automatique systemes echantillonnes

AUTOMATIQUE SYSTEMES ECHANTILLONNES 5 GE
SYSTEMES ECHANTILLONNES
Edition 2008 J.M RETIF Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
© [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés.
INSA 5GE JM RETIF Sommaire
i
1. GENERALITES. .......................................................................................................... 1
3. STABILITE D'UN PREMIER ORDRE. ........................................................................... 2
4. STABILITE D'UN SECOND ORDRE. ............................................................................. 5 4.1. Etude d'un second ordre en boucle fermée. ................................................................................... 5 4.2. Zone de stabilité dans le plan paramétrique................................................................................... 7
5. CERCLE DE STABILITE.............................................................................................. 8
ii
2. COMPORTEMENT EN ASSERVISSEMENT ............................................................... 14 2.1. Le numérateur du modèle du processus est simplifiable..........................................................................15 2.2. Le numérateur du modèle du processus n’est pas simplifiable. ...............................................................16 2.3. Le numérateur du modèle du processus est partiellement simplifiable...................................................16
3. REJET DES PERTURBATIONS...................................................................................... 17 3.1. Rejet de la perturbation sur la sortie. .......................................................................................................17 3.2. Rejet d’un bruit de mesure. ......................................................................................................................19 3.3. Rejet de la perturbation sur la commande................................................................................................19
4. ROBUSTESSE D’UNE COMMANDE PAR MODELE INTERNE.............................. 19 4.1. Forme générale de la commande..............................................................................................................19 4.2. Robustesse................................................................................................................................................21
5. IMPLEMENTATION NUMERIQUE. ............................................................................. 23
iii
2. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS INSTABLES....................................................... 37 2.1. Dynamique en asservissement. ................................................................................................................ 37 2.2. Dynamique en régulation. ........................................................................................................................ 38 2.3. Mise en œuvre de la méthode................................................................................................................... 39
3. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS STABLES. ......................................................... 41 3.1. Dynamique en asservissement ................................................................................................................. 41 3.2. Dynamique en régulation. ........................................................................................................................ 42 3.3. Mise en œuvre de la méthode................................................................................................................... 43
4. PROCESSUS AVEC DES ZEROS STABLES ET INSTABLES......................................................... 44 4.1. Dynamique en asservissement. ................................................................................................................ 44 4.2. Dynamique en régulation. ........................................................................................................................ 44 4.3. Mise en œuvre de la méthode................................................................................................................... 45 4.4. Résumé pour la résolution de l’équation de Bezout................................................................................. 46
5. CALCUL DE LA ROBUSTESSE D’UNE COMMANDE RST. ......................................................... 48 5.1. Influence des perturbations sur la sortie................................................................................................... 48 5.2. Influence des perturbations sur la commande. ......................................................................................... 49 5.3. Utilisation des fonctions de sensibilités pour précaractériser R(z) et S(z). .............................................. 50
6. RESUME POUR LA SYNTHESE D’UN CORRECTEUR RST. ...................................................... 51 6.1. Identification du processus....................................................................................................................... 51 6.2. Prise en compte du cahier des charges de l’utilisateur............................................................................. 51
7. SYNTHESE ROBUSTE D’UNE COMMANDE RST....................................................................... 53 7.1. Définition d’un gabarit............................................................................................................................. 53 7.2. Procédure de synthèse.............................................................................................................................. 54
iv
1. RAPPEL SUR LA REPRESENTATION D’ETAT CONTINU. ......................................................... 69 1.1. Solution analytique des équations d’état.................................................................................................. 70 1.2. Calcul de la matrice de transition............................................................................................................. 71 1.3. Rappel sur l’établissement d’un système d’état à partir d’un bond graph. .............................................. 71
2. ETABLISSEMENT DES EQUATIONS D’ETAT DISCRETES......................................................... 74 2.1. Echantillonnage sans élément de maintien............................................................................................... 74 2.2. Echantillonnage avec un bloqueur d’ordre zéro....................................................................................... 78
3. ASSOCIATION DE SYSTEMES DISCRETS. ............................................................................... 83 3.1. Mise en série de deux systèmes échantillonnés. ...................................................................................... 83
3.1.1. Etablissement des nouvelles équations d’état. 83 3.1.2. Application aux systèmes retardés. 84
3.2. Mise en parallèle de deux systèmes échantillonnés. ................................................................................ 86
4. SOLUTION DES EQUATIONS D’ETAT...................................................................................... 87 4.1. Solution numérique. ................................................................................................................................. 87 4.2. Solution analytique pour le vecteur d’état. .............................................................................................. 87 4.3. Solution analytique pour le vecteur de sortie. .......................................................................................... 88
5. REPONSE IMPULSIONNELLE. ................................................................................................ 89 5.1. Calcul formel............................................................................................................................................ 89 5.2. Calcul numérique. .................................................................................................................................... 89 5.3. Suite de pondération. ............................................................................................................................... 91
v
TRANSMITTANCE
1. CAS MONOVARIABLE POUR UNE TRANSMITTANCE EN P..................................................... 93 1.1. Généralités. ...................................................................................................................................................... 93 1.2. Méthode des modes. ........................................................................................................................................ 93
1.2.1. Cas de pôles réels distincts. 94 1.2.2. Cas de pôles complexes conjugués. 94 1.2.3. Cas d’un pôle multiple. 95
1.3. Décomposition canonique................................................................................................................................ 96
2. CAS MONOVARIABLE POUR UNE TRANSMITTANCE EN Z. ................................................... 98 2.1. Généralités. ...................................................................................................................................................... 98 2.2. Méthode des modes. ........................................................................................................................................ 98
2.2.1. Cas de pôles distincts réels ou complexes. 98 2.2.2. Cas d’un pôle multiple. 101
3. SYSTEME MULTIVARIABLE DEFINI PAR UNE MATRICE DE TRANSFERT............................ 105 3.1. Méthode de GILBERT................................................................................................................................... 105
4. PASSAGE DES EQUATIONS D’ETAT A UNE MATRICE DE TRANSFERT................................. 108 4.1. Préambule. ..................................................................................................................................................... 108 4.2. Algorithme de LEVERRIER. ........................................................................................................................ 108
vi
2. PLACEMENT DE POLES DANS LE CAS MONO VARIABLE. ................................................... 121 2.1. Décomposition canonique..............................................................................................................................121 2.2. Décomposition d'état quelconque. .................................................................................................................122
2.2.1. Calcul de K via une matrice M de transformation. 122 2.2.2. Calcul de K par la méthode de Bass-Gura. 124 2.2.3. Calcul de la matrice L. 125 2.2.4. Etapes pour la détermination de K et L 126
2.3. Exemple 1 : système monovariable du troisième ordre. ................................................................................127
3. RETOUR D’ETAT POUR LES SYSTEMES MULTIVARIABLES. ............................................... 132 3.1. Position du problème. ....................................................................................................................................132 3.2. Etapes de calcul de la matrice de gain K. ......................................................................................................134
4. EXEMPLE : COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT D’UNE COLONNE A DISTILLER. ............... 139 4.1. Contexte technologique. ................................................................................................................................139 4.2. Modélisation de la colonne à distiller. ...........................................................................................................140 4.3. Calcul du retour d’état. ..................................................................................................................................141 4.4. Calcul de la matrice L. ...................................................................................................................................147 4.5. Simulations. ...................................................................................................................................................148
INSA GE JM RETIF Stabilité d'un système asservi échantillonné
1
CHAPITRE 1 STABILITE D'UN SYSTEME ASSERVI ECHANTILLONNE
1. GENERALITES. Le concept de stabilité recouvre des domaines forts divers, nous le rencontrons aussi bien dans le domaine des sciences humaines (stabilité d'une institution, d'une civilisation...) que dans celui des sciences physiques. Il est difficile de définir précisément le concept de stabilité néanmoins il est possible d'en avoir une perception empirique. Nous pouvons en effet la caractériser par la propension qu'a un système à garder, ou modifier légèrement son équilibre, par rapport à un environnement perturbateur. Le fait de "garder un équilibre" peut paraître floue, afin de préciser cette notion, nous prendrons l'exemple suivant. Soit une bille, reposant sur une surface et ayant une position stable au départ.
S1 S2 S3
Selon la forme de cette surface (S1, S2 ou S3), il est simple d'admettre intuitivement, que par rapport à une perturbation finie (vibration de la surface ou vent), la bille reprendra une position d'équilibre après perturbation que sur les surfaces S2 et S3. Notons que pour cet exemple : - Dans le cas 2, la bille reprendra la même position que précédemment dans un temps fini, ici la stabilité est dite asymptotique. - Dans le cas 3, la bille se stabilise sur une autre position d'équilibre, la stabilité est dite simple.
