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Beltrame Stéphane Version 03.02

APTITUDE NUMERIQUE

IFSI

Table des matières 1 Opérations de base p 1 2 Nombres relatifs p 5 3 Division entière p 7 4 La décomposition en facteur(s) premier(s) d' un nombre entier p 11 5 Fraction p 13 6 Puissance p 20 7 Racine carrée p 22 8 Identités remarquables p 25 9 Développement / Factorisation p 26 10 Pourcentages p 28 11 Proportionnalité p 31 12 Mesures, Conversions d’unités p 34 13 Résolutions d’équations du premier degré à une inconnue p 38 14 Résolutions d’un système d’équations du premier degré p 38 à deux inconnues p 42

(a+b)² = a² + 2ab +b² (a-b)² = a² - 2ab + b² (a-b) (a+b) = a² - b²

cos²a + sin² a = 1


1

Les opérations de base 1 Les ensembles Il existe principalement 4 ensembles qui sont ceux avec lesquels nous travaillons le plus souvent. Ces ensembles sont : ℕ : ensemble des entiers naturels.

ℕ = {0,1,2,3,4,…,10,…} ℤ : ensemble des entiers relatifs.

ℤ = {…,-10,…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…,10,…} ℚ : ensemble des nombres rationnels (nombres pouvant se mettre sous forme de fraction).

ℚ = {…,-1/3,…,0,…,2/3,…,2,…}

1 appartient à ℚ car 1 = 1/1, de même, 2 = 2/1 et ainsi de suite pour tous les entiers. ℝ : ensemble des nombres réels.

ℝ = {…,-200,…,-5/2,…,-3,…,0,…,∏,…, 27 ,…} Il ne faut pas oublier que : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ (où ⊂ signifie est inclus dans)

Exemple : 2 appartient à ℕ donc à ℤ , à ℚ et à ℝ .

∏ appartient à ℝ mais pas aux autres. �

ℕ

ℤℚ

ℝ


2

2 Les 4 opérations de base 1. Addition. Propriétés :

• Commutativité : l’addition de deux nombres réels est indépendante de l’ordre de ses termes.

Soient a et b, a + b = b + a Exemple : 5 + 3 = 3 + 5 8 = 8

• Associativité : quelques soient les entiers a, b, c : (a + b) + c = a + (b + c)

Exemple : (3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5)

5 + 5 = 3 + 7 10 = 10

Techniques opératoires

Somme de deux nombres sans retenue

3 2 3 + 4 6 5 7 8 8

unité 3 + 5 =8 dizaine 2 + 6 = 8 centaine 3 + 7 = 8

Somme de deux nombres avec retenue 1

1 9 9 1 + 1 0 3 4 2 0 2 5 unité 1 + 4 = 5 dizaine 9 + 3 = 12 soit 2 dizaines et 1 centaine centaine 9 + 1 (retenue) = 10 soit 0 centaines et 1 millier millier 1 + 1(retenue) = 2 milliers


3

2. Soustraction. Cette méthode de calcul sera abordée en détails dans le chapitre concernant les nombres relatifs. Technique opératoire Exemple :

8 11 8 - 6 4 4 1 7 4

8 – 4 = 4 11 – 4 = 7 8 – 6 –1 = 1 3. Multiplication. Propriétés : • Commutativité : le produit de deux nombres réels est indépendant de l’ordre de ses

facteurs. Soient a et b, a x b = b x a

Exemple : 3 x 4 = 4 x 3 12 = 12

• Associativité : soient a,b,c : (a x b) x c = a x (b x c)

Exemple : (3 x 4) x 2 = 3 x (4 x 2)

12 x 2 = 3 x 8 24 = 24

Technique opératoire 1 4 8

x 2 3 4 4 4 3 x 148 = 444

2 9 6 . 2 x 148 = 296 3 4 0 4

unité 4 + 0 = 4 dizaine 6 + 4 = 10 centaine 9 + 4 + 1 = 14 milliers 2 + 1 =3

Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

Soient a, b, c : a x (b + c) = a x b + a x c Exemple : 4 x (3 + 2) = 4 x 3 + 4 x 2 4 x 5 = 12 + 8 20 = 20


4

Règles de priorité La multiplication est prioritaire sur l’addition et la soustraction.

Exemple : 1 + 5 x 4 = 1 + (5 x 4) = 1 + 20 = 21 4. Division.

Dividende Diviseur

Reste Quotient

Règles de priorité La division est prioritaire sur l’addition et la soustraction.

Exemple : 3 - 4 : 2 = 3 - ( 4 :2) = 3 – 2 = 1

Technique opératoire

Exemple : 324 5 -30 64,8 24 -20 40 -40 0

5. Règles de priorité entre la division et la multiplication. Ces deux opérations ont le même ordre de priorité. Dans ce cas, les calculs s’effectuent dans le sens de la leture. Dans un calcul contenant des parenthèses et/ou des crochets, il faut d’abord effectuer les calculs dans ces parenthèses ou crochets en respectant les règles de priorité.


5

Nombres relatifs

1. Valeur absolue ou distance à zéro. La fonction distance à zéro (ou valeur absolue) de a est notée de la façon suivante | a | . Elle supprime le signe négatif du nombre a pour le rendre positif .En d'autres termes : | a | = a si a est positif Ex | 3 | = 3 | a | = - a si a est négatif Ex |-3 | = 3 2. Addition de deux nombres relatifs. 2.1 Nombres relatifs de même signe Tout d’abord, on reporte le signe commun aux deux nombres puis on additionne leurs distances à zéro (ou valeurs absolues). Exemples : (-13) + (-36) = - ( | -13 | + | -36 | ) = - ( 13 + 36 ) = - 49 (-24) + (- 52) = - ( | -24 | + | -52 | ) = - ( 24 + 52 ) = - 76 -17 – 123 = - ( | -17 | + | -123 | ) = - ( 17 + 123 ) = - 140 (+72) + (+12) = + ( | +72 | + | +12 | ) = + ( 72+12 ) = + 84 -39 – 58 = - ( | -39 | + | -58 | ) = - ( 39 + 58 ) = - 97 -56 – 32 = - ( | -56 | + | -32 | ) = - ( 56 + 32 ) = - 88 33 + 38 = + ( | 33 | + | 38 | ) = + ( 33 + 38 ) = + 71 - 25 - 45 = - (25 + 45 ) = - 70 - 137 – 110 = - (137 + 110 ) = - 247 - a – b = - ( | -a | + | -b | ) 2.2 Nombres relatifs de signe opposé (différent) Tout d’abord, on reporte le signe du nombre le plus grand ‘par rapport aux distances à zéro’ (ou le plus grand en valeur absolue) puis on soustrait la plus grande distance à zéro (plus grand nombre en valeur absolue) à la plus petite distance à zéro (au plus petit nombre en valeur absolue). Exemples : ( -15 ) + ( +7 ) = - ( | -15 | - | +7 | ) = - ( 15 – 7 ) = - 8 ( -36 ) + ( + 41) = + ( | +41 | - | -36 | ) = + ( 41 – 36 ) = + 5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6


6

23 – 44 = - ( | -44 | -| +23 | ) = - ( 44 – 23 ) = - 21 39 – 52 = - ( | -52 | - | +39 | ) = - ( 52 – 39 ) = - 13 -73 + 54 = - ( | -73 | - | +54 | ) = - ( 73 – 54 ) = - 19 -44 + 52 = + ( | +52 | - | -44 | ) = + ( 52 – 44 ) = + 8 70 –73 = - ( | -73 | - | +70 | ) = - ( 73 - 70 ) = - 3 - 45 + 12 = - ( | -45 | - | +12 | ) = - ( 45 -12 ) = - 33 3. Multiplication de deux nombres relatifs. 3.1 Nombres relatifs de même signe Il suffit de multiplier les deux nombres sans tenir compte des signes. Exemples : (-7) x (-8) = 7 x 8 = 56 (-7) x (-9) = 7 x 9 = 63 (+8) x (+9) = 8 x 9 = 72 -4 x (-8) = 4 x 8 = 32 3.2 Nombres relatifs de signe opposé (différent) On reporte le signe moins puis on multiplie ‘les distances à zéro’ (les valeurs absolues) des deux nombres. Exemples : (-8) x 8 = - ( | -8 | x | +8 | ) = - ( 8 x 8 ) = - 64 9 x (-6) = - ( | +9 | x | -6 | ) = - ( 9 x 6 ) = - 54 -7 x 6 = - ( | -7 | x | +6 | ) = - ( 7 x 6 ) = - 42 3.3 Règles des parenthèses - ( - a ) = + a = a Ex : - (-14) = +14 = 14 + (+ a ) = + a = a Ex : + (+72) = +72 = 72 - ( + b ) = - b Ex : - (+24) = -24 + (- b ) = - b Ex : + (-36) = -36 - ( a - b - c + d ) = - a + b + c – d Ex : - ( 2+3 +2 –4) = -2 –3 –2 +4 Quand il y a un signe moins devant une parenthèse, cela revient à enlever la parenthèse et à inverser les signes de chacun des nombres. + ( a - b - c + d ) = a - b - c + d Ex : + ( 2+3 +2 –4) = 2+3 +2 –4 Quand il y a un signe plus devant une parenthèse, cela revient uniquement à enlever la parenthèse.


