asservissement non lineaire par el maguiri

CRMEF SETTAT Cycle dagrgation 2015/2016

1 Prof. EL Maguiri

ASSERVISSEMENT NON LINEAIRE

METHODE DU PREMIOER HARMONIQUE

I) Limitations des mthodes linaires :

Dfinition :

Un systme est linaire sil est dcrit par les quations diffrentielles linaires dordre fini

coefficients constants.

Proprit :

Caractristique statique est une droite.

Rponse permanente ressemble toujours lentre.

Limitations :

Aucun systme physique nest compltement linaire, donc les mthodes linaires

sont applicables dans un domaine restreint appel domaine de linarit.

Certains systmes sont impossibles modliser mme localement par des systmes

linaires exemple : relais, tout-ou-rien.

Certains phnomnes ne peuvent pas tre dcrits par des mthodes linaires,

exemple : pompage, auto oscillation.

II) Non linarit dans les systmes asservis :

Un asservissement est dit non linaire sil comporte au moins un lment non linaire, il

convient de prciser que la non linarit peut avoir deux origines :

Par accident : par exemple saturation dun amplificateur, seuils dun pont de

redressement

Par conception : rgulateur non linaire


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II-1) Exemples de non linarit usuelle (caractristiques statiques)

Ces cinq non-linarits de base peuvent se combiner pour former des non linarits plus

complexes :

On peut classer les non-linarits en plusieurs catgories selon leurs proprits :

Non-linarits continues (courbures) ou discontinues (relais), Non-linarits avec ou sans mmoire (avec hystrsis),

Non-linarits accidentelles : dues aux imperfections des composants (saturation dun amplificateur, jeu) ou essentielles : lies la nature mme du composant (relais).


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II-2) Systme non linaire possdant une seule non linarit :

Proprit : Ltude dun systme asservi non linaire possdant un seul lment non linaire

sparable (hypothse de sparabilit) se ramne, o que soit plac cet lment dans la chaine

directe, ltude du systme suivant :

Systme asservi non linaire canonique.

Caractris par :

Retour unitaire

Chaine directe comprenant en cascade : llment non linaire et une fonction linaire

regroupant les lments linaire du systme.

Exercice1 : Montrer lquivalence suivante :

N.B : on ne doit pas intervertir un bloc linaire et un bloc non linaire car la rponse de

llment non linaire dpend de lamplitude (voir plus loin).

Exercice 2 : Rduire la forme canonique le systme asservi de la figure suivante :


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III) Mthode du premier harmonique :

III-1) Ide directrice :

La mthode est un essai de gnralisation de la notion de fonction de transfert pour le cas des

systmes non linaires.

Pour un systme linaire :

= 0 = 0( + )

00

= = = ()

Pour un systme non linaire :

On convient que pour une entre harmonique = 1sin() , la sortie du

systme est priodique de mme priode : +2

= ().

On convient aussi que le signal de sortie est quivalent son premier

harmonique : = 1 sin( + ).

La composante continue est les autres harmoniques sont ngligeables par rapport au

premier harmonique.

On convient enfin de dfinir pour le systme une fonction de transfert

gnralise ou quivalente caractrise par son module 1

1 et son argument .

Contrairement au cas linaire :

11 = 1, = (1, )

Graphiquement : une famille de lieux de transfert peuvent tre associs la fonction de

transfert

1, = (1, ) (1 ,)


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Im(N)

Re(N)

1

2

III-2 Justification :

a) Sortie du SNL priodique : hypothse vraie dans le cas des non linarits statiques.

s

Exemple : sortie dun relais yM

e

-yM

Modle : s= yM sign(e)

= 0sin()

-T/2 T/2

()

-T/2 T/2

Dvelopper en srie de Fourier le signal y(t) en sortie de relais.


