bogdanoff g.-fluctuations quantiques de signature de metrique a l'echelles planck (1999)

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UNIVERSITE DEPARTEMENT LABORATOIRE GEVREY DE˚ DE BOURGOGNE DE MATHEMATIQUE-PHYSIQUE DIJON MATHEMATIQUES UMR 5029 THESE présentée par Grichka BOGDANOFF En vue d'obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE BOURGOGNE Spécialité : Mathématiques FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE DE LA MÉTRIQUE À L' ÉCHELLE DE PLANCK _________ Soutenue publiquement à l’Ecole Polytechnique le 26 Juin 1999 devant le jury composé de Gabriel SIMONOFF Président Dimitri GOUREVITCH Rapporteur Costas KOUNNAS Rapporteur Shahn MAJID Rapporteur Igniatios ANTONIADIS Examinateur Michel SEMENOFF-TIAN SHANSKI Examinateur Daniel STERNHEIMER Examinateur Manuscrit déposé le 31 Janvier 2000

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UNIVERSITEDEPARTEMENTLABORATOIRE GEVREYDE DE BOURGOGNE DEMATHEMATIQUE-PHYSIQUE DIJON MATHEMATIQUES UMR 5029THESEprsente parGrichka BOGDANOFF En vue d'obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSIT DE BOURGOGNE Spcialit : MathmatiquesFLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATUREDE LA MTRIQUE L'CHELLE DE PLANCK _________Soutenue publiquement lEcole Polytechniquele 26 Juin 1999devant le jury compos de Gabriel SIMONOFF Prsident DimitriGOUREVITCH Rapporteur CostasKOUNNAS Rapporteur Shahn MAJID Rapporteur Igniatios ANTONIADIS Examinateur Michel SEMENOFF-TIAN SHANSKIExaminateur Daniel STERNHEIMER ExaminateurManuscrit dpos le 31 Janvier 2000 REMERCIEMENTSJe tiens en premier lieu exprimer toutel'motionsusciteparla disparition brutalede MoshFlatoquiavait acceptd'tre la foislefondateuretleguide irremplaablede cette recherche.Unhommagetoutspcialluiestdoncdestinpoursonsoutiencontinuel,sadisponibilitamicaleetcrativeainsiquel'exprience scientifique unique dont ilm'a gnreusement fait profiter et qui donne toute sa signification cetravail. Daniel Sternheimer, qui a bien vouluen diriger lasoutenance et n'a jamais mnag sa prsence auxmoments les plusdifficiles,trouvera ici la marque de notre amiti et de notre profonde gratitude.Je veux aussi saluer la mmoired'Andr Lichnerowicz,dont lesconseilsexceptionnelsettoujoursamicauxontvivement clair ma comprhensionde la gravitation et contribu l'orientation de ce travail.Je tiensgalement remercierlesmembresduLaboratoiredePhysiqueMathmatiquedel'UniversitdeBourgogne pour leur accueil et l'aide scientifique qu'ils m'ont apporte au cours de ces derniresannes. Mesremerciements vont plusparticulirement Daniel Sternheimer,GeorgesPinczon,MichelSemenov-Tian-Shanski ,Jacques Simon,Christiane Martin etJean-ClaudeCortet.Je remerciegalement MaryliseDebretpour les aimables dmarches effectues par elle dans l'administration de la prsente thse.La phase prliminaire de cette recherche a t labore grce GabrielSimonoff,du Laboratoirede Physiquede Bordeaux I .Son aide extrmement amicale,sa profonde vision d'hommede scienceetsesconseilsm'ontt prcieux ds l'origine de cette longue recherche, voici dj bien des annes.Qu'il trouve iciletmoignagedemagratitudeparticulire.QueJolSternheimer,dontlapenselibreetoriginaleafortifimonengagement dans cette recherche, soit galement remerci pour les mmes raisons. Etmonamical hommageva vers Jean-Claude Simon, mon toutpremier matre en science.Quant au fond,je tiens dire ma plusprofonde gratitude Shahn Majid, du Laboratoire de MathmatiquesduQueen MaryetWestfieldCollege,pour lestrs nombreuxchangesetl'aideconstantequ'ilabienvoulum'apporter toutau long de ce travail. Sanssesconseilsinfailliblesetsonexceptionnellecrativitdansledomaine des groupes quantiques,cette recherche n'aurait jamais atteint les objectifsque je m'tais fix.Ma reconnaissance va galement Costas Kounnas, de l'Ecole Normale Suprieure, dont la pense gnreuseetlavisiontonnammentintuitiveclairentcetravail,notammentdanslesdomainesdelagravitquantique. Les changes toujours stimulants que j'ai eu le privilge d'avoir avec luionttlefondementdenombrede mesidesoursultats lesplussignificatifs.IgniatiosAntoniadis,de l'colePolytechnique,aquant lui orient ma progression en thorie des cordes et je l'en remercie.Demme,GabrielVeneziano,duCERN, a enrichide sa visionmonapprochede la cosmologieprimordiale.EttoutcommeShahnMajid,Dimitri Gourvitch de l'Universit de Valenciennes a inspir certainesdemesrecherchesdansledomaine dela q-dformation. Qu'il en soit galement remerci, comme tousceux qui ontaccept de faire partie du jury.QueA.M.Poliakov,S.Deser, M.Takesaki,E.Witten,M.Dubois-Violette,G.t'Hooft,J.Demaret,F.Combes, D.Lambert, S.K. Donaldson, C.Vafa,L.L.Vaksman,M.Shifman,R.Jackiw,R.Engeldinger,O.Ogievetsky,N.Yu.Reshetikhin,S.Ferrara,C.Kiefer,R.Haag,T.Damour, L.Alvarez-Gaum, J.M.Souriau,J.Frhlich,A.Ashtekar,S.Parmentier,R.Stora,A.Chakrabarti,M.Gromov,P.Fr,E.V.Shuryak,C.Olive,S.Helgason, S.Coleman,M.A.Rieffel,M.Winnink,S.L.Woronowicz,etbiend'autrestoutaulongdesannestrouventiciletmoignagedemesremerciementspourleschangesparticulirement enrichissants que nous avons pu avoir et l'accueil toujours chaleureux qu'ils m'ont rserv.Enfin, ma reconnaissance sincre va vers ceux qui ont relu et supervisladernire version de ce travail:S.Majid et D.Gourvitch pour la partie groupes quantiques,C. M.Marle, de ParisVI,pour la partiegroupesclassiques et gomtrie, E.Leichtnam,de l'ENS, pour les algbres d'oprateurs, C. Kounnas pour lesaspectsphysiques.Je remerciegalement P.CartieretM.Enockquim'ontfaitl'honneurdelireattentivementcertaines parties de ce travail. Qu'ils soient tousremercis pour le temps qu'ils m'ont consacr.Dans lemmeesprit,jesalueavecreconnaissanceMartineBauer,dontl'aidesignreuseapermislaralisationmatrielle de ce travail.Enfin,monaffection meporte versJacquelineBeytout,inspiratricede montoutpremierengagement danscette longue recherche et indfectible soutien depuis.NoustenonsremercierlegnralNovacq,DirecteurGnraldel'EcolePolytechniqueettouteslesautorits comptentes qui ont permisla soutenance de cette thse de Doctoratde l'Universitde Bourgogneau sein de l'Ecole Polytechnique.INTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________IINTRODUCTION GENERALELespremiersfondementsd'unethoriecosmologiqueexplicitementfondesurl'hypothsed'unchangementdesignaturedelamtriquedel'espace-tempsonttdveloppsparS.Hawkingen1978[268].L'hypothsedeHawkingpostulelechangementdiscretdelamtriquedeLorentzlamtriqueEuclidiennedfiniepositive.Inspire des mthodes Euclidiennesde C.Lanczos [324][325]puisJ.Schwinger [454]ouNakano [408]enthorieconstructive des champs,cette hypothseestaujourd'hui considreencosmologiequantique,notammentparG.Gibbons [238] ,G.F.R. Ellis et al[198]et d'autres,sur des bases qui restent cependantplutt formelles.Notre tude, fonde sur les aspects mathmatiques des chapitres 1, 2 et 3 (notammentlechap.3onousanalysonslechangement de signaturedans lecadredelathoriedesgroupesquantiques)vadanslemmesens,maisenintroduisant, l'chelle de Planck, une phase de transition(i.e.superposition)de lasignatureaucoursdupassageLorentzien Euclidien.01.1En gnral, pour 00rel.Unetelleapprochenousapermisdedistinguertroisdomainesdiffrentssurle"cnedelumirecosmologique",chacun de ces domaines tant dcrit par une algbre de VonNeumann spcifique.Plusprcisment,sinous appelons M0,1 = R Fle facteur R0,1 de type II correspondant l'chelle singulire 0,comme touteslestransformations ergodiques partir de M0,1 (flotsassocis l'chelle0)sontfaiblement quivalentes[149],M0,1estunfacteurhyperfini,dutypeITPFId'Araki-Woods[31].LefacteurM0,1 estalorscanonique.Plusgnralement, ilexiste ainsi trois chelles (correspondant aux trois rgions du cne de lumirecosmologique dans leshma (0.1) ) :(i) l'chelle topologique(chelle 0 associe =0) dcrit par l'ITPFI de type II M0,1 ;(ii)l'chelle quantiquede superposition(0Planck), dcrite par le facteur Mc de type I .Pour finir,remarquons que le flot des poids associ au facteur M0,1 de type II l'chelle 0de l'espace-tempsestuninvariantde M0,1.Or,nousallonsvoirauchapitre 7que lasingularitinitialeestgalement dcriteparuninvariant topologique, Is = tr(-1)s,que nous appelons "invariant de singularit", isomorphe au premier invariantdeDonaldson. Nous retrouvons alors, par un toutautre chemin, la mme description de lasingularitinitialesouslaforme d'un invariant topologique. Ceci renforce notre description du "flot d'volution Euclidienne" en termes de flotdes poids.01.6 Revenonsauxaspects physiquesdelathoriedesuperposition.Commenousl'indiquonsauchap.4,ildevraitexister,l'chelle de Planck,unelimitelatemprature-etlacourbure-dupr-espace-temps,limitepostulepar Hagedorn,etprcisepar AticketWitten[38],audelde laquellel'ondevraitconsidrerunsecteurpurement topologique, postul par la thorie topologique des champsde Witten ou Donaldson.Lepremier invariantdeDonaldsonestuneformealgbrique"Riemannienne"dontnoussuggronsen7.3.2l'isomorphismeavecl'invariant topologique caractrisant,selonnotreapproche, lalimited'chelle0.Acette chelle "topologique",lathorie nedevraitdonc plustre considrecommesinguliremaisdevraitplutttre redfiniesousunenouvelleforme Eucldienne.Cette approche repose sur deux ides essentielles :((i)Conformment certaines rsultats en thorie des (super)cordes, notamment ceux de E.KiritsisetC.Kounnasdans[313],nousconsidronsl'hypothseselonlaquelle,trshautecourbure(i.e.l'chelledePlanck T ~ MPlanck) la gravitation classique, dcrite par l'approximation O(1/MPlanck) n'est plus valable. Nousproposonsdonc d'introduire,dans leLagrangien"quantique"de lathorie,destermesde drivessuprieuresenR2(toutenconsidrant, en dimension 4,la possibilit d'un "cut off" des termes de drives plushautessurlalimiteR2,ce quilimine les termes en R3+... +Rn de la thorie des cordes). Nous conjecturons que ces termespeuventautoriser lasuperposition (3,1)(4,0)de lasignaturede lamtriquedanslecadred'une thorie largissant lagravitationclassique de type Einstein.A partirdesindications du chap.4selonlesquelles l'espace-temps l'chelle dePlanckdevraittrevucommesoumislaconditionKMS, nouspostulonsdemanirenaturellel'existencededeuxpotentielsgravitationnelsdistincts.Nousconjecturonsalorsqu'ensupergravitR+R2(etenN=2),l'approximation linarise de lamtriquede Schwartzschildpeuttre considrecommeunesolutionlocale exactede la thorie tendue. Nous en tirons la conjecture 4.1.1 selonlaquellelaprsencede termesnonlinaires R2 dansle Lagrangien effectif de supergravit peut autoriser lasuperposition(3,1)/(4,0)de lasignaturede lamtriquepartir de l'chelle de PlanckINTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________VIAu deuximeparagraphedu chap.5,nousprcisons lecontenudu Lagrangienquadratiquequi nousparat leplusnaturellement adapt aux conditions de trs hautes courbures de la varit,lorsque l'chelle lPlanck(i.e.pourdes chelles de longueur"infrieures"lalongueurde Planck).Notonsqu'au sensstrict,lanotion"infrieurlalongueur de Planck" n'a plusde signification en termes de distance,en raison mme de la perturbation portantsurlamtrique Lorentzienne. Notre Lagrangien tendu est donc :Lsupergravit= R1g2R2 RR* (0.13)avec une composante physique Lorentzienne (le terme d'Einstein R)etunecomposante topologiqueEuclidienne(letermetopologique RR*).L'interpolationentrecesdeuxcomposantes,selonunmcanismequenoussuggrons ci-dessous, nous incite donc considrer que Lsupergravitdcrit correctementlesdeux ples(physique ettopologique) d'une mmethorie (la superposition) ainsi que les deux mtriques associes.Nous indiquons ainsi qu' la limite d'chelle = 0,la thorie, de dimension D = 4,rduite RR*,domine pardes instantonsgravitationnelsde dimension0,peuttrevuecommepurementtopologique.Danscesecteur,lamtriqueeststatique,dfiniepositiveEuclidienne(++++).Ledomainedevaliditdel'volutionEuclidiennes'tend jusqu' l'chelle de Planck ~ lPlanck.Au del de l'chelle de Planck ( lPlanck), la thorie estde typeLorentzien etgalement de dimensionD=4.Enfin,danslesecteurdegravitquantique(0 lPlanck),lathorie, dfinie par la quantification du groupe de Lorentz,possdeunedimensionsupplmentaire (D=5),laquelleautorise la superpositiondes deux classes LorentzienneetEuclidienne(ce qui induitunephase de "superposition"des signatures (3, 1) (4, 0). La dynamique du pr-espace-tempscorrespondraitalorsl'expansiond'un monoplegravitationnel de dimension 5 tandis que la superposition peuttre associe(aprs compactification de laquatrimecoordonne spatiale du monople D = 5) une dualit monople-Instanton d'un genre nouveau en dimension 4.Enfin,lorsque lPlanck,l'espace-tempsentredanslaphaseLorentzienneconventionnelledel'expansioncosmologique.01.7 Apartirde l'approcheprcdente,nousentreprenonsd'approfondirauchap.6lanotiondesuperpositioneffective des mtriques. Pour cela, comme annonc en01.6,noussuggronsd'associerlesmtriques Lorentziennesdesconfigurationsgravitationnellesdutypemonoplesdet'Hooft-Polyakov[488]4dimensions.Cesmonoples de dimension 4 rsultent de lacompactification,auvoisinagede l'chelle de Planck(limiteinfra-rougede la thorie), de laquatrimecoordonnex4 du monoplede dimension5.Demme,nousassocionslamtriqueRiemannienne la configuration du type instantongravitationnel. Nous considrons alors que le i-dual de lathoriemonoplaire D = 4 (+ ++-) est la thorie topologique du typeinstantonD=4,de signature(++++).Danslecadre de la S/ T - dualit construite en thorie des cordes - o existe une dualit entre les champs T et S,lai-dualitmonople-instantonisodimensionelle(D=4)estpossible(ilconvientdenotericiquenotremodledesuperposition, de dimension D = 5,se situe dans le secteur de basse dimension de la thorie des cordes et,de ce fait,peut se voirappliquernombredesesrsultats).Noussuggronsalorsque lamtriqueEuclidiennepeutavoiruneexistenceeffectiveentrel'chelle0etl'chelledePlancketn'xerceplusqu'uneffetpurementtopologiquel'chelle relativiste.Plus gnralement, partirdes S/T-dualits,noussuggronsque lesecteur physique (chellede Planck)etlesecteur topologique (chelle0)peuventtre vuscommerelisparunesymtriegnrale,dutypeU-dualitenthorie des cordes [282], telle que U = S T.Cette U-dualit (qui change la S-dualit entre couplages fortetfaibleavec la T-dualit) dfinit une dualit "de forme" (au sens de E.Verlinde[508]) entre l'originesingulireetlalimite"grandechelle" (chellede Planck)de lavarit,i.e.entre levide topologique(chelle0)etlevidephysique(chelle de Planck) de la thorie :Vide physique ( = Planck,monopole, (+ ++-)) U dualit Vide topologique ( = 0, instanton, (+ +++) )La U-dualit, rappele en 7.2.1,applique lesecteur physique de lathorie surlesecteur topologique etvice-versa.La limite topologique de dimension D = 4 correspond,selonnous,lalimitede tempraturedu systmephysiqueD = 3+1. Partant de la varit ferme M de dimension (3+1) et tant une varit lissede dimension3,l'invariantINTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________VIIZ(M)estdonnparlafonctiondepartitionZ,l'espacevectorielZ( )tantl'espacedeHilbertdelathorie.L'endomorphisme de Z( )donn par Z( xId)estalorsl'oprateur d'volutionentempsimaginaire e - H,avec =0surlalimitetopologiquenontrivialeassociel'invariantdesingularitTr(-1)s.Quoiquelathorietopologiquenesoitpasdynamique,ilexistenanmoinsunphnomnede"propagationtopologique"(outopologique), qui s'effectue suivant un cobordisme non trivial, analogue celui djtudi par M.Atiyah[50]dansunautrecontexte.Rappelonsiciqu'une"amplitudetopologique",ausensdeWitten[518],reprsenteuneinteraction, dans un systme,indpendante des distances entre les points du systme. Nous considrons au chapitre 7que lesamplitudes "physiques" (au sensde [24]) de lathorie topologique de lagravitationsontlesinvariantsdeDonaldson. Dece pointde vue,lesamplitudes considresimpliquentl'existenced'observablesnonlocales(quenous appelons "pseudo-observables", relies lasphre S3(bordde l'instantongravitationnelsinguliermunide latopologie de la boule B4).Dans la perspective ci-dessus, nous considrons donc l'existence,audelde l'chelle de supersymtrie,d'une chellede symtrieplushaute,unifiantlesdeux seulescomposantesdel'espace-tempsencorediffrenciesl'chelledePlanck : la direction genre espace et la direction genre temps. Il s'agtd'une symtrie de jauge,ralisant l'quivalenceentre lesquatredirections du champdejaugegravitationnelg La configurationdechampassocieestdutypeinstanton(super)gravitationnel de taille 0,construit par E.Witten en thorie de Yang et Mills [295] l'chelle=0de l'espace des modules d'instantons.Acetgard,unebonneimagedelasymtrieEuclidiennecorrespond,surlavarit Riemannienne sous-jacente de dimension4,une"entropietopologique" nulle,par oppostionaucas de lavarit Lorentzienne habituelle. En effet, l'entropie topologique h top(g)sur une varit M est :h top(g) limr 1r Log (# {/ g( ) R} )oestunegodsiquepriodiqueet g( )salongueurmesurepar lamtriqueg.Aprsent,surune4-varitmunie d' une mtrique dont la signature est Lorentzienne, l'entropie topologique du flot godsique est nonnulle.Eneffet, lasignature(3,1)deg surMconfreMunestructurehyperbolique.Or,selonG.Bessonetal[79-B.E.]toutevarit hyperboliqueXestunminimalocaldel'entropietopologiqueduflotgodsique.Parcontraste, sur une varit EuclidienneM0correspondantl'chelle 0de l'espace-temps, l'entropie topologique estnulle.Eneffet, s'agissantde labouleB4bord S3,ilatmontrparA.Katok[306-B.E.]quesonentropietopologique est nulle :h top(g)B4 = 0Parmilesconsquencesdelanullitdel'entropietopologiqueauvoisinagedel'originedel'espace-tempsM0,sachant que letauxde croissanceexponentielp()des orbitespriodiquessurunevaritMestgall'entropietopologique htop(), nous dduisons de h top(g)M0= 0que lesystmesous-jacent labouleB4reprsentantM0n'estpasunsystmedynamique.Plusprcisment,l'onmontrequ'ils'agt,justement,d'une"pseudo-dynamiqueEuclidienne", de natureergodique.Dansuntelcadrethorique,latransitiondesignatures'exprimealorsparlepassage d'une entropie topologique nulle une entropie non nulle.Pour conclure, il est intressant de remarquerque, horsmiscette dernireconsidration,l'onretrouve dans 01.6et01.7uneimageplusphysiquedecertainsdenosrsultatsacquisenq-dformation,notammentceuxsurlasemidualisation et les dualits d'algbres de Hopf sous-jacentes la transition de signature.INTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________VIII01.8Enquoinotreapprochepeut-elle,cestade,dbouchersurunesolutionpossibleduproblmedelaSingularit Initiale du modle cosmologique type "BigBang" ?Auchapitre 7,nousdiscutons notrereprsentationde l'chelle singulire0.Lasingularitinitiale,horsdeportedelathoriequantiquemaisbiendfinieparlathorie topologique des champs,peut donc tre regarde ici non en termes de divergencesde champsphysiques maisen termesde symtries de champs topologiques et d'invariants associs (comme lepremier invariantde Donaldson[178-179]) :I =( 1)n ii (0.14)L'une des insuffisances (sans doute la plusproccupante) du modle type "Big Bang"reste eneffet sonimpuissance fournir une image de l'origine singulire de l'espace-temps. Or,unersolutionpossiblede laSingularitInitiale,que nousproposonsauchapitre 7,estdeconsidrerquel'chelle0,quinepeutpastredcriteparlathoriephysique(perturbative)devraitl'treparlathorieduale(nonperturbative),detypetopologique.L'ondfinithabituellement, partir de Witten [518], la thorie topologique comme la quantification de zro, le Lagrangiende lathorie tant(i)soitunmode0,soit(ii)uneclassecaractristique

