association entre caractères qualitatifs

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Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie [email protected] ASSOCIATION entre ASSOCIATION entre caractères qualitatifs caractères qualitatifs

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ASSOCIATION entre caractères qualitatifs. Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie [email protected]. I - INTRODUCTION (1). ASSOCIATION entre CARACTERES QUALITATIFS. Etude de deux caractères qualitatifs appartenant à une même population. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

Professeur Pascale FRIANT-MICHEL> Faculté de Pharmacie

[email protected]

ASSOCIATION entreASSOCIATION entre caractères qualitatifs caractères qualitatifs

Page 2: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

I - INTRODUCTION (1)I - INTRODUCTION (1)

ASSOCIATION entreASSOCIATION entreCARACTERES QUALITATIFSCARACTERES QUALITATIFS

Y a-t-il association entre ces caractères ou sont-ils indépendants ?

• Etude de deux caractères qualitatifs appartenant à une même population

Remarque :

lorsqu’on conclut à une indépendance des caractères, en raison même des fluctuations d’échantillonnage, les caractères peuvent se trouver associés dans une certaine proportion de cas

• Problème :

dans quelle mesure la proportion d’association observée est-elle significative ?

Page 3: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

I - INTRODUCTION (2)I - INTRODUCTION (2)

• Réponse :

méthode applicable au cas où les caractères (l’un ou l’autre ou les deux) existent sous plusieurs modalités

Exemple :caractère 1 : couleur des yeux

. bleu

. gris

. marron

. . . .

caractère 2 : couleur des cheveux. blond. châtains. brun. . . .

. 2 d’indépendance

. Test du 2

Page 4: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

II - TEST de x2 (1)

1. Définition

Comparer deux distributions :

. les fréquences expérimentales observées

. les fréquences théoriques

Tester l’indépendance de deux caractères

2. Principe du test

a) disposer les fréquences expérimentales dans un tableau à double entrée, dit tableau de contingence

différentes colonnes :

diverses modalités de l’un des caractères

II - TEST de II - TEST de 22 (1) (1)

Page 5: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

II - TEST de x2 (2)

différentes lignes :

diverses modalités de l’autre caractère

totaux des lignes et des colonnes :

nombre d’individus présentant tel aspect de l’un des caractères, indépendamment de l’état de l’autre

Soient k le nombre de modalités du 1er caractère et l . . . . . . 2ème . . .

Un tableau de contingence permet de présenter de façon simple et claire les résultats concernant la répartition de deux caractères

Cas particulier :

tableau de contingence 2 x 2

II – TEST de II – TEST de 22 (2) (2)

Page 6: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

II -TEST de II -TEST de 2 2 (3)(3) II - TEST de x2 (3)

Car. 1

Car. 21 2 . . . k Totaux

12.....

l

O11

O12

.

.

.

.

.

O1l

O21

O22

.

.

.

.

.

O2l

. . .

. . ......

. . .

Ok1

Ok2

.

.

.

.

.

Okl

n1

n2

.

.

.

.

.

nl

Totaux n’1 n’2 . . . n’k N

Page 7: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

II - TEST de II - TEST de 2 2 (4)(4)II - TEST de x2 (4)

b) . calculer les fréquences théoriques correspondant àl’indépendance rigoureuse des deux caractères

Exemple :

probabilité d’avoir un individu possédant

le caractère 1 selon la 2ème modalité (12) et

le caractère 2 selon la 1ère modalité (21)

n 2 . n1

N

n1

N

Pth = p12 . p21

Or p12 = et p21 =

=> Pth =

n 2 . n1

N2

n 2N

Or l’effectif théorique : T21 = N . Pth

donc T21 =

Page 8: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

II - TEST de II - TEST de 2 2 (5)(5)

II - TEST de x2 (5)

. calculer :

. k - 1 effectifs théoriques par ligne car

= n et

. l - 1 . . . . . . colonne car

= n’

c) définir le nombre de degrés de liberté (nombre de termes indépendants)

. par ligne pour k colonnes, nous avons k - 1 degrés de liberté

. par colonne pour l lignes, nous avons l - 1 degrés de liberté

donc : = (k - 1) . (l - 1)

d) calculer l’écart entre l’effectif observé et l’effectif théorique puis le 2

Trr1

k

Tpp1

l

Page 9: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

III - FORMULES dIII - FORMULES duu 22 III - FORMULES du x2

lorsque 30 ≤ N < 50 et que n < 5,

on utilise la formule de 2 avec correction de continuité due à YATES :

2 =

lorsque N ≥ 30 et n ≥ 5, la formule :

2 =

de K. PEARSON reste légitime

EXCLUSIVEMENT, lorsque tableau de contingence 2 x 2 ( = 1)

On augmente ainsi la sécurité du test en pratiquant la correctionde YATES

Oi Ti 2

Tii

Oi Ti 0,5 2

Tii

Page 10: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

IV - EXEMPLE (1)IV - EXEMPLE (1)Le tableau suivant répertorie le nombre d’accidents en une année par classe d’âge des conducteurs dans un échantillon de 500 conducteurs de 18 à 50 ans.

Vérifier, au niveau de signification de 0,01, l’hypothèse selon laquelle le nombre d’accidents est indépendant de l’âge du conducteur.

Age du conducteurTotaux

18 - 25 26 - 40 41 - 50

Nombre

d’accidents

0 75 120 105 300

1 50 60 40 150

2 25 20 5 50

Totaux 150 200 150 500

Page 11: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

IV - EXEMPLE (2)IV - EXEMPLE (2)

Age du conducteurTotaux

18 - 25 26 - 40 41 - 50

Nombre

d’accidents

0 75 120 105 300

1 50 60 40 150

2 25 20 5 50

Totaux 150 200 150 500

90 120 90

45 60 45

15 20 15

Ho : Pas de relation entre l’âge des conducteurs et le nombre d’accidents

Calcul des fréquences théoriques

Utilisation de la formule du 2 sans correction de YATES

Page 12: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

IV - EXEMPLE (3)IV - EXEMPLE (3)

2 = + +

75 90 2

90

= + 0 + + + 0

+ + +

120 120 2

120

105 90 2

90

50 45 2

45

60 60 2

60

40 45 2

45

+ + +

25 15 2

15

20 20 2

20

5 15 2

15

15 2

90

15 2

90

5 2

45

+ + + 0 +

= 2,50 + 2,50 + 0,56 + 0,56 + 6,67 + 6,67

= 19,46

5 2

45

10 2

15

10 2

15

Page 13: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

IV - EXEMPLE (4)IV - EXEMPLE (4)

2 > 2 => l’hypothèse nulle est rejetée à 1 % de risque

Conclusion :

Il y a une relation entre le nombre d’accidents et l’âge du conducteur

= (3 - 1) . (3 - 1) = 2 . 2 = 4

= 1 % => 2 = 13,28

Page 14: ASSOCIATION entre  caractères qualitatifs

L1 SANTE