C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, SCrie I, p. 1305-l 308, 1997

G6om6trie al@brique/Algebraic Geometry

Calculs de dimensions de systkmes linhaires de courbes planes par collisions de gros points

Laurent EVAIN

Universith d’angers, FacultP des sciences, Dkpartement de mathbmatique, 2, boulevard Lavoisier, 49045 Angers redex 01, France.

E-mail : evainQtonton.univ-angers.fr

R&urn& Quelle est la dimension de I’espace des courbes projectives planes de degrC ct passant par des points pl,. ,p,, en position g$nCrale avec multiplicitC nr, . . . rn,,.? Dans cette Note, nous introduisons la notion de collision de gros points et nous expliquons en quel sens il est equivalent de comprendre les collisions de gros points ou de calculer cette dimension.

Dimension of linear systems and collisions of fat points

Abstract. What is the dimension of the linear system of plane curves qf degree d going through points p, ! . . . p,. in general position with multiplicity rn,, , . , m,, ? In this Note, we introduce the notion of collision of fat points, and we e.xplain that, in Some sense, it is equivalent to understand collisions of fat points or to calculate this dimension.

1. Introduction

Les techniques de spkialisation sont trks classiques pour calculer la dimension k!(d. 7721~ 7712,

. . . 3 mT) du systkme 1inCaire des courbes de degr6 d passant par des points pl:p2,. . . : p, du plan P2, en pOsitiOn g&&de aVec mUkipkit6 77L1, 7n2, . . . : 711,.. Le principe en est le suivant. Ce systkme

linkaire a une dimension attendue e(d, 77~~. 7712, . . , Tn,.) = IELX( (d+1td+2) - C 9s i 0) et l’inkgalit6 !(d, ‘ml, 7n2,. . . . m,,) 2 e(d, ml, 7712,. . . : VI,,.) est toujours vCtifiCe. On met les points dans une position spkciale judicieusement choisie. La gComCtrie qui apparait alors permet de calculer la dimension e’( d, ml, 7n2 : . . . , rn,.) du systkme IinCaire dans cette position spCciale et de vkifier 1’6galitC P(d, ml,. . . . m,.) = e(d, ml, . . . T~L,.). On obtient finalement les CgalitCs

L(d: ml,. . . , m,.) = e(d,ml, . . . :m,.) = !‘(d, 77t,1,. . . , pm,.) puisque la semi-continuid impose

l’(d, ml>, . . , m,) > !(d: ml:. . . , wt.,). La difficult6 de la mkthode consiste B trouver une << bonne j> position spkiale.

Patti les mkthodes de spkcialisation d6ja utiliskes, citons la mkthode d’Horace (voir [ 1 ] et [Z]), qui consiste 2 mettre les points sur des courbes adequates, ou encore la mCthode de [4], qui consiste 5 faire d6gMrer le plan P2 en une surface S, et 2 faire courir les points jusqu’i 5’.

Note prCsentCe par Michel RAYNAUD.

07644442/97/0325 1305 0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris 1305

L. Evain

Les collisions de gros points sont d’autres spkialisations naturelles; un gros point de taille rn, est un sous-schema de lP2 dCfini par la puissance mkrne I,:” d’un faisceau d’ideaux II1 dkfinissant un point simple p. Un sous-schema ponctuel C de p2 est une collision totale de gros points de taille

?-nl>...,rn, si C peut etre obtenu comme limite plate d’une rkunion disjointe de gros points de taille ml,. . , m,, quand les gros points approchent les uns des autres. En d’autres termes, C est la fibre spkiale d’une famille plate de sous-schkmas de p2 dont la fibre g&&ale est une rkunion de T gros points de taille ml, . . , m,.. Si on note X la rkunion gCn&ique de T gros points de taille ml, . . . ! m,., 1’inCgalitC C(d) ml, m 2.. . rrb,) = h”lA.-(ci) < h”lc(d) = P’(d: ml: 7112:. . , m,.) est satisfaite pour toute collision C. Pour pouvoir appliquer la mCthode de spkcialisation, il faut trouver une collision pour laquelle on a kgalitk.

