Asservissement analogique de position utilisant un moteur à

courant continu (M23)

Olivier Martin - Emilien Schultz

26 novembre 2009

Table des matières

1 Présentation 2

1.1 Démarche du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Dénition du sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Dénition du cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Matériel utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Le moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Le simulateur Opale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 La chaîne complète du banc moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Identication du système 3

2.1 Méthode d'identication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Résultats et exploitation (moteur 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Remarques sur les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Correction du système : première approche avec un correcteur proportionnel 4

3.1 Justication du choix d'un correcteur proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Exploitation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Limitations du modèle inital, recherche d'une meilleure modélisation 6

4.1 Inuence des frottements statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Modication du modèle du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3 Implication sur la correction du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Détermination d'un correcteur adapté pour l'asservissement en position d'une MCC 7

5.1 Nécessité d'un autre correcteur : le correcteur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.1.1 Détermination du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.1.2 Résultats et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.1.3 Conclusion sur le correcteur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Amélioration du système bouclé : le correcteur PID ltré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2.1 Détermination du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2.2 Résultats et exploitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Ouverture sur les boucles imbriquées 11

6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Réglage du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Annexe 14

1

1 Présentation

Dans le cadre d'une étude visant à l'asservissement en position d'un moteur à courant continu, on a aaireà un système réel. Il s'agit dès lors de déterminer le correcteur analogique satisfaisant au cahier des charges.Pour cela, il est nécessaire de procéder à une modélisation réaliste du système considéré, le moteur à courantcontinu.

1.1 Démarche du montage

1.1.1 Dénition du sujet

Il s'agit de réaliser un asservissement (suivi de consigne) de la position angulaire d'un moteur à

courant continu, ceci de manière analogique, ce qui revient à construire les correcteurs analogiques baséssur des ltres actifs.Le développement du montage se décomposera en deux grandes étapes : identier "correctement" le système àasservir et déterminer les caractéristiques du correcteur répondant aux critères du cahier des charges imposé.Les correcteurs ainsi prédéterminés seront mis en application sur le système réel, et les résultats de l'expérienceconduiront à une discussion confrontant le comportement attendu et celui obtenu.

1.1.2 Dénition du cahier des charges

L'asservissement étant réalisé en vue d'un objectif précis, il est choisi ici de régler le correcteur an d'avoir laréponse la plus rapide (choix de prendre le temps de réponse tr < 5 %) et précise (supprimer l'erreur statique),tout en limitant le dépassement de position le plus possible, à hauteur d'un maximum de 10 % de la valeurnale.Un tel système peut se retrouver, par exemple pour le positionnement d'un bras robotisé qui doit saisir unobjet : le positionnement du bras doit être précis pour saisir l'objet, et ne pas présenter de dépassement an dene pas heurter l'objet.

1.2 Matériel utilisé

Ce montage est réalisé sur un banc moteur HMC BAM-1 avec les asservissements réalisés sur la platine desimulation Opale.

1.2.1 Le moteur à courant continu

Le moteur à courant continu utilisé comporte un stator à aimant permanent (moteur à ux constant),commandé en tension, et qui présente les caractéristiques constructeur suivantes :

constante de conversion k = 33 ∗ 10−3 N/A la résistance du bobinage R = 10.6 Ω l'inductance de bobinage L = 0.75 mH le moment d'inertie du moteur J = 53.10−7 kg.m2

Le moteur est décrit par le modèle comportemental suivant :

JdΩdt

= Cem − Cr − fΩ (1)

U = R.i+ Ldi

dt+ E (2)

E = kΩ (3)

Cem = ki (4)

(avec Cem le couple électromagnétique du moteur, Cr le couple résistant, f le coecient de frottement visqueux,Ωla vitesse angulaire, E la fem du moteur, U la commande du moteur)

Il est possible d'exprimer les deux constantes de temps du moteur : la constante de temps électrique Te = L

R ≈ 70 ms, la constante de temps électro-mécanique Tem = RJ

k2 ≈ 52 ms.

2

1.2.2 Le simulateur Opale

Le simulateur Opale permet de réaliser les diérents modules analogiques pour la correction de systèmeréglables par des potentiomètres : réalisation de correcteur P, I, D, de ltres analogiques, des gains et de som-mateurs.

