calcul de dommages : simuler et prédire le vieillissement...

Ecole des Mines de Paris

CENTRE DES MATÉRIAUX

BP 87 Evry Cedex 91003

JACQUES BESSON, ERIC LORENTZ

Calcul de dommages : Simuler et prédire levieillissement mécanique des installations de

production et de transport d’énergie

CdM Calcul de dommages : Simuler et prédire le vieillissement mécanique desinstallations de production et de transport d’énergieCocas page 2/51

Sommaire

1 Introduction 4

2 Formulations 5

2.1 Discrétisation des champs inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Éléments et fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Formulation en énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Formulation en vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Élimination de degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Tests des formulations 9

3.1 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.2 Comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.3 Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Résultats en réponse globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Elements P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.2 Elements P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.3 Elements P1P0P0 (vitesse) et P2P0P0 (vitesse) . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.4 Elements P1P0P0 (énergie) et P2P0P0 (énergie) . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.5 Elements P2P0P0 qua8 (énergie et vitesse) . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.6 Elements P1+P1P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.7 Elements P2P1P1 (vitesse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.8 Elements P2P1P1 (énergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19



3.3 Résultats en contrainte σzz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Elements P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.2 Elements P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23




3.3.6 Elements P1+P1P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27



3.3.9 Elements P2CRP1 (énergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30




3.4 Résultats en déformation plastique cumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.1 Elements P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.2 Elements P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34




3.4.6 Elements P1+P1P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38



3.4.9 Elements P2CRP1 (énergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41



3.5 Erreurs relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Cartes des valeurs aux points de Gauss : éléments triangulaires . . . . . . . . . 46

3.7 Calculs 3D et temps calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Commentaires des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Perspectives 50


1 Introduction

La production et le transport de l’énergie nécessitent des ouvrages de grande taille, exploitéssur de très grandes durées et dont la fiabilité doit être assurée dans le temps. Les enjeuxéconomiques, de sûreté et d’acceptabilité par le public sont extrêmement importants et exigentune maîtrise des phénomènes de vieillissement, appréhendés à l’échelle de tout un composantet non à celle d’un élément de matière. Cette exigence conduit à des problèmes scientifiquestrès spécifiques. Sous chargements excessifs ou de longue durée, certains composantsd’équipements industriels peuvent être détériorés. Cet endommagement peut prendre desformes variées, notamment la croissance de cavités au sein de la matière (rupture ductile desmétaux) ou encore le développement de micro-fissures (rupture fragile du béton). Au stadeultime, ces défauts coalescent et conduisent à l’apparition de fissures macroscopiques quiremettent en cause l’intégrité et donc la sûreté de l’installation. Ainsi, dans les domaines de laproduction et du transport d’énergie, on peut citer en particulier : les problèmes de fragilisationsous irradiation des cuves de centrales nucléaires entraînant potentiellement un risque derupture brutale après amorçage ductile, la fissuration de la pastille de combustible nucléairequi influe grandement sur son comportement lors des dégagements gazeux, le problème del’étanchéité des enceintes de confinement, compromise par le développement de micro-fissures,la question de la tenue des barrages et digues, la fissuration ductile et fragile des oléoducs oudes gazoducs. La maîtrise du risque de rupture de ces composants obéit à des impératifs desécurité. Lorsque d’éventuelles réparations ou même le remplacement sont impossibles pourdes raisons techniques, elle permet d’établir la durée de vie des installations. Sinon, elle fixeles programme de surveillance, de maintenance et de remplacement le cas échéant, avec lesconséquences économiques que l’on imagine. Le recours à la simulation numérique sembleincontournable pour modéliser finement ces phénomènes de rupture dans des situations dechargement difficilement accessibles à l’expérimentation à cause de la taille des installations,l’intensité et la nature des chargements, le vieillissement des matériaux, etc. . . . Prédirel’apparition de défauts et contrôler leur impact sur le bon fonctionnement des installationsen sont les objectifs, dans des situations de chargement variées (fonctionnement courant ousituations accidentelles hypothétiques) et pour des structures plus ou moins âgées. A cet égard,le vieillissement se traduit par une altération des propriétés physiques des matériaux qui résultedes agressions de l’environnement extérieur (corrosion, irradiation), de mécanismes interneslents (fluage du béton et perte de précontrainte résultante, propagation de fissures en fatigue)ou tout simplement de modifications structurelles en cours de vie. En tout état de cause,l’application aux structures industrielles réelles et exploitées sur une longue durée nécessitedonc la connaissance de l’état actuel et des chargements réellement subis.

