be rbf rapport teffah cartier michaud

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 CM E : C 4   GMM J 2010

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Cartier-Michaud Thomas

Teffah Zakaria

Introduction aux fonctions de base

radiale

Encadrant : Christophe Rabut

4ème

année GMM

Juin 2010

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Sommaire

Introduction ............................................................................................................................................. 3

1. Présentation des fonctions de base radiale : ...................................................................................... 3

1.1. Définitions des systèmes à résoudre : ......................................................................................... 3

1.2. Champ d'applications : la Science................................................................................................ 6

2. Principaux théorèmes et caractéristiques : ......................................................................................... 9

2.1. Unisolvance .................................................................................................................................. 9

2.2. Convergence : ............................................................................................................................... 9

2.3. Conditionnement du système .................................................................................................... 10

3. Illustrations de fonction à base radiale : ........................................................................................... 12

4. Algorithmes de résolution : ............................................................................................................... 18

1) BFGP algorithm (Beaston Faul Goodsell Powell) ........................................................................... 18

2) méthode Multipole adaptée aux RBF :.......................................................................................... 18

3) Pré conditionnement : ................................................................................................................... 19

Conclusion ............................................................................................................................................. 20

Bibliographie : ........................................................................................................................................ 21

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Introduction

Dans ce rapport nous allons essayer de rassembler les principaux résultats concernant les bases

de fonctions radiales ainsi qu'une liste de bases. Cela a pour but de donner rapidement les outils

nécessaires à une première mise en application en particulier grâce à des illustrations et intuitions.

1. Présentation des fonctions de base radiale :

1.1. Définitions des systèmes à résoudre :

Une fonction radiale est une fonction qui va de R dans R. Elle est utilisée pour des espaces

de toute dimension en la composant avec une norme : | |: → . Grâce à une combinaisonlinéaire de ses translatées, il est possible d’interpoler ou approximer un ensemble de données.

L’interpolant a alors la forme :

Dans ce système apparait   les J points donnés ainsi qu’un polynôme de degré k. Pour ≥ 1 cela

permet d’assurer que le système sera capable de reconnaitre une droite, en fait on donne au systèmela possibilité de reconnaitre exactement toutes données non bruitées qui seraient extraites d’un

polynôme de degré k. On peut aussi voir l’introduction du polynôme comme l’utilisation d’une base

d’un autre type pour augmenter le pouvoir interpolant du système. Par exemple nous avons pu voir

cette année en mécanique des structures, en particulier lors de l’étude de la rupture, que localement

pour approximer une grande irrégularité due à une fissure, l’utilisation d’une seconde base apporte

un gain non négligeable.

Interpolation :

On veut interpoler les données = 1, … , . On choisit souvent la norme 2.

Soit , = ( − ) , , = () , (, ) ∈[0,] 

Sur une ligne on retrouve l’évaluation d’un point donné par toutes les fonctions radiales. Tandis que

sur une colonne on retrouve l’évaluation d’une fonction pour tout le jeu de données. Cette vision de

la chose est importante pour comprendre comment on peut améliorer le conditionnement du

système.

Le système d’interpolation s’écrit alors :

( )

=Ρ ∈∀

+−=

=

=

 J  j

 j jk 

 J  j

k  j j

 X  p p

 X  p X  X  X 

:1

1

:1

1

2

0)(,

)()(

λ 

ϕ λ σ 

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  0

= 0  

Il y a ici n+k équations et n+k inconnues, n données du problème et les k coefficients du polynôme

d’ordre k-1.

Il existe un ensemble de résultats qui assurent l’existence et l’unicité de la solution, nous les

détaillerons au chapitre suivant.

Approximation par les moindres carrés :

On veut maintenant approximer N données ( ,)   = 1, … ,, sur n nœuds   pour

  = 1,… , . Le système fait appel à une minimisation mise en place par la méthode des

moindres carrés.

