calculs statiques d’assemblages de...

Calculs statiques d’assemblages de structures

Contraintes au niveau d’un engrènement entre deux pignons

1 Comportement d’une frette conique

On considère une boite d’avance de machine dont un arbre de sortie et la solution technique

retenue pour sa liaison pivot avec le bâti sont représentés figure 7. Les liaisons encastrement

entre les arbres et les roues dentées sont réalisées par adhérence, au moyen de frettes de la

marque Stüwe. Dans cette partie, on étudie les éléments influençant le couple transmissible par

cette solution technologique au moyen de diverses modélisations éléments finis. Le vocabulaire

utilisé dans cette partie est précisé sur la figure 1. Les données constructeur associées sont

données sur la figure 3.

Différents éléments interviennent dans la détermination du couple transmissible :

– la géométrie nominale (longueur de contact, angle des cônes, diamètres) ;

– le nombre de vis et la précharge (couple de serrage) ;

– les jeux entre arbre et roue, roue et cônes.

Le constructeur de ces frettes impose le couple de serrage des vis, le type de celles-ci, ainsi que

leur nombre. Dans un code de calcul éléments finis tel que Catia, la précharge est donnée en

terme de tension dans l’élément fileté. Il faut donc, sous certaines hypothèses, accéder à cette

tension notéeF0 à partir du couple de serrage notéMa. Dans la suite, on se réfère à la figure

2. Le modèle de frette utilisé est SD 90-72 dont les caractéristiques sont données figure 3.

La figure 2 permet d’obtenir le lien entre la tension dans la vis, la géométrie du filet, les frotte-

ments dans les filets, et le couple appliqué sur la vis, sans prise en compte des frottements sous

tête. La prise en compte des frottements sous tête peut être modélisée par le couple de frot-

tement transmis par une surface frottante annulaire (commedans un embrayage). On obtient

ainsi la relation :

Ma = F0

(

p

2π+ f

rm

cos(β)+ µReq

)

où :

– p est le pas de la vis ;

– β est l’angle de filet de forme trapézoïdale (figure 2) ;

– f est le coefficient de frottement dans les filets ;

– µ est le coefficient de frottement sous tête ;

– rm est le rayon moyen du filet ;

– Req est le rayon équivalent de la surface frottante sous tête définie par (figure 2) :

Req =2

3

R3 − r3

R2 − r2

La géométrie des vis retenues, et le couple de serrage donné par le constructeur29 N.m conduit

à une précharge de25240 N dans chacune des vis.

1.1 Comportement d’un modèle simplifié

Si le nombre de vis est important, le problème posé peut être considéré comme axisymétrique.

Puisque Catia ne sait faire que du 3D, il suffit de définir un secteur angulaire comme support

de l’analyse. Les trous de vis ne sont pas représentés, la symétrie axiale est prise également en

compte. On obtient ainsi le type de modèle défini figure 1.

DYNAMIQUE VIBRATOIRE – F. Louf - Master 2 DFE 2


pArbre

Roue

Cône

Collier

FIG. 1 – Vocabulaire et première modélisation du problème (axisymétrie)

1.1.1 Modèle

Charger le produit nomméFretteSansVis. Ce produit comporte déjà toutes les pièces et contraintes

permettant de les positionner entre elles. Pour lancer l’atelier de calcul par éléments finis, dé-

marrerAnalyse et Simulation/GSA. Au démarrage, le logiciel vous propose d’insérer un cas

d’analyse éléments finis : choisirAnalyse statique.

1.1.2 Conditions aux limites

Plusieurs types de conditions aux limites sont à imposer :

– L’axisymétrie peut être prise en compte en imposant desGlissement surfaciquesur les faces

latérales du secteur angulaire ;

– La symétrie axiale peut être prise en compte en imposant unGlissement surfaciquesur les

faces de l’arbre, de la roue, et du cône se trouvant dans le plan de symétrie.

1.1.3 Chargement

La valeur de la précharge à imposer peut être stockée dans un paramètre que l’on utilisera dans

la suite. Pour cela, à l’aide de l’éditeur de formule (MenuOutils/Formules), créer un nouveau

paramètre de typeForce, le renommer précharge, et préciser sa valeur.

