Asservissement

Frederic BONNARDOT

Janvier 2005

Table des matie`res

1 Introduction 51.1 Commande sans controle (boucle ouverte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Commande avec controle humain (boucle fermee) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Fonctionnement dun asservissement - regulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Regulation (electronique) de temperature en tout ou rien . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Regulation de vitesse de rotation dune antenne radar . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Modelisation des syste`mes physiques 112.1 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Mise en equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Syste`me lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Etude des phenome`nes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 Notion dabsorption denergie capacite,inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.4 Bote a` outil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.5 Exemple de syste`me hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.6 Limite des equations differentielles, Transforme de Laplace . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Schema fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Constitution du schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Simplification de schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3 Re`gles de modification des schema fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Syste`mes non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Etude des syste`mes lineaires 213.1 Reponse dun syste`me lineaire a` des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Notion de fonction generique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Temps de reponse a` 5 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.3 Etude des syste`me du premier et second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.4 Valeurs remarquables pour lamortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.5 Liens entre lamortissement et les autres quantites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Identification temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.1 Ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2 Ordre 1 + retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Reponse frequentielle : Analyse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.1 De lanalyse harmonique au diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Identification dans le domaine frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

4 Principe de lasservissement et de la regulation 334.1 Schema fonctionnel associe a` un asservissement - regulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Objectifs dun asservissement - regulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Rapidite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.3 Robustesse vis a` vis des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.4 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Correcteurs P,I,D 375.1 Dimensionnement des correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1.1 Syste`mes du 1er ordre : H (p) = K1+p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.2 Syste`mes du 2nd ordre contenant un integrateur : H (p) = Kp(1+p) . . . . . . . . . 375.1.3 Syste`mes du 2nd ordre : H (p) = K(1+1p)(1+2p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Comportement face aux perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2.1 Forme generique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.2 Influence des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Technique de correction des perturbations 45

7 Etude de cas 47

4

Chapitre 1

Introduction

1.1 Commande sans controle (boucle ouverte)

On va chauffer une salle de cours a` laide dun ballon deau chaude. Pour cela, on regle la vanne dedebit deau chaude afin dagir sur la temperature de la pie`ce.

Figure 1.1: Salle de cours

Malheureusement, le processus sera soumis a` diverses perturbations : soleil, ouverture dune fenetre,temperature de leau, temperature exterieure, ... De`s lors, la temperature reelle ne correspondra plus a` latemperature souhaitee le lendemain.

Figure 1.2: De la temperature souhaitee a` la temperature reelle

1.2 Commande avec controle humain (boucle fermee)

Si la temperature nest pas correcte, la personne presente dans la salle modifiera le reglage de latemperature. Elle realise donc une regulation de temperature : elle agit sur la position de la vanne afinque la temperature de la salle corresponde a` la temperature souhaitee.

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Figure 1.3: Regulation de temperature - boucle fermee

1.3 Definitions

Un asservissement (ou un syste`me asservi) est un syste`me de commande capable de modifier lui-meme ses reglages, afin dimposer a` une de ses grandeurs une loi de variation determinee. (exemple :asservissement de position).

Si cette loi de variation est constante, on parlera de regulation. (exemple : regulateur de vitesse, detemperature).

Un processus est un syste`me physique (que lon desira asservir ou reguler). Un actionneur est un organe de puissance. Un capteur permet de mesurer la grandeur commandee. Un comparateur calcule la dif ference entre la grandeur desiree et la grandeur obtenue (cest a` direlerreur).

Le regulateur est lorgane de commande. Il elabore la commande en fonction de lerreur.

1.4 Fonctionnement dun asservissement - regulation

1.4.1 Regulation (electronique) de temperature en tout ou rien

On substitue maintenant un regulateur electronique a` lhomme et on utilise un radiateur electrique.On commande le radiateur en tout ou rien : soit il fonctionne, soit il ne fonctionne pas.

Figure 1.4: Regulation de temperature en Tout ou rien

La figure ci-dessous montre le fonctionnement de cette regulation de temperature.

