ats genie-electrique 2005 ats

ATS Gnie lectrique session 2005

Calculatrice scientifique autorise

Avertissements : Les quatre parties sont indpendantes mais il est vivement conseill de les traiter dans lordre ce qui peut aider mieux comprendre le dispositif global. Avant cela, il est recommand de lire la totalit de lnonc. Partout o cela est demand, les applications numriques doivent tre ralises soigneusement en prcisant les units : seules les units internationales doivent tre utilises. De nombreuses valeurs numriques sont indiques au fur et mesure de lnonc : il est recommand dy prendre garde. La clart des rponses et des schmas ou figures demands sera apprcie. Lorsque cela est explicitement demand, les rponses doivent tre reportes sur le document rponse qui devra tre joint la copie.

Partout o ils sont utiliss, les amplificateurs oprationnels sont supposs parfaits. Sur les diffrentes figures, le symbole reprsente la rfrence de potentiel ( masse du montage).

Enrouleuse de film

Le sujet de ce problme concerne ltude dun dispositif denroulement de film effort de traction constant. Le systme comporte deux organes : la roue principale denroulement (note Rp) et le galet de mesure de tension (not Gt). Le galet Gt est libre de se mouvoir verticalement et sa position x(t) est mesure : en effet, cette position reflte la tension du film. La roue Rp tourne la vitesse p(t) grce au moteur dentranement qui est un moteur courant continu asservi en couple : il faut alors dterminer le couple p produire sur la roue pour assujettir la traction x(t) suivre sa consigne xr.

Attention : lenroulement du film sur la roue principale Rp induit une variation de son moment dinertie : cette variation ne sera pas prise en compte, une valeur moyenne tant utilise, note Jp = 0,18 kg.m2. Sur cette roue Rp, lenroulement du fil se traduit par un couple de frottement visqueux dont la constante t dtermine : fp = 12 Nm.rd-1.s.

Le schma simplifi de ce systme est reproduit sur la figure 1 suivante :

Figure 1

Gt Rp

p(t)

Approvisionnement du film

Deux poulies fixes

x(t)

Diffrents capteurs sont ncessaires pour asservir le dispositif : un capteur de courant pour le moteur et un capteur de position pour le Galet. Ltude de ces capteurs est dtaille dans chacune des parties suivantes. Le plan de ltude est le suivant :

1. Etude du moteur dentranement : modlisation, rducteur, hacheur.

2. Asservissement du moteur

3. Capteur de position du galet

4. Asservissement de la position x(t)

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1. Moteur dentranement Il sagit dun moteur courant continu excitation par aimants permanents. Ses caractristiques

nominales sont les suivantes (lues sur sa plaque signaltique) :

Tension nominale : Un = 150 V Vitesse nominale : n = 2400 tr/mn Courant nominal : In = 10 A

Par ailleurs, le constructeur fournit les paramtres suivants :

Rsistance du bobinage dinduit : R = 1 Inductance propre du bobinage dinduit : L = 12,5 mH Chute de tension en charge : ngligeable Coefficients de frottement sec et visqueux : ngligeables Pertes ferromagntiques : ngligeables Moment dinertie du rotor : Jm = 200 g.cm2.

On rappelle que le schma quivalent dun tel moteur, vis vis de sa tension dinduit, est compos dune force lectromotrice, note E, en srie avec la rsistance R et linductance propre L. On rappelle galement que le couple moteur, not m, est proportionnel au courant dinduit moyen, not Im, de la mme faon que la f.e.m. E est proportionnelle la vitesse de rotation m, par les relations suivantes :

m = k . Im et E = k . m (k est un coefficient constant)

1.1. Fonctionnement moteur aliment en courant continu 1.1.1. A partir des donnes constructeurs au point nominal, dterminer la valeur

numrique de la constante k. 1.1.2. En dduire la valeur numrique du couple nominal, not n. 1.1.3. Calculer ensuite numriquement :

a) la puissance mcanique nominale disponible, note Pn b) le rendement nominal de ce moteur, not n.

1.2. Utilisation dun rducteur de vitesse

Un rducteur de vitesse est utilis pour accoupler le moteur la roue denroulement. Son coefficient de rduction est not N, tel que : m = N. p. Ce rducteur est de rendement unitaire, la puissance mcanique tant donc transmise sans pertes. Les diffrentes parties tournantes de ce rducteur sont de moment dinertie ngligeable. On note c le couple rsistant sur laxe moteur et p le couple moteur qui y correspond sur la roue.

