calculs dans le triangle rectangle - editis

117

Vous connaissez quelques propriétés géomé-triques des triangles.Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plusspécialement au triangle rectangle.Vous allez consolider vos connaissances desclasses antérieures en utilisant le théorème dePythagore et sa réciproque ou les rapportstrigonométriques d’un angle aigu : cosinus,sinus, tangente. Pour cela, il vous faudra savoirreconnaître dans un triangle rectangle : l’hypoténuse, le côté adjacent à un angleaigu, le côté opposé à un angle aigu.

Mots-clés du chapitre

De nombreuses situations de la vie professionnelle nécessitentle calcul de longueurs ou d’angles.

Citons par exemple :

“– pour une charpente, le calcul de la longueur des chevrons ou de l’angle d’inclinaison de la toiture ;– pour une machine à commande numérique, le calcul des données à fournir de manière à obtenir le déplacementdésiré de l’outil ;– pour l’usinage d’une pièce, le calcul de l’angle d’attaquede l’outil.”Ce chapitre va vous fournir les moyens mathématiques de résoudrecertains de ces problèmes.

Calculs dans le triangle rectangle

1010

Comment utiliser le théorème de Pythagore ?

La figure ci-contre représente schématique-ment une partie de charpente (cotes enmètre).

Comment calculer la longueur du chevronPM ?

Première partieConstruire un triangle ABC rectangle

en A tel que AB = 8 cm, AC = 6 cm.Vérifier à l’aide du double décimètre queBC = 10 cm.

Calculer BC2, puis AB2 + AC2. Comparer les résultats obtenus.L’égalité obtenue ne vous rappelle-t-elle pas un théorème connu ?

Deuxième partieOn se propose de calculer la longueur du chevron MP (figure ci-dessus).

On sait que le triangle MNP est rectangle en N.

Quelle est l’hypoténuse du triangle MNP ?

Écrire la relation de Pythagore.

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, calculer MP2.

En utilisant la touche de la calculatrice (voir page 201), calculer MP (valeur

arrondie au cm).

Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ?

Pour construire des murs perpendiculaires,les maçons égyptiens utilisaient une corde à13 nœuds : 1 nœud à chaque extrémité et11 nœuds à égale distance l’un de l’autre.Avec cette corde, le maçon réalise untriangle dont les côtés ont pour longueur 3 ; 4 et 5, en choisissant comme unité de longueur la distance entre deux nœuds.

Les murs ainsi construits sont-ils « àl’équerre » ?

M

À LA DÉCOUVERTE DE...

118

Activité 1

4

6

?

MN

P

Activité 2

1.

1.

2.

2.

3.

4.

B C

A

119

10. Calculs dans le triangle rectangle

Solutions pages suivantes

Construire un triangle ABC tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.

À l’aide d’un rapporteur, mesurer l’angle .

Comparer BC2 et AB2 + AC2.

Comment utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle ?

Un alpiniste doit, pour atteindre le sommet, gravir une dernière face plane recou-verte de glace. Son altimètre lui indique que, s’il parcourt 100 m, il gagne en altitu-de 70 m. Cette situation est illustrée par la figure de droite.

• Quelle est la mesure de l’angle d’inclinaison de la face ?

• L’altitude du sommet est de 8 000 m ; l’altimètre indique 7 875 m. Quelle distancereste-t-il à parcourir à l’alpiniste ?

L’étude suivante va donner les réponses à ces questions.

Dans le tableau ci-contre, on note d la distanceparcourue par l’alpiniste et d′ le gain en altitudecorrespondant.

Sachant que ce tableau est un tableau de proportionnalité, le reproduire et le compléter.

Quelle est la valeur commune des rapports ?

La valeur commune des rapports est représentée dans le triangle ABC rectangle

en A par le rapport ; elle dépend de l’angle . On l’appelle sinus de l’angle

et on écrit . En utilisant la calculatrice (voir page 201), calculer la valeur

arrondie au degré de la mesure de l’angle .

Quelle distance reste-t-il à parcourir à l’alpiniste ?

On calculera d’abord combien l’alpiniste doit gagner en altitude.

C

sin C = ABBC

CC ABBC

d′d

d′′d

C

BAC

. . .

Activité 3

1.

2.

1.

2.

3.