cn(V) d'unfibrvectorielV Mconstruitsurl'espace-temps.Nousproposonsalorsen(7.1.3)unenouvellelimitetopologique de lathorie,nontriviale, fonde non plussur H = 0 mais sur = 0 et donc indpendantede H.Lalimitetopologique ordinairede lathorie quantique des champs, dcrite par l'invariant de WittenZ = Tr(-1)nest donne par la limite de lafonctiondepartitionZ=Tr(-1)ne -H pourlesvaleursnulles(ouinvariantes)deH.Enrevanche,dansnotrecas,nouschoisissonsle mode 0 de l'chelle ( = 0). Alors Z devient (s reprsentant le nombre d'instantons de la thorie) :Z=0 = Tr (-1)s(0.15)Ce nouvel invariant, isomorphe l'invariant de Witten Z = Tr(-1)n, peut explicitementtre associ lasingularitinitialedu pr-espace-temps,atteintepourlavaleur =0de lafonctiondepartitiondestats.Nousproposonsd'appeler "invariant de singularit" ce nouvel invariant, associ l'instanton gravitationnel singulier de taille 0.L'onpeut alors tendre la dualit monople-instanton propose au chap. 6ensuggrantqu'une tellesymtriede dualitrelie l'anneau de cohomologieBRST(secteurphysique de lathorie)etl'anneaudecohomologiedel'espacedesmodulesdesinstantons(secteurtopologique).LesgroupesdecohomologieBRST[217],ayantpourformegnriqueHBRST(g)=ker QBRST(g)imQBRST(g 1)(0.16)nous considrons que la thorie topologique ralise alors l'injectiond'anneaux :HBRST g 0UkHBRSTgHmod(k) i 0 dkH(i)mod(k)(0.17)qui fournit un chemin injectif du mode physique dans le mode topologique. En termes d'observables

O i etde cyclesd'homologie

HiMmod dans l'espace des modules

Mmod des configurations du typeinstantonsgravitationnels[ (x)] sur les champs gravitationnels de la thorie, nous relevonsl'quivalence :

O 1O 2...O n#(H1H2... Hn) (0.18)o le secteur physique de la thorie est dcrit par les observables

O iet le secteur dual, de typetopologique,par lescycles d'homologie

HiMmod.L'oscillationde signature entre secteur physique etsecteur topologique estalorsinduite par ladivergenceUkjd4x ducourant-fantme[73][217]j .LorsqueU=0,commeiln'existepasd'espacede plongementpourl'espace des modules,noussuggrons(Ch.7)que lathorie estalorsprojete dans la branche de Coulomb,l'originede

Mmod,suruninstantonsingulierde taille0[524]que nousidentifionsl'espace-tempsl'chelle0.LathorieestramifiesurlesecteurpurementtopologiqueHi,lasignature correspondant ce secteur tantEuclidienne (+ +++).INTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________IX01.9 Nous suggrons alors,toujours au chap. 7, que l'imagede lasymtrie0,dcritepar legroupe de jaugenonbris du type SU(2) SU(2), est donne par le premier invariant de Donaldson [178][179],associ icil'exsitenced'une "amplitude topologique" caractrisantlathorie.Lorsqueladimensiondim del'espace desmodulesdesinstantonsest non nul, les invariants de Donaldson sontdonns par la fonction de corrlation de la thorie :Z(1 ... r) DX eSWk 1 ii1rWk i ii 1r (Dim k 0)(0.19)Or,notrersultatformelleplussurprenant estqu' l'chelle =0associe lalimitedeshautestempratures,l'espace des modules des instantonstant nul sur cette limite, la fonction de partition,donne parZ 0Tr(-1)seH (0.20)doit redonner le premier invariant de DonaldsonI =( 1)n ii,invariant topologique non polynomial, rduit un entier pour dim k = 0 [178].Cette limiteZ 0Tr(-1)sde la fonction de partition(0.19) correspondunesymtriegnralisede touslestatspossiblesde lamtrique,tousles tats instantoniques de g ,donns par lachargetopologique de l'instantongravitationnelsingulier,tantquivalentsl'chelle 0.Nousappelons"symtrie0"lasymtriegnralisecaractrisantl'chellesingulire0.L'approche ci-dessus -combine celle du chap. 6 tablissant,dans le cadre d'un modle,le couplage l'chelle dePlanck entre une gravit Euclidienne de dimension 3etun"target space"de dimension2(secteurscalaire)fournitune imagequalitative de lasingularitinitialed'espace-tempsentantqu'orbifodconique (ouconifold)GtellequeiR2Zn.Enlargissantcedernierpointdevue,uneapplicationconjecturaledelathoriedescyclesd'vanescence et polydres d'effondrement [326 B.E.] suggre nouveau que lalimitede lathorie Lorentzienneestpurement topologique.Eneffet, enthorie des effondrementsRiemannienetdespolydresd'vanescencedonnantdes cycles de singularit [419],ladgnrescencemtriquel'chelle 0concernenonpaslamtriqueEuclienne,bien dfinie, mais la mtrique Lorentzienne, dgnre sur cette limite.L'onpeutalorsconjecturerque lasignaturephysiquedevientvanescente(ausensdeMilnor[401])auvoisinagede0,lasignaturedominantetantRiemannienne.Noustironseneffetdetl'existenced'unpolydred'effondrement(oud'vanescence)auvoisinage de l'chelle 0 tel que la mtrique Lorentzienne s'effondresurlamtriqueRiemannienne (++++)autourdupointisolsingulier0.Nousretrouvonsicilanotiond'effondrementdeCheegeretGromov[419].Nosrecherchesprliminaires nousontpermisdeconstater que lathorie des polydresd'effondrementendimension4induitde manire naturelle d'une partl'existence d'un espacede superpositionde dimension5(correspondantlacomplexification de ladirectiontde lamtrique)et,d'autrepart,conduit unesolutionde laSingularitInitialecommelimiteRiemannienne de typeB4effondrsurunpoint,limiteducycled'effondrement d'unevaritdedimension 5.Bien que les dveloppements que nous avons effectucetgardnesoientpasinclusdans leprsenttravail, ila t pour nous encourageant de retrouver, par une touteautre voie,unestructure topologique analogue celle de l'instanton gravitationnel intervenant dans la thorie (la topologie de la boule B4).Noussuggronseneffetpourmodlegomtriquedel'instantonlabouleB4 borneparlasphreS3.Lapropagation de lasolutiondpendalorsdu supportde l'instantongravitationnel:auvoisinagedelalimite0,ilexisteuneaccumulation de lachargetopologique audessus du pointsingulierS0telleque ladensitdechargetopologique RR*;dans lasituationduale, correspondantl'tatfondamental,lesupportde l'inst antonesttendu l'infini et RR* 0.La transition de 0 l'infini est alorsdcritepar lestransformationsconformes de lasphre.INTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________X01.10Noshypothsesduchap8suggrentainsi,demanireconjecturale,l'existenced'unepremirephased'expansion purement topologique du pr-espace-temps, paramtre par la croissance de ladimensionde l'espace desmodulesdim etdcriteparla"pseudo-dynamique"Euclidienne.Cette"pseudo-dynamique"peuttrevueheuristiquement commeunaccroissementdu diamtrede l'espacedestatsd( )entempsEuclidien(dualdel'espace des observables en temps Lorentzien). Notre conjecture estque cette "dynamiqueEuclidienne"pourraittredcrite de manire naturelle par le flot des poids (au sensde Connes-Takesaki)del'algbre de typeII dcrivantlespseudo-tatsdelamtriquel'chelle=0.NousconjecturonsgalementqueleflotmodulaireEuclidienreprsentant l'volutiond'un systmeentempsimaginairepourraitcorrespondre unaccroissementde ladistancespectrale sparant les tats du systme.L'originede l'espace-temps peut,infine,trevuecommersultantdelabrisuredelasymtrietemps-espacel'chelle 0,brisure qui, bien en de de la brisure de supersymtrie l'chelle de Planck,engendre(i)l'mergencedutempscommedirectionprivilgie dans la4-gomtrieinitiale(ii)l'expansiontopologiquedupr-espace-tempsavant l'chelle de Planck et (iii) l'expansion physique au del de l'chelle de Planck.Enconclusiondu chap.8,noussuggronspartirdece qui prcdel'existence d'un"principe de singularit"quenous formulons ainsi :Principedesingularit:Toutpointdel'espace-tempsestrelilasingularitinitialeparunflottopologique.Le principe de singularit,dcoule ici de l'invariant de singularitZ 0Tr(-1)slequel repose surlefaitque lebordde l'espace-temps peuttre identifi aubordS3del'instantongravitationnelsingulier B4 de taille 0 reprsentant la singularit initiale de l'espace-temps. La propagation de lasingularitinitialeestinduite par l'existence d'une amplitude topologique -du typechargedel'instantongravitationnelsingulierdetaille0,soitQ d4x R R,dtectablesurlebord S3del'instantongravitationnelsinguliermunidelatopologie B4.Les pseudo-observables sonticiinterprts commecocycles surl'espace des modules des instantonsetsontassociesauxcycles idela4-varitB4(applicationdeDonaldson).ConsidrantunpointXdeB4,l'amplitude topologique assurant la propagation de la charge instantonique prend alors la forme :

