasta la máxima velocidad a expensas de dicha caída entálpica, y con el consiguiente aumento de volumen específico. De allí en mas, los parámetros correspondientes a las funciones de estado permanecen constantes, y sólo varía la velocidad. Inversamente, en la fig. 15-b se puede ver que los parámetros de las funciones de estado varían prácticamente en forma continua a lo largo de las distintas etapas de este tipo de turbinas, que se denominan de reacción. Entonces, se podría resumir que la principal diferencia entre las turbinas de acción y las de reacción consiste en que en las primeras, toda la evolución del fluido se efectúa en la primera sección estatórica, mientras que las de reacción, la evolución se desarrolla por igual tanto en todas las secciones estatóricas como en las rotóricas. Ello podría también explicar la razón por la cual se prefiere siempre las turbinas de acción para las etapas de mas alta presión al principio de la evolución total del vapor, en tanto que las de

t e

ESTATOR ROTOR ESTATOR ROTOR

Fig. 15-a

Fig. 15-b

ESTATOR ROTOR ESTATOR ROTOR

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Capítulo 19 11

reacción se utilizan preferentemente en las secciones de menor presión, al final de la evolución del fluido de trabajo

Los valores de rendimiento interno deducidos hasta ahora corresponden entonces a las turbinas de acción, ya que toda la evolución del fluido se supuso en el estator, puesto que esa fue la forma de entender el funcionamiento elemental de las turbomáquinas, precisamente como trasductores capaces de transformar en energía mecánica la variación de la cantidad de movimiento de una corriente fluida que había precisamente adquirido energía cinética en las toberas estatóricas. Asimismo, esa línea de razonamiento se corresponde con la historia del desarrollo de estas máquinas, dado que las de acción fueron las primeras desarrolladas, en la cuales se adoptó el criterio de “escalonamiento” de presiones a los efectos de evitar tener que adoptar velocidades tangenciales ideales respecto al rendimiento pero no compatibles con la resistencia de los materiales. Posteriormente se descubrió la posibilidad de que los canales entre álabes rotóricos podrían constituir otras tantas toberas convergentes – divergentes, además de canales desviadores, con lo cual se pudo continuar la evolución del fluido circulante (variación de los parámetros de estado) en las secciones rotóricas. Ello trajo aparejado una variación de la presión y entalpía mucho mas gradual a lo largo del eje de la máquina, con lo cual el rendimiento en general se vio beneficiado. Se puede definir entonces, un parámetro que exprese el grado de transformación o evolución que sufre el fluido circulante por la máquina, según lo realice totalmente o solamente en parte en el estator.

Si H es el salto entálpico total y h el salto entálpico en el escalón ( estator + rotor ), llamando he al salto en el estator y hr al correspondiente al rotor, se tienen entonces las siguientes relaciones:

H = Σhi , donde hi es el salto de cada escalón, y en cada escalón es hr = h - he

Entonces, a la relación: hr / h = 1 – he / h

se la denomina “grado de reacción”. El uso generalizado de rodetes de acción en forma exclusiva en las secciones de mayor entalpía, y por lo tanto, mayor presión, se debe precisamente a su principal característica, esto es, la caída de presión en el estator solamente. De esa forma se minimizan las pérdidas por fugas del fluido activo por los huelgos radiales y axiales que necesariamente presentan todas las máquinas. Dichas pérdidas, no obstante, se tratan de compensar por medio de laberintos y algunos anillos de cierre, tal como se ve en la fig. 16.

Los laberintos actúan produciendo una condensación del vapor por laminación, conformando el líquido resultante una suerte de sello hidráulico sin incorporar prácticamente rozamiento en el eje; en cuanto a los anillos, se colocan “por fuera” de dichos laberintos, y producen el cierre mínimo necesario para evitar el flujo de condensado líquido fuera de la carcasa.

Fig. 16

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Capítulo 19 12

El condensado resultante se extrae de la carcasa por centrifugación.