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Figure 1.5: Evolution de e et u

Le fonctionnement de ce montage est le suivant : Avant t = t0, u = 0 et e = e0, il re`gne une temperature i0 a` linterieur de la salle. A t = t0, on arrive dans la salle et lon veut avoir une temperature i1 associee a` une tension u = u1.Comme = u1 e0 > 0, le relais est alimente et le radiateur fonctionne.

La temperature i et son image e augmentent. A t = t1, comme = u1 e 0 le relais nest plus alimente. Neanmoins, la temperature continuedaugmenter a` cause de linertie du procede thermique. Ensuite, elle diminue.

A t = t2, le cycle recommence.Au bout dun certain temps, il y aura stabilisation des variations de temperature de la salle.Afin de limiter les oscillations du syste`me (la probabilite que u = e au nV pres etant nulle), il faudra

utiliser un comparateur a` cycle hysteresis. Un tel comparateur ne change detat que pour un ecart detemperature suffisamment grand.

1.4.2 Regulation de vitesse de rotation dune antenne radar

(a) Schema de la regulation de vitesse

(b) Evolution de e et u

Figure 1.6: Regulation de vitesse de rotation dune antenne radar

Le fonctionnement de ce montage est le suivant : Avant t = t0, u = 0, = 0

7

A t = t0, on desire une vitesse = 1 soit u = u1. Comme = u1 e = u1, le moteur demarre, savitesse ainsi que limage de la vitesse e augmente.

A t = t1, = u1 e decroit. Lacceleration du moteur devient alors moins importante. A t = t2, le radar tourne a` la vitesse 1 desiree. Lerreur nest pas nulle. Si elle etait nulle, le moteurne pourrait pas tourner.

1.5 Objectifs

Lobjectif de lautomatitien est dameliorer les performances des syste`mes asservis ou regules en reali-sant une commande adequat. Pour realiser cette asservissement de nombreuses connaissances prealablessont necessaires.

Dans le premier chapitre, nous montrerons comment modeliser les relations physiques mises en uvredans le syste`me etudie.

Etant donnee les nombreux paralle`les entre les differents types de syste`mes physiques (electrique,mecanique, hydraulique, thermique, ...) nous etudierons le comportement de ses differents syste`mes a`laide dequations typiques (1erordre, 2ndordre, ...) dans le chapitre 2.

Dans les chapitres 3 et 4 nous montrerons le principe de lasservissement, de la regulations et lesdifferents objectifs attendus pour de tels syste`mes.

Le 5ieme chapitre sera consacre a des etudes de cas classiques (asservissement de postion, regulationde vitesse, ...).

8

Chapitre 2

Modelisation des syste`mes physiques

2.1 Limitations

Nous nous interesserons ici : Aux syste`mes avec une seule entree et une seule sortie. Aux syste`mes causaux : le syste`me physique etudie ne depend que du passe et pas du futur. Aux syste`mes lineaires : La grandeur de sortie et la grandeur dentree sont liees par une equationdifferentielle lineaire a` coefficients constants. On aura alors s [e1 (t) + e2 (t)] = s [e1 (t)] + s [e2 (t)].

Aux syste`mes continus. Un syste`me continu est defini pour tout instant t.

2.2 Mise en equation

2.2.1 Syste`me lineaire

Un syste`me lineaire peut etre decrit par une relation entre lentree e (t) et s (t) du type :

andns (t)dtn

+ + a1 ds (t)dt

+ a0s (t) = bmdme (t)dtm

+ + b1 de (t)dt

+ b0e (t) (2.1)

Ou` n m et n est lordre du syste`me, les ai et bi sont des constantes.

Systmelinaire

Entre

e(t) s(t)

Sortie

Figure 2.1: Representation dun syste`me lineaire

Notre premier objectif sera de mettre en equation un syste`me physique lineaire sous cette forme. Pourcela nous allons faire quelques rappels de physique.