1.2.3 La chaîne complète du banc moteur

En plus du moteur, le banc moteur comprend : un réducteur entre le moteur et la charge avec un rapport 1

24 , une charge à la sortie du moteur, un capteur de position angulaire de type potentiométrique donnant la position (gain Kθ = 4 V/rad) entre−π et π de la charge,

une génératrice tachymétrique pour la mesure de la vitesse angulaire Ω de la charge (gain 1V/rad), un couplage élastique entre la charge et le capteur de position , une sortie permettant la mesure du courant (gain 10V/A), un codeur optique incrémental.

Notons cette chaîne cinématique va modier le moment d'inertie total autour de l'axe, ce qui interviendradirectement sur le temps de réponse du système.

2 Identication du système

An de pouvoir représenter le système constitué par le moteur à courant continu, le réducteur, la charge, lagénératrice tachymétrique et le capteur de position, il est nécessaire de procéder à sa modélisation, qui permettraensuite de prédéterminer les correcteurs adaptés. An de simplier la prédétermination de ces correcteurs, il estintéressant de remarquer que le système se comporte comme un système du premier ordre (pôle dominant) : unmodèle du premier ordre est donc susant pour le décrire.Une autre approche est de procéder à une identication comportementale : le système est considéré comme uneboîte noire dont on modélise le comportement.Il est important de remarquer que la vitesse de rotation du moteur à courant continu est reliée à la positionangulaire par une relation d'intégration.

2.1 Méthode d'identication

Première remarque : le système en boucle ouverte entre la commande et la position angulaire est un systèmelimité en stabilité. En eet, pour un échelon la position angulaire va croître jusqu'à saturer le capteur : larelation intégrale entre la vitesse angulaire et la position angulaire en est la cause. Il n'est donc pas possible deprocéder à l'identication directement en boucle ouverte.

De ce fait, deux choix sont possibles pour identier le système : une étude de la chaîne directe en bouclefermée ou une étude de la réponse en vitesse en boucle ouverte (sachant que l'on peut remonter alors à laposition angulaire en faisant l'hypothèse que le capteur de position est un intégrateur pur dont on peut mesurerle gain donné par la pente de la réponse à un échelon pendant une durée courte).En raison de sa simplicité de mise en oeuvre, il est choisi d'utiliser la seconde solution pour procéder à l'identi-cation.

Pour identier les paramètres du système, il est possible de se baser soit sur la réponse indicielle soit surle relevé fréquentiel. Une étude indicielle révèle une constante de temps du système relativement élevée, ce quirend le tracé de la réponse fréquentielle délicat à mettre en oeuvre. En eet, pour chaque point de mesure, il vaêtre nécessaire d'attendre le régime permanent sinusoïdal, ce qui du fait de la constante de temps importantedemandera un délai non négligeable.

La réponse indicielle est obtenue autour d'un point de fonctionnement an d'être en régime dynamique (ets'aranchir des perturbations statiques des frottements). Ceci permet d'obtenir le comportement du systèmedans son mode de fonctionnement linéaire (SLIFL). Ce point de fonctionnement est obtenu en travaillant enentrée autour d'une valeur moyenne de +5 V , et en sortie en soustrayant la valeur de sortie en régime permanentdu point de polarisation (il est nécessaire de procéder ainsi car l'achage en mode AC de l'oscilloscope est

3

"inutilisable" dans les basses fréquences) De la réponse indicielle, on peut identier l'ordre le plus adapté pourmodéliser le système ainsi que les paramètres du modèle.

2.2 Résultats et exploitation (moteur 3

La démarche proposée pour l'identication est la suivante réaliser le montage pour le point de polarisation,

relever la réponse indicielle en vitesse du banc moteur,

déduire un modèle pour le système,

identier les paramètres du modèle,

donner le modèle complet pour l'asservissement en position.

Le relevé de la réponse indicielle est donné en annexe (première courbe). On modélise le système par unpremier ordre sous la forme.Remarque : ce modèle est valable pour une vitesse de rotation qui ne change pas de signe

H(p) =K

1 + T.p

et on identie sur la courbe : le gain statique K = 1.19, la constante de temps (à 63 % pour minimiser l'erreur) T = 58 ms.

2.3 Remarques sur les hypothèses

Le modèle de connaissance conduit à une modélisation d'ordre 2, pourtant la réponse indicielle met enévidence un comportement de premier ordre dominant. En eet, il est possible de mettre en évidence, ennégligeant un terme de la fonction de transfert du fait des grandeurs des paramètres, une factorisation sousla forme de deux pôles réels. Un de ces deux pôles est un pôle dominant (Tm = R.J

k2 ) devant l'autre, que l'onnéglige. Cela revient à négliger dans les équations l'inductance de magnétisation L.D'autre part (manipulation pour le justier : relever le courant dans la MCC pour diérentes vitesses de rotation)on peut négliger les frottements uides.