Cuando se tratas de máquinas grandes, en las cuales las deformaciones estáticas y

dinámicas de los ejes son importantes, los huelgos deben ser mayores, y por lo tanto, mayores también las fugas.

Para ello se recurre a la solución de introducir vapor directamente en la zona de sellos, a efectos de producir el cierre hidráulico de los mismos.

El diagrama de la instalación podría ser como se indica en el esquema de la fig. 17:

Este esquema es solamente indicativo, y es a los efectos de señalar un tipo de solución que se puede considerar como habitual, incluyendo la disposición de los distintos “paquetes”, individualizados como Turbina de alta, de media y de baja, en los que se notan sentidos de circulación opuestos de a pares, con el objeto de reducir al mínimo las cargas axiales que en definitiva deben soportar los vínculos del eje. Asimismo, dicho eje, en estos casos, se construye por sectores, simplemente uniendo por medio de bridas los ejes de los distintos “paquetes”, cada uno de los cuales se apoya en principio, sobre dos cojinetes de empuje radial extremos; quedando restringidos a los extremos, o bien, a los puntos que se consideren fijos, el o los cojinetes de empuje axial, según el siguiente esquema de la fig. 18:

Turbina de alta Turbina de media Turbina de baja

Vapor

Vapor de sellos

Condensado Fig. 17

Fig. 18

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Capítulo 19 13

En la parte inferior se agrega la representación desde el punto de vista de la vinculación física como viga hiperestática, sometida a flexo-torsión. Se nota asimismo, que la unión bridada central del eje hace que se lo considere como una sola pieza. Pese al alto grado de hiperestaticidad que presentan los árboles y sus dimensiones acordes con las potencias a transmitir, presentan una significativa flecha de deformación estática por peso propio. Estas flechas de deformación son las que limitan inferiormente los huelgos principalmente radiales, haciendo necesario un valor suficiente como para que no se presenten problemas de interferencia entre el rotor y el estator. Pero las deformaciones elásticas no se limitan solamente a las producidas por el peso de los rotores, sino que existen deformaciones dinámicas debidas a las muy pequeñas excentricidades del baricentro de cada sección. Para un caso como el de la fig. 19, suponiendo una masa m con una excentricidad estática e, la deformación total en movimiento con una velocidad angular ω será fT, tal que se cumpla:

Y siendo f la deformación específica del eje (por unidad de carga), se plantea:

donde R es la reacción elástica del eje al ser sometido a una deformación elástica de valor fT - e por lo cual si supone el equilibrio se cumplirá:

por lo tanto, se puede calcular la deformación o flecha total en función de la excentricidad, la deformación específica del material del eje y la masa excéntrica:

ello implica entonces, que una masa m con una excentricidad e respecto del eje geométrico de giro producirá una deformación total fT a la velocidad de giro ω, por lo cual, si se considera cualquieer plano que contenga al eje, como el vertical, aparecerán entonces fuerzas de tipo

FZ = Fcentrífuga . cos ω.t O sea que el eje se puede considerar sometido a un esfuerzo variable con período igual al número de vueltas n al que gira.

Pero como todo sistema elástico posee una frecuencia propia de resonancia, en la cual las amplitudes de las deformaciones tienden a crecer indefinidamente, en este caso se deberá evitar velocidades de giro que impliquen riesgo de resonancia del eje. Para calcular en forma sencilla dicho régimen, se pueden efectuar las siguientes consideraciones: Resonancia ⇒ fT → ∞ ∴de la expresión correspondiente resulta para f.m.ω² = 1 entonces, se deduce la velocidad angular crítica:

2.. ωemFcentrífuga =

2.. ωemf

efT =−

Fig. 19

fT

me

Fcentrífuga

R

fefTR −=

2..1 ωmfefT

−=

π

ωω kk

mf30n

.1

k =→=

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Capítulo 19 14

Normalmente el conjunto rotor se puede considerar compuesto por una serie de masas m i coincidentes con cada una de las ruedas y la propia del eje (cuando físicamente es una pieza separada del resto), existiendo para este caso un método aproximado debido a Dunkerley para calcular la velocidad angular crítica de un conjunto, de acuerdo al siguiente criterio: Para cada una de las n masas a considerar, se puede suponer que la deformación total del eje resulta la sumatoria de cada una de las deformaciones parciales debidas a cada una de las masas excéntricas; entonces, para una será:

Y la superposición de todos los efectos debidos a cada una de las masas excéntricas vendrá dado por la siguiente expresión:

Otro aspecto a tener en cuenta en el equilibrio mecánico del eje es el referido a los

empujes axiales debidos principalmente a los conjuntos de reacción. En la fig. 18 se representó el apoyo fijo del extremo izquierdo por medio de dos cojinetes de empuje axial actuando a ambos lados de un collar. Este tipo de solución no siempre es posible, ni tampoco resulta la mejor solución mecánica, sobre todo, cuando no se pueden adoptar configuraciones de flujos opuestos como la indicada en la fig. 17. En esos casos se recurre a los “cilindros compensadores” que equilibran el empuje por medio de las reacciones de las presiones de cada etapa, de acuerdo al esquema de la fig. 20:

11

21

11

11

21

. m ;

.1

fGg

gG

fm=∴== ωω

( )2

real

21222

21

2

1....11....111

k

n

knkkk

fffg ωωωωω

≤+++=+++≅

Émbolos de compensación admisión

escape Fig. 20

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Capítulo 19 15

A los efectos de una determinación aproximada de la resultante de los esfuerzos axiales en el caso de una corona de diámetro medio φm, siendo h la altura del álabe y Δp la diferencia de presiones a ambos lados de las caras del disco, es

Fa = π . φm . h . Δp

En base a ello se puede predimensionar las superficies mínimas requeridas para los émbolos compensadores. Entonces, para la vinculación física de los ejes de los equipos mayores se recurre a los cojinetes radiales con lubricación hidrodinámica, y soluciones mixtas compuestas por arreglos de turbinas con flujos cruzados, émbolos de compensación y cojinetes axiales con lubricación hidrodinámica (tipo Kingsbury). Finalmente, cabe destacar que cualquiera sea la solución o combinación de soluciones adoptada, se deben ubicar en la mayor proximidad posible de los rotores, a efectos de poder mantener los huelgos axiales dentro de los límites admisibles, dado que siempre se considera la elasticidad longitudinal de los ejes, cualesquiera sean sus dimensiones. Todos los conjuntos estatóricos, incluyendo las primeras coronas de toberas, se montan sobre las “cajas”, que son al estator lo que el eje al rotor, es decir, que les proporcionan la debida sustentación, incluyendo las compensaciones por esfuerzos mecánicos y térmicos. Por esta razón, se tratan de elementos complejos que se pueden considerar compuestos por los siguientes elementos, aunque estén formando normalmente una sola pieza, como se indica en la fig, 21: en la cual se esquematiza una vista de arriba de la mitad inferior, un sector de semi-rodete de álabes estatóricos con indicación de su posicionamiento; y el conjunto rotor “flotando” sobre la caja inferior, con los laberintos de sello correspondientes. La mitad superior de la caja está omitida, y tiene el plano de unión que contiene al eje geométrico del rotor en común con la caja inferior. Las toberas entonces, forman parte de las coronas estatóricas en los conjuntos habituales, junto con los desviadores en las de acción.

