aspecte metodice privind predarea matematicii cu softul...

Aspecte metodice privindpredarea matematicii cu softul

educational GeoGebra-suport de curs-

V.A. Ilea

Cuprins

1 Introducere in GeoGebra 51.1 Interfata ın GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Prezentarea meniului si a uneltelor . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Algebra. Grafice de functii. 132.1 AW - generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Folosirea ”controalelor” grafice pentru a vizualiza dependenta

de parametrii a unei functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Geometrie plana 193.1 Polinoane si unghiuri, perpendicularitate si paralelism. Constructii

geometrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Tranformari geometrice ın GeoGebra. Translatii, simetrie, rotatii 334.1 Reflectarea-reflexia unei figuri. Simetria.

Translatare figurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Inserarea textelor. Unelte definite de utilizator 355.1 Inserarea unui text static sau dinamic ın Graphics View . . . . 355.2 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Pagini de lucru dinamice si forumul de utilizatori . . . . . . . 365.4 Crearea uneltelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Statistica. Calcul algebric si matrice. 396.1 Foi de calcul si concepte statistice de baza . . . . . . . . . . . 396.2 Sistemul de calcul algebric - CAS . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

4 Cuprins

7 GeoGebra ın spatiu 517.1 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Introducere in GeoGebra 1GeoGebra este un soft matematic dinamic gratuit (http://www.geogebra.org)care ın ultima vreme este tot mai des utilizat ın scolile primare pentru ınvatarea,predarea si exersarea matematicii.

GeoGebra este un soft multilingvist nu doar ın meniu, dar deasemenea sila nivel de linii de comanda. A fost tradus de voluntari din toata lumea ınpeste 35 limbi.

Acesta a fost implementat si dezvoltat de Markus Hohenwarter ımpreunacu o echipa de programatori.

GeoGebra reuneste ın mod excelent geometria, algebra, calculul statisticsi geometria 3D.

Geogebra este un sistem interactiv geometric. Aici se pot face constructiicu puncte, vectori, segmente, linii, poligoane si sectiuni conice ıntr-un modintuitiv sau exact; deasemenea se pot utiliza functii, matrice, calcule statisticeın rezolvarea diverselor probleme tip.

Asadar GeoGebra are abilitatea de a utiliza variabile ca numere, vectori sipuncte, de a afla derivatele si integralele functiilor, etc.

Pentru a lucra ın GG putem lansa direct programul prin intermediul site-ului mentionat mai sus, daca exista o conexiune la internet (vezi: GeoGebraMath Apps), sau ıl putem instala pe propriul nostru calculator (vezi sectiuneaDownloads).

1.1 Interfata ın GeoGebra

Utilizarea interfetei GeoGebrei este flexibila si poate fi adaptata nevoilor ele-vilor.

5

6 Capitolul 1. Introducere in GeoGebra

Referitor la aceasta distingem urmatorele parti (a se vedea Figura 1.1):

Figura 1.1: Interfata ın GG

• Fereastra de grafica (Graphics window = GW) este pozitionata ınpartea dreapta a ferestrei GeoGebra. Aceasta contine o suprafata dedesenare (drawing pad) unde se realizeaza reprezentarea geometrica afigurilor. Axele de coordonate pot fi ascunse. Totodata utilizatorul poateafisa coordonate de tip grilaj (grid).

In fereastra de grafica exista obiecte care pot fi modificate direct printragerea lor cu mouse-ul, ın timp ce obiectele noi pot fi create, utilizate,modificate prin folosirea uneltelor geometrice din bara de unelte.

• Bara de unelte - Toolbar = TB consta ıntr-un set de instrumente (to-olboxes) ın care sunt precreate si organizate instrumente geometrice ınGG (Figura 1.2). Uneltele pot fi activate si aplicate utilizand mouse-ulıntr-o maniera intuitiva.

Imaginea de pe unealta care se doreste a fi activata ofera informatii asu-pra modului cum actioneaza aceasta, prin urmare asupra modului cumpoate fi creat obiectul dorit. Un ajutor ın acest sens ıl ofera help-ul din

1.1. Interfata ın GeoGebra 7

Figura 1.2: Bara de unelte

coltul din dreapta jos al uneltei. In coltul dreapta jos a TB-lui regasimbutoanele ”Undo” si ”Redo”, care ofera sansa de a corecta greselile pascu pas.

• Fereastra de algebra (Algebra View = AW) este pozitionata ın parteastanga a ferestrei GeoGebra. Contine reprezentarea numerica si alge-brica a obiectelor. Acestea se organizeaza ın doua grupuri:

– Obiectele libere: pot fi modificate direct de utilizator si nu depindde alte obiecte;

– Obiectele dependente: sunt rezultatul procesului de constructie sidepind de ”obiectele parinte”. Desi acestea nu pot fi modificateın mod direct, modificarea ”parintilor” duce la modificarea lor.Deasemenea, definitia unui obiect dependent poate fi modificatala orice moment de timp.

Ambele tipuri de obiecte pot fi definite ca obiecte auxiliare, ceea ceınseamna ca acestea pot fi mutate din AW cu scopul de a pastra listade obiecte ordonata. Expresia algebrica poate fi modificata direct ınAW, unde sunt posibile diferite formate de definire (ex. coordonatecarteziene sau polare pentru definirea punctelor).

Daca nu este necesara, AW poate fi ascunsa din meniul View.

• Bara de comenzi (Input bar = IB) sau campul de intrare al dateloreste pozitionat ın partea de jos a ferestrei GeoGebra. Acesta permiteintroducerea unor expresii algebrice direct de la tastatura. Prin aceastametoda o gama larga de comenzi predefinite se pot aplica la obiectedeja existente cu scopul de a crea obiecte noi.


• Menubar sau bara de meniu este amplasata deasupra TB-ului (toolbar).Aceasta furnizeaza o gama larga de posibilitati de lucru cu fisierul siobiectele fisierului existent: salvare, listare, exportarea constructiilor,schimbarea de setari curente, creare de unelte de lucru, administrareaTB-ului.