Cette Note traite de la << faisabilitk H de la mkthode. Dans quelle mesure cette mkthode de spkialisation peut-elle fonctionner? Peut-on toujours trouver des collisions pour lesquelles la cohomologie ne saute pas? Comment sont obtenues de telles collisions (c’est-A-dire comment les gros points approchent-ils les uns des autres)?

La riponse est qu’il est toujours possible de trouver une collision qui respecte la cohomologie : la collision homothktique, obtenue en amenant les gros points A l’origine 0 d’un plan affine B l’aide d’homothkties centrkes en 0.

Appelons multiplicite’ d’un schCma ponctuel C supportk par un point p la plus petite multiplicitC en p d’une courbe contenant C. En regardant plus prkiskment les Cquations de la collision homothetique, on montre que sa multiplicitk ,171(C) est le plus petit des degrCs d vkrifiant /b”IAy (d) # 0 (proposition 4). En particulier, puisque les notions de collision et de multiplicik? sont des notions locales, le probkme de dkider si !(cl, ml: rn2: . , m,.) est nul ou pas peut Ctre ramenC B un probkme local via les collisions, alors que c’est a priori un problkme concernant les sections globales d’un fibrC de p2.

Comme corollaire de 1’Ctude des collisions homothktiques, on obtient la proposition 5 qui rCsume les liens existant entre les collisions de gros points et les dimensions cherchkes des systkmes linkaires.

Le plan adopt& est le suivant. La section 2 regroupe quelques rksultats utiles sur la notion d’idCa1 initial et sur les escaliers associks. On utilise ces rkultats dans la section 3 pour Ctudier la collision homothktique et en dkduire la proposition 5 liant les collisions aux dimensions des systkmes linkaires.

Signalons enfin que des applications de cette mCthode de spkialisation se trouvent dans [6] : on y montre que le degrC d’une courbe de $’ contenant T points en position g&&ale avec multiplicitk m

est strictement plus grand que fim sous l’une des deux conditions suivantes : T est un can+ parfait supkrieur ou egal B dix (rksultat dkjh prouvC par Nagata), ou T est plus grand que (a- . (m + 1))’ (ce qui constitue une partie d’une conjecture de Nagata).

2. Idkaux initiaux dans k:[:r, y] et k:[[n:, y]]

Dans toute la suite k sera un corps algibriquement clos de caracttristique quelconque. Ordonnons les mon8mes de k[z:, y] de la fagon suivante : :I:“;$’ < :lY’yb si (n+b < n’+b’) ou (n+h = n’+b’ et a’ < a). On dira que cet ordre est un ordre homogdrze sur k[:c, TJ]. Cet ordre vkrifie 1’inCgalitC 2 < y. I1 existe par symktrie un ordre homog8ne vkrifiant :c > y. Dans la suite de cette section, on suppose choisi une fois pour toutes l’un des deux ordres homogknes. Pour un Mment p non nul de k:[z, y], on notera in(p) le plus grand mon6me de p affect6 d’un coefficient non nul.

Si on travaille avec l’algkbre k[[z, y/l] plut6t que k[n:, y], on a la m&me notion d’ordre homogkne. En revanche, in(p) dksignera le plus petit mon8me de ?-, affect6 d’un coefficient non nul.

Soit I un idkal de k[:c! y] (resp. de k[[:c. y]]). 0 n note in(I) l’idCa1 de k[n:,y] (resp. de k[[:c,y]]) engendre par les in(f) quand f parcourt I - (0). On l’appellera l’idkal initial de I.

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Dimension des systemes IinCaires et collisions de gros points

On appelle escalier une partie E de N2 dont le complCmentaire C v&ifie C + N2 c: C. Pour un escalier E, on notera :

l c(E) son cardinal (Cventuellement infini), l o(E) son ordre, qui est le plus petit entier d de la forme ~1 + b avec (a, b) g E, l N(E, d) le nombre de couples (Us b) vkrifiant n + b < d et ((1,. b) $ E.