Semi-rodete estator Carcasa externa

de chapa soldada Cajas internas

de acero fundido

Conjunto rotor

Laberintos de sello

Espárragos de fijación y centrado

Fig. 21 Ruedas de

álabes

Conducto de vapor

Pata de fijación

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Capítulo 19 16

El dimensionamiento de las secciones de paso del vapor en los conductos puede efectuarse en primera aproximación, en base a la consideración de una masa unitaria que evoluciona en forma adiabática y reversible desde las condiciones de entrada hasta las de salida (de la tobera). En el diagrama entálpico – entrópico de Mollier se determina el punto A representativo del estado inicial del vapor, y por allí se traza una paralela al eje i hasta cortar a la isobara correspondiente a la presión de salida de la tobera determinando el punto S, como se indica en el esquema de la fig. 22. Donde esta recta corta a las isobaras pi se determinan los puntos 1, 2 y 3. Trazando por estos puntos paralelas al eje s, se determinan las entalpías correspondientes ii. Con las ii se determinan los Δii = i0 – ii y con dichos valores, las velocidades ωi = 91,53.√ Δii con lo cual se puede efectuar una representación en función de las presiones, tal como se indica en el diagrama de la fig. 23, en el cual se supuso que a la entrada de la tobera, el vapor en las condiciones iniciales se encuentra en reposo, es decir, ω0 = 0. En dicho gráfico, si la cantidad de puntos es suficiente, se puede observar la forma en que varía la velocidad en el escurrimiento ideal en función de la caída de presión. Se observa que se trata de una función continua, sin singularidades, de igual forma si se hubiese representado la variación de la velocidad con la entalpía. Considerando que para una sección cualquiera F se cumple

G = F . ω . ρ y como ρ = 1/v ∴ F = G . v / ω

Y como se supuso G = 1, es F = v / ω (1)

Teniendo el valor del volumen específico de tablas o del diagrama de Mollier, se puede graficar entonces, para cada una de las presiones intermedias, la sección F correspondiente, como se indica en el gráfico de la fig. 24. En dicho gráfico se puede apreciar que existe un valor intermedio de presión para el cual la sección se hace mínima. Para determinar los parámetros de dicho punto, se analiza el escurrimiento del fluido como transformación adiabática:

i0p0

ps

p1

p2

p3 1

A

2

3

S

Fig. 22

i

s

i1

i2

i3

is

p0

p1

p2

p3

ps

ω Fig. 23

pp0

p1

p2

p3

ps F

Fo = ∞

Fig. 24

(2) dvdp 0

vp

vdv

pdp

vdv

pdp χχχ −=→−=∴=+

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Capítulo 19 17

Por ser una circulación se debe cumplir:

En la sección mínima se debe cumplir que dF=0 en la expresión (1) se tiene entonces:

ω dv - v dω =0 o sea, ω dv = v dω ∴ dω = ω/v .dv reemplazando en la (3):

de donde resulta:

que es precisamente la expresión del valor de la velocidad de propagación del sonido en un fluido con esas características. Para g = 1, es

Y como p.v = R.T, también es

Esta relación se puede definir también como “velocidad característica adiabática del sistema fluido”, y que representa la velocidad de propagación de una perturbación infinitesimal en el seno del fluido circulante. Para un fluido en reposo, la velocidad de propagación de la perturbación coincide con la del sonido; si el fluido se mueve con una velocidad c, la velocidad del frente esférico de propagación de la perturbación se compone vectorialmente con la del fluido, dándose los casos de la fig. 25:

Se define la relación M = c / ωK denominada número de Mach, dándose los siguientes casos: M < 0,3 ⇒ movimiento hiposónico M < 1 ⇒ movimiento subsónico M ≅ 1 ⇒ movimiento transónico M = 1 ⇒ movimiento sónico

(3) .1 ωω dg

vdp =−

2

2

2

2

22

... 1 es (2) la de 1- 1.1 ωχωχωωωω =∴=−=→==− vgpvgv

pvgdv

dpdvvg

dvvg

vdp

vpg ...χω =

vp..χω =

TkTRK ... === χωω

ωK .t

ωK.2t

ωK.3t

c < ωK

ωK .t

ωK.2t

ωK.3t

c > ωK c = 0

Fig. 25

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Capítulo 19 18

M > 1 ⇒ movimiento supersónico M > 5 ⇒ movimiento hipersónico

El caso particular para c = ωK (M=1) se puede representar como se indica en la fig. 26: Entre dos secciones de pasaje de un conducto estatórico de una turbomáquina de un escurrimiento fluido por continuidad se cumple:

G = Ω . c .ρ = cte. [m².m/seg.kg/m³] = [kg/seg] (a)