Sur la base des observations précédentes, il semble que la capacité à prédire les risquesde rupture de composants doive s’appuyer sur trois axes de recherche : (i) la modélisationdes phénomènes à l’échelle des structures, (ii) la maîtrise de la simulation numérique, (iii)l’identification des paramètres du comportement et l’assimilation de données pour déterminerl’état courant de la structure. Ce travail traite des points (i) et (ii). La modélisation de ladéchirure des grandes structures nécessite à terme l’emploi du remaillage. A l’heure actuelle,les outils de remaillage réalisent des maillages par tétraèdres (cas 3D ; le calcul 2D, même s’ilest intéressant, ne suffit généralement pas lorsqu’il s’agit de modéliser des structures). L’objectifest, à terme, de réaliser des calculs intégrant la déformation plastique, le développementde l’endommagement puis l’apparition et la propagation d’une fissure. Dans un premier


temps, différentes formulations éléments finis ont été comparées. L’endommagement étant trèsdépendent des contraintes locales et de la pression hydrostatique, des formulations mixtes endéplacement/pression/variation de volume ont été étudiées pour un matériau de von Mises.

2 Formulations

2.1 Discrétisation des champs inconnus

On propose ici une présentation générale des éléments finis mixtes en déplacement, pressionet variation de volume. On notera un, ub, p et θ les vecteurs élémentaires correspondants auxdegrés de liberté en déplacements nodaux, en déplacement de type bulle 1, en pression etvariation de volume. Les valeurs locales dans l’élément sont obtenues grâce à des fonctionsd’interpolation spécifiques à chaque groupe de degrés de liberté :

~u = Nn.un + [N b.ub] (1)

p = N p.p (2)

θ = N θ.θ (3)

(4)

où Nn, N b, N p et N θ sont des matrices de fonctions de forme. La notation [.] indique unterme additionnel employé dans le cas des éléments à cinématique enrichie de type P1+P1P1(Bellet, 1999; Taylor, 2000). On obtient le gradient de transformation comme :

F = 1 + BFn.un + [BFb.ub] (5)

où les matrices BFn et BFb contiennent les dérivés des fonctions de forme dans la configurationd’origine. On notera J le déterminant de F : J = det F . Dans la configuration finale, on peutécrire une déformation infinitésimale comme :

δε = Bn.δun + [Bb.δub] (6)

où les matrices Bn et Bb contiennent les les dérivés des fonctions de forme dans la configurationfinale2 et δun et δub sont des variations infinitésimales des degrés de libertés en déplacement.A partir de θ et F on définit un tenseur de transformation mixte :

F =

(

θ

J

)1/3

F (7)

On utilisera cette formulation en déformations planes également. Il est plus usuel de poser dansce cas : F ij = (θ/J)1/2Fij pour i, j ≤ 2 en gardant F 33 = 1. Le choix fait dans ce travailcorrespond à une simulation de l’état de déformations planes utilisant un maillage 3D pourlequel on bloque tous les déplacements dans une direction.

1voir ci-dessous2Bn correspond la matrice B usuelle en petites déformations


Différents choix peuvent être fait pour les fonctions d’interpolation. On notera :

P1 une interpolation linéaire utilisant les nœuds sommets des élémentsP2 une interpolation quadratique standardP0 une interpolation par une constante dans l’élémentCR une interpolation linéaire utilisant les nœuds situés au milieu des faces

des tétraèdres (éléments Crouzet–Raviart ).P1+ pour l’interpolation des déplacements des éléments bulle (triangles

et tétraèdres linéaires).

Les différents éléments employés sont nommés selon le principe suivant : Interpolation endéplacement/Interpolation en pression/Interpolation en variation de volume. Par exempleP2P1P1 correspond à une élément ayant une interpolation quadratique des déplacements etlinéaire de la pression et de la variation de volume. L’interpolation des déplacements correspondtoujours à l’interpolation de la géométrie (éléments isoparamétriques).

