calcul du ferraillage d'une poutre

Upload: ousm

Post on 30-Oct-2015

59 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • Initiation au bton arm.

    Dtermination de ferraillage complet d'une poutre en flexion simple

    ( ltat limite ultime)

  • Chap.1 Introduction au bton arm 1 [email protected]

    1. Principe du bton arm

    1.1. Introduction et historique

    Le bton arm correspond un mariage judicieux de matriaux aux caractristiques complmentaires : lacier pour sa capacit rsister aux contraintes de traction et le bton pour sa capacit rsister la compression. Le bton tant lui-mme un mlange intelligent de granulats, de ciment et deau. Le ciment et lacier rsultent quant eux de processus de fabrication spcifiques.

    Les mthodes de composition de bton permettant dobtenir les performances voulues sont trs labors. Nanmoins pour donner des ordres de grandeur disons que la "recette" pour obtenir 1 m3 de bton "courant" consiste malaxer environ 1200 kg de graviers, 600 kg de sable, 400 kg de ciment et 200 litres deau. Cela permet d'esprer, 28 jours d'ge du bton, une rsistance la compression de l'ordre de 30 MPa. Actuellement les btons courants contrls atteignent rgulirement 25 40 MPa, les btons haute performance (BHP) 50 100 MPa voire plus. La rsistance la traction des btons courants est de 8 12 fois plus faible et la rupture d'une pice sollicite est brutale. Le bton est un matriau fragile et peu rsistant la traction (comme la pierre).

    La pierre comme le bton ayant une trs faible rsistance la traction ne permet pas de rsoudre facilement le problme du franchissement qui pose la question de la rsistance aux efforts internes de traction. Les votes ou les arcs sont une rponse ce problme car leur forme permet de navoir que de la compression dans le matriau (reste nanmoins rsoudre la question des pousses horizontales en pied). Le bois et lacier rsistent aux efforts de compression et de traction. Mais pour que le bton rsiste aussi il faut larmer ou le prcontraindre.

    On trouvera ci-aprs un bref historique du bton arm

    La dcouverte du ciment Le mlange de Chaux, d'argile, de sable et d'eau est trs ancien. Les gyptiens l'utilisaient dj 2600 ans av. J.-C. Vers le Ier sicle, les Romains perfectionnrent ce liant en y ajoutant de la terre volcanique de Pouzzole, ce qui lui permettait de prendre sous l'eau, ou en y ajoutant de la tuile broye (tuileau), ce qui amliorait la prise et le durcissement. Un des premiers grands ouvrages en bton est le Panthon de Rome, construit sous Adrien en 128 ap.J-C avec une coupole hmisphrique de 43,20 m de diamtre base de bton de pouzzolane.

    Pourtant, la dcouverte du ciment est attribue Louis Vicat, jeune ingnieur de l'cole nationale des ponts et chausses. En 1818, il fut le premier au monde fabriquer, de manire artificielle et contrle, des chaux hydrauliques dont il dtermina les composants ainsi que leur proportion. La rgion Grenobloise est au dbut du 20sicle un hau t lieu de production de ciment avec une cinquantaine de cimenteries autour de Grenoble. Pendant l'anne 1908, Jules Bied, directeur du laboratoire de la socit Pavin de Lafarge, dcouvre le Ciment Fondu, fabriqu partir de calcaire et de bauxite, alors qu'il tait la recherche d'un liant hydraulique qui ne soit attaqu ni par l'eau de mer ni par les eaux sulfates.

    Fig 1.1 Le franchissement

    Coupole du Panthon de Rome

  • Chap.1 Introduction au bton arm 2 [email protected]

    Fig 1.2 La Casamaures La Tour Perret

    Le 19 sicle. Bton moul et pierres factices de c iment moul Le bton de ciment est apparu en architecture grce aux btons mouls et aux pierres factices, imitation des pierres de taille coules en bton ; souvent du bton de ciment prompt naturel.

    La pratique du moulage dbuta au dbut du XIXe sicle dans les rgions o l'on connaissait dj le banchage du pis et grce la rapidit de prise du ciment prompt naturel (dit aussi ciment romain). Franois Cointeraux faisait dj des moulages Lyon et Grenoble la fin du XVIIIe sicle. Franois Coignet fut un des plus importants promoteur du bton moul. Industriel lyonnais, il btit son usine de Saint-Denis (Paris) en 1855 en bton-pis qu'il breveta. La pierre factice eut un vritable succs dans la rgion de Grenoble, grce aux ciments prompts naturels partir des annes 1840 (Ciment de la Porte de France par Dumolard et Viallet, Ciment d'Uriol par Berthelot et Ciment de la Prelle par la socit Vicat ; aujourd'hui, seuls La Porte de France et la Prelle, proprits de Vicat, produisent du ciment prompt naturel en Europe) . On moulait tout, canalisation d'gouts, vases, statues, balustrades, pierres d'angles, de claveaux, corniches, modillons, etc. Cette pratique s'est rpandue ensuite dans de nombreuses grandes villes d'Europe. Les villes du nord de l'Italie ont aussi utilis le ciment moul, grce au prompt import de Grenoble. Grenoble est non seulement le pays de la houille blanche mais aussi celui de l or gris : La Casamaures vers 1855 et La Tour Perret 1925 en tmoignent. En Isre, on btissait au 19s de nombreuses maisons et surtout des glises avec des lments architectoniques de ciment moul comme l'glise de Cessieu qui date de 1850, celle de Champier de 1853 ou encore l'glise Saint-Bruno de Voiron (1857-1871), Saint-Bruno de Grenoble (1869-1875) qui sont entirement en pierres factices de ciment prompt moul.

    Lapparition des armatures avec le mortier arm

    L'armature de mtal dans les mortiers provient des techniques de moulage en sculpture et fut utilis d'abord par des jardiniers exprimentateurs. Joseph- Louis Lambot Miraval fabriqua en 1845 des caisses pour orangers et rservoirs avec du fil de fer et du mortier, en 1849 une barque arme par un quadrillage de barres de fer, et enfin en 1855 il posa un brevet : le "ferciment", une combinaison de fer et de mortier pour les constructions navales et les caisses fleur. Il construisit un canot en 1855 qui passa inaperu l'Exposition universelle de Paris. Joseph Monier dposa en 1867, Paris, une demande pour "un systme de caisses- bassins mobiles en fer et ciment applicables l'horticulture". Il ralisa un premier pont bi- poutre de 13,80m de porte Chazelet. Aprs

    un long oubli, il fallut attendre lextrme fin du XIXe sicle pour quen France, Hennebique, fasse nouveau, usage du bton arm, lui donnant un vritable dpart.

    La premire ralisation en bton arm : Barque de Joseph Louis Lambot 1849. Muse de Brignoles

    Dessins de J.L.Lambot

    Pont bi-poutre de Chazelet, 1875, Joseph Monier

  • Chap.1 Introduction au bton arm 3 [email protected]

    L'invention du bton arm En Angleterre, des entrepreneurs comme Alexander Payne et Thaddeus Hyatt, tentrent dans les annes 1870 d'apprivoiser les armatures dans les btons mais furent dsavous par des contradicteurs et quelques infortunes. Aux tats-Unis les armatures mtalliques du bton furent dvoiles par William E. Ward et exploites par Ernest Leslie Ransome, avec ses fers Ransome dans les annes 1880.

    Il fallut attendre la matrise du bton arm, les rflexions techniques d'ingnieurs pour voir apparatre un vritable intrt cimentier. Franois Hennebique abandonna ainsi son mtier d'entrepreneur en 1892 et devint ingnieur consultant. Il eut un succs considrable. Cra une socit de franchises en construction et btit des dizaines de milliers d'difices.

    Il publia le magazine Bton arm partir de 1898 pour faire connatre ses travaux qui permirent la charpenterie monolithe d'liminer le ciment arm trop mince. Edmond Coignet et Napolon de Tedesco ont communiqu, les premiers en 1894, un mode de calcul rationnel des ouvrages en bton agglomr et en ciment arm. Les armatures, en fer, puis en acier, revtent des formes varies : barres cylindriques lis ses, mais aussi carres, torsades, crneles, crantes, canneles On a aussi utilis des chanes, des feuillards, des profils de construction mtallique. Les moules (ou "coffrages") seront longtemps en bois, en fonte parfois et aujourd'hui couramment mtalliques pour les ouvrages rptitifs, voire en carton (poteaux circulaires). Ils permettent une libert de forme et un cot par rapport la pierre qui expliquent le fort dveloppement du bton arm au dbut du sicle.

    Le 20 sicle La circulaire du 20 octobre 1906 pose les premiers fondements techniques du bton arm, admis figurer parmi les matriaux de construction classiques. De son ct, Charles Rabut, faisant ses premiers travaux thoriques sur le bton arm l'cole des Ponts et Chausses, l'avait intgr son programme ds 1897 (cest le premier cours de bton arm), alors qu'il n'existait encore aucun manuel traitant du sujet. Il fait ainsi dcouvrir cette technique de jeunes ingnieurs, dont Eugne Freyssinet, le pre du bton prcontraint. Son brevet est dpos en 1929. Mais, c'est seulement aprs la Seconde Guerre mondiale que la prcontrainte commence se dvelopper. On doit aussi Eugne Freyssinet l'ide de la vibration du bton.

    A partir des annes 30, Pier Luigi Nervi conoit des ouvrages en exploitant un procd constructif de son cru fond sur l'utilisation du ferro-ciment, reprise perfectionne du systme Monnier. Le principe : des doubles ranges d'arcs se coupent angle droit (nervures). L'allgement de structure ainsi obtenu permet de dvelopper des portes considrables. Tout comme Freyssinet, Albert Caquot a t sensibilis au bton arm. Il construisit en 1920 le premier pont en bow-string (arc tirants) Aulnoye et lance surtout le premier pont haubans Pierrelatte en 1952. Au cours du 20me sicle les applications vont se multiplier : ouvrages d'art, rservoirs, chteaux d'eau, tribunes, soutnements, planchers industriels,... Aujourdhui beaucoup de ces ouvrages se dgradent, do une rflexion et des recherches sur le matriau et sur la conception des ouvrages (durabilit, rsistance au gel, enrobage)

    Fin du 20 sicle, la recherche de hautes performan ces La fin des annes 80 voit l'arrive du Bton Hautes Performances (BHP), d'une rsistance la compression suprieure 50 MPa. Alli la prcontrainte, ce matriau rvolutionne la construction des ouvrages d'art qui deviennent plus fins, plus lancs et plus durables. Au dbut des annes 90, Bouygues, Lafarge et Rhodia explorent le domaine de l'ultra-haute rsistance, bien au-del des 150 MPa.

    Pont du Sautet (Sud de Grenoble). Albert Caquot, 1928

  • Chap.1 Introduction au bton arm 4 [email protected]

    Historique des rgles dfinissant la conception et le calcul des ouvrages :

    Circulaire du Ministre des Travaux Publics de 1906 (qq pages) Circulaire Ministrielle de 1934 (30 pages) Rgles BA 45 (90 pages) Rgles BA 60 Circulaire Ministrielle de 1964 Rgles CC BA 68 Rgles BAEL 80 modifies en 83 Rgles BAEL 91 (145 pages) Eurocode 2 "Rgles unifies communes pour les structures en bton"

    1.2. Un exemple douvrage lmentaire

    Fig.1.3 Poutre en bton non arm, de section droite rectangulaire b x h, franchissant une porte de L mtres de nu nu des appuis.