Soit (, ) ∈ [1, ] ; (, ) ∈[1, ] 

 , = (||  −  ||)

=1(||  −  ||) 

, = (||  −  ||)( )

=1 

 , =  ( )

=1 _( ) 

ℎ, = ( ) 

= (||  −  ||)

=1 

=  ( )

=1 

On forme alors le système :

(  0 0 0

) () = (

0) 

Il y a ici n+2*k équations et n+2*k inconnues le système est carré. Les inconnues sont : les n

coefficients des n nœuds choisis pour centrer nos fonctions radiales plus k coefficients qui

interviennent dans la minimisation de l’erreur et enfin les k coefficients du polynôme d’ordre − 1.

L’approximation peut être utilisée pour diminuer le nombre de données nécessaires pour représenterune fonction ou régulariser des données en les filtrant.

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Le choix des n nœud est un paramètre important pour la qualité du résultat. Deux approches sont

habituellement utilisées :

- la première consiste à placer les n nœuds en fonction de la répartition des N données. On

concentre alors plus de nœuds là ou les données sont plus concentrées, l’idée est que si l’information

n’est pas réparties uniformément sur le domaine, on cherche à concentrer nos nœuds la ou il y a le plusd’information. Cependant il faut veiller à garder une distance suffisante entre les nœuds pour éviter de

se retrouver avec un système numériquement singulier.

- la seconde consiste à placer les n nœuds sur une grille cartésienne. On cherche alors à

repartir l’information de façon uniforme sur l’ensemble du domaine d’arrivée de la fonction. Plus de

théorèmes utilisent cette approche, la convergence et le conditionnement de tels systèmes sont mieux

documentés. De plus, l’algorithme de résolution peut être optimisé en tenant compte de la répartition

particulière des n nœuds.

Historiquement, à partir des splines poly harmoniques, on a construit les splines plaques minces. D’où

l’idée des fonctions radiales est survenue.

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1.2. Champ d'applications : la Science

La liste des applications des fonctions radiales est très vaste. Cette diversité est liée à

leurs différentes caractéristiques. Ces dernières se présentent en leur définition sur des

données de dimension quelconque et reparties de façons quelconque, comment faire plus

général ? De plus, elles ont la propriété intéressante de la variation diminuée, ce qui leur

permet de présenter une grande régularité. Il s’avère que les autre méthodes d’interpolation et

d’approximation ont l’inconvénient d’échouer totalement pour certains données (les

« scattered data » : données éparpillées) à cause d’un très mauvais conditionnement du

système linéaire à résoudre. Tandis que les fonctions radiales donnent de bons résultats pour

tout type de données et spécialement pour les données éparpillées (par exemple « track data »

voir figure en-dessous).

Afin de toucher leur utilité dans la Science, nous allons présenter quelques applications :

1. Traitement d’image :

La reconstruction d’image à partir de données, selon la façon de les recueillir, peut faire

 judicieusement appel aux fonctions de base radiale pour faire de l’interpolation s’il y a peut de

donnée et qu’elles ne sont pas bruitée, ou de l’approximation. La représentation en images de

synthèse du corps humain fut une application importante. Ci-dessous deux images, la

première représente 27 000 points obtenue par le scanne d’une main au laser, la seconde

représente l’approximation de ses points au moyen de 2600 fonctions radiales. Le ratio de

compression avoisine les 10 tout en ayant un excellent résultat visuel.

2. Océanographie opérationnelles

Afin de cartographier la surface du

fond de l’océan et/ou prélever sa

température, des bateaux équipés de

différents détecteurs collectent

plusieurs données. Ces dernières ont

une forme spéciale appelée « track 

data ». Elles représentent les

trajectoires de ces bateaux (voir image

ci contre). Elles sont inégalement

réparties dans l’espace, très serrées

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dans une direction par rapport à l’autre, on a couramment un rapport de 100 entre les deux

dimensions.