2.2 Éléments et fonctions de forme

On utilise dans ce travail les éléments suivants avec Ng nombre de point de Gauss, Nn nombrede nœuds :

espace interpolation géométrique Ng Nn

2D/AXI élément triangulaire linéaire P1 1 3élément triangulaire linéaireP1+ bulle

3 3

élément quadrangulaire linéaire P1 4 4élément triangulaire quadratique P2 3 6élément quadrangulaire quadratique P2 4 8

3D élément tétraédrique linéaire P1 1 4élément tétraédrique linéaireP1+ bulle

4 4

élément hexaédrique linéaire P1 8 8élément tétraédrique quadratique P2 4 10élément tétraédrique quadratiqueP2 Crouzet–Raviart

4 14

élément hexaédrique quadratique P2 8 20

Les éléments triangulaires ou tétraédriques linéaires nécessitent pour une formulationstandard P1 en déplacement un seul point d’intégration. Dans le cas d’une formulation enrichiede type bulle on emploiera 3 points de Gauss pour les triangles et 4 pour les tétraèdres. Dansle cas des éléments quadratiques, on emploie toujours une intégration de Gauss réduite. Lesfonctions d’interpolation P1 et P2 sont standards et n’ont pas besoin d’être rappelées ici.L’interpolation bulle est réalisée en divisant les triangles en 3 sous triangles et les tétraèdresen 4 sous tétraèdres. Dans chacun des sous triangles ou tétraèdres, on utilise une interpolationlinéaire qui ne nécessite qu’un seul point de Gauss. On notera que Taylor (2000) proposed’employer des fonctions de forme polynomiales qui requièrent a priori plus points de Gauss.On remarquera que bien que le nombre de points de Gauss soit alors égal au nombre de pointsde Gauss des éléments quadratiques leur positions diffèrent.


nœud standard nœud bulle nœud Crouzet-Raviart

élément bulle triangulaire

élément bulle tétraédrique

élément Crouzet-Raviart tétraédrique

Figure 1: Éléments bulle et Crouzet-Raviart (dans ce dernier cas les nœuds situés aumilieu des arêtes non pas été représentés).

Fonction de forme bulle 2D/AXI

Nb(s, t) =

3t si t − s < 0 et 2t + s − 1 < 0

3s si t − s > 0 et 2s + t − 1 < 0

3(1 − s − t) si 2t + s − 1 > 0 et 2s + t − 1 > 0

(8)

Fonction de forme bulle 3D

Nb(s, t, u) =

4t si f1 < 0, f3 > 0, f5 < 0

4s si f2 < 0, f3 > 0, f6 < 0

4u si f1 < 0, f2 > 0, f4 < 0

4(1 − s − t − u) si f4 < 0, f5 > 0, f6 < 0

avec f1 = t − u, f2 = s − u, f3 = s − t,

f4 = s + t + 2u − 1, f5 = s + 2t + u − 1,

f6 = 2s + t + u − 1

(9)

Fonctions de forme Crouzet-Raviart Les nœuds servant à discrétiser les pressions sontau milieu des faces. Dans le cas des tétraèdres les positions sont donc :

(

0, 13, 1

3

)

,(

13, 0, 1

3

)

,(

13, 1

3, 0

)

et(

13, 1

3, 1

3

)

. Les fonctions d’interpolation associées sont :

Nt = 1 − t

Ns = 1 − s (10)

Nu = 1 − u

N1 = 1 − 3(1 − t − s − u)


2.3 Formulation en énergie

Cette formulation a été proposée par Taylor (2000) dans le cas des éléments P1+P1P1 mais ellepeut être étendue dans tous les cas étudiés dans ce travail. Le problème revient à minimiser lafonctionnelle suivante :

Π(~u, p, θ) =

∫

Ω0

(

w(C) + p(J − θ))

dΩ + Πext (11)

où C = F T .F . Πext est le terme lié au efforts extérieurs. L’intégrale est prise sur laconfiguration initiale Ω0. L’énergie w permet de définir les contraintes ; on a :

S = 2∂w(C)

∂C(12)

où S est la second tenseur de Piola-Kirchhoff. Après discrétisation du problème et en suivantTaylor (2000) les réactions internes élémentaires (e) associées à chacun des groupes de degrésde libertés sont :

F e[n,b] =

∫

Ωe

0

BT[n,b].σθdΩ0

F ep =

∫

Ωe

0

NTp (J − θ)dΩ0

F eθ =

∫

Ωe

0

NTθ

(

1

3trσ − p

)

dΩ0

avec σ = σ +

(

p −1

3

J

θtrσ

)

1

2.4 Formulation en vitesse

Il est possible d’obtenir une formulation légèrement différente de la première en exprimant letravail virtuel des efforts intérieurs comme :

