ballast

Modlisations discrtes et continues de la voie ferreballaste

Thse de doctorat de L. Ricci(a,b) sous la direction de K.Sab(a)a Institut Navier-Laboratoire Analyse des Matriaux et Identification (LCPC/ENPC)

b Direction de la Recherche et de la Technologie (SNCF)

17 dcembre 2006

Table des matires

1 Introduction gnrale 11

I Bibliographie 15

2 La voie ferre 172.1 Description de la voie ferre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 La voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Le rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 La traverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4 Le ballast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.5 Les structures dassise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Vie de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Description des dfauts de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Seuils dintervention pour les lignes grande vitesse . . . . . . . . . 212.2.3 Oprations de maintenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Observations exprimentales 233.1 Les rgles de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Conservation du champ des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2 Conservation du champ dacclration . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Dispositifs exprimentaux dobservation dune voie ferre . . . . . . . . . . 253.2.1 Observations in-situ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2 Banc dessai chelle relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Banc dessai chelle un tiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.3.1 Essai MICROBALLAST . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.3.2 Essai BETTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.3.3 Description gnrale de lessai BESTT ([4]) . . . . . . . . 31

3.3 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Modlisations : modles de comportement et effets dynamiques 354.1 Modles continus de la voie ferre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 TABLE DES MATIRES

4.1.1 Mthodes de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Mthode des lments discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Charge mobile et dynamique des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II Etudes semi-analytiques 1D et 3D 49

5 Construction dun modle 1D mixte discret-continu 535.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Modle continu/continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.2 Recherche des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.2.1 Rappel des quations classiques de la mcanique . . . . . . 545.2.2.2 Etude de la couche suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.2.3 Couche infrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.2.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.3 Rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Modle discret/continu 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3.2 Etude de la couche suprieure discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.3 Etude de la couche infrieure continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.4 Identification des paramtres discrets k et M . . . . . . . . . . . . . 625.3.5 Etude des quations de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.6 Recherche et comparaison des frquences propres entre les approches

discrte et continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3.6.1 Milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.6.2 Milieu discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.7 Rsolution dans le cas dune sollicitation sinusodale pour le bicouchediscret/continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3.8 Couche continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.9 Couche discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4 Rsultats : comparaison entre les bicouches mixte discret/continu et continu/continu 715.4.1 Convergence de lapproche discret/continu vers lapproche continu/continu 715.4.2 Influence de la diffrence des rigidits et de la frquence de la sollici-

tation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6 Approche 3D dun bicouche linaire mixte discret/continu 756.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Prsentation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2.1 Description du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

TABLE DES MATIRES 5

6.2.2 Modlisation du ballast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2.3 Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2.3.1 La couche discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.3.2 Equations dans le milieu continu . . . . . . . . . . . . . . 786.2.3.3 Les conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.4 Identification des paramtres du modle discret . . . . . . . . . . . . 806.3 Rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.3.1 La sous-couche continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3.2 La couche discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.4 Illustration sur un cas simple 1D de la premire zone de Brillouin . . 85

6.4 Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4.1 Demi-espace discret soumis une charge ponctuelle . . . . . . . . . 866.4.2 Etude dun bicouche discret/continu sous laction dune charge ponc-

tuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.3 Un bicouche mixte discret/continu soumis une charge en M . . . . 90

6.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

III Etudes linaires et non-linaires par lments finis 97

7 Construction de modles continus et discrets par lments finis : approches li-naires et non linaires 1017.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 Algorithmes de rsolution des quations issues des lments finis . . . . . . . 102

7.2.1 Problmes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2.2 Problmes non-stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3 Discrtisation dun problme dlastodynamique linaire continu . . . . . . . 1067.3.1 Mthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3.2 Construction dune fonction dinterpolation pour des lments hexa-

driques (de la forme dun paralllpipde rectangle, MTH8 dans lanomenclature du code CESAR-LCPC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3.3 Passage des fonctions dinterpolation la matrice dinterpolation . . 1087.4 Construction de la matrice de rigidit dun lment discret linaire BL8 . . . 110

7.4.1 Expression de lnergie du cube BL8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.4.2 Construction de la matrice de rigidit . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.5 Construction de la matrice de rigidit dans les cas unilatraux pour des inter-actions linaires ou non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.5.1 Pourquoi faut-il construire des modles unilatraux ventuellement

non-linaires ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.5.2 Expression des drives de lnergie potentielle . . . . . . . . . . . 115

7.6 Cas discret non linaire et/ou unilatral pour un hexadre huit noeuds (BNL8) 116

6 TABLE DES MATIRES

7.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.6.2 Construction des lois de comportement discrtes . . . . . . . . . . . 1177.6.3 Introduction au niveau local dune non-linarit polynomiale de degr

deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.6.4 Effets sans-tension : critres et utilisation . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.7 Amortissement numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.7.1 Couche absorbante dans CESAR[54] . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.7.2 Formule damortissement proportionnel utilise dans le code lment

finis CESAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8 Elments de validation et de comparaison de modles numriques 1238.1 Comparaison des diffrents modles avec la solution analytique de Boussinesq 123