• Construction protocol si Navigation bar: Prin utilizarea meniuluiView se permite utilizatorului sa redea o constructie pas cu pas doarutilizand butoanele din bara de navigatie (NB). Aceasta trasatura estefoarte utila pentru a afla cum s-a realizat o constructie si pentru a iden-tifica erorile. Ordinea pasilor de constructie poate fi schimbata daca nuse schimba relatia dintre obiectele dependente. Mai mult, pot fi intro-duse obiecte aditionale cu scopul de a schimba, extinde sau ınbunatatio constructie deja existenta. In plus, NB-ul pentru anumiti pasi aiconstructiei poate fi afisat ın partea de jos a GW-ului, permitand ast-fel repetitia unei constructii fara a renunta la pasii constructiei ceruteınainte de a dori acest lucru.

Observatie: Daca se utilizeaza GeoGebra ın gimnaziu, se poate utiliza ofoaie alba ın fereastra de grafica si uneltele geometrice aferente. Mai tarziu,se pot introduce coordonatele sistemului utilizand o retea de coordonate (grid)pentru a facilita lucrul cu coordonatele ıntregi.

In liceu, se poate folosi bara de introducere de date pentru introducereaalgebrica cu scopul de a ghida elevul ın calcule.

1.2 Prezentarea meniului si a uneltelorMeniurile care se regasesc ın GeoGebra (Figurile 1.2. (a-g)) se apeleaza princlick cu mouse-ul pe butoanele din bara de meniu. La accesarea fiecaruiase deschide un meniu caracteristic cu ajutorul caruia putem efectua diverseoperatii ın fisierul GG:

1. File (deschidere de nou fisier; deschiderea unui fisier existent, salva-rea, ınchiderea, exportarea, tiparirea documentului existent) (Figura 1.2.(a));

1.2. Prezentarea meniului si a uneltelor 9

2. Edit (copierea unei informatii, revenirea la informatiile anterioare (undo-redo), inserarea de imagini, etc) (Figura 1.2. (b));

3. View (ascuderea / afisarea diverselor tipuri de ferestre care dorim a fiutilizate: GW, GW2, GW3D, CAS, AW, etc) (Figura 1.2. (c));

4. Options (aplicarea unor caracteristici asupra caracterelor, etichetelor,etc) (Figura 1.2 (d));

5. Window (deschiderea unui document nou) (Figura 1.2. (e));

6. Tools (administrarea, crearea uneltelor) (Figura 1.2. (f));

7. Help (accesarea diverselor informatii explicative) (Figura 1.2. (g)).


Cum utilizam uneltele geometrice:

• click pe butonul cu icoana corespunzatoare;

• deschiderea unui set de instrumente (Toolbox = TB) prin apasarea clickstanga a mouse-ului pe partea inferioara a butonului dorit si selectareaunei noi unelte din acest TB. Atentie: nu este necesara deschiderea unuiTB la fiecare utilizare, daca iconul dorit apare explicit acesta se poateactiva direct;

• clic pe butonul ”?” din dreapta barei de unelte (TB).

Cum salvam un fisier:

• Alegem ”File”− ”Save”;

• Selectam fisierul ”GeoGebra Introduction” - introducem numele dorit;

• Dam clic pe butonul de salvare.

Observatie:

(a) Fisierul creat ın GG are extensia ”.ggb”.

(b) Nu se recomanda utilizarea spatiilor si a simbolurilor speciale.

Cum deschidem un fisier:

• Alegem ”File”- ”New” pentru un fisier nou;

• Alegem ”File”- ”Open” pentru un fisier existent.

1.2. Prezentarea meniului si a uneltelor 11

(a) Figura 1.2. Meniul File

(b) Figura 1.2. Meniul Edit

(c) Figura 1.2. Meniul View

(d) Figura 1.2. Meniul Options


(e) Figura 1.2. Meniul Window

(f) Figura 1.2. Meniul Tools

(g) Figura 1.2. Meniul Help

(h) Figura 2.1. A (i) Figura 2.1. B

Algebra. Grafice defunctii. 2

2.1 AW - generalitatiLa deschidere, Algebra View este pozitionat alaturi de fereastra de grafica.In plus, fie Input Bar-ul este amplasat ın partea de jos a feresteri GeoGebra(pentru GeoGebra Desktop), fie campul de introducere date este integrat directın Algebra View (pentru GeoGebra Web and Tablet Apps). Bara de unelte aGraphics View-ului este asezata ın partea de sus a ferestrei GeoGebra, cubutoanele Undo / Redo ın coltul dreapta sus (vezi Figurile 2.1. A si B).

Crearea de obiecte matematiceSe pot crea obiecte matematice prin introducerea directa a expresiilor al-

gebrice utilizand campul de introducere de date (Input Field / respectiv Inputbar), dupa care se apasa tasta Enter. Astfel ın fereastra Algebra View aparescrisa reprezentarea algebrica, ın timp ce reprezentarea grafica este afisataautomat ın Graphics View.

Exercitiul 1. Fie expresia y= 3x−4 care este o ecuatie liniara, aceasta aparedupa introducere ın Algebra View, iar graficul va fi afisat ın Graphics View.

In GeoGebra ıntalnim o gama larga de comenzi care pot fi utilizate pentrucrearea de obiecte ın Algebra View [1]. Utilizatorul poate observa ca atuncicand ıncepe sa introduca numele unei comenzi ın bara de introducere de dateGeoGebra deschide o lista de comenzi care s-ar putea potrivi si din care utili-zatorul poate selecta pe cea dorita.

Cu toate ca Algebra View nu are propria bara de unelte totusi se pot creea”obiecte dependente” astfel: se selecteaza o unealta din bara de unelte a Gra-phics View-ului si se da click pe cel mai apropiat obiect din Algebra View cuscopul de a crea un nou obiect dependent.

13

14 Capitolul 2. Algebra. Grafice de functii.

Exercitiul 2. Creati doua puncte A si B. Coordonatele se regasesc ın AlgebraView. Alegeti unealta (Line Tool) care creeaza o dreapta ce trece prin celedoua puncte; observati ce se ıntampla ın fereastra de grafica. Trageti depuncte si observati.

Modificarea reprezentarii algebrice a obiectelor matematice se realizeazadirect ın fereastra Algebra View (modificare concreta de coordonate) sau cuajutorul mouse-ului ın fereastra de grafica (modificare aleatorie prin drag-draw).

Daca se activeaza unealta ”Move” si se da dublu-click pe un obiect ”liber”din Algebra View, se marcheaza textul pe care s-a dat click, astfel facandu-sedirect modificarea reprezentarii sale algebrice. Prin apasarea tastei Enter, atatreprezentarea algebrica din Algebra View cat si cea din Graphics View vorsuporta modificarile facute.