2. STABILITE D'UNE TRANSMITTANCE EN Z. La stabilité d'une transmittance en z se ramène, comme dans le cas continu, à l'étude des valeurs prises par ses pôles. Une approche naturelle est d'étudier la réponse à une impulsion de KRONECKER. Trois cas sont à distinguer :
2.1. Pôles simples réels
H z A z
− + dont l'original dans le temps vaut : h(k) = … + A ak + …
Il est clair que H(z) sera stable si lim ( )h k
k =
→∞ 0 c'est à dire si a < 1
2.2. Pôles complexes. S'il existe des pôles complexes ils sont conjugués puisque les coefficients du dénominateur sont réels.
( )( ) ( )( )H z B z
z j z j ( ) .......
2

z
.......... .= + − −

a kk( ) .... . .sin .= + β
φ
Pour que h(k) tende vers 0 lorsque n tend vers l'infini il faut que a < 1 dans le cas contraire H(z) est instable.
2.3. Pôles multiples. S'il apparait un pôle d'ordre r
( ) ( ) ( ) ( )H z A z
− +
− +
− + +
z z a r−
( ) ( ) z z
z ar k
r les poles
−∑1 1
Le résidus au pôle se détermine par la relation ( )r r
d dz
1
1! .
ce qui donne pour une multiplicité d'ordre r un résidus prenant l'expression suivante:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )r k k
− − − − − + − +
! . . . ..... . .
La réponse impulsionnelle aura pour expression: h k T) C ar k k r( . .= + −
− + 1
1 et ne sera stable que si a < 1 Théorème. Nous pouvons donc conclure que quelque soit la forme du ou des pôles, si ceux ci sont à l'intérieur d'un cercle unité le système sera stable. En fait ce théorème présente d'une manière différente la condition de stabilité d'une transmittance continue. Dans le plan des p la stabilité pour p = r + j c s'exprime par r < 0 ce qui correspond avec le changement de variable z = eT.p à | z | < 1.
3. STABILITE D'UN PREMIER ORDRE. Afin d'analyser la stabilité correspondant à un pôle réel, nous allons illustrer notre propos en étudiant la stabilité d'un premier ordre. Considérons un premier ordre continu dont la commande se fait par une simple action proportionnelle, conformément au schéma bloc figure 3.1.
1 1 1+T p.
1- -e p
Figure 3-1.
Le comportement discret du processus est donné par: H z Y z U z
e p T p
3
e T T1
( )( ) ( )
avec ( )a K= − −λ λ. 1
Analyser la stabilité de cette fonction revient à calculer la valeur du pôle z=a, s'il est compris entre zéro et un, le système sera stable, et instable dans le cas contraire. Afin de vérifier la condition de stabilité nous allons étudier la réponse impulsionnelle pour sept valeurs différentes de l'action proportionnelle K (voir figure(3-2)). Cette réponse à pour expression: ( ) ( )y k K a k( ) . .= − −1 1λ Nous prendrons pour l'application numérique λ=0,7, pour différentes valeurs du gain K les résultats algébriques sont résumés dans le tableau ci dessous, et les réponses temporelles sur la figure 3-2.
Cas K a Γ(z) y(k) 1 -2 1,3 −
− 0 6 1 3 , ,z
( )− −0 6 1 3 1, . , k
2 -1 1 − − 0 3
1 ,
z
3 1 0,4 0 3 0 4 ,
,z −
( )0 7 0 1, . k−
5 4 -0,5 1 2 0 5
, ,z +
, z +
, ,z +
( )( )18 11 1, . ,− −k
Cet exemple corrobore évidement les conditions théoriques de stabilité, on peut remarquer que lorsque le pôle est compris entre 0 et -1 la réponse est oscillatoire. Il faudra donc se garder lorsque l'on aura le choix des pôles en boucle fermée de les placer dans cet intervalle. Remarque importante.
Dans l'intervalle 0 +1 le pôle z=a correspond par exemple à l'élément simple z
z a− , sa dynamique
ak correspond au comportement discret d'un premier ordre continu précédé d'un bloqueur d'ordre zéro.
En effet sachant que z p
z
τ .
= −
τ
Lorsque a est proche de 1 la constante de temps est longue, pour la valeur limite a=1 nous obtenons un échelon. Par contre lorsque le pôle a est proche de 0 la constante de temps est faible à la limite elle est nulle et nous avons un comportement type réponse pile.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0 Cas 2 a=1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Cas 4 a=0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5 -4.5
-4 -3.5 -3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Cas 5 a = -0,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2 -1.5 -1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
Cas 6 a= -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Cas 7 a = - 1,1
5
4. STABILITE D'UN SECOND ORDRE.
+
-
1 2 1 2
- - - -
+ - +
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
L'analyse de la stabilité revient à étudier le polynôme ( ) ( )z z K K2 0 08 1 3 0 4 0 02+ − + +. , . , , , . . Pour différentes valeurs du gain K nous avons calculé les pôles, la pulsation propre et le coefficient d'amortissement correspondant ainsi que la fonction de transfert en boucle fermée. Les résultats obtenus sont reportés dans le tableau suivant:
Cas Gain K pôles ω0 ξ0 Γ(z) 1 0,5 0,63 +j.0,11
0,63 -j.0,11 0,48 0,92 0 04 0 01
1 1 26 0 41
1 2
1 2 , . , .
, . , . z z
z z
0,59 0,72 0 104 0 026 1 1196 0 426
1 2
1 2 , . , .
, . , . z z
z z
3 8 0,33 +j.0,67 0,33 -j.0,67
1,15 0,25 0 64 0 16 1 0 66 0 56
1 2
1 2 , . , .
, . , . z z
z z
4 20 -0,15+j.0,88 -0,15-j.0,88
1,74 0,06 1 6 0 4 1 0 3 0 8
1 2
1 2 , . , .
, . , . z z
z z
2,36 -0,02 2 8 0 7 1 15 11
1 2
1 2 , . , .
, . , . z z
z z
− −
− − +
+ +
La position des pôles ainsi que les réponses impulsionnelles correspondantes, figurent en 4.2. Nous constatons au vu de ces réponses que les oscillations sont d'autant plus importantes que le coefficient d'amortissement est plus faible.
6
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.02 0.04 0.06 0.08
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-10
-5
0
5
-1
7
Soit une transmittance en z : 2az.1a2z
2bz1b 2z.2a1z.1a1
−+− , l'étude de la stabilité
revient à étudier les deux pôles de ce transfert. Nous allons exprimer la condition de stabilité dans le plan a2 a1 et définir la zone à l'intérieure de laquelle le système est stable. Pour des pôles réels:
Dans ce cas ( )a a1 2
24 0− >. ce qui implique a a
2 1 2
4 < , dans le plan a2,a1 les pôles se trouvent en
dessous de la parabole correspondante
z a a a
− < − + −
<+1
ces deux inéquations s'expriment par a a1 21> − − et a a1 21> − + . La zone de stabilité se trouve
en dessous de la parabole a a
2 1 2
4 = et au dessus des droites de pente -1 et 1 que nous venons de
définir ( voir figure .4.2). Pour des pôles complexes
Ici ( )4 2 1 2.a a− >0 ce qui implique a
a 2
1 2
4 > nous nous trouvons donc au dessus de la parabole
déjà décrite. Dans ce cas les deux pôles sont complexes conjugués et valent:
z a j a a
1 1 2 1
2 1 2 1
= − − −.
dont le module z a= 2 . Le coefficient a2 étant positif (condition du discriminent négatif) un z < 1 nécessite a2<1. La zone de stabilité dans le cas complexe se situe donc au dessus de la parabole et en dessous de la droite a2=1 ( voir figure .4.3).
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
a1
a2
8
Dans la zone ou la réponse est oscillatoire nous avons représenté le réseau de courbes à coefficient d'amortissement constant et à pulsation fixe. La pulsation utilisée est = ω.T .
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Figure 4.4
5. CERCLE DE STABILITE. Dans le cas continu pour qu'un système soit stable, il est impératif que ses pôles se trouvent dans le demi-plan gauche. Pour les systèmes discrets le changement de variable z eT.p= transforme l'axe imaginaire en un cercle de rayon unité à l'intérieur duquel, doivent se trouver les pôles, pour assurer la stabilité.
zône instable Re
-r
c
-c
Im
Re
β
−β
α
Figure 5.1 Un pôle double est associé à une pulsation propre ω0 et un coefficient d'amortissement ξ0, Nous rappelons que pour les systèmes continus les lieux à amortissement constants se trouvent sur des droites de mêmes pentes, et le lieu de pulsation constante sur un cercle.
9
Nous allons maintenant voir comment se transforment ces lieux dans le cas discret.
