MATHEMATIQUES au cycle III : la question du calculcalcul.

Patrick WIERUSZEWSKIIUFM, Centre Val de Loire, Blois.

IREM Orléans, COPIRELEM.

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Sommaire.

• Du côté des instructions officielles (les programmes 2008 et le Socle Commun).

• Du côté des techniques opératoires. Gros paquetGros paquet !!!

• Du côté du calcul mental. Non directement abordéNon directement abordé. Du côté des nombres : les nombres décimaux. Non directement abordéNon directement abordé.

• Pour finir en beauté : du côté de la proportionnalitéproportionnalité.

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Les deux entrées institutionnelles en 2008

• Le Socle Commun des Connaissances et des Compétences. C’est le pilier 3 : « Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique ».

a) Les connaissances. « Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l’école primaire des automatismes en calcul, en particulier la maîtrise des quatre opérations qui permet le calcul mental. Il est aussi indispensable à démontrer et à raisonner. Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d’être en mesure de les utiliser ».

Les élèves doivent CONNAITRE … (du côté des « savoirs »).

b)Les capacités et les attitudes (peu d’explicitation !).Les élèves doivent ETRE CAPABLES DE … (du côté des compétences).

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• les Programmes 2008 (BO, hors série de Juin 2008).

Programme décliné en quatre DOMAINES, accompagné de quelques éléments de progression.… « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification ».« La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d’études au collège ».

Domaine NOMBRES et CALCULUne interrogation et un point de débat entre cycle II et cycle III.

Au cycle II. « Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1000. ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent ».Au cycle III. « Principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture des nombres ; désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ; comparaison et rangement (…) ; relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant ».

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Domaine GEOMETRIE. Relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, équidistance.Utilisation des instruments et de techniques. Les figures planes, les solides usuels. …

Domaine GRANDEURS et MESURES.

Les LONGUEURS, les MASSES , les VOLUMES. Les AIRES (formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle). Les ANGLES. Le REPERAGE du TEMPS. Les DUREES, la MONNAIE.

Domaine ORGANISATION et GESTION de DONNEES.

… La proportionnalité est abordée à partir des situations faisant intervenir les … On parle en particulier de « la règle de trois ».

Est-on au clair sur cette « règle » ?

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Rupture et Continuités de 2002 à 2008.

En 2002. 1) « Faire des mathématiques », c'est résoudre des problèmes. ...2) Qui dit « CALCUL » dit : « calcul posé (Cal-P), calcul instrumenté (Cal-I), calcul mental (Cal-M) ». ...

En 2008. Certes , la résolution de problèmes est réaffirmée (elle est commentée dans chacun des quatre domaines) ; cependant ce qui prime, ce sont « les fondamentaux » dès le cycle II. Il convient de les préciser. 1)Des automatismes à faire pratiquer plus tôt .2)Des apprentissages avancés (dans le domaine numérique) : Addition et Soustraction posées, Tables de multiplication de 2, 3, 4 et 5, du partage à la division au CE1.

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CALCUL et Techniques Opératoires. Que dit le rapport de l’Académie des Sciences ?

1. L’amélioration souhaitable des performances en calcul à l’issue de l’école primaire requiert des mesures significatives mais prudentes, accompagnées d’analyses plus approfondies et d’expérimentations.

3. Son apprentissage, s’appuyant sur une intuition arithmétique présente chez tous les jeunes enfants, suppose effort mais aussi jeu. La mise en place d’automatismes s’accompagne de représentations mentales nouvelles, elle implique réflexion et compréhension. L’automatisation ne peut qu’être le résultat ultime et naturel d’unepratique régulière et bien comprise du calcul.

4. L'enseignement du calcul doit commencer par une pratique simultanée de la numération et des quatre opérations, une gradation en complexité se faisant entre maternelle et fin de primaire, jusqu’aux nombres décimaux et aux fractions.

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5. La capacité en calcul se développe selon plusieurs modalités, toutes pertinentes, nécessaires et complémentaires : calcul mental, calcul posé écrit, calcul approché, calcul instrumenté. Le premier, omniprésent dans la vie quotidienne, développe la mémoire ; le deuxième, riche de développements ultérieurs, est important pour lastructuration des connaissances ; le troisième est essentiel dans les sciences de la nature et la manipulation des ordres de grandeur ; le quatrième doit trouver sa juste articulation avec les autres modalités. Toutes ces modalités de calcul doivent être maîtrisées par le citoyen.

6. L’apprentissage du calcul ne saurait être développé indépendamment de celui de la géométrie. Les liens entre géométrie et calcul doivent être introduits très tôt, d’autant plus que tous ne sont pas immédiats pour l’enfant.