    La poutre est sollicite par son seul "poids propre", g, densit de charge uniformment rpartie, exprime en daN, kN ou MN par "mtre linaire" de poutre. Elle "travaille" en flexion "simple". A mi porte, le moment de flexion est maximum, il a pour intensit :

    Mmax = g.L2/8

    Si on admet une distribution plane des contraintes normales agissant sur le bton de la section droite mi-porte, les contraintes maximales valent bc = - bt = Mmax.v/L = 6.Mmax/(bh2)

    Si l'intensit de bt reste infrieure la rsistance la traction du bton, note ftj , il n'y a pas risque de rupture.

    b h

    L

    Membrure comprime

    Membrure tendue

    bt

    bc

    L/2

  • Chap.1 Introduction au bton arm 5 [email protected]

    Exercice : Avec cette hypothse de distribution des contraintes, dterminer la porte maximum L dune poutre en bton non arm ne supportant que son propre poids ( = 25 kN/m3). Application numrique : b = 30cm, h = 60cm, ftj = 2MPa,

    Solution : Charge linique uniforme g = bh Moment flchissant maximum M = g.L2/8 Contrainte maximum de traction bt = 6.M/(bh2) = 6.bh. L2/(8 bh2) =3.. L2/(4h) < ftj Do L < (ftj .4h/(3..)1/2 = (2x4x0,6/(4x0,025) 1/2 = 8m

    On peut aussi reprsenter les forces rsultantes des compressions et des tractions Nbc et Nbt

    Leur intensit respective reprsente le volume des prismes de compression et de traction de la Fig.1.1. Soit

    Nbc = bc.(h/2).(b/2) = Nbc = 6.Mmax/(bh2).(h.b/4) Nbc = 3 Mmax/(2h) = Nbt

    ou Mmax = Nbc (2/3).h = Nbt (2/3).h

    On parle de "couple des forces intrieures", de "bras de levier" Z = (2/3)h et de moment gal au moment de flexion maximum.

    Si on fait crotre le moment de flexion en appliquant la poutre non arme une charge dexploitation, note q, en daN, kN, ou MN par ml, la rupture brutale se produit si on atteint bt = ftj La rupture se produit dans la zone o rgne le moment de flexion maxi.

    Exercice : 1. Dterminer la charge q que peut supporter la poutre si b = 30cm, h = 60cm, L=6m, ftj = 2MPa 2. Calculer ensuite les forces rsultantes des compressions et des tractions Nbc et Nbt

    D'o l'ide de disposer, pralablement la mise en service, une (ou plusieurs) barres d'acier ("armatures") paralllement la direction et capable dquilibrer cet effort. On peut imaginer darmer ou de prcontraindre le bton.

    Nbc

    Nbt Z = 2h/3

    Fig.1.4 Couple de forces intrieures

    q

    Fig.1.5 Poutre non arme, charge

  • Chap.1 Introduction au bton arm 6 [email protected]

    Fig.1.6. Association darmature et de bton, mais larmature est dans un fourreau.

    Fig.1.7. Association darmature et de bton avec plaques dappui empchant le glissement de larmature et crous sur tige filete

    Fig.1.8. Association darmature et de bton. Larmature adhre au bton.

    Cette solution est la plus conomique. On parle du phnomne, naturel, d'adhrence entre le bton et acier.

    Fig.1.9. Bton prcontraint

    Il y a rupture par traction du bton, puis glissement de la barre d'acier l'intrieur

    du fourreau et ruine brutale.

    1. Lcrou est serr laide dune cl dynamomtrique de faon exercer un effort de traction dans la barre et par consquent un effort de compression dans le bton. Le bton est dit prcontraint

    2. La poutre est ensuite charge. Le chargement a pour effet de dcomprimer la partie infrieure de la poutre et de comprimer la partie suprieure

    La barre d'acier, sollicite en traction, est entoure par une "gaine" de bton. Un phnomne mcanique de frottement entre le bton et l'acier s'oppose au glissement de la barre.

    La barre, initialement passive, devient active la mise en service. Les deux plaques d'appui interdisent le glissement relatif de l'acier par rapport au bton. Cette solution, mcanique, n'est pas utilise dans la pratique

  • Chap.1 Introduction au bton arm 7 [email protected]

    Ce type de prcontrainte est dite par post-tension. Mais dans le domaine du btiment la prcontrainte par fils adhrents est plus couramment utilise. Il sagit de couler du bton autour de cbles initialement tendus par des vrins. Lorsque le bton atteint la rsistance voulue, les vrins sont relchs, et par adhrence les cbles vont prcontraindre le bton.

    Lors de l'tude d'une structure en bton arm, il va donc tre ncessaire de connatre l'origine et l'intensit des sollicitations de traction :

    un effort normal de traction, un moment de flexion, un moment de torsion, un effort tranchant, induisent des contraintes de traction dans le bton ; ce sont les plus faciles exprimer et quantifier l'aide des mthodes de la Rsistance des Matriaux adaptes au matriau bton arm, mixte et htrogne.

    les effets du retrait du bton, de la temprature (chocs thermiques, gradients de temprature), des tassements diffrentiels ventuels des sols de fondations, des chocs, des sismes, des explosions, de la grande hyperstaticit des ouvrages de btiment, sont connus mais difficiles quantifier. On s'en prmunit en respectant des dispositions constructives et en prvoyant des armatures minimales rglementaires.

    1.3 Actions, Combinaisons, Etats Limites

    Les diffrentes tapes d'un projet de bton arm sont les suivantes:

    1. Analyse de la structure, modlisation 2. Dtermination des actions ou bilan des charges 3. Descente de charges et combinaisons d'actions 4. Sollicitations (N, V et M) 5. Dimensionnement 6. Plans de coffrage et plans de ferraillage

    Ce paragraphe revient sur les points 2 et 4.

    Une structure en bton bien conue doit atteindre plusieurs objectifs:

    L'ossature ne doit pas s'effondrer L'ensemble doit rester en quilibre lorsque des charges sont appliques

    Le bton et l'acier ne doivent pas se rompre Les lments ne doivent pas flamber

    La structure doit tre durable Limitation de l'ouverture de fissure La structure ne doit pas se dformer

    excessivement Limitation des flches

    Les actions sont les charges appliques la structure, on distingue :

    Actions permanentes G Poids propre des superstructures et des quipements fixes (cloisons, revtement de sol)

    NF P 06-004

    Actions variables Q W S

    Charge dexploitation Vent Neige

    NF P 06 001 NV 65 N 84

    Actions accidentelles FA Sismes PS 92

    M

    Fig 1.10 Etapes de ltude

  • Chap.1 Introduction au bton arm 8 [email protected]

    Les valeurs numriques de ces actions sont dfinies rglementairement. Ces valeurs caractristiques correspondent des valeurs dont la probabilit d'tre effectivement dpasses est fixe l'avance. Comme ces actions peuvent se cumuler, on parle de combinaison d'actions. On additionne les valeurs pondres des diffrentes actions (voir Annexe D du BAEL)

    La conception des ouvrages en bton se fait selon la thorie des Etats Limites. On distingue:

    Les Etats Limites de Service o E.L.S Les Etats Limites Ultimes ou E.L.U. Ce sont les conditions qu'il faut respecter pour que l'exploitation normale et la durabilit de la construction soient assures. Les tats limites de service prsentent deux domaines:

    1. Un domaine qui ncessite des calculs : par exemple, vrifier que des contraintes ou des dformations sont admissibles

    2. Un domaine qui ne ncessite aucun calcul : c'est l'ensemble des dispositions constructives qui doivent tre assures.

    Ils font rfrence aux conditions de rupture. Il s'agit de s'assurer que le risque de ruine est trs faible en prenant divers coefficients de scurit (sur les matriaux) et de pondration (sur les charges). En effet les sources d'erreur sont les suivantes : - Les matriaux peuvent tre moins rsistants que prvu. - Les charges appliques peuvent tre plus svres que prvu. - Les mthodes de calcul et les hypothses peuvent ne pas correspondre exactement la ralit.

    Les diffrents tats limites en bton arm (selon BAEL) L'ensemble doit rester en quilibre lorsque des

    charges sont appliques Le bton et l'acier ne doivent pas se rompre Les lments ne doivent pas flamber

    ELU dquilibre statique

    ELU de rsistance des matriaux ELU de stabilit de forme

    Limitation de l'ouverture de fissure Limitation des flches

    ELS de durabilit ELS de conditions dexploitation

    Rupture locale STR Perte dquilibre statique EQU

    Dfaillance du sol GEO

    Instabilit de forme

    STR

    Fissuration ELS

    Dformation ELS

    Vibrations ELS et charges dynamiques STR Fig.1.11 Diffrents tats limites

  • Chap.1 Introduction au bton arm 9 [email protected]

    1.4 Courbes enveloppes

    Selon que les diffrentes traves peuvent tre charges ou dcharges par la charge dexploitation, diffrents cas de charges doivent tre tudis. Dans le cas dune poutre sur deux appuis simples prolonge par un porte--faux on peut distinguer les 6 cas suivants :

    Ce sont les cas de charges 3 et 4 qui sont ventuellement dterminant pour le moment en trave et les cas 1 et 2 pour le moment sur appui.

    1,35G

    1,5Q

    1,35G

    1,5Q

    1,35G

    1,5Q

    G

    1,5Q

    G G

    1,5Q

    0,9G

    1,5Q

    Ce cas est ventuellement dterminant pour lquilibre statique (risque de basculement). Le coefficient 0,9 est

    conforme larticle B.3.2,1 du BAEL.

    Moments flchissant des diffrents cas de charges Courbes enveloppes des moments flchissant

    Cas 1 Cas 2

    Cas 3 Cas 4

    Cas 5 Cas 6

  • Chap.1 Introduction au bton arm 10 [email protected]

    1.5. Application : Etude dune poutre

    Cet exemple sera repris et poursuivi dans les chapitres 4 6 qui suivent

    Sollicitations Vu Mu

    Bilan des charges G, Q

    Modlisation

    G poids propre de la dalle 0,18x2x25 Poids propre retombe de poutre 0,20x0,32x25 Revtement de sol et cloisons 1,2x2

    Total G = 13 kN/m Q Charge dexploitation Q = 2x1,5 = 3 kN/m

    1,35G + 1,5Q = 1,35x13 + 1,5x3 = 22,1 kN/m = 0,0221 MN/m

    Vu (x) = 0,0221.X -0,0663 [MN]

    Mu (x) = - 0,0221.X2/2 + 0,0663.X [MN.m]

    Principe de ferraillage longitudinal

    Les charges appliques sont : - le poids propre du bton arm 25kN/m3 - le revtement de sol et les cloisons 1,2 kN/m2 - la charge dexploitation 1,5 kN/m2

    La combinaison dtat limite ultime est 1,35G + 1,5Q

    Poutre sur deux appuis : la liaison

    poteau poutre est une articulation ou un

    appui simple (aucun moment transmis) Pu = 1,35G+1,5Q

    Donnes du problme

  • Chap.1 Introduction au bton arm 11 [email protected]

    1.6 Application : Courbes enveloppes

    1. Vrifier que lquilibre statique de louvrage est assur pour la combinaison de charge suivante : G+1,5Q sur la partie en porte--faux de 2m et 0,9G sur la trave de 5m.

    2. Dterminer les courbes enveloppes des moments flchissant pour chacune des deux poutres ci-dessus en considrant que la charge dexploitation Q peut se trouver indpendamment sur la trave de 5m ou sur la partie en porte--faux de 2m.

    Solution :

    Chaque poutre supporte : G = poids propre de la dalle et de la poutre elle-mme G =( 0,15x1,25 + 0,2x0,5)x25 = 7,19 kN/m2 Q = 1,25x4 = 6 kN/m2

    1. Equilibre statique

    Il suffit de vrifier que Ra et bien dirig vers le haut. Somme des moments par rapport lappui b gale 0. 0,9.G x5x2,5 - 5xRa - (G+1,5.Q)x2x1 = 0 Soit Ra = 9,7 kN dirig vers le haut. Lquilibre statique est assur.