δWi =

∫

Ω

[(

σ +

(

p −1

3trσ

)

1

)

: δε∗ + (J − θ)δp∗ +

(

1

3trσ − p

)

δθ∗]

dΩ (13)

où δε∗, δp∗ et δθ∗ sont des variations infinitésimales virtuelles de la déformation, la pression et lavariation de volume. L’intégrale est évaluée sur la configuration actuelle Ω. Après discrétisationdu problème, les réactions internes élémentaires associées à chacun des groupes de degrés delibertés sont :

F e[n,b] =

∫

Ωe

BT[n,b].σdΩ

F ep =

∫

Ωe

NTp (J − θ)dΩ

F eθ =

∫

Ωe

NTθ

(

1

3trσ − p

)

dΩ

avec σ = σ +

(

p −1

3trσ

)

1

Comme précédemment les intégrales sont évaluées sur la configuration actuelle et on a dΩ =JdΩ0.


2.5 Élimination de degrés de liberté

Certains degrés de liberté apparaissant dans les différentes formulations ne sont liés qu’à unseul élément. Dans ce cas il est possible de les éliminer de la résolution globale. Ceci permetde diminuer la taille du problème à résoudre. Soit X e le vecteur des degrés de liberté d’unélément. On sépare Xe en deux sous-vecteurs : Xe =

(

Xeg, X

el

)

où Xeg représente les degrés

de liberté globaux et Xel les degrés de liberté locaux. Le vecteur des forces élémentaires s’écrit

alors comme : F e =(

F eg, F

el

)

où F eg (resp. , F e

l ) sont les forces élémentaires associées auxdegrés de liberté globaux (resp. locaux). L’équilibre implique que : F e

l = 0 Pour une correctionitérative des degrés de liberté globaux (δX e

g), la variation des degrés de liberté locaux est telleque F e

l reste nul. Soit :

δF el = 0 =

∂F el

∂Xeg

.δXeg +

∂F el

∂X el

.δXel = Klg.δX

eg + Kll.δX

el (14)

où les matrices K lg et K ll sont des sous-matrices de la matrice de rigidité élémentaire. On endéduit :

δXel = K−1

ll .K lg.δXeg (15)

Le tableau suivant donne, en fonction des formulation, les degrés de libertés qui peuventêtre éliminés.

P[1,2]P0P0 θ, pP1+P1P1 ~ub, [θ]P2P1P1 [θ]P1 P2 P2P2P1 P2CRP1 —

Le gonflement θ peut être éliminé (cas P1+P1P1 et P2P1P1) dans la mesure où il existeune relation biunivoque entre la pression et le gonflement comme, par exemple, dans le casde la plasticité de von Mises. Dans ce cas, la solution en pression donne directement lasolution en gonflement. Ce n’est plus le cas pour les matériaux avec dilatation plastique. Pourles formulation P[1,2]P0P0, pression et gonflement peuvent toujours être éliminés car aucunecontinuité n’est assurée entre éléments.

3 Tests des formulations

3.1 Calculs

3.1.1 Maillages

Les maillages employés pour tester les différentes formulations sont représentés à la fig. 2. Ils’agit d’une éprouvette entaillée dont le plan est également donné à la fig. 2. Les maillages 3Dcorrespondent à un secteur angulaire de 14.

La structure est sollicitée en traction selon la direction z. Le calcul est réalisé à déplacementimposé. Les conditions de symétrie usuelles sont appliquées. En particulier, les calculs 3Dcorrespondent aux calculs 2D axisymétriques.


r

z25

9

5

r = 4×

triangles quadrangles schèma

tétraèdres hexaèdres

Figure 2: Maillages employés.

3.1.2 Comportement

Le comportement est de type élastoplastique à écrouissage isotrope. La surface d’écoulementcorrespond au critère de von Mises. Le module de Young est de 200 GPa, le module de Poissonest égal à 0.3. La contrainte d’écoulement est donnée en fonction de la déformation plastiqueéquivalente p par :

σf (p) = K(p + p0)n (16)

avec K = 500 MPa, n = 0.1 et p0 = 0.01. La limite d’élasticité vaut Re = Kpn0 = 315.48 MPa.