7. L’importance de la proportionnalité dans plusieurs champs disciplinaires, et singulièrement les sciences de la nature, requiert une maîtrise solide de la règle de trois en fin de primaire, et donc d’une certaine manipulation des fractions.

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Dernier point : les évaluations. A quels « interrogations » peut-on s’attendre au CM2 dans le

domaine du CALCUL ?A.CALCUL MENTAL . •Connaissances des tables (addition et multiplication) : donner les résultats ETET retrouver les termes ou les facteurs. • Calculer mentalement le résultat d’une opération OU le terme manquant d’une opération.B.TECHNIQUES OPERATOIRES. •Poser et effectuer à la main une opération : addition, soustraction, multiplication. Les nombres en jeu sont les nombres entiers et les nombres décimaux.•Poser et effectuer une division. (Un nombre entier ou un nombre décimal par un nombre entier). C.PROBLEMES. • Résoudre un problème relevant des quatre opérations, avec quelle modalité ? Résoudre un problème plus « spécifique » : proportionnalité, longueurs et aires, …

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La soustraction. Le (mini) quart d’heure culturel : LA technique opératoire enseignée dans les pays d’Amérique Centrale. (Source : manuel d’état du SALVADOR, éditions 2007).

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Une autre page du manuel de deuxième année (= CE1).

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Quelques observations préalables sur les Techniques Opératoires.

Jusqu’à la réforme dite des mathématiques modernes (fin des années 1970), les techniques les plus ENSEIGNEES correspondaient aux techniques les plus EMPLOYEES : « l’exécution » d’une technique devait pouvoir facilement être vérifiée par le plus grand nombre (« dans » et « hors » de la classe). De nos jours, le choix d’une technique doit plutôt répondre à deux critères : • Facilité de son exécution et de sa mémorisation, afin de limiter le temps d’apprentissage.• Possibilité de contrôle par le sens.

ADDITION (développée dans le diaporama cycle II). Ce qu’il faut avoir acquis pour comprendre et légitimer la technique, tout en la renforçant par la pratique, on est dans un rapport de nature dialectique : • La compréhension du principe de groupements par paquets de 10.• la mémorisation des résultats des sommes intermédiaires .

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SOUSTRACTION. Ça devient plus « chaud » !!! Il n’y a pas unicité d’une technique, et toutes se valent; à condition de les comprendre.

1. Déconstruction d’une unité d’un rang (n + 1) pour « travailler » au rang n.

Principales difficultés à analyser pour l’enseignant. • Plusieurs déconstructions successives. Exemple …• Présence d’un zéro dans le terme le plus grand. Exemple …• Avec les nombres décimaux, difficulté usuelle de « mise en forme »

de l’opération, avant son effectuation.

2. Conservation de l’écart par ajout d’un même nombre aux deux termes de la différence à calculer ou « technique française ».

Principales difficultés à analyser pour l’enseignant.• Distinction entre la nature des « retenues ». • La nature algébrique de cette technique : on ajoute une unité d’un

certain rang, qui joue deux rôles différents dans le calcul.

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3. Recherche du complément du deuxième terme de la différence (c’est « l’addition à trous ! »). Cette technique repose sur la définition mathématique de la différence : c’est le nombre qui ajouté au deuxième terme donne le premier.

Principales difficultés pour l’enseignant.• Signification du mot « complément », toujours attaché à la

différence de deux nombres.• Définition, oui, mais comment la faire « vivre » si on enseigne une

autre technique !• Dimension algébrique. A toute addition, on peut lui associer deux

soustractions et à toute soustraction, on peut lui associer une autre soustraction et une addition, le tout avec les mêmes termes.

Quelques outils de calcul réfléchi : • Les décompositions (la « canonique » et les autres, …).• Les représentations schématiques, dont la droite numérique (calculs « en reculant » ou « en avançant »). •Les dispositions (calculs en ligne, calculs en colonnes). …

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On continue : c’est le tour de la MULTIPLICATION. Autre paire de manches à retrousser !

La technique usuelle française : tout le monde la connaît. Oui, mais on met des « 0 » ou on met des « . » dans les colonnes ? Et la « retenue », on (ne) l’écrit pas ou on l’écrit, et où ? …

Ce ne sont pas les bonnes questions.Principales difficultés à analyser pour l’enseignant.

• Besoin de coordination de plusieurs types de connaissances : les produits élémentaires (les tables de multiplication, et oui !!!), des principes de la numération décimale (les multiplications intermédiaires et l’addition finale), la « règle des 0 » (par exemple, « 3 fois 2 dizaines = 6 dizaines » devrait s’écrire « 20 3 = 60 »), la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, … (OUF !).• Traitement mental important pour les calculs partiels et les calculs intermédiaires. • Autre besoin : nécessité d’un entraînement préalable ou concomitant aux calculs de produits « en ligne » de la forme (du) i ou (cdu) j.