3 Correction du système : première approche avec un correcteur pro-

portionnel

Récapitulation : la première étape a été d'identier le modèle du moteur en boucle ouverte en fonctionnementdynamique autour de Ω 6= 0 par une fonction de transfert du premier ordre. Le système complet est maintenantconstitué du moteur modélisé suivi de l'intégrateur avec son gain permettant d'obtenir la position, dont onidentie les paramètres pour obtenir la fonction de transfert complète en boucle ouverte.Le correcteur s'écrit C(p) = C.

3.1 Justication du choix d'un correcteur proportionnel

La boucle ouverte considérée pour l'asservissement en position comprend un intégrateur (pour passer dela vitesse à la position angulaire). Il semble donc susant pour corriger ce système (qui en boucle ferméese comportera comme un second ordre) d'utiliser un correcteur proportionnel qui permettra de contrôler ledegré de stabilité du système. En eet, la présence d'un intégrateur doit,a priori, dans un système linéaire,annuler l'erreur statique. D'autre part, cela suggère d'utiliser le modèle dynamique identié précédemment,avec l'hypothèse faite que l'intégrateur sut à corriger les problèmes statiques de frottements. Le systèmeconsidéré en boucle fermée est présenté sur la gure 1 :

4

Figure 1 Modèle comportemental - correcteur proportionnel (boucle fermée)

Le cahier des charges stipule un dépassement le plus faible possible : on calcule donc le gain C du correcteurproportionnel pour satisfaire cette condition. La fonction de transfert en boucle fermée s'écrit

HBF (p) =1

1 + 14.C.K .p+ T

4.C.K .p2

(5)

le coecient d'amortissement s'exprime m = 12.√

4.T.C.Ket on le xe à m = 1 pour n'avoir aucun dépassement.

Cela donne C = 116.K.T

0n a donc C = 0.9

On peut alors eectuer la simulation du système obtenu sous Simulink, avec le modèle du premier ordredont les paramètres sont les précédents (gure 2).

Figure 2 Réponse indicielle avec correcteur P

Les manipulations à eectuer sont les suivantes :

câbler le montage eectuer la réponse indicielle du montage en boucle fermée relever les caractéristiques de la réponse indicielle : erreur statique, temps de réponse, dépassement

La réponse indicielle en boucle fermée pour un correcteur proportionnel est donné en annexe.

5

3.2 Exploitation des résultats

Tout d'abord pour la réponse indicielle, on remarque une erreur statique en boucle fermée. Or on s'attendaità ce que l'intégrateur de la boucle ouverte conduise à une erreur statique nulle. Cette erreur statique est dueaux frottements secs (les frottements uides étant négligeables car la vitesse de travail est faible et la géométriede la charge présente peu de résistance à l'air). Cela signie que le modèle proposé n'est pas complet et que l'ona oublié de considérer un phénomène non négligeable.

En eet, les frottements secs se comportent de manière non linéaire, ce qui est donc par dénition impossibleà prendre en compte dans un modèle linéaire, et conduisent à repenser le comportement du modèle statique pourle contrôle en position du moteur à courant continu. Cette non-linéarité peut s'observer à diérents niveaux,par exemple le fait que l'erreur statique va dépendre de la valeur de l'échelon de consigne.

Cela introduit la nécessité de rejeter les perturbations non-linéaires, dans le cas étudié constituéespar les frottements secs. L'erreur statique résultant des frottements secs malgré la présence de l'intégrateur semet en évidence à l'entrée de l'intégrateur : en régime permanent, pour que le système soit stable, l'entrée del'intégrateur doit être nulle. Cette erreur de position ne peut pas être éliminée, mais elle diminue quand le gainaugmente, cependant la valeur du gain est limitée par le cahier des charges qui xe le dépassement maximaladmissible. Nous allons essayer d'estimer ces frottements secs par la suite.

D'autre part on remarque que les performances dynamiques en boucle fermée du système ne sont pasmeilleures que celles en boucle ouverte, principalement à cause de l'erreur statique.

Enn, remarquons l'inuence du bruit qui d'ores et déjà suggère que tel quel il sera impossible d'utiliser uncorrecteur dérivé simple qui ne fera que l'amplier (il faudra au moins ltrer le signal).