2.2.2 Etude des phenome`nes physiques

Debit et potentiel

Nous allons etudier en parralle`le les differents types de syste`mes. Pour cela, nous allons considerer ledebit. Pour creer un debit, il sera necessaire davoir une difference de potentiel entre deux points. Ladifference de potentiel correspondra par exemple a` la difference de hauteur vallee-montagne. Ce potentielpermettra de generer un debit deau (rivie`re, torrent). Suivant le syste`me, ces quantite seront :

Electrique Hydraulique Thermique Mecanique

Debit

Courant (A) ou (C/s) Debit (m3/s) Debit de chaleur (W ) ou (J/s) Vitesse (m/s)Mouvement delectrons Mouvement de Chaleur transmise Mouvement

particules deauPotentiel Tension (V ) Pression (Pa) Temperature ( ) Force (N)

ou hauteur (m)

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Notion de resistance

Une resistance va sopposer au passage du debit et va consommer de lenergie.Electrique Hydraulique

Thermique Mecanique

2.2.3 Notion dabsorption denergie capacite,inductance

Une capacite va absorber des variations de potentiel et les stocker.Electrique Hydraulique

Thermique Mecanique

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2.2.4 Bote a` outil

Le tableau ci-dessous rappelle les differentes relations permettant detablir ce mode`le :

Type Elements de base Variables Relations

ELECTRICITE R : Resistance () (V/A) U : Tension (V ) i (t) = C dv(t)dt

L : Inductance (H) (sV/A) I : Courant (A) v (t) = Ri (t)C : Capactite (F ) (sA/V ) v (t) = Ldi(t)dt

MECANIQUE

DEPLACEMENT M : Masse (kg ou s2N/m) F : Force (N) F (t) = rx (t)

f : Frottement visqueux (sN/m) v : Vitesse (m/s) F (t) = f dx(t)dtr : Raideur (N/m) x : Position (m)

Fi (t) =M

d2x(t)dt2

MECANIQUE

ROTATION J : Inertie (kgm

2 ou s2Nm/rad) : Couple (Nm) (t) = r (t)f : frottement visqueux (sNm/rad) : Position (rad) (t) = f d(t)dtr : raideur (Nm/rad) : Vitesse (rad/s)

i (t) = J

d2(t)dt2

ELECTRO

MECANIQUE ke : lien fcem vitesse (V s/rad) Pour un flux e (t) = ke (t)

k : lien couple courant (Nm/A) donne (t) = ki (t)

THERMIQUE R : resistance thermique (K/W ) : Temperature ( ) = Rq

C : capacite thermique (Ws/K) (J/K) q : debit de chaleur (W ) (J/s) C d(t)dt = q

HYDRAULIQUE R : pertes de charges (s/m2) (sPa/m3) h : niveau (m) p = Rq;h = R2q

S : surface (m2) p = gh : pression (Pa)

qi = Sdh(t)dt

q : debit volumique (m3/s)

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2.2.5 Exemple de syste`me hydraulique

h1 et h2 sont les hauteurs deau des 2 bacsqe (t), qi (t), et, qs (t) les debits (entree, interme-diaire et sortie)R est une vanne dequilibrage tel que le debit ensortie est q = h/ROn desire ecrire lequation differentielle liant qe (t)et h2 (t).

En utilisant le tableau precedent, on obtient :{qe (t) h1(t)R = S dh1(t)dt bac du hauth1(t)R h2(t)R = S dh2(t)dt bac du bas

(2.2)

En utilisant lequation du bas on a :

h1 (t) = RSdh2 (t)dt

+ h2 (t) (2.3)

dh1 (t)dt

= RSd2h2 (t)dt2

+dh2 (t)dt

(2.4)

En reportant ces equations dans celle du bac haut, on obtient alors :

qe (t) S dh2 (t)dt

h2 (t)R

= S[RS

d2h2 (t)dt2

+dh2 (t)dt

](2.5)

On ecrit ensuite cette equation sous la forme 2.1 :

RS2d2h2 (t)dt2

+ 2Sdh2 (t)dt

+1Rh2 (t) = qe (t) (2.6)

On peut verifier que lon a un syste`me lineaire :pour une entree qe (t) = q1 (t) + q2 (t), ou` qi (t) estle debit obtenu avec le iieme robinet, si lon appellehji la hauteur dans le bac j due au iieme robinet,on a :

RS2d2h21 (t)

dt2+ 2S

dh21 (t)dt

+1Rh21 (t) = q1 (t)(2.7)

RS2d2h22 (t)

dt2+ 2S

dh22 (t)dt

+1Rh22 (t) = q2 (t)(2.8)

Soit en sommant les deux equations :

RS2d2 [h21 (t) + h22 (t)]

dt2+ 2S

d [h21 (t) + h22 (t)]dt

+1R[h21 (t) + h22 (t)] = q1 (t) + q2 (t) (2.9)

La hauteur totale sera alors la hauteur due a` leffet du premier robinet ajoutee a` la hauteur due a`leffet du deuxie`me robinet (on retrouve donc une relation du type f(a + b) = f(a) + f(b) ou` a est undebit et f(a) une hauteur).