Soit une paire de pôles ( )( ) ( )( ) ( )p r j c p r j c p r p r c+ + + − = + + +. ) . . . .2 2 22 (4-1)
= + +p2 0 0
22. .ξ ω ω en identifiant on obtient les valeurs de r et de c soit:
r = ξ ω. 0 et c = −ω ξ0 21. (4-2)
Dans le domaine continu les pôles de l’équation (4-1) sont : cjr1p ⋅−−= et cjr2p ⋅+−= (4-3)
Dans le cas discret nous aurons deux pôles z1=α+j.β et z2= α-j.β (4-4)
correspondant au polynôme: P(z)= ( ) ( )( )z z z z− −1 2. ( )( ) ( )( )= − + − −z j z jα β α β. . . (4-5)
P(z)=z z2 2 2 2− + +
. .α α β (4-6)
Pour passer du plan des p au plan des z nous effectuerons la transformation : z eT p= . = ( )cjrTe ⋅±−⋅− TcjeTre ⋅⋅±⋅⋅−=
on obtient : ( ) ( )( )TcsinjTccosTre1z ⋅⋅+⋅⋅⋅−= ( ) ( )( )TcsinjTccosTre1z ⋅⋅−⋅⋅⋅−= En identifiant à (4-5) il vient:

01.T.0sin.T..e 00 (4-7)
Ces équations paramétriques permettent de construire dans le plan des pôles les courbes à amortissement constant et à pulsation constante.
-1-0.5 0 0.5 1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Im(z)
0,1 = 0ξ
π 10.T
10
Remarques sur le placement de pôles. Des pôles à l'intérieur du cercle de rayon unitaire assurent de la stabilité du système, cependant si ces pôles sont à parties réelles négatives, ou si leurs composantes imaginaires sont trop importantes, cela entraîne des modes oscillatoires à proscrire. Dans un contexte de placement de pôles on limitera l'aspect oscillatoire en se fixant des bornes pour le coefficient d'amortissement. En outre le temps de montée étant lié à la pulsation propre celle-ci sera aussi limitée entre une borne inférieure correspondant à la vitesse la plus lente désirée et une limite haute au-delà de laquelle il y a risque de saturation de la commande. Par exemple pour une fréquence d'échantillonnage de 10 Hz, si on limite le coefficient d'amortissement et la pulsation tel que: 0.7<ξο<1 et 2.π<ω0<4.π le domaine ou doivent se trouver les pôles est considérablement restreint (figure 5.3).
-0.5 0 0.5 1
0,1
= 0ξ
INSA GE JM RETIF Commande par modèle interne
11
1. Introduction. 1.1. Principe de la commande par modèle interne.
La commande par modèle interne repose dans son principe sur une représentation explicite du processus P(z) et de son modèle )z(P . Ainsi, pour compenser les erreurs de modélisation, la commande traitera l’écart de comportement ν entre le processus et son modèle. Sur le schéma bloc décrit figure 1-1, le correcteur C(z) permet de définir la dynamique en asservissement et le filtre F(z) sera utilisé pour définir la dynamique de rejet de la perturbation de sortie. Ce type de commande fait partie de la classe des correcteurs qui traite séparément la consigne et la mesure, à contrario, pour la commande classique (type PID) seul le signal d’écart consigne mesure est traité.
Dans ce cas, la commande est régie par deux transmittances et la grandeur U(z) a pour forme : )z(Y)z(2)z(W)z(1)z(U KK ⋅+⋅= (1-1)
Les deux transmittances )z(2et)z(1 KK permettent d’obtenir des réponses différentes en asservissement et pour le rejet des perturbations. Nous pouvons remarquer que lorsque )z()z(2et)z()z(1 KKKK −== nous retrouvons le correcteur classique pour le quel la commande ( ))z(Y)z(W)z()z(U K −⋅= . Dans la structure de commande par modèle interne nous avons : P(z) Transmittance du processus. )z(P Modèle du processus utilisé pour la commande. C(z) Correcteur pour fixer la dynamique en asservissement. F(z) Filtre de rejet des perturbations.
)z(P
)z(F
)z(fν
)z(ν
)z(ε
Processus
Figure 1-1 Lors de la synthèse de ce type de commande, nous considérerons que les comportements du processus P(z) et de son modèle )z(P sont identiques.
12 Il est immédiat de constater que lorsque )z(P)z(P = la structure de la commande par modèle interne décrite figure 1-1 devient :
Figure 1-2 Ainsi, dans son principe, la commande par modèle interne repose sur une conception en boucle ouverte. Dans ce cas le comportement désiré sera déterminé par la transmittance :
)z(P)z(C )z(W )z(Y
)z( ⋅==Γ (1-2)
La nécessité d’avoir, à l’équilibre, une sortie qui rejoint la valeur de consigne, impose à la fonction de transfert )z(Γ un gain statique unitaire. Ce n'est qu'une fois la commande définie que l'on pourra apprécier l'influence d'une erreur de modélisation sur les performances en asservissement et régulation.
Remarque importante.
Il est clair, au vu de la structure de commande (figure 1-2), que celle-ci étant établie en boucle ouverte, le processus doit être naturellement stable. Dans le cas contraire la commande par modèle interne n'est envisageable qu'en ayant préalablement stabilisé le système par une boucle de régulation classique.
1.2. Analyse de la commande par modèle interne en présence de perturbations. Dans un contexte réel, le modèle )z(P a un comportement différent du processus )z(P . En outre, si celui-ci possède un capteur bruité par un signal bW et se trouve affecté d’une perturbation yW sur la sortie et d’une perturbation uW sur la commande, le schéma bloc est le suivant :
)z(P
)z(F
13 Nous nous retrouvons dans le cas classique où la sortie est régie par 4 entrées constituées de la consigne et des 3 perturbations. Dans ce cas la fonction de transfert reliant la sortie Y(z) aux différentes entrées aura la forme suivante :
( ) )z(yu)z(yb)z(yy)z(W )z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(C)z(Y εεε +++⋅ −⋅+
⋅ = (1-3)
Dans cette expression de Y(z), nous pouvons distinguer : La dynamique en asservissement.
( ) )z(W )z(P)z(P)z(F)z(C1
• L’influence sur la sortie de la perturbation de sortie.
( ) yW )z(P)z(P)z(F)z(C1
• L’influence sur la sortie d’un bruit de mesure.
( ) bW )z(P)z(P)z(F)z(C1
( ) uW )z(P)z(P)z(F)z(C1 )z(P)z(F)z(C1)z(P
+=ε (1-7)
Sachant que le modèle )z(P est imprécis, il est nécessaire de vérifier, lorsque celui-ci a un gain statique différent du processus, que cela n’entraîne pas des erreurs rédhibitoires sur la grandeur de sortie. Lors de la synthèse de C(z), nous avons imposé un gain statique unitaire au transfert )z(Γ , il vient donc : 1)1(P)1(C)1( =⋅=Γ . En outre le filtre F(z) doit avoir un gain statique unitaire afin de compenser sans biais, l’erreur de modélisation. A partir des équations (1-4) à (1-7) il vient : • Pour l’aspect asservissement.
)1(W)1(Y)1(W 1)1(P)1(C1
)1(P)1(C)1(W )1(P)1(F)1(C)1(P)1(F)1(C1
= (1-8)
Avec cette structure de commande, le correcteur a un gain statique égal à l’inverse du gain du modèle. Nous pouvons ici vérifier que lorsque )1(P)1(P ≠ , l’erreur statique en asservissement sera nulle. • Pour le rejet de perturbation sur la sortie.
( ) 0)1(yyyW )1(P)1(C
)1(P)1(C1 yW
)1(P)1(P)1(F)1(C1 )1(P)1(F)1(C1)1(yy =⇒⋅
⋅⋅− = εε
Pour une perturbation permanente sur la sortie, l’influence sur celle-ci sera nulle. • Pour l’influence d’un bruit de mesure.
( ) bW)1(ybbW )1(P)1(C )1(P)1(C
( ) ( )
= εε
Comme pour le bruit de sortie, les perturbations permanentes sur la commande sont rejetées. Maintenant que nous avons montré la consistance de la commande par modèle interne, nous allons nous attacher à la synthèse des différentes parties la constituant. Dans un premier temps, nous nous intéresserons aux aspects inhérents à la maîtrise de la dynamique en asservissement, dans un second temps nous verrons comment fixer la dynamique de rejet des perturbations. In fine nous aborderons les aspects robustesse et montrerons la généralité de ce type de commande.