7

Division entière Définition 1: Un nombre entier a est un diviseur du nombre entier b s’il existe un nombre entier n tel que : b = a nx Définition 2 : Un nombre entier a est divisible par un nombre entier non nul b si et seulement si b est un diviseur de a ,c’est à dire s’il existe un nombre entier n tel que : a = b nx Exemples:33 est divisible par 3 car 33 = 3 x 11 33 est divisible par 11 car 33 = 11 x 3 21 est divisible par 3 et par 7 ( 21 = 3 x 7) 24 est divisible par 3,par 2 (24 = 3 x 2 x 2 x2) 1. Division entière par 2 (reste = 0 et quotient est entier).

Un nombre est divisible par deux (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si l'unité de ce nombre est un nombre pair ( { 0;2;4;6;8 } ) Exemples :

2 456 : l'unité de 2 456 est 6, 6 est un nombre pair, 2 456 est nombre pair donc 2 456 est divisible par deux (reste = 0 et quotient est entier) 244 : l'unité de 244 est 4, 4 est un nombre pair, 244 est nombre pair donc 244 est divisible par deux (reste = 0 et quotient est entier) 1 457 : l'unité de 1 457 est 7 , 7 est un nombre impair, 1 457 est nombre impair donc 1 457 n'est pas divisible par deux (reste ≠0 et quotient est entier)

2. Division entière par 3 (reste = 0 et quotient est entier).

Un nombre est divisible par trois (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si la somme de l'unité, dizaine, centaine, millier, dizaine de millier, etc. de ce nombre est égale à un nombre divisible par trois (reste = 0 et quotient est entier) . Exemples :

12 324 : l'unité = 4, dizaine = 2 , centaine =3 , millier = 2 dizaine de millier = 1 la somme de l'unité, dizaine, centaine, ... est égale 4+2+3+2+1 ( = 12 ) . 12 divisé par trois égale quatre (reste = 0 et 4 est un quotient entier) donc 12 324 est divisible par trois . 321 : l'unité = 1, dizaine = 2 , centaine =3 ,la somme de l'unité, dizaine, centaine est égale 1+2+3 ( = 6 ) .6 divisé par trois égale deux (reste = 0 et 2 est un quotient entier ) donc 321 est divisible par trois . 323 : l'unité = 3, dizaine = 2 , centaine =3, la somme de l'unité, dizaine, centaine est égale 3+2+3 ( = 8 ) .


8

8 divisé par trois égale 2,666 (reste = 2 et 2 est un quotient entier ) donc 323 n'est pas divisible par trois .

ATTENTION: Cette règle ne fonctionne que pour des nombres divisibles par trois ou neuf mais surtout pas pour 7 ou d'autres. 3. Division entière par 9 (reste = 0 et quotient est entier).

( Même règle que la division entière par 3 en remplaçant trois par neuf) Un nombre est divisible par neuf (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si

la somme de l'unité, dizaine, centaine, millier, dizaine de millier, etc. de ce nombre est égale à un nombre divisible par neuf (reste = 0 et quotient est entier) Exemples :

12 384 : l'unité = 4, dizaine = 8 , centaine =3 , millier = 2 dizaine de millier = 1 la somme de l'unité, dizaine, centaine, ... est égale 4+8+3+2+1 ( = 18 ) .18 divisé par neuf égale deux (reste = 0 et 2 est un quotient entier ) donc 12 384 est divisible par neuf . 2 799 : l'unité = 9, dizaine = 9 , centaine =7 , millier = 2 la somme de l'unité, dizaine, centaine, ... est égale 9+9+7+2 ( = 27 ) . 27 divisé par neuf égale trois (reste = 0 et 3 est un quotient entier ) donc 2 799 est divisible par neuf .

ATTENTION: Cette règle ne fonctionne que pour des nombres divisibles par trois ou neuf mais surtout pas pour 7 ou d'autres. 4. Division entière par 5 (reste = 0 et quotient est entier).

Un nombre est divisible par cinq (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si ce nombre finit par 5 ou 0 . Exemples :2 455 : l'unité de 2 455 est 5, donc 2 455 est divisible par cinq (reste = 0 et quotient

est entier) 1 450 : l'unité de 2 450 est 0, donc 1 450 est divisible par cinq (reste = 0 et quotient est entier)

5. Division entière par 10 (reste = 0 et quotient est entier).

Un nombre est divisible par dix (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si ce nombre finit par 0 .La division entière par 10 revient à retirer le 0 de l'unité. Exemple :


9

1 450 : l'unité de 1 450 est 0, donc 1 450 est divisible par cinq (reste = 0 et quotient est entier. (1 450 divisé par 10 est égal à 145 )

ATTENTION : Si 10 est diviseur d'un nombre alors 2 et 5 le sont aussi (car 5 x 2 =10). De même si 9 est diviseur d'un nombre alors 3 l'est aussi (car 3 x 3 =9). Un nombre est divisible par 100 si son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est 0 Exemple : 1200 : unité de 1200 est 0 et dizaine est 0, donc 1200 est divisible par 100 (1200 = 12 x 100 ) 6. Division entière par 11 (reste = 0 et quotient est entier) d'un nombre inférieur à 1 000. Un nombre inférieur à 100 est divisible par onze (reste = 0 et quotient est entier ) si et seulement si l'unité est égale à la dizaine . Exemple :

99 : unité = 9 dizaine = 9 unité = dizaine donc 99 est divisible par 11 (reste =0 et quotient est entier).

Un nombre supérieur à 100 et inférieur à 1 000 est divisible par onze (reste = 0 et quotient est entier) si la somme de l'unité et centaine est inférieure strictement à 10 et est égale à la dizaine . Ce nombre est égale à {centaine unité} fois 11.(Premier cas) sinon si la somme de l'unité et centaine est supérieure ou égale à 10 et la somme de l'unité et de la centaine moins 11 est égale à la dizaine . Ce nombre est égale à { [centaine -1] unité} fois 11 .( Deuxième cas) Premier cas Deuxième cas 4 5 3 9 x 1 1 x 1 1 4 5 1 3 9 4 5 • 3 9 • 4 9 5 4 2 9 Exemples :

Premier cas : 275 ( unité =5 , centaine = 2 , dizaine =7 ) 5+2 =7 (unité + centaine = dizaine et unité + centaine < 10) donc 275 est divisible par 11. ce nombre est égale à {centaine unité} fois 11 donc (25) fois 11 .

792 (2+7 =9 , unité + centaine = dizaine donc792 = 72 x 11) Deuxième cas 209 ( unité =9 , centaine = 2 , dizaine =0 )


10

9+2 =11 (unité + centaine ≥10) 9+2-1 =10 , unité de 10 est égale à 0 unité( unité + centaine-1 ) = dizaine donc 209 est divisible par 11. ce nombre est égale à{[centaine-1] unité} fois 11 donc (19) fois 11 . 737 (7+7 -1 =13 , 13 est strictement supérieur à 10 , l’unité de 13 est égale à 3 ,donc 737 = 67 x 11) 7. Division entière par 11, méthode générale Un nombre est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rangs impairs et la somme des chiffres de rangs pairs est un multiple de 11. Exemples :

Nombre Somme des chiffres de rangs

pairs

Somme des chiffres de rangs

impairs

Différence Divisibilité par 11

1 837 7 + 8 = 15 3 + 1 = 4 15 – 4 = 11 oui 637 483 3 + 4 + 3 = 10 8 + 7 + 6 = 21 21 – 10 = 11 oui 12 485 1 + 4 + 5 = 10 2 + 8 =10 10 – 10 = 0 oui 30 451 1 + 4 + 3 = 8 0 + 5 = 5 8 - 5 = 3 non

8. Division entière par 4 (reste = 0 et quotient est entier). Un nombre est divisible par 4 (reste = 0 et quotient est entier) si le nombre constitué par le chiffre des unités et le chiffre des dizaines est divisible par 4 ou si les deux chiffres sont des 00 Exemples : 4 328 est divisible par 4 en effet 28 = 7 x 4 524 est divisible par 4 en effet 24= 6x 4 9. Division entière par 25 (reste = 0 et quotient est entier) Un nombre est divisible par 25 si le nombre constitué par le chiffre des unités et le chiffre des dizaines est 25 ; 50 ; 75 ou si ces deux chiffres sont des 0 Exemples : 675 ; 100 ; 325 ; 550 .


11

La décomposition en facteur(s) premier(s) d' un nombre entier. 1. Définitions d'un nombre premier:

1) Un nombre premier n'est divisible (sous entendu division entière donc reste =0 et le quotient est entier) que par lui même et par 1. Le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre entier . 2) Un nombre premier n'est pas divisible par les autres nombres premiers qui le précèdent. Exemples : 2 ; 3 ; 5 ;7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31; 37 ;41 ; 43 ; 47 .......