    2. Courbes enveloppes

    Les 5 cas de charges tudier sont ceux du 1.4.

    Dalle paisseur 15cm

    Poutre de section 20x50cm

    2,50

    2,00

    5,00 Les seules charges considrer sont : G : poids propre du bton arm Q = 4 kN/m2

    1,25

    Ra Rb

    37,4

    48,8 Moments en m.kN

  • Chap.1 Introduction au bton arm 12 [email protected]

    1.7 Propositions de T.D

    A partir de ces quelques structures simples, donner :

    - la modlisation - le bilan des actions - les combinaisons ELS, ELU - les sollicitations M et V l'ELU (ventuellement l'ELS)

    1

    4

    5

    3

    2

    6

    8 7

  • Chap.1 Introduction au bton arm 13 [email protected]

    11 10

    9

    14 13 12

    18

    15

    19

    20

    17

    16

  • Chap.1 Introduction au bton arm 14 [email protected]

    Annexe 1: Quelques personnages historiques... Daprs http://fr.structurae.de

    Louis Vicat 1856 Publication du livre "Trait pratique et thorique de la composition des mortiers, ciments et

    gangues pouzzolanes et de leur emploi dans toutes sortes de travaux, suivi des moyens d'en apprcier la dure dans les constructions la mer".

    Joseph Louis Lambot 1848 Barque en ciment arm de fer. 1851 Premier brevet pour une association fer- ciment. 1855 La barque est prsente l'Exposition universelle de Paris avec un grand succs.

    Joseph Monier 1867 Brevet sur des caisses en ciment arm de fer pour l'horticulture. 1868 Brevet pour des tuyaux et des bassins fixes en ciment arm. 1869 Brevet pour des panneaux en ciment arm servant la clture des maisons. 1872 Construction d'un rservoir en ciment arm de 130 m3 Bougival. 1873 Brevet pour la construction des ponts et des passerelles en ciment arm. 1875 Premier pont en ciment arm au chteau de Chazelet prs de Saint-Benot-du-Sault dans l'Indre: 13,80 m de porte et 4,25 m de largeur. 1878 Brevet sur des poutres en bton armes de fer.

    Franois Hennebique 1886 Suggre que les forces de tensions soient prise seulement par les armatures dans le bton 1894 Premier pont en bton arm Wiggen (Suisse) 1896 Publie le journal "Bton arm"

    Eugne Freyssinet 1910 Pont de Veurdre sur lAllier 1933 - 1935 Rnovation du port du Havre; premire utilisation du bton prcontraint 1941 - 1945 Plusieurs pont en bton prcontraint en France

    Franois Hennebique 1842-1921

    Joseph Monier 1823-1906

    Albert Caquot 1881-1976

    Joseph Louis Lambot 1814-1887

    Eugne Freyssinet 1879- 1962

    Louis Vicat 1786- 1861

    Charles Rabut 1852- 1925

    Pier Luigi Nervi 1891-1979

  • Chap.1 Introduction au bton arm 15 [email protected]

    Annexe 2. Autres matriaux composites

    Un des problmes constructif majeur est dutiliser des matriaux locaux, largement disponibles, bon march et performants mcaniquement. Mais la plupart des lments de structure doivent rsister des contraintes de compression et de traction. Hlas la terre, la pierre, le bton rsistent bien la compression mais mal la traction. Depuis des sicles on cherche marier le mieux possible ces matriaux dautres qui eux, rsistent bien la traction. Tels lacier, les fibres vgtales ou synthtiques

    Les solutions techniques peuvent tre classes en deux grandes familles que lon pourrait appeler matriaux composites et systme constructifs

    Matriaux composites

    Bton arm par des armatures Mtalliques en barre (acier lisse, haute adhrence, acier inox) Mtalliques en fibre Synthtiques en fibres (polymre) Synthtique en barre (fibre de verre) Fibre de carbone (plaque ou tissu) Fibres vgtales (bambou, chanvre)

    Bton prcontraint Par fils adhrents : poutrelles, poutres, prdalles, dalles alvolaires Par post contrainte (interne, externe) : poutres, voussoirs

    Adabe, pis, gobton arm de : Fibres vgtales (bambou, chanvre) Acier

    Terre arm (renforcement de sol) Lanire mtallique en acier galvanis Lanire polyester Gosynthtique

    Systmes constructifs

    Maonnerie chane Chanages verticaux et horizontaux par de lacier, du bambou Chanages dans les joints

    Plancher bac acier collaborant Plancher mixte bois- bton (avec connecteurs acier) Poutres mixte acier- bton (avec connecteurs acier)

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 1 [email protected]

    2. Les Matriaux du Bton Arm

    2.1 Le Bton (A.2.1)

    Le bton est un mlange de ciment, de granulats, deau et ventuellement dadjuvants dfini par des normes (y compris pour leau).

    Ciments La production annuelle est en France denviron 20 millions de tonnes (www.infociments.fr)

    On distingue diffrents types de ciment et diffrentes classes de rsistance.

    Classes Dfinition CEM I Ciment Portland CEM II Ciment Portland compos (au laitier, fume de silice,

    pouzzolane, cendres volantes, schistes calcins, calcaire) CEM III Ciment de haut fourneau CEM IV Ciment pouzzolanique CEM V Ciment compos (laitier, cendres)

    Normal (N) Rapide (R) Rsistance minimale A 2 jours A 28 jours A 2 jours A 28 jours

    Classe 32,5 / 32,5 10 32,5 Classe 42,5 10 42,5 20 42,5 Classe 52,5 20 52,5 30 52,5

    Btons

    Un bton est dfini par un certain nombre de critres et sera caractris par des performances dont la rsistance nest quun des aspects. La norme EN 206-1 sapplique tous les btons de structure, y compris ceux raliss sur chantier, contrairement la norme NF-P-18.305 qui ne sappliquait quaux btons prts lemploi. Les Bton prts lemploi (B.P.E) sont fabriqus industriellement avec les avantages que cela comporte (matriaux stocks correctement, dosages prcis (l'ajout d'eau dpend de la teneur en eau des granulats), contrles systmatiques des composants, rgularit des caractristiques du produit)

    On voit sur la march, au travers du rseau des usines de Bton Prt l'Emploi, des btons de rsistance trs leve, regroups sous le terme de Btons Hautes Performances. En fait ils recouvrent une vaste gamme de btons; une classification est propose en fonction de leur rsistance, mais ne pas perdre de vue que le mot "performance" englobe des caractristiques diverses :

    densit porosit permabilit ou rsistance la

    pntration de l'eau rsistance aux agents agressifs

    extrieurs (chimiques notamment) rsistance aux cycles gel- dgel et au

    sels de dverglaage rsistance l'abrasion tenue au feu

    dformabilit retrait, fluage maniabilit dveloppement acclr de la

    rsistance hydratation retarde teneur en air (air entran et occlus) rsistance la compression (qui nest

    que l'une d'entre elles).

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 2 [email protected]

    Il existe au sens de la norme, trois types de bton : - Les BCP- Btons Composition Prescrite - Les BPS- Btons Proprits Spcifis - Les BCPN- Bton Composition Prescrite dans une Norme

    Pour les BCP Btons Composition Prescrite, la composition et les constituants utiliser sont spcifis au producteur par le client prescripteur. Le fournisseur nest responsable que du respect de la formulation donne par lutilisateur. Ils ne doivent donc tre commands que par des prescripteurs rellement comptents dans la formulation des btons.

    Pour les BPS Btons Proprits Spcifis, les spcifications sont les suivantes : o Exigence de conformit la norme EN 206-1 o Classe de rsistance o Classe dexposition o Dimension maximum des granulats o Classe de consistance o Classe de teneur en chlorures o Exigences complmentaires (Prise retarde, rsistance labrasion, au gel dgel, aspect)

    Exemple :

    Critres de spcification des BPS

    Classes de rsistance

    Note par exemple C25/30 , (C comme Concrete), 25 reprsente la rsistance en compression en MPa 28 jours sur cylindre 16/32 et 30 celle sur cube 15/15/15. Il existe de nombreuses classes allant de C8/10 C100/115. Les plus courantes tant C20/25 et C25/30

    Classes dexposition

    Xo = Absence de risque de corrosion ou dattaques Xc = Corrosion par carbonatation XD = Risque de corrosion par chlorures autres que

    sel de mer (Sels de dverglaage, piscines ) Xs = Corrosion par chlorures provenant de la mer XA = Attaques chimiques XF = Attaques gel dgel

    Classes de consistance

    S1 : De 10 40 mm ( 10 mm) S2 : De 50 90 mm ( 20 mm) S3 : De 100 150 mm ( 30 mm) S4 : De 160 210 mm ( 30 mm) S5 : > 220 mm ( 30 mm)

    Classes de teneur en chlores

    CL0,20 = Pour le bton prcontraint (un peu trop permissive), CL0,40 = Pour le bton arm courant, CL0,65 = Pour le bton avec ciment CEM III, CL1,00 = Pour le bton non arm. O 0,20 correspond au % de chlorures autoriss par rapport au poids de ciment

    Bton proprits spcifies

    BPS - NF EN206-1 C25/30 XC1(F) Dmax16 S3 CL0,40

    Norme de rfrence

    25MPa sur prouvette

    16-32

    Classe dexposition (France) Sec ou humide en permanence

    (intrieur des btiments ou immersion permanente dans leau)

    Dimension maxi du granulat en

    mm

    Classe de consistance (ou daffaissement au cne) S3 :

    bton plastique (100 150mm)

    Classe de chlorure 0-40 : bton contenant des armatures en acier ou des pices mtalliques noyes

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 3 [email protected]

    Caractristiques mcaniques.

    Le bton est caractris par une bonne rsistance la compression fcj et une rsistance mdiocre en traction ftj. Un module d'Young qui prend deux valeurs selon que l'on considre des dformations instantanes Eij ou des dformations long terme, dformations diffres, Evj.

    Essais de laboratoire

    Exprimentalement la rsistance la compression se mesure le plus souvent sur des prouvettes cylindriques de diamtre 16cm et de hauteur 32cm. La rsistance la traction sobtient soit par essai de traction par fendage (dit essai Brsilien) soit par un essai de flexion sur prouvette prismatique.

    Fig.2.1 Essais de compression et de traction sur prouvettes 16x32

    Rsistance la compression (A.2.1,1)

    Dans les cas courants, un bton est dfini par une valeur de sa rsistance la compression, l'ge de 28 jours, dite "valeur caractristique requise". Cette rsistance se mesure par des essais de compression simple sur prouvettes cylindriques de section 200 cm2 et de hauteur double de leur diamtre (les prouvettes sont dites "16-32").

    Elle est note fc28 et s'exprime en MPa et correspond dans la norme la valeur de la rsistance au dessous de laquelle peuvent se situer au plus 5% de la population de tous les rsultats des essais sur prouvette 16x32. Cette rsistance caractristique est donc bien infrieure la valeur moyenne des rsultats dessai.

    Cette rsistance varie en fonction de l'ge du bton et le rglement donne des lois d'volution de fcj (rsistance en compression j jours) en fonction de l'ge "j" en jours.