50 220100

70

d (en m)

d’ (en m)

20

face

verticale

100 m

C

B

70 m

horizontale

A?

SOLUTIONSActivité 1

1.

Comment utiliser le théorème de Pythagore ?

Première partieOn construit un angle droit et,

sur les demi-droites [Ax) et [Ay), on place les points B et C tels que AB = 8 cm et AC = 6 cm.

La figure est ici faite à l’échelle .

BC2 = 100.

AB2 + AC2 = 82 + 62 = 64 + 36

AB2 + AC2 = 100.

Donc BC2 = AB2 + AC2.

L’égalité obtenue nous rappelle le théorème de Pythagore :

Deuxième partieL’hypoténuse d’un triangle rectangleest le côté opposé à l’angle droit ; l’hy-pothénuse du triangle MNP est MP.

MP2 = NP2 + NM2.

MP2 = 42 + 62, soit MP2 = 16 + 36, d’oùMP2 = 52.

À la calculatrice :

52

52

On lit 7,2111… d’où MP " 7,21 (valeur arrondie au cm).

Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ?

On constate, aux incertitudes de mesure près, que = 90°.

BC2 = 52 = 25.

AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16, soit AB2 + AC2 = 25.

BAC

L’utilisation du théorème de Pythagore va nous permettre, dans un triangle rectangle dont seuls deux côtés sont connus, de calculer le côté inconnu.

EXEM

ENTER=)M 2nd

si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2.

12

xAy

120

y

x

C

6 cm

A

8 cm

B

P

4

N6

M

1.

2.

2.

1.

2.

3.

4.

Activité 2

. . . SOLUTIONS DES ACTIVITÉS

121

DE DÉCOUVERTE

Ainsi : BC2 = AB2 + AC2.Le triangle ABC est tel que BC2 = AB2 + AC2 et on constate qu’il est rectangle en A.Plus généralement,

Ce résultat nous permet d’affirmer que les murs construits en utilisant la corde à 13 nœuds sont bien perpendiculaires.

Comment utiliser les relations trigonométriquesdans le triangle rectangle ?

Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient soit 0,7.

La valeur commune des rapports est 0,7.

On utilise la calculatrice en mode degré (voir p 201).

0.7 ; 0.7

On lit : 44,42 …, donc .

L’alpiniste doit gagner en altitude 8 000 – 7 875, c’est-à-dire 125 m.• On peut utiliser le tableau de proportionnalité où x représente la distanceinconnue à parcourir.

Ainsi

d’où 125 = 0,7 x ; ; x " 179.

L’alpiniste devra parcourir 179 mètres.• On peut aussi représenter la situation par le triangle ABC ci-contre. Dans ce triangle :

, soit ;

d’où BC = ; BC " 179.

Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de cal-culer certains éléments (angles ou côtés).

1250,7

0,7 = 125BC

sin C = ABBC

x = 1250,7

125x = 70

100= 0,7d

d’

100

70

x

125

La calculatrice permet d’obtenir la mesure d’un angle aigu connaissant le cosinus,le sinus ou la tangente de cet angle.

C ; 44°

EXEAsnSECONDEENTER=)SIN-12nd

d′d

50

35

220

154

100

70

d (en m)

d’ (en m)

20

14× 0,7

70100

si un triangle ABC est tel que BC2 = AB2 + AC2, alors il est rectangle en A.

Cet énoncé est appelé réciproque du théorème de Pythagore.


3.

1.

2.

Activité 3

125 m

AC

?

B

122

L’ESSENTIELL’ESSENTIEL• Propriétés élémentaires

• Théorème de Pythagore

• Réciproque du théorème de Pythagore

• Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Dans le triangle ABC rectangle en A,

– le cosinus de l’angle est :

– le sinus de l’angle est :

– la tangente de l’angle est :

Le cosinus, le sinus, la tangente de l’angle sont les rapports trigonomé-triques de cet angle.

C

tan C =mesuredu côtéopposé

mesuredu côtéadjacent= AB

AC

C

sin C =mesure du côté opposémesure de l’hypoténuse

= ABBC

C

cos C =mesure du côté adjacentmesure de l’hypoténuse

= ACBC

C

Si dans un triangle ABC, BC2 = AB2 + AC2, alorsle triangle est rectangle en A.