2. décomposition en facteur(s) premier(s) d'un nombre.

i) tout d'abord repérer tous les diviseurs du nombre en question en utilisant les méthodes citées dans les paragraphes 1 à 8 , chapitre division entière. ii) diviser par le diviseur le plus simple et mettre le diviseur dans une liste de facteurs. Puis appliquer de nouveau i) au nombre trouvé jusqu'à ce que i) ne fonctionne plus. (sachant que nous retrouverons au moins les diviseurs qui n'ont pas été utilisés). iii) si le nombre trouvé n'est pas un nombre premier alors diviser successivement par les nombres premiers 7 , 13 ,17 ,19 , 23 ... .Si l'un ou plusieurs de ces diviseurs donne un reste = 0 et un quotient qui est entier alors les ajouter à la liste des facteurs. Si le quotient trouvé est un nombre premier alors l'ajouter à la liste des facteurs. iv) Ne pas oublier de décomposer 10 , 9 , en facteurs premiers 10=2 x 5 9 =3 x 3 Exemples :

Décomposition en facteurs premier du nombre entier 52 . 11 , 10 , 9 , 5 , 3 ne sont pas des diviseurs (division entière) de 52, mais par contre 2 est un diviseur de 52 (52 = 26 x 2) donc nous ajoutons 2 à notre liste de diviseurs. 2 est à nouveau le diviseur de 26 ( 26 = 13 x 2 ) nous rajoutons de nouveau 2 à notre liste de diviseurs . 13 s'avère être un nombre premier donc nous ajoutons 13 à notre liste de diviseurs. Représentation symbolique de la décomposition en facteurs premiers de 52 nombre de départ liste des diviseurs ou nouveau nombre

52 | 2 26 | 2 13 | 13 1 |

La décomposition en facteurs premiers de 52 est égale 2 x 2 x 13 ( 52 = 2² x 13) .


12

Décomposition en facteurs premier du nombre entier 495 . 10 ,4, 2 ne sont pas des diviseurs (division entière) de 495, mais par contre 11, 9 (donc 3), 5 sont des diviseurs de 495 (495 = 11x45) donc nous mettons 11 dans notre liste de diviseurs. 45 est divisible par 9 (donc 3) et 5 ( 45 = 5 x 9 ) : nous retrouvons bien les deux diviseurs 9 et 5 qui n’ont pas été utilisés . Représentation symbolique de la décomposition en facteurs premiers de 495 . nombre de départ liste des diviseurs ou nouveau nombre

495 | 11 45 | 5

9 | 9 = 3 x 3 1 |

Attention 9 n'est pas un nombre premier ( 9 = 3 x 3 ) Décomposition en facteurs premiers de 495 : 495 = 11 x 5 x 3 x 3 = 3² x 5 x 11


13

Fraction Soit la fraction a

b nous appelons numérateur la partie supérieure de la fraction (a),

dénominateur la partie inférieure de la fraction (b)

Exemple : Pour la fraction 32

le numérateur est égal à 3 et le dénominateur est égal à 2 .

ab est aussi noté sous les formes a b ou a b .

1. Règles sur les fractions par rapport à la multiplication ou la division. Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs des deux fractions et dont le dénominateur est le produit des dénominateurs des deux fractions voir iii). Attention avant d’effectuer les deux produits vérifier si on peut la simplifier voir § 2 .

1) règles sur l'écriture d'une fraction :

i) aa= 1, ∀ a ≠ 0 Ex :

77

1=

ii) ac c

a= ×1

, ∀ c ≠ 0 Ex : 87

17

8= ×

iii) a bc d

ac

bd

××

= × , ∀ c, d ≠ 0 Ex : 2 3

7××

= ×5

25

37

=××

= ×b ac d

bc

ad , ∀ c, d≠ 0 =

××

= ×3 25

35

277

(la multiplication est commutative)

=××

= ×b ad c

bd

ac , ∀ c, d ≠ 0 =

××

= ×37

37

25

25

=××

= ×a bd c

ad

bc , ∀ c, d ≠ 0 =

××

= ×27

27

35

35

iv) a b

cac

b×= × , ∀ c ≠ 0 Ex :

4 259

49

25×= ×

v) a b

cb a

cbc

a×=

×= × , ∀ c ≠ 0 Ex :

4 259

25 49

259

4×=

×= ×

(la multiplication est commutative)

v) a b

c ca b×

= × ×1

, ∀ c ≠ 0 Ex : 2 3

515

2 3×= × × (application de la règle

ii deux fois)


14

vi) ab

ab−

= − , ∀ b ≠ 0 Ex : 32

32−

= −

vii) −

= −a

bab , ∀ b ≠ 0 Ex :

−= −

53

53

viii) −+

=− +

=− −a b

c(a b)

ca bc , ∀ c ≠ 0 Ex : −

+=− +

=− −3 2

2(3 2)

23 22

ix )

abcd

ab

dc

= × , ∀ b, c, d ≠ 0 Ex :

35925

35

259

35

5 53 3

3 5 55 3 3

53

= × = ×××

=/ × / ×/ × / ×

=

Proposition :La valeur d'une fraction reste inchangée si nous multiplions ou divisons le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul. ∀ c ≠ 0

ac

a bc b

=×× avec b non nul

Exemple : 79

7 89 8

5672

=××

=

ATTENTION : Les règles ci dessus ne fonctionnent pas si nous remplaçons la multiplication par l'addition . Exemple :

42

4 12 1

≠++

car

42

2 22

22

2 1 2 2=×

= × = × =

et

4 12 1

53

1 666666666++

= ≈ , ..... 2. Simplification d'une fraction 2.1 Définition d'une fraction irréductible .


15

Une fraction est irréductible si nous n'avons pas au numérateur et dénominateur un diviseur commun dans leurs produits de facteurs.

Exemples : 72

, 256

, 1211

, 92

.

2.2 Définition d'une fraction réductible Une fraction est réductible si nous avons au numérateur et dénominateur au moins un diviseur commun dans leurs produits de facteurs.

Exemples : 1612

2 82 6

86

2 42 3

43

=/ ×/ ×

= =/ ×/ ×

=

1612

: est une fraction réductible en 86

puis en 43

2736

3 93 12

912

3 33 4

34

=/ ×/ ×

= =/ ×/ ×

=

2736

: est une fraction réductible en 912

qui est réductible en 34

qui est cette fois ci irréductible.

2.3 Méthode pratique pour simplifier une fraction

Pour simplifier une fraction et trouver la fraction irréductible qui lui est égale, il faut diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée par le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) du nombre au numérateur et du nombre au dénominateur .

Le PGCD de deux ou plusieurs nombres entiers non nul est le produit de facteurs

premiers communs, chacun d’eux étant affecté du plus petit exposant sous lequel il figure .

Exemple : 12654

126 = 2 x 3² x 7 54 = 2 x 33

le PGCD ( 126 ; 54 ) = 2 x 3² = 2 x 9 =18 12654

73

: 18 18:

=


16

2.4 Il est aussi possible de simplifier directement les décompositions en produits de facteurs premiers .

12654

2 73

=/ // /

= x 3² x 7

2 x 3² x 3

ATTENTION AU PIEGE : Quand nous avons une fraction qui ressemble à 3 49 3×+

nous

sommes tentés de simplifier la fraction de la manière suivante / ×+ /

=3 49 3

49

or il s'avère que cela

est faux et même extrêmement faux . Pourquoi ?

Voici la reponse : nous avons 3 49 3

1212

×+

= qui est égale à 1 ! Et nous avons 49

, soit environ

0,44 ≠ 1. Voici la réponse exacte : nous avons l'opérateur plus au dénominateur or il s'avère qu'il aurait fallu avoir l'opérateur multiplier pour pouvoir simplifier. Donc la simplification est possible uniquement pour un produit de facteurs en commun au numérateur et dénominateur . 3. Comparaison de deux fraction . 3.1. Cas particuliers : Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur . Exemple : 13/8 est une fraction supérieure à 13/25 car 8 est plus petit que 25 on écrit 13/8 > 13/25 Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur . Exemple 7/3 est une fraction supérieure à 4/3 car 7 est plus grand que 4 on écrit 7/3 > 4/3 3.2 Cas général Pour comparer deux fractions on les réduit généralement au même dénominateur. Le dénominateur commun à deux fractions est un multiple commun de leurs dénominateurs. Afin que les calculs soient plus simples, nous choisirons comme dénominateur commun le PPCM des dénominateurs des deux fractions. Voir § 4.2.


17

Exemple : 12/9 et 5/3 Le PPCM (9 ;3) est 9 d’où 5/3 = 15/9 or 12/9 < 15/9 on a donc 12/9 < 5/3 4. Règles sur les fractions par rapport à l'addition et la soustraction. Proposition : Nous pouvons additionner ou soustraire deux fractions si et seulement si elles ont le même dénominateur . Alors nous additionnons ou nous soustrayons les deux numérateurs des fractions tout en conservant le même dénominateur .

Exemple : 49+ = =

59

99

1

4.1 Méthode pas très efficace Pour additionner ou soustraire deux fractions qui possèdent des dénominateurs différents, il faut d'abord trouver un dénominateur commun aux deux, puis effectuer l'addition . Comment trouver un dénominateur commun à deux fractions ?

Quand nous avons deux fractions ab

et cd

il suffit de multiplier la première fraction par d et la

deuxième par b , alors nous avons b x d comme dénominateur commun .