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Ce n’est pas fini, même si on fatigue un peu (beaucoup ?). La DIVISION. Il y en a deux au programme : la division euclidienne (non libellée comme telle) et la division décimale.

Une disposition standard : la POTENCE. Principales difficultés pour l’enseignant.

• Pas d’unicité dans les écrits intermédiaires de la division. On écrit les soustractions intermédiaires, oui, non, on fait des « ponts », oui, non, quelle oralisation : « comment dire » ? … • Deux sens différents pour les deux divisions : l’une produit DEUX nombres (quotient entier ET reste) et l’autre en produit UN (quotient, pas toujours « exact », en négligeant contextuellement le reste). Traitements des nombres obtenus : retour au senssens.• Importance du calcul mental pour « avoir une idée » du quotient, pour effectuer les calculs intermédiaires .• Recherche d’encadrements par des multiples consécutifs.

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Quelques compléments théoriques indispensables.

DIVISION. • Détermination du nombre de chiffres du quotient entier.Détermination du nombre de chiffres du quotient entier.Exemple : poser et effectuer à la main la division de 6487 par 58. Pas mal ! La CLE : la numération, comme toujours.Technique. En établissant la table de multiplication du diviseur par les puissances de dix, on obtient le nombre de chiffres du quotient.

On y va. On le fait à la main, après cela va s’automatiser !(i) 58 0 = 0, (ii) 58 10 = 580, (iii) 58 100 = 5800, (iv) 58 1000 = 58000, on continue (hyper-méga facile (pour une fois) : yaka qu’à « ajouter » des « 0 » !).

On a alors l’encadrement suivant : 5800 6487 58000.C’est-à-dire : 58 100 6487 58 1000, ce qui signifie que le quotient entier possède exactement trois chiffres, puisque le plus petit peut être 101et le plus grand 999. Note : en « poussant » cette technique, on termine alors la division !

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DIVISION. Suite.

• Le dividende est un nombre décimal et le diviseur est un nombre entier. Comment retomber sur une division avec des nombres entiers ?

On applique, en acte, une propriété algébrique. PropriétéPropriété. Si on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre , le quotient ne change pas. Puisque on la choix du nombre, autant prendre un nombre bien « sympathique » dans notre système de numération : 10, 100, 1000, … Exemple : poser et effectuer à la main la division de 140,08 par 17. Item redoutable (réussite exigible ou pas ?).On a : 140,08 17 = 1400,8 170 = 14008 1700. On applique alors la technique de la diapositive précédente pour déterminer le nombre de chiffres du quotient, et on poursuit. …

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MULTIPLICATION de deux nombres décimaux : rupture(s)rupture(s) et continuité(s)continuité(s) avec la MULTIPLICATION de deux nombres entiers.

Vaste et énorme chantier pour le professeurprofesseur. Pourquoi ?

Raison 1. RuptureRupture. Avec les nombres entiers, la MULTIPLICATION agrandit « toujours ». Par définition, le produit est plus grand que les deux facteurs, dans TOUS les cas. Elle modélise des ajouts répétés ou des ajouts réitérés. D’où Question 1. Qu’en est-il avec les nombres décimaux ? Patatras : ça dépend des facteurs. Ah bon ! Aie, Aie, Aie. Exemples pendant l’exposéExemples pendant l’exposé.

Raison 2. ContinuitéContinuité. Quelle filiation ! Bon d’accord. On va donc s’appuyer sur quelques faits numériques rigoureux. D’où Question 2. Lesquels ? Il y a en a essentiellement TROIS.(i)Ordre de grandeur du produit, en lien avec la numération.(ii)Valeur de quelques chiffres significatifs, en particulier le dernier chiffre de droite. (iii)Utilisation de techniques opératoires valides ou qui fonctionnent bien. Exemples pendant l’exposéExemples pendant l’exposé.

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BILANBILAN. Quelques principes pédagogiques.

1. Toute Technique Opératoire Technique Opératoire enseignée doit être robuste et avoir un avenir, dans la classe et ailleurs.

2. Elle doit toujours être accompagnée d’éléments de légitimationlégitimation. Si possible, on doit la « désosser » (la justifier, la prouver, la démontrer, …) avec les élèves : c’est la question du senssens.

3. Toute Technique Opératoire Technique Opératoire doit contenir en elle-même des « moyens » d’auto-contrôle.

4. A toute Technique OpératTechnique Opératoire officielle et publique , on peut lui associer une Technique Opératoire Technique Opératoire privée, mais efficace dans le même « domaine » de calcul.

5. Tout « enseignement-apprentissage d’une Technique OpératoireTechnique Opératoire se fait dans la durée. Elle nécessite des « gammes », en liaison avec la classe de problèmes pour laquelle elle est opérante.