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2.

A

B C0

hypoténuse

C

BA

Côté adjacent

Hypoténuse

B

Côté opposé

AC

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :

• et .

• le cercle circonscrit au triangle est le cercle de diamètre [BC].

B + C = 90° A = 90°

123

EXERCICES ETPROBLÈMES

EXERCICES


Théorème de Pythagore

Un triangle ABC estrectangle en A ; AB = 3,5 cmet AC = 2 cm. Calculer BC.

• l’hypoténuse est [BC]. • BC2 = AB2 + AC2.

• BC2 = (3,5)2 + 22 ; BC = klBC2ll.

• Calcul de BC2, puis de BC :

3.5 2 ;

3.5 2 ;

À l’affichage on lit : 4,03…d’où BC " 4 cm (valeur arrondie au dixième).

et permettent de rappeler le

résultat obtenu au calcul précédent.

Un triangle IJK estrectangle en I ; IJ = 3,2 cmet JK = 4 cm.Calculer IK.

• L’hypoténuse est JK. • JK2 = IJ2 + IK2.• 42 = (3,2)2 + IK2 ;

IK2 = 42 – (3,2)2 ; .

• Calcul de IK2, puis de IK :

4 3.2 ;

4 3.2 ;

On lit : 2,4 ; IK = 2,4 cm.

EXEAnsEXEx2–x2

ENTER=)ANS2nd2nd

ENTER=x2–x2

Corrigé

2

J 4K

I?

3,2

AnsANS2nd

EXEAnsEXEx2+x2

ENTER=)ANS2nd2nd

ENTER=x2+x2

Corrigé

1

Pour calculer la mesure d’un côté dansun triangle rectangle :

• on repère l’hypoténuse ;

• on écrit le théorème de Pythagore ;

• on reporte les valeurs connues et on isolele terme inconnu ;

• on termine le calcul à l’aide de la cal-culatrice.

Point méthode

Le triangle ABC est rectangle en A ;

Dans chaque cas, donner la bonne réponse.

1. L’angle droit est l’angle :

a. b. c.

2. L’hypoténuse est le côté :

a. AB b. BC c. AC

3. L’angle a pour mesure :

a. 25° b. 45° c. 55°

4. Le théorème de Pythagore s’écrit :

a. BC2 + AB2 = AC2

b. AB2 + AC2 = BC2

c. BC2+ AC2 = AB2

C

CBA

35˚B

A

C

ABC = 35°.

QCM BA

2

C

3,5

?

Le triangle ABC est rectangle en A.Calculer BC (valeur arrondie au mm).

Le triangle ABC est rectangle en A.Calculer AC (valeur arrondie au mm).

Soit un triangle ABC rectangle en A tel queAB = 5 cm et AC = 4 cm.1. Construire ce triangle en vraie grandeur etmesurer BC.2. Calculer BC (valeur arrondie au mm).

Un triangle PQR est rectangle en Q ;QR = 5 cm et PR = 6 cm.1. Construire le triangle en vraie grandeur etmesurer PQ. On placera d’abord [QR].2. Calculer PQ (valeur arrondie au mm).

• Pour les exercices 7 à 9, le triangle ABC estun triangle rectangle en A ; les mesures de deuxcôtés sont connues.Calculer la mesure du troisième côté.

AB = 6 ; AC = 9.

AB = 7 ; BC = 15.

AC = 3,8 ; BC = 8,2.

Réciproque du théorèmede Pythagore

On considère un triangle ABC tel que AB = 40 mm ; AC = 42 mm et BC = 58 mm.Ce triangle est-il rectangle ?

• Le plus grand côté est [BC].• BC2 = 582 ; BC2 = 3 364.• AB2 + AC2 = 402 + 422 ;

AB2 + AC2 = 1 600 + 1 764 = 3 364.• On a : BC2 = AB2 + AC2, donc le triangle ABCest rectangle ; l’hypoténuse est [BC], le tri-angle est rectangle en A.

On considère un triangle PQR tel que PQ = 24 cm ; QR = 18 cm ; PR = 20 cm.Ce triangle est-il rectangle ?

• Le plus grand côté est [PQ].• PQ2 = 242 = 576.• PR2 + QR2 = 202 + 182 ;

PR2 + QR2 = 400 + 324 = 724.• On a : PQ2 ≠ PR2 + QR2, donc le triangle PQRn’est pas un triangle rectangle.