Exemples : ab

cd

a db d

c bd b

a d c bd b

+ =××

+××

=× + ×

×

83

916

83

33

8 33

+ =××

+××

=× + ×

×=

+=

1616

916

16 916

128 2748

15548 (fraction irréductible)

Cette méthode n'est pas très efficace lorsqu'il s'agit de dénominateurs grands qui possèdent beaucoup de facteurs premiers en commun .

Exemple :78

316

78

88

7 88

+ =××

+××

=× + ×

×=

+=

1616

316

16 316

112 24128

136128 (fraction

réductible )

car 136128

2 682 64

2 342 32

2 172 16

1716

=/ ×/ ×

=/ ×/ ×

=/ ×/ ×

=

4.2 Autre méthode pour trouver un dénominateur commun. (TRES EFFICACE) Pour minimiser le risque d'erreurs de calcul et le nombre de calculs, nous cherchons le dénominateur commun le plus petit qui se trouve être le PPCM (plus petit commun multiple) des deux dénominateurs de nos fractions.


18

Définition du PPCM : Le PPCM de deux ou plusieurs nombres entiers non nuls est le produit de tous les facteurs premiers communs ou non aux décompositions de ces nombres affectés, pour chacun d’eux, du plus grand exposant sous lequel ils figurent . Ainsi pour trouver le PPCM, nous utilisons la méthode de la décomposition en facteurs premiers.( Voir paragraphe § 2 p.11) Exemple : 792 | 11 836 | 11 72 | 9 (3 x3 ) 76 | 2 8 | 8 (2 x 2 x 2) 38 | 2 1 | 19| 19 1 Donc : 792 = (2)3 x (3)² x (11)1 836 = (2)² x (11)1 x (19)1 Le PPCM contient tous les facteurs premiers de chaque nombre à la puissance la plus élevée : pour le facteur premier "2" -> la puissance la plus élevée est "3" [car "2" est à la puissance 3 dans 792 et à la puissance 2 dans 836] pour le facteur premier "3" -> la puissance la plus élevée est "2" [car "3" est à la puissance 2 dans 792 et à la puissance 0 dans 836] pour le facteur premier "11" -> la puissance la plus élevée est "1" [car "11" est à la puissance 1 dans 792 et à la puissance 1 dans 836] pour le facteur premier "19" -> la puissance la plus élevée est "1" [car "19" est à la puissance 0 dans 792 et à la puissance 1 dans 836] Le PPCM est donc : (2)3 x (3)² x (11)1 x (19)1 = 15 048 = 792 x (19)1 = 836 x [ (2)1 x (3)² ] = 836 x 18 Il vaut mieux avoir 15 048 pour dénominateur commun que 836 x 792 = 662 112 ! Attention : La fraction trouvée peut être réductible . Plan pour additionner ou soustraire deux ou plusieurs fractions 1. On simplifie si possible chacune d’elle en les rendant irréductibles (méthode de la

décomposition en facteurs premiers ou du PGCD) Voir paragraphe § 2.4 ou § 2.3


19

2. On les réduit au même dénominateur (méthode de la décomposition en facteurs premiers ou du PPCM) Voir paragraphe § 4.2

3. On additionne ou l’on soustrait les numérateurs tout en conservant le même dénominateur

commun 4. On simplifie éventuellement la fraction en la rendant irréductible Voir paragraphe § 2.4

ou § 2.3 . Exemple :

1630

436

35

35

13²

35

55

53²

33²

33² 3²

3² 3²2²3²

3

3

+ − =//

+/

/−

= + −

= +

+ −

=

//=

2 x 22 x 3 x 5

2 ² 2 ² x 3²

On applique 1

2

3 x 5

2

3 x 5x

33

13²

x - 35

x3²3²

On applique 2

=2 x 33² x 5 x 5 x 5

=2 x 3 + 5 -

x 524 + 5- 9

x 5 On applique 3

=20 x 5

= 2² x 5

x 5 On applique 4

3

3

3

3

3

=49


20

Puissance Règles de calcul i ) an = a x a x a x ............................ x a x a Ex : 3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 \____________ _____________/ \_____ ____/ \/ \/ n fois Il y a 5 fois le multiple de 3 ii ) a0 = 1 Ex : 1810 = 1 iii ) a1 = a Ex : 1231 = 123 iv ) aP x aQ = a P+Q Ex : 32 x 33 = 3 2+3 = 3 5 v ) (a x b)n = an x bn Ex : (3 x 2)4 = 34 x 24 vi ) (aP)Q = a PxQ Ex : (22)3 = 2 2 x 3 = 2 6 vii ) a-n = 1 avec a≠0 Ex : 3-1 = 1 = 1 an 31 3 Démontrons la formule vii) avec la formule iv)

Nous substituons n à P et -n à Q dans iv) cela donne : an x a-n = an+(-n)

= an-n = a0 =1

alors nous avons an x a-n = 1 que nous nommons eq 1 1 x an x a-n = 1 x 1 (nous avons multiplié eq 1 par 1 )

an an an

donc a-n = 1 an

viii ) (-a)2n = a2n 2n signifie que la puissance de a est paire . dem : (-a)2n = ((-a)²)n d’après vi)

= (a²)n

= a2n d’après vi) ix) (-a)2n+1 = -a2n+1 2n+1 signifie que la puissance de a est impaire . dem : (-a)2n+1 = (-a)²n(-a)1 d’après iv)

= -(a )(a²)n =-a2n+1

Remarque :


21

Un nombre positif à une puissance quelconque est toujours positif. Un nombre négatif : -à une puissance paire (2; 4; 6;...) est toujours positif. - à une puissance impaire (3; 5; 7;...) est toujours négatif.

Ex (-3)5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 3 x 3 x 3 x 3 x (-3) = -243 = (-1)5 x (3)5


22

Racine carrée

a x= a est un nombre toujours positif ou nul ( a +∈ℜ ) et x est aussi toujours positif ou nul.

Avec x vérifiant : x² = a En d'autres termes, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas .

1. Relation entre une racine carrée et une puissance

a = a1/2 donc nous avons les mêmes relations qu'avec les puissances.

2. Relations des racines carrées i) 0 0= ii) 1 1= iii) a² a= et Ex : ( )²− = − =3 3 3 ( )a a a2 0= ≥ avec "a" positif Ex : ( )3 32 = car 3 > 0 iv) a b a b× = × Ex : 6 2 2= × = ×3 3 v) c a b a (c + b) a+ = (attention Ex : a a a a+ = ≠2 ) Ex : 3 5 6 5 9 5+ = vi) c a b) = c a c b× + + ×( Ex : 2 3 5 2 3 2 5 2 3 10× + = + × = +( ) vii) n2n aa = Ex : ( ) ( ) 33326 3333 =−=−=− ×

33326 5555 === × 2n signifie que la puissance de a est paire . Démonstration de vii)

( ) ( )iii) aprèsd' a=

aaaa )(a=aan

2n2n x n x 2n2n2n x 22n =====

viii) ( )a a n2n = avec "a" positif Ex : ( ) ( )5 5 58 2 4 4= =× 2n signifie que la puissance de racine de a est paire . même type de démonstration vii)


23

ix) a a a2n+1 n= avec "a" positif Ex : 2 2 2 2 128 215 2 7 1 7= = =× + 2n+1 signifie que la puissance de racine de a est impaire . Démonstration de ix)

a a a

= a a d'après iv)

= a a d'après vii)

2n+1 n 2

2n

n

= ×

×

×

×

x) ( )a a a2n 1 n+ = avec "a" positif Ex : ( ) ( )2 2 2 2 128 215 2 7= = =n+1 2n+1 signifie que la puissance de racine de a est impaire . même type de démonstration ix) 3. Comment enlever la racine carrée au dénominateur d’une fraction 3.1

ab

a bb

a bb

a bb

=××

= =b ( )2 Ex :

32

3 22 2

3 22

3 222=

××

= =( )

3.2

a

b + c da (b - c d

(b + c d ) (b - c da (b - c db - (c d

a (b - c db² - c² d2=

××

=×

=×

×)

))

))

2

Nous nous servons de l'identité remarquable (a - b ) (a + b) = a² - b² pour enlever le

radical au dénominateur. Ici nous multiplions le numérateur et le dénominateur par b - c d

Ex :

411 5 5

4 11 5 511 5 5 11 5 5

4 11 5 511 5 5

4 11 5 511 5 5

4 11 5 5121 125

4 6 5 54

4 6 2 54

6 2 51

6 2 5 2 3 5

2 2 2 2+=

× −+ × −

=× −−

=× −

− ×=

× −−

× −−

=/ × −

− /=

−−

= − − = − × −

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) =

Nous avons le cas analogue avec :

a

b - c da (b + c d

(b - c d ) (b + c da (b + c db - (c d

a (b + c db² - c² d2=

××

=×

=×

×)

))

))

2


24

Ex : 12

9 6 23 4

3 3 2 34

3 2 34 3 2 3

3 2 3 3 2 34 3 2 33 2 3

4 3 2 39 4 3

4 3 2 33

4 3 2 33

2 2 2−=

/ ×/ × −

=−

=× +

− × +=

× +−

=× +− ×

=× +

−= −

× +

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

de même :

ab + c

a (b - c(b + c) (b - c

a (b - cb - ( c

a (b - cb² - c2=

××

=×

=×)

))

))

2

etc... Attention : il est possible que la racine se trouvant au dénominateur soit la racine carrée d'un carré donc il n'y a pas lieu d'utiliser la méthode ci dessus .