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2.2.6 Limite des equations differentielles, Transforme de Laplace

Lorsque lentree est simple (constante) et que le syste`me est simple, on peut resoudre lequationdifferentielle. Neanmoins, pour des fonctions plus compliquees, on utilisera dautres outils :

Transformee cissodale

Les calculs sont fait a` laide de fonctions du type i (t) = ejt. Les proprietes de lexponentielle per-mettent decrire :

di (t)dt

= jejt = ji (t) (2.10)

On obtient alors en electricite des equations du type :

V = jLI (2.11)

V =I

jC(2.12)

Cette formulation, est tre`s pratique pour tracer les diagrammes de Bode dun filtre par exemple.Neanmoins, elle ne permet pas de prendre en compte directement deux frequences 1 et 2 dans unememe equation.

Transformee de Laplace

La transformee de Laplace est plus generale, puisque lon ne se limite pas aux signaux du typei (t) = ejt mais a` nimporte quel signal i (t) admettant une transformee de Laplace. En contrepartie,on utilisera la variable muette p dans V (p). Linteret de la transformee de Laplace est de remplacerla manipulation directe dequations differentielles par une manipulation de polynomes plus simple. Lepassage du domaine temporel au domaine de Laplace se faisant a` laide de tables.

Le tableau 2.1 indique quelques transformees de Laplace interessantes.Il sera possible de revenir a` la transformee cissodale en posant p = j. On pourra alors tracer un

diagramme de Bode.

2.3 Fonction de transfert

Afin de benificier de lavantage de la transformee de Laplace, il est possible de re-ecrire lequation 2.1suivant la variable p. Si lon appelle E (p) et S (p) les transformees de Laplace de e (p) et de s (t) et silon remarque que pour des conditions initiales et derivees a` lorigine nulles la derivation suivantle temps correspond a` une multiplication par p dans le domaine de Laplace. On peut ecrire pour desconditions initiales et derivees a` lorigine nulles :

anpnS (p) + + a1pS (p) + a0S (p) = bmpmE (p) + + b1pE (p) + b0E (p) n m (2.13)

Soit :

H (p) =S (p)E (p)

=bmp

m + + b1p+ b0anpn + + a1p+ a0 n m (2.14)

Remarque pour les currieux :La fonction de transfert est toujours exprimee pour des conditions initiales nulles. En dautres termes,

la sortie du syste`me pourra etre decomposee en : une reponse forcee imposee par lentree qui passe au travers du syste`me modelise par sa fonctionde transfert,

une reponse libre due a` letat initial du syste`me et ne dependant pas de lentree.Pour mieux comprendre, imaginez un circuit electrique contenant des condensateurs charges. A la mise

sous tension, il y aura des phenome`nes transitoires (decharge des condensateurs, ...) qui feront evoluerla sortie independamment de lentree. Heureusement, cette reponse libre tendra en general vers 0 assezrapidement. Cest pourquoi on ne se preoccupera plus par la suite de cette reponse libre.

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y(t)telque

y(t)=0t

0

x(t)

epX(p)

type

defonction

Y(p)

y(t)

Fonction

rationnelles

pour

retour

entemps

1erordre

11+p

1 e

t/

1erordre+integration

1p(1+p)

1e

t/

1erordre+2integrations

1p2(1+p)

t[ 1

et/]

2ndordre

1(1+1p)(1+2p)

112

[ et/1e

t/2] si

16= 2

t 2e

t/si= 1

= 2

2ndordre+integration

1p(1+1p)(1+2p)

1+

121

[ 1et/1 2e

t/2] si

16= 2

1e

t/

t e

t/si= 1

= 2

2ndordre+derivee

p(1+1p)(1+2p)

121

[ 1 1et/1

1 2e

t/2

] si16= 2

t

3e

t/si= 1

= 2

2ndordre