Un triangle ABC est tel que AB = 16 mm ;AC = 34 mm ; BC = 30 mm.Prouver que ce triangle est rectangle en B.

Un triangle PQR est tel que PQ = 14 mm,QR = 50 mm, PR = 46 mm.Prouver que ce triangle n’est pas un trianglerectangle.

1. Construire un triangle MNP tel que MN = 2,3 cm ; MP = 4,5 cm ; NP = 5 cm.Mesurer l’angle 2. Prouver que ce triangle n’est pas rectangle.

PMN.

14

13

12

Corrigé

11

Corrigé

10

9

8

7

6

5

5 cm7 cm

B

A C ?

4

1,5 cm

2,5 cmA

C

B

?

3

124

• on calcule le carré de la mesure de ce plusgrand côté ;

• on calcule les carrés des mesures des autres côtés et on ajoute ces carrés ;

• on compare les résultats obtenus et onconclut :– si les résultats obtenus sont égaux, alorsle triangle est rectangle (l’hypoténuse estle plus grand côté) ;– si les résultats obtenus sont différents,alors le triangle n’est pas rectangle.

On connaît les mesures des trois côtésd’un triangle.

Pour reconnaître si ce triangle est un tri-angle rectangle :

• on repère le plus grand côté du triangle ;

Point méthode

• Pour les exercices 15 à 18, on considère untriangle IJK dont on donne les mesures des côtés.Dans chaque cas, indiquer, en justifiant laréponse, si ce triangle est rectangle ou non.Lorsqu’il est rectangle, préciser quel est l’angledroit.

IJ = 20 ; JK = 21 ; IK = 29.

IJ = 45 ; JK = 53 ; IK = 28.

IJ = 10 ; JK = 8 ; IK = 12.

IJ = 5 ; JK = 7 ; IK = 9.

Relations trigonométriquesdans le triangle rectangle

Pour chacun des triangles suivants, on peut

calculer directement cos ou sin ou tan .

1. Indiquer, dans chaque cas, quel rapport trigonométrique (cos, sin ou tan), on peut calculer directement.2. En donner la valeur exacte, puis la valeurarrondie au millième.

� Utilisation de la calculatrice

Attention !Pour l’utilisation de la calculatrice dans lescalculs trigonométriques de ce chapitre, ilfaut s’assurer qu’elle est en mode degré.Si elle n’est pas en mode degré, il faut l’ymettre en effectuant la séquence suivante :

, ou pour sélectionner le degré, ;

Calculer cos 57° ; sin 57° ; tan 57°.

• 57

57

on lit : 0,5446… ; cos 57° " 0,545.

• 57

57

on lit : 0,8386… ; sin 57° " 0,839.

• 57

57

on lit : 1,5398… ; tan57° " 1,540.

EXEtan

ENTER=)TAN

EXEsin

ENTER=)SIN

EXEcos

ENTER=)COS

Corrigé

20

1MODEMODE

ENTER=��DRG

30

C

25A

B

B26

A

15

C

A

1,8

B3,5

CC 2

A

B

3

CCC

19

18

17

16

15

125


Dans chaque cas, donner la réponse choisie :Le triangle PQR est rectangle en P.

1. Le côté opposé à l’angle est :

a. PQ b. PR c. QR

2. Le côté adjacent à l’angle est :

a. PQ b. PR c. QR

3. Le cosinus de l’angle est :

a. b. c.

4. Le sinus de l’angle est :

a. b. c.

5. La tangente de l’angle est :

a. b. c. PRQR

QRPQ

PRPQ

Q

PRQR

PQQR

PRPQ

Q

PRQR

PQQR

PRPQ

Q

Q

Q

P

Q

R

QCM

a désigne la mesure en degré d’un angleaigu ; calculer la valeur arrondie au dixième dea sachant que cos a = 0,69.

0.69

0.69

on lit : 46,369… ; a " 46,4 (valeur arrondieau dixième)

Dans chacun des cas suivants, calculer lesvaleurs arrondies au millième de cos a, sin a,tan a.1. a = 18°.2. a = 75°.

a désigne la mesure en degré d’un angleaigu ; on connaît soit cos a, soit sin a, soit tan a.Dans chacun des cas suivants, calculer la valeurarrondie au dixième de a.1. cos a = 0,27.2. sin a = 0,421.3. tan a = 0,345.4. tan a = 1,769.