Ex : a

b + c da

b + c d2=

× Ex numérique

32 25

32 5

33

1−

=−

=−

= −


25

Identités remarquables 1. Identités remarquables des polynômes du second degré (a + b )² = a² + 2 a b + b² (a - b )² = a² - 2 a b + b² (a + b ) ( a - b ) = a² - b² 2. Triangle de Pascal 1 1 1 1 2 1 ( coef du 2ième degré ) 1 3 3 1 ( coef du 3ième degré ) 1 4 6 4 1 ( coef du 4ième degré ) 1 5 10 10 5 1 ( coef du 5ième degré ) Explication de la construction du triangle de Pascal 1 1 1 1 1 + 1 ↓ . 1 + 2 1 1 2 + 1 ↓ . ↓ . 1 3 + 3 1 1 + 3 3 + 1 ↓ . ↓ ↓ . 1 4 6 + 4 1 1 4 + 6 4 + 1 ↓ . ↓ ↓ . 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 3. identités remarquables des polynômes du nième degré de la forme (a + b )n

Le premier terme est de la forme an , le suivant an-1 b, puis an-2 b2 ....... jusqu'à bn . Les coefficients se situant devant chaque terme sont les coefficients du triangle de pascal se trouvant à la ligne n+2

Ex : (a + b ) 5 = 1 a5 + 5 a4 b1 + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a1 b4 + b5 Il en est de même pour (a - b )n sauf à chaque fois que b est à une puissance impaire, le signe devant le terme se transforme en moins au lieu de plus

Ex : (a - b ) 5 = 1 a5 + 5 a4 x (- b)1 + 10 a3 b2 + 10 a2 x (- b)3 + 5 a1 b4 + (- b)5 = 1 a5 - 5 a4 b1 + 10 a3 b2 - 10 a2 b3 + 5 a1 b4 - b5


26

Développement / Factorisation 1. Développer Développer c'est transformer un produit de facteurs en somme ou en différence de termes (en polynôme). C’est le processus inverse de la factorisation. a × (b + c) = a × b + a × c =ab + ac Exemple : 3 ×(5a + 4) = 3 × 5a + 3 × 4 =15a + 12 (où 15a = 15 × a) Ainsi développer consiste à multiplier le terme se trouvant devant ou derrière les parenthèses, crochets, etc., par tous les autres termes se trouvant dans ces parenthèses (etc.). Exemple :

(x - 7)(x + 7) = (x – 7) × x + (x – 7) × 7 = x × x – 7 × x + x × 7 – 7 × 7 = x² - 7x + 7x – 49 = x² - 49. On peut aussi reconnaître l’identité remarquable (a – b)(a + b) = a² - b² et donc dire : (x - 7)(x + 7) = x² - 49.

2. Factoriser Factoriser c'est transformer un polynôme en un produit de polynômes (ou transformer une somme ou une différence en produit de facteurs). C’est le processus inverse du développement. Pour factoriser, on utilise le plus souvent les identités remarquables si c’est possible sinon on utilise la méthode suivante :

1. on recherche le facteur commun à chacun des termes de l’expression. 2. on met ce facteur commun en évidence dans chaque terme de l’expression. 3. on le met au début de l’expression, on ouvre une parenthèse et on écrit ensuite la somme et/ou la

différence des termes restants). 4. on recommence jusqu’à ce qu’il n’y ait plus aucun terme commun.

ab + ac = a × b + a × c = a × (b + c) Exemple : 15a + 12 = 3 × 5a + 3 × 4 = 3 ×(5a + 4) (où 15a = 15 × a) Premier exemple :

Factoriser A = 15y2 + 12y. Cette expression est une somme comportant deux termes : 15y2 et 12y. 1. On commence par chercher le facteur commun à chacun de ces deux termes :


27

Le facteur commun est 3y, car 15y2 = 3y × 5y et 12y = 3y × 4 2. On met ce facteur commun en évidence dans chacun des termes : A = 3y × 5y + 3y × 4 3. On peut écrire A sous la forme d'un produit dont 3y est un facteur.

A = 3y × (5y + 4) Soit A = 3y (5y + 4)

4. Il n’y a plus aucun terme commun, la factorisation est donc terminée. Deuxième exemple :

Factoriser A = x3 - 16x. Cette expression est une somme comportant deux termes : x3 et 16x. 1. On commence par chercher le facteur commun à chacun de ces deux termes : Le facteur commun est x, car x3 = x × x² et 16x = x × 16 2. On met ce facteur commun en évidence dans chacun des termes : A = x × x² - x × 16 3. On peut écrire A sous la forme d'un produit dont x est un facteur.

A = x × (x² - 16) Soit A = x (x² - 16)

4. On reconnaît maintenant une identité remarquable de la forme (a – b)(a + b) = a² - b² dans le deuxième facteur, soit : (x² - 16) = (x – 4)(x + 4). 5. A peut s’écrire sous la forme A = x (x² - 16) = x(x – 4) (x + 4). 6. Il n’y a plus aucun terme commun, la factorisation est donc terminée.


28

Pourcentages Le pourcentage est un rapport qui compare le nombre à 100. Exemple : Exprimer 38/100 sous forme de pourcentage. On peut dire que cette fraction équivaut à 38 parts sur 100 parts égales, soit 38%. Le symbole du pourcentage (%) veut dire «pour cent», mais de façon abrégée. Exemple : Exprimer ¾ sous forme de pourcentage. En multipliant par 25 le numérateur et le dénominateur de ¾, on obtient la fraction 75/100. Puisque le dénominateur est maintenant 100, on peut exprimer ceci de façon abrégée en tant que 75 %. Soit ¾ = 75/100 = 75 %. Les problèmes de pourcentage sont généralement reliés aux prix, remises, intérêts, impôts, moyennes, etc. Calcul d’un prix TTC (Toutes Taxes Comprises) : Pour cela, il faut multiplier le prix HT (Hors Taxes) par le taux de TVA : Prix TTC = Prix HT + (Prix HT × TVA). Exemple : Le prix d’un article est de 20 € HT. Sachant que la TVA qui lui est appliquée est de 5,5%, quel est son prix TTC ? Prix TTC = Prix HT + (Prix HT × TVA)

soit 1,211,120101120)

1005,5 (20 20 TTCPrix =+=+=×+= €

Calcul du taux de TVA : Le calcul précédent pour le prix TTC nous donne :

Prix TTC = Prix HT + (Prix HT × TVA) = Prix HT (1 + TVA) soit TVA 1PrixHT

PrixTTC+= soit :

1 PrixHT

PrixTTC TVA −= .

Calcul du montant de l’intérêt : une somme S est placée au taux annuel de TA%. Le but est de

calculer l’intérêt annuel (IA) rapporté par ce placement : 100TASIA ×= .

Exemple : Une somme de 1800€ est placée au taux annuel de 8% pendant un an. Quel est l’intérêt annuel rapporté par ce placement ?

En utilisant la formule :100TASIA ×= , on trouve : 144818

10081800IA =×=×= . L’intérêt

annuel est donc de 144€.


29

Calcul du taux : Une somme S placée pendant un an a rapporté R€. Pour calculer le taux annuel

de placement (TA%), il faut effectuer l’opération suivante : 100SRTA ×= .

Exemple : Une somme de 45 000€ placée pendant un an a rapporté 5175€. A quel taux a-t-elle été placée ?

En utilisant la formule : 100SRTA ×= , on trouve : 11,5

4505175 100

450005175TA ==×= . Le taux

annuel est donc de 11,5%. Calcul du capital : Pour obtenir un revenu R par an en plaçant une somme S à TA% l’an, quelle

somme faut-il placer ? Le calcul à effectuer est le suivant : RTA100S ×= .

Exemple : Pour obtenir un revenu de 54000€ par an en plaçant une somme à 9% l’an, quelle somme faut-il placer ?

En utilisant la formule : RTA100S ×= , on trouve : 000 600

9000 400 554000

9100S ==×= . Il faut

donc placer 600 000€.


30

La règle de trois (ou produit en croix) Les produits en croix nous permettent d'écrire: a × d = b × c.

Nous retiendrons alors que:

Si cd

ab= Alors cbda ×=×

Exemple :

et donc, puisque c'est un tableau de proportionnalité:

on fait le produit en croix : x × 6,5 = 100 × 47 x × 6,5 = 4 700

x = 5,6

4700

x = 723 à 0,1 près On peut parcourir 723 Km avec un plein de 47 L.


31

Proportionnalité 1. Proportionnalité dans un tableau. On dit qu'un tableau est proportionnel quand on peut multiplier les termes de la première ligne par un même nombre pour obtenir ceux de la deuxième. Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, la suite des nombres qui mesurent l’une et la suite correspondante des nombres qui mesurent l’autre sont proportionnelles.

Exemple :

Quantités (en Kg) 1 2 3 4 5 Prix (en Euros) 22 44 66 88 110

On passe de la première ligne à la seconde en multipliant chaque terme par 22. Le coefficient de proportionnalité est 22.