2. Comportement en asservissement Comme il a été vu précédemment, dans le cas idéal, la commande par modèle interne revient au schéma suivant :
)z(P)z(C
)z( ⋅==Γ (2-1)
A ce niveau, s'offrent à nous deux possibilités. Pour la première on considère que la dynamique en asservissement est déterminée par le produit ˆ(z) C(z).P(z)Γ = . Il s’ensuit, dans le cas idéal, au regard de l’équation (1-5) que l’erreur amenée par une perturbation sur la sortie sera : ( )yy (z) 1 (z) F(z)= − Γ ⋅ε . La dynamique de rejet de perturbation sera donc plus lente que celle de l’asservissement. Au mieux, si F(z)=1, elles seront identiques. Généralement l’utilisateur désire un rejet de la perturbation de sortie plus rapide que la dynamique d’asservissement. C’est pour cette raison que nous n’utiliserons pas cette procédure de conception de la commande. Pour avoir des dynamiques différentes pour l’asservissement et le rejet des perturbations, il est impératif que le transfert )z(Γ soit le plus rapide possible. Cette deuxième approche aura notre préférence et nous allons dans ce qui suit la détailler. Dans ce cas, pour satisfaire la dynamique désirée en asservissement, on adjoint en amont de la commande par modèle interne, un modèle de référence série conformément au schéma suivant.
)z(P)z(C
U(z)W'(z)
)z(Y)z( ⋅==Γ très rapide, la dynamique en asservissement
sera alors régie par la transmittance G(z).
15
≈⋅⋅= (2-2)
Si l’on pose, pour le modèle du processus, dz )z(A )z(B)z(P −⋅= , l’expression du correcteur pour
un comportement « pile retardé » ( 1 d(z) z− −Γ = ) est particulièrement simple :
1(z) A(z)C(z) (z) z B(z)P(z)
−Γ = = Γ ⋅ ⋅ (2-3)
Nous constatons que cette méthode simplifie le numérateur du modèle du processus et ne doit pas conduire pour le correcteur à des pôles instables ou trop oscillatoires. Cette remarque va orienter le choix du transfert )z(Γ .
La simplification de zéros instables conduit à une commande divergente. Il est cependant prudent, afin d'avoir une commande qui n’oscille pas, d'éviter de simplifier les zéros trop oscillatoires. Si nous limitons, pour des zéros doubles le coefficient d’amortissement à
5,00 =ξ et pour un zéro simple la valeur –0,4 comme limite inférieure, la zone à l’intérieur de laquelle doit se trouver les zéros du modèle est représentée sur la figure 2-3.
Figure 2-3. Nous allons maintenant décliner les différentes situations et voir comment choisir )z(Γ .
2.1. Le numérateur du modèle du processus est simplifiable.
Dans ce cas, on cherchera le transitoire le plus rapide du transfert Y z W z
( ) ( )' , en reportant la
dynamique en asservissement sur le modèle de référence série G(z).
G z B z A z
m
m ( )
Γ( ) ( ) ( )
z d= = − (2-5)
Si l'on s'autorise à simplifier le numérateur et le dénominateur du modèle, la vélocité la plus grande sera une réponse pile au retard près, ce qui donne : Γ( )z z d= − −1
Le correcteur vaut alors : C(z A z B z
z) ( ) ( )
16 Ici la dynamique d'asservissement est reportée sur le modèle de référence série G(z). Le transfert total en poursuite devient alors :
dz1z ....2z.2ma1z.1ma1
+−+−+ =−⋅−⋅= (2-7)
Afin d'éviter tout retard indésirable dans le profil de la sortie, on veillera à ce que G(z) soit un système possédant un coefficient bm0 non nul. Application. Voir exemple 1 § 6-1.
2.2. Le numérateur du modèle du processus n’est pas simplifiable. Si le numérateur B(z) n’est pas simplifié par le correcteur C(z), il est évident qu’il se retrouvera dans la fonction de transfert )z(Γ . Sachant que pour celle-ci on désire un gain statique unitaire, la fonction de transfert la plus rapide sera :
dz mb2b1b
)1(B )z(A)z(C = (2-9)
Application. Voir exemple 1 § 6-2.
2.3. Le numérateur du modèle du processus est partiellement simplifiable. Ici, il est nécessaire dans la représentation du modèle du processus )z(P de séparer les parties simplifiables de celles qui ne le sont pas. La forme générale du modèle du processus est :
dz naz.naa...3z.3a2z.2a1z.1a1
nbz.nbb...3z.3b2z.2b1z.1b )z(P −⋅
−++−+−+− = (2-10)
Le numérateur peut se factoriser en deux polynômes Bi(z) et Bs(z) correspondant respectivement aux zéros instables et stables du numérateur.
dz )z(A
.3z.3ib2z.2ib1z.1ib)z(iB +−+−+−= (2-13)
Le polynôme )z(iB représente la partie du numérateur que l’on ne veut pas simplifier, en conséquence il se retrouvera dans le comportement de )z(Γ .
Soit : dz )1(iB )z(iB
17 Il est normal que dans ce transfert l'on retrouve l'intégralité du retard ainsi que la partie non simplifiable, la présence de Bi ( )1 assure un gain unitaire à Γ( )z . Ce transfert s'exprime par rapport au correcteur et au processus par :
dz )z(A
).z(sB).z(iB )z(C)z(P)z(C)z( −⋅=⋅=Γ (2-15)
De ces deux dernières équations ((2-4) & (2-5) ) il est aisé de déterminer le correcteur soit:
C(z A z
dz )1(iB )z(iB
Il est à remarquer que le transfert B z B
i
i
( ) ( )1
est à réponse impulsionnelle finie, ce qui implique un
suivi relativement correct de Y par rapport à W'.
3. Rejet des perturbations. 3.1. Rejet de la perturbation sur la sortie.
Nous allons analyser ici l’influence sur la sortie Y d’une perturbation de sortie yW . Nous nous
placerons dans le cas idéal où )z(P)z(P = , dans ce cas l’erreur sur la sortie vaut :
( ) )z(yW)z(P).z(F).z(C1)z(yy ⋅−=ε (3-1)
( ) )z(yW)z().z(F1)z(yy ⋅Γ−=ε (3-2)
Le schéma bloc en régulation dans le cas idéal est donc:
C(z)F(z)
)z(yyε
)z(Γ
Figure 3-1 Nous allons maintenant étudier comment caractériser F(z) afin d’obtenir le rejet désiré de la perturbation yW . Afin de ne pas alourdir l’écriture nous allons considérer dans ce qui suit un retard nul (d=0).
18
3.1.1. Cas de zéros stables
Comme nous l'avons vu précédemment, si l’on simplifie B(z), il est facile d’avoir 1z)z( −=Γ .
Dans ce cas : )z(yW1z).z(F1)z(yy ⋅
−−=ε (3-3)
A titre illustratif, admettons que l’on désire un rejet de perturbation tel que : k)k(yy ρ=ε , ce qui donne
1z1
1)z(yy −⋅ρ− =ε .
Pour une perturbation en échelon de yW , à partir de la relation (3-3) il vient :
1z)z(F1 1z1
1z1 )z(yW
)z(yy −⋅−= −⋅ρ−
ρ− =⇒
Nous retrouvons ici la transmittance d’un premier ordre précédé d’un bloqueur d’ordre zéro dont la réponse indicielle est avancée d’une période d’échantillonnage.
F(z)
Figure 3-2
On voit apparaître clairement sur la figure 3-2, qu'au retard près, F(z) fixe explicitement le rejet de la perturbation.
3.1.2. Cas de zéros instables.
Sachant que la transmittance rapide désirée vaut ici )1(B )z(B)z( =Γ (relation (2-8), ici le transfert
en régulation s'exprime, dans le cas idéal par :
)z(F )1(B )z(B1
ε (3-4)
Nous remarquerons que le transfert )1(B )z(B est à réponse impulsionnelle finie, par conséquent en
première approximation F(z) fixera comme précédemment la dynamique en régulation.
3.1.3. Cas des zéros partiellement instables.
Ici )1(iB )z(iB)z( =Γ , dans ce cas )z(F
)1(iB )z(iB1
ε (3-5)
Le transfert )1(iB )z(iB étant rapide, nous considérerons que c’est le filtre F(z) qui fixe la dynamique
de rejet de la perturbation.
19 3.2. Rejet d’un bruit de mesure.
Ici dans le cas idéal la relation (1-6) devient :
bW)z(P)z(F)z(C)z(yb ⋅⋅⋅−=ε (3-6)
bW)z()z(F)z(yb ⋅Γ⋅−=ε bW)z(F ⋅−≈ (3-7)
Comme F(z) possède un gain statique unitaire, une erreur systématique se répercutera intégralement sur la sortie.
3.3. Rejet de la perturbation sur la commande. Pour une perturbation sur la commande l’équation (1-7) vaut :
( ) uW)z(P)z(F)z(C1)z(P)z(yu ⋅⋅⋅−+=ε (3-8)
( ) uW)z()z(F1)z(P)z(yu ⋅Γ⋅−+=ε ( ) uW)z(F1)z(P ⋅−≈ (3-9)
La dynamique de rejet correspond à celle liée à yW filtrée par le processus. Nota : On remarquera que dans le cas d’une commande classique, il en est de même puisque
yySPyuS ⋅= .