OS3 .O X#(S3, X)L'amplitude topologique de lathorie estdonnepar lespseudo-observablesdu membredegauche,tandisquelemembre de droite dsigne le nombre d'intersections des i B4.La fonction#(S3, X) estnullesilepointXestsituhorsde lasphre S3 etvaut1siXestl'intrieurde S3 (i.e.siXB4),cas oilexisteuneamplitudetopologique.C'estdans cette perspective - et d'autres non voques dans ce prambule - que nousproposonsde considrerdans larecherche qui suitle "modle hypersymtrique" - i.e. symtrie dcrite par SO(4) et fonde, l'chelle singulire=0,sur l'quivalence des trois directions genre espace et de la direction genre temps dans la mtrique d'espace-temps- .INTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________XI01.12 La prsente thse est donc organise comme suit :Danslechapitre1,nousintroduisonsnosrsultatsentermesdegroupesclasiquesetsuggronsl'existenced'un"chemin"algbriquedans l'oscillationde signaturesde lamtrique:partirde (3,1)-resp.de(4,0)-speutvoluer vers (4, 0) - resp. vers (3,1) - mais jamais vers (2, 2).Danslechap.2,nousconstruisonsl'espacehomognesymtriquesusceptiblededcrirel'unificationdesdeuxgroupesLorentzienetRiemannien,ainsiquel'espacetopologiquequotient topdontl'onpeutattendreunereprsentation correcte de la superposition des deux mtriques Lorentzienne et Riemannienne. .Le chap.3contientnosprincipaux rsultats,acquisdans ledomaine des groupesquantiques.Nousavonsobtenucertainesconstructionsalgbriquesnouvelles,enparticulier,lesfamillesdeproduitsbicroisscocycliques.Cesconstructions explicitent la transition du groupe q-Euclidien verslegroupe q-Lorentzienainsique celle des espacessur lesquels agissent ces groupes.Au chap.4 nous abordons une approche plusphysique et suggrons que l'espace-temps pourrait treentatKMSl'chelle de Planck,d'o nous tirons que le paramtre temporel devrait alors tre considr comme complexe.Danscecas,lesfluctuationsquantiquesduchampdetempraturepourraientconstituerlasourcedesfluctuationsquantiques de la signature de la mtrique.Auchap.5,nousproposonsuneextensionde lagravit relativistepartirde l'chelle de Plancketadoptons unLagrangien de supergravit de la forme R+R2 +RR*.Dans ce nouveau cadre,lalimiteinfrarouge lPlanck,,la thorie est dcrite par le terme linaire en R(secteur Lorentzien) tandis que surlalimiteultraviolette 0,c'estle terme topologique RR* qui domine, la thorie ayant un contenu purementtopologique (secteur Euclidien).Au chap. 6,nous proposons une dualit nouvelle,isodimensionnelle,entre instantonsetmonoplesde dimension4.Larelationde dualit,l'chelle de Planck,entre ces deux configurations du champgravitationneldonneunebonne reprsentation semi-physique de la superposition des mtriques (3, 1) et (4, 0).Au chap. 7,nous indiquons une possible rsolution de la Singularit Initiale dans le cadrede lathorie topologiquede Witten (Euclidienne), duale de lathoriephysique (Lorentzienne).LaSingularitInitialepeutalorstre rsoluesous la forme d'un instantongravitationnel singulier de taille 0.Au chap.8,nousdiscutons laquestion de l'expansionprimordialedu pr-espace-temps,depuisl'chelle 0jusqu'l'chelle de Planck.Notre approche de la phase d'"expansion topologique" situe dans la rgion quantiquedu cne delumire est fonde sur des arguments algbriques (le flot des poids du facteur de type II associ l'chelle 0)ainsiquesurdesrsultatslislathoriedesinstantons(enparticulierlaminimisationdeladensitdechargetopologiquedivergentedel'instantonsingulierdetaille0).Nousnononsenconclusionun"PrincipedeSingularit"fondsurl'existence d'amplitudestopologiques,de porte par constructioninfinie,ayantpoursourcel'chelle 0 de l'espace-temps.Enfin,nous proposons,outre les rfrences cites dans le corps de notrerecherche,unebibliographieindicativetrsexhaustive,rassemblantnombredepublication(environcinqcentsrfrences)qui,directementmaisaussiindirectement, nousontparu apporterdes contributionsde natureformerlesbasesd'unethorievenirdelasuperposition de la signature de l'espace-temps l'chelle de Planck.INTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________XII

Chapitre 1Domaine de Fluctuation de la Signature__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - 1 -1 DOMAINE (3, 1)(4, 0) DES FLUCTUATIONS DE LA SIGNATURENous suggrons ici l'existence d'un "chemin" algbrique dans l'oscillation de signature sde lamtrique:partirde(3, 1) - resp. de (4, 0) - nous indiquons que s peut voluer vers(4,0)-resp.vers(3,1)-maisjamaisvers(2,2).De mme, partir de (2, 2), s ne peutjamaisvoluer vers(3,1)ouvers(4,0).Lafluctuationde signatureparaitsubirainsiunconfinementauxdeuxformes(3,1)et(4,0),dansleslimitesd'un"domainedefluctuation"dpendant de contraintes algbriques. 1.1CLASSE COMMUNE DE SIGNATURE (3, 1) (4, 0)Nous commenons par remarquer que (3,1)et(4,0)appartiennent une"classe de signatures"commune,lieaugroupe fondamental 1 = /2commun au deux groupes, la diffrence de (2, 2). Remarque 1.1.1 SO(3,1)etSO(4)appartiennent la mmeclasse fondamentale,l'unetl'autrepossdant, encommun avec SO(3), le mme groupe fondamental 1= / 2 deux lments.SO(2, 2) a pour 1=une infinit d'lments, et n'appartient pas la mme classefondamentale. Commerappel en [405], les 1 de SO(3,1) et SO(4) sontidentiques - 1(SO(3, 1)) =1(SO(4)) = / 2 ce quin'estpaslecas de SO(2,2),dont legroupe fondamentalest .Ilestimpossiblededformercontinment/2vers .(3, 1) (4, 0) (2, 2). Nousmontronsprsentque /2estgalementlegroupefondamentaldel'espacehomognesymtriquecorrespondant l'unification gnralise (dans l'esprit de M. Flato) de SO(3,1) et de SO(4).Proposition1.1.2 L'espacehomognesymtrique h = SO(3 ,1) SO (4)SO (3) reprsentantl'unificationentrele groupe de Lorentz et le groupe Euclidien a le mme groupe fondamental que SO(3, 1) et SO(4), soit / 2.Note:Nousutilisonsiciunenotationusuelleenphysique exprimant,auniveaudes groupes,leproduitdirectG Hpar leproduit tensorielGH.Ainsi, SO(3,1) SO(4)SO(3)s'crira SO(3,1) SO (4)SO (3). Apartirdelathorie d'unification des algbres de Lie propose par M. Flato[210],nousindiquons auchap.2(2.1.2,2.1.3)queh reprsente l'unification gnralise de SO(3, 1) et SO(4).Dmonstration L'onchoisituneidentification possiblede SO(3)commesous-groupe de SO(3,1)etde SO(4).Commenons par dfinir l'action de SO(3) sur le produit direct = SO(3,1) SO(4)(1.1)Chapitre 1Domaine de Fluctuation de la Signature__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - 2 - Soientleslmentsg1SO(3,1),g2SO(4)ethSO(3).SO(3)tantunsous-groupe communauxdeuxfacteursdu produit (1.1),nousavonsdonc unplongement"semi-diagonal"caractrispar uneactiongauchedeSO(3) sur le produit (1.1).Le couple (g1 ,g2) s'identifie alors :(g1 ,g2) h (h g1 ,g2 h-1) (1.2)L'actionen(1.2)dfinit unfibr principalde groupe structural SO(3),l'espace des orbitesde l'actiondehsurl'espacetotaltant.Dansnotreconstructiondufibr,l'espacetotalestSO(4)SO(3,1)),labaseestSO(3,1) SO (4)SO (3)et la fibre est SO(3). Or, cette construction du fibr est quivalente celle de R.MnimnetF. Testard [405] selonlaquelle, considrant le fibr principalG GH :G H FSO(4) so(3) SO(3,1)) (1.3)En effet, dans ce cas, le groupe SO(3)opre librement droite sur SO(4) SO(3,1)) par :(g2 ,g1) h (g2 h-1, hg1 )(1.4)et l'onmontre aisment que (1.2) est quivalent (1.4).L'espace des orbites SO(4) so(3) SO(3,1))estunevaritfibre au dessus de SO(4)SO(3) de groupe structural SO(3) etde fibre typeSO(4).Or,partant d'un fibr principalF, de base B et d' espace total T,x0 tant un pointde T et Fla fibre passant par F( x0), l'onconsidrelafibrationutile F T B. Alors,ila t tabli [405] l'existence de la suite exacte des i :...2(B, (x0))21(F( x0), (x0))i*1(T, (x0))*1(B, (x0))...10(F( x0), (x0))i00(T,x0) . . .(1.5)de sorte que dans le cas du fibr (1.3),avec B = SO(4)SO(3) = S3,F=(SO(3,1)etT=SO(4) so(3) SO(3,1)),nous avons la suite exacte :...2(S3)21(SO(3,1))i*1(T)*1(S3) (1.6)Or, d' aprs (405), 2(S3)=1(S3)= 0,ce qui implique ncessairement l'galit des deux termes mdians :1(SO(3,1))1(T)= 2et le groupe fondamental du fibr = SO(4) so(3) SO(3,1)) est donc : 1( ) = 2.(1.7) Commenousavonsmontrl'quivalenceentre (1.2)et(1.4),nousentironsdonc que legroupefondamentaldeh = SO(3,1) SO (4)SO (3) est bien 1 = 2,comme requis.Lersultatci-dessusauniveaudes groupesfondamentauxnousconduit considrerdans lasuitel'existenced'unchemin continu de revtement auquel est associe l'oscillation de signature (3,1)- (4,0).Chapitre 1Domaine de Fluctuation de la Signature__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - 3 -1.1.3Fluctuation de signature et chemin de revtements universelsNous suggrons l'existence d'un "revtement de superposition" d'ordre 2,susceptible de contenir alternativement soitle revtement universel de SO(3,1), soit le revtement universel de SO(4).Enrevanche,ce revtement d'ordre2nepeut tre ramifi sur le revtement de SO(2,2).Remarque1.1.4Le revtement universel du fibrh = SO(3,1) SO (4)SO (3) dcrivantl'unificationgnraliseentre le groupe de LorentzSO(3, 1) et le groupe Euclidien SO(4) est { }() = SL(2, C) SU(2).Dmonstration Le revtement universel { } de SO(3,1) SO(4) s'crit :{ }{SO(3, 1) SO(4)} =SL(2,C) SU(2) SU(2)De mme :{ }(SO(3)) = SU(2)Or, partir (i) de l'actionsemi-diagonalede SO(3)surleproduit SO(3,1)SO(4)dfinieen(1.2),puis(ii)del'existence d'une bijection entre le 1 et le revtement universel deh et enfin (iii), du fait que le 1de hcalculen (1.1.2)est 2, nous pouvons conclure que le revtement universel{ }()deh= SO(3,1) SO (4)SO (3)est :{ }() = SL(2,C) SU(2)(1.8)comme requis.Considrons maintenantSL(2 , )~ SL(2 , )~ ,revtement universel de SO(2,2).Corollaire1.1.5Lafluctuationde signaturede la formequadratiqueLorentziennes'effectuel'intrieurduchemin de revtement{ }() d' ordre 2 ,simplement connexe, du typeSL(2, C) SU(2) susceptiblede seramifiersoit vers SL(2, C) soit vers SU(2) SU(2). { }() ne peutseramifierversSL(2 , )~ SL(2 , )~ ,revtementde SO(2, 2) d'ordre infini.Dmonstration.Le revtement universel de SO(3)estSU(2)~S3,decentre finietsimplementconnexe, celuide SO(3,1)est,topologiquement,SL(2,C)~S3 3,galementdecentrefinietsimplementconnexe(parnappe) tandisque celui de SO(4) est SU(2) SU(2) ~S3 S3 et prsente les mmes caractristiques. En revanche,{ }(2,2) = SL(2 , )~ SL(2 , )~ (1.9)auncentre infinietn'apasde ralisationmatricielle endimensionfinie-i.e.{ }(2,2) n'estpasungroupedematrices [242].Ilexistedonc entre { }(3,1)=SL(2,C)et{ }(4)=SU(2)SU(2)unchemincontinu,lilasimpleconnexitetl'ordre2desdeuxrevtementscits.Untelcheminprendlaformed'un"revtementdesuperposition", { }() = SL(2,C) SU(2)