Définition : Deux suites de nombres sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre par une multiplication, une division ou une succession de ces opérations. Soient A=(a,c) et B=(b,d) deux suites proportionnelles. On sait que le coefficient de proportionnalité de A vers B est calculé en divisant un nombre de la suite B par le nombre de même rang de la suite A. Nous avons donc: b/a = d/c. Pour vérifier que 2 suites de nombres {a ; b ; c ; d} et {x ; y ; z ; t} sont proportionnelles, il suffit de vérifier que :

dt

cz

by

ax

===

2. Proportionnalité dans un graphique. On dit qu'il y a proportionnalité sur un graphique quand tous les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine. 3. Echelles. Pour des raisons pratiques, il arrive qu’on représente un objet en l’agrandissant ou en le réduisant. Chaque longueur est alors multipliée par un coefficient et les angles sont conservés. 3.1 Sur une carte On peut lire :

o 1cm = 1 Km

o échelle : ème000 201 : Dréelle = dcarte × 20 000.

× 22


32

Exemple : Sur une carte au000 100

1 , la distance entre deux villes est de 8 cm. Quelle est la

distance réelle entre ces deux villes ? Dréelle = dcarte × 100 000 soit Dréelle = 8 × 100 000 = 800 000 cm soit 8 Km.

3.2 En dessin technique L’échelle est donnée par le nombre e (par exemple 1,5 ; 3 ; 0,2) par lequel il faut multiplier la

distance réelle D pour obtenir la distance d sur le dessin : ddessin = Dréelle × e ou e

dD dessinréelle = .

4. Les vitesses Un mouvement est dit uniforme si la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours. On appelle vitesse le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours.

===

=×==

temps t distance dvitesse V

où

Vdt out V d ou

tdV

Les unités utiles pour les calculs de vitesse :

Unité de longueur m Km Km m Unité de durée s h min h Unité de vitesse m/s Km/h Km/min m/h

5. Les masses volumiques Un corps est homogène lorsque la masse de ce corps est proportionnelle à son volume. La masse volumique d’un corps homogène est le quotient de la masse de ce corps par son volume.

===

=×==

volume V masse m

volumique masse M où

MmV ouV M m ou

VmM


33

Les unités utiles pour les calculs de masses volumiques :

Unité de masse mg cg Kg hg g Unité de volume mm3 cm3 dm3 m3 L

Unité de masse volumique mg / mm3 cg / cm3 Kg / dm3 hg/ m3 g /L Quelques masses volumiques usuelles (en g/cm3):

Solides Liquides Gaz Or : 21,4

Plomb : 11,3 Fer : 7,8

Mercure : 13,6 Eau pure : 1

Alcool à 90° : 0,83 Essence super : 0,77

Gaz carbonique (CO2) : 0,0024 Oxygène :0,0013 Hélium :0,00017

Hydrogène :0,00008 6. Les débits Le débit moyen (D) d’un fleuve, d’une rivière, d’un robinet, …, est le quotient du volume de liquide écoulé (V) par la durée de l’écoulement (t). Lorsque l’écoulement est régulier, le volume qui s’écoule est proportionnel à la durée de l’écoulement.

===

=×==

écoulementl' de durée t écoulé liquide de volume V

débit D où

DVt out D V ou

tVD


34

Conversions d’unités 1. Les masses.

t q Kg hg dag g dg cg mg tonne quinta

l kilo -

gramme hecto -

gramme déca -

gramme gramme déci -

gramme centi -

gramme milli –

gramme 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 t = 10 q = 1000 Kg = 10000 hg = 100000 dag = 1000 000 g = 10000000 dg = 100000000 cg = 1000000000 mg. 1 Kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10000 dg = 100000 cg = 1000000 mg. 1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg. 1 once = 30,594 g. 1 livre = 12 onces. 2. Les longueurs.

Km hm dam m dm cm mm kilo - mètre

hecto - mètre

déca - mètre

mètre déci - mètre

centi - mètre

milli –mètre

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 Km = 10 hm = 100 dam = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm. 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm. 1 mm = 100 µ. 1 toise = 1,949 m. 1 yard = 914 m. 3. Les aires.

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 dm² = 100 cm² = 10000 mm². 1 cm² = 100 mm². 1 dam² = 100 m² = 10000 dm² = 1000000 cm² = 100000000 mm². Justification : prenons comme exemple le cm²/mm². On a : 1 cm × 1 cm = 1 cm² or 1 cm = 10 mm soit 10 mm × 10 mm = 100 mm², on a bien 1 cm² = 100 mm².


35

1 ha = 100 a = 1 hm² (ha = hectare) 1 a = 1 dam² = 100 m² (a = are) 1 ca = 1 m² (ca = centiare) 4. Les volumes.

Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 dm3 = 1000 cm3 = 1000000 mm3. 1 cm3 = 1000 mm3. 1 dam3 = 1000 m3 = 1000000 dm3 = 1000000000 cm3 = 1000000000000 mm3. Justification : prenons comme exemple le dm3/cm3. On a : 1 dm × 1 dm × 1 dm = 1 dm3 or 1 dm = 10 cm soit 10 cm × 10 cm × 10 cm = 1000 cm3, on a bien 1 dm3 = 1000 cm3. 5. Les capacités.

hL daL L dL cL mL hectolitre décalitre litre décilitre centilitre Millilitre

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL. 1 daL = 10 L = 100 dL = 1000 cL = 10000 mL. 1 hL = 10 daL = 100 L = 1000 dL = 10000 cL = 100000 mL. 1 L = 1 dm3. 1 stère = 1 m3 = 1000 L. 6. Les durées. 1 année = 12 mois = 52 semaines = 365 ou 366 jours. 1 mois = 30 ou 31 jours. 1 semaine = 7 jours. 1 jour = 24 h. 1 h = 60 min = 3600 s. 1 min = 60 s. Comment reconnaître si une année est bissextile ? - Si les deux derniers chiffres ne sont pas nuls tous les deux : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4. - Si les deux derniers chiffres sont nuls : le nombre formé par les autres chiffres est divisible par 4.


36

6.1 Addition de durées On cherche à calculer : 3 h 25 min + 2 h 48 min.

min 73h 5

min 48h 2 min 25h 3

+ or 60 min = 1 h soit 73 min = 1 h 13 min

d’où 5 h 73 min = 5 h + 1 h 13 min = 6 h 13 min. 6.2 Soustraction de durées On cherche à calculer : 5 min 25 s – 2 min 48 s.

s 48min 2 s 25min 5

− revient à poser :

s 48min 2 s 85min 4

−

On obtient donc :

s 37min 2

s 48min 2 s 85min 4

−

6.3 Multiplication de durées On veut calculer (5 h 15 min) × 7. 5 h × 7 = 35 h, 15 min × 7 = 105 min = 1 h 45 min Le résultat est donc : 35 h + 1 h 45 min soit 36 h 45 min. 6.4 Division de durées On cherche à diviser 5 h 10 min 15 s par 3.

0 75 - s 75

60 s 15min 1

min 129- s 15min 130

60 s 15min 10h 2

h 3 - s 15min 10h 5

×

×

Explication : On regarde combien de fois 5 h vont dans 3 : on trouve 1 fois (1 h × 3 = 3 h), on les ôte à 5 h, il reste donc 2 heures. Ces deux heures ne pouvant pas être un multiple de 3, on les

3

1 h 43 min 25 s


37

convertit en minutes soit 2 h = 2 × 60 min = 120 min, minutes que l’on additionne aux minutes existantes. Soit 120 + 10 = 130 minutes. On cherche maintenant combien de fois 3 il y a dans 130, on trouve 43 fois (43 × 3 = 129), il reste donc 1 minute. On convertit ensuite cette minute en secondes : 1 × 60 s = 60 s, secondes que l’on additionne aux secondes existantes, soit 60 + 15 = 75 s. Ensuite, on voit que 75 = 3 x 25, le reste de la division est 0. Autre méthode (beaucoup plus lourde et pas indiquée !): On a des heures, des minutes et des secondes : on peut donc tout convertir en secondes. Soit : 5 h = 5 × 3600 s = 18 000 s, 10 min = 10 × 60 s = 600 s, soit 5 h 10 min 15 s = 18 000 + 600 +15 s = 18 615 s. Ensuite, on fait une division classique : 18 615 : 3 = 6 205. Nous obtenons donc 6 205 s qu’il faut à nouveau convertir en heures, minutes, secondes. 6205 s = 6205 / 3600 = 1,72… : nous retenons seulement les unités, soit 1 h. Il nous reste 6205 – 3600 = 2605 s soit 2605 : 60 = 43,41…, nous retenons aussi uniquement les chiffres à gauche de la virgule soit 43 min (ou on prend le résultat 1,72… auquel on soustrait 1 et on multiplie par 60). Il nous reste : 2605 – (43 × 60) = 25 s (ou on prend le résultat 43,41… auquel on soustrait 43 et on multiplie par 60). Nous obtenons bien 1 h 43 min 25 s comme avec la méthode précédente.