4. Robustesse d’une commande par modèle interne. La structure de la commande par modèle interne est particulière et ne se prête pas directement à l’expression de la robustesse et des fonctions de sensibilités. Nous allons montrer que cette commande peut se mettre sous une forme générale pour laquelle la grandeur de commande U est fonction de deux transmittances. La première traite la consigne W et la seconde la mesure Y. A partir de cette formulation, nous pourrons ramener le schéma de commande par modèle interne à un bouclage classique.
4.1. Forme générale de la commande. A partir du schéma général donné figure 1-1, nous pouvons exprimer la commande en fonction du correcteur C(z), du filtre F(z) et du modèle )z(P .
)z(Y. )z(P).z(F).z(C1
)z(F).z(C)z('W. )z(P).z(F).z(C1
= (4-1)
Nous voyons ici que cette commande dépend de la consigne intermédiaire W' et de la mesure Y. Cette structure correspond à un système multivariable recevant deux entrées et délivrant une sortie U. Ainsi, la commande U peut donc se calculer à partir de deux fonctions de transfert que nous noterons )z(1K et )z(2K .
)z(S )z(T)z(1 =K =
− = (4-3)
Avec ces notations, la commande peut se mettre sous la forme:
)z(Y).z(2)z('W).z(1)z(U KK −= = − T z S z
W z R z S z
Y z ( ) ( )
20 A partir de cette formulation, le schéma de commande, en présence de perturbations, devient :
+W' T(z) S(z)
Figure 4-1
Pour implanter la commande par modèle interne sous cette forme, il faut déterminer les polynômes R(z), S(z) et T(z) qui sont pris sous la forme suivante :
+−+−+−+= 3z.3r 2z.2r
1z.1r0r)z(R (4-5)
+−+−+−+= 3z.3s2z.2s1z.1s1)z(S (4-6)
+−+−+−+= 3z.3t2z.2t1z.1t0t)z(T (4-7)
)z(S )z(TU −= (équation (4-1))
−−⋅−−⋅−−⋅− −−⋅−−⋅−⋅−
+−⋅+−⋅+⋅=
)2k('w2t)1k('w1t)k('w0t)k(u
Pour obtenir ces équations de commande, il nous faut donc trouver les relations liant les polynômes R(z), S(z) et T(z) en fonction des transmittances C(z), F(z) et )z(P . Pour cela nous poserons :
F z N z D z
f
f ( )
c
c )
= dz. )z(A )z(B)z(P −= (4-8)
L’identification de la relation (4-1) aux équations (4-8) permet d’obtenir pour ces trois polynômes : R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )= (4-9)
d fcfc z).z(B).z(N).z(N)z(A).z(D).z(D)z(S −−= (4-10)
T z N z D z A zc f( ) ( ). ( ). ( )= (4-11) Cette nouvelle structure de la commande par modèle interne peut évidemment se remettre sous sa forme originale.
21 En effet si nous exprimons, d’après le schéma de la figure 4-1, la sortie en fonction de la consigne et des perturbations, nous obtenons :
Wu 2P1
P bW
2P1 2P
yW 2P1
1'W 2P1
K KK
K (4-12)
( ) +⋅ −⋅+
+ (4-13)
Mettre la commande par modèle interne sous une forme correspondante au schéma de la figure 4-1 permet de reformuler celle-ci, sous une forme plus générale faisant appel à trois polynômes R(z), S(z) et T(z). Cependant le principal intérêt de la formulation qui vient d’être présentée est de mettre le schéma de commande sous une forme permettant d’exprimer la robustesse et les fonctions de sensibilité.
-
Figure 4-2
Si nous comparons cette dernière figure au schéma classique de la commande d'un processus
P z B z A z
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= , nous constatons que les schémas sont équivalents.
Nous pourrons donc, à partir de cette formulation, exprimer les différentes marges et fonctions de sensibilités inhérentes à l’étude de la robustesse d’une commande. En conclusion, pour déterminer la robustesse d'une commande par modèle interne, dans un premier temps, il faut exprimer les polynômes R(z) et S(z) à partir de transmittances de la commande par modèle interne. R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )= (4-14)
d fcfc z).z(B).z(N).z(N)z(A).z(D).z(D)z(S −−= (4-15)
22 A partir de ces polynômes les fonctions de sensibilité s’exprimeront par les relations habituelles. • Sensibilité de la sortie à une perturbation sur la sortie
S K Pyy =
+ .
Sensibilité de la sortie à une perturbation sur la mesure
S K P
Sensibilité de la sortie à une perturbation sur la commande
P.K1 PSyu +
S.BSyu + = (4-18)
• Sensibilité de la commande à un bruit de sortie ou de mesure
P.K1 KSuy +
23
5. Implémentation numérique. La commande nécessite le calcul de quatre fonctions de transfert, l'ordre dans lequel doit se séquencer les équations récurrentes n'est pas arbitraire. Il est tout d'abord nécessaire d'analyser les degrés respectifs de chacun des transferts ( en puissance de z positive). Deux cas sont à envisager : S'il y a égalité, le gain pour une pulsation infini est non nul, ou autrement formulé la sortie à l'instant k, dépendra de l'entrée au même instant. Si le degré du dénominateur est supérieur au degré du numérateur la sortie à l'instant k dépendra d'échantillons du passé de l'entrée. Ces remarques étant faites, analysons les degrés relatifs des différents transferts. • Le modèle du processus : La forme utilisée montre que )k(y dépend des échantillons passés de la commande U.
• Le modèle de référence G(z). Ici les degrés sont identiques (bm0<>0) donc w'(k) dépendra de w(k). • Le correcteur C(z) et le filtre F(z). Ces transmittances ont le même degré au numérateur qu'au dénominateur. De toutes ces contraintes il est aisé, à partir du schéma de commande rappelé figure 5-1, de déterminer le séquencement des équations récurrentes :
+W' Bm(z)
Figure 5-1
<Mesure de y(k) et w(k)> <calcul de la sortie y(k) du modèle )z(P ( )y k =f(u(k-1),u(k-2),....)> <calcul de l'écart ν(k)=y(k)- ( )y k > <calcul de l'écart filtré νf(k)=f(ν(k),ν(k-1)...)> <Calcul du modèle de référence série w'(k)=f(w(k),w(k-1)...)> <Calcul de ε(k)=w'(k)-νf(k)> <Calcul de u(k)=f (ε(k),ε(k-1)...)>
+
-
Dans ce cas l'algorithme aura la forme suivante:
<Mesure de y(k) et w(k)> <Calcul de la sortie y(k) du modèle ( )y k =f(ε(k-1),ε(k-2),....) > <calcul de l'écart ν(k)=y(k)- ( )y k > <calcul de l'écart filtré νf(k)=f(ν(k),ν(k-1)...)> <Calcul du modèle de référence série w'(k)=f(w(k),w(k-1)...)> <Calcul de ε(k)=w'(k)-νf(k)> <Calcul de u(k)=f (ε(k),ε(k-1)...)>
25
6. Exemples. 6.1. Exemple 1.
Considérons un processus du deuxième ordre dont l’identification, pour une période d’échantillonnage T=0,1s, a fourni la transmittance suivante :
2z.72,01z.7,11
2z.4,01z.8,0)z(P −+−−
−+− = .
Ce modèle possède deux pôles à l’intérieur du cercle unité (z1=0,8 et z2=0.9), nous pouvons donc appliquer la commande par modèle interne. Son numérateur présente un zéro négatif ( 5,0z −= ) ce qui va conduire à des oscillations sur la grandeur de commande u(k). En effet ce zéro du modèle conduira à la présence d’un pôle pour le correcteur qui fera apparaître un terme en ( )k5,0− . Afin de juger l’influence d’un zéro stable négatif, nous considérerons ici que ces oscillations seront acceptables et simplifierons le numérateur B(z).
6.1.1. Choix de la dynamique en asservissement.
6.1.1.1. Calcul de C(z) Le numérateur B(z) du modèle du processus étant simplifiable, comme le système est sans retard pur (d = 0) nous pouvons avoir une réponse pile.
)z(P).z(C1z )z('W
6.1.1.2. Calcul du modèle de référence série G(z)
Pour une consigne W en échelon on désire que la sortie progresse en rampe et que la valeur de la consigne soit atteinte en m.T périodes d’échantillonnages (fig 6-1).
Figure 6-1
Le transfert global en asservissement a pour expression : )z()z(G )z('W
)z(Y)z(G )z(W )z(Y
Qui dans notre cas vaut : 1z)z(G )z(W )z(Y −⋅=
Exprimons Y(z) comme la différence de deux rampes décalées d’un retard m.T.