In urma dublu-click-ului pe un obiect dependent ın Algebra View, apare ofereastra de dialog care permite redefinirea obiectului.

La modul implicit, obiectele matematice sunt organizate dupa tipul lor ınmeniul de la Algebra View.

Putem restrange sau extinde fiecare grup de obiecte individual (ex. toatepunctele, toate obiectele libere, toate obiectele cu o proprietate specifica) doarprin click pe simbolul plus sau minus din fata numelui grupului respectiv.

Bara de stilizare a Algebra View-ului furnizeaza butoane speciale pentrua realiza urmatoarele:

• afiseaza / ascunde obiectele auxiliare

• sorteaza o lista de obiecte dupa diferite criterii, cum ar fi:

- dependenta (obiectele matematice sunt organizate ca obiecte liberesau obiecte dependente: daca se creeaza un obiect nou fara a uti-liza alt obiect existent acesta este clasificat ca obiect liber; dacanoul obiect creat a fost creat prin utilizarea altor obiecte existenteacesta este catalogat ca obiect dependent);

- tipul obiectelor (implicit obiectele matematice sunt organizate ın di-verse tipuri (ex. unghiuri, drepte, puncte, etc., acestea fiind dis-puse alfabetic);

2.2. Folosirea ”controalelor” grafice pentru a vizualiza dependenta deparametrii a unei functii 15

- tipuri / proprietati specifice (Layer) (obiectele matematice sunt or-ganizate corespunzator dupa proprietatile specifice dupa care suntdesenate);

- ordinea ın construirea obiectului dorit.

Daca se doreste ascunderea reprezentarii algebrice a unui obiect se poatespecifica obiectul ca fiind obiect auxiliar ın meniul Algebra View-ului. Inmod implicit obiectele auxiliare nu sunt afisate ın Algebra View, acest lucruse poate schimba prin selectarea ’Auxiliary Objects’ din meniu.

2.2 Folosirea ”controalelor” grafice pentru a vi-zualiza dependenta de parametrii a unei functii

GeoGebra poate fi integrata ın activitatea de predare traditionala.Cel mai ıntalnit exemplu este demonstrarea modificarii graficului unei

functii ın functie de parametrii acesteia.Spre exemplu, putem introduce o functie de tipul f (x) = x2 cu graficul re-

prezentat printr-o parabola cu varful ın origine. Pozitionadu-ne ın AW putemmodifica parametrii functiei (”↑↓”, ”�” modificam termenul liber al functieisau ceilalti parametrii).

O metoda mai dinamica de a explora care este impactul parametrilor ıntr-un polinom este prin definirea functiei cu variabilele acesteia create ın pre-alabil (vezi la exemplele de mai jos). Parametrii se pot astfel modifica prinmiscare mouse-ului direct ın GW.

Indicatii de sintaxa:Parametrul se poate defini ın IB (name=...). Inmultirea cu un parametru

se realizeaza utilizand ıntre termenii care dorim a fi ınmultiti: ’Spatiu’. Lite-rele mari sunt utilizate ın general pentru a defini puncte (A = (1,2)), literelemici sunt utilizate pentru a defini: vectori (v = (1,3)), segmente, linii, cer-curi, functii, variabile ın conice. Confirmarea unei expresii introduse ın IB serealizeaza prin apasarea tastei ”Enter”.

Nota: Pentru utilizarea unui obiect cu o expresie algebrica trebuie creatobiectul ınainte de utilizare (pentru y = mx+ b, m si b exista deja; pentru a

16 Capitolul 2. Algebra. Grafice de functii.

realiza comanda Line[A,B], A, B sunt predefiniti).Spre deosebire de polinoame, exista si alte tipuri de functii care se pot

prelucra ın GeoGebra: trigonometrice, modul, exponentiala. Acestea sunttratate ca obiecte si se pot utiliza ın combinatie cu construtiile geometrice.Unele dintre ele se pot selecta din dreapta IB-ului.

(A se studia: Min[List], Max[<Nr >,<Nr >], Expand, Factor, Simpli f y,Limit, LimitAbove, LimitBelow, Angle, AngleBisector, etc.)

2.3 ExercitiiUtilizand instrumentele si comenzile: Slider, segment, intersect, Slope, Moveprecum si bara de input realizati urmatoarele exercitii ([2]):

Exercitiul 3. Construiti dreapta de ecuatie a : y = m ∗ x+ b, unde m,b suntpredefinite ca sliders cu setarile implicite; realizati intersectia cu axele simarcati panta. Observati dependenta de parametrii. Realizati acelasi lu-cru pentru functia de gradul al doilea observand dependenta de parametriiindependenti, alternativ.

Exercitiul 4. Realizati intersectia dintre valoarea absoluta a lui x si o functieconstanta: g(x) = 5.

Exercitiul 5. Sunetele pot fi reprezentate matematic ca o combinatie de unde(”sine waves”). Fiecare ton muzical este compus din diverse functii de forma:y(t)= asin(ωt+φ), unde a este amplitudinea, volumul tonului; ω este frecventaunghiulara, tipul tonului; φ este parametrul faza care indica daca sunetuleste oprit la timp (”Superposition of Sine Waves”- pag 37 [2]).

Daca apar doua sunete care intefereaza fenomenul se numeste superpozitie- aceasta ınseamna ca sunetele se amplifica sau se diminueaza unul pe celalalt.

Exercitiul 6. Introduceti derivata cu ajutorul functiei ”panta” (”The SlopeFunction” pag 38 [2]). Realizati un plan de lectie care sa foloseasca aceastaaplicatie.

Exercitiul 7. Cu ajutorul IB, realizati graficele urmatoarelor functii:

2.3. Exercitii 17

(a) 3x+2y = 6

(b) y = 3x2 −2x+6

(c) x2 +3x−2y2 −3y = 25

(d) y = 3x−2 −3

(e) y = 2(x+2)−1

Exercitiul 8. Cu ajutorul IB, realizati graficele urmatoarelor functii:

(a) f (x) = 2cos(x)+1

(b) g(x) =−tan(x−30)

Geometrie plana 33.1 Polinoane si unghiuri, perpendicularitate si

paralelism. Constructii geometrice.Fereastra de grafica (Figura 3.1. Graphics View) afiseaza ıntotdeauna repre-zentarea grafica a obiectelor create ın GeoGebra. In plus, bara de unelte aGraphics View-ului este amplasata ın partea de sus a ferestrei GeoGebra, cubutoanele Undo / Redo ın coltul din dreapta sus.