38

Résolutions d’équations du premier degré à une inconnue a) résolvons : X + 3 = 5 Considérons le symbole égalité comme une balance, X comme un objet (une bille, une pomme, une cerise, …) : 5gr X 3gr 3gr 2gr X+3 = 5 3gr 3gr 3gr 3gr 2gr Nous enlevons les deux poids de 3gr de chaque coté de la balance. X+3-3 = 5-3 Nous obtenons X = 2. 2gr X = 2

Autre explication : chez le marchand vous payez 5€ , le vendeur, tout en vous donnant la bille X, vous rend 3€ vous en déduisez que le prix de la bille est 5€ - 3€ = 2€.

En résumé pour résoudre X + 3 = 5 nous avons soustrait 3 de chaque coté de l’égalité (X + 3 - 3 = 5 - 3). Dans la pratique nous écrivons X = 5 - 3, puis X = 2.

Dans le cas X – 6 = 4 nous aurions du additionner 6 de chaque coté de l’égalité (X – 6 + 6 = 4 + 6) et nous aurions eu X = 10. b) Résolution d’une équation de la forme X ± b = c avec b et c nombres connus et X qui est l’inconnu : X + b = c ⇔ X = c - b Attention quand nous passons + b de l’autre coté de l’égalité, il se transforme en - b. Ex : X + 10 = -6 ⇔ X = -6 - 10 ⇔ X = -(6 + 10) ⇔ X = -16


39

X - b = c ⇔ X = c + b Attention quand nous passons - b de l’autre coté de l’égalité, il se transforme en + b. Ex : X – 11 = -5 ⇔ X= -5 + 11⇔ X = +11 - 5⇔ X = 6 c) résolvons : 3 X = 6 Considérons le symbole égalité comme une balance, X comme un objet (une bille, une pomme, une cerise, …) : 6gr 3X 2gr 2gr 3X = 6 = 2gr = 2gr 2gr Nous divisons par 3 le nombre d’objets X et le nombre de poids. X3

3 = 36

2gr Nous obtenons X=2. X = 2

Autre explication : chez le marchand il y a une promotion sur les billes X, 6€ les trois billes. Le prix de la bille X est de 6€/3 soit 2€.

En résumé pour résoudre 3X=6 nous divisons chaque coté de l’égalité par 3. Dans la pratique nous écrivons X = 6/3, puis X = 2.

Dans le cas 25X2

3 = nous devons multiplier chaque coté de l’égalité par la fraction 2/3 (qui est

l’inverse de 3/2. En effet 132

23 =× ) et nous aurions eu 3

225X3

223 /×/=/

/×// puis 3

5=X .


40

d) Résolution d’une équation de la forme dcXb

a = avec a, b, c et d nombres connus non nuls

et X qui est l’inconnu :

dc

ab

dc

ab

ba

ab

dc

ba ×=⇔×=×⇔= XXX Attention la deuxième étape n’est pas obligatoire. Ici nous

multiplions par la fraction inverse de a/b qui est b/a. Ex : 2

53235

3365

3 =⇔/××/=/×/⇔= XXX

e) Résolution d’une équation de la forme d

ceXba =+ avec a, b, c, d,e nombres connus non

nuls et X qui est l’inconnu :

1) Nous passons le terme e de l’autre côté de l’égalité en inversant le signe : ed

cXba −=

2) Nous calculons edc − en utilisant les règles sur les fractions d

decedc ×−=− ,

3) nous multiplions le nombre trouvé en 2) par la fraction b/a (inverse de a/b)

ab

ddecX ×

×−=

Ex :

56

25322

2534

23

54

54

32

551

32

55

51

3215

132

5113

2 −=⇔/××/×−=⇔

××−=⇔×−=⇔−=⇔−=⇔−=⇔−=⇔=+ XXXXXXXXX

f) Exemples :

a) 2)79(9779 −=⇔−−=⇔−=⇔=+ XXXX b) 4018222218 =⇔+=⇔=− XXX c) 33

333993 =⇔

//×=⇔=⇔= XXXX

d) 3

21131313112

1113

313112

3922

1311 =⇔××

××=⇔×××=⇔= XXXX

e) 23

323663153513 −=⇔/

/×−=⇔−=⇔−=⇔−−=⇔−=+ XXXXXX

f) 3311

31131213

11231123 −=⇔×−=⇔×−=⇔−=⇔−=⇔=+⇔=+ XXXXXXX


41

g)

43

223

23223

332239223

542235

232226

53223

2652 =⇔

×=⇔=⇔

×/×/=⇔

×=⇔

×+=⇔

×+

××=⇔+=⇔=− XXXXXXXXX

h) 7

34734

43

74

74

34

773

34

77

73

3417

334

7313

4 =⇔/××/=⇔×=⇔=⇔+−=⇔+−=⇔+−=⇔−=− XXXXXXXX


42

Résolution d’un système d’équations du premier degré à deux inconnues

1) Résolution par substitution Soient x et y deux inconnues, nous devons résoudre le système ci dessous par substitution (ou remplacement).

=+

=+−

2) (eq 3532

1) (eq 3024

yx

yx

La méthode de substitution consiste : à exprimer y en fonction de x (càd y=ax+b) grâce à l’une

des deux équations ou vice versa. Ici nous allons nous servir de (eq 1) afin d’exprimer y en

fonction de x tout en laissant (eq 2) identique:

=+

+−=⇔

=+

+−=⇔

=+

−=+−

2) (eq 3532

1b) (eq 2 430

2) (eq 3532

1a) (eq 4302

2) (eq 3532

1) (eq 3024

yx

xy

yx

xy

yx

yx

ainsi nous obtenons (eq 1b) après la transformation de (eq 1)

Puis à substituer ou remplacer la valeur de y dans (eq 2) par celle de y dans (eq 1b) comme ci

dessous :

( )

=

/+−×/×+

+−=⇒

=+−×+

+−=⇒

=+

+−=

2b) (eq 352 215232

1b) (eq 2 430

2a) (eq 352 43032

1b) (eq 2 430

2) (eq 3532

1b) (eq 2 430

xx

xy

xx

xy

yx

xy

( )

=+−

+−=⇒

=+−×+

+−=⇒

d) 2 (eq 356452

1b) (eq 2 430

c) 2 (eq 3521532

1b) (eq 2 430

xx

xy

xx

xy


43

=

+−=⇒

+=

+−=⇒

f) 2 (eq 808

1b) (eq 2 430

e) 2 (eq 45358

1b) (eq 2 430

x

xy

x

xy

=

+−=⇒

==

+−=⇒

h) 2 (eq 10

1b) (eq 2 430

g) 2 (eq 10880

1b) (eq 2 430

x

xy

x

xy

Et enfin nous substituons ou remplaçons la valeur de x dans (eq 1b) par celle de x dans (eq 2h)

comme ci dessous :

=

+−=⇒

=

×+−=⇒

h) 2 (eq 10

1b) (eq 2 4030

h) 2 (eq 10

1b) (eq 2 10430

x

y

x

y

=

=⇒

=

=⇒

h) 2 (eq 10

1b) (eq 5

h) 2 (eq 10

1b) (eq 210

x

y

x

y

Ainsi nous obtenons les solutions suivantes x=10 et y =5 1) Résolution par combinaison Soient x et y deux inconnues, nous devons résoudre le système ci dessous par combinaisons (ou par addition).

=+

=+

2) (eq 40102

1) (eq 3435

yx

yx

La méthode de combinaison consiste à faire apparaître le même nombre de x dans chacune des deux équations. Pour cela nous devons multiplier l’une ou les deux équation(s) afin d’avoir des coefficients opposés pour x ou y.

Ici nous allons multiplier (eq 1) par -2 et (eq2) par 5 afin d’ avoir le même nombre de x dans

chacune des équations :


44

( )( )

×=×=+×

−×=−×=+×−⇔

=+

=+

52a) (eq2a) (eq 5401025

2)(1) (eq1a) (eq )2(3435)2(

2) (eq 40102

1) (eq 3435

yx

yx

yx

yx

=+

−=−−⇒

2a) (eq 2005010

1a) (eq 68610

yx

yx

Puis nous additionnons les deux équations (eq1a) et (eq2a) pour obtenir dans ce cas une

équation en fonction de y uniquement :

( ) ( )

=+

=++−=++−−⇒

2a) (eq 2005010

(eq1b)2a) (eq1a) (eq 200685010610

yx

yxyx

=+

=⇒

=+

−=++−−⇒

2a) (eq 2005010

(eq1c) 13244

2a) (eq 2005010

(eq1b) 682005010610

yx

y

yx

yxyx

=+

=×××==

⇒2a) (eq 2005010

(eq1d) 34113411

44 132

yx

y

Deux solutions maintenant s’offrent à nous :

- nous pouvons substituer ou remplacer la valeur de y dans (eq 2a) par celle de y dans (eq 1d) :

−=

=⇒

=+

=⇒

=×+

=⇒

2d) (eq 15020010

(eq1d) 3

2c) (eq 20015010

(eq1d) 3

2b) (eq 20035010

(eq1d) 3

x

y

x

y

x

y

=//=

=⇒

=

=⇒

2f) (eq 50105

(eq1d) 3

2e) (eq 5010

(eq1d) 3

x

y

x

y

- nous pouvons repartir des équations de départ (eq1) et (eq2) et appliquer de nouveau la méthode de combinaison pour trouver la valeur de x :