4 Limitations du modèle inital, recherche d'une meilleure modélisa-

tion

La présence d'une erreur statique met en évidence la nécessité de prendre en compte les frottements secsdans le modèle. Ces frottements sont une des non-linéarités qui interviennent dans le montage. D'autres existent,telles les diérentes saturations au niveau des correcteurs qui vont modier le comportement du montage.

4.1 Inuence des frottements statiques

Les frottements secs sont mis en évidence expérimentalement : tracer en régime quasi statique la réponse à une entrée basse fréquence, en déduire la caractéristiqueentrée/sortie,

mettre en évidence la tension de seuil, mettre en évidence que le couple de frottements secs est constant par rapport à la vitesse de rotation.

Exploitation : cette courbe permet d'obtenir la tension de seuil Us = 0.37 V , puis de remonter au couplerésistant. En eet, tant que la vitesse est nulle, on a les relations : Us = R.Is et C = k.Is. Au moment où lemoteur démarre (à la tension de seuil, on a la relation C = Cr, donc on en déduit Cr = 1.2 ∗ 10−3 Nm.

Les frottements peuvent être modélisés par un couple constant multiplié par la fonction signe de la vitesse :le couple s'oppose toujours au déplacement. Cette modélisation traduit bien le comportement non linéaire. Celafait l'hypothèse d'une valeur constante, ce qui se vérie expérimentalement.

4.2 Modication du modèle du système

An de pouvoir simuler le système de manière plus précise, il est intéressant de prendre en compte les nonlinéarités. Pour cela, on peut exploiter le modèle de connaissance du moteur à courant continu. Sont négligés lesfrottements uides et l'inductance L. Le moment d'inertie du banc moteur est identié à partir de la constante

de temps théorique et réelle mesurée, on obtient J = T.k2

R = 1.09.10−5Nm. Le couple de frottement sec estcelui calculé précédemment C = 1.2 ∗ 10−3Nm.

Pour la correction proportionnelle, on obtient le modèle suivant :

6

Figure 3 Modélisation avec frottements secs

Et on obtient donc en simulation les courbes de la gure 4.Remarquons que ces courbes correspondent plus au résultat expérimental obtenu que celles issues du premier

modèle.

4.3 Implication sur la correction du système

Il est nécessaire pour obtenir un asservissement précis de réduire l'eet des frottements secs ou de les limiter.Pour cela, notons déjà qu'un correcteur intégral pur est à exclure : en eet, le système aurait en boucle ouverteune phase toujours inférieure à 180, et de fait serait donc instable. Le correcteur suivant dans la facilité de miseen oeuvre est un correcteur PI.

Remarque de quelques inuences des non-linéaritées. Tout d'abord la tension de seuil nécessaire pour obtenirune vitesse de rotation non nulle en est une. Ensuite pour un régime pseudo-oscillant, suivant la commande aumoment où la vitesse s'annule, elle peut ne pas être susante pour pouvoir contrer le couple de frottements secs.Cela se traduit par un arrêt net du moteur qui va entraîner une erreur statique non maîtrisable. Il faut aussiremarquer qu'on ne pourra jamais se débarrasser des non linéarités, il n'est donc pas nécessaire de régler soncorrecteur de manière théorique trop précisémment car leur application sur un système non linéaire va conduireà des écarts non négligeables.

5 Détermination d'un correcteur adapté pour l'asservissement en po-

sition d'une MCC

5.1 Nécessité d'un autre correcteur : le correcteur PI

Le correcteur proportionnel intégral a la forme

C(p) = C(1 +1Tip

)

5.1.1 Détermination du correcteur

Notons tout d'abord que la compensation de pôle en boucle ouverte n'est pas possible car cela conduirait àavoir en boucle ouverte du système linéaire uniquement deux intégrateurs, ce qui correspond à un système à lalimite de stabilité.Correcteur PI : deux degrés de libertés, qui permettent d'abord de satisfaire la stabilité du système puis labande passante. Le critère utilisé est celui de la marge de phase.

7

Figure 4 Courbes de simulation avec frottement sec

8

Remarquons ensuite que pour le correcteur PI, il est nécessaire de prendre Ti > T sinon le ltre linéaire seranécessairement instable. Il est possible alors de reconnaître dans la structure de la boucle ouverte un correcteurà avance de phase corrigeant un système constitué de deux intégrateurs.