1.2.1. Dterminer lexpression du couple p en fonction du couple moteur c et du coefficient de rduction N.

1.2.2. Exprimer le principe fondamental de la dynamique pour la roue Rp (I). On rappelle que la traction du fil quivaut un frottement visqueux de constante fp.

1.2.3. Exprimer le principe fondamental de la dynamique pour le moteur (II). 1.2.4. Transformer cette relation II pour obtenir une quation diffrentielle portant sur la

vitesse du moteur et faisant intervenir les paramtres Jm, Jp, fp, N et k ainsi que le courant moteur Im suppos continu.

1.2.5. Dterminer : a) la valeur minimale Nmin de N telle que le moment dinertie de la roue

ramen sur laxe moteur ne soit pas suprieur au moment dinertie propre du moteur ;

b) la valeur maximale Nmax de N telle que la roue puisse tourner une vitesse suprieure 2 rd/s lorsque le moteur tourne sa vitesse nominale ;

c) une valeur numrique plausible pour N.

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1.3. Alimentation du moteur par hacheur srie

Le moteur est aliment par un hacheur srie qui impose la tension aux bornes de son enroulement dinduit. Le schma quivalent de lensemble est reprsent sur la figure 2 suivante.

Figure 2

U0 Commande Th, M.C.C.

uh

im

um

La tension dalimentation du hacheur est suppose constante, gale : U0 = 200 V. Le rapport cyclique

de commande du hacheur est fabriqu partir dune tension de commande, note uh, telle que : = uh/Uhm avec Uhm = 10 V. La frquence de fonctionnement de ce hacheur est note fh (la priode tant Th). Le transistor et la diode sont supposs parfaits, commutant instantanment : ils nont chacun que deux tats possibles, ferm (quivalent un court-circuit) et ouvert (quivalent un circuit ouvert). Le transistor est ainsi passant entre les instants 0 et .Th, la diode tant quant elle passante le restant de la priode.

1.3.1. Quelle sont les valeurs minimale Uh0 et maximale Uh1 de la tension de commande uh ne pas dpasser ?

1.3.2. On nglige la rsistance R et lon suppose que le courant dans le moteur ne sannule jamais. Dans ces conditions, pour un rapport cyclique de 75 %, utiliser le document rponse n1 pour dessiner : a) lallure de la tension instantane um aux bornes du moteur, b) lallure du courant im dans le moteur.

1.3.3. Toujours en ngligeant la rsistance R, dterminer lexpression de la f.e.m. E du moteur en fonction de et U0.

1.3.4. Toujours en ngligeant la rsistance R : a) dterminer lexpression littrale, note I, de londulation crte crte de ce

courant im en fonction de , U0, fh et L. b) Pour quelle valeur 0 de cette ondulation est-elle maximale ? c) Dterminer alors cette ondulation maximale, note I0, en fonction de U0, fh

et L. 1.3.5. En dduire la frquence minimale de fonctionnement du hacheur, note fmin,

permettant de rendre cette ondulation infrieure 5% du courant nominal. 1.3.6. Quelle est la valeur nominale n du rapport cyclique permettant dalimenter le

moteur sa tension nominale, Um = Un , en supposant que le courant im ne sannule jamais ? A quelle tension de commande uhn cela correspond-il ?

2. Asservissement du courant moteur Le courant circulant dans le moteur est mesur par un capteur dlivrant une tension vi proportionnelle ce

courant im sous la forme : vi = ki.im, avec ki = 0,1 V/A. Dans cette partie, on sintresse des petites variations autour du point nominal dfini par Un, In, n, uhn, le moteur tournant vitesse constante n. Dans ces conditions, toutes les variables peuvent sexprimer en fonction de leur valeur au point nominal et des variations autour de ce point, sous la forme : courant moteur : im = In + i, tension moteur : um = Un + u, tension de commande du hacheur : uh = uhn + uh. Ainsi, il est possible dutiliser les transformes de Laplace de ces variations, notes

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respectivement Im(p), Um(p) et Uh(p), en supposant que le systme se comporte comme un systme linaire pour ces petites variations.

Dans cette partie, la rsistance R nest plus nglige.