Dans ce cas, puisque l’on a considéré la frette comme symétrique par rapport au plan médian

des deux colliers, la précharge revient à imposer un effort réparti sur le collier représenté. La



Hrmoy

r

R

~x1

~x1

~y1 = ~y2

~z1

~x2

~z2 = ~z3

~x3

~y3

i

i

β

β

~Ωvis/ecrou

FIG. 2 – Paramétrage nécessaire au calcul de la relation entre couple de serrage et tension dans

la vis : vue du filet et de la tête de vis

pression à imposer peut être calculée à partir des dimensions de la face annulaire du collier et

de la valeur de la précharge.

Utiliser l’outil Pressiondans la barre de chargement, sélectionner la bonne face latérale du

collier, et imposer la valeur de la pression en appliquant une formule :

– Insérer le paramètrePrechargeen filtrant les paramètres renommés ;

– Diviser par la surface latérale du collier qui peut être calculée à partir des rayons intérieurs

et extérieurs disponibles dans l’esquisse définissant la section du collier.

1.1.4 Connexions

Les valeurs de jeu sont données dans le tableau 1.

Contact Ajustement Jeu maxi

Arbre/Roue H7h6 0.025 mm

Roue/Cône H7f7 0.053 mm

TAB. 1 – Valeurs de jeux à imposer pour le calcul

Pour les contacts Arbre/Roue, Roue/Cône, Cône/Collier, suivre la démarche suivante :

– Cliquer sur l’outilPropriété de connexion contact;


1.2 Comportement d’un modèle avec vis

– Dans la fenêtre ouverte, sélectionner comme support la coïncidence d’axe adaptée dans le

noeudContraintesde l’arbre ;

– Imposer la valeur du jeu si besoin après avoir coché la caseJeu;

– Fermer la fenêtre.

1.1.5 Calcul

Lancer le calcul.

1.1.6 Post traitement

La quantité qui nous intéresse est la pression de contact de la roue sur l’arbre. Pour la tracer,

cliquer droit sur la solution statique puis choisirGénération d’images. Editer l’image créée

dans l’arbre sous le noeud solution statique, et, dans l’onglet Sélection, préciser que le support

désiré est le maillage tétraédrique de l’arbre. Le champ de pression est alors tracé uniquement

pour la zone de contact Arbre/Roue. Exporter sous un format texte cette quantité en cliquant

sur l’objet dans l’arbre et, dans le menu contextuel, et en sélectionnantExport de résultats.

Ouvrir le fichier texte avec Excel et trier les valeurs de pression en fonction de l’angle po-

laire, puis en fonction de l’altitude, afin de récupérer les valeurs de pression sur l’arête bord

de l’arbre. Recopier ces valeurs dans le fichier Excel fourniComparaisonPression.xls, puis

comparer les pressions obtenues à celles issus de différents modèles Cast3M.

1.2 Comportement d’un modèle avec vis

Dans ce cas on va représenter un secteur angulaire contenantune vis et on va imposer locale-

ment la précharge. Il sera par la suite intéressant de comparer ces résultats à ceux obtenus par

le modèle précédent.

1.2.1 Calcul

Il faut commencer par charger le produit modélisant une portion de frette comportant une vis

FretteVispuis reprendre la démarche suivie pour le modèle précédent :

– Imposer les conditions aux limites correspondant à l’axisymétrie du problème ;

– Imposer les conditions aux limites bloquant l’arbre, la roue et la bi-cône axialement : pour

cela on pourra utiliser des pièces virtuelles souples ressort avec une raideur non nulle en

translation selon l’axe de la frette ;

– Imposer les connexions de type contact entre les alésages et les arbres ainsi qu’entre les

cônes ; imposer les même jeux que ceux du problème précédent.

La prise en compte de la précontrainte par une vis se fait via l’outil Propriété de connexion

serrage. Dans la fenêtre ouverte sélectionner la contrainte de coïncidence, dans l’arbre, sous le

noeud contraintes, entre la vis et le collier fileté. En cas dedoute, il faut au préalable éditer la

contrainte, cliquer sur le boutonpluset voir ainsi quelles sont les types d’éléments connectés

par la contrainte (droite, plan, point, etc).