Figura 3.1.: Graphics View

In Graphics View putem regasi diverse tipuri de retele grid si axe de coor-donate sau putem realiza graficele liber de acestea. Pentru a ajusta dimensiu-

19

20 Capitolul 3. Geometrie plana

nea graficului, putem sa ıl marim / micsoram cu butoanele (de zoom) cores-punzatoare.

Pozitia unde se da click determina centrul zoom-ului. Putem folosi rotitamouse-ului pentru a mari sau micsora imaginea, tastele de prescurtare pentruacest lucru ar fi: Ctrl +, respectiv Ctrl −. Deasemenea putem specifica co-ordonatele axelor, putem afisa sau ascunde obiecte, afisa sau ascunde axelesau reteaua grid. Totodata putem personaliza axele de coordonate, grid-ul dinmeniurile disponibile.

Pentru detalii a se consulta [1] si [9].O a doua fereastra de grafica (Figura 3.2. Graphics View 2) poate fi des-

chisa din meniul View. Daca ambele ferestre de grafica sunt deschise, una dinele este ıntotdeauna activa (cea cu care se lucreaza). Toate obiectele vizibilecreate apar ın fereastra activa de grafica.

Crearea de obiecte matematice ın fereastra de grafica

1. Constructii utilizand unelte

Uneltele GeoGebrei sunt organizate ın cutii de unelte (Toolboxes). Aces-tea contin unelte similare, sau unelte care genereaza acelasi tip de noiobiecte. Putem deschide o cutie de unelte prin click pe butonul uneiunelte si selectand o unealta specifica din lista afisata. Ne putem fo-losi de explicatiile care apar la selectarea oricarei unelte de pe bara deunelte pentru a ıntelege si utiliza uneltele dorite. Cand este selectata ounealta apare un mesaj (tooltip) cu scopul de a oferi explicatii de utili-zare. Daca se doreste a se afla mai multe despre o unealta se da click pemesaj; astfel se deschide o pagina care ofera mai multe detalii despreunealta selectata.

Folosind uneltele de constructie disponibile ın bara de unelte a GraphicsView-ului, putem crea constructii geometrice remarcabile.

Observam ca orice obiect creat ın fereastra de grafica are deasemenea oreprezentare algebrica ın Algebra View.

Bara de unelte a Graphics View furnizeaza o gama larga de unelte carepermit crearea de grafice direct ın fereastra de grafica. Fiecare icoana

3.1. Polinoane si unghiuri, perpendicularitate si paralelism. Constructiigeometrice. 21

din bara reprezinta un set de unelte (Toolbox) care contine o selectieıntreaga de unelte cu caracteristici specifice fiecareia. Pentru a des-chide un astfel de Toolbox, trebuie dat click pe unelta cu reprezentareimplicita sau pe sagetuta ce se regaseste ın coltul din dreapta icoaneireprezentative. Uneltele din bara GW-ului sunt organizate dupa naturaobiectelor rezultate sau dupa functionalitatea uneltelor. Regasim astfelunelte care creeaza diferite tipuri de puncte si unelte care permit aplica-rea transformarilor geometrice.

2. Constructii utilizand bara de introducere de date: IB

Se pot crea obiecte ın ferestra de grafica prin introducerea reprezentariilor algebrice sau a comenzilor corespunzatoare acestora ın IB.

Pentru modificarea, mutarea, ascunderea, reafisarea obiectelor create ınfereastra de grafica putem folosi atat mouse-ul cat si comenzile de latastatura cunoscute si ın alte situatii ([1]).

Tema de studiu individual: Studiati ın detaliu uneltele din figurile 3.3.(a-k)si realizati diverse constructii pentru a le aprofunda.

In exercitiile selectate ın sectiunea urmatoare se va lucra preponderent cuurmatoarele unelte.

• ”Line through Two Points”

Se da dublu-click ın Graphics View sau pe doua puncte deja existentepentru a crea o linie ıntre aceste puncte.

• ”Parallel Line”

Se da click pe o linie deja existenta si un punct cu scopul de a crea olinie paralela prin acest punct.

• ”Intersect Two Objects”

Dam click pe punctul de intersectie a doua obiecte pentru a marca acestpunct de intersectie. Apoi se da click pe ambele obiecte pentru a deter-mina toate punctele de intersectie.


• ”Polygon”

Dam click ın GW sau pe un punct deja existent pentru a crea dreptelesuport ale poligonului. Pentru a desena un poligon trebuie precizat caacesta este o linie franta ınchisa. Punctele ce definesc varfurile poligo-nului se unesc ın sensul acelor ceasornicului!

• ”Move”

Comanda ”trage” un obiect liber pentru a-i schimba pozitia.

• ”Segment between Two Points”

Dati dublu click ın fereastra de grafica sau selectati doua puncte exis-tente cu scopul de a crea un segment ıntre ele.

• ”Perpendicular Line”

Dati click pe o dreapta deja existenta si pe un punct pentru a trasa per-pendiculara ın acest punct.

• ”New Point”

Dam click pe un obiect deja existent cu scopul de a crea un punct peacesta.

• ”Circle with Centre through Point”

La primul click creeaza centrul, ın timp ce al doilea click determinaraza cercului.

• ”Show/ Hide Object”

Se marcheaza toate obiectele care trebuie ascunse, apoi se schimba cur-sorul la alta unealta pentru a o aplica.

• ”Angle”

Se da click pe puncte ın directia de rotire a acelor ceasornicului! Geo-Gebra creeaza ıntotdeauna unghiuri cu orientare matematica pozitiva.

3.2. Exercitii 23

3.2 Exercitii

Exercitiul 9. Construiti un triunghi dreptunghic isoscel.

Exercitiul 10. Construiti un triunghi cu unghiuri date si aratati ca sumamasurilor unghiurilor unui triunghi este 180. ([4]).

Exercitiul 11. Construiti o dreapta care sa fie perpendiculara pe o dreaptadata si sa treaca printr-un punct dat.

Exercitiul 12. Construiti centrul cercului circumscris, centrul cercului ınscrissi ortocentrul unui triunghi. Ce observati? Nota: Pentru constructia liniilorimportante ın triunghi se folosesc metodele clasice de constructie cu rigla sicompasul.