3.1.3 Présentation des résultats

Pour comparer les résultats obtenus avec les différentes formulations proposées dans les casaxisymétriques, déformation plane et 3D, on évaluera la réponse globale (force/section initiale,


F/S0 fonction du déplacement imposé). Cette information n’est toutefois pas suffisante pourcorrectement comparer finement les résultats. Pour obtenir une information plus locale, oncalcule pour l’ensemble des éléments dont les nœuds sont à une distance inférieure ou égale à1 du centre de la structure les valeurs moyennes (〈x〉), maximales, minimales ainsi que l’écarttype (Ex) de la contrainte axiale σzz et de la déformation plastique p. On comparera les résultatsjugés de mauvaises qualités aux résultats obtenus avec les formulations donnant satisfaction.Les calculs suivants sont considérés comme des références pour les différents type d’élémentsemployés :

triangle P2P2P1 (vitesse)quadrangle P2P2P1 (vitesse)tétraèdre P2P2P1 (vitesse)hexaèdre P2P1P1 (vitesse)

Les calculs de référence sont rappelés en pointillé. Les calculs effectués avec Code_Astersont donnés avec des points. Les calculs effectués avec Zébulon sont donnés avec des lignescontinues.

Dans les sec. 3.3 et sec. 3.4 les résultats sont intégralement présentés sans commentairesspécifiques. Ceux-ci sont donnés dans la sec. 3.8.


3.2 Résultats en réponse globale

3.2.1 Elements P1

tri3/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua4/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri3/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua4/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra4

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

hexa8

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0


3.2.2 Elements P2

tri6/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri6/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra10

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

hexa20

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0


3.2.3 Elements P1P0P0 (vitesse) et P2P0P0 (vitesse)

P1 P2

qua4/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri6/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua4/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri6/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

hexa8

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra10

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0


3.2.4 Elements P1P0P0 (énergie) et P2P0P0 (énergie)

P1 P2

qua4/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri6/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua4/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri6/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

hexa8

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra10

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0


3.2.5 Elements P2P0P0 qua8 (énergie et vitesse)

vitesse énergie

qua8/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

La convergence est très difficile à obtenir pour les éléments hexa20. La formulationP2P0P0 n’est pas adaptée aux cas des éléments qua8 et hexa20.


3.2.6 Elements P1+P1P1

vitesse énergie

tri3/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri3/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri3/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri3/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra4

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra4

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0


3.2.7 Elements P2P1P1 (vitesse)

tri6/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri6/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra10

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

hexa20

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0


3.2.8 Elements P2P1P1 (énergie)

tri6/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri6/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra10

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

hexa20

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0



tri6/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/axi

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tri6/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

qua8/dp

Déplacement

F/S

0

2.01.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

tetra10

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0

hexa20

Déplacement

F/S

0

1.51.00.50.0

600

500

400

300

200

100

0


3.3 Résultats en contrainte σzz

3.3.1 Elements P1

tri3/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua4/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri3/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua4/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tetra4

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

hexa8

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0


3.3.2 Elements P2

tri6/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri6/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tetra10

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

hexa20

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0



P1 P2

qua4/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri6/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua4/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri6/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

hexa8

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tetra10

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0



vitesse énergie

qua8/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0



vitesse énergie

tri3/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri3/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri3/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri3/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tetra4

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tetra4

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0



tri6/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri6/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tetra10

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

hexa20

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0


3.3.9 Elements P2CRP1 (énergie)

tri6/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri6/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0



tri6/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/axi

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tri6/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

qua8/dp

Déplacement

σ/R

e

2.01.51.00.50.0

4

3

2

1

0

tetra10

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0

hexa20

Déplacement

σ/R

e

1.51.00.50.0

4

3

2

1

0


3.4 Résultats en déformation plastique cumulée

3.4.1 Elements P1

tri3/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua4/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri3/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua4/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tetra4

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

hexa8

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0


3.4.2 Elements P2

tri6/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/axi

Déplacement

p1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri6/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tetra10

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

hexa20

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0



P1 P2

qua4/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri6/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua4/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri6/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

hexa8

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tetra10

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0



vitesse énergie

qua8/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0



vitesse énergie

tri3/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri3/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri3/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri3/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tetra4

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tetra4

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0



tri6/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri6/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tetra10

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

hexa20

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0


3.4.9 Elements P2CRP1 (énergie)

tri6/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tetra10

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0



tri6/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/axi

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tri6/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

qua8/dp

Déplacement

p

2.01.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

tetra10

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

hexa20

Déplacement

p

1.51.00.50.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0


3.5 Erreurs relatives

On définit pour l’ensemble des valeurs (F/S0, 〈σ〉, Eσ, max σ, min σ, 〈p〉, Ep, max p, min p)une erreur relative définie comme

erreur = 100 ×

∣

∣

∣

∣

x − xref

xref

∣

∣

∣

∣

où xref est la valeur de référence. On se place dans tous les cas pour un déplacement de 1.5.