2.1. A partir du schma quivalent du moteur, dterminer la relation exprimant Im(p) en fonction de Um(p) en supposant la vitesse de rotation constante : par consquent, la force lectromotrice est galement constante et ses variations sont donc nulles.

2.2. En dduire la fonction de transfert Hm(p) dfinie par : )p(U)p(V

)p(Hh

im = , Vi(p) dsignant la

transforme de Laplace des variations de la mesure du courant, Uh(p) la transforme de Laplace des variations de la grandeur de commande du hacheur. Pour cela, on pourra exprimer la valeur moyenne de la tension aux bornes du moteur en fonction des tensions uh, Uhm et U0.

2.3. Cette fonction de transfert tant mise sous la forme : p.1H

)p(Hm

0m += , dterminer littralement

puis numriquement : a) son gain statique H0, b) sa constante de temps m.

Le courant moteur est alors asservi au moyen dune boucle utilisant un correcteur en cascade de gain constant et rglable, not Ci, comme indiqu sur le schma-bloc de la figure 3 suivante :

Figure 3

Ci +

- Hm(p)

Viref Uh Vi

Le signal dentre de cet asservissement est une tension de rfrence, note Viref(p), image du courant

souhait, Iref(p), dans le moteur par la mme relation que pour le capteur : Viref(p) = ki . Iref(p).

2.4. Dterminer lexpression de la fonction de transfert en boucle ferme de cet asservissement,

dfinie par : )p(V)p(V

)p(Hiref

iBF = , en fonction de Ci et Hm(p).

2.5. Dterminer alors, pour ce systme boucl, a) son gain statique H0BF, b) sa constante de temps mBF.

2.6. En dduire la valeur numrique Ci0 du gain Ci permettant dobtenir, en boucle ferme, une bande passante 3dB donne par : fBF = 120 Hz.

2.7. Pour ce gain Ci0, quelle est lerreur statique relative i0 commise sur le courant ?

3. Capteur de position du galet La position verticale du galet doit tre mesure avec prcision afin de pouvoir en raliser

lasservissement. On rappelle que cet asservissement sur la position x(t) permet dassurer une tension du film constante lors de son enroulement.

3.1. Capteur numrique ultra-sons

Le capteur, situ sur le sol, utilise une mission dultrasons verticalement, laplomb du galet, la rception de ces ultra-sons tant obtenue au mme point. On ntudiera pas le mcanisme dmission et de rception ainsi que la mise en forme des signaux mais lon supposera que pour toute impulsion ve(t) mise, le

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rcepteur dlivre une impulsion vr(t) telle que dfinie sur la figure 4 ci-dessous, lamplitude de ces impulsions tant Vcc = 5 V :

Figure 4

Ve

Vr

t

t

t

Tc

La dure t sparant les fronts montants de ces impulsions est donc reprsentative de la distance x entre

le galet mobile et le capteur. On supposera la correspondance parfaite suivante : t = 0.x, 0 tant une constante. A ces impulsions de tension, il est donc possible de faire correspondre directement des signaux logiques nots Ve et Vr dont lvolution temporelle suit lallure dcrite prcdemment. La priode des impulsions (dmission et de rception) est une constante note Tc.

Les signaux logiques ainsi dfinis servent piloter un systme numrique constitu dun compteur associ un registre parallle 5 bits. Le schma de la figure 5 reprsente ci-dessous prcise le montage utilis, tous les composants logiques tant aliments sous la mme tension Vcc.

Figure 5

Compteur Registre Q0

Q4 S4

S0

Ve

Vr

H

Start

Stop Transfert RAZ

Le compteur compte avec une frquence fixe (signal H), dont la priode est note TH. Le comptage dbute lors de lapparition dun front montant sur la broche Start et sarrte lors de lapparition dun front montant sur la broche Stop . Les signaux logiques de sortie, Q0 Q4, reprsentent alors un mot numrique image de la dure de comptage, Q0 reprsentant le poids le plus faible, Q4, le poids le plus fort. Le registre qui suit permet de retranscrire sur chaque sortie Sk la valeur de lentre correspondante Qk (k variant de 0 4) lors de lapparition dun front montant sur sa broche Transfert . Le compteur est remis zro lors de lapparition dun front descendant sur sa broche RAZ : ses sorties Q0 Q4 sont alors remises zro.