    Fig.2.1.b Evolution de la rsistance en compression dun bton en fonction de son ge

    Pour des btons non traits thermiquement, on admet (BAEL):

    fc28 40 MPa fcj = j.fc28/(4,76+0,83j) J 28 fc28 > 40 MPa fcj = j.fc28/(1,40+0,95j)

    J = 28 fcj = fc28 pour les calcul de rsistance 28 < J < 60 fcj = j.fc28/(4,76+0,83j) pour les calculs de dformation J > 60

    fc28 40 MPa fcj = 1,1.fc28 pour les calculs de dformation

    Age (jours)

    fcj rsistance en compression

    fc28

    28

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 4 [email protected]

    Rsistance la traction du bton (A.2.1,12)

    La rsistance la traction du bton j jours, note ftj et exprimes en MPa est dfinie conventionnellement par la relation

    ftj = 0,6 + 0,06. fcj si fc28 < 60MPa et ftj = 0,275.fcj2/3 si 60< fc28 < 80MPa

    Quelques valeurs

    Dformations longitudinales du bton (A.2.1,2)

    Un essai de compression simple sur prouvette 16x32 permet d'obtenir le diagramme exprimental "contrainte - dformation" du bton ci-dessous. Rglementairement, on applique des coefficients de scurit sur la rsistance du bton et le diagramme qui sera utilis pour les calculs l'ELU (Etats Limites Ultimes) sera le diagramme dit "de calcul" (voir chapitre 4, 4.1). La rsistance de calcul la traction sera nglige. Le bton est un matriau fragile (par opposition ductile), il se dforme peu avant rupture. La loi de comportement fait apparatre une zone lastique (quasiment linaire) et une zone plastique.

    bc2 = 3,5.10-3 si fcj < 40MPa et bc2 = (4,5 0,025.fcj).10-3 si fcj > 40MPa

    Fig.2.2 Diagramme exprimental et diagramme de calcul du bton

    fbu = 0,85.fcj/(.b) est la rsistance en compression pour le calcul lELU avec :

    = 1 pour les charges appliques plus de 24h (0,9 entre 1 et 24h et 0,85 si < 1h) b = 1,5 lELU normal et 1,15 lELU accidentel.

    Un lment de bton comprim admet ds l'application de la charge une dformation instantane. Mais au cours du temps, cette dformation va continuer crotre du fait du fluage (dformation dans le temps, sous charge constante) et sera mme trois fois plus importante que la dformation instantane.

    fc28 [MPa] 20 25 30 40 60 80 ft28 [MPa] 1,8 2,1 2,4 3 4,2 5,1

    bc

    2.10-3 bc2 bc

    Diagramme rel

    Diagramme rglementaire de calcul lELU

    fcj

    fbu= 0,85.fcj/(.b)

    ftj Faible rsistance

    en traction

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 5 [email protected]

    Fig.2.3 Dformations instantane et diffre (due au fluage)

    Dformations instantanes Dformations diffres

    Sous des contraintes normales d'une dure d'application infrieure 24 heures, on admet l'ge de j jours, un module de dformation instantane du bton de:

    Eij = 11000.fcj1/3

    Les dformations diffres du bton comprennent le retrait et le fluage. Le module de dformation diffre correspondant des charges de longue dure d'application (rglementairement plus de 24 heures) est:

    Evj = 3700.fcj1/3 si fcj < 60MPa Evj = 4400.fcj1/3 si 60< fc28< 80MPa, sans fume de silice Evj = 6100.fcj1/3 si 60< fc28< 80MPa, avec fume de silice

    avec fcj en MPa et pour les btons haute rsistance, sous rserve que la proportion volumique de granulat soit suprieure 66%.

    Quelques valeurs en MPa fc28 Eij Evj 25 32160 10820 30 34180 11500 40 37620 12650 60 43060 17220 80 47400 18960

    Retrait Le raccourcissement unitaire () du au retrait, dans le cas de pices non massives l'air libre est estim : (ces valeurs tiennent compte d'un pourcentage moyen d'armatures).

    1,5.10-4 Dans les climats trs humides 2.10-4 Dans les climats humides (France sauf quart Sud Est) 3.10-4 Dans les climats temprs secs (quart Sud Est de la France) 4.10-4 En climat chaud et sec 5.10-4 En climat trs sec ou dsertique

    Remarque 1. Pour limiter les effets du retrait dans les dalles de grandes dimensions la phase de btonnage seffectue parfois en laissant des lacunes de coulage qui seront coul plusieurs semaines plus tard, une fois lessentiel du retrait effectu.

    Remarque 2. Dans les dallages des joints (parfois scis) sont raliss pour que les fissures de retrait se trouvent localiss en fond de joint, et donc invisibles.

    Temps

    bc

    3

    1 Dformation instantane

    Dformation de fluage

    Dformation permanente

    Retour de fluage

    Retour lastique

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 6 [email protected]

    2.2 L'Acier (A.2.2)

    Au cours des premires dcennies de lhistoire du bton arm, les armatures taient constitues de barres dacier doux, lisses, de section circulaire dont la limite dlasticit tait habituellement comprise entre 215 et 235 MPa. Ce type dacier nest pratiquement plus utilis. On utilise dsormais des aciers de limite dlasticit plus leve afin de rduire les sections darmatures. Pour amliorer ladhrence des armatures au bton on cre la fabrication des asprits en saillie ou en creux. Les asprits en saillie inclines par rapport laxe de la barre sont appeles verrous . Les asprits en creux sont appeles empreintes . Ces aciers sont dits Haute Adhrence (HA) et ont couramment une limite lastique de 500MPa.

    Production des aciers pour bton

    La haute limite dlasticit peut tre obtenue par diffrents moyens : en jouant sur la composition chimique, en particulier en augmentant la teneur en carbone. Ce type dacier prsente des inconvnients notamment dans les domaines de laptitude au faonnage et au soudage. Il est maintenant abandonn en Europe; par crouissage, par tirage et ou laminage froid de barres ou fils dacier doux ; par traitement thermique (trempe et autorevenu) de barres ou fils dacier doux. Les aciers se prsentent sous forme de barres de grande longueur (souvent 12 m) ou de fils en couronnes. 17Les cycles de productions utiliss aujourdhui sont en annexe.

    Les diamtres commerciaux des barres indpendantes sont (en mm)

    6 8 10 12 14 16 20 25 32 40

    En barres droites, les longueurs courantes de livraison sont comprises entre 12 et 18 m. Les treillis souds sont livrs sous forme de panneaux de dimensions 2,40x6,00 pour la plupart. (voir annexe). Pour les barres de diamtre 6, 8, 10 et 12 mm, la livraison est galement possible en couronne. Dans ce cas les armatures sont redresses l'aide d'une machine appele "redresseuse".

    Normes et documents de dfinition

    Les produits en acier pour bton arm sont essentiellement dfinis par des normes. Les nuances dfinies dans ces normes sont dsignes par des lettres Fe E, Fe TE (acier trfil), TLE (acier trs haute limite lastique) suivies d'un nombre indiquant la valeur spcifie de limite d'lasticit exprime en MPa. Exemples : Fe E 235 ou Fe E 500. De plus les barres et fils haute adhrence, bnficiant d'une homologation font l'objet d'une fiche d'identification.

    Caractristiques mcaniques

    Les caractristiques mcaniques servant de base aux calculs des lments de bton arm sont:

    La limite lastique garantie note fe : Fe E 500 pour fe = 500 MPa Suivant les types d'acier, cette limite peut tre apparente (acier doux, naturellement durs) ou fixe conventionnellement 2.10-3 d'allongement rmanent (fils trfils lisses).

    Le module dlasticit de lacier est pris gal Es = 200.000 MPa

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 7 [email protected]

    Le diagramme contrainte dformation de l'acier.

    Comme pour le bton, il faut distinguer le diagramme contrainte - dformation rel du diagramme conventionnel de calcul l'ELU qui sera utilis pour le dimensionnement des lments de bton arm.

    A lELU normal s = 1,15 et lELUU accidentel s = 1

    Fig.2.5 Diagramme exprimental contraintes dformations en traction simple et diagramme conventionnel de calcul.

    2.3. Application. Dformation dun poteau en compression.

    Un poteau en bton arm de section 30x40 supporte une charge verticale de 0,7 MN. Sa hauteur est de 2,50m. La rsistance du bton est prise gale fc28 = 25 MPa. Quel sera le raccourcissement long terme de ce poteau (situ Grenoble et dont le bton a plus de trois mois) ?

    Solution :

    La rsistance du bton j > 60 est prise, pour le calcul des dformations, gale fcj = 1,1x 25 = 27,5 MPa

    Le module d'Young considrer est le module de dformation diffre Evj = 3700.fcj1/3 = 3700x27,51/3 = 11168 MPa

    On applique la loi de Hooke (sans tenir compte de la prsence des aciers) bc = Evj.bc avec bc = 0,7/(0,3x0,4) et bc = dh/2,50 d'o dh = 1,3.10-3 m soit 1,3 mm de dformation due la charge.

    Pour le retrait, le raccourcissement sera 3.10-4 = dh/2,50 d'o dh = 7,5.10-4 m = 0,75 mm

    Le raccourcissement global est donc de 1,3 + 0,75 = 2,05 mm

    s

    fe

    fe/s

    L 10.10-3

    Diagramme rel

    Diagramme rglementaire de calcul lELU

    s

    s = Es. s do s = s /Es soit pour la limite L L = [fe/s]/Es do pour fe = 500MPa L = [500/1,15]/200000 = 2,17.10-3

    Fig 2.4

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 8 [email protected]

    Annexe 1

    Tableau des sections des barres indpendantes

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 HA 6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 HA 8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52

    HA 10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 HA 12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 HA 14 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 13,85 HA 16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 HA 20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 HA 25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 HA 32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 HA 40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10

    La masse volumique de lacier est 7800kg/m3

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 9 [email protected]

    Annexe 2. Treillis souds

    L : Longueur du panneau l : Largeur du panneau D : Diamtre du fil de chane d : Diamtre du fil de trame E : Espacement fil de chane e : Espacement fil de trame AR : About arrire AV : About avant ad = ag : About de rive

    (doc. ADETS)

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 10 [email protected]

    Annexe 3

    Longueurs dveloppes des cadres, triers, pingles et U

    Longueurs dveloppes pour des longueurs hors tout a, b, c, d, e, f en mm

    HA 6 8 10 12 14 16 20 Diam. mandrin 32 40 50 63 80 80 160

    Cadre avec retour 90

    d =

    L = 2(a+b)+ 92

    113

    108

    124

    135

    156

    164

    187

    194

    217

    216

    249

    300

    307

    Cadre avec retour

    135

    e =

    L = 2(a+b)+ 72

    103

    78

    102

    85

    103

    104

    125

    124

    151

    136

    164

    200

    248

    Etrier f =

    c = L = 2b +

    72 44 191

    78 56 214

    85 70 243

    104 87 299

    124 108 367

    136 112 388

    200 200 648

    Epingle f =

    c = L = b +

    72 44 175

    78 56 195

    85 70 218

    107 87 269

    124 108 327

    136 112 350

    200 200 565

    U

    L = 2a + b

    28

    37

    46

    56

    68

    73

    117

    Les crochets normaliss ont des retours droits de 10 pour un angle 90 et de 5 pour un angle 135

    Longueurs dveloppes des barres avec crochets

    Longueurs dveloppes L (en mm) pour un retour droit de 5 (minimum normalis)

    HA 6 8 10 12 14 16 20 25 32 40 Mandrin 63 80 100 125 160 160 200 250 320 400

    d = e = f = 65 84 105 129 157 168 210 263 336 420

    c 75 96 120 149 188 192 240 300 384 480

    L = a +

    47

    61

    76

    93

    113

    122

    153

    191

    244

    306

    L = a +

    74

    96

    120

    147

    181

    191

    239

    299

    383

    478

    L = a +

    101

    130

    163

    201

    249

    260

    326

    407

    521

    651

    L = a +

    93

    122

    153

    186

    225

    244

    306

    382

    489

    611

    L = a +

    148

    191

    239

    294

    362

    383

    478

    598

    765

    957

    L = a +

    202

    260

    326

    401

    499

    521

    651

    814

    1042

    1302

    d

    b a

    f c

    b

    b a

    e

    f c

    b

    b a

    d a

    e a

    f a c

    d a

    a

    a

    e

    f c

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 11 [email protected]

