Nom : ……………………………………… Classe : ………….

BAC Blanc 2018 de mathématiques

des classes de TSTI2D du lycée Rosa Parks ( 4 heures )

La calculatrice graphique en mode examen et les instruments de dessin habituels sont autorisés.

Le prêt et l’échange des calculatrices sont interdits.

Exercice 1 :

Dans un élevage de poulets fermiers, les volailles sont commercialisées après 90 jours d’élevage.

Un poulet de 90 jours sera dit conforme si sa masse est comprise entre 2,8 kg et 3,2 kg.

1) L’avicultrice a constaté que la masse M, exprimée en kg, de ses poulets de 90 jours suit une loi normale de

moyenne 3 et d’écart type 0,1.

a) Déterminer au centième près la probabilité qu’un poulet de 90 jours prélevé au hasard soit conforme.

b) Déterminer au millième près la probabilité que la masse d’un poulet de 90 jours prélevé au hasard soit

supérieure à 3,3 kg.

2) On admet dans cette question que 95% des poulets de 90 jours sont conformes.

Un rôtisseur achète tous les samedis 100 de ces poulets. On admet que le nombre de poulets de l’élevage est

suffisamment important pour que cet achat puis se être assimilé à un prélèvement avec remise.

On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de poulets non conformes, c’est-à-dire dont la masse n’est

pas dans l’intervalle [2,8 ; 3,2].

a) Justifier que X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

b) Calculer l’espérance mathématique de X. Que représente ce nombre?

c) Déterminer au centième près la probabilité que trois poulets qui ne soient pas conformes.

d) Déterminer au millième près la probabilité qu’au moins cinq poulets qui ne soient pas conformes.

Exercice 1 : /5

Exercice 2 : /5

Exercice 3 : /5

Exercice 4 : /5

/ 20

Exercice 2 :

La suite (𝑢!) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢!!! = 0,4𝑢! + 3 𝑒𝑡 𝑢! = −1 PARTIE A :

1) À l’aide d’un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de un. On obtient les résultats suivants :

A B C D E F G H I J K L

1 Valeur

de n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 Valeur

de un

-1 2,6 4,04 4,616 4,8464 4,9386 4,9754 4,9902 4,9961 4,9984 4,9994

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entrée dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la

droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 ?

On indiquera la réponse sur la copie sans justification.

a) =0,4n+3 b) = $B$2∗0,4+3 c) = B2∗0,4+3 d) = 0,4ˆC1+3

2) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (un)?

3) On considère l’algorithme suivant :

Saisir p

𝑛⟵0

𝑢⟵ −1

Tant que 𝑢 − 5 > 10!! Faire :

𝑛⟵ 𝑛 + 1

𝑢⟵ 0,4𝑢 + 3

Fin tant que

Afficher n

À l’aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque p = 2.

PARTIE B :

On étudie maintenant la suite (𝑣!) définie pour tout entier naturel n par : 𝑣! = 6×(0,4)!

1) Donner la nature de la suite (𝑣!) et ses éléments caractéristiques.

2) Déterminer la limite de (𝑣!) quand n tend vers +∞.

3) On admet que pour tout entier naturel n : 𝑢! = 5− 𝑣!. Déterminer la limite de (𝑢!)

4) a) Déterminer en fonction de n la somme 𝑣! + 𝑣! + …… .+𝑣!

b) Déterminer en fonction de n la somme 𝑢! + 𝑢! + …… .+𝑢!

Exercice 3 :

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O, !u, !v( ) , on représente les extrémités des pales d’une

éolienne par le point A 0;3( ) et par les points B et C d’affixes respectives zB = 3 3

2− 3

2i et zC = 3e

− i5π6 .

1) Soit zA l’affixe du point A.

a) Donner la forme algébrique de zA .

b) Donner la forme exponentielle de zA .

2) Déterminer la forme exponentielle de zB .

3) On admet que lorsque l’hélice tourne d’un angle de

π2

radians dans le sens direct, les points A, B, C sont

transformés en A’, B’, C’ tels que :

• A’ a pour affixe zA' = zA × eiπ2 .

• B’ a pour affixe zB ' = zB × eiπ2 .

• C’ a pour affixe zC ' = zC × eiπ2 .

a) Déterminer les formes exponentielles de zA' , zB ' et zC ' . b) Placer les points A’, B’, C’ sur la figure.

Exercice 4 :

Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de 10 tonnes en orbite autour de la Terre parl'intermédiaire d'une fusée à un seul étage . Cette fusée a une masse à vide , c'est - à - dire sans carburantni satellite , de 40 tonnes .L'éjection des gaz permet à la fusée e décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totaledu propergol , carburant contenu dans ses réservo 1irs . La vitesse d'éjection des gaz est .La vitesse finale de la fusée , vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides , varie en fonction de la masse de propergol contenue au dépa

3200 .

r

eV m s−=

1t dans les réservoirs . Elle doit être de 8000 pour permettrela mise en orbite souhaitée .Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour perm tr

.

et

m s−

ecette mise en orbite du satellite .On note la masse , en tonnes , de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée .La masse est comprise entre 100 et 900 tonnes . La mas

xx ( )

( )( ) ( ) [ ]

1

se totale de la fusée est alors 50 tonnes .

Il est établi que la vitesse finale d la fusée , , ex .

ln 50 ln 50

primée en , est donnée par

où est un réel de 100;900 .

1) Mon

e

m s

V x

x

f x

f x x

−

× + −⎡ ⎤⎣ ⎦

+

=

[ ] ( ) ( )

( )

3200 ln 0,02 1

On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de pour répondre à chacune des q

trer

uesti

que , pour tout réel de

ons suivantes .

2) a) Si

100;900 ,

les réservoirs c

on

x

f x

x f x × +=

tiennet au décollage 100 tonnes de propergol , quelle sera la vitesse finale de la fusée ? b) Avec 400 tonnes de propergol au décollage , la mise en orbite sera - t - elle possible ?3) a) Calculer la fonction dérivée ' de la fonction . b) En déduire le sens de variations de la fonction .4) Déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour

f ff

permettre la mise en orbite souhaitée .