Exercitiul 13. Construiti un pentagon regulat si un hexagon regulat. Nota:Pentru constructii se folosesc metodele clasice de constructie cu rigla si com-pasul. ([2])

Exercitiul 14. Construiti tangentele la un cerc prin doua puncte date. Marcatipunctul de intersectie. Folositi metodele si cunostiintele clasice de constructiecu rigla si compasul.

Exercitiul 15. In triunghiul △ABC dreptunghic ın A, consideram AD⊥BC,BD = 9, AB = 20. Aflati BC, AD.

Exercitiul 16. Aflati numarul functiilor f : {1,2,3}→ {1,2,3} cu proprieta-tea ca f (1) = f (2).

Exercitiul 17. Realizati un plan de lectie cu titlul: ”Patrulatere inscriptibile”(definitie, proprietati, exemple, exercitii) ın care sa realizati graficele cu aju-torul GG.

Exercitiul 18. Realizati un plan de lectie cu titlul: ”Sisteme de ordinul aldoilea” (rezolvare, grafice, exemple, exercitii) ın care sa realizati graficele cuajutorul GG.


Exercitiul 19. Reprezentati grafic functia liniara punand ın evidenta dependentade parametrii.

Exercitiul 20. Construiti un triunghi cu urmatoarele coordonate:

• m(C) = 60◦, AC = 15, BC = 30.

• Varfurile sale sunt mijloacele laturilor unui triunghi dreptunghic culaturile 15,20. Realizati discutie dupa cazurile rezultate.

• m(A) = 90◦, AB = 15, BC = 20.

• m(A) = 30◦, m(B) = 45◦, AB = 10.

• AB = 5, BC = 6, AC = 7.

• Varfurile sale sunt mijloacele laturilor unui triunghi isoscel cu laturilede 15, 20. Discutie.

• Laturile sale sunt paralele cu urmatoarele drepte suport ıntr-un trapez:diagonala, baza mare, o latura neparalela.

Exercitiul 21. Rezolvati sistemul:{x+ y−1 = 0,x−2y+2 = 0, (3.1)

Exercitiul 22. Construiti figura geometrica care are urmatoarele caracteris-tici: Fie un trapez isoscel cu laturile de 2,3,3,5. Pe baza mare se construiesteun patrat; pe baza mica se construieste un pentagon regulat; pe laturile late-rale construim cate un semicerc. Colorati figura.

Exercitiul 23. Folosind GG pentru a realiza graficele si calculele corespunzatoare.Realizati cate un plan de lectie care sa descrie fiecare din urmatoarele su-biecte:

• Cercul. Patrulaterele inscriptibile.

• Teorema lui Thales. Teorema fundamentala a asemanarii.

3.2. Exercitii 25

• Problema celor 8 cercuri.

• Unghiuri ın semicerc.

• Teoria cercurilor: unghiuri ale aceluiasi cerc.

• Centre de simetrie si axe de simetrie pentru poligoanele regulate deordinul 3,4,5,6.

• Sisteme de gradul ıntai.

Exercitiul 24. Raspundeti la ıntrebarile descrise pe platforma [10]. Refacetifigura. Studiu individual.

Exercitiul 25. Realizati grafic cum putem vizualiza inegalitatea lui Euler[11].


Figura 3.2 Graphics View 2

3.2. Exercitii 27

(a) Figura 3.3. - Move

(b) Figura 3.3. - Point


(c) Figura 3.3. - Line(d) Figura 3.3. - Perpendicular

3.2. Exercitii 29

(e) Figura 3.3. - Polygon

(f) Figura 3.3. - Circle


(g) Figura 3.3. - Elipse

(h) Figura 3.3. - Angle

3.2. Exercitii 31

(i) Figura 3.3. - Reflect (j) Figura 4.10

(k) Figura 3.3. - Zoom

Tranformari geometriceın GeoGebra. Translatii,

simetrie, rotatii 4Uneori este utila exportarea graficelor obtinute ın GeoGebra si inserarea aces-tora ın alte documente (prezentari, etc). Pentru aceasta este utila realiza-rea figurii si reducerea dimensiunii acesteia la dimensiunea dorita. Dupace am obtinut dimensiunea dorita pentru figura, alegem din Edit → Export-GraphicView to Clipboard (Ctrl + Shi f t +C). Aceasta operatie determinastocarea figurii ın memoria calculatorului. Apoi se poate deschide documen-tul ın care se doreste inserarea, accesandu-se Paste ın locul ales.

Exersare: Realizati un plan de lectie corespunzator predarii functiei degradul al doilea si inserati graficele create ın GeoGebra.

4.1 Reflectarea-reflexia unei figuri. Simetria.Translatare figurilor

Pentru a exemplifica ”distorsionarea” unei imagini, simetrizarea, translatiaunei imagini este nevoie sa alegem figura / desenul care se doreste a fi dublat.Cautam o imagine cu extensia ”.jpg”(poza), o inseram ın fereastra noastraGG (Edit → Insert Image from...). Alegem doua puncte A,B - de exemplu ıncolturile de jos, cream o dreapta ın lateralul figurii si folosim butonul ”Mir-ror” cu optiunea dorita. (indicatie: realizam: ”click figura, click buton, clickdreapta). ([3])

Pentru translatia unei imagini definim vectorul de translatie (O=(0,0),P=(3,−2), u =Vector[O,P]), apoi folosim butonul de translatie ([3]).

Pentru rotirea unui polinom a se vedea pag. 54-55 [3], pag. 20-24 [4].

33

34Capitolul 4. Tranformari geometrice ın GeoGebra. Translatii, simetrie,

rotatii

4.2 Exercitii

Exercitiul 26. Determinati coordonatele imaginii punctului P(3;2) daca P afost translatat 4 unitati orizontal la stanga.

Indicatie: Introduceti (1,2) ın bara de Input, tastati Enter, selectati ”Vec-tor” (ıntre doua puncte) din instrumentele date ın bara de instrumente. Construitiorice vector de 4 unitati orizontal la stanga. Selectati optiunea ”TranslateObject by Vector” din Toolbox. Puteti schimba translatia prin ”tragerea” cumouse-ul a vectorului.

Exercitiul 27. Inserati o imagine (poza). Realizati simetricul acesteia fata deo dreapta data. Verificati punctele de simetrie ale imaginii date. ([2])

Exercitiul 28. Gasiti si desenati axele de simetrie ale unui patrat si ale unuipentagon.

