Asymptotes

Jacques ParadisProfesseur

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre

Élément de compétence Définition d’asymptote Asymptotes verticales Asymptotes horizontales Levée d'indéterminations Asymptotes obliques

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Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction

représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique

Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique

• Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes verticales de la courbe d’une fonction

• Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes horizontales de la courbe d’une fonction

• Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes obliques de la courbe d’une fonction

Département de mathématiques

4

Définition d’asymptote Une asymptote est une

droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers zéro lorsqu’on s’éloigne sur la courbe à l’infini.

Remarque : Une asymptote ne fait pas partie de la courbe représentative d’une fonction et c’est pourquoi on la représente en pointillé dans le graphique.

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5

Asymptote verticale La droite x = a est une asymptote verticale (AV)

de la courbe de f(x) si et seulement si

Remarque : Pour localiser les AV, on cherche les valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent la fonction infinie.

x a x alim f(x) lim f(x)

ou

x = a

a+a-

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6

Exemple

Trouver les asymptotes verticales de

AH : y = -1

2

2

9 xf(x) .x 4

x = -2

x = 2

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7

Asymptote horizontale La droite y = b est une asymptote horizontale

(AH) de la courbe de f(x) si et seulement si

Remarque : Pour localiser les AH, on évalue des limites à l’infini.

x xlim f(x) b lim f(x) b

ou

y = b

-

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Exemple 1

Trouver l’asymptote horizontale de 2

2f(x) 1 .x x

y = 1

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9

Exemple 2 Trouver les asymptotes horizontales de

AV : x = -2 et x = 2

y = 2

2

2

2x 4x 3f(x) .x 4

2

2

2 4 3 ??4

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Levée de l’indétermination Mette en évidence la plus grande puissance

de x au numérateur et/ou au dénominateur

• Exemple 1 :

• Exemple 2 :

• Exemple 3 :

4

2x

3x 2x 5lim2x x 6

2

2x

3x x 5lim

2x 2x 6

6 2

xlim 7x 4x 9

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y = 2x + 1

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La droite y = a x + b est une asymptote oblique (AO) de la courbe de f (x) si et seulement si

où

Exemple : Trouver l’asymptote oblique de la fonction

Asymptote oblique

22x 3x 2f(x)x 1

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lim ( ) et lim ( ) 0x x

f x f x y

( )lim et lim ( )x x

f xa b f x a xx

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Asymptote oblique (Cas particulier)

Soit la courbe f(x) définie par le quotient de deux polynômes

• On a y = ax + b est une asymptote oblique de la courbe de f(x) uniquement si le polynôme du numérateur est d’un degré supérieur à celui du dénominateur.

• Pour trouver l’AO, on effectue la division des deux polynômes qui donnera f(x) = ax + b +r(x) où

Exemple : Soit

où y = 2x + 1 est une asymptote oblique.

Exercice : Trouver l’AO de Département de mathématiques

x ±lim r(x) = 0.→ ∞

22x 3x 2f(x)x 1

32x 1x 1

3 2

2

2x 5x 1f(x)x 1

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Asymptote oblique (Exemple) Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales,

horizontales et obliques de

Remarque : Lorsque , s’il y a une asymptote horizontale, il n’y a pas d’asymptote oblique et vice et versa.

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2f(x) 9x 1 4.

ou x

14

Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales,

horizontales et obliques de

Exemple récapitulatif

2

x 2f(x) .x 2x 8

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15

Devoir Exercices 6.4, page 273, nos 1, 2, 4, 5, 6, 7a, 7b,

7c, 7d, 8, 9, 10.

Exercices récapitulatifs, page 284, #12a (sauf

vi), 12b, 13 (sauf e), 14 (sauf k et l), 15a, 15b, 15e et 15j.• 12a) 1, -,1, ,- • 12b) x = -2, x = 3, y = 1, y = -1/2x - 1• 13b) n’existe pas, 13d) 0, 13f) • 14) V, V, F, F, V, F, V, F, V, V , F, F

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