d'ordre 2,simplementconnexe, contenant soit { }(3,1) soit { }(4). Note : SO(2,2) n'a pas de reprsentation matricielle, ce qui supprime la notionusuelle d'tat quantique.Remarque1.1.6AladiffrencedeSO(3,1)etSO(4),lerevtementuniverseldeSO(2,2),d'ordreinfini,n'admet pas de reprsentation matricielle. L'tat de signature (2,2) ne peut donc pas tre un tat quantique.Remarque Une reprsentation matricielle correspond ici une reprsentation de groupe de Lie.Chapitre 1Domaine de Fluctuation de la Signature__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - 4 -DmonstrationIlrsultede ladm.(1.1.5)que SO(3,1)etSO(4)ontchacun parbijectionunrevtementd'ordre 2 alors que le revtement de SO(2,2) est d'ordre infini:1(SO(3,1) Z/2Z

2 lments Z/2Z 1 (SO(4)){ }SL( 2,C) 2 lments{ }SU( 2) SU( 2)Au contraire, dans le cas de SO(2,2) :1(SO(2, 2)) Z Z infinit d'lments { }{SL(2,R)~SL(2,R)~} (1.10)LerevtementuniverselSL(2 , )~ SL(2 , )~ ,denoyauinfini,n'admetdoncpasdereprsentationsmatricielles,SL(2 , )~ SL(2 , )~ tant un groupe sans matrices. SO(2,2) n'admet donc pasde reprsentationprojective,celle-citantfournieparlareprsentationmatricielledesonrevtementuniversel.L'absencedereprsentationprojective supprimel'espace de Hilbertetnepermet pasde dfinirl'espace des tatsquantiques.Lethorme de Wigner [438]atablique lessymtriesde l'espaceprojectifproviennentdesoprateursunitairesdel'espace de Hilbert. L'absence d' espace projectif n'autorise pas la quantification en signature (2, 2). 1.2CHEMIN DE CONNEXITE ET DE LACETS (3, 1)(4, 0))Remarque 1.2.1 SOo(3, 1) et SO(4) possdent le mmeo.Soit le demi-cne de lumire orient du pass vers le futur. Il n'existe qu'une seule composante connexe - donneparo-dans l'espacesurlequel agtSOo (3,1).Demme,SO(4)entantque varitpossdegalementuneseulecomposanteconnexe. D'o : o{SOo(3, 1)}= o{SO(4)}CommeSO(2,2)adeux composantesconnexes,s'ilestpossiblede passer continmentde(3,1)(4,0)enlongeant la mme composante connexe, iln'existe pas de chemin continu de composantes connexes entre SOo(3,1)et SO(2,2) ou entre SO(4) et SO(2,2).La transition SO(3,1)SO(4) n'existe pas seulement en terme de connexit mais en terme d'espace de lacets.Proposition 1.2.2La dformation de la signature Lorentzienne s'effectue dans un espacede lacets correspondant une dformation continue de l'espacedes lacets(SO(3,1)vers(SO(4).Unedformationcontinuede ce typen'est pas possible vers(SO(2, 2) .Note Le symboledsigne ici l'espace des lacets.Elts de dmonstration.S'ilestpossiblede rtractersurunpointl'espace deslacetsdeSO(3,1),SO(4)etSO(3),cettetrivialisationn'existepaspourSO(2,2) ~SO(2)SO(2).Soientet lesespacestopologiquesassocisSO(3,1),SO(4)etSO(2,2).Or,etpeuventtrertractssurlepoint correspondantleursommet( apourunique pointrel sonsommet)etlesdeux espacesdelacetsassocispeuvent tre trivialiss. En revanche, SO(2,2) ~ S1 S1 et l'espace des lacets associ se contractesurletore,noncontractile sur un point. L' on a donc un homomorphisme local entreetqui ne peut tre tendu . Nous achevons sur la perspective d'un chemin d'oscillation en rgime q-dform.Chapitre 1Domaine de Fluctuation de la Signature__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - 5 -1.3 CHEMIN QANTIQUE DE FLUCTUATION (3, 1)q(4, 0)q Aux diffrentes contraintes surla fluctuation de signature vers (2, 2) observes en classique doivent correspondrelesobstructionsenrgime q-dform.Sansentrer dans ledtail des groupesquantiquesimpliqus,ilestpossibledefaire certaines remarques propos de ce que l'onpeut attendre.Premirement, nous remarquons que tandisque les reprsentationsirrductiblesde SO(3,1)etSO(4)-etdonc cellesdes groupes quantiques SOq(3, 1) et SOq(4)- sonttroitement lies, celle de SO(2,2) -et donc de SOq(2, 2)-,esttrsdiffrente.Nousallonsconsidrerauchapitre3l'quivalencealgbriquedesformesLorentzienneetEuclidiennecomme une possibilit d'effectuer une "transformation de jauge"[190]ou"q-twist" [377]des structures algbriquesde SOq(4) celles de SOq(3, 1)) (modulo les* - structures donnant les formes relles des groupesconcerns).Unetelle transformation de jauge est vue au chap. 3 comme un"chemin"dans l'espace des algbres de Hopf,cheminlelong duquelilestconcevableque peuts'effectuerl'volutionde lasignaturede lamtriqueentre lesdeux formes.Toutefois,l'onnedevraitpass'attendretrouver l'existence d'un telcheminendirectionde SOq(2,2).Enoutre,nous rencontrons mme une difficult au niveau des reprsentations fondamentales, qui suggrent :Conjecture 1.3.5 Il n' existe pas de q-dformationusuelle du revtement universel de SOq (2, 2).ArgumentsCommeSL(2 , )~ SL(2 , )~ estungroupenonlinaireetn'admetaucunereprsentationmatricielle, iln'est donc pas possible de construire saq-dformationl'aide de matrices de gnrteursde dimensionfine. En effet, la R-matrice ne peut pastre construitepartirdeSL(2 , )~ SL(2 , )~ etpar consquent, iln'existe aucune q-dformation usuelle du revtement universel de SOq(2 ,2). D'un autre pointde vue, pour qu'une dformation continue soit concevalbe, noussuggronsque lesrevtements desgroupesagissantsurlesespacessous-jacents doivent tre dformablesl'undansl'autre,l'intrieurd'unemmeclasse. Or, ilest impossible de dformer un revtement d' ordre 2 en un revtement d' ordreinfinietrciproquement.Nousentironsdonc qu'une dformationde signaturen'estpossiblequ'entrelesformes (3,1)et(4,0),souslemme groupe d'homotopie / 2, l'exclusion de (2, 2). Alors:Conjecture 1.3.6Le groupe fondamental 1= /2commun SO(3),SO(3,1)etSO(4),devraitresterrigide lors de la q-dformation de SO(3, 1) et / ou SO(4) et ne devrait donc pas tre dform vers,qui devraitrester rigide sous dformation de SO(2,2).La q-dformation ne modifiant pas les sous-groupes finis des groupes impliqus, (1.3.6)devrait donc tre valide.Apartirdesdirections qui prcdent,noussuggronsquel'oscillationdesignature(i)peutexisterenmiieuq-dformet(ii)unetelleoscillationdevraittre confine deux (etseulementdeux formes)possibles:laformeLorentzienne (3, 1) et la forme Euclienne (4, 0).Chapitre 2Algbre de Superposition de SO (3,1) et de SO (4)___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - 7 -2 ALGEBRE DE SUPERPOSITION DE SO(3, 1) ET DE SO(4)Notre objectif consiste icimettreenvidencequelquesproprits typiques de lasuperpositionentrelamtriqued'espace-tempsds(3,1)2 et celle de l'espace quadridimensionnel Euclidien ds(4)2. La mthode consiste unifier(dansl'esprit de M.Flato [210]) les deux algbres de Lieso(3,1)etso(4) associes auxdeux groupesSO(3,1)etSO(4)agissant sur 3,1 et sur 4.Danslasuite,en(2.3),nousmontronsqu'partirdel'espacehomognesymtrique h=SO(3,1) SO(4)SO(3)dcrivant l'unification des deux groupes Lorentzien et Riemannien, l'onpeut construire l'espace topologique quotienttop= 3, 1 4SO(3),espacetopologiquesparsusceptiblededcrirelapossiblesuperpositiondesdeuxmtriquesLorentzienneetRiemennienne.Nousmontronsque top comporteunpointsingulieruniqueScorrespondant l'origine de l'espace de superposition .2.1 L'ALGEBRE UNIFIANTE DE SO(3, 1) ET DE SO(4)2.1.1Unification d' algbre de LieDfinition 2.1.2 (Flato) . L'unification de deux algbres de Liesur unmmecorps commutatifKreprsentelasomme d'espaces vectoriels U =( ) + ( ' ) de deux adL( ) et( ') isomorphes respectivement et'.Unealgbre de Lie U est unifiante de 1, , nsil'on peut dterminerdes isomorphismes kde kdansU(k = 1. .. n ) tels que U = 1(1) +. ... + n (n ).Soit l'intersection {I}de 1 et2 :-si{I} {0}dim U 0(X1 0 et X2 0)(ii) dt= 0(X1 = 0 et X2 = 0)(iii)= 0(X1X1,X1X2, X2X1, X2X2 = 0)Ces trois cas engendrent trois domaines dans h : l'intrieur de la varit,sonbord etsonorigine.Selonque X1 etX2 sontcolinaires ou non,la dimension de l'orbite de l'action de SO(3) sur (1)3 ( 2)3 change :- siX1X2 (sont dans deux espaces diffrents), l'orbite de l'action de SO(3) sur (1)3 ( 2)3 est de dimension 3.- siX1 X2 (sont parallles), alors le stabilisateur d'une action gnrique estSO(2) et l'orbite est de dimension 2.- siX1 X2 = 0,alorsest de rang 0 et l'orbite de l'action de SO(3) est nulle.est symtrique et possde trois lments linairement indpendants :X1X1, X2X2etX1 X2 ( X1 X2tantgalX2X1).dterminedonc unhyperplan de 3.Danslamesure oX1etX2viventdansl'espacedesmatricessymtriques,l'enveloppelinairedelavaritestncessairementdedimension3.Cersultatimpliqueuneconsquencemajeure :lequotient (1)3 (2)3SO(3)correspondl'intrieurd'un cne tridimenisonnel { }3 de 3dont la frontire, donne par dt = 0,reprsente le bord bidimensionnel. Le cne { } admet alorsununique pointsingulier Ssommetdu cne, exprim lui-mme par la matrice nulle = 0 00 0. (i) CommeX1 et X 2 vivent dans deux espaces diffrents (les deux copies de 3), considrons le cas o ilsnesontpas parallles (donc non-colinaires), le dterminant detant dans ce cas toujourspositif.L'ingalitde Cauchy-Schwarz permet de poser, pour X1,X2 vectoriel V: |X1.X2| 0 et trace >0 h correspondl'intrieur tridimensionnel d' unChapitre 2Algbre de Superposition de SO (3,1) et de SO (4)___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - 11 -cne{ }3 lissedansR3,dontlebordestdonnpardt=0.Notonsquelaprojection( )exprimepar (1)3 (2)3SO(3) et conduisant de 6 3 dote l'intrieur du cne-cible de lamtriquedfiniepositive(+++).La signature du cne plein { }3 est donc =(+ ++).(ii) Si {X1 ,X2 } colinaires (et non nuls) : est de rang 1 et dt = 0dcrit le bord de h .Posons X1X1 = z +y , X2X2 = z - yet X1X2 = X2X1 = x.L'quation de { }3 correspondant dt0prenddonc laforme :x2+y2-z20.L'imagede l'applicationenvoyant (1)3 ( 2)3dans l'espace des matricesestdonc le cne { }3 d'quationx2 +y2 - z20,cetteimage tantconserve sous l'action des homothties de centre S, sommetde la varit. Lebord{ }3de { }3 estmunide la signature ( ++), lasous-varit{ }3{ }3 hritantde larestrictionde lasignature(+++)de{ }3. Enfin,X1 = X2 = 0 implique que= 0 00 0 est de rang 0 et dt= 0dcritl'originede (1)3 ( 2)3,c' est dire le sommetdu cne { }3 correspondant au pointsingulier,singularit initialeetoriginedeh et du bord deh. Le fait de considrer X1 ou X2 alternativement nulsne modifie pas le rsultat gnral. En effet :X1 = 0 et X2 0= 0 00 X2X2 est de rang 1 et nous sommes renvoys au cas correspondant au bord deh.De mme pourX10etX2 =0.Dans les deux cas, dcrit alors l'enveloppe du cne { }3 .2.2.5Varit de superposition h { }3 RRappelonsque 31 ,1 (1)3 (2)3SO(3) .Comme (1)3 (2)3SO(3)estdcritparlecnetroisdimensions { }3 ,la varit31 ,1 5 dimensions rsulte donc du produit du cne { }3 par :31 ,1 { }3 .L'onadonc deux restrictionspossiblesde 31 ,1:E1={ }3 + etE2={ }3 -.{ }3 ,designature(+ ++ ), est diffomorphe un demi - cne 5 dimensions et admet le long des deux projectionsdeuxgomtries correspondant deux mtriques distinctes.Chapitre 2Algbre de Superposition de SO (3,1) et de SO (4)___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - 12 -2.2.6Sommet singulier du cne quantiqueX .L'origine de 31 ,1 correspond {X1 ,X2 } nuls := 0 00 0 est de rang 0 et dt=0dcritl'originede 3 3,i.e. le sommetdu cne { }3 correspondant au pointsingulier S0.Les deux cnes X 4 ={ }3 + etX 3,1 ={ }3 -ontlammeoriginesingulireSdans lagomtrieaffinedel'espace 4.S0hrited'unemtrique induite dfinie positive(+ +++) non fluctuante. En effet, considrons nouveau le produit gnraltop = (1)3 (2)3SO(3) Al'origineducnequantique,ilexistelepointsingulierS0correspondant (1)3 (2)3SO(3)=0.Or,auvoisinagedu pointsingulierS,lademi-droitegenre espace + inclutlademi-droitegenre temps-de sorteque (1)3 (2)3SO(3) au pointSdevient (1)3 (2)3SO(3) +,dont la signature prend la forme lie 3 + soit la forme Euclidienne (+ +++). Un autre argument est que, topologiquement, 3, 1 estinclusdans 4.Eneffet :4 - {1 point} = 4 - {Origine}3,1de sorte qu' l'chelle 0, 3,1 4.Noustrouvonsgalement lasignatureEuclidienneaupointSenconsidrantlasignaturede l'espacetangentaucne quantique en ce point. En effet, considrons SU(2) inclus dans SO(6) correspondant (1)3 ( 2)3ainsiquesonextensionpar.Unefoistablislesgnrateursdes deux adLconcernesetdeleurextensionpar,noustrouvonsqu' iln'existequ'une seuleextensioncontenue dansl'algbre de Liede SO(6).Nousprenonsalorssurcette extension unique la forme de Killing correspondante ainsi que sa restriction et nous trouvonsqu'elle estdfiniepositive(++++).L'espacetangentenSaucnequantiquedesuperpositionestdoncmunid'unesignatureEuclidienne (+ +++) correspondant la symtrie temps-espace en ce point. 