� Calcul de la mesure d’un angle aigud’un triangle rectangle 0

Calculer la valeur arrondie au dixième de

la mesure de l’angle

• .

• les données permettent de calculer :

• 5.6 3.2

5.6 3.2

on lit : 60,255… ; .

Un triangle ABC rectangle en A est tel queAB = 36 mm et AC = 45 mm.1. Construire le triangle.

2. Calculer (valeur arrondie au dixième).

1. Construire un triangle MNP rectangle enM tel que MN = 42 mm et NP = 45 mm.2. Calculer (valeur arrondie au degré).

1. Construire un triangle PQR rectangle enQ tel que PQ = 47 mm et PR = 55 mm.2. Calculer (valeur arrondie au dixième).

� Calcul de la mesure d’un côté d'un triangle rectangle

Le triangle ABC est rectangle en A ;

et BC = 35 mm. Calculer AC. ACB = 65°

28

RPQ

27

MPN

26

ACB

25

EXEAnsAtnSECONDE

EXE÷

ENTER=)ANS2ndTAN–12nd

ENTER=÷

Corrigé

I

3,2

J K

5,6

?

IJK.

24

23

22

EXEAcsSECONDE

ENTER=)COS–12nd

Corrigé

21

126

Pour calculer la mesure d’un angle aigud’un triangle rectangle connaissant deuxcôtés du triangle :

• on écrit le cosinus, le sinus, la tangente del’angle cherché ;

• on repère le rapport trigonométrique quel’on peut calculer ;

• à l’aide de la calculatrice, on calcule cerapport trigonométrique, puis la mesure del’angle.

Point méthode

Pour calculer la mesure d’un côté d’untriangle rectangle connaissant un angleaigu et un côté :

• on écrit les rapports trigonométriques del’angle connu ;

• on repère le rapport trigonométrique quicontient le côté cherché et le côté inconnu ;

• on isole le côté inconnu ;

• on termine le calcul à l’aide de la calculatrice.

Point méthode

,

• .

• cos 65° .

• AC = 35 × cos 65°.

• 35 65

35 65

On lit : 14,791… ; AC " 14,8 (valeur arron-die au dixième).

On considère un triangle ABC rectangle en

A tel que = 37° et AC = 58 mm.1. Construire le triangle.2. Calculer .3. Calculer AB et BC (valeurs arrondies audixième).

On considère un triangle MNP rectangle en

M tel que NP = 70 mm et = 69°.1. Construire le triangle.2. Calculer .3. Calculer MN et PM (valeurs arrondies audixième).

N

P

30

B

C

29

EXEcos×

ENTER=)COS×

Corrigé

A

65˚35 mmB

?

C

127


PROBLÈMES*, **, *** : niveau de difficulté du problème - : problème corrigé (voir solution page 196).C

Dans tous les problèmes, l’utilisation de la cal-culatrice est nécessaire.

** ABCD est un rectangle.

1. Calculer la valeur exacte, puis la valeurarrondie au dixième de AC.2. Calculer la valeur arrondie au degré de

.

**

1. Calculer la valeur exacte, puis la valeur arron-die au mm de AT.2. Calculer la valeur arrondie au degré de .

** (d’après un sujet de BEP)Le schéma ci-contre représentel’écran d’un télévi-seur de format16/9 (les propor-tions ne sont pasrespectées sur la figure).La diagonale a pour mesure D = 66,1 cm.

1. Calculer la longueur L de l’écran sachantque sa largeur a pour mesure � = 32,4 cm.On donnera la valeur arrondie au mm.2. Calculer la valeur arrondie au degré de lamesure de l’angle α.3. Le format 16/9 signifie que .

En utilisant cette propriété, calculer la largeur �d’un écran 16/9 dont la longueur est 80 cm.

** (d’après un sujet de BEP)Sur une terrasse, oninstalle une table en béton ayant laforme d’un octogonerégulier représentéci-contre.Chaque côté de cettetable mesure 50 cm.

C34

L�

= 169

33

TAT′

A

T

O ?