8.1.1 Rappels sur le problme et la solution de Boussinesq pour une chargefixe ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.1.2 Prsentation du maillage pour les modles numriques, effet de lataille du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.1.3 Comparaisons entre la solution de Boussinesq et les modles introduitsdans CESAR-LCPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.2 Comparaison des diffrents modles entre eux sur une exprience pseudo-oedomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2.1 Prsentation du maillage pour les modles numriques . . . . . . . . 1298.2.2 Comparaisons des modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9 Application ferroviaire : cas du banc dessai chelle un tiers 1339.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.2 Le banc dessai chelle un tiers BESTT [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.2.1 Description, conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.2.2 Rsultats exprimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.3 Coupe transversale du banc dessai chelle un tiers : cas pseudo 2D . . . . . 1409.3.1 Prsentation du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.3.2 Cas statique linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.3.3 Comparaison des signaux entre le cas pseudo 2D et la modlisation

complte du banc pour une sollicitation sur un seul vrin . . . . . . . 1439.3.4 Conclusions-bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.4 Section pseudo-2D longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.4.1 Prsentation du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.4.2 Etude statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.4.3 Dynamique du banc dessai chelle un tiers : coupe longitudinale

avec un chargement immobile oscillant sur le blochet central . . . . . 152

TABLE DES MATIRES 7

9.4.4 Coupe longitudinale avec un chargement mobile variable sur les troistraverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.4.5 Conclusion partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10 Conclusion gnrale et lments de perspectives 165

A Rsoudre une quation de degr 3 173

B Recherche des directions de propagation dondes 175

C Force discrte quivalente 177C.1 Cas dune charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

C.1.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177C.1.2 Cas 3D dune force ponctuelle se dplaant paralllement aux aligne-

ments de granulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178C.2 Cas dune force rpartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

C.2.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180C.2.1.1 Exemple 1 : force de gravitationnelle . . . . . . . . . . . . 181C.2.1.2 Exemple 2 : force gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . 181

C.2.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183C.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Rsum

Devant la dgradation plus rapide que prvue des voies ferres ballastes aux grandes vitesses,la SNCF a engag des recherches sur la modlisation de la voie, et a lanc des exprimentationsen collaboration avec le Laboratoire Central des Ponts et Chausses.

Lobjectif des deux thses menes au LAMI (ENPC/LCPC) ces quatre dernires annestait de pouvoir indiquer, en fonction de la vitesse et de la nature du sol, le tassement associde la voie ferre ballaste. Le travail sest divis en deux parties : la premire ([4]), consistait rechercher une loi de tassement exprimentale en fonction de lacclration prsente dansle voie ; la seconde (notre thse) avait pour but dlaborer un modle de voie permettant, enfonction de donnes sur la vitesse et de la nature du sol, de donner la valeur de lacclrationverticale maximale.

Nous avons donc dvelopp des approches dynamiques semi-analytiques linaires multi-couches, des approches numriques linaires ou non (mthode des lments finis, dveloppe-ments dans le code CESAR-LCPC), discrtes et continues. En comparant leurs rsultats auxmesures exprimentales, on a pu slectionner les lois de comportement les plus adaptes, et lemodle de voie idoine de voie ferre.

Mots-cls : vibration du ballast, modle discret/continu, comportement dynamique de la voie,transforme de Fourier, charge mobile, mthode des lments finis, modlisation non-linaire.

8 TABLE DES MATIRES

Remerciements

Ce travail de thse sinscrit dans le cadre des travaux numriques et exprimentaux mensau Laboratoire Analyse des Matriaux et Identification sur les voies ferres grande vitesse,sous la direction de Karam Sab, professeur de lENPC. Cest dailleurs lui que sadresse mareconnaissance pour sa patience et ses conseils aviss.

Denis Duhamel, professeur de lENPC, Vu Hieu Nguyen et Pierre Humbert, directeur derecherches du LCPC mont galement aid apprhender le numrique, et ont accompa-gn ma prise en main des langages C++ et fortran en vue de la programmation dans le codelments finis CESAR-LCPC. Merci eux !

Ma gratitude teinte de soulagement va galement aux membres de mon jury, exigeant etbienveillant la fois. Il sagissait, outre Karam et Denis, de Didier Clouteau, professeur delEcole Centrale Paris, de Franck Radja, directeur de recherche CNRS, de Mohamed Ichchou,matre de confrences de lEcole Centrale Lyon, et de Laurent Schmitt, de la SNCF. Leurgrande connaissance de la voie ferre, de son entretien et de ses modlisations leur a inspirnombre de questions et de remarques riches denseignements.

Mes colloc de bureau successifs (Yahia, Minh, et Ali), Marie-Franoise alias Marie, Sas-kia, Karim, Daniella, Stefano, lensemble des doctorants, des personnels de recherche, tech-niques ou administratifs ont contribu cette ambiance studieuse et cordiale la fois.

Durant mes annes studieuses, depuis mon DEA, jai eu lhonneur de reprsenter pendanttrois ans les tudiants de doctorat, de MBA, de DEA, de mastres spcialiss, aux diffrentsconseils de lENPC (conseils dadministration, denseignement et de recherche, et du dparte-ment des formations doctorales). Je me suis beaucoup attach cette cole. Dans ces conseils,jai rencontr des gens intressants, jai appris ngocier, communiquer et intervenir enpublic. Cest une exprience que je conseille tous les tudiants qui dsirent sinsrer dansun milieu professionnel lissue de leurs tudes. Des formations complmentaires comme lesdoctoriales mont t proposes notamment par Sophie Cambon, pierre angulaire de la forma-tion professionnelle des doctorants et de leur insertion professionnelle.