Inserarea textelor.Unelte definite de

utilizator 55.1 Inserarea unui text static sau dinamic ın Gra-

phics ViewUneori este necesara inserarea unui text ın fereastra de grafica (titlu, explicatii,etc.) pentru a marca figura realizata.

Exista doua modalitati de a realiza acest lucru dupa tipul textului pe caredorim sa ıl inseram: text static sau text dinamic.

• Realizarea unui text static reprezinta o solutie pentru o figura relativfixata. Activam butonul de scriere (ABC) si dam click ın GW ın loculunde dorim sa fie plasat textul. Textul se poate muta ulterior de catreutilizator prin accesarea butonului ”Move” si tragerea cu mouse-ul atextului ın locul nou dorit. Prin click dreapta pe textul inserat putemaccesoriza textul (culoare, etc) sau se poate fixa textul ın modul dorit(alegem ”Absolute position on screen”).

• Realizarea unui text dinamic este o adevarata provocare. Text dinamicınseamna acel text care ısi modifica pozitia ori de cate ori se modificapozitia punctului de care apartine. Cum realizam acest lucru: Activambutonul de scriere si dam click ın GW. In fereastra care se deschideintroducem ”A=” (aceasta fiind partea statica a punctului care nu semodifica daca punctul se misca).

Pentru inserarea partii dinamice se selecteaza punctul A din ”Objectsdrop-down list”. Apoi dam click ”OK”.

35

36 Capitolul 5. Inserarea textelor. Unelte definite de utilizator

5.2 ExercitiiExercitiul 29. Realizati graficul a doua drepte definite printr-un sistem deecuatii liniare. Marcati desenul prin inserarea de texte (explicative) dinamice([3]).

Exercitiul 30. Vizualizati suma masurilor unghiurilor unui triunghi (a se ve-dea pag. 64-65 [3]).

Exercitiul 31. Vizualizati formula binomiala (a+b)2 = a2+2ab+b2 si inseratitextele dinamice corespunzatoare pentru explicarea acesteia [5].

5.3 Pagini de lucru dinamice si forumul de utili-zatori

GeoGebra permite crearea propriilor materiale instructionale interactive, de-numite ”pagini de lucru dinamice”, prin exportarea unor figuri dinamice ınalte pagini (web). De obicei acelasi tip de ”foi de lucru” au urmatoarele com-ponente:

• titlu

• scurta explicatie

• parte introductiva

• sarcini de lucru pentru elevi.

Pentru a lucra cu acest tip de ”foi dinamice” nu este necesar ca elevii sacunoasca GeoGebra. Aceste pagini sunt independente de software-ul GG sipot fi utilizate on-line sau ıntr-o retea ınchisa.

Site-ul GG-Tube (www.geogebratube.org/) este o sursa de materiale deınvatare gratuite create si ımpartasite de profesori din toata lumea (peste 75.000materiale). Acestea sunt grupate dupa diverse teme pentru o buna organizaresi o mai usoara accesare.

5.4. Crearea uneltelor 37

GeoGebra User Forum (www.geogebratube.org/forum) a fost creat pen-tru a oferi un ajutor ın plus utilizatorilor de Geogebra. Creat pentru profe-sori si ıntretinut de acestia, site-ul amintit este o platforma unde poti posta siraspunde la ıntrebari legate de GeoGebra. Acesta contine mai multe discutiiın diverse limbi, permitand utilizatorului sa posteze sau sa raspunda la diverseıntrebari ın propria limba.

Exercitiul 32. Creati o foaie dinamica care ilustreaza cum se aproximeazasuprafata dintre graficul functiei si axa Ox, concept ce ıl puteti folosi pentrua defini integrala ıntr-un plan de lectie.

Exercitiul 33. Vizualizati inegalitatea triunghiului (pag. 77 [3]).

Exercitiul 34. Vizualizati teorema lui Pitagora ın GeoGebra folosind ideea:[6].

5.4 Crearea uneltelor

GeoGebra permite crearea unor unelte care sa ne usureze lucrul prin aplicareaexemplelor anterior utilizate. Adica se poate extinde ToobBar-ul prin creareaunor unelte proprii. Inainte de crearea propriu zisa a uneltei este necesara con-struirea tuturor obiectelor necesare uneltei. Astfel ın meniul Tools dam clickpe simbolul de creare de unelte (”Create New Tool”). Observam ca este acti-vata automat optiunea ”Output Objects”. Apoi specificam obiectul noii unelteprin click pe obiectele dorite sau prin selectarea lui din meniul deschis (cuclick pe sageata mica de langa campul Input). Aplicam ”Next” pentru activa-rea ”Input Object”. Astfel GeoGebra umple obiectul corespunzator automatpentru unealta noastra. Continuam prin completarea campului ”Name andIcon” si a textului corespunzator pentru help-ul toolbar-ului. (GG umple auto-mat acest camp). La final confirmam cu apasarea tab-ului”Finish”.

Pentru a testa propria unealta este necesar sa deschidem o noua fereastrade GeoGebra ın care sa testam unealta proprie.

Dupa salvarea propriei unelte, aceasta se poate reutiliza ın viitor. Dartrebuie stiut ca GeoGebra nu include ın mod implicit alte unelte decat cele

38 Capitolul 5. Inserarea textelor. Unelte definite de utilizator

predefinite din instalare. Pentru a reutiliza o unealta proprie aceasta trebuieimportata ın fereastra de lucru (File / Open).

Exercitiul 35. Creati o unealta care determina distanta minima dintre o dreaptasi un punct dat (sau ınaltimea ıntr-un triunghi) apoi testeaz-o construind or-tocentrul unui triunghi.

Exercitiul 36. Construiti o unealta care sa creeze centrul cercului circum-scris si alta pentru centrul cercului ınscris.

Exercitiul 37. Studiati tangramul din site-ul [12].

Exercitiul 38. Construiti o unealta care sa realizeze un paralelogram (a sevedea constructia paralelogramului la pag. 23-24 [4]).

Exercitiul 39. Construiti o unealta care sa realizeze un trapez.

Exercitiul 40. Construiti o unealta care sa realizeze o jumatate de disc.

Exercitiul 41. Construiti o unealta care sa realizeze un patrulater cu douaperechi de laturi adiacente respectiv congruente (pag. 25 [4]).