    Annexe 4

    Faonnage et assemblage des armatures

    Images Cimbton

    Cintreuse 3 galets

    Cintreuse 2 ttes

    Faonnage des aciers longitudinaux

    Dresseuse

    Cadreuse

    Faonnage des aciers transversaux

    Assemblage et soudage Plieuse en cours de faonnage

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 12 [email protected]

    Annexe 5

    Armatures de bton arm Images Cimbton

    Bote dattente (acier dplier)

    Manchons (Coupleurs)

    Cales et distanciers

    Armatures sur catalogue

    Armatures sur plans faonnes et assembles

    Acier en barres

    Acier en couronnes

    Acier en treillis souds

    Aciers coups et faonns

  • Chap.2 Matriaux du bton arm 13 [email protected]

    Annexe 6

    Fabrication des aciers

    Ferrailles de rcupration

    Fusion 1600 (four coule continue)

    Billettes

    Rchauffage 1200 (four)

    Laminage chaud

    Trempe et autorevenu

    Acier pour bton arm FeE500-3 en barres et

    en couronnes

    Dressage et coupe (dresseuse)

    Treillis souds FeE500-2 ou FeE500-3

    Soudage par rsistance (machine souder)

    Barres dresses

    Demi-produit : Ebauche pour tirage

    en couronnes

    Etirage froid

    Acier pour bton arm FeE500-3 en barres et

    en couronnes

    Demi-produit : Fil machine lisse et

    en couronnes

    Laminage froid

    Acier pour bton arm FeE500-2 en

    couronnes

  • Chap.3 Adhrence 1 [email protected]

    3. Adhrence Acier- Bton

    3.1 Contrainte dadhrence (A.6)

    L'adhrence est un phnomne de liaison tangentielle l'interface acier bton due au frottement et l'arc-boutement des bielles de bton. Les rgles respecter sont relatives l'Etat Limite Ultime.

    Supposons une barre scelle dans un massif en bton. Si on exerce un effort d'arrachement suivant l'axe de la barre, on peut avoir trois modes de rupture :

    Fig.3.1 Essai darrachement dune barre scelle dans un massif en bton

    Dans le premier cas l'action du bton sur l'acier peut se dcomposer en : Un effort perpendiculaire la barre. Une composante tangentielle : la contrainte d'adhrence note s.

    Dans le premier cas, si l'on suppose une rpartition uniforme des contraintes tangente s le long de la barre, lquation dquilibre scrit : F = s ...L La valeur limite ultime rglementaire de la contrainte d'adhrence est note su et vaut daprs le BAEL 91 A 6.1,21

    su = 0,6.s2.ftj avec ftj = 0,6+0,06.fcj et ftj et fcj exprims en MPa s est le coefficient de scellement relatif lacier, selon sa nature lisse ou HA s = 1 pour les aciers lisse s = 1,5 pour les aciers HA

    Exemple: Pour une barre HA dans du bton de fc28 = 25 MPa, calculer su .

    ftj = 0,6+0,06x25 = 2,1 MPa su = 0,6.1,52.2,1 = 2,84 MPa

    s F F s F

    bt

    Rupture par traction de l'acier (scellement parfait)

    Glissement relatif de l'acier par rapport au bton (extraction de la barre dans

    une gaine de bton)

    Destruction du bton par arrachement

    d'un cne de bton

  • Chap.3 Adhrence 2 [email protected]

    3.2 Longueur de scellement droit (A.6.1,221)

    Fig.3.2 Ancrage droit et rpartition des contraintes

    La longueur de scellement droit, note Ls, est la longueur sur laquelle il faut associer l'acier et le bton pour qu' la sortie de l'ancrage, l'acier puisse travailler en traction sa limite lastique fe.

    L'effort de traction dans la barre en traction simple est : F = section x contrainte = [.2/4].fe Les contraintes d'adhrence supposes maximum et constantes le long de la barre ont pour rsultante : F = ..Ls.su Lquilibre de la barre se traduit par ..Ls.su = [.2/4].fe

    Soit Ls = fe / 4su

    Exemple : Calculer la longueur de scellement droit d'une barre HA de limite lastique fe = 500 MPa dans un bton de rsistance fc28 = 25 MPa.

    Pour une barre HA dans un tel bton su = 2,84 MPa do Ls = 500 / 4.2,84 = 44 Soit pour une barre HA20, un scellement de 88cm

    Ls = 50 est une valeur forfaitaire adopte gnralement pour les aciers HA dfaut de calculs plus prcis (A.6.1,221)

    Longueur de scellement droit dans le cas de PAQUET de BARRES

    Une barre doit toujours tre ancre individuellement (A 6.1.21)

    Fig.3.3 Disposition dancrage droit dans le cas de paquet de 2 ou 3 barres

    su F su fe

    Ls

    Ls Ls 1,5.Ls Ls Ls

  • Chap.3 Adhrence 3 [email protected]

    3.3. Longueur de recouvrement des armatures tendues (A.6.1,223)

    Dans certains cas, pour assurer la continuit de la transmission des efforts, il faut raliser une jonction par recouvrement entre deux barres identiques sur une certaine longueur appele "longueur de recouvrement" et note "Lr".

    Fig.3.5 Couture des fissures dans le cas de barres espaces

    L'quilibre dun prisme de bton 3 faces montre qu'il y a un effort de cisaillement longitudinalement. Que cet effort est lorigine de traction 45, et do nc dune distribution de bielle de bton comprim 45 quil faut coudre entre elles par des armatures capables de rsister un effort F (A.6.1,23).

    Exception : pas de couture dans les poutres si l'on recouvre moins d'un quart des aciers sur la longueur de scellement droit et si la longueur d'ancrage est gale Ls.

    Armatures de couture des

    fissures

    Fissures 45 Bielle de bton

    comprim

    Analyse des contraintes sur les 3 faces dun

    prisme de bton

    Si les barres sont espaces d'une distance c infrieure 5 fois leur diamtre, la longueur de recouvrement est gale la longueur de scellement droit.

    - Lr longueur de recouvrement - Ls longueur de scellement droit - Si c < 5 Lr = Ls - Si c > 5 Lr = Ls+c

    Si les barres sont espaces de plus de 5 fois leur diamtre, la transmission de l'effort d'une barre l'autre se fait travers des bielles de bton 45 situes d ans le plan des deux barres. La longueur de recouvrement est gale la longueur de scellement droit plus la distance "c" entre les deux barres : Lr = Ls + c

    c

    Lr

    Effort

    Effort repris par la barre de gauche

    Effort repris par la barre de droite

    Effort repris par lensemble des deux barres

    Fig 3.4 Recouvrement de barres

  • Chap.3 Adhrence 4 [email protected]

    Ancrage des treillis souds haute adhrence

    La longueur de l'ancrage rectiligne dun treillis soud constitu de fils ou de barres HA sobtient soit par calcul de la longueur de scellement droit soit en considrant l"obstacle" des fils transversaux. Chaque soudure peut quilibrer un effort gal au plus au tiers de l'effort maximal de calcul s'exerant sur un fil porteur et la moiti pour un fil de rpartition. L'ancrage total rectiligne est donc assur par trois soudures pour un fil porteur et deux soudures pour un fil de rpartition

    Fig 3.6 Recouvrement des panneaux de treillis souds

    3.4 Ancrage par courbure (A.6.1,25)

    Si on exerce un effort de traction sur un lment de barre courbe scell dans le bton, la courbure de la barre donne naissance un effort de frottement, fonction de la courbure de la barre et du coefficient de frottement acier sur bton, pris gal 0,4. Cet effet est connu sous le nom "d'effet de courroie".

    Si l'on isole un petit lment (voir Fig.3.6 et 3.7), le bilan des actions qu'il subit est le suivant:

    F+dF un effort axial de traction F un effort axial de traction dN et dT les composantes normale et tangente de l'action de contact du bton sur l'acier, incline de

    tel que tg = 0,4 = dT/dN .. r.d.su l'effet d'adhrence acier bton, de contrainte su et qui sexerce le long de l'lment sur

    une aire gale .. r.d

    L'quilibre du petit lment donne le systme d'quation suivant: Equilibre sur X .. r.d.su + 0,4.dN + F.cos d/2 (F+dF).cos d/2 = 0 Equilibre sur Y dN F.sin d/2 (F+dF).sin d/2 = 0

    d/2

    d/2

    d/2

    r

    x

    y F+dF

    F

    L1

    L2

    F1

    F2

    Angle au centre diamtre de la barre r rayon de la fibre moyenne L1 L2 longueur rectiligne F1 effort lentre de la courbure F2 effort la sortie de la courbure contrainte dadhrence

    dN

    d

    dT

    Recouvrement des fils porteurs Recouvrement des fils de rpartition associs Solution A

    Solution B

    Solution C

    Fig.3.7 Equilibre d'un petit lment Fig.3.8

    Ancrage par courbure

  • Chap.3 Adhrence 5 [email protected]

    d tant trs petit, les cosinus sont approxims 1 et les sinus la valeur de l'angle en radian, do .. r.d.su + 0,4.dN + F (F+dF) = 0 dN F.d/2 (F+dF).d/2 = 0

    dF.d est un infiniment petit du second ordre que lon nglige devant les autres termes, do .. r.d.su + 0,4.dN = dF dN F.d = 0

    Soit dN = Fd .. r.d.su + 0,4.Fd = dF dF/d 0,4F = .. r.su

    Equation diffrentielle linaire du premier ordre avec second membre dont les conditions aux limites sont F=F1 l'entre de la courbure et F=F2 la sortie de la courbure. La solution de cette quation est:

    F2 = F1.e-0,4 - .. r.su [1- e-0,4 ]/0,4 avec

    F2 effort de traction la sortie de lancrage courbe F1 effort de traction lentre de lancrage courbe angle au centre de la zone courbe de leffort r rayon de courbure laxe de la barre diamtre de la barre

    su contrainte dadhrence acier-bton lELU

    Pour les valeurs courantes de on donne les valeurs suivantes :

    90 /2

    120 2/3

    135 3 /4

    180

    e-0,4 0,53 0,43 0,39 0,28 (1- e-0,4 )/0,4 1,17 1,42 1,53 1,79

    Application: Crochet 135

    Dterminer la longueur droite CD pour que la barre soit totalement ancre au point A = 135, r = 5,5., Barre HA16, AB = 6cm fe = 500 MPa; fc28 = 25 MPa; su = 2,84 MPa

    Solution : Il y aura ancrage total si en A l'acier travaille en traction fe. L'effort reprendre sera donc de

    FA = [. 2/4].fe = .0,0162 .500 /4 = 0,100 MN

    L'effort en B sera plus faible du fait de l'adhrence le long de AB FB = FA - . .LAB. su = 0,100 - . 0,016. 0,06. 2,84 = 0,092 MN

    L'effort en C est dtermin par l'quation de l'ancrage courbe FC = FB.e-0,4 - .. r.su [1- e-0,4 ]/0,4 = 0,092. 0,39 - . 0,016. 5,5. 0,016. 2,84. 1,53 = 0,0166 MN

    La longueur droite CD doit donc permettre d'ancrer cet effort . . LCD. su = . 0,016. LCD . 2,84 = 0,0166 soit LCD = 0,12 m = 12 cm

    La longueur dveloppe de l'ancrage courbe est 6 + 5,5. 1,6. 3. /4 + 12 = 39 cm

    A comparer la longueur ncessaire un scellement droit 44 = 44. 1,6 = 70 cm. Cette conomie est due l'effet de courroie.