Une fois le support choisi, il faut préciser la valeur de la précharge. Cette valeur a été stockée

dans le paramètre de type force nomméPrecharge. Il faut donc cliquer droit sur la valeur de

la précharge, puis lancer l’éditeur de formule (Editer Formule). En cliquant dans l’arbre sur le

paramètre nomméPrecharge, celui-ci est inséré dans la formule. Après avoir divisé pardeux

cette valeur (une demi-vis est représentée), il suffit alorsde fermer l’éditeur de formules, et de

préciser le sens de la précharge en observant le dessin réprésenté sur la CAO.

Enfin, il ne faut pas oublier d’imposer un contact entre la face sous tête de vis et la face du

collier lisse.

Il ne reste plus qu’à lancer le calcul.

1.2.2 Post traitement

Une fois le calcul effectué, cliquer droit sur la solution statique puis choisirGénération d’images

afin de tracer le champ de pression sur l’arbre. Editer l’image créée dans l’arbre sous le noeud

solution statique, et, dans l’ongletsélection, préciser que le support désiré est le maillage tétra-

édrique de l’arbre. Cliquer droit sur l’image pression dansl’arbre, et choisir l’export du champ

de pression restreint aux différents groupes de lignes au format texte dans un fichier.

Editer le fichier et récupérer les valeurs de pression obtenues sur une génératrice de la surface

de l’arbre (θ = Cste, r = Cste), en fonction de la position axialez. Recopier ces valeurs dans

le tableau ExcelComparaisonPression.xls. Commenter les résultats obtenus et éventuellement

comparer le couple transmissible à celui donné par le constructeur.

2 Modélisation hybride et légère d’un segment de bras de

robot

Dans le cadre d’inspection de cellules fermées dans un milieu hostile (nucléaire), l’interven-

tion humaine est impossible, et on utilise généralement un robot. Ses utilisations peuvent être

multiples :

– équipé d’une caméra, surveillance d’apparition de fuitesdans la tuyauterie située dans la

cellule ;

– équipé d’un dosimètre, démantèlement d’une installationnucléaire ;

– équipé d’un outil, il pourrait être utilisé dans la réparation des fuites.

Une solution technique envisagée pour répondre à ces besoins est un robot composé d’un

segment passif et sept segments actifs articulés entre eux par deux degrés de liberté en rotation.

Ces 12 rotations possibles offrent une redondance. Si l’espace de la cellule était vide, elle ne

serait pas nécessaire. La tuyauterie l’impose pour accéderà un lieu donné sans collision avec

les tuyaux. Un degré de liberté en translation est ajouté au niveau du segment passif.

A chaque extrémité d’un segment se trouve une chape représentée sur la figure 2.1. Entre ces

chapes, les efforts doivent être transmis, et une élévationdoit être possible. Cette fonction est

réalisée par "l’allongement" de la bielle centrale inclinée.

La question du dimensionnement d’un tel segment se pose : pour des actions mécaniques

quelconques imposées par la chape inférieure du segment suivant, quelles sont les sollicitations


2.1 Etude analytique

dans chaque biellette, dans le tube, au niveau des chapes, etquel est l’effort de commande dans

le vérin ?

2.1 Etude analytique

Dans cette partie, les hypothèses suivantes sont faites :

– Les chapes sont considérées comme rigides ;

– Le vérin est bloqué et se comporte donc comme un solide déformable, dans une configura-

tion donnée ;

– Tous les solides considérés comme déformables ont un comportement élastique linéaire ;

– Le chargement sur le segment considéré s’effectue au pointA sur la chape supérieure ; ce

chargement est un torseur complet que l’on note :

TSn+1→S

n

=

X L

Y M

Z N

A,R

– On néglige les effets de la pesanteur sur le segment étudié.

Le système étudié est hyperstatique d’ordre 2. Les efforts transmis par chaque solide du seg-

ment peuvent être obtenus analytiquement par une approche énergétique.

Puisque le vérin et les trois bielles sont montés sur rotules, ces solides ne sont sollicités qu’en

traction compression. Seul le tube en carbone est sollicitéà la fois en flexion, torsion et traction.