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Les dures des impulsions Ve et Vr sont supposes trs faible devant la priode dhorloge TH. Le mot numrique de sortie sera reprsent sous la forme S = [S4 S3 S2 S1 S0], sa conversion en nombre entier non sign tant appele SN.

3.1.1. Dterminer la plus petite valeur SNm et la plus grande valeur SNM mesurables du nombre entier SN.

3.1.2. Compte-tenu du montage ralis, quelle relation doit-on imposer entre Tc et TH afin dobtenir une valeur numrique unique pour toute position x et viter ainsi toute ambigut dans la mesure ?

3.1.3. Dterminer lexpression de la constante 0 en fonction de la hauteur maximale du galet, note Xm, et de Tc. Application numrique : calculer 0 pour les valeurs numriques suivantes : Xm = 10 cm et Tc = 1 ms.

3.2. Conversion numrique analogique

Cette conversion est rendue ncessaire pour pouvoir mesurer x(t) et agir, de manire analogique, sur le hacheur prcdemment tudi. La conversion est ralise au moyen dun rseau en chelle reprsent sur la figure 6 suivante :

Figure 6

S0 S1 S2 S3 S4

V1 V2 V3

V0 v

Sur ce schma, tous les rectangles reprsentent des rsistances qui sont toutes identiques, de valeur fixe

: R0 = 10 k. On remarquera avantageusement que deux rsistances associes en parallle sont quivalentes une rsistance de valeur moiti.

3.2.1. En utilisant les potentiels V0 V3, dterminer un systme de 5 quations permettant dexprimer les tensions S0 S4 en fonction des tensions V0 V3 et v.

3.2.2. En dduire lexpression de la tension v en fonction des tensions S0 S4 en liminant, dans le systme prcdent, les tensions V0 V3. Pour faire ce calcul de faon simple, il suffira de multiplier chacune des quations par un nombre entier dterminer puis den faire la somme.

Le montage prcdent est associ un amplificateur oprationnel parfait comme indiqu sur la figure 7:

Figure 7

v vx

R1

R2C1

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3.2.3. En utilisant la reprsentation de Laplace, dterminer la fonction de transfert, note

Gx(p), reliant lentre V(p) la sortie Vx(p) (transformes de Laplace des tensions v(t) et vx(t)) en fonction de R1, C1 et R2.

3.2.4. Montrer simplement quen rgime statique tabli (x = constante), cette tension vx(t) est proportionnelle x suivant une loi du type : vx(t) = kx .x(t). Pour cela, on dterminera lexpression du coefficient kx en fonction de 0, Th, R1 et R2.

3.2.5. Aprs avoir mis la fonction de transfert Gx(p) sous la forme p1p1

.G)p(G11

120x +

+= , dterminer les expressions de G0, 11 et 12 en fonction de R1, R2 et C1.

3.2.6. Tracer alors lallure du diagramme de Bode asymptotique (module et phase) de cette fonction de transfert sur le document rponse n2 ci-joint. Pour cela, on utilisera les valeurs numriques suivantes : G0 = 10 ; 11 = 1 ms ; 12 = 0,02 ms. La prcision de ces tracs sera apprcie : valeurs remarquables, chelles, etc.

4. Asservissement de la tension du fil Cet asservissement porte sur la grandeur x(t) que lon veut rendre constamment assujettie une rfrence

note xref(t). Pour cela, on modlise le systme sous la forme du schma-bloc de la figure 8 suivante :

Figure 8

Cx(p) +- H1(p)

Vxref r Vx H2(p)

W

Les fonctions de transfert utilises dans ce schma sont les suivantes :

p1H

)p(H1

101 += et )p1.(p

H)p(H

22

202 +=

Dans ces expressions, les paramtres connus sont les suivants :

H10 = 20 ; 1 = 0,2 ms ; H20 = 2 V.N-1.m-1; 2 = 0,05 s. Le correcteur utilis est reprsent par la fonction de transfert note Cx(p) donne par lexpression

suivante : p)p1.(H

)p(Cx

xxx

+= . Le soustracteur dentre de cet asservissement ainsi que le correcteur sont raliss au moyen du schma reprsent sur la figure 9 suivante :

7


Figure 9

vx w

R6

R5

R3

R4 vxref

R7

R8 C2

r

4.1. Comment choisir les rsistances R3, R4, R5 et R6 pour assurer la fonction w = vxref vx ?

4.2. Dterminer les expressions de Hx et x en fonction des rsistances R7, R8 et du condensateur C2.

4.3. Dterminer lexpression de la fonction de transfert en boucle ouverte WV

G xx

= en fonction des diffrents paramtres H10, H20, Hx, 1, 2 et x.