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Une petite incursion du côté du calculcalcul, toute petite !!!

Calcul AUTOMATISE et Calcul REFLECHICalcul AUTOMATISE et Calcul REFLECHISommes-nous vraiment au clair sur le calcul automatisé, le calcul réfléchi, le calcul rapide, et tout le vocabulaire « environnant » ?

1) Le propre du « calcul automatisécalcul automatisé » est de délaisser « l’intuition » des nombres, de ne pas s’occuper de l’ordre de grandeur. On travaille avec les CHIFFRES en mettant en œuvre un algorithme officiel et standard. On se laisse guider par la technique : on perd le contrôle de ce qu’on veut faire, mais on est certain d’y arriver !

2) Par « calcul réfléchicalcul réfléchi », synonyme de calcul raisonnécalcul raisonné ou dans le temps de calcul rapidecalcul rapide (qualificatif mal choisi), on entend choix d’une stratégie de calcul, non nécessairement uniforme, on entend élaboration de procédures (privées), avec un contrôle du déroulement du calcul ; par opposition à rapidité d’exécution. Par définition, le « calcul réfléchi » est le calcul qui fait appel aux propriétés des opérations et des nombres.

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Un tableau sur les « moyens » de calculs à disposition du professeur.ML PELTIER, conférence pédagogique à VENDOME, 2005.

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Et la PROPORTIONNALITEPROPORTIONNALITE dans tout ça ; on y arrive. On va donc en parler de cette « règle de troisrègle de trois » qui semble si évidente pour beaucoup !

TestTest : le problème de Darcos.

Enoncé. Sachant que 4 crayons valent 2,42 euros, combien coûtent 14 Sachant que 4 crayons valent 2,42 euros, combien coûtent 14 crayons ?crayons ?

Consignes. Résoudre cet exercice, justifier la technique employée, proposer alors une autre technique de résolution et la justifier.

Une lapalissade.Une lapalissade.La proportionnalitéproportionnalité : une « notion » difficile à enseignerenseigner, une « notion » difficile à apprendreapprendre. Pourquoi ?

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Le point sur la « règle de trois » (Le point sur la « règle de trois » (ainsi bien nomméeainsi bien nommée).).

• Utilisation de la langue : cette « règle » et ses dérivées sont parlées, voire mimées, tout autant qu’elles sont écrites. Le maître disait :

« Que cherche-t-on, un prix, que sait-on sur les prix ? ».

• Procédure 1 : « le retour à l’unitéle retour à l’unité ».

On paie 2,42 € pour 4 crayons. Donc pour 1 crayon, il en faut 4 fois fois moinsmoins, c’est-à-dire 2,42 ÷ 4, soit 0,605 €. Pour 14 stylos, on paiera 14 fois plusfois plus, c’est-à-dire 0,605 € 14, soit 8,47 €.

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• Procédure 2 : « la règle de troisla règle de trois ».

Elle diffère de la procédure 1 par la présentation et par l’ordre dans lequel les calculs sont conduits. On paie 2,42 € pour 4 crayons. Donc pour 1 crayon, il en faut 4 fois moinsfois moins, c’est-à-dire 2,42 ÷ 4. On écrit alors un premier calcul intermédiaire :

Pour 14 stylos, on paiera 14 fois plusfois plus. D’où le calcul terminal :

On écrivait les calculs, puis on les effectuait. Enfin, la « pratique enseignante » a imposé une disposition fléchée dont tout le monde se souvient ! Remarque. Pour la commodité des calculs, on simplifiait (si possible) la « fraction » avant , puis, on effectuait la multiplication en premier. « Technique de calcul » (presque toujours) imposée par le maître !« Technique de calcul » (presque toujours) imposée par le maître !

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On termine par des friandises.

Le Le carrelage.carrelage.

Voici le plan d’une chambre (rectangulaire) dont le sol doit être carrelé. Il a fallu trois heures pour poser les carreaux coloriés. Combien de temps faut-il pour terminer l’ouvrage ?

Revue Grand ℕ, « Points de Départ ».

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Le chocolat. Le chocolat. Cette tablette de chocolat pèse 200 g. On a besoin de 75 g pour réaliser une recette de cuisine. Quelle quantité doit-on prendre ?

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Pour aller plus loin : le puzzle de BROUSSEAU (le vrai !).

Le puzzle !Le puzzle ! • Dispositif. Travail en groupes. Why ?• Consigne. Chaque équipe reçoit un tel puzzle et doit en reconstruire un plus grand. Règles à respecter. (1) Un segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur celui à construire. (2) Chaque élève doit fabriquer une seule pièce du puzzle. That’s all folks for today, thank you !That’s all folks for today, thank you !That’s all folks for today, thank you !That’s all folks for today, thank you !