Para los gases perfectos es

Entre dos secciones 1 y 2 se cumple

Considerando que

Expresión esta última que puede considerarse como la ecuación de la energía en un escurrimiento expresada en términos termodinámicos aplicable a un análisis fluidodinámico. En este caso, por tratarse de un flujo adiabático, es dQ=0, entonces:

Que son las expresiones ya obtenidas por otros análisis. De la (1) es:

dL –dLp = c.dc + v . dp (2)

c = ωK

Fig. 26

ρ

ρ

ρ

ρ dp

dpTdT

TdTd

pdp

+=→+=

∫ −=→−−=−

−−

2

1)21(21

21

22 (1) v.dp-.

2pp dLdLdcc

pdpLLcc

dIdccdQdLdQddIdLdQddIdSTdQdQ pii +=+→−−==∴−==+ . .ρ

ρ

ρ

ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ=Δ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=→≅

Δ=−=−

=+

kgkcalIcjouleI

segmccc

IIIcccdcdI

53,91 ó )(20 si

2

o,intregrand 0

21

21

21

22

0=Ω

Ω++

ddcdc

ρ

ρ

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Capítulo 19 19

y como dL + dQ = c.dc + dI (3), si se trata de un flujo adiabático y además, reversible (sin rozamientos) ni trabajo exterior, o sea, dQ=0; dL=0 y dLp =0

c.dc +dI =0 (4) c.dc + v.dp = c.dc + dp/ρ = 0 (5)

integrando la (5) para c0 =0:

expresión de la cual deriva la ecuación general de Zeuner para un flujo sin pérdidas:

de la ecuación (a) es G / ρ =G . v = Ω .c ∴ c = G .v / Ω y como p . v = cte., resulta

Lo cual se puede expresar también de la siguiente forma:

Donde se puede notar que el factor Ψ depende solamente de la relación entre las presiones de entrada y salida, mientras que el otro factor es representativo del estado inicial del fluido. Asimismo, el factor G/Ω2 representa al peso de fluido por m² de sección y por unidad de tiempo que atraviesa la sección de salida Ω2. Asimismo, se nota que la función Ψ se anula para p2 = 0 y para p2 = p1 según se puede ver en el gráfico de la fig. 27. Asimismo, su máximo se encuentra haciendo

Para esa relación de presiones pasará por la sección la máxima cantidad de fluido por unidad de sección y de tiempo. Esa sección entonces, deberá ser la mas estrecha del canal; y por lo que se ve, la sección va disminuyendo desde la sección de entrada hasta que la presión alcanza el valor

∫−=p

p

dpc0

22

ρ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−

χ

χ

χ

χ1

0

11

2ppc

χ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

Ω

+

segmkg

pp

pp

vpgG

..

1..2

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

χ

χ

χ

χ

χ

1

1

1

1

1

1

2

2

1

2

2

...1

..2vp

vp

pp

ppgG ψ

χχ χ

χ

χ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

Ω

+

p2/p1

1

Ψ

Ψmax

p2/p1 = pk / p1

Fig. 27

1

11

2

1

2 12 para 0

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

χ

χ

χϕ

p

p

pp

p

pd

d k

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Capítulo 19 20

A ese valor se lo denomina “presión crítica”, y luego la sección vuelve a crecer mientras la presión sigue disminuyendo. La velocidad en la sección crítica se deduce de la expresión Ω =G . v / c haciendo

Si se calcula la derivada considerando la relación de las adiabáticas pk.vk = p1.v1 se deduce la expresión

de la velocidad en la sección mas estrecha, la cual coincide con la del sonido en el fluido para el estado correspondiente; aplicando entonces nuevamente la relación de las adiabáticas, en este caso entre las secciones de entrada y la mas estrecha (crítica), se tiene:

entonces, la caída entálpica entre la sección de entrada y la sección crítica será:

asimismo, el flujo de masa por unidad de sección y tiempo será:

en base a las anteriores expresiones se deducen los siguientes valores típicos para gases perfectos y vapor como se consignan en la siguiente Tabla 1:

κ pκ /p1

vk / v1

Tk / T1

Ck

[ m/seg]

(G/Ω)max

[kg/m².seg]

(G/Ω)max

[kg/mm².hora] Aire

1,41

0,5270

1,576

0,83

3,38. p1/v1

2,15 p1/v1

0,776 p1/v1

Vapor sat.