( )( ) ( )

−×=−×=+×−

×=×=+×⇔

=+

=+

32a) (eq2a) (eq 3401023

)10(1) (eq1a) (eq )10(3435)10(

2) (eq 40102

1) (eq 3435

yx

yx

yx

yx

−=−−

=+⇒

2a) (eq 120306

1a) (eq 3403050

yx

yx


45

Puis nous additionnons les deux équations (eq1a) et (eq2a) pour obtenir dans ce cas une équation en fonction de x uniquement :

( )

=++−=++−−

=+⇒

2b) (eq2a) (eq1a) (eq 3401203050306

1a) (eq 3403050

yxyx

yx

=

=+⇒

−=++−−

=+⇒

2c) (eq 22044

1a) (eq 3403050

2b) (eq 1203403050306

1a) (eq 3403050

x

yx

yxyx

yx

=

=+⇒

×××××==

=+⇒

2e) (eq 5

1a) (eq 3403050

2d) (eq 112252112

44220

1a) (eq 3403050

x

yx

x

yx

En général, nous utilisons la première solution. Rappel : n’oubliez pas de remplacer les valeurs de x et y trouvées dans vos deux équations, cela vous permettra de vérifier que vous ne vous êtes pas trompé ! (ceci est valable aussi pour les équations du premier degré à une inconnue)


46

LEXIQUE DE GEOMETRIE

IFSI

cos²a + sin² a = 1


47

Aires (mesure des) Carré A = c x c = c²

Rectangle A = l x L

Losange A = (L x l)/2 Parallèlogramme A = B x h Triangle A = (B x h)/2


48

Cercle de diamètre d, de rayon r A = ∏ (d²/4) = ∏ r²

Trapeze A = ((B + b)/2) x h

Angle Deux angles sont adjacents s’ils ont : même sommet, un côté commun et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Un angle aigu est un angle plus petit qu’un angle droit.


49

Un angle obtus est un angle saillant plus grand qu’un angle droit.

Un angle plat mesure 180°, un angle droit mesure 90°.

Mesure des angles La mesure d’un angle s’exprime en degrés, minutes et secondes d’angle (un degré vaut 60 minutes d’angle et une minute d’angle vaut 60 secondes d’angle), on n’utilise généralement que des degrés. Il est aussi possible d’utiliser le radian (180°= ∏ radians). Pour mesurer des angles, on utilise un rapporteur. Propriété des angles d’un triangle La somme des angles d’un triangle est égale à un angle plat (180°). Bissectrice La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles égaux adjacents.


50

Les bissectrices des « angles » d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit.

Si une droite partage un angle en deux angles égaux alors c’est la bissectrice de cet angle. Si une droite est la bissectrice d’un angle alors elle partage l’angle en deux angles égaux. Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est à égale distance des côtés de l’angle. La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle. Carré Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Centre de gravité Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.


51

Si un point est le point de concours des médianes d’un triangle alors ce point est le centre de gravité du triangle. Si un point est le centre de gravité d’un triangle alors toute médiane de ce triangle passe par ce point. Le centre de gravité se trouve aux deux tiers de chaque médiane, à partir du sommet correspondant. Cercle Un cercle est l’ensemble des points d’un plan situés à la distance r d’un point fixe O. Cette distance est appelée le rayon, le point O est le centre du cercle.

Positions relatives d’une droite et d’un cercle. Droite extérieure au cercle


52

Droite sécante au cercle

Droite tangente au cercle

Hauteur Dans un triangle on appelle hauteur une droite passant par un sommet et coupant le côté opposé perpendiculairement.

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre. Losange


53

Un losange est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont de même longueur.

Les quatre côtés d’un losange sont de même longueur. Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c’est un losange. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires en leur milieu. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires en leur milieu, alors c’est un losange. Médiane Dans un triangle on appelle médiane une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé.

Si, dans un triangle, une droite passe par un sommet et le milieu du côté opposé, alors cette droite est une médiane de ce triangle. Si une droite est une médiane d’un triangle alors elle passe par un sommet et le milieu de son côté opposé. Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Ce point est situé aux deux-tiers de chaque médiane à partir du sommet. Médiatrice La médiatrice d’un segment [AB] est la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le milieu du segment [AB].


54

Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit au triangle.

Tout point situé sur la médiatrice est équidistant des extrémités de ce segment. Tout point équidistant de deux points A et B appartiennent à la médiatrice du segment [AB]. Milieu Le milieu d’un segment est le point situé à égale distance des extrémités de ce segment.

Si un point d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment alors ce point est le milieu de ce segment. Si un point est le milieu d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Orthocentre Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre d’un triangle.


55

Si les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes, leur point commun s’appelle l’orthocentre. Parallèles (droites) Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.

Lorsque deux droites sont parallèles :

- Toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre. - Toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. - Toute droite sécante à l’une est sécante à l’autre.

Parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.

Les diagonales d’un parallélogramme ont même milieu. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur. Les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux. Un quadrilatère dont les diagonales ont même milieu est un parallélogramme. Périmètres (mesure des)


56

Dans tous les cas, pour connaître un périmètre il faut additionner les valeurs des longueurs des côtés de la figure. Carré P = c + c + c + c = 4 x c Rectangle P = l + L + l + L = 2 x (l + L) Losange P = c + c + c + c = 4 x c Parallèlogramme P = l + L + l + L = 2 x (l + L) Triangle P = AB + BC + CA Cercle de diamètre d, de rayon r P = ∏ d = 2 ∏ r Perpendiculaires (droites) Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit.

Lorsque deux droites sont perpendiculaires :

- Toute droite parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre. - Toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.

Pythagore (théorème de) Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés perpendiculaires. Réciproque : si dans un triangle le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté. Rectangle Un rectangle est un parallélogramme dont un angle est droit.


57

Les diagonales d’un rectangle sont de même longueur. Un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle. Sécantes (droites) Deux droites sécantes sont des droites ayant un seul point commun.

Symétrie centrale Deux points A et B sont symétriques par rapport à un point O lorsque O est le milieu du segment [AB].

Si A et B sont symétriques par rapport à un point O alors O est le milieu du segment [AB]. Si O est le milieu d’un segment [AB] alors A et B sont symétriques par rapport au point O. Thalès (théorème de) Dans un triangle ABC, soit M un point de [AB] et N un point de [AC]. Si (MN) et (BC) sont parallèles alors :


58

BCMN

ACAN

ABAM

==

Trapèze Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles.

Un trapèze dont un angle est droit est un trapèze rectangle.

Un trapèze dont deux côtés opposés sont de même longueur est un trapèze isocèle.

Triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur. On peut aussi dire q’il a trois angles de même mesure (60°).


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Si un triangle a trois côtés de même longueur alors il est équilatéral. Si un triangle est équilatéral alors il a trois côtés de même longueur. Si un triangle a trois angles de même mesure alors c’est un triangle équilatéral. Si un triangle est équilatéral alors il a trois angles de même mesure. (AA’), (BB’), (CC’) sont à la fois médiatrices, hauteurs et axes de symétrie du triangle. Le point O est centre des cercles circonscrit et inscrit, centre de gravité et orthocentre, c’est le centre du triangle. Triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. On peut aussi dire q’il a deux angles de même mesure. Si un triangle a deux côtés de même longueur alors il est isocèle. Si un triangle est isocèle alors il a deux côtés de même longueur. Si un triangle a deux angles de même mesure alors c’est un triangle isocèle. Si un triangle est isocèle alors il a deux angles de même mesure.

(AA’) est à la fois médiatrice, hauteur et axe de symétrie.

A’


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Triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

Si un triangle a un angle droit, alors il est rectangle. Si un triangle est rectangle, alors il a un angle droit. Un triangle qui a deux côtés perpendiculaires est appelé triangle rectangle. On appelle triangle rectangle un triangle qui a un secteur angulaire droit. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Si un triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC], alors il est rectangle en A. Triangle rectangle isocèle Dans ce triangle, les côtés qui ont même longueur sont ceux de l’angle droit.

Triangle (théorèmes) Théorème de la droite des milieux Si dans un triangle une droite passe par le milieu de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.


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Théorème du segment des milieux Si dans un triangle un segment joint les milieux de deux côtés alors la longueur de ce segment est la moitié de la longueur du troisième côté. Théorème de la droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un autre côté Si dans un triangle une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors cette droite coupe le troisième côté en son milieu.

Volumes (mesure des) Cube : toutes les faces sont des carrés. V = a x a x a


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Parallélépipède rectangle : toutes les faces sont des rectangles. V = L x l x h

Prisme droit : la base est un polygone, les faces sont des rectangles. V = B x h, B = aire de la base et h = hauteur

Prisme oblique : V = B x h, B = aire de la base et h = hauteur

Cylindre : V = B x h, B = aire de la base (aire d’un cercle) et h = hauteur


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Pyramide : V = (B x h)/3, B = aire de la base et h = hauteur

Cône : V = (B x h)/3, B = aire de la base (aire d’un cercle) et h = hauteur

Tronc de cône : V = (∏ h (R²+r²+Rr))/3

Sphère : rayon R V = ∏ R3 x (4/3)

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