Grce ce mmoire de thse, je peux saluer le prsident du conseil dadministration Fran-ois Roussely, les directeurs de lENPC Philippe Courtier et Pierre Veltz qui mont toujoursaccord une grande coute lors des conseils. Jadresse galement mon bon souvenir len-semble des personnels de lENPC, et en particulier Marine, Claude, Alice, et Lydie.

Au LCPC, je veux remercier Jacques Roudier, le directeur gnral, et Rmi Pochat, le di-recteur scientifique. Ils mont toujours encourag. Je les apprcie beaucoup. Jai toujours uneaffection particulire pour ce prestigieux laboratoire.

Merci galement mes tudiants de luniversit de Marne La Valle. Je me suis attach eux, et ce qui me touche , cest que ces derniers me saluent lorsque jai loccasion de les croiser.Jespre leur avoir permis de mieux comprendre les mathmatiques appliques, le gnie civil,la mcanique, les changes dnergie et la programmation. Merci galement mes anciens

10 TABLE DES MATIRES

collgues de luniversit.Si jai pu venir faire ma troisime anne de lENTPE lENPC, cest grce : Jean-Marc Malasoma, brillant mathmaticien et physicien des phnomnes chaotiques et

non-linaires, qui ma soutenu lorsque jai voulu faire en mme temps que mes cours lENTPE successivement une licence puis une matrise de physique ;

Franois Perdrizet, ingnieur gnral des Ponts et Chausses alors directeur de lENTPE,qui a permis ce cursus original et qui ma recrut par la suite la direction de la recherchedu ministre de lEquipement (la DRAST) en tant que conseiller scientifique auprs delui, quand il tait directeur de la DRAST ;

Yves Mouton, ancien directeur scientifique adjoint du LCPC qui mavait repr danslun de ses cours lENTPE et qui a appuy mon projet de troisime anne lENPC enmme temps quun DEA de mcanique de Paris 6 ;

Alain Ehrlacher, prsident du dpartement Gnie Mcanique et Matriaux de lENPC,qui ma accueilli lors de ce montage lintrieur de son dpartement.

Je tiens remercier particulirement mon professeur de physique de seconde, M.Guy Ta-liercio, normalien, qui a beaucoup compt dans mon orientation et dans mon got pour laphysique et pour la science en gnral. Jai eu normment de plaisir le recontacter derni-rement pour le mettre au courant de la fin de mon cursus scolaire et universitaire, et surtout ce quil se souvienne encore de moi.

Enfin, jai une pense mue pour mes grands-parents disparus (Rene, Cosimo et Emile)qui auraient t trs heureux de mon succs. Ils ont beaucoup compt pour moi.

Je remercie galement mon fan club actuel compos de Josette, ma grand-mre, dAlain,mon frre qui deviendra un minent journaliste je suis sr, de Sylvie, ma petite amie, et mesparents Annie et Marcel. Je les remercie bien sr de leur soutien indfectible aussi bien moralau cours de mon cursus, que logistique. Merci eux dtre venus assister ma soutenance,ctait important.

Merci tous les autres que jai cottoy et que, hlas, je nai pu citer.

Chapitre 1

Introduction gnrale

Cette thse sinscrit dans le cadre dun partenariat entre le LCPC1 et la SNCF2. Depuisplus de dix ans, plusieurs tudes ont t menes par les units de recherche du LCPC avec laSNCF en vue de ltude et de la prvision du tassement des voies ferres ballastes. En effet,le dveloppement croissant des lignes grande vitesse pose de nouveaux problmes tant pourle dimensionnement que pour la maintenance. Par exemple, la ligne grande vitesse (LGV)Paris-Lyon avait t dimensionne pour 25 ans : le renouvellement complet de la voie estintervenu au bout seulement de 15 ans. Dailleurs, la maintenance des lignes grande vitesse(LGV) montre en effet des problmes spcifiques qui nexistent que trs peu sur les lignesclassiques : jections de grains et tassements diffrentiels importants.

Au LAMI, le tassement du ballast a t tudi pour la premire fois par N.Gurin en 1996sur un banc dessai chelle rduite, appel essai MICROBALLAST[33]. Elle a propos uneloi de tassement exprimentale qui relie le tassement (dformation permanente) la dflexion(dformation lastique) par le biais dune relation de puissance. Les valeurs de cette loi nontpas t retrouves par des essais in situ, mais le lien entre le tassement et la dflexion a tvalid. Toujours avec un banc dessai chelle rduite baptis BETTER3, V.Bodin[14] a misen vidence une loi de tassement raliste vis vis des ordres de grandeur mesurs in situ. Parsa dmarche, elle a montr que le tassement dans le ballast tait d en trs grande majorit auxphnomnes vibratoires (vibrations et rarrangements de grains), et dans une moindre mesure lusure des grains. En augmentant la frquence de sollicitation, une acclration critiqueau-del de laquelle le tassement devient extrmement important est apparue. En surface, lesgrains de ballast se mettent bouillir ou sauter[14]. Toutes satisfaisantes quelles soient, lesobservations et lois exprimes par V.Bodin taient limites par le dispositif exprimental. Eneffet, le banc BETTER simulait le passage dun train laide dun vrin, et sur une couche deballast reposant sur un lastomre. Afin de dterminer linfluence du dplacement de la charge,de mme que pour simuler une voie ferre raliste avec plusieurs couches de matriaux, desessais ont t faits par A.A.Shaer[4] au LAMI sur un nouveau banc dessai chelle un tiers(BESTT4).