L’énergie de déformation est donc de la forme :

2Ed =N2

1

E1S1

L1 +N2

2

E2S2

L2 +N2

3

E3S3

L3 +N2

4

E4S4

L4+

N2

5

E5S5

L5 +

∫ L5

0

Mf 2

5

E5Ig,5dx +

Mt25

G5I0,5L5

L’équilibre de la chape supérieure donne :

−(N1 + N2 + N3) cos(θ) − N4 cos(θ + α) + X56 + X = 0

−(N1 + N2 + N3) sin(θ) − N4 sin(θ + α) + Y56 + Y = 0

Z56 + Z = 0

d(N2 − N1) sin(θ) + L56 + L = 0

d(N1 − N2) cos(θ) − aZ + M56 + M = 0

cN3 cos(θ) − bN4 cos(θ + α) − bN2 cos(θ) − bN1 cos(θ) + aY + N = 0

L’équilibre du tube en carbone, en moment selon~z donne :

X56(θ) − Y56 cos(θ) = 0

Si l’on choisitN1 et N2 comme inconnues hyperstatiques, le théorème de l’énergie complé-

mentaire permet d’écrire deux équations supplémentaires :

dEd

dN1

= 0 etdEd

dN2

= 0


2.2 Analyse éléments finis

N˚ D1,2 d1,2 E1,2 D3 d3 E3 D5 d5 E5 D4 d4 E4 L

1 24 19 210000 11.3 0 111000 160 154 72500 26 14 210000 1400

2 24 21 210000 8.6 0 111000 160 154 72500 26 14 210000 1400

3 24 21 130000 6.6 0 111000 160 157.2 72500 26 14 210000 1400

4 15 13 130000 15 13 130000 160 158 72500 26 14 210000 1400

5 15 13 130000 15 13 130000 160 158 72500 26 14 210000 1400

6 12 10 130000 0 0 130000 160 159 72500 26 14 210000 1400

7 12 10 130000 0 0 130000 160 159 72500 26 14 210000 1400

TAB. 2 – Dimensions des sections circulaires et paramètres matériaux des solides en fonction

du numéro du segment considéré


On souhaite ici réaliser un modèle prédisant les sollicitations dans les différents éléments du

segment, y compris les chapes.

Les chapes sont donc laissées telles quelles. Par contre, afin d’obtenir un coût de calcul raison-

nable, les éléments élancés sont modélisés par des poutres droites de section circulaire et de

longueur donnés dont on précise les matériaux.

Cette modélisation présente également un autre intérêt : lagéométrie sous-jacente au modèle

est invariante par rapport au numéro su segment. Seuls les paramètres de section et de ma-

tériaux changent. Une table de paramétrage sera utilisée pour modifier de façon élégante et

rapide ces données du problème.

Les chapes sont donc maillées à l’aide de tétraèdres puis reliées aux poutres par des liaisons

créées manuellement.

2.2.1 Maillage

Les maillages en tétraèdres des chapes sont pré-calculés par le logiciel. Par contre, il faut

définir les maillages poutre de toutes les autres pièces à l’aide dumailleur poutre: spécifier

une taille de maille de50 mm.

2.2.2 Matériaux

Les matériaux sont tous prédéfinis dans les modèles de pièces. Ils seront automatiquement

identifiés lors de la création des modèles poutres.

2.2.3 Propriétés des poutres

Toutes les poutres considérées sont à section tubulaire. Les dimensions de ces sections varient

en fonction du numéro du segment considéré. Par conséquent,il faudra lier les rayons extérieur

et intérieur de chaque section aux paramètres associés à la table de paramétrage.

Pour chacun des solides modélisés sous forme de poutre :

– Cliquer sur l’outilpropriété poutre;

– Sélectionner le solide dans l’arbre ;



– Préciser que la section est tubulaire et entrer ses dimensions à partir des paramètres imposés

par la table de paramétrage ;


Ici, il est inutile de définir une géométrie d’orientation puisque les sections sont circulaires.

2.2.4 Connexions entre poutres et chapes

Il est nécessaire de connecter chaque extrémité de poutre avec une chape. En tout, cela repré-

sente 10 connexions (2 chapes× 5 pièces filaires).