H(p) =K.kθ.C

Ti.p2.(

1 + Ti.p

1 + Tp)

Cette identication avec un correcteur à avance de phase incite à poser Ti = a.T avec a > 1. On peut alorstrouver le a adapté à la marge de phase demandée avec la relation sin(φmax) = a−1

a+1 où φmax est la phase

maximale introduite par le correcteur à avance de phase à la pulsation ωmax = 1T.√a. Puis on réglera le gain

C an d'avoir |H(j.ωmax)| = 1 pour régler la marge de phase et exploiter au mieux l'avance de phase de notresystème. On se rend bien compte que le réglage du correcteur résulte d'un compromis : plus on prend une margede phase maximale importante, plus la constante de temps Ti est grande donc ralentira le système.

Pour faire un compromis, on choisit d'avoir un dépassement, et on se xe une marge de phase Mφ = 60.On calcule donc a = 14, ce qui conduit à une constante de temps Ti = 812ms. Le gain C permet d'obtenir|H(j.ωmax)| = 1 est C = 1.

La simulation avec le modèle incluant le frottement sec est la suivante

Figure 5 Réponse indicielle correcteur PI

La réponse indicielle du système réel est donnée en annexe. Remarquons de nouveau que la simulationpermet d'obtenir une courbe proche de celle relevée expérimentalement, signe que la modélisation se rapprochedu système réel.

5.1.2 Résultats et commentaires

Les manipulations à eectuer sont :

réaliser le correcteur, relever la réponse indicielle, relever les caractéristiques de la réponse, identier l'inuence des frottements statiques, comparer avec la simulation.

9

Le premier commentaire à faire est que le système est très lent : tr = 3 s. Les performances dynamiquessont inférieures à celles obtenues avec le correcteur proportionnel. D'autre part, on observe l'inuence des nonlinéarités, en particulier au niveau du dépassement qui présente un palier (s'expliquant par la tension limite dedémarrage du moteur). Cette non-linéarité se retrouve sur les modélisation, mettant en évidence la pertinencedu modèle.

5.1.3 Conclusion sur le correcteur PI

La dynamique du système est très lente en boucle fermée, bien en dessous de celle en boucle ouverte. De pluson a un dépassement.Du fait qu'il est peu rapide, les frottements secs non linéaires auront de plus une grandeinuence.Il est donc nécessaire d'améliorer la dynamique du système : pour cela, il faut introduire un correcteurdérivé qui permettra d'améliorer le temps de réponse et de diminuer le dépassement indiciel.

5.2 Amélioration du système bouclé : le correcteur PID ltré

Le correcteur PID ltré a la forme

C(p) = C.(1 +1Ti.p

+Td.p

1 + pωf

)

On utilise un correcteur dérivé ltré pour s'aranchir du bruit.

5.2.1 Détermination du correcteur

Le problème rencontré avec le PI est son manque de rapidité dû à l'eet intégrale. Pour rendre le systèmeplus rapide, on peut diminuer Ti ce qui va diminuer la stabilité du système. Le correcteur PID va permettred'obtenir une bonne dynamique tout en diminuant le dépassement.

Plusieurs méthodes existent pour déterminer les paramètres d'un correcteur PID (Ziegler Nichols, Naslin,...). La démarche pour établir le correcteur PID dans le cas considéré va s'appuyer ici sur l'étude proportionnelleprécédente : en eet, le correcteur proportionnel permet de régler le système aisément avec une bonne dynamique.Cependant, il ne permet pas de supprimer l'erreur statique, ce qui nécessite l'introduction d'un correcteurintégral. Ce correcteur intégral ralenti la dynamique du système, d'où la nécessité d'introduire un correcteurdérivé.

On part donc sur le gain C trouvé pour la correction proportionnelle (rappel C=0.9) que l'on conserve.D'autre part, on cherche aussi à conserver la bande passante du système avec correcteur P. Cette bande passantecorrespond pour un système bien réglé (sans dépassement trop important, ce qui est le cas) à la pulsation detransition, et de l'ordre de la pulsation de coupure, que l'on va chercher à conserver dans le système corrigé avecle PID.La bande passante du système est obtenue grace à la courbe en V tr.ω0 en fonction de m. Pour m=1, on atr.ω0 = 3

D'autre part, on remarque que le correcteur (si on néglige le ltrage comme n'intervenant qu'à des fréquencesplus élevées) peut se factoriser sous la forme de deux premier ordre à la condition où Ti ≡ Ti+Td, ce qui simpliele comportement du correcteur. Pour se placer dans ces conditions, on s'impose Ti = 10.Td.