Quels que soient les rsultats et leur intrt, ltude des voies ferres ne peut se limiter une tude exprimentale : une interprtation laide de modles thoriques et numriques adailleurs t effectue.

1Laboratoire Central des Ponts et Chausses2Socit Nationale des Chemins de Fer3Ballast : Essai de Tassement Transversal Echelle Rduite4Ballast Essai Sur Trois Traverses

12 1. INTRODUCTION GNRALE

Parmi les modles appliqus la voie ferre, les modles linaires continus sont frquem-ment utiliss : que ce soit pour des cas 1D [14, 31], 2D[55], ou 3D[43]. En raison de leursimplicit, et de rsultats relativement satisfaisants suivant les cas, le cas 1D (poutres de Wink-ler, de Timoshenko...) est trs tudi [31], car des rsultats analytiques existent beaucoup plussouvent quavec des modles plusieurs dimensions. En 2D ou 3D, les modles linaires las-tiques [10, 11] peuvent tre rsolus par des approches semi-analytiques dans certains cas.

Pour les gomtries de structure complexes (comme a pu ltre le banc BESTT), et pourles comportements non-linaires, on utilise habituellement la mthode des lments finis [29].Dans les cas linaires traits par lments finis, la mthode de superposition modale ou lesprocdures dintgration numrique sont usuellement employes. Pour les cas non-linaires,seules les procdures numriques (Newmark, Wilson...) demeurent possibles. Cest dailleursla mthode de Newmark que nous avons utilise dans cette thse. Afin de simuler le caractrediscret des grains de ballast, V.H.Nguyen a construit des lments finis unilatraux. Cela si-gnifie quil y aura une interaction non nulle entre les grains de ballast que lorsquils seront encompression. On utilisera cette mthode dans la partie 3 de cette thse.

Le fait de considrer comme continu un milieu aussi granulaire que le ballast peut susciterdes questions, surtout si lon considre le faible nombre de couches de grains dans la directionverticale contenues dans une paisseur de ballast.

Des mthodes dlments discrets (MED)[59, 69] qui tiennent compte des interactions entregrains sont dveloppes : elles utilisent des algorithmes qui considrent les grains comme in-dpendants les uns des autres. La SNCF dispose de deux logiciels en 2D (grains polygonaux) :un logiciel bas sur la mthode de la dynamique molculaire qui a t dvelopp par X.Oviedoet K.Sab et un logiciel bas sur la mthode de la dynamique des contacts a t dveloppenotamment par J.J.Moreau du LMGC. De plus, la SNCF et le LMGC ont abouti lextensiondu logiciel du LMGC vers une gomtrie granulaire polydrique 3D. Deux difficults princi-pales surviennent pour ces mthodes dlments discrets : dune part la dtection des contacts(intervient sur le dcoupage temporel), et dautre part ladaptation des structures complexes.Pour saffranchir du problme de la dtection des contacts, A.S.J.Suiker et al.[79, 80] ont pro-pos un modle 2D dans lequel les grains (de ballast par exemple) taient dans un rseau demasses-ressorts reposant sur un sol infiniment rigide sous laction dune masse ponctuelle.Avec une approche semi-analytique, ce modle a prdit des diffrences significatives avec lesmodles lastiques continus. Compte tenu de cette simplicit, et de rsultats mettant en valeurle caractre discret des grains de ballast, une partie de la mthodologie dveloppe dans cemmoire est adapte du travail de A.S.J.Suiker et al.[79, 80].

Classiquement, les critres de dimensionnement et de maintenance de la plateforme taientfonds sur des mthodes statiques ou empiriques [63]. Lorsque les effets dynamiques devaienttre pris en compte, on introduisait artificiellement une surcharge dynamique[14]. Dans lestravaux effectus rcemment [4], lobjectif est la prdiction du tassement en fonction du char-gement dynamique. Lacclration du blochet a t prise comme paramtre observable dansles campagnes exprimentales menes avec le banc BESTT du LAMI, le banc chelle 1 duLCPC-Nantes ou dans les tudes numriques de notre travail.

Les objectifs de notre dmarche sont les suivants : valuer les effets discrets, non-linaires et unilatraux dans la modlisation numrique ; valider les modles et en slectionner un adapt.Ce mmoire de thse se compose de trois parties.La premire fera un rapide survol bibliographique. Aprs avoir prsent la voie ferre, qui

est lobjet final de notre tude, on mettra en vidence quelques observations exprimentales

13

qui permettront la construction des modles dans les parties suivantes. Comme ce mmoireest tourn essentiellement vers les modlisations thorique et numrique, on donnera quelqueslments de modlisation extraits de la littrature.

La deuxime partira de ltude produite par A.S.J.Suiker et al.[79, 80]. Il sagira de construiredes modles semi-analytiques linaires au minimum avec deux couches. Deux cas ont t pr-sents : un cas 1D, un autre 3D. Deux programmes ont t conus cet effet.

De lapproche 3D semi-analytique, on a construit dans la troisime partie une famille dl-ments numriques discrets que lon peut appliquer aux lments finis. Le chapitre thoriquereviendra sur la construction de ces lments qui pourront tre linaires ou non, avec des effetssans tension5, discrets ou continus. Sen suivra un chapitre qui proposera des cas de validationdes modles prsents, ainsi que des applications la voie ferre ballaste.