4.4. Comment doit-on choisir x par rapport 2 si lon veut que la phase de cette fonction de transfert Gx puisse tre, sur une plage de pulsation, suprieure ?

4.5. Compte-tenu du choix prcdent, tracer lallure du diagramme de Bode en module et en phase de Gx sur le document rponse n3 ci-joint. Pour cela, on utilisera les valeurs numriques donnes prcdemment ainsi que : x = 0,25 s, Hx = 1 Nm.V-1. Seuls les diagrammes asymptotiques sont demands et leur prcision sera apprcie.

4.6. Dterminer en fonction de 2 et x la pulsation 0 laquelle correspond le maximum de phase de Gx. Pour effectuer ce calcul de manire simplifie, on ngligera linfluence de 1.

4.7. Dterminer ensuite le gain Hx permettant de rendre le module de Gx gal 0 dB pour cette pulsation 0.

4.8. Dterminer enfin lexpression de la fonction de transfert en boucle ferme, note GBF en fonction des diffrents paramtres H10, H20, Hx, 1, 2 et x.

4.9. Dterminer enfin, pour cet asservissement , son erreur statique relative 0 et son erreur de tranage relative t.

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Moteur dentranementFonctionnement moteur aliment en courant continA partir des donnes constructeurs au point nomiEn dduire la valeur numrique du couple nominalCalculer ensuite numriquement :la puissance mcanique nominale disponible, notle rendement nominal de ce moteur, not ?n.

Utilisation dun rducteur de vitesseDterminer lexpression du couple ?p en fonctionExprimer le principe fondamental de la dynamique Exprimer le principe fondamental de la dynamique pour le moteur (II).Transformer cette relation II pour obtenir une Dterminer:la valeur minimale Nmin de N telle que le moment la valeur maximale Nmax de N telle que la roue puune valeur numrique plausible pour N.

Alimentation du moteur par hacheur srieQuelle sont les valeurs minimale Uh0 et maximale On nglige la rsistance R et lon suppose que llallure de la tension instantane um aux borneslallure du courant im dans le moteur.

Toujours en ngligeant la rsistance R, dtermiToujours en ngligeant la rsistance R:dterminer lexpression littrale, note ?I, dePour quelle valeur ?0 de ? cette ondulation est-eDterminer alors cette ondulation maximale, not

En dduire la frquence minimale de fonctionnemeQuelle est la valeur nominale ?n du rapport cycli

Asservissement du courant moteurA partir du schma quivalent du moteur, dtermEn dduire la fonction de transfert Hm\(p\) dCette fonction de transfert tant mise sous la fson gain statique H0,sa constante de temps ?m.

Dterminer lexpression de la fonction de transfDterminer alors, pour ce systme boucl,son gain statique H0BF,sa constante de temps ?mBF.

En dduire la valeur numrique Ci0 du gain Ci pePour ce gain Ci0, quelle est lerreur statique

Capteur de position du galetCapteur numrique ultra-sonsDterminer la plus petite valeur SNm et la plus Compte-tenu du montage ralis, quelle relation Dterminer lexpression de la constante ?0 en fo

Conversion numrique analogiqueEn utilisant les potentiels V0 V3, dterminer En dduire lexpression de la tension v en fonctEn utilisant la reprsentation de Laplace, dterMontrer simplement quen rgime statique tabli Aprs avoir mis la fonction de transfert Gx\(pTracer alors lallure du diagramme de Bode asympt

Asservissement de la tension du filComment choisir les rsistances R3, R4, R5 et R6Dterminer les expressions de Hx et ?x en fonctiDterminer lexpression de la fonction de transfComment doit-on choisir ?x par rapport ?2 si lCompte-tenu du choix prcdent, tracer lallure Dterminer en fonction de ?2 et ?x la pulsation Dterminer ensuite le gain Hx permettant de rendDterminer enfin lexpression de la fonction de Dterminer enfin, pour cet asservissement, son

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