Enn, an de conserver la même marge de phase que le système corrigé avec un gain proportionnel, on placela pulsation de transition désirée au milieu géométrique des pulsations liées à Td et Ti (ce qui permet, cf Bode enphase du correcteur, de ne pas toucher à la marge de phase) : on pose ωT = 1√

Ti.Tdcommme dernière condition.

On a donc trois conditions xant les trois degrés de liberté de notre correcteur, on peut donc calculer lesparamètres adaptés :

C = 0.9, Ti = 0.62 s, Td = 0.062 s, et enn on choisit la pulsation du ltre sur le correcteur dérivé telle qu'elle ne perturbe pas le comportementdu correcteur ωf = 10

Td

10

La simulation permet d'obtenir la courbe suivante :

Figure 6 Simulation réponse indicielle avec correcteur PID

Pour vérier la prédétermination du correcteur, on le réalise sur le système réel.

câbler le correcteur réaliser la réponse indicielle visualiser la commande

5.2.2 Résultats et exploitation

commenter le comportement dynamique du système (temps de réponse, stabilité), comparer au correcteurproportionnel et au correcteur proportionnel intégral,

analyser la linéarité du comportement.

La réponse indicielle du système est donnée en annexe. Notons de nouveau la cohérence des simulations parrapport au montage réel. De plus, remarquons encore le palier dû aux non linéarités. Le temps de réponse dusystème est tr = 2.3 s

En conclusion, le correcteur PID permet d'augmenter légèrement la dynamique du système. Cependant, dufait des non linéarités, la prédétermination du correcteur n'est pas forcément adapté au montage et un meilleurréglage est possible.

6 Ouverture sur les boucles imbriquées

6.1 Principe

L'objectif est de découpler la correction en deux boucles imbriquées, dont celle interne est plus rapide quecelle externe, ce qui permet un découplement du traitement de cas. Pour un moteur à courant continu, unepremière boucle très rapide existe sur le courant. On peut ensuite réaliser un asservissement avec une premièreboucle sur la vitesse (boucle tachymétrique) et une deuxième boucle sur la position. Ce type d'asservissementest possible uniquement dans le cas où la vitesse et la position sont accessibles par capteurs (ou reconstruits).

11

La boucle interne est plus rapide. Il est intéressant d'y corriger l'erreur statique, donc d'utiliser un correcteurPI pour rejeter les "perturbations". La méthode de réglage utilisée est la compensation de pôle dominant, ce quipermet d'obtenir comme fonction de transfert en boucle fermée dont on impose la dynamique de réponse. Pourla boucle externe sur la position, un simple correcteur proportionnel est susant an d'obtenir une dynamiquesusante.

6.2 Réglage du correcteur

On travaille sur la modélisation linéaire du système. La fonction de transfert en boucle ouverte pour laboucle tachymétrique est

GBO(p) = CΩ.1 + Ti.p

Ti.p.

K

1 + T.p

Pour eectuer la compensation de pôle on pose Ti = T . La fonction de transfert en boucle fermée est

GBF (p) =1

1 + TK.CΩ

.p

Pour régler la dynamique de la boucle interne, on utilise le gain K. Pour avoir une dynamique deux fois plusrapide, on a TΩ = T

K.CΩ= T

2 .

Pour la boucle en position, la boucle ouverte est alors

HBO(p) = Cθ.1

1 + TK.CΩ

.p.4p

On a donc à corriger un second ordre avec un correcteur proportionnel. Ce cas a déjà été traité , on xe m=1,et m est donné par la relation m = 1

2.√Cθ.4.TΩ

dont on déduit Cθ.

Les valeurs calculées pour les contraintes précédentes sont Ti = 0.058s CΩ = 1.68 Cθ = 2.15Le schéma bloc de la correction considérée est le suivant :

Figure 7 Modèle de l'asservissement à boucles imbriquées

Et pour les valeurs considérées, on obtient en simulation la courbe de la gure 8.Conclusion : le système à un temps de réponse tr = 0.4 s, meilleur que celui obtenu avec le correcteur PID. Lacorrection à double boucle s'avère donc bien adapté au montage.

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Figure 8 Simulation de l'asservissement à double boucle

Références

[1] Dominique Jacob, Régulation PID en génie électrique, Technosup - Ellipse, 2000

[2] Documentation banc moteur BAM-1

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7 Annexe

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