    B

    135 HA16

    D

    C

    A

    Fig.3.9 Crochet 135

  • Chap.3 Adhrence 6 [email protected]

    Rayons de courbure minimaux. (A.6.1,251)

    Le rayon de courbure des ancrages courbes ne doit pas tre infrieur une valeur minimum pour deux raisons : dune part ne pas avoir un allongement plastique trop important de la fibre la plus tendue de l'acier et dautre part limiter la compression sur le bton dans la partie intrieure du crochet (composante dN prcdente).

    Valeurs des diamtres minimaux des mandrins de faonnage

    HA 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 20 25 32 40 Cadre, triers, pingles 20 20 30 30 30 40 40 50 70 100 150 Sans objet

    Ancrages 40 50 70 70 70 100 100 100 150 150 200 250 300 400 Coudes Sans objet 150 200 200 250 300 400 500 500

    Les angles courants sont 90 (crochet dit retour d'querre), 120,135 et 180.

    Il existe ce que l'on appelle le crochet normal qui par dfinition comporte une partie en demi-cercle suivie d'un retour rectiligne d'une longueur gale deux fois le diamtre de la barre (voir Fig.3.9). A dfaut de calculs plus prcis, on peut admettre que l'ancrage d'une barre rectiligne termine par un crochet normal est assur lorsque la longueur de la partie ancre, mesure hors crochet est au moins gale :

    - 0,6.Ls pour une barre lisse de classe Fe E 215 ou 235 - 0,4.Ls pour une barre haute adhrence de classe Fe E 500

    Lencombrement dun ancrage 180 pour une barre H A 20 en Fe E 500 est : 0,4. 50. 2 = 40 cm.

    Dimensions des barres faonnes.

    Rayon de courbure laxe de la barre : R Longueur dveloppe de l'ancrage ( en rad)

    Ld = L1 + R. + L2 Longueur d'appui D2 = L2 + R + /2

    Coudes = Faonnage en partie courante dun lment darmature permettant la transmission intgrale de leffort de traction entre les deux parties droites adjacentes

    Ancrage : Extrmit dun lment darmature comportant un faonnage prolong dune partie droite de longueur rglementaire et dans laquelle leffort de traction dcrot progressivement

    R=5,5.

    0,4.Ls

    2.

    Fig.3.11 Le crochet normal

    L1

    D2 L2

    R

    Fig.3.12 Dimensions des

    barres faonnes

    Fig.3.10 Coudes et ancrages Mandrin de cintrage de diamtre dfini dans le tableau ci-dessus)

  • Chap.3 Adhrence 7 [email protected]

    Ancrage des Cadres, Etriers, Epingles (A.6.1,255)

    On admet que les ancrages des extrmits de barres faonnes en cadres, triers, pingles sont assurs par courbure suivant le rayon minimal, si les parties courbes sont prolonges par des parties rectilignes au moins gales : 5. la suite d'un arc de 180

    10. la suite d'un arc de 135 15. la suite d'un arc de 90

    Fig.3.13 Ancrage des aciers transversaux

    3.5. Cas des constructions en zone sismique

    PS92 art.11.312 Lemploi de coudes ou crochets dans les pices comprimes ou les parties comprimes des pices flchies est interdit. Toutefois en cas de ncessit (liaison avec une semelle de fondation, voisinage dune surface libre, etc.), les ancrages dextrmit peuvent tre assurs au moyen de coudes 90.

    PS92, art 11.313 Toutes les longueurs de recouvrement ou dancrage sont majorer de 30% pour la part situe hors zone critique et de 50% pour la part situe dans la zone critique.

    Rq : Les zones critiques sont le plus souvent les zones prs des appuis (voir dtails dans PS92).

    Fig 3.14 Ancrages en zone sismique

    3.6. Problme de mise en oeuvre

    Images Victor Davidovici

    5. 10. 15.

    135

    Ancrage difficile Enrobage et adhrence trs difficile

  • Chap.3 Adhrence 8 [email protected]

    R=5,5.

    ?

    3.7. Applications

    1. Ferraillage d'un tirant

    Fig 3.15 Tirant

    Cette section de bton (fc28 = 25MPa) est ferraille par 10 barres HA20 disposes comme indiqu sur le schma. Justifier quelle est capable de rsister un effort de traction de

    9.[.2/4].fe/ s = 9x.0,022/4.500/1,15 = 1,23MN

    Solution :

    A la traction seul lacier travaille. A la jonction des barres disposes bout bout, leffort transite dune barre sa voisine sur une longueur de recouvrement. Les recouvrements sont dcals, pour que dans une section donne de llment il ny ait quun recouvrement . Le recouvrement est bien de 44 fois le diamtre de la barre. Il y a donc dans chaque section de llment toujours lquivalent de 9 barres qui travaillent.

    2. Chercher la longueur minimum dencombrement du crochet 180 quivalent un scellement droit. Barre HA et fc28 = 25MPa.

    Fig 3.16 Ancrage 180

    Solution : Contrainte de scellement droit su = 0,6.1,52.(0,6+0,06x25) = 2,84 MPa

    Efforts au point A, B, C et D : FD = 0 (extrmit libre de la barre) FC = = ..X.su (ancrage droit entre D et C) FA = [.2/4].fe (effort de traction = section x contrainte) FB = FA - ..X.su (ancrage droit entre A et B) Relation entre leffort la sortie et leffort lentre de la courbure: FC = FB.e-0,4 - ..r.su [1- e-0,4 ]/0,4 FC = FB.0,28 - .. r.su .1,79 ..X. su = 0,28.([.2/4].fe - . .X.su) - .. 5,5.su .1,79 ..X .2,84 = 0,28..2.500/4

    0,28...X.2,84 - .. 5,5.2,84.1,79 en simplifiant par . X .2,84 = 0,28..500/4

    0,28.X.2,84 - 5,5.2,84.1,79 X (2,84 + 0,28.2,84) = 0,28..500/4

    - 5,5.2,84.1,79 X = 2 Encombrement = (6+2). = 8 Longueur dveloppe = (2+2+5,5). = 21 < 44

    0,88 0,88 0,88

    X+6

    R=5,5.

    X

    A

    C D

    B

  • Chap.3 Adhrence 9 [email protected]

    3. Scellement d'une barre la rsine

    On veut sceller une barre HA32 dans un massif en bton tel que fc28 = 25MPa. Pour cela on fore avec une caroteuse un trou de diamtre 40mm et de profondeur 30cm. La barre y est ensuite scelle avec de la rsine. Le fournisseur de la rsine indique qu ltat limite ultime la contrainte dadhrence entre lacier haute adhrence et la rsine est de 5MPa et entre la rsine et ce bton de 3MPa.

    Quels sont les diffrents modes de rupture possible ? Dterminer la force maximum applicable la barre.

    Solution :

    Rupture par traction de l'acier. Lquilibre de la barre scrit : F1 = [.2/4].fe/ s F1 = [.0,0322/4].500/1,15 = 0,350 MN

    Glissement relatif de la rsine par rapport au bton. Equation dquilibre F2 = .rsine.L.su rsine bton F2 = . 0,040. 0,30. 3 = 0,113 MN

    Destruction du bton par arrachement d'un cne de bton. F4 = surface du cne x projection horizontale de bt Daprs le cours la fissure est 45. F4 = 21/2. . 0,32. [2,1/1,5].[ 21/2/2] =0,396 MN

    Remarque : Surface dun cne 45 de rayon R = 2 1/2. . R2

    Glissement relatif de l'acier par rapport au bton. Equation dquilibre F3 = .acier.L.su acier rsine F3 = . 0,032. 0,30. 5 = 0,151 MN

    Fig.3.18 Photo dune caroteuse

    30cm

    F 40mm

    HA32

    Fig 3.17

    fe/s F

    F1

    Fig 3.19 Rupture de lacier

    s rsine bton

    F2

    Fig 3.20 Glissement bton- rsine

    s rsine acier HA F3

    Fig 3.21 Glissement acier - rsine

    F4

    bt

    Fig 3.22 Rupture du bton

  • Chap.3 Adhrence 10 [email protected]

    4. Appui dabout de poutre

    Sachant que le poteau fait une largeur de 30cm, et que chaque barre HA20 arrivant sur lappui doit y ancrer un effort de 100kN, et que le bton est tel que fc28=30MPa, lancrage droit est il satisfaisant ?

    Solution :

    ftj = 0,6+0,06.fcj = 0,6+0,06. 30 = 2,4 MPa su = 0,6.s2.ftj = 0,6. 1,52. 2,4 = 3,24 MPa Soit L la longueur ncessaire pour ancrer 0,100MN F = . . L. su 0,100 = . 0,02. L.. 3,24 L = 0,49m > 0,30-0,03 donc un ancrage courbe est ncessaire

    5. QCM

    La longueur dveloppe dun ancrage courbe qui assure un ancrage total est comparativement la longueur de scellement droit:

    - Suprieur Infrieur Egale

    Le diamtre du mandrin de faonnage est suprieur une valeur minimum pour : - limiter le risque de fissuration de lacier - limiter la dformation plastique de lacier - limiter la compression du bton dans la courbure de la barre

    Lordre de grandeur de la longueur de scellement droit dune barre de diamtre 20mm est : 10cm 50cm 1m 2m

    La valeur ultime de la contrainte dadhrence rglementaire dpend de : La nature lisse ou HA de lacier La rsistance du bton en traction La limite lastique de lacier

    Pour assurer la continuit mcanique du ferraillage ci-dessous, on peut recouvrir les barres sur un longueur de :

    L1 < Lscellement droit L1 = Lscellement droit L1 = 2xLscellement droit

    L2 < Lscellement droit L2 = Lscellement droit L2 = 2.Lscellement droit

    L 3cm

    Fig 3.23 Appui dabout de poutre

    L2

    L1

    Fig 3.24 Recouvrement de barres

  • Chap.3 Adhrence 11 [email protected]

    6. Abou Simbel. Egypte

    Dans les annes 60 le dplacement du temple dAbou Simbel en haute Egypte ncessita le dmontage et remontage dlments en grs. Le risque dendommagement du parement na pas permis le soulvement des blocs avec des sangles (voir fig. Solution A). Il est alors envisag de forer le grs un diamtre lgrement suprieur celui dune barre de scellement haute adhrence (acier crant). Puis de sceller la barre avec de la rsine. Des essais sur la rsine ont permis de dfinir les valeurs de contrainte limite dadhrence ltat limite ultime suivantes :

    - entre lacier haute adhrence et la rsine : 4 MPa - entre le grs et la rsine : 2,5 MPa

    Autres donnes du problme : - Volume du bloc 6,5 m3 - Masse volumique du gr 2 tonnes par m3 - Diamtre de la barre en acier 40mm - Diamtre du trou 50mm - Longueur du scellement 50 cm - Limite lastique de lacier 400 MPa (valeur courante dans les annes 60)

    1. Expliquer pourquoi la faible rsistance du grs en traction ne permet pas de retenir la solution B.

    La solution C, finalement adopte, consiste forer un trou sur pratiquement toute la hauteur du bloc et de ne sceller la barre que sur les 50 premiers cm au fond du trou.

    2. Vrifier que lon peut ainsi effectivement soulever le bloc, en prenant un coefficient de scurit de 1,5 sur la charge et 1,15 sur la limite lastique de lacier (les coefficients de scurit sur ladhrence tant dj intgrs dans les valeurs 1,5 et 5 MPa).