La stratgie pour rpondre la problmatique du tassement, et donc, de la maintenance surles voies ferres est la suivante : les modles dvelopps dans mon mmoire permettent dedterminer des acclrations sur les voies tudies. Dun autre ct, A.A.Shaer[5] dtermineexprimentalement une loi qui exprime le tassement en fonction de lacclration. Par cons-quent, en combinant les deux approches, on pourra valuer le tassement dune voie ferre.

5les effets sans tension indiquent juste quune interaction non nulle se produit entre deux grains ds lors queces grains sont en contact

14 1. INTRODUCTION GNRALE

Premire partie

Bibliographie

Chapitre 2

La voie ferre

Depuis les premires lignes de chemin de fer au dix-neuvime sicle, la structure des voiesferres de mme que les moyens de locomotion ont bien volu. Les diffrents composants desvoies ferres sont venus les uns aprs les autres au gr des tentatives empiriques. Actuellement,les voies ferres sont de deux grands types : les voies ferres sur dalles, et les voies ferres bal-lastes. Ce qui suit prsente succintement les voies ferres ballastes, qui font dailleurs lobjetde notre travail. La premire section prsente quelques caractristiques techniques, gom-triques et fonctionnelles de la voie. Puis, dans la seconde section, quelques dfauts de voie etmoyens de maintenance seront voqus.

2.1 Description de la voie ferre

2.1.1 La voie

La voie dsigne lensemble des constituants assurant la circulation des trains et supportantles efforts transversaux, longitudinaux et verticaux. Les lignes grande vitesse (LGV) sontgnralement constitues de deux voies juxtaposes permettant une vitesse commerciale de300km/h. Elles sont banalises ds lors que la circulation seffectue dans les deux sens.

La LGV a un cartement standard de 1.435m entre les deux files de rails. Elle repose surune structure dassise, appele plate-forme (fig.2.1). La grande vitesse ncessite la matrise dela stabilit du matriel roulant, ce qui implique une trs grande qualit des infrastructures.

2.1.2 Le rail

Le rail (fig.2.2) assure le support vertical des roues des vhicules et guide les roues dansle sens transversal. Le rle du rail est de diriger les trains et dassurer la transmission et larpartition de la charge sur les traverses. Le rail est un assemblage de barres lmentaires de36m ou 72m de masse linique de 60kg/m, soudes lectriquement pour obtenir des LongsRails Souds (LRS).

2.1.3 La traverse

Les traverses permettent :

18 2. LA VOIE FERRE

FIG. 2.1 Coupe dune voie ferre[3]

FIG. 2.2 Coupe dun rail au standard UIC[3]

la transmission des charges dynamiques et statiques du rail sur le ballast,

le maintien de lcartement des deux files de rail,

le maintien dune certaine inclinaison du rail (1/20)Les traverses modernes sont appeles traverses mixtes de type Vagneux. Elles peuvent tresoit monoblocs, soit biblocs (fig.2.3) (les deux blocs sont lis par une entretoise en acier). Lestraverses actuelles (VAXU41) psent 245kg et mesurent 2.415m de long.

2.1.4 Le ballast

Le ballast est un granulat provenant du concassage de roches extraites dans des carrires depierres dures (granite, diorite, rhyolite, quartzite, grs). Il constitue un lment support de lavoie et fait partie de la superstructure.

2.1 Description de la voie ferre 19

FIG. 2.3 Traverse bibloc en bton[3]

Il est dispos en couches sous et autour des traverses. Lpaisseur de la couche de ballastsous les traverses est de 30 cm environ. Les fonctions du ballast sont les suivantes :

transmission et rpartition des efforts, absorption des vibrations mcaniques et acoustiques, ancrage latral (circulation en courbe) et longitudinal de la voie (acclration, freinage), drainage des eaux pluviales, maintenance et mise en place aises de la voie.La qualit du ballast est dfinie dans la norme europenne NF EN 13450. Le ballast doit

rpondre aux critres suivants : une granulomtrie et une propret qui assure un bon drainage, une angularit pour la rsistance au cisaillement, une insensibilit leau et au gel, une homognit de la forme des grains, en vitant les formes allonges ou aplaties, une bonne rsistance mcanique pour rsister aux efforts.

Sur les voies ferres franaises actuelles, on utilise un granulat concass de 25 50mm.

2.1.5 Les structures dassise

La couche de ballast repose sur une structure dassise comprenant la sous-couche et laplate-forme.

Les objectifs de la sous-couche sont : protection de la plate-forme contre laction du poinonnement par la couche de ballast, protection de la plate-forme contre le gel, rpartition des charges transmises la plate-forme.

Elle se compose : dune couche sous-ballast : graves propres (0/31.5) de la couche de fondation (facultative) : graves compactes

20 2. LA VOIE FERRE

dune couche anti-contaminante (facultative) : constitue de sable propre.

2.2 Vie de la voie

2.2.1 Description des dfauts de la voieLes dfauts de voie entranent un inconfort des voyageurs et peuvent mettre en jeu la scu-

rit des circulations sils sont trop importants. Ils sont identifis laide dune rame spcialeappele voiture Mauzin qui fournit des enregistrements au fur et mesure de lavancementde la voiture (fig.2.4).