133Q-DEFORMATION DE LASIGNATURE A L'ECHELLE DE PLANCKNousconsidronsdans ce chapitre lacontrainte impose surlasignaturede l'espace-temps parlagomtrienoncommutativedanslecontextedelaq-dformation.Ilatpropos[145][372]qu'auvoisinagedel'chelledePlanck,lagomtriedel'espace-tempsdevraittrepluttmodlisepardescoordonnesd'espace-tempsnoncommutatives,avec des symtriesnouvellesassociesauxgroupesquantiques[376].Ilexisteactuellementdesmodles naturels fonds sur les groupes quantiques standard Uq(so(4)) et Uq(so(3,1)),modles que nousconsidronsici,avec les q-espace-tempsassocis.Cesderniersonttdveloppsenparticulier par U.Carow-Watumaraetal[116],J.WessetB.Zumino[413],S.Majid [368][377][382]etd'autres.Ilnes'agtpasdesseulsmodlespossibles;toutefois,dansleprsentcontextedumoins,selonnosrsultatsdeschaps1et4,nouspouvonsconclure qu'en dimensionD=4,lesseulessignaturesnaturellesl'chelledePlancksontdesdformationsdessignaturesLorentzienne(+++-)etEuclidienne(++++).Cecisuggreque,pourtrecompatibleaveclagomtrie noncommutative,seullecasdelasuperpositiondessignatures(+++)devraittreenvisagl'chelle de la gravit quantique, le cas ultra-hyperbolique (+ +--)devanttre exclu.Nousmontronsceci du pointde vuede lasymtrieq-Lorentzienneau3.2etdu pointde vuedu q-espace-tempsassoci au3.4.Enmmetemps,nousobtenonsdanscecontextecertainesconstructionsalgbriquesnouvelles,motivesparlesconsidrations physiques dveloppes aux chaps 4,5et6.Enparticulier,nousavonsconstruitleproduit bicroiscocyclique de la forme gnraleM (H) = Hop Ho H est une algbre de Hopf du type groupe quantique et un 2-cocycle du type"twist".Unetelleconstructionetplusieurs autres du mme type sontinspires par l'ide d'unifierlessignaturesLorentzienneetEuclidienneauseind'une structure de groupe quantique unique, ce que nous parvenons faire sous la forme du nouveau produit bicroiscocycliqueUq(so(4))op Uq (so(3, 1))(3.1)Ceci est le principal rsultat de 3.3. En tant qu'algbre de Hopf, (3.1) est isomorpheauproduit tensoriel,cependantsa structure sous-jacente implique galement l'existence d'un double produit crois cocyclique de la forme possibleUq (so(3, 1))Uq (so(4))op*(3.2)quoique nous ne soyons pas parvenus une construction explicite de (3.2).Parailleurs,noussuggronsensection3.3que la "semidualisation" propose par S. Majid [360] [382] permet d'accder une description de la transitiondugroupe q-Euclidien vers le groupe q-Lorentzien :Uq(su(2))Uq(su(2))Uq(so(4))semidualisation Uq(su(2))*Uq(su(2)) ~ Uq(so(3, 1)).De mme, du pointde vue des q-espaces, l'onremarque en 3.4que latransitionde l'espace q-Euclidienl'espace q-Minkowslienpeuttrevuecommeunetransformationdedualitd'algbresdeHopf.Notonsqueladualitd'algbres de Hopf a t rapproche de la T- dualit en thorie des supercordes par C. Klimcik et P. Sevara [308].Detelles dualits d'algbres de Hopfdans lecontecte des produits bicroissontdjtproposes pourlaphysique l'chelledePlanckdans[356].Nosrsultatsdonnentainsiquelquesidesnouvellesproposdumcanismemathmatique sous-jacent au changement de signature. 14Enfin,bienque nosprincipaux rsultatssoientmathmatiques, remarquonsqu'ilatrcemmentsuggr[355]que la structure (non commutative) du q-espace-temps rsulte de manire naturelle des contraintes engendrespar lagravit quantique, avec q e2 ik 2, k6G2,tant la constante cosmologique.3. 1 PRELIMINAIRES : GROUPES QUANTIQUES ET GROUPES DE TRESSEEnprambule,nouseffectuonsquelquesrappels proposdesstructuresalgbriquesdestinesintervenirdansla q-dformation de la signature.Nouspartonsdes travaux de M.Jimbo[290]etV.G.Drinfeld[189].Unecogbre(complexe)estun-espacevectoriel H munid'un coproduit coassociatif C-linaire : H H H et d'une co-unit C-linaire:HC.Unebigbre complexe est consitue d'une algbre et d'une cogbre compatibles. Si une bigbre H est galement munied'une antipode S: H H telle quem Sid) o =m(idS) o =o,(o m reprsente le produit) alors H est une algbre de Hopf. Deux algbres de hopfHetH*sontdites dualesl'unede l'autre s'il existe une relation d'appariement telle que le produit et l'unitde l'une soient adjoints aucoproduit etla counit de l'autre. Lesantipodes de HetH*sontgalement adjoints.H*estledual algbriquede Hseulementdans le cas de dimension finie.Dfinition 3.1.1 (Drinfeld) Une algbre de Hopf quasitriangulaire est un couple (H,) o H est unebigbre et HHest tel que:(Id) = 13 23et(Id)R = 13 12.o h = ( h) -1 ,h H ,tant l'oprateur de transposition permet ladfinition du produittensorieldedeuxreprsentationsV1etV2deHetlacoassociativitde impliquel'existenced'unisomorphismenaturel(V1V2)V3V1V2V3).Sienoutreestcocommutatif, i.e. si = o, alors ilexiste un isomorphismenaturel V1V2 V2V1.PourunealgbredeHopfquasitriangulaire,ilexisteunisomorphismenaturelappeltresse,donnparl'actiondeetlapermutationusuelle.Ajoutonsquelorsque,surunealgbredeHopfHousursadualeH*,l'algbreestcommutative sous,alors H est un groupe quantique strict.Il est galement naturel de chercher affaiblir la condition de coassociativit sur par uneconjugaisonconduisant une "quasi-algbre de Hopf".Dfinition 3.1.2(Drinfeld)Unequasi-algbrede Hopf(H, ,,S, )estunealgbredeHopfnonncessairement coassociative (H,, ) munie d'un lment inversiblede HH Htel que :( d )(h) =(d) (h) ] -1d d] [ ( d d d d d d , h H; o HHH satisfaisant des axiomes additionnels comprenant les lmentsd'unit, de counit et d'antipode. Il exixtegalementune notionde structurequasitriangulaire .A partir de (3.1.2), nous utilisons la notionde "twisting" introduite par Drinfeld [190] : 15Dfinition 3.1.4 (Drinfeld)Soit (H,)unealgbrede Hopfquasitriangulaireetsoitun2-cocycle counital.Alorsilexiste une nouvelle algbre de Hopf (H ,),rsultantdu twistde Hetdfinie parlesmmesalgbreetcounit et parh =h=S h = U(Sh) Upour touth H .Ici, U =So(1) (2) et les sommations sontcomprises.Considrant maintenant les formes relles - ou* - structures - associes auxq-groupes, nousrappelons ladfinitiond'une * - algbre de Hopf [382].Dfinition 3.1.5 (Woronowicz)Une *-algbrede HopfestunealgbredeHopfHsurquiped'uneinvolution antilinaire*telle que h* = (h)** ,(S o *) 2 = Idet (h*) = (h)olesymbole dnotela conjugaisoncomplexedans.Deux *-algbresdeHopfHetH*sontditescouples dualement s'ilexiste un couplage bilinaired'algbres de Hopf tel que :*, h , (Sh)* , h H,H *.Une*-algbre de Hopf quasitriangulaire est dite de type rel[382] si **=( ).Elleestde type"anti-rel" lorsque **= 1Laconstructiondesgroupesdeq-PoincarLorentzienetEuclidienimpliquentgalementunestructureetuneopration dfinies par Majid : les groupes de tresse [369] et la bosonisation[363].Dfinition 3.1.6 (Majid)Un groupe tress B (ou une algbre de Hopftresse)estdfini commeunealgbredeHopf quipe du coproduit: B B B o B B n'est plusle produit tensoriel dalgbres usuel mais unproduittensoriel tress tel que(ab) (c d) : = a (b c) doestloprateurdetresse-transposition.L'onrequiertgalementl'existenced'unecounittresseetd'uneantipode tresseS.Nous munissons maintenant les groupes de tresses utiliss dans la suite dune --structure.Dfinition 3.1.7(Majid) Un- groupe tress est un groupe tress B tel que B est une-algbre et( ) o = oo,( )o ,oS =S o .tanticilatranspositionusuelle.SiBestungroupedetressesquelconquedansunecatgorietressedeH-modules, B est un- groupe de tresse et H une * -algbre de Hopf agissantunitairement.Alorsla"bosonisation"(cf. [382])de B, sous la forme du groupe quantiqueB > H,n'est ni quasitriangulaire ni une *-algbre de Hopfmais est unequasi - * - algbre de Hopf comprenant Bet H commesous- *-algbres [379].Nouseffectuonscette construction en 3.4.9. 163.2QUANTIFICATION DU GROUPE DE LORENTZ ET DOUBLE SIGNATURENous commenons par la description de Uq(so(4)) et Uq(so(3,1)) [388]en tant que * - algbres de Hopf[379].Dansles diffrentes constructions, nous utilisons Uq(su(2)), algbre non commutative engendre par [189][290] :1 , X+ ,X - ,qH2 , q H2avec les relationsqH2qH21 , qH2 X q H2q1X, [X,X ] =qHq-Hq - q-1. (3.2)Les rel. (3.2)engendrent une algbre de Hopf telle que : qH2qH2qH2 , X X q H2q H2X ,avec qH21,X = 0 ,SX = - q1X , SqH2qH2Ilatmontrque surC[[t]],HetX peuventtreconsidrscommedesgnrateurs,lalgbredeHopftantquasitriangulaire avec les relations : = qH H2(1 q-2)n[n]!n= 0 (q H2X+q H2X )nqn(n-1)2 , [n] =qnq- nq -q-1 (3.3)avec [n] ! = [n] [ n - 1] ... [1] .H est quasitriangulaire rel avec q rel et la * - structureX*X , H*HRemarquons dans des formules telles que (3.3) la necessit de trouver lesproduitscompletsappropris.Toutefois,enutilisantlesalgbresde Hopfduales, toutesnosconstructionspeuventtrerenduescompltementalgbriques.Pour cette raison, nous n'allonspas discuter une telle compltude explicitement.A prsent, la thorie des groupes quantiques [382] nous donne :Uq(so(4))=Uq(su(2)) Uq(su(2)) comme algbre Uq(su(2)) Uq(su(2))comme cogbre(3.4)correspondantSO(4)commeproduitdirectdedeuxcopiesdeSO(3).Enrevanche,ladescriptionnaturelledeUq(so(3,1) est fonde sur la dcomposition d' Iwasawa, exprime par le double quantique de Drinfeld [189]:Uq(so(3,1) =(Uq(su(2)) = Uq(su(2)Uq(su(2)*op comme algbreUq(su(2)) Uq(su(2))*comme cogbre(3.5) 17Ici, Uq(su(2))* Uq(su(2)*) o su(2)* est l'algbre de Lie dualede Drinfeld, dualede su(2)entantque bigbre deLie. Il s'agtd'une algbre de Lie tridimensionnelle soluble, correspondant classiquement SL(2,C)=SU(2) SU(2)*op, o SU(2)*op est le groupe de Lie soluble dont l'algbre de Lie est su(2)*op.A premire vue, les deux groupes quantiques (3.4) et (3.5) paraissent trs diffrents. Commeles axiomes d'algbresdeHopfunifientl'algbre etlacogbredans lammestructured'adH,l'onpourraitesprerassocierlaconfigurationEuclidienne l'algbreet la configuration Lorentzienne lacogbretwiste(possiblement).L'analyse montrequecen'estpourtantpaslecas.Toutefois,notrepremierrsultatestquelesconfigurationsEuclidienneetLorentzienneadmettent unedescription quivalenteetsontconstruitessurlammealgbre,avecdeuxcoproduitsdiffrents. D'o:Proposition3.2.1Soient l'algbre de Hopf Euclidienne Uq(so(4)) et l'algbre de Hopf Lorentzienne (Uq(su(2)),isomorpheUq(so(3,1).LesdeuxalgbresdeHopfpossdentlammealgbreUq(su(2)Uq(su(2))etleurscogbres C1 = Uq(su(2) Uq(su(2)) et C2 = Uq(su(2) Uq(su(2)) sontrelies par twisting.Elts de dmonstrationL'on sait d'aprs [378] que pour une algbre de Hopf factorisableH(telleque Uq(su(2))),(H) H H,o dsigne un coproduit twist [189], not H H dans la constructiondu "carrtwist"de [432].Cetteforme de double quantiqueatappliqueq-Lorentzdans [368][382]. L'onpeutdonccrirepourl'adHEuclidienne :Uq(so(4)) Uq(su(2))Uq(su(2)) comme algbre Uq(su(2))Uq(su(2))commecogbre C1 (3. 6)Par contraste, l'adH Lorentzienne s' crit :Uq(so(3,1))=Uq(su(2) Uq(su(2) comme algbreUq(su(2))Uq(su(2))comme cogbre C2 =(Uq(su(2)) (3.7)L' on observe (i) que l'algbre Uq (su(2)) Uq (su(2)) est identique dans lesdeux cas Lorentzien etEuclidien et(ii)queC1etC2-etdonclesstructuresLorentzienneetEuclidienne-sontreliespartwisting,letwisttanticiisomorphe dans la cogbre. Plus prcisment, nous considrons =23H H H H commeun2-cocycledans HH o H = Uq(su(2)). Ceci donne le coproduitH H = 23 (H H ) 23-1comme requis. L' application du twisting par induit la modification de l'algbre de Hopfapproprieauchangement de signature.Enmmetemps,letwistingducoproduitdeHHenH Hparlaconjugaisoninduitunenon-cocommutativitsupplmentaireetestdummetypequelaquantificationdel'algbreenveloppanteclassique U(g)Uq(g)commetwistingde quasi-algbrede Hopfdans lathorie de Drinfeld[190].Danslelanguageduald'anneaudecoordonnes,unteltwistingintroduitunenoncocommutativitsupplmentairedansl'adHetestdirectementliauprocessus de quantification. Cecitablitlelienentrequantificationettransitiondelastructured'algbre de Hopf, de celle approprie lasignatureEuclidiennecelle correspondantlasignatureLorentzienne(etinversement).Nousallonsaussibienconsidrerultrieurmentlesdiffrentes *-structuresimpliquesdansnosconstructions.Celles-cinesontpassimplementreliespartwistingmaisontuneorigineplusprofonde.Pourl'instant,nousprocdons modulo les * - structures. Cependant, l'onnoteque lesstructures algbriquesci-dessussontlesstructuresappropries pourles *-structures dans lesdeux cas.Nousallonsmontrermaintenantqu'ilexisteuncheminun 18paramtre les reliant. Cecidoittre importantdu pointde vuedes oscillationsentre lesdeux secteurs Lorentzien etEuclidien.Proposition 3.2.2Lesdeux groupes qantiquesUq(so(3,1))etUq(so(4)) sontrelis de faon continueparunestructure de quasi-algbre de Hopf,modulo les*- strucutures.DmonstrationSoitU = Uq(so(4)). PosonsUq(so(4)) = Uq (su(2)) Uq (su(2))= (Uq (su(2)) Uq (su(2)) ) (3.8)etUq(so(3, 1)) = Uq (su(2)) Uq (su(2)) = (Uq (su(2)) Uq (su(2))) (3.9)avec = 23.Dans l' espace des lments de Uq (su(2)) Uq (su(2)), nous prenons t = 1 - t + t 23, de sorte quet = 0 cas Euclidient = 1 cas LorentzianSoit prsent un lment arbitraire inversible U U tel que Id( )= Id ( )= 1Apartirde l,nouspouvonseffectueruntwistde Uviadansunecatgoried'algbrequasi-Hopf,demanirepasser de l'algbre de HopfUl'algbre de HopfU par conjugaisondu coproduit par.Danscecas,Drinfeldamontr [190] que le coproduitn'est plusgnralement coassociatif, puisque( d )(h) =( d)(h) ] -1oest un lment inversible dans UUU donn par =C'est dire = 12 (Id)( ) (Id) ( ) -1 -123 Soit alors t = t.Ici 0 = 1 et l'on trouve galement que 1 = 1 (en utilisant les axiomes propres unestructurequasitriangulaire pour tablir que 1 = 23 est un cocycle). Mais t = t 1 unautre tgnrique.Dece pointde vue, les extrmits du chemin sontles algbres de HopfUq(so(4))(t = 0)etUq(so(3,1)(t = 1)Partantde Uq(so(4)),nouspouvonsainsiappliqueruntwistcette adH, correspondantt0.Ilenrsulteunefamille de quasi-algbres de Hopf, dfinies par la perte de la coassociativit, reliantUq(so(4)) et Uq (so(3,1)). RemarqueNousnotonsque lecheminque nousavonsindiqun'estnaturellementpasunique.Unautrecheminintressant consiste remplacer dans le cocycle par 19qH H2eq2(1 q2) qH2X qH2X(3.10)oeq2 reprsente les mmes sries de puissances qu'en (3.3),de sorte que :1comme dans le cas habituel,tandisque0qH H2Plus prcisment, nous prenonsq( 12)H H23