Le code de couleurs est le suivant : vert = erreur5%, gris 5% < erreur < 10.%, rouge =erreur > 10.%.

calcul F 〈σ〉 Eσ max σ minσ 〈p〉 Ep max p min p

qua4_axi 34.44 0.66 2126.46 333.78 706.81 8.16 47.80 47.80 47.80

tri3_axi 25.41 49.94 2213.27 359.86 1435.72 1.59 9.99 9.99 9.99

qua4_dp 1.33 3.53 2938.38 165.79 193.16 1.47 53.92 53.92 53.92

tri3_dp 8.03 6.00 1020.98 65.18 104.43 27.27 65.64 65.64 65.64

tetra4 27.28 14.88 1780.35 480.94 984.16 8.77 51.61 51.61 51.61

hexa8 34.42 0.62 2214.33 334.28 611.06 8.48 48.58 48.58 48.58

P1

calcul F 〈σ〉 Eσ max σ min σ 〈p〉 Ep max p min p

tri6_axi 0.05 0.06 50.55 47.44 47.77 0.00 0.04 0.04 0.04

qua8_axi 0.01 0.00 0.05 0.02 0.03 0.00 0.06 0.06 0.06

qua8_dp 0.06 0.07 1.79 0.19 0.06 0.47 2.30 2.30 2.30

tri6_dp 0.07 0.03 23.86 4.54 0.35 0.52 2.87 2.87 2.87

tetra10 0.06 0.04 17.61 34.91 13.11 0.01 0.16 0.16 0.16

hexa20 0.01 0.01 0.05 0.00 0.21 0.06 0.12 0.12 0.12

P2


hexa8 0.20 0.15 2.34 0.36 6.47 0.02 1.24 1.24 1.24

qua4_axi 0.22 0.15 2.42 0.29 8.25 0.08 1.10 1.10 1.10

qua4_dp 0.00 0.06 4.57 0.21 0.30 0.34 3.51 3.51 3.51

P1P0P0_RATE


hexa8 0.34 0.11 2.45 0.40 6.60 0.02 1.56 1.56 1.56

qua4_axi 0.36 0.11 2.55 0.32 8.59 0.04 1.41 1.41 1.41

qua4_dp 0.03 0.08 5.58 0.25 0.42 0.20 4.55 4.55 4.55

P1P0P0_ENER


tri6_axi 0.08 0.07 0.75 2.72 0.71 0.01 1.26 1.26 1.26

tetra10 0.03 0.10 0.23 0.97 2.86 0.00 0.35 0.35 0.35

tri6_dp 0.03 0.03 1.11 0.45 0.59 0.20 0.31 0.31 0.31

qua8_dp 0.24 0.39 12.94 0.41 1.96 0.08 13.04 13.04 13.04

P2P0P0_RATE



tri6_axi 0.52 0.64 8.53 1.39 4.26 0.04 5.19 5.19 5.19

tetra10 0.03 0.05 0.70 0.69 3.85 0.01 0.65 0.65 0.65

tri6_dp 0.03 0.07 0.55 0.25 0.08 0.29 2.01 2.01 2.01

qua8_axi 49.18 45.20 126.01 10.16 134.24 24.52 258.53 258.53 258.53

qua8_dp 0.24 0.39 12.94 0.41 1.96 0.08 13.04 13.04 13.04

P2P0P0_ENER


tetra4 1.07 0.10 10.29 7.42 18.06 0.34 5.95 5.95 5.95

tri3_dp 0.23 0.23 17.04 1.37 1.35 1.53 9.62 9.62 9.62

P1+P1P1_RATE


tetra4 1.30 0.10 4.22 14.85 24.04 0.38 6.36 6.36 6.36

tri3_axi 0.50 0.08 6.68 3.05 7.02 0.16 0.08 0.08 0.08

tri3_dp 0.28 0.23 17.95 1.42 1.40 1.76 11.15 11.15 11.15

P1+P1P1_ENER


tri6_axi 0.01 0.00 0.31 2.77 0.60 0.00 0.02 0.02 0.02

hexa20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

qua8_dp 0.01 0.01 0.14 0.01 0.01 0.05 0.15 0.15 0.15

qua8_axi 0.01 0.01 0.15 0.02 0.24 0.02 0.01 0.01 0.01

tetra10 0.03 0.07 0.27 0.87 1.44 0.01 0.43 0.43 0.43

tri6_dp 0.00 0.00 0.36 0.27 0.00 0.00 0.17 0.17 0.17

P2P1P1_RATE


qua8_axi 45.49 36.98 109.40 5.22 98.98 23.81 239.80 239.80 239.80

qua8_dp 0.01 0.01 0.03 0.00 0.03 0.05 0.17 0.17 0.17

tetra10 6.00 6.82 38.37 16.02 48.05 4.24 77.70 77.70 77.70

tri6_axi 38.50 30.41 64.98 0.71 89.75 16.07 186.83 186.83 186.83

tri6_dp 0.00 0.00 0.17 0.29 0.01 0.00 0.10 0.10 0.10

P2P1P1_ENER


tri6_axi 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

hexa20 0.02 0.02 0.08 0.39 5.86 0.02 0.15 0.15 0.15