Pour chacune des connexions à réaliser, il faut suivre la démarche suivante :

– Ouvrir l’outil Connexion générale d’analyse;

– Sélectionner les faces cylindriques de la chape commepremière composante;

– Sélectionner le point d’accroche associé commepoignéepuis le cacher ;

– Sélectionner le point extrémité de la pièce filaire commeseconde composante.


Pour chacune des connexions précédemment définies, il faut préciser les degrés de libertés qui

sont transmis entre les deux structures . Pour cela, ouvrir l’outil Propriété de connexion rigide

et :

– Sélectionner dans l’arbre la connexion générale d’analyse à associer ;

– Cocher la caseDegrés de liberté transmis;

– Comme repère, préciser que l’on utilise un repère utilisateur et non pas le repère global ;

sélectionner le repère de la pièce considéré ayant pour origine le point connecté ; ce choix

de repère n’est pas indispensable dans cette configuration,mais dans le cas où on modifierait

la longueur du vérin pour traiter une élévation différente,le repère global ne serait plus le

bon ;

– Dans le cas d’une rotule, cocher toutes les translations, et décocher toutes les rotations ;

– Dans le cas de la pivot d’axe~z, cocher toutes les cases saufRotation 3.

Remarque. – Tel quel, le modèle présente encore 4 mouvements de corps rigides : il s’agit

des rotations propres des bielles et du vérin. Pour les éliminer, il suffit d’éditer les propriétés

de connexion rigide de ces pièces avec la chape inférieure (par exemple) et d’imposer que la

Rotation 1 est transmise. Grâce à la prise en compte des repères locaux, cette rotation est bien

dans l’axe de chaque solide.

2.2.5 Conditions aux limites en déplacement

Afin que les modèles analytiques et éléments finis puissent être comparés, on encastre pour

cette étude les alésages de la chape inférieure.

2.2.6 Chargement

Puisque le modèle réalisé est jusqu’ici paramétré en fonction du numéro du segment, on peut

souhaiter poursuivre cette démarche pour le chargement.



Créer un fichier Excel avec comme modèle le tableau 3, et le sauvegarder dans le répertoire de

travail.

X (N) Y (N) Z (N) L (Nxm) M (Nxm) N (Nxm)

0 -1000 0 0 0 0

1000 -1000 0 0 0 0

TAB. 3 – Modèle de table de paramétrage pour le chargement (valeurs non réalistes)

Créer trois paramètres de type force, et trois paramètres detype moment de noms respectifs :

X, Y , Z, L, M , N . Ensuite, créer une table de paramétrage en liant automatiquement les

paramètres ayant le même nom.

Un pointA a été créé dans un set géométrique de la chape supérieure, dans le plan médian de

celle-ci, et positionné en accord avec la figure 2.1 présentant la géométrie du modèle analy-

tique. Le torseur des efforts appliqués au pointA sera imposé en deux étapes sur les alésages

cylindriques de la chape supérieure6 :

– Créer uneforce distribuéeet renseigner les efforts dans les directions~x, ~y, ~y en ajoutant une

formule pointant à chaque fois vers les paramètres de type effort imposés par la table de

paramétrageTableChargement; préciser laPoignéeen sélectionnant le pointA ;

– Créer unmomentet renseigner des moments de la même façon.

2.2.7 Calcul

Lancer le calcul.

2.2.8 Post-traitement

Afin de comparer les résultats obtenus par le modèle analytique et par le modèle éléments finis,

il est nécessaire de calculer, à partir du champ de déplacement :

– les efforts normaux dans les bielles et le vérin ;

– les sollicitations dans le tube : effort normal, moment de torsion, moment fléchissant.

Il n’est malheureusement pas possible d’extraire directement le torseur des efforts de cohésion

pour un modèle poutre dans Catia. Par contre, la donnée des efforts de liaison permettra de

comparer les résultats éléments finis aux résultats analytiques, et d’en déduire si nécessaire les

efforts de cohésion, de manière analytique.