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Rappel sur les Series de Fourier : Principales Formules

1) Forme en cos et sin (trigonomtrique) :

= 0 + cos +

=1

sin(nt)

=1

Avec

0 =1

0

=2

cos

0

=2

sin

0

0 = 0,

Cas dune fonction paire :

=2

sin = 0

2

2

Alors = 0 + cos =1

Cas dune fonction impaire :

0 =1

2

2

= 0 et =2

cos

2

2

= 0

Alors = sin(nt)=1

2) Forme trigonomtrique combine :

= 0 + cos +

=1

= 2 + 2; = (

)

3) Forme complexe :

=

Avec : =1

() ;

Terme gnral : () =

2 +

+2

Soit : () = +

avec : =

Alors = =1

() ;


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Solution :

du fait de la symtrique impaire de y(t) on a :

= 2+1sin 2 + 1 =0 , Avec : 2+1 =

4

2+1

les harmoniques 2 sin 2 + 2 = 0

1 =4

et 3 =

4

3=

1

3 : la contribution de lharmonique immdiatement

suprieur au fondamental peut donc tre nglige.

b) Equivalence de la sortie son premier harmonique :

La composante continue de la sortie est nulle si cette dernire est impaire : =

. il en est toujours dans le cas du non linarit statique symtrique par

rapport lorigine.

ignorer les harmoniques 2 et 3 devant le premier est justifi lorsque llment

non linaire fait partie dune boucle ferme.

Llment linaire est un filtre passe bas qui filtre les harmoniques de pulsation , n 2.

Seul le premier harmonique est transmis. Vis--vis de L(p), les harmoniques dordre

suprieur 1 sont comme inexistants.

III.3) Gain quivalent des lments usuels :

De nombreux lments non linaires ont une fonction de transfert quivalente indpendante

de .

1 = (1)(1)

Cest le cas des non linarits statiques usuelles (seuil, saturation, et leurs

combinaisons).

Cest le cas des non linarits dfinies par une caractristique = ()

indpendante du temps (sans inertie), dans ce cas, la FT (1) est appele : Gain

complexe quivalent. On lui associe un lieu unique gradu en 1, lorsque N fait

partie dune boucle ferme, on considre le lieu critique 1 = 1

(1).


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a- Relais :

Soit un relais symtrique de paramtre M. Si lon applique lentre du relais le signal

= 1sin(), on a vu que le 1er

harmonique de la sortie est : =4

sin . Il

sensuit que : (1) =4

1 1 =

4

1 1 = 0

(1) =4

1

1

0

Lieu critique

1 = 1

(1)=

14

Im(C(u1))

1 1 = 0 Re(C(u1))

b- Relais avec zone morte : (seuil, dead zone)

Y

+M

u

u(t)

t

y(t)

t

+M

2

2

2

2

-M

1


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Pour 1

2,

Soit linstant correspondant la premire commutation en sortie. Puisque y(t) est impair on

a :

1 = 1 = 2 2

sin =

4

cos()

2

Comme =

2

1, on en dduit

1 =11

=4

1 1

21

2

1/2

Par consquent :

1 = 1

(1)=

14

1

21

2

1/2

Pour 1 , la saturation est une fonction impaire, il suffit de calculer le coefficient 1. en

raison de la symtrie nous avons : 1 =8

sin

40

.

Finalement, le gain complexe quivalent est gal :

1 = 1 =2

arcsin

1

+1

1 1

2

N(u1)

k

uM u1

lieu critique :

im(C)

u1 croissant Re(C)

-1/K


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Exercice : On considre un relais sans seuil et prsentant un hystrsis :

Dterminer le gain quivalent de ce dispositif et tracer son lieu critique.

Exercice : On considre un relais avec hystrsis et zone morte :

Dterminer le gain quivalent de ce dispositif et tracer son lieu critique.

IV) Etude de la stabilit en rgime libre des asservissements un organe non linaire.

IV.1) condition ncessaire dauto-oscillation :

La fonction de transfert gnralise en boucle ferme scrit :

=

1 . ()

1 + 1 . ()

Comme pour un systme linaire, la condition ncessaire dauto-oscillation de la boucle :

1 + 1 . = 0


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Cette quation fournit donc lamplitude 1 et la pulsation des auto-oscillations; si elles

existent.

