autour de la mod䐀lisation et de la simulation de la ... · tc= ∆· (βc) −∇·(αc∇v) + xn...

IntroductionModèles

OptimisationConclusion

Autour de la modélisation et de la simulation de la

diffusion d’un marqueur pour la localisation d’une

tumeur

Jocelyn MEYRON2A MMISEnsimag

28 mai 2014

Jocelyn MEYRON Module Initiation à la Recherche en Laboratoire



1 Introduction

2 ModèlesPremier modèleDeuxième modèleComparatif

3 OptimisationPrésentationRésultats obtenus

4 Conclusion




Sommaire

1 Introduction

2 Modèles

3 Optimisation

4 Conclusion




Introduction

Répondre à une demande (Jean Luc COLL de l’institut AlbertBonniot) : déterminer la forme 3D des tumeurs de la peaudont la surface est visible sur l’épiderme

Injection d’un marqueur avant opération

Enlever le moins de tissus sains possible et le plus de tissuscancéreux




Notations I

Tumeur : ω ⊂ R2 ou R

3

Points d’injection : P1, . . . ,PN ∈ R2 ou R

3

Quantités d’injection : q1, . . . , qN ∈ R+ dépendantes du temps

Injection du marqueur :N∑

i=1

qiδPi

Protocole : points et quantités d’injection

Dans la première partie, la forme, les points et les quantités serontsupposées fixés.




Notations II

Points utilisés pour les simulations :

0

0.5

0 0.5

×

×

×

×




Premier modèleDeuxième modèleComparatif

Sommaire

1 Introduction

2 ModèlesPremier modèleDeuxième modèleComparatif

3 Optimisation

4 Conclusion





Premier modèleMise en équation

Modèle simple :

concentration du marqueur : c

diffusion : k

dégradation : r

k et r ont des valeurs différentes entre l’intérieur et l’extérieur

∂tc = ∇ · (k∇c)− rc +

N∑

i=1

qiδPi

∂nc + αc = 0





Premier modèleFormulation variationnelle

Afin d’utiliser FreeFEM++ pour les simulations, il faut mettre leproblème sous forme variationnelle :

∫

Ω

∂tc v +

∫

Ω

k∇c∇v +

∫

∂Ω

kαcv +

∫

Ω

rcv − f = 0

Discrétisation en temps : ∂tc = cn+1−cn∆t

où ci (x) = c(x , t = ti)Finalement : trouver c ∈ V tel que ∀v ∈ V :∫

Ω

cn+1 − cn

∆tv+

∫

Ω

k∇cn+1∇v+

∫

∂Ω

ksainαcn+1v+

∫

Ω

rcn+1v−f = 0





Premier modèleTraduction dans FreeFEM++

mesh domaine = square(n, n);

fespace espace(domaine, P1);

espace u, u0;

espace v;

problem diffuse(u,v) = int2d(th)(u*v)

+int2d(th)(dt*(k*(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v))+r*u*v))

-int2d(th)(u0*v) +

int1d(th, 1, 2, 3, 4)(kts * alpha * u * v)

+fh[];





Premier modèleSimulations

Figure: Ellipse

Figure: Étoile





Deuxième modèle

Le premier modèle n’était pas convenable : pas de ralentissement àl’entrée dans la tumeur.Après recherche bibliographique, nous avons considéré le modèlesuivant (Chaplain et al)

∂tc = ∆ · (βc)−∇ · (αc∇v) +N∑

i=1

qiδPi

∂nc + γc = 0

où c est la concentration du marqueur, v la fonction caractéristiquede la tumeur, β le coefficient de diffusion et α le coefficientd’adhésion.





Deuxième modèleForme variationnelle

Via la même méthode, on trouve :∫

Ω

∂tc w +

∫

Ω

β∇c∇w +

∫

Ω

αc∇v∇w+

∫

∂Ω

αcw∂nv +

∫

∂Ω

βγcw − f = 0

et ∂tc =cn+1 − cn

∆t





Deuxième modèleSimulations

Figure: Ellipse

Figure: Étoile





Comparatif

1 Résultat final identique2 Dynamique différente : le second tient compte du

ralentissement du marqueur par « adhésion »

Dans la suite, on utilisera le second modèle.




PrésentationRésultats obtenus

Sommaire

1 Introduction

2 Modèles

3 OptimisationPrésentationRésultats obtenus

4 Conclusion





Présentation

Les quantités ne sont plus fixées

Déterminer les quantités optimales à forme de tumeur etpoints d’injection fixés

Comment faire ?Idée : décomposer la solution u en fonction des quantités qi :

u =

N∑

i=1

qiui

avec ui associées aux quantités élémentaires





Fonction objectif

Critère choisi :

Maximiser le contraste entre l’extérieur et l’intérieur de latumeur

Avoir une répartition homogène dans la tumeur

Cela se traduit par :

minq≥0

N∑

i=1

qi=qmax

F (q) = λ

(

∫

Ω\ωu −

∫

ω

u

)

+

∫

ω

|∇u|2

Équivalent à :

minCq≤d

F (q) = λ(b|q) +12tqAq





Résultats obtenus

Quelques résultats :

Forme Quantités optimalesDisque (qmax

4, qmax

4, qmax

4, qmax

4)

Ellipse (a, b) = (0.2, 0.3) (0, 0, qmax

2, qmax

2)

Ellipse (a, b) = (0.3, 0.2) (qmax

2, qmax

2, 0, 0)

Étoile (7.2926, 0, 7.7074, 0)Croissant (qmax , 0, 0, 0)

Quelques résultats incohérents suivant le choix d’adapter lemaillage et du choix du nombre de mailles.




Sommaire

1 Introduction

2 Modèles

3 Optimisation

4 Conclusion




Conclusion

Critiques :

Choix de la fonction objectif

Choix du modèle

Incohérences obtenues durant l’optimisation pour certainesformes

Perspectives :

Points d’injection optimaux

Forme « optimale »


autour de la mod䐀lisation et de la simulation de la ... · tc= ∆· (βc) −∇·(αc∇v) + xn...

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