0 5 10 15
k
y(k)
26
− −
−
⋅ = ⋅ ⋅ −
⋅ −

−−

−−
= − − + −
6.1.2. Rejet des perturbations, calcul de F(z). Nous désirons pour la perturbation de sortie yW , avoir une dynamique de l’erreur sur la sortie
du premier ordre, k)k(yy ρ=ε avec 5,0=ρ . Conformément à l’équation (1-5) du § 1 l’erreur due à une perturbation sur la sortie
vaut : )z(yW)z(F1z1)z(yy ⋅
1z1
5,0 )z( )z(f)z(F
)1k(f5,0)k(5,0)k(f −ν⋅+ν⋅=ν
6.1.3. Algorithme de commande. Il faut ici calculer les équations récurrentes correspondantes au modèle de référence série G(z), au correcteur C(z), au filtre F(z) et au modèle )z(P . Le séquencement de ces équations récurrentes n'est pas indifférent. Il faut repérer parmi ces 4 transmittances celles qui correspondent à des systèmes propres (même degré du numérateur et du dénominateur). En effet, dans ce cas il y a transmission directe (gain non nul pour une fréquence infinie). Lorsque z → ∞
z 1)z(P → Ceci implique ( ))1k(uf)k(y −= .
C(z) ,→ 1 25 Ceci implique u(k) = f(ν(k)…). ( )ρ−→ 1)z(F Ceci implique νf(k) = f(ν(k)…)
P z m
Si toutes les transmittances étaient propres, nous aurions des boucles algébriques et le séquencement des équations récurrentes ne serait pas possible.
27
Forme de l’algorithme.
<Acquisition de la consigne w(k)et de la sortie y(k)> 1. Calcul de la sortie du modèle du processus )k(y .
)2k(y72,0)1k(y7,1)2k(u4,0)1k(u8,0)k(y −⋅−−⋅+−⋅+−⋅= . 2. Calcul de la consigne intermédiaire.
[ ]' '1w (k) . w(k) w(k 10) w (k 1) 10
= − − + −
3. Calcul du signal d’écart )k(ν entre le processus et son modèle. )k(y)k(y)k( −=ν 4. Calcul du signal d’écart filtré )k(fν .
)1k(f5,0)k(5,0)k(f −ν⋅+ν⋅=ν Calcul du signal d’écart )k(ε .
)k(f)k('w ν− 5. Calcul de la commande u(k).
)1k(u5,0)2k(9375,0)1k(125,2)k(25,1)k(u −⋅−−ε⋅+−ε⋅−ε⋅= 6. Gestion des mémoires historiques. u(k-2) ← u(k-1) u(k-1) ← u(k) )1k(y)2k(y −←− )k(y)1k(y ←− νf(k-1) ← νf(k) )8k(w)9k(w)9k(w)10k(w −←−−←− )k(w)1k(w)1k(w)2k(w ←−−←− .
)k('w)1k('w ←− ε(k-2) ← ε(k-1) ε(k-1) ← ε(k)
6.1.4. Simulation
Nous nous placerons ici dans le cas idéal ou )z(P)z(P = 2z.72,01z.7,11
2z.4,01z.8,0 −+−−
Simulation pour une consigne en échelon.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Commande )t(bU
Figure 6-2 Figure 6-3
Pour une consigne W’ en échelon, nous avons bien, aux instants d’échantillonnage la réponse pile attendue, mais il y a une légère oscillation avec un dépassement de 20% provenant de la présence du zéro simplifié. L’allure de la commande est d’ailleurs bien représentative de la présence de ce zéro.
28 Simulation pour une consigne en rampe.
0 0.5 1 1.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Commande )t(bU
Le fait de solliciter la commande par une consigne en rampe réduit l’amplitude de la commande dans un rapport 10. Il est clair qu’ici les oscillations de y(t) sont tout à fait acceptables.
Rejet d’une perturbation sur la sortie.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Pour une perturbation en échelon de 20% de la consigne, nous retrouvons bien aux instants d’échantillonnages un rejet k5,02,0)k(yy ⋅=ε . Entre ces instants, la sortie y(t) oscille un peu.
6.1.5. Robustesse. Pour calculer la robustesse, il faut mettre cette commande sous une forme adéquate faisant appel
dans la boucle de contre réaction à une transmittance )z(S )z(R . Dans le § 4-2 nous avons montré
que les polynômes sont donnés par les équations (4-9) & (4-10) soit : R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )=
d fcfc z).z(B).z(N).z(N)z(A).z(D).z(D)z(S −−= .
2z455,01z0625,1625,0)z(R −⋅+−⋅−= 2z5,01z5,01)z(S −⋅−−⋅−=
29 Ici le correcteur vaut :

−⋅+

−−
−⋅+−⋅− =
1z5,011z1
2z455,01z0625,1625,0 )z(S )z(R , nous pouvons remarquer qu’il possède un pôle pour
z=1 (aspect intégrateur), ce qui est normal, puisque la synthèse par modèle interne garanti une erreur statique nulle. A partir de cette formulation, on obtient pour la robustesse de cette commande :
75,0Myy = et ms260=τ . Ici la marge de module est très correcte. Pour juger de la marge de retard, nous allons la comparer aux constantes de temps du modèle du processus.
Ici
e11z.T T
e11z.9,011z.8,012z.72,01z.7,11)z(A 21
Ce qui donne pour les constantes de temps ms4481T = et ms9522T = . Ici ms260=τ est assez faible et la présence d’un retard négligé de cette valeur, n’est pas à écarter. Pour juger si cette commande est acceptable, il faut en fonction de ce que l’on sait sur le processus, savoir si un retard pur de 260 ms est physiquement possible.
6.2. Exemple 2.
Nous allons ici reprendre le même modèle que précédemment : 2z.72,01z.7,11
2z.4,01z.8,0)z(P −+−−
6.2.1. Choix de la dynamique en asservissement.
6.2.1.1. Calcul de C(z). La dynamique le plus rapide sans simplifier le numérateur a pour fonction de transfert :
)z(P).z(C )1(B )z(B
2z.6,01z.4167,18333,0)z(C −+−−= L'équation récurrente de commande sera : )2k(6,0)1k(4167,1)k(8333,0)k(u −ε⋅+−ε⋅−ε⋅= Nota : Ce correcteur est à réponse impulsionnelle finie.
6.2.1.2. Calcul du modèle de référence série G(z) Nous reprendrons le même modèle que précédemment, pour la dynamique d’asservissement.
Soit pour m = 10 :
)z(W )z('W)z(G
Nous allons voir comment la forme idéale en rampe est altérée dans ce cas.
)z()z(G )z('W
30
k 0 1 2 3 … 8 9 10 11 W(k) 1 1 1 1 … 1 1 1 1
)k('w désiré 0 0,1 0,2 0,3 … 0,8 0,9 1 1
)k('w obtenu 0 0.0667 0.1667 0.2667 … 0.7667 0.8667 0.9667 1.0000
Nous pouvons constater un écart de comportement tout à fait acceptable.
6.2.2. Rejet des perturbations, calcul de F(z). Nous prendrons le même filtre F(z) que dans l’exemple précédent, soit :
1z1
5,0 )z( )z(f)z(F
6.2.3. Simulation. Simulation pour une consigne en échelon.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.1 0.2 0 .3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 .9 1 -0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Il est clair en comparant les figures 6-2 et 6-8 que le fait de n’avoir pas simplifié le zéro négatif du processus améliore considérablement la réponse indicielle. Simulation pour une consigne en rampe.
0 0.5 1 1.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
La réponse est meilleure que dans l’exemple précédent et l’amplitude de la commande est plus faible.
31 Rejet d’une perturbation sur la sortie.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0 .08
-0 .06
-0 .04
-0 .02
La dynamique de la sortie est moins oscillatoire que pour l’exemple 1, bien qu’aux instants d’échantillonnage l’on n’ait pas exactement une dynamique du premier ordre.
6.2.4. Robustesse.
2z1667,01z8333,01)z(S −⋅−−⋅−=
2z455,01z0625,1625,0 )z(S )z(R ,
Pour les marges permettant d’apprécier la robustesse on obtient : 77,0Myy = ms297=τ Ici les marges de module et de retard sont un peu meilleures, mais nous pouvons faire la même remarque que dans l’exemple 1 sur la faiblesse de la marge de retard.
32
INSA 5GE JM RETIF Commande RST
33 CHAPITRE 3.
COMMANDE RST
1. INTRODUCTION.
+ +
Commande U
Perturbation Wy
YPROCESSUS discrétisé
CORRECTEUR RST
Consigne W
Mesure Y
Figure 1-1.