Exercitiul 42. Construiti: un pentagon regulat, realizati pentagonul careuneste mijloacele laturilor acestuia. Repetati procedeul de 5 ori. Optimizaticonstructia.

Exercitiul 43. Construiti ın mod traditional un patrat si un triunghi echila-teral care sa aiba un varf comun. Realizati reflexia acestei figuri fata de axaOy.

Statistica. Calculalgebric si matrice. 6

6.1 Foi de calcul si concepte statistice de bazaDeschiderea foilor de calcul (Spreadsheet View - SW) se realizeaza fie alegandSpreadsheet Graphics din Perspectives sau selectand Spreadsheet din meniulView.

In SW fiecare celula are un nume specific care permite adresarea directala fiecare celula.

Cunoastem ca implicit meniul se deschide langa Graphics View. Iconitade accesare a foii de calcul este amplasata ın coltul din dreapta sus, chiar langabutoanele de Undo / Redo.

Meniul foilor de calcul poate fi personalizat dupa preferinte. Distingemurtmatoarele doua posibilitati pentru utilizarea foilor de calcul:

• deschidem meniul Preferences Dialog, apoi selectam optiunea Spread-sheet (GeoGebra Desktop);

• deschidem bara de stilizare a foii de calcul si selectam optiunea Prefe-rences (GeoGebra Web si Tablet Apps).

In fereastra de dialog care se deschide se poate aranja pozitionarea prinalegerea ca urmatoarele sa fie vizibile sau nu:

• bara de introducere de date (Input Bar);

• aliniamentul sau grilajul foii de calcul (Gridlines);

• capatul coloanei si al liniei (Column or Row Header);

39

40 Capitolul 6. Statistica. Calcul algebric si matrice.

• bara de derulare verticala sau orizontala (Vertical or Horizontal Scroll-bars).

In plus, putem schimba comportarea Spreadsheet View-ului prin:

• permiterea utilizarii butoanelor, marcarii optiunilor sau indicatiilor;

• la introducerea comenzilor se poate cere semnul ”=” ınaintea comenzi-lor;

• utilizand optiunea auto-completare.

Crearea obiectelor matematiceIn foile de calcul din GG fiecare celula are un nume specific care permite

adresarea directa la fiecare dintre acestea.Spre exemplu: celula din coloana A si randul 1 se numeste A1. Numele

celulelor pot fi utilizate ın expresii pentru a face referire la continutul celuleicorespunzatoare.

In celulele Spreadsheet se pot introduce nu doar numere, ci si alte tipuride obiecte generale sau geometrice(coordonate ale unor puncte, functii, s.a.[7]).

Referitor la numele celulelor trebuie stiut ca daca se copiaza continutulde la o celula ın cealalta, implicit toate referintele se schimba corespunzatorpozitiei destinatiei.

Exemplu: Fie A1=1, A2=2. In B1 punem (A1, A1). Prin copierea lui B1ın B2 (Ctrl + C, Ctrl + V sau prin tragerea de coltul celulei) obtinem (A2, A2)ın B2. Pentru a preveni acest lucru putem insera simbolul dolar ınainte decoloana si/sau linia respectivei celule (similar cu procedeul utilizat ın excel).

In afara introducerii manuale a datelor ın celulele foilor de calcul, putemutiliza comenzile FillColumn, FillRow or FillCells. Putem introduce date prinutilizarea optiunii de urmarire (”Tracing to Spreadsheet”). Deasemenea cu ooperatiune simpla de tipul ”drag - drop” este posibila copierea obiectelor dinfereastra de algebra ın foaia de calcul. Daca se doreste inserarea unei listeıntregi, atunci elementele sale vor fi pozitionate orizontal, cu ıncepere de lacelula la care se elibereaza butonul stang al mouse-ului. Apasarea butonu-lui ”Shift” ın timpul operatiunii determina deschiderea unei ferestre de dialog

6.1. Foi de calcul si concepte statistice de baza 41

ın momentul cand butonul mouse-ului este eliberat, permitand astfel alege-rea optiunii de editare a obiectelor (Free sau Dependent), precum si alegereaamplasarii verticale a obiectelor copiate(se bifeaza optiunea ”Transpose”).

GeoGebra permite importul de date din alt software de tip spreadsheet ınGG Spreadsheet View astfel:

• Se selecteaza si copiaza datele care se doresc a fi importate (Ctrl +C)

• Se deschide o fereastra GeoGebra cu Spreadsheet View deschis

• Se da click pe celula care va trebui sa contina primele date

• Se da paste (Ctrl +V ).

De retinut: GeoGebra utilizeaza punctul ca separator zecimal, iar virgulaca separator de camp.

Daca este posibil, GeoGebra afiseaza imediat reprezentarea grafica a obiec-telor introduse ın celule. De aceea, numele obiectului corespunde cu numelecelulei din Spreadsheet utilizata pentru crearea sa initiala (exemplu: A5, C1).

Implicit, obiectele foii de calcul sunt clasificate ca obiecte auxiliare ınAlgebra View. Putem ascunde / arata aceste obiecte auxiliare prin selectarea”Auxiliary Objects” din meniul barei de stilizare a Algebra View-ului.

Se pot crea / procesa datele din Spreadsheet prin selectarea mai multorcelule si aplicand click dreapta pe selectia facuta. In meniul care se deschide,alegem submeniul ”Create” si selectam tipul dorit (List, List of points, Matrix,Table, Polyline si Operation table).

Referitor la o functie cu doi parametrii se poate crea un tabel ”OperationTable” cu valorile primului parametru scrise pe linia de sus si valorile celuide-al doilea parametru scrise ın coloana din stanga. Functia ınsasi trebuieintrodusa ın celula de sus din stanga.

Dupa introducerea functiei si a valorilor parametrilor, se selecteaza cumouse-ul aria dreptunghiulara pentru tabelul care se doreste a fi operat. Apoise da click dreapta pe selectie si se alege optiunea ”Create > Operation Ta-ble”.


Exemplul 1. Fie A1 = xy,A2 = 1,A3 = 2,A4 = 3,B1 = 1,C1 = 2,D1 = 3.Selectam celulele A1 : D4 cu mouse-ul. Apoi cu click dreapta pe selectiafacuta ”Create - Operation Table” se creaza un tabel care contine rezultatelevalorilor de inserat ın funtia data.