FIG. 2.4 Enregistrement Mauzin[69]

FIG. 2.5 Schma du nivellement longitudinal[44]

Dans le plan vertical, on distingue le nivellement longitudinal (fig.2.5) (rsultant du tasse-ment global et rsiduel), et le nivellement transversal que lon value avec :

lcart de dvers qui reprsente linclinaison transversale de la voie (fig.2.6) le gauche ou torsion de voie qui reprsente le dcalage vertical entre les deux files de

rails (fig.2.7).Dans le plan horizontal, les dfauts sont de deux types :

2.2 Vie de la voie 21

FIG. 2.6 Ecart de dvers[44]

FIG. 2.7 Torsion de la voie ou gauche[44]

le dfaut de dressage qui reprsente la variation transversale du milieu des rails par rap-port la position thorique initiale (fig.2.8)

FIG. 2.8 Dfaut de dressage[44]

le dfaut dcartement des rails entre eux.

2.2.2 Seuils dintervention pour les lignes grande vitesse

La voie est dfinie par plusieurs niveaux de dgradation par importance dcroissante : VR : valeur de ralentissement partir desquelles des mesures de restriction de vitesse de

circulation sont prendre. VI : valeur dintervention qui impose une intervention dans un dlai suffisamment court

afin dviter le niveau VR. VA : valeur dalerte qui impose une surveillance ou une intervention programme

moyen terme. VO : valeur dobjectif

22 2. LA VOIE FERRE

Ces critres sont utliss par exemple pour qualifier lcartement de la voie, le nivellementlongitudinal, et le nivellement transversal.

2.2.3 Oprations de maintenanceLa plus importante opration dentretien de la voie est un renouvellement de voie ballaste

(RVB) : tous les constituants de la voie sont remplacs. Cette lourde et couteuse oprationse produit au bout de 25 ans environ, mais cela dpend fortement de la vitesse de roulementsur la voie. Par exemple, les LGV1 se dgradent plus vite que les lignes classiques causeprincipalement de la grande vitesse. Plusieurs hypothses phnomnologiques existent : desindices sur des changements de rgime lintrieur de lamas granulaire.

Lopration la plus courante pour corriger les petits dfauts de voie dans le ballast est lebourrage. Cela consiste en une correction des dfauts par vibration et serrage des grains situssous les traverses avec un engin appel bourreuse qui procde selon la squence suivante :

soulvement des rails et des traverses mise en place des bourroirs qui vont faire vibrer le ballast entre 35 et 45Hz serrage du ballast remonte des bourroirs et passage la traverse suivante

2.3 Conclusion du chapitreUne voie ferre contient : deux rails, des traverses, une couche de ballast, le tout reposant sur

un multicouche appel structure dassise. Le ballast, qui va nous concerner plus spcialementdans le reste de ce mmoire est un matriau dur, avec une taille de grain assez importante (entre25 et 50 mm) par rapport lpaisseur de sa couche sous les traverses (30cm).

Sous linfluence de nombreux facteurs (gel, structure du sol, nombre, masse et vitesse destrains), les voies peuvent se dgrader. La mesure de la dgradation, laide par exemple dunevoiture Mauzin, permet de dterminer cet tat de dgradation, et de dcider quel type din-tervention produire, depuis le bourrage (simple remise en place des grains de ballast) jusquaurenouvellement complet de la voie.

1Ligne Grande Vitesse

Chapitre 3

Observations exprimentales

La synthse bibliographique qui suit prsente des rsultats et des observations qui ontcontribus la rflexion sur les voies ferres ballastes soumises des trains grande vitesse(TGV) : cette synthse prsente les rsultats qui seront utiles pour llaboration des modlesnumriques de la partie 3.

Faire des exprimentations in situ est ncessaire, mais certaines difficults apparaissent :les diffrentes conditions (conditions aux limites, stratigraphie, valeur des diffrents modulesdYoung des strates) sont souvent mal matrises. Afin de saffranchir de ce genre de condi-tions, des bancs dessai qui reprsentent des portions de voie ont t construits. Pour des rai-sons de cot et dencombrement, on a souvent rduit la taille des diffrents constituants de cesbancs pour en faire des bancs chelle rduite. Pour passer des valeurs chelle relle auxvaleurs chelle rduite, et rciproquement, des rgles appeles lois de similitude ont t in-troduites. Ces lois de similitudes ont t notamment employes par N.Gurin[33], V.Bodin[14]et A.Al Shaer[4] au LAMI pour interprter chelle relle les rsultats quils ont obtenus surles bancs dessai chelle rduite : il en est ressorti en particulier des lois de tassement duballast et une quantification de la variabilit des rsultats des exprimentations.

Ainsi, dans ce chapitre, on prsentera dabord ces lois de similitudes. Puis, on fera un pointdes observations et mthodes exprimentales appliques aux voies ferres.

3.1 Les rgles de similitudePour des raisons pratiques, par exemple dencombrement ou de cot, les exprimentateurs

ont t amens utiliser des ballasts chelle rduite, et notamment chelle un tiers[4, 5].Les rgles de similitude permettent de retrouver aprs calculs, les valeurs correspondantes pourun ballast chelle relle.

Le principe de base du changement dchelle consiste reproduire une chelle plus petitele phnomne observer : ici, le tassement sous les blochets. Deux phnomnes peuvent tre lorigine de ce tassement : lusure des grains de ballast (appele attrition) qui ncessitela conservation du champ des contraintes entre les deux chelles, alors que le rarrangementgranulaire par vibration ncessite la conservation du champ des acclrations.

Pour ces deux mthodes de conservation, on utilise la relation fondamentale de la dyna-mique :

div() + fv

= 2u

t2(3.1)

24 3. OBSERVATIONS EXPRIMENTALES

avec :

div() est la divergence du tenseur de Cauchy des contraintes, f

v= g reprsente les forces volumiques (par exemple la gravit), la masse volumique

du milieu tudi, et g la gravit,

2ut2

correspond lacclration.