Ici, l'onpeut trouver que, dans le mme sens que pour dans [382] :( id)13 23et similairement pour(id ) .Remarquonsgalement que letwistingnemodifie paslescatgoriesde reprsentations, auxrelationsd'quivalenceprs. Puisque la reprsentation irrductible de SO(2,2)esttrsdiffrentede celles de SO(3,1)etde SO(4),l'onnepeut s'attendre l'existence d'aucun chemin d'volution de la signature,mmeenterme de quasi-algbresde Hopf,nientre Uq(so((2, 2)) et Uq(so(3, 1)), ni entreUq(so((2, 2)) et Uq(so(4)).3.2.3* - structures Euclidienne et LorentzienneNous sommesmaintenantprtsconsidrerles *-structures pourUq(so(4))etUq(so(3, 1)).Nousinterprtons letwisting ci-dessuscommeunesorted'"quivalencede jauge",dans lamesure oilnemodifie paslescatgoriesdereprsentations. Nousallonsvoirque lechangement de signatureneserduit passimplementuntelartefactdejauge, i.e. ne peut pas tre entirement expliqu par le twisting. Afin de construire convenablement lesdiffrentes *-structures impliques, nous allons effectuer une "transformation de jauge inverse" sur la * -structure de Uq(so(3,1)),de faon observer son allure en termes d'une algbre de Hopf qui sera la mme que celle de Uq(so(4)). De cette faon,nous allons voir que les deux * - structures correspondant auxalgbres q-Lorentzienneetq-Euclidiennesontlesdeuxseules possibilits naturelles dans ce contexte. Notons d'abord qu'en dehors du twisting, ilexiste unepetiteambiguitde S2 dans la structure de * - algbre de toute * - algbre de Hopf (classiquement S2 =1,de sorteque cette ambiguitn'est pas visible).Lemme 3.2.4 Si H est une * - algbre de Hopf muniede l'antipodeS,alors * nov=S-2o *= *oS2 formegalement une algbre de Hopf.DmonstrationCelle-ci est lmentaire puisque S2 est un automorphisme d'algbre de Hopf et que * o S = S-1 o *. Alors, (* nov )2 = S-2 o * o S-2 o *= * 2 = idet *novo S=S-1 o*novcomme requis. 20Demme,l'onpeutmaintenantsedemandercommentunetelletransformation de jaugemodifie les * -structurescorrespondantes.Lemme 3.2.5 (Majid) Soit H une* -algbre de Hopf etun 2-cocycle reltel que (S S) ( * *)=Le twist de la* - structure s crit* = (S - 1 U) ( (...) *) S - 1 U -1de sorte que H est galement une*- algbre de Hopf.Dmonstration Nousrappelons lapreuve de [382],utilisantlanotationde Sweedlerh =h(1)h(2),avec lasommation comprise. L'on poseU = (1) S (2) . Nous avonsU* = S-2U,et donc S - 1Uestauto-adjoint sous *.Le twist sur la * - structure donne (*) 2 = id et(S o *)2 = id. Alors l'onobtient, partir deS - 1 Udonndans [382] :(* *)( h S - 1U)- (1)* h*(1) (1)* S - 1 U-1S - 1U )- (2)* h*(2)(2) * S - 1 U - 1 concide avec o *(h)= (1) ( S - 1U) (1) h*(1)(S - 1U-1 )(1) - (1) (2) (S - 1U)(2) h*(2)(S - 1U-1 )(2)- (2)

comme requis. L'on a galement que est rel si est rel.Nous considrons prsent la * - structure correspondant Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)).Ilestconnu[382]que celles-ciconfrent Uq(so(3, 1))etUq(so(4))lastructure d'algbresde Hopfquasitriangulairesde typerel.Noussuggronsd'abord quil nexiste, sur Uq(su(2)) Uq(su(2)), que deux classes de * -structures diffrentes,que nousassocionsdemanirenaturelleUq(so(3,1))etUq(so(4)).Noussouhaitonsreleverlesvritablesdiffrencesentreles *-structures, modulo les "quivalences de jauge" mentionnes ci-dessus. En ce sens,nous suggrons :Lemma 3.2.6 Il existe sur Uq (su(2)) Uq (su(2)) deux - et seulementdeux - *-structuresnaturelles, que nousassocionsUq(so(3,1)) et Uq(so(4)).DmonstrationPar"naturel",nousentendonsicides structures de *-algbre de HopfconstruitessurHHpour toute *- algbre de Hopf H et utilisant seulement cette donne. Clairement, pour H H l'onadans ce senslesdeux possibilits :* * *4 =S-2 o * *Structure Euclidienne (3.11)et o (* *) * 3,1= 21{ o (* *)}121 StructureLorentzienne (3.12)L'onobserve alorsque (3.11),aprs leS-2additionnel, estla *-structure deUq(so(4))=Uq(su(2))Uq(su(2))adopte dans [382]. L'utilisation de S-2 o * est naturelle dans la mesure o en fait, la forme spinorielle de l'actionestpluscorrectement modlise par Uq(su(2))cop Uq(su(2)), qui devient Uq(su(2)) Uq(su(2)) par twisting.Cetextra-twist nous introduit S-2 .Le second cas est prcisment la * - structure de Uq(so(3, 1)) aprs twisting par = 23.Ceciparcequel'lmentUdans la thorie gnrale s'exprime dans notre cas sous la forme : 21 U = (1)SH H (2) = (1 (1)) (S ( 2) 1)=21

L' on peut galement vrifier queSH H U = Upuisque (S S) =. Cesrsultatssontlgrementpluspropressinouspassonsdesq-algbresenveloppantesauxq-algbresdecoordonnesi.e. aux* - algbres de Hopf duales. Dans ce cas, SOq(4) = SUq(2) SUq(2), oSUq(2) est legroupequantique de matrices 2 x 2 dual de Uq(su(2)) et dont la * - structure est plussimplement:*4 =* *(3.13)tandisque l'ona pour SOq(3, 1) :SOq(3, 1) = SUq(2)SUq(2)(3.14)par untwistingdual par un2-cocycleconstruitpartirdelastructurequasitriangulairedualedeSUq(2).Cettedescription peut aussi tre regard comme un double produit crois reli aux structures de produits bicroiss(cf.dans la suite) par semidualisation. Dans ce cas, la * - structure est simplement:*3,1 = o (* *)(3.15)Letwistingn'entre pasdirectementdanslesformulesdanslamesureolesrelationsavecles *-structuresdeUq(so(3, 1)) implique une antipode Squi possde le mme facteur de twisting que son*.Ceciconclutnosdiscussionsproposdes *-structures.Nousavonsobservlecaractre"naturel"(ausensde(3.2.4)) des * - structures de Uq(so(3, 1)), Uq(so(4)) et de leurs formes duales. Maisiln'existeaucune *-structuredonnant dans ce contexte, partir de Uq (su(2)) Uq (su(2)) (ou de son dual) Uq(so(2, 2)) (ou son dual). 3.3 UNIFICATION DES STRUCTURES Q-LORENTZIENNE ET Q-EUCLIDIENNEDanscette section,nousintroduisonsnotreprincipalrsultatdupointdevuemathmatique,consistantenunnouveau typede produit bicroiscocyclique,dont l'existence estmotivepar l'ide physique d'unifier lesgroupesquantiques Lorentzien et Euclidien.Nous utilisons la thorie des "produits bicroiss d'algbres de Hopf" HA,o H agt sur AetAcoagtsurH,thorie propose par S.Majid en connexion avec la physique l'chelle de Planck dans [359][360].L'algbre deHA est donne par le produit crois et la cogbre par lecoproduit crois.Cesconstructionsontt tendues pour inclure lescocyclesdans [359][382] etreprsentelasolutiongnraleauproblme del'extensionA E Hdans un contexte donn. Le cas que nous recherchons est lorsque l'unde cocycles est trivial. AlorsHA 22est un cas spcial de (6.3.9)dans [382] avec trivial et requiert les conditions suivantes:(i) A est un H-module algbrique droite par l'actiona h a hi.e. respectant le produit (ab) h (a h(1))(b h( 2))et 1 h 1 (h)(ii) H est un A-comodule cogbrique cocyclique gauche par une coaction cocyclique du type :(h) h( 1 )h(2 )i.e. telle que(id ) (h(1))12(h(2))12(h(1))( id) (h(2)) ( )( id) id respecte le coproduith( 1 )h(2 )h(1)(1 )h(2)(1 )h(1)(2 )h(2)(2 ) ( )(id ) (h) (h)et tant un cocycle dans le sens(id ) (h(1))((id ) (h(2))12(h(1))( id) (h(2))