3. Modélisation par réseau de neurones (Robotique)

Les fonctions radiales sont omniprésentes dans ce domaine. Il est impossible de se renseigner

sur le net sans tomber sur des réseaux de fonctions de base radiale ou réseaux de neurones

artificiels. Leur grand avantage en ce qui concerne l’approximation de données

multidimensionnelles et la taille des systèmes que l’on peut traiter. La constitution d’un tel

réseau passe par une étape appelée « situation d’apprentissage », où le réseau de neurones

cherche à apprendre un comportement au moyen d’un ensemble de donnée et d’une fonction

quantifiant la qualité du comportement du réseau. Dans la robotique, approximer des données

de photos prise par les « yeux » d’un robot permet par exemple de détecter des obstacles,

notamment en étudiant l’invariance dans les images approchées par un tel réseau. On

remarque que pour cette application les données sont de grande taille, les images utilisées sont

couramment de taille 1000x1000 pixels, ce qui représente un million de donnée à approcher.

4. Résolution d’EDP et d’EDO

La résolution par les fonctions radiales est particulièrement intéressante pour des problèmes

elliptiques non linéaires en dimension 3 ou plus et dont la condition initiale est mal approchée

par les méthodes plus traditionnelles (triangulation nécessitant trop d’éléments).

Effectivement une convergence exponentielle est observée pour de tels problèmes et les

fonctions de base radiale permettent de bien prendre en compte des conditions initiales ou au

bord compliquées. Cependant, elle demande une puissance de calcul importante. L’utilisation

des RBF est étendue également à la reconstruction locale de solutions obtenues par des

algorithmes de résolution numérique. Notamment, nous pouvons citer l’exemple des splines

plaques minces qui améliorent fortement la précision de la méthode de volumes finis

approchant les lois de conservation. A l’opposé de cette utilisation qui consiste en

l’enrichissement local de la solution, on peut aussi utiliser les fonctions à base radiale pour

diminuer la quantité nécessaire pour représenter la solution d’une EDP obtenu sur un maillage

extrêmement fin, spécifiquement pour l’analyse de résultats

 Remarque : Aux vues des applications possibles qui vont de la finance à la biologie en passant

par la cartographie via satellite, il est intéressant de pouvoir présenter de façon simple les

fonctions à base radiale pour que le plus grand nombre puisse les manipuler. Il existe

beaucoup de bibliothèques ou programmes qui les mettent en application, à commencer par la

toolbox matlab, extrêmement puissante est très documentées (documentation de 900 pages).

Résumé :

Devant un problème d’interpolation ou d’approximation de données éparpillées ou un

problème ayant de données en dimensions supérieurs (typiquement supérieur à 3) nous

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utiliserons plutôt les fonctions à base radial. La question qui s’oppose désormais, quels sont

les critères sur lequel il faut se baser pour choisir la fonction de base radiale adaptée à notre

problème. La réponse n’est pas triviale, généralement on passe en revue l’ensemble des bases

radiales et on cherche si leur critère limitant se retrouve dans les données à étudier.

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2. Principaux théorèmes et caractéristiques :

La démocratisation de l’utilisation des fonctions à base radiale est venue après un

développement théorique mathématique sophistiqué. Il repose généralement sur l’analyse

hilbertienne, noyau reproduisant. Les théorèmes fondamentaux et surtout leur démonstration sont

riches d’enseignement mais demande beaucoup de pré requis, c’est pourquoi nous nous limiterons a

l’énonciation des résultats. Nous conseillons la lecture de « Radial Basis Function » de Martin D.

Buhmann à toute personne intéressée par le sujet.

2.1. Unisolvance

Définition :

Une fonction ∈ () est dite complètement monotone si elle vérifie la propriété suivante :

=0,1,2,…, (−1)() ≥ 0 ∀ > 0 

Théorème :

Soit ∶ → une fonction complètement monotone non constante. Alors, pout tout ensemble

⊂  de données distinctes, La matrice A d’interpolation est définie positive pour () =().

En particulier A est non-singulière.

Remarques :

- toutes les fonctions complètements monotones g sont générées par l'intégration d’une mesure, qui

est un noyau.

- Le Lemme de Bernstein-Widder permet de caractériser les fonctions complètements monotones.

- La non singularité des matrices d'interpolation n'est vrai que pour la norme p=1,2 Même si la

fonction g respecte la condition de la monotonicité.