3.1.1 Conservation du champ des contraintes

Cette rgle de similitude repose sur lhypothse que le tassement est provoqu par usuresous les blochets.

Si est conserv dans la relation 3.1, et que les longueurs sont divises par 3, il vient : div() est multipli par 3 par consquent, les forces volumiques doivent tre multiplies par 3 ; la nature du microballast est la mme que celle du ballast chelle normale : cela im-

plique entre autres que la masse volumique entre les chelles rduite et relle est conser-ve.

Ainsi, lacclration devra tre multiplie par 3. Et donc, puisque les longueurs sont divises par 3, le temps sera divis par 3, cest dire

que la frquence de sollicitation sera multiplie par 3. Comme les contraintes sont des forces par unit de surface, les forces seront divises par

9

Bilan pour passer dune chelle relle une chelle un tiers sous lhypothse de conser-vation du champ des contraintes

les contraintes sont conserves la masse volumique est conserve les longueurs sont divises par 3 les forces sont divises par 9 la frquence de sollicitation est multiplie par 3 lacclration est multiplie par 3 la pesanteur, comme les autres forces de volume, est multiplie par 3.La principale difficult de cette similitude rside dans le fait que la gravit pour le ballast

chelle rduite doit tre trois fois suprieure la gravit terrestre usuelle. Pour simuler unetelle gravit, trois solutions sont possibles :

1. mettre le dispositif exprimental dans une centrifugeuse

2. crer un vide partiel sur lchantillon

3. compenser le dficit de gravit au niveau de la couche de ballast situe juste sous lesblochets, par une masse additionnelle quivalente deux fois la masse des grains deballast.

3.1.2 Conservation du champ dacclration

Cette rgle repose sur lhypothse que le tassement est d essentiellement des rarrange-ments de grains par vibration.

3.2 Dispositifs exprimentaux dobservation dune voie ferre 25

Ici, le champ dacclration est conserv (cf.3.1). De plus, comme prcdement, la naturedu microballast tant la mme que celle du ballast chelle relle, la masse volumique estconserve entre les deux chelles. Les longueurs sont divises par 3. Il vient :

Comme 2u

t2est conserv, les forces volumiques et div() sont conserves.

Ainsi, est divis par trois. Et donc, les forces sont divises par 27. comme

2ut2

est conserv et que u est divis par 3, la frquence est multiplie par

3

Bilan : pour passer de lchelle relle une chelle un tiers sous lhypothse de conserva-tion du champ dacclration

les longueurs sont divises par 3 lacclration est conserve la masse volumique est conserve les forces sont divises par 27 les contraintes sont divises par 3 la frquence est multiplie par

3

la pesanteur est conserve, au mme titre que les ventuelles autres forces de volume

3.2 Dispositifs exprimentaux dobservation dune voie fer-re

Les dispositifs exprimentaux sont de trois types : observations in-situ, sur un banc dessai chelle relle, ou bien sur un banc dessai chelle rduite.

3.2.1 Observations in-situQuelques voies ferres sont instrumentes en Europe (France, Espagne, Royaume Uni, Al-

lemagne principalement). Lavantage est la matrise des signaux et des rponses rels. Lessollicitations employes par les bancs pour simuler le passage des trains se fondent dailleurssur ces signaux rels.

Pourtant, les observations in-situ demeurent relativement dlicates : le positionnement des capteurs en voie est difficile. Leur sensibilit et leur robustesse

(fiabilit) ne permettent pas pour le moment des observations fines. la gomtrie de la voie ds la construction, mais surtout aprs les premires oprations de

maintenance (bourrage) est assez peu prcise pour raliser des validations de modles.En outre, les essais en voie sont coteux en argent et en temps puisque la voie doit tre remiseen tat pour permettre nouveau la circulation ferroviaire.

En fait, on utilise les sites in-situ (La Pallud) afin dune part de trouver des signaux rels implmenter dans les bancs dessais, et dautre part, une fois que les modles de voie sontvalids, de prdire lvolution des voies ferres.

3.2.2 Banc dessai chelle relleLintrt principal dun banc dessai chelle relle ou rduite est la matrise des paramtres

et de linstrumentation. Dans le cadre du contrat entre le LCPC et la SNCF, des essais chellerelle ont t mens au LCPC-Nantes.


Cet essai reprsente une portion de voie relle avec un seul blochet et de forme axisy-mtrique [4, 5]. Tous les essais sont raliss sur un massif quasi-circulaire de 3.5m de dia-mtre. Les multicouches reprsentant la voie relle y ont t de deux types : un compre-nant blochet/ballast/lastomre (reprsentant une sous-couche quivalente), un autre compre-nant blochet/ballast/sous-couche/sol (reprsentant plus fidlement la ralit gomtrique de lavoie).

