8/6/2019 C4SE-Espace(cours)

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Le plan passant par A etde vecteur normal

N , estlensemble des points M

tels que 0N.AM

Soient A, B et C trois points quelconques de lespace.

On a :

BACcos. A C. A BAC.AB

Soient

k,j,i une base orthonorme

de lespace etu (x,y,z) ,

v (x,y,z) deux

vecteurs de lespace. On a :

v.u

Soit le plan P dquation : a x + b y + c z + d = 0 avec(a,b,c) (0,0,0).

Le vecteur

c

b

a

N est un vecteur normal P.

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xx' + yy' + zz'

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(D) une droite de lespace de vecteur

directeur

u et passant par B.A un point de lespace et H son projetorthogonal sur (D).La distance du point A la droite (D) est le

rel dfini par : d(A, (D)) = AH.

u

uAB

AH

.

Soient le plan P : a x + b y + c z + d =0,

AAA z,y,xA un point de lespace etH le projet orthogonal de A sur P.

Soit M un point de P et

c

b

a

N un

vecteur normal P.La distance du point A au plan P est le rel dfini par :

d(A, P) = AH =

N

N.AM

=

cba

dzcybxa

222

AAA

Dfinition :

Soient

u et

v deux vecteurs de lespace orient et A, B et C trois points tels que

uAB et

vAC . On appel produit vectoriel de

u etv , le vecteur

w , not

vudfini par :

* Si

u et

v sont colinaires, alors

0w .* Sinon alors

BACsinvuw3/

directebaseuneest)w,v,u(2/

(ABC)planaunormalestw1/

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Soient

u et

v deux vecteurs non nuls etnon colinaires de lespace.

Soit une mesure de langle orient (u ,

v ).

On a :

v.u

vu

sin

et

v.u

v.ucos

.

Dans une base orthonorme directe (

k,j,i ), on

considre les vecteurs

z

y

x

u et

z'

y'

x'

v . On a :

k y y'

x x'j

z'z

x x'-i

z'z

y y'vu .

k y x'- x y'jx'z-z'x-iy'z-z'y

Soit P un plan de vecteurs directeurs

u et

v .

vu est un vecteur normal au plan P.

Soient A, B et C trois pointsde lespace.Laire du triangle ABC est :

ACAB

2

1 .

Le volume dun paralllpipde ABCDEFGH est V = AB AD .AE

.

Le volume dun un ttradre ABCD est V = 1 BC BD .BA

6

.

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Le volume dun un ttradre ABCD est V =3

1 ACAB

.DH

o H est le projet orthogonal de D sur le plan (ABC).

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