2.2. Convergence :

L’étude de convergence est établie à partir de la quasi-interpolation où on se donne une

fonction assez régulière f tell que :

() = ( ℎ) ℎ − ,

∈∈  

Avec :

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() = (| − |),||

En prenant la fonction multiquadric, nous pouvons énoncer le théorème intéressent :

Soit f une fonction doublement différenciable avec | | et | ′| sont finis. On a :

∀ ≠ 0 , |  − | = (ℎ + ℎ|ℎ|), ℎ → 0 

Nous pouvons apprécier la convergence essentiellement quadratique.

On déduit l’estimateur d’erreur suivant :

∀ ≠ 0 , |  ′ − ′| = (ℎ + /ℎ), ℎ → 0 

Ces résultats sont pleinement utilisés lors de l’étude de convergence de ces fonctions radiales pour

différents jeux de donnée.

Après des études de convergence des multiquadric inverse, il s’est avéré qu’elles sont plus faibles que

les multiquadrics Malgré le caractère décroissant qui donne plutôt l’intuition d’être un meilleur

interpolant.

2.3. Conditionnement du système

Comme vu dans le paragraphe précédent, les matrices ont des formes que l’on peut

facilement visualiser. Les lignes et colonnes du bloc « A » peut être décrites en deux idées tres

visuelles :

-  sur une ligne on retrouve l’évaluation d’un point donné par toutes les fonctions radiales.

-  sur une colonne on retrouve l’évaluation d’une fonction pour tout le jeu de données.

En considèrent qu’une matrice est proche de la singularité lorsque deux lignes ou deux colonnes sont

presque colinéaires, on peut entrevoir des répartitions de données ou fonctions radiales qui ne

donneront pas un système bien conditionné. Par exemple, voir figure page suivante, dans le cas ou n

points se trouvent presque à égale distance des N-n autres points, on va avoir une évaluation des N-n

fonctions centres sur les N-n points extérieurs presque égale pour les n points au centre. Idem les n

fonctions centrées sur les points du centre vont évaluer les N-n points de façon presque égale On se

retrouve alors avec n liges et colonnes quasi colinéaires. Ici n=3.

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Une autre source de mauvais conditionnement est le fait qu’en générale la valeur des fonctions

radiale à l’infini est l’infini. Ainsi lors de la résolution du système on manipule des nombres grand où

les erreurs peuvent rapidement grandir.

Il existe de nombreux pré conditionneurs basés sur des idées liées aux fonctions à base radiale, mais il

existe aussi des conditionneurs plus génériques qui opèrent sur tout système d’équations linéaires,

faire appel au deux est tout a fait envisageable.

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3. Illustrations de fonction à base radiale :

Toutes les bases présentées ici sont complètements monotones, notion définie dans le

chapitre précédent et à support non compact, ce qui implique une matrice pleine dans le

système linéaire à résoudre. Utiliser une fonction à support compact permet de diminuer le

nombre d’éléments non nuls de la matrice et ainsi peut améliorer le conditionnement.

Cependant nous avons rarement vu de mise en application de telles fonctions, en effet

l’ensemble de la théorie des fonctions à base radiale a été initialement développée pour des

fonctions à support non compact, ainsi un grand nombre de théorèmes sur l’unicité et

existence des solutions n’est plus valable.

a)  Fonction linéaire :  ( ) = b ∗ r Dérivée :  ′ ( ) =  

Intégrale : () = ∗  

Il n’y a pas de paramètre avec le quel jouer sur cette base, autre que le poids qui estdéterminé par le système linéaire à résoudre.

Figure : Fonction linéaire b=1

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b)  Fonction cubique : () = b ∗ r3 

Dérivée : ′ () = 2 ∗ ∗ 2 

Intégrale : () = ∗  

De la même façon que pour la fonction linéaire, il n’y a pas de paramètre sur lequel on puisse jouer autre que le poids .