Les efforts de liaison peuvent être extrait comme suit, pourchaque connexion réalisée :

– Sur le noeudCapteurs, cliquer droit, et sélectionner :Créer un capteur de réaction;

– Editer le capteur créé, et sélectionner comme support la liaison (connexion) pour laquelle

on cherche le torseur des actions transmises ;

– Préciser le repère dans lequel on souhaite exprimer les efforts et les moments en choisissant

le repère attaché à l’extrémité de la poutre liée ; le point origine de ce repère sera le point

auquel seront calculés les moments.

– Sous le noeud capteur, puis dans le capteur ainsi créé, apparaît le torseur des efforts transmis

par la liaison.



On comparera les résultats obtenus par cette analyse éléments finis aux résultats analytiques

présentés dans la tableau 4 pour le segment numéro4 et pour les différents cas de charges

proposés.

TSn+1→S

n

N1 (N) N2 (N) N3 (N) N4 (N)

T5→6

(N | N.m)

1000 0

0 0

0 0

A,R

47.8 47.8 159.5 0

−744.8 0

0 0

0 0

O,R

0 0

1000 0

0 0

A,R

8937 8937 −4121 −18693

−4914 0

0 0

0 0

O,R

0 0

0 0

1000 0

A,R

1272 −1272 0 0

0 0

0 38207

−1000 0

O,R

0 5000

0 0

0 0

A,R

0 0 0 0

0 −5000

0 0

0 0

O,R

0 0

0 5000

0 0

A,R

−7.7 7.7 0 0

0 0

0 −4469

0 0

O,R

0 0

0 0

0 5000

A,R

26 26 −23 0

29 0

0 0

0 0

O,R

TAB. 4 – Résultats obtenus par le modèle analytique pour divers chargements (segment numéro

4)



FIG. 3 – Frettes Stüwe : extrait du catalogue constructeur



(a) Segment vue de l’extérieur

(b) Segment sans le tube carbone

FIG. 4 – Visualisation CAO d’un segment de bras de robot



A

Chape supérieure6

Chape inférieure

Vérin 4

Bielles inférieures1 et 2

Bielle supérieure3

Tube5~x

~y

~z

FIG. 5 – Schéma cinématique d’un segment du PAC



a

b

c

d

d

a = 126 mm

b = 75 mm

c = 45 mm

d = 34.5 mm

FIG. 6 – Géométrie de la chape supérieure6



FIG. 7 – Détail de la liaison pivot considérée sur un boite d’avance de machine outil



Icône Nom de l’outil Description sommaire

Mailleur tétraédrique Créer un maillage à base de tétraèdres

Mailleur triangle Créer un maillage à base de triangles

Mailleur poutre Créer un maillage à base de segments

Connexion d’analyse générale Créer une liaison entre deux futurs maillages

Propriété de connexion glissièreTransmettre un déplacement selon la normale bilatéralement

Propriété de connexion contact Transmettre un déplacement selon la normale unilatéralement

Propriété de connexion soudéeTransmettre tous les ddl entre deux maillages

Propriété de connexion frettageImposer un précontrainte radiale (frettage)

Propriété de connexion serrageImposer une précharge (boulon)

Propriété de connexion rigide Imposer une connexion à distance

Force distribuée Appliquer une force enN de façon distribuée sur un support

Moment Appliquer un moment enN.m sur un support

Déplacement imposé Imposer une valeur de déplacement non nul pour un blocage

Encastrement Bloquer tous les ddl d’un support

Encastrement Bloquer tous les ddl d’un support

Contraintes avancées Bloquer les ddl choisis d’un support

Rotule Imposer une liaison rotule entre une pièce virtuelle rigideet le bâti

Pièce virtuelle rigide Connecter rigidement un point à une géométrie

Pièce virtuelle souple Connecter un point à une géométrie sans la rigidifier

Pièce virtuelle ressort rigide Lier élastiquement et rigidifier une géométrie à un point

Pièce virtuelle ressort souple Lier élastiquement sans la rigidifier une géométrie à un point

Propriétés coques Préciser l’épaisseur des coques

Propriétés poutres Préciser la géométrie des sections droites des poutres

Calcul Lancer le calcul de tout ou partie des analyses

Table de paramétrage Crée une table de paramétrage

TAB. 5 – Outils utilisés dans Catia et icônes correspondantes dans l’atelier d’analyse éléments

finis


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