qua8_axi 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

qua8_dp 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

tetra10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

tri6_dp 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

P2P2P1_RATE



tri6_axi 0.00 0.00 0.02 0.91 0.16 0.00 0.00 0.00 0.00

hexa20 0.03 0.02 0.19 0.46 5.90 0.02 0.11 0.11 0.11

qua8_dp 0.00 0.01 0.27 0.02 0.00 0.04 0.24 0.24 0.24

qua8_axi 0.00 0.00 0.01 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00

tetra10 0.00 0.00 0.00 0.02 0.04 0.00 0.00 0.00 0.00

tri6_dp 0.00 0.00 0.40 0.01 0.00 0.04 0.24 0.24 0.24

P2P2P1_ENER

3.6 Cartes des valeurs aux points de Gauss : éléments triangulaires

On donne ici quelques exemples de cartes des valeurs aux points de Gauss pour les élémentstriangulaires et les différentes formulations.

P1 P2 P2P0P0

P1+P1P1 P2P1P1 (vitesse) P2P1P1 (énergie)

0σ

zz

1000

P2P2P1


P1 P2 P2P0P0

P1+P1P1 P2P1P1 (vitesse) P2P1P1 (énergie)

0p

1

P2P2P1

3.7 Calculs 3D et temps calcul

Les calculs 3D peuvent être long à réaliser. On donne ici le nombre de degrés de liberté et letemps de calcul pour les différents cas étudiés.

• Nombre de degrés de liberté

Formulation Tétraèdres HexaèdresP1/P1P0P0 26160 44808P2/P2P0P0 188292 172764P1+P1P1 34880 —P2P1P1 197012 187397P2P2P1 259776 244884

• Temps calcul (le temps calcul est rapporté au temps de calcul pour la formulation P1employant des tétraèdres (le calcul dure environ 1 heure).


Formulation Tétraèdres Hexaèdres formulationP1 1 3.5P1P0P0 — 2.7 V ou EP2 28.3 31.8P2P0P0 25.2 — V ou EP1+P1P1 3.3 — EP2P1P1 27.8 42.9 VP2P2P1 42.3 68.5 V ou E

3.8 Commentaires des résultats

Formulation P1 Cette formulation donne de très mauvais résultats. Ce résultat est par ailleursbien connu.

Formulation P2 Cette formulation donne de bons résultats sauf en ce qui concerne les valeursmaximales et minimales des contraintes. A maillage donné, le nombre de degrés de libertéest toutefois fortement augmenté.

Formulation P1P0P0 Sans coût supplémentaire, cette formulation améliore considérablementles résultats obtenus avec la formulation P1. Seules les valeurs maximales et minimalesdes contraintes et déformations sont moyennement évalués. Cette formulation esttoutefois limitées aux quadrangles et hexaèdres et ne peut donc être employée dans les casoù l’on souhaite employer du remaillage automatique. La formulation en vitesse sembledonner des résultats légèrement meilleurs que la formulation en énergie.

Formulation P2P0P0 On constate une amélioration par rapport au cas P2 pour les triangleset les tétraèdres. Dans ce cas également, la formulation en vitesse semble donner desrésultats légèrement meilleurs. Pour les quadrangles et hexaèdres, la condition de Brezzi-Babuska n’est pas vérifiée : la convergence ne peut être obtenue ou le résultat est demauvaise qualité.