Figure : cubique b=2 10^-7

c) 

Fonction plaque-mince : () = b ∗ r2 ∗log(r2) Dérivée : ′ () = 2 ∗ ∗ ∗ ( 1 + 2 ∗ l o g()) 

Intégrale : () = 2 ∗ ∗ (() −

Encore une fois, il n’y a pas de paramètre sur lequel on puisse jouer autre que le poids .

Figure : plaque mince b=10^-2

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d)  Fonction poly-harmonique : () = ∗ ∗ ∗ log () 

avec la dimension de l’espace de départ nécessairement pair et tel que >  . 

Dérivée : () = 2 ∗ ∗ ( ( 2 ∗ − ) ∗ ∗ ∗()+∗)Cette fois on peut modifier un paramètre : , visuellement il aura pour effet de modifier lerayon de la courbure de la pente et donc sa rapidité. 

Figure : Poly harmonique b=10^-6 c=4 d=2

e)  Fonction shifted thin plate spline :  () = ∗ ∗ log ( + ) 

Avec un biais dont l’analyse dimensionnelle doit être effectuer sous peine de ne pas

parvenir à choisir une valeur numérique appropriée.

Dérivée : 2 ∗ ∗ ∗ ( + ) + ∗∗  

Le paramètre permet surtout de modifier la pente, un peu comme le paramètre de lafonction précédente.

Figure : shifted thin plate b=1/50 c=100

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f)  fonction multiquadrique :  ( r) = b ∗  (r + c)Dérivée : () = ∗

() 

Le paramètre c permet de faire une translation en z de la surface formée par la fonction. 

Figure: Shifted thin plate spline b=1/2 c=100

g) 

fonction multiquadrique inverse :  (r)=

 () Dérivée :  ′ () = − ∗

() 

Le paramètre modifie le diamètre du pic.

Figure : Multiquadric inverse c=2 b=40

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h)  fonction gaussienne :  (r) = b ∗ exp(− ) 

Dérivée :  ′ () = − ∗∗∗ ()

 Le paramètre modifie le diamètre du pic. 

Figure : Gaussienne b=20 c=3

Comme on l’a spécifié au début du rapport, les fonctions radiales utilisent la norme de

la localisation du point sur lequel elles sont appliquées. Il est envisageable d’utiliser

différentes normes pour améliorer le conditionnement du système.

Par exemple dans le cas ou les données seraient plus espacées dans une dimension que dans

l’autre on peut envisager une norme : (, ) =  ( (1 − ) ∗ 2 + ∗ 2) afin d’allonger

une direction par rapport à une autre.

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A gauche, utilisation de la norme 2 dans le cas d’une fonction radiale linéaire

A droite, utilisation de la norme (,) dans le cas d’une fonction radiale linéaire, p=0.7

A gauche, utilisation de la norme 2 dans le cas d’une fonction radiale gaussienne

A droite, utilisation de la norme (, ) dans le cas d’une fonction radiale gaussienne,

p=0.85

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4. Algorithmes de résolution :

Dû à la grande taille du système linéaire vers lequel les fonctions radiales découlent, les

méthodes directes sont évitées. Par exemple, avec 10 de donnée la méthode directe doit faire 10 

opérations ce qui est complètement non envisageable (environ 10 opérations effectuées par

seconde pour un processeur actuel). La résolution alors se tourne vers les méthodes itératives. Il

s'avère qu'elles sont appropriées lorsqu'on veut calculer la solution à une précision donnée. Il existe 3

principales méthodes itératives appropriées :

Remarque : Il y a deux problèmes qui sont liés : le calcul des coefficients de la solution et l'évaluation

de la fonction interpolant trouvée.

1) BFGP algorithm (Beaston Faul Goodsell Powell)

Cette méthode utilise le fait que les fonctions radiales agissent localement, malgré leur

support de la taille du domaine étudié pour beaucoup d’entre elles. Cela est du au fait que les

fonctions lagrangiennes dans l'espace fonctionnel, qui a pour base les fonctions radiales, décroit

rapidement sur un carré d'une grille cartésienne. Ainsi, on peut opter pour un calcul local des

lambdas.