PROPOSITION 1. - Soit I un idkal de k[:c; y] (resp. k:[[:c, y]]). L es couples (u, b) tels que x”y’ ne suit pas de la forme in(f) avec f dans I ,forment un escalier. On notera cet escalier E(I).

Dkmonstration. - Soit (n, b) 6 E(I) : zYyb = in(.f) avec f E I. Soit (m, n) E N2. L’Cgalitk (u + rn, b + ra) = in(z7”y1’f) montre que E(I) est un escalier.

PROPOSITION 2. - Soient I un id&al de k[x, y] de colongueur$nie et X le sous-schkma de A2 c P2 assock?.

l ((E(I)) = dimk. /?[:I;, y/l/I, l N(E(I),d) = hoI>&). Soient I un idPa de k[[z, y]] d e colongueurjnie et X le sow-schkma de Spcc k[[n:, w]] associe’. l <(E(I)) = dimk k[[:c! y]]/I, l o(E(I)) = n?,(X).

Dkmonstration. - Le point 3 est dCmontrC dans [3], corollaire 1.1.12. Le point 1 se dkmontre par un argument similaire : si (fl? . . . . f.9) est une base de Griibner de I, l’algorithme de division par les fz (voir [5], p. 330) montre que les classes des mon6mes Y1 yhf , oti (n;, bi) est dans E(I), forment une base de k[z,y]/I. Et cette base est de cardinal c(E(I)).

Point 4 : toute fonction s’annulant sur X est de valuation au moins o(E(I)) car son terme initial :~?y vCrifie a+ b > o(E(I)). D one m(X) 2 o(E(I)). Rkiproquement, soit (u. b) un ClCment hors de E(I) vCrifiant n + b = o(E(I)). L ‘6 Cment 1 f de I vkrifiant in(f) = :~:‘y’ montre que m(X) <I o(E(I)). Finalement, 774 X) = o( E( I)).

Point 2 : pour tout couple (nL, bp) vkifiant m.i + hi < d et (CL;, /j;) $ E, choisissons un ClCment fcl,b, de I de terme initial :~:~~~y~~. Montrons que les fo,h, ainsi construits forment une base de I’espace vectoriel Id des polyn6mes de I de degrk au plus n, ce qui dkmontrera le point 2. Ces ClCments forment une famille libre car leurs termes initiaux sont distincts. D’autre part, un 61Cment f de Id

s’kcrit f = c &ha fu7h1 + n, oti ks k,b, sont dans k et R est une combinaison linkaire de mon6mes z”yyh. avec (a, b) dans E(I). Done n = 0 puisque R = f - c &[,h,frL,[l, est dans I. Les fa,,s, forment bien une famille gkkratrice de I,i.

3. Collisions homothktiques. Application aux singularit&

DEFINITION 3. - Soient X un sous-schtma de dimension z&o du plan affine A2 = Spec k[z, y] et & l’automorphisme de A2 dCfini par le changement de variable :I: H z/t et y H y/‘t. Notons Xt le schCma &(X). On appelle collision homothe’tique de X le schCma C dCfini par la limite plate C = limtiOXt.

PROPOSITION 4. - Suit X c A2 c P’ un schkma ponctuel et C sa collision homothe’tique. 1. v’d, hOIs = PI&). 2. hoIs = 0 I m(C) > d.

Dtmonstrutiorz. - Puisque holAy et h’Ic(d) se lisent sur les escaliers de I,- et I, pour l’ordre

homogbne avec y > z, il suffit pour vkifier le premier point de montrer 1’CgalitC E(Is 11 = E(Ic) pour cet ordre.