La commande prend la forme générale )z(Y).z(2K)z(W).z(1K)z(U −= . Le fait de traiter indépendamment la consigne et l'entrée conduit, dans la synthèse du correcteur, à avoir deux transmittances )z(1K et )z(2K qui nous permettront de définir des dynamiques différentes en régulation et en asservissement. La commande RST correspondant au schéma bloc figure 1-2, ou R(z), S(z) et T(z) sont des
polynômes et Bm
Les différentes parties du correcteur ont pour forme :
R z r r z r z r zn n
r r( ) . . ... .= + + + +− − −
0 1 1
2 2 (1-1)
1 2 ns 1 2 nsS(z) 1 s .z s .z ... s .z− − −= + + + + (1-2)
T z t t z t z t zn n
t t( ) . . ... .= + + + +− − −
m
34
z d( ) ( )
. - W'' ε
Figure 1-2.
( ) ' ( )
Y z T z B z z
A z S z B z z R z W z
A z S z A z S z B z z R z
Wy z d
Y z T z B z z Bm z
A z S z Am z B z z R z Am z W z
A z S z A z S z B z z R z
Wy d
d d( ) ( ). ( ). . ( )
− − (1-6)
Nous pouvons voir sur l'expression ci dessus qu'il apparaît deux transferts différents, l'un pour la dynamique en asservissement et l'autre pour la régulation. En choisissant judicieusement R(z), S(z), T(z), Bm(z) et Am(z) il nous sera possible d'obtenir par exemple un asservissement avec une dynamique lente sans dépassement et un rejet de perturbation véloce avec éventuellement quelques oscillations rapidement amorties. Etudions maintenant, à partir du schéma bloc figure 1.2, l'expression de la commande :
U z T z S z
W z R z S z
Y z( ) ( ) ( )
. ( )= − (1-7)
Cette formulation fait bien apparaître deux correcteurs traitant indépendamment la consigne et la sortie. Cette commande par trois polynômes R(z), S(z) et T(z) est des plus générale, si l’on pose R(z)=T(z) on revient à la commande classique. En effet, il est clair que la relation devient :
( )R(z) R(z) R(z)U(z) .W '(z) .Y(z) . W '(z) Y(z) C(z). (z) S(z) S(z) S(z)
= − = − = ε
La régulation classique devient donc un cas particulier de la commande RST. La commande RST est cependant beaucoup plus riche puisque nous disposons de plus de degrés de liberté dans l'équation de commande.
1.2. Réalisation du correcteur.
La réalisation des trois polynômes RST et du modèle de référence série B z A z
m
m
peut se faire
séparément ou conjointement. Dans le premier cas nous devrons tout d’abord réaliser la référence intermédiaire W’ et ensuite calculer la commande.
35 1.2.1. Réalisation séparée du correcteur RST et du modèle d’asservissement.
1.2.1.1.Modèle de référence série. W z W z
B z A z
'( ) ( )
( ) ( )
=
⇒ = + + + − − −− − − −W z bm W z bm z W z bm z W z am z W z am z W z'( ) . ( ) . . ( ) . . ( ) ... . . ' ( ) . . ' ( ) ...0 1 1
2 2
1 1
2 2
L’équation récurrente du modèle d’asservissement sera : w k bm w k bm w k bm w k am w k am w k'( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ' ( ) . ' ( ) ...= + − + − + − − − − −0 1 2 1 21 2 1 2
1.2.1.2.Correcteur RST. Les équations récurrentes du correcteur RST, reliants Y à W', se déduiront de la relation (1-7) soit :
1 2 1 2
U(z) s U(z) z s U(z) z
t W '(z) t W '(z) z t W '(z) z
r Y(z) r Y(z) z r Y(z) z
− −
− −
− −
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +
0 1 2
0 1 2
1 2 3
= ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − −
(1-8)
Nous voyons dans cette équation récurrente que si les coefficients ri et ti sont égaux nous retrouvons une commande classique ou le correcteur reçoit le signal d'écart consigne-mesure.
1.2.2. Réalisation conjointe du correcteur RST et du modèle d’asservissement. A partir de la relation (1-7) on peut écrire :
U z T z Bm z S z Am z
W z R z S z
Y z B z A z
W z R z S z
Y zr
. ( )= − = − = −U z U z1 2( ) ( ) (1-9)
Nous avons ici un correcteur multivariable à deux entrées une sortie, il est possible de le réaliser par des équations d’état discrète ou par deux transferts en z. C’est cette dernière solution que nous retiendrons. En considérant la commande comme la somme de deux grandeurs U1 et U2 les équations récurrentes de commande seront : u k br w k br w k br w k ar u k ar u k1 0 1 2 1 1 2 11 2 1 2( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( ) . ( ) ....= + − + − + − − − − − u k r y k r y k r y k s u k s u k2 0 1 2 1 2 2 21 2 1 2( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( ) . ( ) ....= + − + − + − − − − − u k u k u k( ) ( ) ( )= −1 2
1.3. Représentation discrète du processus. Préalablement à toute commande, il est nécessaire d'identifier le processus par une méthode d'identification paramétrique (moindre carré généralisé, simplex, gradient etc…). On mettra le processus sous la forme :
H z B z A z
z d( ) ( ) ( )
.= −
(1-10) avec d représentant le retard en nombre de périodes d'échantillonnage.
b
a
nzmb2z2b1z1b)z(B
nzna2z2a1z1a1)z(A −⋅++−⋅+−⋅=
−⋅++−⋅+−⋅+= (1-11)
36 Nous noterons que le numérateur B(z) a un coefficient b0 nul ce qui implique que sa réponse indicielle vaut zéro à l’instant initial. La plupart du temps un modèle du premier ordre ou du second ordre éventuellement retardé est suffisant pour représenter un processus. Nous les formulerons :
Pour le 1er ordre retardé H z b z
a z z d( )
(1-12)
Pour le 2e ordre retardé H z b z b z
a z a z z d( )
. .
. . .=
+
+ +
− −
1.4. Idées directrices pour la synthèse d'un correcteur RST.
1.4.1. Dynamique en asservissement. En asservissement la perturbation Wy est nulle en variation et le schéma de commande correspond à la figure 1.3. Pour fixer la dynamique en asservissement il faudra essayer d'obtenir, par un calcul adéquat des
( ) ' ( )
le plus véloce possible. Si ceci est réalisé les
signaux Y et W' seront proches et la dynamique sera principalement déterminée par le modèle de
référence série B z A z
m
m
( )
( )
W W' Transfert le plus rapide possible entre Y et W'
Y
Figure 1-3.
1.4.2. Dynamique en régulation. Ici nous considérerons que le processus a atteint son régime d'équilibre, c'est à dire que la sortie a rejoint la valeur de la consigne. Celle ci est donc nulle en variation et le schéma bloc de la commande est conforme à la figure 1.4. La dynamique en régulation (W'=0) donnée par la relation (1-6) ou déterminée à partir du schéma bloc donne : Y z
Wy z A z S z
A z S z B z z R zd ( ) ( )
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). . ( )
= + −
(1-14)
En calculant avec pertinences les polynômes R(z) et S(z) il est possible de définir une dynamique de rejet de la perturbation Wy.
37
z -d
Figure 1-4.
Pour une perturbation constante, il faut que la fonction de transfert Y z
W zy
ait un gain statique
nul, cela implique que le produit A(z).S(z) possède un zéro pour z=1 c'est à dire que le correcteur doit être intégrateur. Pour faire la synthèse d'une commande RST nous allons utiliser deux approches tendant à maîtriser indépendamment la dynamique en régulation (réaction à une perturbation) et la réponse en asservissement (changement de consigne). Nous allons, avant de détailler le calcul du correcteur RST, voir quelles sont les différentes approches de synthèse.
2. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS INSTABLES. Aucune hypothèse a priori n'est faite sur le processus. Il peut posséder des zéros ou des pôles instables (racines de A(z) ou de B(z) en dehors du cercle unité).
2.1. Dynamique en asservissement. Cherchons tout d’abord à définir une réponse rapide entre Y et W’, sachant qu’il n’est pas possible de simplifier le numérateur du processus, on mettra ce transfert sous la forme : Y z
W z B z T z
P z z d( )
( ) .= − (2-1)
( ) ' ( )
( ) ( ) ( )
W z B z B
z d( ) ' ( )
.= − 1
(2-3)
Nous pouvons noter, que cette transmittance ne possède pas de termes en z au dénominateur, c’est donc un filtre à réponse impulsionnelle finie. La maîtrise de la dynamique en
asservissement sera assurée par le modèle de référence série B z A z
m
m
T(z).
38
A z S z B z z R z
d
d ( ).
Figure 2-1.
Dans ce type de commande il n'y aura pas une correspondance exacte en asservissement entre la trajectoire souhaitée W' et la sortie Y car à aucun moment nous n'avons cherché à éliminer le numérateur de la transmittance B(z). Si l'on cherche à le supprimer (voir méthode suivante) les hypothèses sur le processus seront plus restrictives, car dans ce cas B(z) devra avoir des zéros stables.