    Solutions :

    1. Il peut y avoir arrachement dun cne de bton (voir figure ci contre)).

    2. Vrification Poids du bloc de bton

    1,5x Poids du bloc = 1,5.6,5.2000.9,81.10-6 = 0,191 MN Effort maximum de traction dans la barre

    F1 = [.2/4].fe/ s = [.0,042/4].400/1,15 = 0,437 MN Glissement entre rsine et bton

    F2 = .rsine.L.su rsine bton = . 0,050. 0,5. 2,5 = 0,196 MN Glissement entre acier et bton

    F3 = .acier.L.su acier bton = . 0,04. 0,50. 4 = 0,251 MN On vrifie que 0,191 est infrieur la plus petite des 3 valeurs F1 , F2 et F3

    Solution A Solution B Solution C

    50 cm

    Rsine

    Barre HA

    Bloc de gr

    Risque

    dendommagement

    Fig 3.24 Abou Simbel Egypte

    Fig 3.25 Dplacement des blocs

    F1 F2 F3

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 1 [email protected]

    4. Calcul des Aciers Longitudinaux lELU en Flexion Simple

    4.1 Hypothses de calcul (A.4.3,2)

    Nous nous intresserons une poutre de section rectangulaire, sollicite en flexion simple et l'ELU. L'ELU est dans notre cas, l'tat limite ultime de rsistance des matriaux acier et bton.

    1. Hypothse de Navier-Bernoulli (les sections droites restent planes pendant la dformation)

    2. Pas de glissement relatif entre acier et bton

    3. Rsistance du bton en traction nglige

    4. Diagramme contrainte -dformation du bton (A.4.3,41) La limite de la rsistance des matriaux est dtermine partir d'un critre de ruine minore par des coefficients de scurit s pour lacier et b pour le bton.

    fbu= 0,85.fcj/(.b). L'origine de b vient des dispersions des rsistances relles par rapport fcj, ainsi que des dfauts localiss. dpend de la dure d'application des charges. Lorsque celles-ci sont appliques plus de 24h, est gal 1.

    5. Diagramme contrainte -dformation de l'acier La valeur de Es module d'lasticit longitudinale est 200000 MPa. L'origine de s est la prise en compte du mauvais positionnement des barres dans le coffrage et des dispersions possibles entre les essais de laboratoire et la ralit.

    6. Concentration de la section d'acier au centre de gravit

    7. Diagrammes des dformations limites de la section (A4.3,3) Les diagrammes possibles rsultent des dformations limites fixes pour le bton et l'acier, dfinis partir de " 3 pivots": A, B et C.

    Pivot A : Traction simple puis flexion simple ou compose Pivot B : Flexion simple ou compose Pivot C : Flexion compose avec compression puis compression simple

    B

    3,5.10-3

    A

    10.10-3

    C

    2.10-3

    s

    fe/s

    L 10.10-3 s

    Diagramme rglementaire

    bc

    fbu = 0,85.fcj/(.b)

    2.10-3 3,5.10-3 bc

    Diagramme rglementaire

    As As

    b

    d h

    Diagramme dit "des 3 pivots"

    Fig 4.1 4.4 Hypothses de calculs

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 2 [email protected]

    Fig. 4.5 Diffrentes dformations dune section de poutre selon le diagramme des trois pivots

    S = 10.10-3

    bc = 3,5.10-3

    10.10-3 10.10-3

    10.10-3 10.10-3 < 10.10-3

    3,5.10-3

    3,5.10-3 3,5.10-3

    2.10-3 L

    Traction simple

    Flexion compose avec traction

    Flexion en pivot A ou B

    Flexion compose avec compression

    Compression simple

    B

    3,5.10-3

    A

    10.10-3

    C

    2.10-3

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 3 [email protected]

    4.2. Essais de poutres. Modes de rupture

    Si l'on mne des essais jusqu' rupture de poutres armes sollicites en flexion simple, on constate trois modes de rupture principaux. Deux sous l'effet du moment flchissant et un sous l'effet de leffort tranchant.

    Cas 1. C'est une rupture par excs de compression du bton sur les fibres suprieures de la poutre. C'est le cas le plus frquent. Il y a puisement de la rsistance en compression du bton.

    Cas 2. Il s'agit d'une rupture par puisement de la rsistance de l'acier dans la partie tendue de la poutre, sur les fibres infrieures. Il y a allongement excessif de l'acier, voire rupture complte.

    Cas 3. Le 3me mode de rupture que l'on rencontre concerne l'effet de l'effort tranchant V. C'est une rupture par cisaillement au voisinage d'un appui, avec fissure voisine de 45. Ce cas sera tudi dans le chapitre 5 (Calcul des aciers transversaux)

    Cas 4. Dans le chapitre 6 seront abords les problmes de lappui dabout de poutre o lon peut avoir un ferraillage insuffisant ou insuffisamment ancr et une bielle de bton sur-comprim

    L'E.L.U est un tat fictif reprsentatif de ces modes de rupture (critre de ruine) par rapport auxquels on prend une scurit - au niveau des sollicitations par des coefficients de pondration sur les charges.

    - au niveau des matriaux par les coefficients partiels de scurit. Si cette scurit n'existait pas, l'E.L.U sous l'effet des charges appliques, la section serait thoriquement dans un tat de rupture. Dans la suite de ce chapitre, nous nous intresserons au cas de rupture 1 et 2 et nous verrons comment construire les diagrammes "Contraintes - Dformations" correspondants, pour les matriaux acier et bton.

    Fig.4.6 Modes de rupture dune poutre sur 2 appuis sollicite en flexion

    Cas 2. Rupture ou allongement

    excessif de l'acier

    Cas 1. Surcompression du

    bton

    Cas 3. Rupture du bton sous

    sollicitation d'effort tranchant

    Cas 4. Vrification des appuis

    Fig.4.6b Essai de laboratoire sur une poutre

    Fissures verticales dues au moment

    Surcompression du bton

    Fissures 45 dues leffort tranchant

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 4 [email protected]

    4.3 Dformations, tat de contraintes

    Fig.4.7 Gomtrie de la section droite

    Le long de la poutre, l'abscisse "x", au centre de gravit d'une "coupure" plane, perpendiculaire l'axe longitudinal de la poutre, on a valu partir d'une combinaison des actions (1,35.G +1,5.Q le plus souvent), un moment flchissant ultime d'intensit Mu (exprim en m.MN).

    b est la largeur de la section droite h est la hauteur de coffrage de la poutre d est la hauteur utile de la section droite (du CdG des aciers tendus la fibre de bton la plus

    comprim) As est laire totale dacier du groupe de plusieurs barres

    a. Si le moment flchissant Mu a une intensit "faible". Pivot A

    Fig.4.8 Dforme et contraintes d'une section droite

    La membrure comprime de la poutre va subir des raccourcissements relatifs, les fibres suprieures du bton, les plus sollicites, vont subir un raccourcissement relatif bc valant au plus 3,5.10-3. La hauteur de bton comprim vaut y = .d

    La membrure tendue de la poutre va subir des allongements relatifs. La rsistance du bton la traction tant nglige, on l'arme avec des aciers longitudinaux, de section globale As, qui vont donc subir un allongement relatif limit la valeur 10.10-3.

    Si le bton est faiblement sollicit, il supporte des raccourcissements relatifs bc faibles et infrieurs 2.10-3 . Le coefficient est donc aussi "faible". Pour dduire l'tat de contrainte de la membrure comprime du bton, il faut tablir la relation dformation -contrainte. (voir "diagramme de calcul du bton").

    - Au niveau de l'axe neutre, pas de dformation donc les contraintes normales sont nulles. - Puis les raccourcissements croissent linairement, il leur correspond donc une variation parabolique des contraintes bc tant que bc est infrieur 2.10-3. Dans la membrure tendue, on souhaite disposer une section dacier As minimale, il faut donc que lacier travaille au mieux de ses possibilits. On admet quil subit un allongement relatif de 10.10-3 et que sa contrainte de traction vaut s = fe/s

    Mu

    bc

    s

    bc

    s

    y = .d

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 5 [email protected]

    Si lon fait crotre lintensit de Mu, la hauteur de bton comprim crot, le raccourcissement relatif du bton crot, le diagramme des contraintes de compression du bton devient "parabole -rectangle". La contrainte maximum plafonne la valeur fbu.

    b. Cas particulier : La droite des dformations passe par les pivots A et B

    Dans ce cas la membrure comprime a une hauteur "y" telle que :

    dybcsbc +

    =

    soit d.d259,0d

    10.1010.5,310.5,3d.y 33

    3

    sbc

    bc ==+

    =

    +

    =

    Do la valeur particulire = 0,259

    c. Si l'on fait crotre de nouveau l'intensit de Mu. Pivot B

    La hauteur de la membrure comprime continue crotre. L'allongement relatif de l'acier suprieur L (voir diagramme de calcul des aciers) entrane une contrainte de traction dans l'acier toujours gale fe/ s.

    d. Cas particulier et limite suprieure de lintensit du moment.

    Mu

    bc = fbu

    s = fe/s

    bc = 3,5.10-3

    s < 10.10-3

    y > 0,259.d Fig 4.10 Dformations et contraintes

    Mu

    bc = fbu

    s = fe/s

    bc = 3,5.10-3

    s = L

    y = L.d Fig 4.11 Dformations et contraintes

    Mu

    bc = fbu

    s = fe/s

    bc = 3,5.10-3

    s= 10.10-3

    y = 0,259.d Fig 4.9 Dformations et contraintes dune section droite

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 6 [email protected]

    Dans ce cas la membrure comprime a une hauteur d10.5,3

    10.5,3d.yL

    3

    3

    L+

    ==

    avec s

    seL E

    /f =

    Dans le cas particulier o fe = 500MPa on obtient

    3L 10.17,2200000

    15,1/500

    == et 616,010.17,210.5,3

    10.5,333

    3

    L =+

    =

    Vouloir augmenter encore l'intensit du moment ultime Mu conduirait une aberration conomique: En effet si s < L la contrainte de traction des aciers va valoir s = Es.s < fe/s, (on est alors sur la "droite de Hooke") et cela conduira une section d'acier norme que l'on ne pourra, raisonnablement disposer dans la poutre (Voir Fig.4.17).

    Fig 4.12 Rappel du diagramme "Contraintes -Dformations" de l'acier

    4.4 Mthode de calcul simplifie, diagramme rectangulaire des contraintes

    On admet, pour justifier la section d'acier As ncessaire pour quilibrer un moment ultime Mu, de remplacer les diagrammes "rels" (fraction de parabole ou parabole -rectangle) par un diagramme "rectangulaire" de hauteur 0,8.y = 0,8..d et d'intensit fbu.

    Le vecteur effort normal rsultant des compressions Nbc = 0,8..d.b.fbu passe donc par le centre de gravit du volume des contraintes, soit la distance 0,4..d des fibres suprieures du bton.

    Le vecteur effort normal rsultant des tractions Ns = As.fe/s passe lui par le centre de gravit du groupe des barres disposes dans la membrure tendue.

    Le moment ultime Mu appliqu la section quivaut donc au couple (Nbc, Ns) prsentant un bras de levier z = (1-0,4.).d Lquation de moment par rapport aux aciers tendus permet dcrire :

    Nbc.z = Mu (0,8..d.b.fbu).(d 0,4. .d) = Mu 0,8. .(1 - 0,4. ) = Mu/(b.d2.fbu)

    fe/s

    L

    s

    s = Es. s do s = s /Es soit pour la limite L L = [fe/s]/Es do pour fe = 500MPa L = [500/1,15]/200000 = 2,17.10-3

    s

    10.10-3

    Mu

    fbu

    s = fe/s

    bc 3,5.10-3

    L s 10.10-3

    y = .d 0,8..d

    0,4..d

    d

    Ns

    Nbc

    Fig 4.13 Dformations, contraintes, rsultantes

    z

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 7 [email protected]

    0,8. - 0,32. 2 - = 0 en posant = Mu/(b.d2.fbu) moment rduit 0,32. 2 - 0,8. + = 0 0,4.2 - + /0,8 = 0 quation du second degr en = 1 4x0,4. /0,8 = 1 2. La racine (

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 8 [email protected]

    4.6. Organigrammes Poutres en flexion simple lELU

    On donne ci-aprs deux organigrammes. Le premier permet le dimensionnement des aciers connaissant le moment ultime de la poutre en flexion simple. Le second permet de calculer le moment rsistant d'une section, connaissant la section d'acier mise en place.