1,135

0,5774

------

------

3,23 p1/v1

1,99 p1/v1

0,72 p1/v1

Vapor sobrec.

1,30

0,5457

------

------

3,33 p1/v1

2,09 p1/v1

0,754 p1/v1

Tabla 1

Por lo tanto, en un escurrimiento adiabático, mientras la presión de salida sea p2 ≥ pk la tobera disminuirá paulatinamente la sección entre la entrada y la salida, pero si es p2 < pk la tobera se

1

11

2.−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

χ

χ

χppk

ρddpg

vd

dpgdpvgdcc

dpd .1.c valeque .. comoy 0 k ==−==Ω

κ κ

kkk vpgc ...χ=

11..1

2 vpgck+

=χ

χ

112 ..

1..

2vpAc

gAh kk

+==

χχ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ω

−

segmkg

v

pgG

max ..

12.

12

21

11

1

χχ

χ

χ

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Capítulo 19 21

estrechará entre la entrada y la sección crítica, y luego, se ensancha nuevamente hasta la salida, de acuerdo a lo que se esquematiza en la fig. 28: p1 p2 ≥ pk p1 p2 < pk

Fig. 28

Si se trata entonces de determinar la ley de variación de las presiones a lo largo de una tobera convergente-divergente a partir de los datos de entrada, p1 , v1 y la presión final p2 < pk y para un determinado flujo de vapor G [kg/seg], se obtienen dos curvas, como se demuestra a continuación. Dado que se puede determinar la sección en cada punto, también es posible conocer en cada punto la relación

Y que se puede graficar en función de la relación p2 / p1, como se ve en la fig. 29:

Se puede notar que para un mismo valor de Ψ existirán dos valores de presión, pA y pB para una misma sección, y solamente coinciden en la sección mas estrecha.

Por ello. En una tobera existirán dos curvas teóricas de variación de la presión, según se indica en la fig. 30, en la cual se pueden individualizar ambos puntos A y B.

Es decir, que partiendo de una determinada presión p1, la expansión se realiza en forma uniforme hasta el valor crítico pK, a partir del cual, y según sea el valor de la contrapresión de salida p2, podrá variar según las posibilidades que se señalan como las curvas K-B’ o K-B.

1

11

1

vp

G Ω=→=

Ωϕϕ v

pG

pk p1

Ψ

A B

p2/p1

1

pB/p1

Fig. 29

ΨA,B

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Capítulo 19 22

Se puede ver entonces, que para una presión de salida comprendida entre p2 y p2’ la variación de presión seguirá alguna de las curvas intermedias, las cuales se pueden considerar a partir de un punto de la curva original, con una zona de inestabilidad limitada.

Asimismo, se puede señalar el lugar geométrico de los puntos en los cuales cesa la

inestabilidad en la variación de presión para cada caso de valor de contrapresión, como la curva de trazos a partir del punto K.

Pero esas inestabilidades en el gráfico se traducen en vibraciones en la vena de vapor,

por lo que el rendimiento en términos reales, tiende a disminuir. Para el caso de la tobera convergente, la presión en la desembocadura decrece a medida que lo hace la contrapresión, hasta que ésta llega al valor crítico, a partir del cual, la presión de salida permanece constante (pk) aunque la contrapresión se haga menor; de igual forma con el caudal G, que para un estado inicial irá en aumento a medida que disminuya la contrapresión, pero a partir del valor crítico, permanecerá constante por mas que disminuya p2. En realidad, tanto en las toberas convergentes como en las convergentes – divergentes, el caudal de vapor varía entre cero (para p2 = p1) y el máximo correspondiente al de p2 = pk solamente

1

2

2’

p2

pK

p1 A

B A’

B’

K

Fig. 30