2.2. Dynamique en régulation.
( ) ( )
Y z Wy z
( ) ( )
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). . ( )
= + −
Afin de déterminer le comportement en régulation nous fixerons les pôles de cette fonction de transfert tel que P z A z S z B z z R zd( ) ( ). ( ) ( ). . ( )= + − (2-4) Cette équation polynomiale possède une solution unique qui permet de déterminer les polynômes R z et S z( ) ( ) .
La dynamique en régulation sera régie par : Y z
Wy z A z S z
P z ( ) ( )
= (2-5)
Remarque.
Comme nous pourrons le montrer ultérieurement des valeurs particulières des racines de R(z) et S(z) conduisent à des propriétés spécifiques de filtrage sur les perturbations. Afin de fixer a priori des conditions de rejets de perturbations pour des fréquences bien déterminées il est nécessaire de fixer une partie de R(z) et de S(z). Dans ce cas nous poserons : S z S z S z et R z R z R zp p( ) ( ). ( ) ( ) ( ). .( )= =1 1 S z et R zp p( ) ( ) représentant les parties dites précaractérisées des polynômes S z et R z( ) ( ) .
39 Résolution de l'équation de Bezout.
Dans le cas où nous avons des parties précaractérisées sur les polynômes S z et R z( ) ( ) l'équation
(2-4) devient : P z A z S z S z B z z R z R zp d
p( ) ( ). ( ). ( ) ( ). . ( ). .( )= + − 1 1
Cette équation pouvant se mettre sous la forme générale :
P z C z D z E z F z z d( ) ( ). ( ) ( ). ( ).= + − (2-6)
avec C z A z S z D z S z E z B z R z F z R z
p p
1 1
(2- 7)
La connaissance de P(z), C(z) et E(z) assurant alors le calcul de D(z) et F(z) qui permettent
ensuite d'obtenir les polynômes de régulation : S z D z S z R z F z R z
p p
( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( )
= =
( ) ( ) ( )
n P z n n d n D z n d
n F z n
f c
1 1
1 (2-8)
avec n et nc e les degrés respectifs de C(z) et E(z) La résolution pratique de l'égalité de Bezout (2-6) revient à résoudre l'équation matricielle P M X= ⋅ (2-9) avec X vecteur contenant les coefficients des polynômes D(z) et F(z)
[ ]X d d d d f f f fT n nd f= 1 1 2 3 0 1 2, , , ,..., , , , , ..., (2-10)
P vecteur des coefficients du polynôme P(z) fixant le fonctionnement en régulation
P p p p pT np
= 1 1 2 3, , , , ... , (2-11)
On obtient alors D(z) et F(z) en résolvant l’identité de Bezout (2-9 )soit : X = M–1.P. (2-12)
Une fois calculé D(z) et F(z) qui représentent ici respectivement S z et R z1 1( ) ( ) les polynômes
recherchés sont donné par
S z S z S z R z R z R z
T(z P z B
1
(2-13)
2.3. Mise en œuvre de la méthode. La connaissance du cahier des charges, concernant les contraintes en asservissement et en
( ) ( )
. Il faudra tenir le plus
grand compte de la dynamique en boucle ouverte et de la saturation des actionneurs pour la définition de la commande. La résolution de l’équation de Bezout fournie les polynômes S(z) et R(z) dont on ne maîtrise pas les racines. Il est possible, compte tenu des connaissances que l’on a a priori, sur les perturbations de sortie et/ou le bruit de mesure, d’être amené à précaractériser des racines dans les polynômes S(z) ou R(z).
40 2.3.1. Précaractérisation de S(z).
Comme nous l’avons déjà défini, le transfert en régulation vaut : Y z
Wy z A z S z
A z S z B z z R zd ( ) ( )
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). . ( )
= + −
Pour un processus non intégrateur si on désire assurer une erreur statique nulle pour une perturbation de sortie constante, le polynôme S(z) doit posséder une racine pour z = 1. Il faut donc imposer cette contrainte lors de la synthèse de S(z), pour cela on pose :
( )S z z S z( ) . ( )= − −1 1 1 (2- 14)
Le transfert en régulation devient :
Y z Wy z
A z S z B z z R zd ( ) ( )
( ). ( ). ( )
( ). ( ) ( ). . ( ) =
−
+
−
( ). ( ). ( ) ( )
1 1 1 (2-15)
Nous pouvons généraliser cette approche, en précaractérisant un polynôme S zp ( ) afin d’avoir des propriétés particulières de rejet de la perturbation pour certaines fréquences. Avec S z S z S zp( ) ( ). ( )= 1 (2-16)
La fonction de transfert définissant le rejet de perturbation vaut: Y z
Wy z A z S z S z
A z S z B z z R z p
d ( ) ( )
P z p( ). . ( ) ( )
1 (2-17)
2.3.2. Précaractérisation de R(z). Nous verrons plus avant dans ce chapitre que le transfert reliant la sortie Y à un bruit de mesure est le suivant :
Y z W z
B z z R z A z S z B z z R zb
d
d ( ) ( )
P z
d( ). . ( ) ( )
Si nous fixons des racines à R(z) telle que pour une pulsation ω0, R(j.ω0)=0, une perturbation sinusoïdale à cette pulsation sera totalement éliminée. Comme précédemment nous poserons donc : R z R z R zp( ) ( ). ( )= 1 (2-18)
Ce qui amène pour le rejet d’une erreur de mesure :
Y z W z
A z S z B z z R zb
d p
− 1
(2-19)
2.3.3. Choix de P(z). Le choix de P(z) fixe les pôles du transfert en régulation. L’influence de ceux-ci est prédominante dans la dynamique du rejet de la perturbation. Généralement le degré de P(z) est suffisant pour fixer des pôles principaux donnant la dynamique et des pôles auxiliaires pouvant
assurer un contrôle de certains zéros de Y z
W zy
poserons donc : P z P z P zp a( ) ( ). ( )= (2-20)
P zp ( ) représentant les pôles principaux et P za ( ) les pôles auxiliaires. Pour éliminer des zéros dans le transfert en régulation (1-14), si le processus est stable il est
possible de prendre P z A za ( ) ( )= , le transfert en régulation devient : Y z
Wy z S z P zp
( ) ( )
( ) ( )
=
41 3. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS STABLES. Nous considérerons que les zéros du modèle du processus sont à l’intérieur du cercle unité, cet avantage nous permettra de simplifier B(z). Cette contrainte est parfois restrictive car contrairement aux systèmes continus, les processus discrets ont souvent des zéros instables.
3.1. Dynamique en asservissement Reprenons le schéma de commande de la figure1.2 dans lequel nous avons explicité le transfert entre Y et W’’.
T z( ) B z
d
d ( ).
d- -1. )
Figure 3-1.
Nous allons ici rechercher un comportement à réponse prototype minimale entre la sortie Y et la consigne W’. Pour un processus retardé, le transfert le plus véloce sera donc une réponse pile retardée conformément à la figure 3.1. En effet, pour un processus retardé, on ne peut pas obtenir une réponse en asservissement avec un retard inférieur au retard du processus. A partir du schéma de commande nous pouvons déduire de la relation (1-5) la fonction de transfert entre Y et W’ soit :
avec Y z
A z S z z B z R z
d
d ( ) ' ( )
Pour satisfaire à l'objectif de poursuite nous poserons : ( )Y z
W z T z z
P(z
d( ) ' ( )
= ⋅ − +1
(3-2)
où P(z) fixe comme précédemment la dynamique des rejets de perturbations, il suffira alors de choisir T(z) = P(z) et nous obtiendrons un comportement à réponse pile retardée.
( )Y z W z
z d( ) ' ( )
= − +1 (3-3)
Cette égalité étant fixée, la dynamique de la sortie Y sera à un décalage près celle fixé par le
modèle de référence série Bm z Am z
( ) ( )
.
Afin de ne pas introduire un délai supplémentaire sur la sortie Y, on veillera à ce que la réponse indicielle du modèle de référence série soit différente de zéro au temps initial. Pour satisfaire à cette remarque il suffit que le coefficient bm0 soit différent de zéro. Pour satisfaire à ce type de fonctionnement, les relations (3-1) et (3-2) donnent pour le transfert entre Y et W’’
42 Y
W B z z
A z S z B z z R z z z
P z
− −1 (3-4)
Le polynôme fixant le rejet des perturbations aura alors pour expression :
P(z A z S z z
B z z z R zd) ( )
( ) ( )
( )= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ −
B z '( )
= −1
(3-6)
Pour déterminer R(z) et S(z) il faudra alors résoudre l'égalité ( )P(z A z S z R z z d) ( ) ' ( ) ( )= ⋅ + ⋅ − +1 (3-7)
soit S z S z B z
z ( )
( ). ( )' = −1 (3-8)
3.2. Dynamique en régulation. Nous rappelons que le transfert en r&

automatique systemes echantillonnes

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