    Gomtrie : b[m] h[m] d[m] Matriaux fc28 [MPa] fe [MPa] b s Section acier As [m2]

    fbu = 0,85.fc28/ .b

    = [As fe/s] / [0,8bd fbu] < L

    Z = [1-0,4].d Mru = z.As fe/ s

    Prendre drel b = 1,5 et s = 1,15 lELU normal

    = 1 pour les charges habituelles b = 1,5 lELU normal

    Ns = Nbc soit As fe/s = 0,8bd fbu do L = 0,616 si fe = 500 MPa Si cette condition nest pas vrifie, cette mthode de calcul ne sapplique pas car s < fe/ s

    Calcul du moment rsistant dune poutre en flexion simple lELU

    Gomtrie : b[m] h[m] d[m] Matriaux fc28 [MPa] fe [MPa] b s Moment ultime Mu [m.MN]

    fbu = 0,85.fc28/ .b = Mu/bd2fbu

    = 1,25.[1 (1-2 )1/2] < L

    Z = [1-0,4].d As = Mu/[z.fe/ s]

    Pour les poutres de hauteur courante d = 0,9h. Pour les dalles d = h 4 cm b = 1,5 et s = 1,15 lELU normal

    = 1 pour les charges habituelles b = 1,5 lELU normal

    L = 0,616 et L = 0,371 si fe = 500 MPa Si cette condition nest pas vrifie, il faut gnralement redimensionner la poutre en augmentant h. En prvision de lELS, si la fissuration est prjudiciable, on peut se limiter L = 0,46 et L = 0,30

    Condition de non fragilit As > As min = 0,23bdftj/fe

    Vrification des cotes de coffrage dune poutre et Calcul des aciers longitudinaux dune poutre en flexion simple lELU

    Si cette condition nest pas vrifie, prendre As min

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 9 [email protected]

    Programme pour Casio =ELU=

    B = [m] ? B : D = [m] ? D : FBU = [Mpa] ? F : MU = [m.MN] ? M : M B D2 F N : ALPHA :1.25x (1- (1-2N)) A AS [cm2] :M (1-0.4xA) D 500x1.15x10000

    =ELS= B = [m] ? B : D = [m] ? D : AS = [cm2] ? A : MSER = [m.MN] ? M : A x10^-4 A : Y= [m] : (-15xA+ (225xA2+30xAxBxD)) B Y I= [m^4] : BxY^3 3+ 15xAx(D-Y)2 I SIGMA BETON [MPa] :MxY I SIGMA ACIER [MPa] :15xMx(D-Y) I+

    Programme pour Texas Instrument =ELU= Disp B = [m] Input B Disp D = [m] Input D Disp FBU = [Mpa] Input F Disp Mu = [M.MN] Input M Clear Home M/B/D^2/FN 1.25x (1- (1-2N)) A Disp Alpha Disp A M/(1-0,4xA)/D/500x1,15x10000 X Disp AS [cm2] Disp X

    =ELS= Disp B = [m] Input B Disp D = [m] Input D Disp AS [cm2] Disp A Input A Ax10^-4 A Disp Mser = [m.MN] Input M Clear Home (-15xA+ (225xA^2+30xAxBxD))/B Y Disp Y [m] Disp Y BxY^3/ 3+ 15xAx(D-Y)2 I Disp Y [m^4] Disp I Pause MxY/IX Disp SIGMA BETON [MPa] Disp X 15xMx(D-Y)/I Z Disp SIGMA ACIER [MPa] Disp Z

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 10 [email protected]

    4.7 Application 1 : Suite de la poutre tudie au chapitre 1

    Largeur de poutre b = 0,20m Hauteur de poutre h = 0,50m Hauteur utile d = 0,9h = 0,45m Matriaux : bton fc28 = 25 MPa b = 1,5 lELU normal

    Acier fe = 500 MPa s = 1,15 Moment ultime Mu = 0,0221x62/8 = 0,0995 m.MN

    Section darmature As = Mu/[z.fe/ s] = 0,0995/(0,407x500/1,15) m2 As = 5,62 cm2

    Condition de non fragilit As min = 0,23bdftj/fe = 0,23x0,20x0,45x2,1/500 m2 As min = 0,87 cm2

    Contrainte de calcul du bton fbu = 0,85.fc28/ .b = 0,85x25/(1x1,5) = 14,17 MPa Moment rduit = Mu/bd2fbu = 0,0995/(0,20x0,452x14,17) = 0,173 Position de laxe neutre = 1,25.[1 (1-2 )1/2] = 0,239< L = 0,616 Bras de levier z = [1-0,4].d = (1-0,4x0,239) .0,45 = 0,407m

    Choix dun ferraillage : La poutre fait 20cm de largeur, on peut prendre 2 barres par lit. Soit 4 HA14 sur 2 lits.

    2

    1

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 11 [email protected]

    Application 2 : Poutre

    Dans un btiment usage industriel la structure est faite de poteaux en bton arm couls en oeuvre, de poutres bton arm prfabriques au sol, leves et clavetes en tte des poteaux. Les poutres ont une porte de 12,00 m, elles supportent en leur milieu une ferme triangule en bois massif par l'intermdiaire d'un sabot mcano -soud "spit" sur le flanc de la poutre. Pour chaque ferme le charpentier bois annonce les ractions dappui suivantes : G = charge permanente = 60 kN S = charge de neige = 50 kN. Combinaison de charges tudier lELU : 1,35G+1,5S Le bton utilis est tel que fc28 = 25MPa Les aciers sont haute adhrence fe = 500MPa La poutre est de section 25cmx85cm

    La note de calcul des aciers longitudinaux sera rdige selon le plan type suivant : a. Modlisation b. Bilan des charges c. Sollicitations d. Acier longitudinaux

    Solution a. Modlisation

    On suppose que chaque trave de poutre de porte 12m est indpendante de la trave suivante (non continuit de poutres) et quelle repose simplement sur ses appuis.

    b. Bilan des charges Les seules charges qui font flchir la poutre sont reprsentes sur le schma ci-contre

    c. Calcul du moment Les charges sont pondres par 1,35 et 1,5. Les moments sont calculs en appliquant le principe de superposition.

    Poids propre de la poutre 0,25.0,85.1,00.25 = 5,3 kN/m charge uniformment rpartie

    charge ponctuelle mi trave G = 60 kN S = 50 kN

    Mu max du au pp de la

    poutre

    1,35x5,3x122/8 = 129 m.kN

    (1,35x60+1,5x50)12/4 = 468 m.kN

    129+468 = 597 m.kN

    Mu max du aux charges

    ponctuelles

    Mu max total

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 12 [email protected]

    d. Calcul des aciers

    Largeur de poutre b = 0,25m Hauteur de poutre h = 0,85m Hauteur utile d = 0,9h = 0,765m Cette valeur est ce stade prise

    approximativement et sera vrifie. Matriaux : bton fc28 = 25 MPa b = 1,5 lELU normal

    Acier fe = 500 MPa s = 1,15 Moment ultime Mu = 0,597 m.MN

    Contrainte de calcul du bton fbu = 0,85.fc28/ .b = 0,85x25/(1x1,5) = 14,17 MPa Moment rduit = Mu/bd2fbu = 0,597/(0,25x0,7652x14,17) = 0,288 Position de laxe neutre = 1,25.[1 (1-2 )1/2] = 0,436< L = 0,616 Bras de levier z = [1-0,4].d = (1-0,4x0,436) .0,765 = 0,632m

    Section darmature As = Mu/[z.fe/ s] = 0,597/(0,638x500/1,15) m2 As = 21,8 cm2

    Condition de non fragilit As min = 0,23bdftj/fe = 0,23x0,25x0,765x2,1/500 m2 As min = 1,86 cm2 As = 21,5 cm2 > = 1,86 cm2

    Choix dun ferraillage : La poutre fait 25cm de largeur, on peut prendre 3 barres par lit. Soit 5 HA16 et 4 HA20 = 22,62cm2 sur 3 lits.

    Vrification dcalcul drelle 0,765 0,78m

    3 HA16 2 HA16 + 1HA20 3 HA20

    Calcul de drelle : (6,03x10,6 + 4,02x6,6 + 3,14x6,8 + 9,42x4,8) / 22,62 = 7 drelle = 85 7 = 78cm

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 13 [email protected]

    Application 3 : Diagrammes de contraintes et dformations

    Pour la section poutre tudie dans lapplication 2 prcdente, on saperoit que drelle = 0,78 > dcalcul = 0,9.h = 0,765. Ce qui est scuritaire, on peut donc recommencer le calcul avec drelle, ce qui donnera une section dacier plus faible, do une conomie. Dans le cas tudi, la section dacier rellement mise en place sera 6HA16+3HA20 =21,48cm2 (au lieu de 5HA16 et 4HA20).

    On souhaite dterminer les diagrammes de contraintes et de dformations de cette section.

    Rappel des donnes : b = 0,25m, h = 0,85m, d = 0,78m, As = 6HA16+3HA20 = 21,48cm2, Mu = 0,597m.MN, fc28 = 25 MPa, b = 1,5, fe = 500 MPa, s = 1,15

    bc=

    Diagramme simplifi des contraintes

    st=

    bc=

    Diagramme des dformations

    Nst=

    Nbc=

    Rsultantes des contraintes

    Mu

    st=

    bc=

    Diagramme des contraintes

    s

    fe/s

    L 10.10-3 s

    bc

    fbu

    2.10-3 3,5.10-3 bc

    Placer sur les diagrammes contraintes- dformations les points reprsentatifs des tats de contraintes et dformations des armatures et du bton comprim.

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 14 [email protected]

    Solutions

    Contraintes fe /s = 500/1,15 = 435MPa fbu = 0,85.fc28/ .b = 0,85x25/(1x1,5) = 14,17 MPa

    Rsultantes Ns = As. fe /s = 21,48.10-4.435 = 0,934 MN Nbc = 0,8ddfbu = 0,8. . 0,25.0,78.14,17 Ns = Nbc do 0,934 = 0,8. . 0,25.0,78.14,17 soit = 0,423

    Hauteur de bton comprim y = d = 0,423.0,78 = 0,33m 0,8d = 0,26m Bras de levier

    z = [1-0,4].d = (1-0,4x0,423) .0,78 = 0,65m Dformations = 0,423 ce qui correspond un pivot B, soit bc = 3,5.10-3 et s tel que :

    d/ 3,5.10-3 = d/(s + 3,5.10-3 ) soit s = 4,8.10-3

    Diagramme simplifi des contraintes

    b = 0,25m

    y = 0,33m

    st= 4,8.10-3

    bc= 3,5.10-3

    Diagramme des dformations

    Nst= 0,934 m.MN

    Nbc= 0,934 m.MN

    Rsultantes des contraintes

    Mu= 0,597m.MN

    st= 435MPa

    bc= 14,17 MPa

    d = 0,78m

    Diagramme des contraintes

    bc= 14,17 MPa

    y = 0,33m 0,8y = 0,26m

    0,4d = 0,13m

    z = 0,65m

    s

    fe/s

    L 4,8.10-3 10.10-3 s

    bc

    fbu

    2.10-3 3,5.10-3 bc

  • Chap.4 Aciers longitudinaux lELU 15 [email protected]

    Application 4 : Hauteur