?

T′�

32

BAC

6A

D C

?

?

3

B

31

OT = 4 cmOA = 12 cm

0

A K B

H

G

C

D

F E

50 cm

L

�D

α

1. Calculer la mesure de l’angle . Exprimercette mesure en degré.2. Calculer la mesure de l’angle . Exprimercette mesure en degré.3. Calculer la longueur de [OK]. Exprimer lerésultat arrondi au millimètre.4. En prenant 60 comme mesure de [OK] expri-mée en centimètre, calculer l’aire du triangle AOB.Exprimer ce résultat arrondi au cm2.5. Calculer l’aire de la table. Exprimer ce résul-tat en m2.

** (d’après un sujet de BEP)Un parterre a la forme d’un carré ABCD de côté 5 m.On peut planter des fleurs dans le losange IJKL etde la pelouse dans la partie restante (non colorée).

1. Calculer l’aire, en m2, du parterre ABCD.2. Calculer l’aire, en m2, du losange sachant queLJ mesure 3 m.

Rappel : ; D et d mesures des

diagonales du losange.3. En déduire l’aire de la partie semée de pelouse.4. On souhaite protéger les fleurs par une bor-dure. On désigne par O le point d’intersectiondes diagonales du losange.a) Calculer OI et OJ.b) Dans le triangle rectangle OIJ, calculer IJ(valeur arrondie au dixième).5. En déduire une valeur approchée de la lon-gueur totale de la bordure IJKL.

*** (d’après un sujet de BEP)Le plan d’une salle est représenté ci-après.Cette salle se divise en deux parties :– ABCDIF : salle de réunion ;– EIF : sanitaires.La salle de réunion sera recouverte de moquetteet les sanitaires seront carrelés.

1. Indiquer les mesures, en degré de l’angleet de l’angle .

2. Indiquer la nature du triangle ABC en justi-fiant la réponse.3. En déduire, en mètre, la longueur AB.4. Calculer la valeur arrondie au cm de la lon-gueur BH.5. Calculer l’aire �1, en m2, du triangle ABC(valeur arrondie au dm2).6. Calculer l’aire �2, en m2, du rectangle ACDI.7. Calculer l’aire �, en m2, de la salle deréunion (valeur arrondie au dm2).8. Calculer, en mètre, la longueur IE.9. Calculer, en mètre, la longueur FI (valeurarrondie au cm).10. Calculer l’aire �c , en m2, de la surface EFIà carreler (valeur arrondie au dm2).

*** (d’après un sujet de BEP)La figure ABCDEF ci-dessous représente uneplaque de rue.La droite (OO′) est axe de symétrie de la figure.

L’arc est un arc de cercle de centre O et derayon OC = 29,7 cm.1. a) Calculer la valeur arrondie au cm de CH.b) En déduire la cote AB.2. Calculer, en cm2, l’aire du quadrilatère ABCO.

CD

FO

O′�

HA

B D EC

cotes en cm

44 16

37

ACB ABC

30˚

60˚B

H

D

1015

65˚

I

E

10

A F

20C

Cotes enmètres

36

� = D × d2

O

A I B

L J

D K C

35

AOK

AOB

128


129

3. Calculer la mesure, en degré, arrondie à 0,1

de l’angle .

En déduire la mesure de l’angle .

4. L’aire d’un secteur circulaire est donnée par

la relation : , avec

R : rayon de l’arc de cercleα : mesure en degré de l’angle du secteur.Calculer l’aire du secteur circulaire coloré.On prendra α = 32,6o. Arrondir le résultat à l’unité.

5. Déduire des résultats précédents l’aire totalede la plaque de rue.

*** (d’après un sujet de BEP)On réalise une voile de planche à voile repré-sentée par la figure ci-dessous.Les cotes sont en mètres.AD = 4,45 ; AG = 2,50 ; CD = 0,90 ; AB = 0,43et .

1. Calculer la cote BG et donner sa valeur arron-die à 0,01 m.

2. Calculer cos (valeur arrondie aumillième).En déduire la mesure arrondie au degré des

angles et .