1307

1. Evain

La famille des Xt, pour t # 0, est une famille de sous-schkmas de A2 paramktrke par A’ - {0}, et elle est done dCfinie par un idCal I(t) de k[z! y][t! t-l]. L a collision C est dkfinie par l’idtal

Ic := {f 6 k[z, y] 1 If(t) E I(t) n k[:c, y][t] avec f(0) = f}.

ConsidCrons l’escalier E(ls). Pour chaque Clement (a, b) hors de cet escalier, il existe un polyn8me P de 1-y qui admet zayb pour mon6me initial. Ikrivons P sous la forme P = C;P,, oii chaque P, est de degrC i. Le polyn6me Q(z, y, t) = t”P(z/t, y/t) = P,, + tP,,-1 + . . . + t”Po est dans I(t) done Q(z, y:O) = P7, est dans I’idCal I C. De I’Cgalitt in(P,,) = Fyb on dkduit E(I;;) c E(I\-). Ces deux escaliers ont mCme cardinal (car la colongueur des schkmas est conservke par limite plate), done E(lc) = E(I*y).

Puisque C est support& par le point (0,O) de A’, il peut Ctre vu comme sous-schCma de

Swc Wx, yll ( mo Y ennant l’injection canonique k[:c, y] + k[[:c: y]]) dans lequel il est dtfini par l’idkal Jc: = Ic k[[x,y]]. Ch erc h ons l’escalier de Jc pour l’ordre homogttne avec y < 2. Si on regarde P,, comme un ClCment de k[[z:, y]], on a toujours in(P,,) = zay6. D’oti E(Jc) c E(ls), et, par cardinalit& on a l’tgalitk. En particulier, m(C) = o(E(Jc)) = o(E(1.y)) = inf{d t.y. /~“IA~(d) # 0}, ce qui dCmontre le point deux.

Comme corollaire de cette proposition, on obtient la proposition suivante, qui dit en quel sens il suffit de connaitre les collisions pour calculer la dimension des systkmes IinCaires CtudiCs.

PROPOSITION 5. - Soient X la re’union g&ne’rique clans ff * de r gros points de taille ml, . . : m, et c 1 ‘ensemble des collisions totales de T gros points de taille ml i , . 2 m,..

I. holAy = min{h”lc(d); C E S} 2. h”ldy(d) # 0 w VC E CT: m(C) I d

DLmonstrution. - Par semi-continuitk, on sait qu’on a pour toute collision C des T gros points, hQ-(cl) < hOIc(d). I1 nous suffit done pour montrer le premier point, d’exhiber une collision C vkrifiant hoIs = /loI,( Et la collision homothktique fait l’affaire d’aprks la proposition 4.

D’autre part, pour toute collision C des T gros points, h”lA~(d) # 0 ==+ h’Ic(tl) # 0 ti 74C) < d. Pour montrer le deuxikme point, il reste A voir que si /l”IAy(d) = 0, il existe une collision C avec m(C) > d. La collision homothktique convient encore d’aprks la proposition 4.

Note remise le 1 I ao0t 1997, acceptke apt-&s rt%ision le 20 octobre 1997.

RCfdrences bibliographiques

[1] Alexander J. et Hirschowitz A., 1997. An asymptotic vanishing theorem for generic unions of multiple points, duke

e-print 9703037, p. l-25. [2] Alexander J. et Hirschowitz A., 1992. La mkthode d’Horace klatke : application ti l’interpolation en degrk quatre, Invent.

Mark, 107, p. 586-602.

[3] Briancon J., 1977. Description de Hilt)‘” {x,:y}, 1977, Invent. Math. 41. p. 45-89. [4] Ciliberto C. et Miranda R., 1997. On the dimension of linear systems of plane curves with general multiple base points,

duke e-print 9702015, p. l-30. [5] Eisenbud D., 1995. Commutative Algebra with a view towards algebraic geometry, Springer, p. 317-348.

[6] Evain L., 1997. Une minoration du degr6 de courbes planes g singularitks imposkes, pr@uhlicntinn de I’ENS Lyon, 212, p, l-17

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