FIG. 3.1 Multicouche blochet/ballast/lastomre test dans le cadre du banc dessai chellerelle axisymtrique du LCPC [5]

FIG. 3.2 Multicouche blochet/ballast/sous-sol/sol test dans le cadre du banc dessai chellerelle axisymtrique du LCPC [5]

Des chargements sinusodaux, et de forme M sont tests jusqu la vitesse de 400km/h.La force en M reprsente les deux essieux dun bogie. On peut comprendre la constitution de


FIG. 3.3 Signal de bogie en M

cette force sur la figure 3.3. Avec un modle unidimensionnel masse/ressort/amortisseur, lesmesures de dplacement sont reprsentes de manire satisfaisante (4% derreur relative) dsquon effectue des essais sur la plate-forme seule (sans ballast) [5]. Ali Al Shaer a aussi intro-duit un modle 3D linaire par blocs. Le ballast qui est un matriau granulaire non-linaire estdcompos en deux parties : un ballast compact sous le blochet avec une "descente de rigi-dit" 45 degrs (rigidit de 200MPa), et un ballast non compact de 8MPa. Les rsultatspour diffrentes vitesses (de 160 360km/h) ont t convaincants. En ce qui concerne le tasse-ment du blochet, la loi de tassement na pas la mme forme que celle trouve par V.Bodin[14](cf.section suivante). Elle scrit de faon diffrente avec une plate-forme rigide ou molle :

Cas de la plate-forme molle

d

dN= 30, 52.106d2.41 (3.2)

Cas de la plate-forme rigide

d

dN= 9, 67.106d1.46 (3.3)

Daprs A.Al Shaer[5], la diffrence importante avec les rsultats de V.Bodin peut treexplique par la diffrence de gomtrie entre les deux essais (Nantes/BETTER), de mmeque par le protocole exprimental de V.Bodin, plus prudent sur la stabilisation des cycles dechargement (1 million de cycles) pour chaque vitesse de roulement.


3.2.3 Banc dessai chelle un tiersLavantage de disposer dun banc et de matriaux chelle rduite est une question de cot

et dencombrement. Au LAMI, deux essais sur des bancs chelle un tiers : lessai MICRO-BALLAST et lessai BETTER.

3.2.3.1 Essai MICROBALLAST

En 1996, N.Gurin [33] a tudi des lois de tassement du ballast des voies ferres. Pourcela, elle a utilis un dispositif chelle rduite appel MICROBALLAST (fig.3.4 et fig.3.5).Le banc MICROBALLAST reproduit un blochet cylindrique en bton base circulaire, noydans un massif de ballast chelle rduite.

FIG. 3.4 Dispositif global du banc MICROBALLAST [33]

Le but de cette exprience est dtablir une loi de tassement vertical grand nombre decycles. N.Gurin [33] suppose que les efforts intergranulaires et lusure qui en rsulte pilotentle tassement. Par consquent, pour passer des grandeurs rduites mesures aux vraiesvaleurs,lhypothse utilise sera celle de la conservation des contraintes. Du mme coup, il a falluimposer une gravit trois fois suprieure la normale. La technique utlise a t celle du vide.On aurait pu employer galement une centrifugeuse.


FIG. 3.5 Contact vrin-ballast dans le banc MICROBALLAST [33]

Diffrentes charges lessieu (de 14 20 tonnes), raideurs de ballast (de 30 100MPa), etvitesses de sollicitations (de 1 70m/s) ont t testes.

En rgime stabilis, N.Gurin[33] a trouv une formulation qui relie lincrment de tasse-ment vertical d

dN(en mm par cycle) la dflexion lastique verticale (en mm) :

d

dN= (3.4)

et sont deux coefficients constants. A chelle rduite, les valeurs de ces coefficients sont :

= 4.8.107 (3.5) = 2, 51 (3.6)

Les essais montrent galement que la dflexion verticale augmente avec la charge lessieu.Des mesures en voie ont montr queffectivement il y avait un lien entre le tassement et ladflexion lastique : cependant, lordre de grandeur des incrments de tassement sur la voierelle est 10 fois (environ) suprieur celui obtenu par la loi microballast.

On peut penser lissue de cette exprience que lajout de gravit par la bche vide asupprim les phnomnes vibratoires, et na permis finalement que la mesure des tassementscauss par lattrition des grains. Le corrolaire de ce qui prcde est que lusure nest probable-ment pas le seul phnomne en jeu dans le tassement, ni mme le principal. En consquence, laloi de similitude employe nest sans doute pas la bonne : pour tudier le tassement du ballastavec une chelle rduite, il faudra utiliser lautre mthode de similitude, celle conservant lesacclrations.


3.2.3.2 Essai BETTER

A laide dun banc dessai chelle rduite (un tiers), V.Bodin [14] a tudi le comporte-ment du ballast sous tassement latral et vertical. On se limitera ici aux effets verticaux. Lebanc BETTER 3.6 reproduit chelle un tiers une portion de voie ballaste entourant unetraverse bi-blocs en bton. Une caisse en bois contenant traverse et ballast chelles rduitesrepose sur un portique, lui-mme portant un vrin hydraulique. Le sol en-dessous du ballastest modlis par un lastomre[14].

FIG. 3.6 Banc BETTER [14]

Tirant les enseignements des expriences MICROBALLAST, V.Bodin a suppos que lephnomne le plus important tait le rarrangement granulaire, et non plus lusure. Par cons-quent, elle a utilis la rgle de similitude qui conserve les acclrations.

Ainsi, pour des essais de plus de 250000 cycles, une loi de tassement pour lchelle rduitepeut se formuler :

dvdN

= 2, 5.1061.17v (3.7)

o dvdN

lincrment de tassement vertical, v est la dflexion verticale.Cette loi tablie sur le banc BETTER est de la mme forme que la loi MICROBALLAST.

Seuls les coefficients diffrent. Toutefois, alors que les tassements taient 10 fois trop faiblesavec la loi MICROBALLAST, la loi BETTER semble en accord avec les observations. V.Bodin

ballast

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