(3.18)

( id) (id )(iii) Les actions et coactions sontcompatibles dans le sens(a h) (a) (h)(1) = 1 1,(1) 1 1et(A) (h(1)) (a h(2)) (a(1)h(2)(1 )a(2)h(2) (2 )( (h(3))`(B)(hg) h(1 )g(1)g(2) (1 )h(2 )g(2)(2 )`(C) h(1)(1 )(a h(2)) h(1)(2 )(a h(1)) h(2)( 1 )h(2)(2 )(D) (hg) ( (h(1))(1)g(1)) g(2) (1 )( (h(1))(2)g(2)(2 )) (g(3))Dans un tel cas, l'algbre de produit crois est(h a)(g b) hg(1)(a g(2))b

et la cogbre de coproduit crois cocyclique est 23(h a) (h(1)h(2)(1 )(h(3))(1)a(1)) (h(2) (2 )(h(3))(2)a(2)) (3.19) qui est connue [382] pour former une algbre de Hopf du type H ANous donnons prsent un important exemple de produit miroir munidu twist :Proposition 3.3.1(Majid)Il existe un "produit miroir"[360] de la forme M(H) = HopHavec les coactions adjointesa h h(1)aSh(2) , a H,h Hop(h) h(1)Sh(3)h(2),h HopEntantqu'algbrede Hopf,M(H) estisomorpheHopH;toutefois,sonimportance estdue aufaitquel'onobtient, par "semi-dualisation" [382]:HopH HHop *Il s'agtd'une version du double de Drinfeld de H,object beaucoup pluscompliqu que son quivalent M(H).Nousprsentonsmaintenantnotrenouveaursultat:unegnralisationduproduitmiroirlorsquel'unedescomposantes du produit est remplac par un twist.Thorme3.3.2SoitHHun2-cocycleetsoitH l'algbredeHopftwistedeDrinfeldassociel'algbre de Hopf H.Alorsilexiste un produit bicrois cocyclique de la formeM (H) = Hop Ho a h h(1)aSh(2) (h) h(1)Sh(3)h(2)comme prcdemment mais prsent avec le cocycle(h) h(1)(1)Sh(4)(1)h(2)(2)Sh(3)(2)et donnant une extension des algbres de HopfH M (H) HopEn outre,M (H) HopHen tant qu'algbre de Hopf parh(1)h(2)a| h aDmonstration Nousvrifionslesconditionspourleproduit bicroiscocycliqueHopH avectelqu'nonc ci-dessus. Notons que Hopjouelerlede Hdans lathorie gnraleetH lerlede A.Ici,Hestunealgbre de Hopfquelconque.Donc,H alammealgbre que Hetreste unHop -module algbrique,commelaforme usuelle M(H) = Hop H.Ensuite,l'ona : 24(id ) (h(1))12(h(2)) (h(1) (1)Sh(1) (3)h(1)(2) (1)Sh(1) (2)(3)h(1) (2) (2))12(h(2)) = h(1) (1)Sh(1) (3)h(2 )(1)Sh(5)(1)h(1) (2) (1)Sh(1)(2) (3)h(3)(2)Sh(4)(2)h(1) (2 )(2) = h(1)Sh(5)h(6)(1)Sh(9)(1)h(2 )Sh(4)h(7)(2)Sh(8)(2 )h(3) = h(1)(1)Sh(5)(1)h(2)(2)Sh(4)(2)h(3)tandisque12(h(1))( id) (h(2))12(h(1))((1)h(2 )(1) (1)Sh(2) (3) (2)(1) (2)h(2) (1)(2)Sh(2)(3) (1)(2)h(2) (2 ))

h(1) (1)(1)Sh(1) (4)h(2) (1) (1)Sh(2)(3) (2)(1)h(1) (2)(2 )Sh(1)(3)h(2) (1)(2)Sh(2 )(3)(1)(2)h(2)(2)

h(1)(1)Sh(4)h(5)Sh(9)(1)h(2 )(2)Sh(3)h(6)Sh(8)(2)h(7) h(1)(1)Sh(5)(1)h(2)(2)Sh(4)(2)h(3)comme requis. Nous avons utilis ici les proprits lmentaires des algbres de Hopfetlesnotationsde Sweedlerpour les coproduits. Aussi, en utilisant la proprit de cocycle de,ilest possibled'observerqueestuncocycledans le sens requis, de sorte que Hopdevient un H -comodule cocyclique. Il est immdiatement clair que lacoactioncocycliquersultante respectelecoproduit de Hop dans lamesure ocesapplicationssontlesmmesquepourM(H) = Hop H.Donc :(id ) (h(1))((id ) (h(2))) (h(1) (1)Sh(1) (3)(h(1)(2)))23((id ) (h(2)))231h(1) (1)Sh(1) (3)h(2) (1)(1)'Sh(2) (4)(1)'h(1) (2) (1)(1)Sh(1) (2)( 4)(h(2)(2)(2)'Sh(2) (3)(2 )')(1)(1)h(1) (2) (2)(2 )Sh(1)(2) (3)(h(2)(2 )(2)'Sh(2) (3)(2 )')(2)(2)h(1)Sh(6)h(7)(1)'Sh(12 )(1)'h(2)(1)Sh(5)h(8)(1)(2 )'Sh(11)(1)(2)' (1)h(3)(2)Sh(4)h(9)(2)(2)'Sh(10) (2 )(2 )' (2)h(1)(1)'Sh(6)(1)'h(2)(1)(1)(2)'Sh(5)(1)(2)' (1)h(3)(2) (2)(2)'Sh(4) (2)(2)' (2)

o'est une autre copie de, tandisque12(h(1))( id) (h(2))12(h(1))12( id) (h(2))121h(1) (1)(1)Sh(1) (4)(h(2) (1)(1)'Sh(2) (4)(1)')(1)(1)h(1) (2)(2)Sh(1) (3)(h(2) (1)(1)'Sh(2) (4)(1)')(2)(2)h(2) (2)(2)'Sh(2 )(3)(2)'h(1)(1)Sh(4)h(5)(1)(1)'Sh(10 ) (1)(1)' (1)h(2 )(2)Sh(3)h(6)(2)(1)'Sh(9)(2)(1)' (2)h(7)(2 )'Sh(8)(2)' 25h(1)(1) (1)(1)'Sh(6)(1)(1)' (1)h(2)(2 )(2)(1)'Sh(5) (2)(1)' (2 )h(3)(2)'Sh(4)(2)' ce qui estgall'expressionaudessus,cause de l'axiomede cocyclepouretsaversioncorrespondantepour1.Nous obtenons donc un coproduit crois cogbrique cocyclique de la forme HopHet un produit croisHop H Onpeutalorsvrifier lesconditionsde compatibilit(A)-(D)ci-dessuspourvoirque l'uneadmetune algbre de Hopf. Alternativement, l'onnote que l'ona un isomorphismed'algbre :HopH~ HopH (h a) h(1)h(2)a (3.20)parcequel'algbre estlammeque pourM(H) =HopH.L'onvrifie queestaussiunisomorphismedescogbres, prouvant donc que HopH est une algbre de Hopf. Ici, son coproduit crois est explicitement :(h a) h(1)h(2)(1)Sh(2 )(3)h(3) (1)(1)Sh(3) (4)a(1)(1)h(2) (2)h(3)(2 )(2)Sh(3) (3)a(2)(2)h(1)h(2)(1)Sh(6)a(1)(1)h(3)h(4)(2)Sh(5)a(2)(2)On laisse au lecteur le soinde vrifier que(h a) (h(1)(1)a(1)(1)h(2)(2)a(2 )(2))comme requis. Nous poursuivons en proposant une nouvelle description de Uq(so(4)) en termes de produit bicrois.Proposition 3.3.3Il existe une description nouvelle de Uq(so(4)) sous la forme du produit bicroisUq(su(2))Uq(su(2))Dmonstration L'on observe que le produit miroir usuel M{Uq(su(2))} {Uq(su(2))}op Uq(su(2))Uq-1 (su(2)) Uq(su(2))en tant qu'algbre de Hopf ne correspond pas exactement Uq(so(4)) = Uq(su(2)) Uq(su(2))Pour obtenir exactement la forme canoniqueci-dessus, nousdevons utilisernotrenouvelleconstructionentermesde produit bicroiscocycliqueavecH=Uq(su(2))opet= 1correspondantlastructurequasitriangulaireconsidre comme un cocycle sur {Uq(su(2))}op. obit l'axiome de cocycle puisque l'ona, dans Uq(su(2))12( id)12 13 23 = 23 13 12 23(id )o nous retrouvons l'quation de Yang-Baxter. Clairement, l'onaH = [Uq(su(2))op] {Uq(su(2))}op/cop {Uq(su(2))} 26par l'antipode (ici 1 est une structure quasitriangulaire sur {Uq(su(2))}op). L'on obtient alors leproduit bicroiscocycliqueUq(su(2))Uq(su(2))isomorphe Uq(su(2)) Uq(su(2)) = Uq(so(4)). Explicitement,le cocycle est :(h) h(1) opop (1)S1h(4) op (1)h(2 )op (2)S1h(3) op (2)comme lment de Uq(su(2))op/cop Uq(su(2))op/cop.En appliquant l'isomorphismeS: Uq(su(2))op/cop~ Uq(su(2))nous avons:(h) Sh(1)( 1)h(4)(1)Sh(2)(2)h(3)(2)Sh(1)h(3)Sh(2)h(4) (3.21)en termes de la structure d'algbre de Hopf de Uq(su(2)). Nous avons utilis la proprit de S S-invariancedeetles axiomes de quasitriangularit pour le coproduit.D'autre part, l'action sur Uq(su(2))op/cop a pour formea h h(1) op aop S1h(2)En termes d'action sur Uq(su(2)) l'ona:a h S(h(1)op S1aop S1h(2)) Sh(1)ah(2)

(3.22)Finallement, la coaction(h) h(1) op S1h(3)h(2)comme lment de Uq(su(2))op/cop Uq(su(2)) devient :(h) S(h(1) op S1h(3)) h(2 ) Sh(1)h(3)h(2) (3.23)