Elle peut galement scrire :

= 1

(1)

Sous cette forme, lquation se rsout aisment graphiquement, il suffit de reprsenter dans le

mme plan :

Le lieu critique 1

(1) gradu en 1.

Le lieu de transfert gradu en .

Im

1 Re

1

(1)

Au point C : 1 = =

Si les deux lieux se coupent, alors la condition ncessaire dauto-oscillation est

vrifie au point dintersection C : il en rsulte que le systme peut tre le sige dun

pompage damplitude et de pulsation .

Pour que le pompage ait une existence physique relle, il faut que le rgime dauto-

oscillation soit stable.

N.B: si le lieu critique 1

(1) et le lieu de transfert ne se coupent pas, il ny a

pas dauto-oscillation possible : le systme est stable ou instable suivant que

parcouru dans le sens croissant, laisse 1

(1) sa gauche ou sa droite. ( critre de

revers des systmes linaires).


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IV.2) Discussion de la stabilit de lauto-oscillation :

a- Critre de LOEB.

Lauto-oscillation est stable si lintersection, dans le plan de Nyquist, des lieux

et 1

(1), est telle que en parcourant le lieu dans le sens des frquences

croissantes, on laisse gauche le sens des 1 croissants sur le lieu critique 1

(1).

1

1

1

(1)

1

(1)

Oscillation stable (fig A) oscillation instable (fig B)

b- Dmonstration.

1

2

1

(1)

et sont les paramtres de lintersection,

supposons quune perturbation provoque une augmentation de lamplitude, le

nouveau point critique se trouve alors en 1 ; vis--vis de ce point critique, le

systme est stable. donc convergent il en rsulte une diminution de lamplitude et

par la suite le retour au point initial .

Supposons quune perturbation provoque une diminution de lamplitude : le

nouveau point critique se trouve en 2 ; vis--vis de ce point critique, le systme

est instable et diverge : il en rsulte une augmentation de lamplitude, qui nous

ramne nouveau au point initial .

On peut donc conclure la stabilit des auto-oscillations dans ce cas de figure, de la

mme manire on montre linstabilit des auto-oscillations dans le cas de fig (B).


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Exercice :

On considre le systme reprsent sur la figure suivante o lorgane non linaire est un relais

:

e* + u(t) u y(t) y s(t)

-

=

1 + 3 , = 1, = 10, = 0.5

Calculer les valeurs de lamplitude et la pulsation de lauto-oscillation.

Exercice

On considre le systme reprsent sur la figure suivante :

e* + u(t) u y(t) y s(t)

-

() =

1 + 1 1 + 2

Etudier la stabilit, en rgime libre, de lasservissement dans les 3 cas suivants dorganes non

linaires :

a- Saturation de pente K saturant Smax et Smax.

b- Seuil

V- Oscillations forcs synchrones :

e(t) + x(t) u w(t) y s(t)

-

Supposons que :

le systme est stable en rgime libre.

= 1sin()

Il y a possibilit davoir des oscillations forces synchrones sous leffet de

= 1sin( + )

Et la fonction de transfert erreur-entre est donne par :

N G(p)

N G(p)

N G(p)


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=

1

1 + 1 ())

11

= 1

1 + 1 () (1)

= 1

1 + 1 ()

Lquation (1) implique :

1 = 1 . 1 . 1

1 + ()

Cest une quation implicite en 1, et se rsoudre graphiquement :

im(C)

-1/N(x1) A(x1) Re(C)

-1

L(jw)

B(wf)

Do : 1 = 1. 1 .

x1 wf4

wf3

wf2

wf1

e1

On distingue deux phnomnes:

Le saut

La synchronization


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V-1: phnomne du saut

x1

wf donne

e1

e1 e1

la variation de x1 en fonction de e1 se fait suivant une boucle dhystrsis.

Si e1>e1 : brutale augmentation de x1

Si e1

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