3. Soit le secteur circulaire coloré DCE.Calculer son aire, arrondie à 0,01 m2.

4. Déterminer la mesure de l’angle .

5. Calculer la cote EF, arrondie à 0,01 m.

6. En déduire l’aire du triangle ECF, arrondie à0,01 m2.7. Quelle est la nature du quadrilatère CFGB ?Justifier la réponse.8. Calculer la cote CB, arrondie à 0,01 m.9. On donne : CF = 1,04 m et BG = 2,46 m.Calculer l’aire du triangle BAG, arrondie à 0,01 m2, puis l’aire du quadrilatère CFGB.10. Donner l’aire totale de la voile.

*** (d’après un sujet de BEP)

Première partieUn flipper est incliné d’un angle α par rapportà l’horizontale.

Calculer la valeur arrondie au degré de la mesurede l’angle α.

Deuxième partieCe flipper comporte trois « bumpers » disposésen triangle.Les points A, B et C sont au centre des bumpers.AB = 200 mm ; AC = 300 mm ; .

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?2. Calculer la mesure du segment [BC].On donnera la valeur arrondie au cm.3. Calculer les mesures des angles et .

*** (d’après un sujet de BEP)Pour signaler un véhicule immobilisé dans unvirage, on place un triangle de signalisationassimilable à un triangle équilatéral ABC decôté 45 cm (figure de gauche).AB = BC = CA = 45 cm.

40

ABC ACB

A

C

B

BAC = 90°

6301 250520

Cotes en mm

C39

ECF

BGA BAG

BAG

D

C

E

F

B G

A 2,50

0,90

4,45

0,43

DCE = 60°

38

� = πR2α

360

COO′

HOC

1. Calculer, en cm, la longueur AK de la hauteurdu triangle ABC. Arrondir le résultat au dixième.2. Le triangle de signalisation fait avec la routeun angle de 76o (figure de droite).Il est maintenu dans cette position par une tigeassimilable au segment [SH] tel que :– (SH) est perpendiculaire à (AH) ;– KH = 5 cm.Calculer, en cm, la longueur SH. Arrondir lerésultat à l’unité.

*** (d’après un sujet de BEP)Un échafaudage destiné à soutenir un arc enplein centre est constitué comme l’indique leschéma ci-dessous.

Sachant que C est le milieu du demi-cercle

, E le milieu de l’arc et D le milieu de

l’arc , calculer :1. la longueur du segment [AC] ;

2. la mesure de l’angle ;3. la longueur du segment [EF] ;4. la longueur de l’arc ;5. l’aire du demi-disque de diamètre [AB] ;6. l’aire du triangle AEC.Les longueurs seront exprimées au centimètreprès, l’angle au degré près, les aires au décimè-tre carré près.

** (d’après un sujet de BEP)La salle de repos d’une crèche a la forme d’unrectangle prolongé d’un demi-disque.AB = 4,20 m ; BC = 5,60 m.

1. Calculer la longueur AC.2. Calculer la tangente de l’angle .3. En déduire la mesure, en degré, de l’angle

. On donnera la valeur arrondie à 0,1.4. Calculer l’aire, en m2, de la salle. On donnerala valeur à 0,01.

*** (d’après un sujet de BEP)On veut réaliser une table ayant la forme d’unhexagone régulier à partir d’un plateau cir-culaire de centre O et de rayon R = 0,6 m commel’indique la figure ci-dessous.

1. Calculer la mesure en degré de l’angle .2. Construire un cercle de rayon r = 6 cm quireprésente le plateau circulaire précédent.Déterminer l’échelle utilisée.3. Construire un hexagone régulier IJKLMNinscrit dans ce cercle.Les questions 4., 5. et 6. concernent la figureobtenue.4. Tracer la médiatrice du segment [KL]. Onappelle H le point d’intersection de cette droiteavec [KL].Calculer OH à 0,1 cm près.5. Donner la nature du triangle OKL. Justifier laréponse.Calculer l’aire du triangle OKL.6. Calculer l’aire de l’hexagone IJKLMN.7. Des résultats précédents, déduire :a) l’aire réelle, en m2, de la table ;b) le pourcentage de chute du plateau initial.

KOL

OJ

K L

M

NI

.

43

BCA

BCA

A

B

D

C

42

AB

AOE

CB

AC AB

F G

A O4 m

B

DE

C

41

A

B K CS

K

H5

A

route

triangle

76

130

calculs dans le triangle rectangle - editis

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