comme la coaction cocyclique gauche de Uq(su(2)). Notons que, bien qu'ayant utilislastructure quasitriangulairedans ladmonstration,celle-ci disparat dans lecours de la dmonstration. Cecisuggre qu'ilestpossiblede prouver que pourtoutealgbre de Hopfmunied'uneantipode inversible, l'ona H H H H par les (co)actions ci-dessus et le cocycle.D'o : 27Proposition 3.3.4Soit H une algbrede Hopfquelconquemunied'uneantipodebijective.Ilexisteunproduitbicrois cocycliqueH Hoa h Sh(1)a h(2)(h) Sh(1)h(3)h(2)(h) Sh(1)h(3)Sh(2)h(4)De plus, H H H H en tant qu'algbres de Hopf.Remarque Ces formules sontmotivies par la dm. ci-dessus maissontapplicables pourtoutealgbre de Hopf:l'onpeutvrifier directementceniveauaucoursdedveloppementssimilairesquenousavonsunecoactioncocyclique gauche etc. L'on note que est galement une coaction droite, mais sous l'effet du cocycle,celle-cidevient une coaction cocyclique gauche. Nous prouvons explicitement la dernire partie, soit : :HH ~ H H (hg) h(1)Sh(2)g (3.24)produit l'isomorphisme requis.DmonstrationIci le produit de HH est :(h a)(gb) hg(1)a g( 2)bhg(1)Sg(2)ag( 3)bet fournit l'isomorphismed'algbresrequis (cf.M(H) usuel[382]).Moinstrivial,lecoproduit deHHest :h a h(1)Sh(2) (1)h(2)(3)(h(3))(1)a(1)h(2) (2)(h(3))(2 )a(2)h(1)Sh(2)h(5)a(1)h(3)Sh(4 )h(6 )a(2)(3.25)et nous vrifions :(h a) h(1) (1)Sh(1) (2)h(1) (5)Sh(2 )(2)a(1)h(1) (3)Sh(1)(4)h(1) (6)Sh(2) (1)a(2)h(1)Sh(2)a(1)h(3)Sh(4)a(2)( )((h(1)a(1)) (h(2)a(2 )))( )H H(h a) (3.26)comme requis. Revenant notre construction gnrale M (H) = HopHnotre second exemple est avec H = Uq(so(4)). 28Proposition 3.3.5 lI existeun produit bicrois cocyclique de la formeUq(so(4))op Uq(so(3, 1))DmonstrationPartantdeH=Uq(su(2))Uq(su(2)),nousavonsiciHop=Uq(su(2))opUq(su(2))op,tandisque A = H = Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(so(3, 1)), o = 23 ,comme expliqu au 3.2. L'actionetla coaction sontalors :(a b) (h g) h(1)aSh(2)g(1)bSg(2)(h g) (h(1)g(1)).(Sh(3)Sg(3)) h(2)g(2)h(1)Sh(3)g(1)Sg(3)h(2)g(2) (3.27)est le produit tensoriel de l'action et de la coaction de la mme forme que ci-dessuspourchaquecopiede Uq(su(2)).D'autre part, le cocycle pourh,g Uq(su(2)) est : (h g) (h(1)g(1))(1(1))(Sh(4)Sg(4))(1(1))(h(2)g(2 ))((2)1)(Sh(3)Sg(3))((2)1) o le produit est dans H = Uq(su(2)) Uq(su(2)). Ceci donne :(h g) h(1)Sh(4 )g(1)(1)Sg(4)(1)h(2)(2)Sh(3)(2)g(2)Sg(3)h(1)Sh( 4)g(1)(1)Sg(2)(1)h(2)(2)Sh(3)(2)1 pour les structures explicites des produits bicroiss. Danslasectionsuivante,nousconsidronslatransformationdesemidualisation,destineclairercertainsmcanismes algbriques impliqus dans la transition LorentzienEuclidien.3.3.6Semidualisation des produits bicroiss cocycliquesCommeannonc au dbut de la section 3.3, nous allons construire ici la semidualisation des donnescorrespondant 29H AToutefois, la forme exacte de l'objetrsultant A*H demeure mystrieuse. Alors,enrapportant lesconditionsci-dessus aux lments de A* ,nous avons :Proposition 3.3.7La donne d'un produit bicrois H Aa la semidualisation suivante :deuxbigbres X et Htelles que(i) X est un H-module cogbrique gauche, i.e.(h x) h(1)x(1)h(2)x(2) et(h x) (h) (x)(ii) H est un X-module cogbrique cocyclique droite dans le sens nouveau :(h x) h(1)x(1)h(2)x(2)et (h x) (h) (x)(h(1)x(1)) y(1)(h(2), x(2), y(2)) (h(1), x(1), y(1)) h(2)(x(2)y(2))o(h(1)x(1), y(1), z(1)) (h(2), x(2), y(2)z(2)) (h(1), x(1), y(1)) (h(2), x(2)y(2 ), z(2))(h,1, x) (h, x,1) (h) (x)(iii) les deux adH tant compatibles dans le sensh 1 (h),1 1 x (x), (1, x, y) (x) (y)et(A) (h(1), x(1), y(1))h(2)(x(2)y(2)) h(1)x(1) (h(2)x(2)) y(B) (hg) x h (g(1)x(1))g(2)x(2)(C)h(2 )x(2 )h(1)x(1)h(1)x(1)h(2)x(2)(D)(hg, x, y) (h(1), g(1)x(1), (g(2 )x(2)) y(1)) (g(3), x(3), y(2))Remarque Il rsulte de ces donnesl'existence d'un certain typede double produit crois cocycliquede laformeX H,quoique nous n'ayons pas exactement identifi sastructure.Toutefois,partirde (ii),ilestclair qu'ildevrait s'agrd'une forme de quasi-algbrede Hopfduale, oleproduit seraitassociatif sousconjugaisonpar unefonctionnelleconstuite partir de.Demonstration Pourraliser lasemidualisation,l'onsupposequeAestdedimensionfinieetnousposonsX = A*.Ensuite,nous allons voir que les conditions rsutantes conservent leursignificationpourtoutX.D'abordle fait que A soit un H-module algbrique droite implique queX est un H-modulecogbriquegauche, enaccordavec 30a h, x a, h x x A* Ensuite,nous dfinissons sur HX X(h, x, y) x y, (h)etvrifionsque Hdevient unX-modulecogbriquedroite, commenonc. Ici,l'ctiondeXestdonneparlacoaction de A selon :h x x, h( 1 )h(2 ) h HPar exemple, valuant ( ) avec x y ,l'ona de manire quivalente :x y, (h(1)(1 )h(1)(2 ) (1 )) (h( 2)) h(1) (2 )(2 )x y,(h(1))(h(2)(1)(1 )h(2)(2)(2 )) h(2 )(2 )ou bien,en utilisant les dfinitions donnes et les axiomes de dualit d'algbres de Hopf :(h(1)

x(1)

) y(1)

(h(2 ), x(2), y(2)) (h(1), x(1), y(1)) h(2 )(x(2 )y(2))comme nonc dans la condition (ii).Similairement, (3.17) devient immdiatement telleque l'actionde Xrespectelecoproduit de Hcommenonc, tandisque(3.18)devient lacondition selonlaquelledevraittreuncocycle,comme nonc.Finalement,l'onsemidualise lesconditionsde compatibilit(A) et(D) .Concernant (B) et(C),ilssontdualissselon les formules [382]pourlesproduits bicroissusuels(lecocyclen'intervientpas).Pour(A),nousvaluonsavec x y pour obtenir(h(1), x(1), y(1)) x(2)y(2), a h(2) =x(1), a(1)h(1)y, a(2)(h(2)x(2))ou,en utilisant les dfinitions ci-dessus :(h(1), x(1), y(1)) h(2)(x(2)y(2 )), a h(1)x(1), a(1)(h(2)x(2)) y, a(2)(h(1)x(1))(h(2)x(2)) y, apour touta A,qui est la condition (A)- nonce. De mme pour (D). Aprsent,lasignificationde lasemidualisation est,selonnous,lasuivante.Toutd'abord,nousconsidronsleproduit miroir standardM(H) = HopH (sans cocycle). Alors :Proposition3.3.8Uq-1(su(2))Uq(su(2))Uq(su(2))opUq(su2) estreliparsemidualisationUq(su(2))Uq(su(2))op* D(Uq(su(2))). Alors,la semidualisation connectedonc uneversiondeUq(so(4))une version de Uq(so(3, 1)).DmonstrationIl s'agitd'un exemple de l'applicationoriginaledu produit miroirM(H) dans [360][382]afindecomprendre le double de Drinfeld. A partir des rsultats de la section (3.2),noussavonsque D(Uq(su(2)))est(lorsqueq 1)isomorpheUq(so(3, 1)).Parailleurs,Uq(su(2))op Uq-1(su(2))etdoncM(Uq(su(2))Uq-1(su(2)) Uq(su(2)), qui est uneversion de Uq(so(4)) = Uq(su(2)) Uq(su(2)) d'un autre type. 31Cependant,leproduitbicroisUq-1(su(2))Uq(su(2))nereprsentepasexactementlaversionstandarddeUq(so(4)). Pouravoirlaversioncanonique,nousdevons utilisernotreconstructionci-dessusdu cocycleM (H).Alors nous avons la semidualisation :Uq(su(2))Uq(su(2))Uq(so(4))semidualisation Uq(su(2))*Uq(su(2)) ~Uq(so(3, 1)) (3.28)olemembrededroitede(3.28)estuntypededoubleproduitcroiscocycliquereprsentantuneversiondeUq(so(3,1)).Decepointdevue,latransitiondeq-Euclidienq-Lorentzcorrespondunetransformationdesemidualisationetenmmetempsinduitl'introductiond'uncocycle.Delammefaon,leproduitbicroiscocyclique Uq(so(4))op Uq(so(3, 1))construit ci-dessus dfinit implicitementune sorte de double produit crois cocycliqueUq(so(4))op Uq(so(3, 1))Uq(so(4))semidualisation SOq(3, 1)Uq(so(4))op(3.29)oestconstruitpartirdequi,sontour,estconstruitpartirdelastructurequasitriangulairedeUq(su(2)).Naturellement, l'onpeut galement semidualiser partir des autres facteurspourconstruire certains typesde quasi-algbres de Hopf AH* ,associ H A.Cette fois,lacoaction cocycliquede AsurHestdualiseenune coaction cocyclique de A sur H* tandisque l'action de H sur A est remplace par une coaction de H* surA.Laconstructiondevient alorsgnrale,delaformeAY(oYjouelerledeH*).L'onobtientalorsdesexemples du typeUq(su(2))Uq(su(2))*,Uq(so(3, 1))SOq(4)copetc.,parsemidualisationdecetteforme. Ceux-ci sontduaux des constructions prcdentes.Aprs notretudedesstructuresdesgroupesquantiquesUq(so(4))etUq(so(3,1)),nousconsidronsprsentlatransition de signature entre le domaine Lorentzien et le domaine Euclidien du pointde vue de la"q-rotationde Wick"appliquelamtriquede l'espace-temps [377].Noustudions dans lasuitelesespaces q3, 1et q4surlesquelsagissent Uq(so(3, 1)) et Uq(so(4)). A partirdes travaux de Drinfeldsurletwistdes algbres de Hopf[190]voqusci-dessus, un2-cocycleappliqu surungroupe quantiquepermet de dformercelui-ci par"twisting".Or,lemmecocyclepeut tre utilispourtwisterl'quivalent de lastructure surlaquelleagtlegroupe.Cetteproprit permetdonc d'envisager la dformation de l'espace q-Minkowski en espace q-Euclidien et autorise le changement de signature,par q- rotation de Wick [377], de la mtrique associe. Ilconvientgalement ce stadede travailler avec lesgroupesquantiques de matrices SUq(2) dual de Uq(su(2)) etc..3.4DEFORMATION DE LA SIGNATURE DE LA METRIQUEDE L'ESPACE-TEMPSPAR TWISTINGAppliquons prsent les rsultats gnraux de Majid [377] ladformation(4,0)(3,1).Nousconstruisonsuneliaisonentre l'algbreA(R) correspondantlabigbre des matrices q- EuclidiennesetA(R) correspondantla 32bigbre des matrices quantiquesusuelles.Rtantunlmentde matrice MnMn,rappelonsqueA(R) estlabigbre "FRT" usuelle [382]:Proposition3.4.1(Majid)Lesystmecovariant{SUq(2)SUq(2),Mq(2)}rsulte de la dformationpartwisting du systme covariant{SUq(2)op SUq(2) ,Mq(2) }par le 2 - cocycledonn par( ( a b)(cd) = -1 ( ac)(b ) (d ).Ici, q4 =Mq(2) reprsente l'espace-tempsq-Euclidien, dcrit par l'algbre des matrices (2 x 2)quantiques.DmonstrationNousrappelonsicilescoordonnes.SoitR laR-matricedesl2.Labigbreassocie,noteMq(2), a la forme, partir de t = a bc d:ab = q - 1 ba , ac=q - 1 ca , bd = q - 1 db, cd = q - 1 dc,bc = cb , ad - da = (q - 1 - q) bc.Larelationadditionnellead -q-1bc=1donne legroupe quantiquesde coordonnesSUq(2), dualdeUq(su(2)).Lastructure quasitriangulaire ci-dessous dfinit la structure coquasitriangulaire : : SUq(2) SUq(2) Construisonsprsent ladformationde lalgbreci-dessuspar letwistde Drinfeld.Lastructurequasitriangulairedfinit un cocycle= -1 sur SUq(2)op.D'aprs les rsultats de Drinfeld sous leur forme duale [382],ladformationpar le2-cocycledonne SUq(2)op SUq(2).Appliquonscette dformationaupremier facteurde SUq(2)op SUq(2) :(SUq(2)op SUq (2)) = SUq(2)SUq(2) = SOq(4)(3.30)L'on doit galement dformertoutealgbre surlaquelleagtlenouveau groupe quantique.Mq(2)estdonc twistenMq(2) D'o le nouveau coproduit, avant identification des matrices de gnrateurs t aux gnrateurs "twists" (xi j ) :t i j. t k l = t a b t c dStiatb j)Stkctdl ) ) = Ri a k b t a j t b l(3.31) sit=x,lesrelationsentre lesdeuxclassesdegnrateursdeviennentx1x2 =Rt1t2,onousobtenonslesrelations correspondant lamatriceMq(2).Ilexisteaussiuncoproduit additionneltress surMq(2), galementtwistparselonc=c(1)(1 )c(2) ( 1 ) (c(1) ( 2 )c(2)(2 )) .Notonsqu'ausensstrict,nousdevrionseffectueruneextension centrale des groupes quantiques coagissantpourque Mq(2),Mq(2)soientstrictementdes groupestresssdans leur catgorie de comodule. Ceci explique la prsence du facteurdans l'quation ci-dessus [377] . L'algbre explicite q4Mq(2)que nous obtenons a pour gnrateurx =a bc davec les relationsba qab,ca q1ac,da ad,db q1bd dc qcd,bc cb (q q1)adtrssemblables(enfaitisomorphesouspermutationa c, b d )Mq(2)lui-mme.Nousprcisonsmaintenant la * - structures Euclidienne. 33Corollaire 3.4.2 La - structurede q4Mq(2)est a bc dd q1cqb aet concideavec cellede la-* - structure unitaire de Mq(2) sur l'identification des deux espaces vectoriels.DmonstrationCommenousl'avonsvudansladmonstrationci-dessus,Mq(2) estidentifiavecl'espacevectoriel de Mq(2) au niveau des gnrateurs x = t. Mais Mq(2) a une* - structure unitaire correspondantSUq(2) etnous l'adoptons pour surMq(2) .En accord avec la thorie gnrale [382], ceci engendre un-groupe de tresse.De manire quivalente, ilexiste une certaine * - structure sur Mq(2) de type unitaire(nonpaslaforme usuellemaisquivalente sur la limite q 1) telle que le twisting de ( ,Mq(2)) vu comme un groupe -tress souscoadditiontressepar le cocycle (comme pour la proposition(3.4.1.)) donne la-structure nonce. Unetroisimefaon estde noter l'isomorphismeMq(2)Mq(2) en tant qu'algbres. Ceci devient un isomorphismede *-algbres sil'onquippe Mq(2) avec la *- structurea bc dqd cb q1aqui, au signe - prs est une autre q-dformation de la * - structure de Mq(2) de type unitaire. Etant donne cette - structure, les coordonnes naturelles de l'espace-temps "hermitien"sont:ta d2i,za d2i,xc qb2 , yc qb2i (3.32)etl'lment du"q-dt