Une méthode de décomposition de domaine est utilisée. Les sous-domaines crées sont

essentiellement disjoint (le recouvrement est minime entre eux). Les données sont en pratiqueregroupées par paquet de 30 ou 50 pour un problème en dimension 2 ou 3 dimensions. Pour les

dimensions supérieur on peut arriver jusqu’à 100 par exemple pour la thin plate spline. Ils sont

choisis sous le critère du K-unisolvant.

Une méthode récente est celle de sous espace de krylove qui est similaire à celle du gradient

conjugué mais avec des critères d'arrêt et le temps de mise à jours des éléments du sous espace K.

2) méthode Multipole adaptée aux RBF :

Au début, cette méthode a été créée pour la résolution des systèmes linéaires découlant de la

méthode des éléments de frontières (équations intégrales). Elle repose également sur la

décomposition de domaines des données (structuration du jeu de donnée) mais ne tiens pas en

compte de la localité des fonctions lagrangienne RBF. Elle est établie sur le développement en série

de Laurent des RBF. En implémentation numérique, cette série est tronquée et est calculée

itérativement jusqu'à satisfaction de la précision voulue. Il s'avère que c'est intéressant pour les

« thin plate splin » qui imposent le calcul de composante par composante (dû à la présence du

logarithme) car après regroupement, on ne calcule plus que d'une façon asymptotique les termes. En

fait cette méthode est aussi utilisée dans l'évaluation de la fonction interpolant à qui on a déjà calculéles coefficients même avec la méthode BFGP ou gradient conjugué.

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3) Pré conditionnement :

Il est judicieux d’opter pour un pré conditionneur afin d’améliorer le conditionnement de la matrice

ainsi calculée. Il existe une famille de pré conditionneur qui sont dédiés aux RBF.

Synthèse des 3 méthodes : Il est pertinent d’utiliser un pré conditionneur adapté aux RBF puis on

utilise la méthode BFGP pour la résolution et finalement on utilise l'algorithme multipole rapide pour

l'évaluation de l'interpolant ainsi obtenu.

Interpolation de données d’ub scan laser par une méthode itérative

Remarque : Une autre approche peut être envisagée. A l’image des réseaux de neurones dont

l’apprentissage se ferait par recuit simulé, il serait intéressant de mettre en place un recuit simulé qui

ferait varier la position des centres de chaque fonction ainsi que leur poids. Pour orienter

l’optimisation du système il faut mettre en place une fonction cout qui mesurait la qualité de

l’approximation. Si l’on souhaite faire de l’interpolation on ne peut alors utiliser le recuit simulé que

pour la position du centre des fonctions radiales, le système déterminant le poids de chacune des

fonctions doit alors être résolu à chaque itération. Une fonction cout à intéressante à utiliser dans ce

cas là pourrait être la valeur du conditionnement du système.

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Conclusion

Le sujet des fonctions à base radiale nous a été particulièrement intéressent dans la mesure

où il représente un outil très puissant pour l’interpolation et l’approximation de données

multidimensionnel et éparpillé. De plus, il est considéré comme une méthode alternative de

résolutions d’équations aux dérivées partielles sans se préoccuper par un maillage. Cela nous a

donnée un outil supplémentaire que les méthodes numériques finies qu’on a apprises lors de notre

cursus en numérique.

Ce travail de documentation a été une première véritable expérience dans laquelle nous nous

sommes rendu compte de la difficulté d’établir un résumé de toutes nos sources. Ayant senti une

progression dans notre analyse et intuition, nous voudrions bien continuer notre synthèse sur le

sujet. Cependant, nous sommes un peu aigris de ne pas développer des programmes afin de toucher

l’aspect pratique du sujet.

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Bibliographie :

Wikepedia : pour une approche générale.

Livre : « Radial Basis functions » Martin D. Buhmann : Cette source développe de façon très

poussée les connaissances sur le sujet en 2003. C’est un excellent premier ouvrage pour

appréhender les fonctions à base radiale.

Thèse « The interpolatoin theory of radial basis functions » de Bradley John Charles Baxter:

Cette source s’attarde plus longuement sur l’étude de différentes fonction à base radiale.