Formulation P1+P1P1 Cette formulation améliore considérablement les résultats obtenus avecla formulation P1 avec un coût supplémentaire faible. Elle est limitée aux triangles ettétraèdre. Elle autorise toutefois le remaillage. Dans le cas axisymétrique, les contraintesapparaissent comme sous-estimées près de l’axe de symétrie en particulier pour les faiblesvaleurs de déformation.

P1+P1P1 (énergie) P2P2P1 0σ

zz

1000

Valeurs aux points de Gauss de la contrainte σzz pour un déplacement de 0.2


Dans le cas des déformations planes, le calcul ne peut être conduit jusqu’à un déplacementde 2. Les éléments sont fortement déformés. On observe que pour un des points de Gauss,J devient proche de 0. Le déplacement bulle est tel que le nœud central s’est déplacévers un des côtés du triangle : det F reste proche de 1 alors que det F devient nul. Unremaillage devient nécessaire.

Formulation P2P1P1 Seule la formulation en vitesse permet d’obtenir de bons résultats. Pourla formulation en énergie (axisymétrique et 3D), la réponse est de très mauvaise qualité etil est difficile de mener le calcul. Il est à noter que Code_Aster et Zébulon conduisent auxmêmes conclusions. Il apparaît lors du calcul des bandes dans lesquelles la déformationplastique se localise.

bandes localisées P2P1P1 énergie

Ceci pourrait être dû au faible nombre de contraintes (ici les pressions nodales) quiautoriserait l’apparition d’un mode localisé. Les résultats obtenus dans le cas P2P2P1(pour lequel le nombre de contraintes est plus élevé) confirment cette hypothèse. Dans lecas des déformations planes, les deux formulations donnent de bons résultats.

Formulation P2CRP1 Cette formulation donne de bons résultats dans le cas 3D avec destétraèdres. Elle ne fonctionne pas dans le cas des triangles axisymétriques. Toutes lesformulations n’ont pas encore été testées.

Formulation P2P2P1 Dans tous les cas, les résultats sont de bonne qualité. On notera toutefoisque dans le cas dans hexaèdres sous-intégrés (8 points de Gauss), le système global n’estpas inversible ; ceci nous a conduit à employer des hexaèdres à 27 points de Gauss.Pour cette raison, le calcul de référence est, dans le cas des hexaèdres, le calcul avec laformulation P2P1P1 en vitesse.

Les conclusions sont résumées dans les tableaux suivants pour les éléments linéaires etquadratiques avec les codes suivants : : bon résultat, : résultat moyen, :résultat mauvais, ! : cas où la formulation n’a pas de sens ou donne a priori de mauvaisrésultats. , ? : formulation restant à tester.


P1 P1P0P0 P1+P1P1E V E V

tri3axi ! !

qua4axi ! !

tri3dp ! !

qua4dp ! !

tetra4 ! !

hexa8 ! !

P2 P2P0P0 P2P1P1 P2P2P1 P2CRP1E V E V E V E V

tri6axi ?qua8axi ! ! ! !

tri6dp ? ?qua8dp ! ! ! !

tetra10 ?

hexa20 ! ! ! !

4 Perspectives

• Ce travail a permis de classer différentes formulations mixtes permettant d’améliorerla précision des calculs par éléments finis en plasticité incompressible. Il ressort que laformulation P2P2P1 est la plus robuste (elle donne de bons résultats pour tous les typesd’éléments).

• Les calculs ont été réalisés pour un nombre de mailles donné. Il convient de les poursuivrepour un nombre de degrés de liberté fixé dans le cas 3D. Dans ce cas, il est possible queles formulations P1+P1P1, P1P0P0 ou P2P0P0 donnent de meilleurs résultats.

• Les calculs seront par la suite réalisés pour des matériaux endommageables eten particulier pour des matériaux ductiles qui présentent une variation de volume

plastique . Dans le cas des ceux matériaux, une extension non–locale des élémentsemployés est envisagée.


Références

Bellet, M., 1999. Finite element analysis of compressible viscoplasticity using a three-fieldformulation. application to metal powder hot compaction. Comp. Meth. Appl. Mech. Engng175 (1–2), 19–40.

Taylor, R., 2000. A mixed-enhanced formulation for tetrahedral finite elements. Int. J. Numer.Meth. Engng 47, 205–227.

calcul de dommages : simuler et prédire le vieillissement...

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