De retinut ca ın bara de stilizare a foii de calcul putem:

• afisa / ascunde Input Bar-ul

• schimba stilul caracterelor (boldate, italice)

• fixa alinierea textului (stanga, centru, dreapta)

• schimba coloarea de font a celulelor

• schimba marginile celulelor

• etc.

Exercitiul 44. Realizati exemplele prezentate ın [3] (pag. 116-124).

Exercitiul 45. GeoGebra poate face calcule statistice cu sau fara ajutorulSpreadsheet View-ului. Exista o serie de functii statistice (”mean” = mediaaritmetica, ”median” = valoarea din mijlocul unui sir scris crescator, ”mode”= valoarea cel mai des ıntalnita ıntr-un sir de numere) si unelte grafice carese pot folosi ın GG.

Exemplu:Fie multimea S formata din numerele: {0,5,6,9,9,9,12,12,20}. Valoa-

rea din mijloc este al cincilea element: 9, cel mai ıntalnit numar este din sireste: 9. Nota: Pentru a calcula elementul din mijloc se ordoneaza crescatornumerele din sir, daca acestea nu sunt ordonate .

Fie punctajele de la un test de matematica, maximul fiind 100: 50, 52, 49,74, 80, 75, 80, 74, 98, 84, 92, 76, 67, 86, 100, 50, 56. Calculati cu autorulGeoGebrei functiile amintite mai sus (mean, median, mode). Aplicati douametode. A se vedea modelul de la pag. 26-28 [4].

6.2. Sistemul de calcul algebric - CAS 43

Exercitiul 46. Mai jos sunt prezentate datele care reprezinta evolutia uneinoi afaceri din Pretoria ıntre anii 2003 si 2008. In anii: 2002, 2003, 2004,2005, 2006, 2007, 2008, cifra de afaceri este respectiv: 754, 881, 943, 1083,1182, 1304, 1402.

Schitati o diagrama grafica cu informatiile de mai sus si desenati o dreaptacare sa fie cat mai apropiata de aceastea (”best fit line”). [4].

Exercitiul 47. Facultativ: Studiati problemele aplicative ce se regasesc pesite-ul [13], ın vederea organizarii optime a temelor de laborator.

6.2 Sistemul de calcul algebric - CAS

Figura CAS

Sistemul de calcul algebric (CAS - Computer Algebra System) se des-chide direct de landa Graphics View. In functie de fereastra care e necesara fi activa: unealta CAS sau unealta Graphics View apare ın partea de sus aferestrei GeoGebra alaturi de butoanele ”Undo / Redo” ın coltul din dreaptasus.


GeoGebra ofera posibilitatea prin CAS (Computer Algebra System) de arealiza calcule simbolice. Aceasta detine celule cu un camp de introducere dedate (Input Field) ın partea de sus si o foaie de returnare de date ın partea dejos. Introducerea de date se realizeaza ın mod similar cu introducerea datelorın Input Bar, dar cu urmatoarele diferentieri:

• Se pot folosi variabile carora nu li s-a alocat nici o valoare.

Exemplul 2. Putem introduce (a+b)2 ın campul de Input, apoi apasamtasta ”Enter”. Este returnata formula a2 +2ab+b2.

• Semnul ” = ” este utilizat doar pentru ecuatii , iar ” := ” pentru atribuiri.Acest lucru ınseamna ca ”a = 2” nu va atribui valoarea 2 lui a.

• Inmultirea trebuie precizata ın mod explicit. Observam ca ın IB putemfolosi oricare dintre formularile a(b+ c) sau a ∗ (b+ c), ın CAS estevalabila doar sintaxa: a∗ (b+ c).

In CAS (varianta pentru Desktop) urmatoarele abrevieri pot fi utile, sau sepot folosi uneltele corespunzatoare:

• Folosirea tastei ”Enter”: returneaza rezultatul datelor introduse.

• Folosirea tastelor ”Ctrl” si ”Enter”: evalueaza numeric datele introduse.

Exemplul 3. sqrt(2) returneaza 1.41

• Folosirea tastelor ”Alt” + ”Enter”: Verifica datele introduse dar nu lecalculeaza.

Exemplul 4. b+b ramane b+b

Urmatoarele prescurtari ajuta la reutilizarea datelor anterioare daca le folosimıntr-un camp gol:

• Apasarea tastei ”Space”: insereaza datele rezultate anterior ın noua li-nie.


• Simbolul ”)”: insereaza datele de iesire anterioare ıntre parenteze.

• Folosirea tastei ”=”: insereaza datele de intrare anterioare ıntr-un randnou.

Referitor la variabile mentionam urmatoarele:

• Putem folosi ”:=” pentru atribuire ıntr-o expresie, exemplu: b := 5, a(n):= 2n + 3.

• Utilizam Delete[b] pentru a elibera numele unei variable. Redefinireaunei variabile sau functii trebuie facuta ın aceeasi celula, altfel va fitratata ca o noua variabila si va fi automat redenumita.

Variabilele si functiile sunt ıntotdeauna ımpartite ıntre CAS View si alte View-uri posibile. De exemplu:

• Daca se defineste b := 5 ın CAS, se poate folosi b ın toate celelalteferestre ale GeoGebra.

• Daca se defineste o functie f (x) = x2 ın AW, GW sau altele, se poatefolosi deasemena aceasta functie ın CAS.

Referitor la ecuatii mentionam ca:

• Se pot scrie ecuatiile utilizand pur si simplu semnul egal, ex. 3x+5 = 7.

• Se pot rezolva ecuatii cu ajutorul operatiilor aritmetice necesare unuicalcul manual. Ex: (3x+5 = 7)− 5 este scazut 5 din ambele parti aleecuatiei.

• Se poate utiliza doar unul din membrii unei ecuatii utilizand comenzileLeftSide[] si RightSide[].

Exemplu: LeftSide[3x+5 = 7] returneaza 3x+5 si RightSide[3x+5 =7] returneaza 7.

In CAS putem face referire la alte linii ın doua moduri:


• Referirea la linia statica se face prin copierea datelor de iesire, acesteanefiind modificate ulterior daca linia la care se face referire va fi schim-bata:

1. Utilizarea simbolul ”DIEZ” faciliteaza copierea datelor anterioarede iesire.

2. ”DIEZ 5” copiaza iesirile de pe randul 5.

• Referirea la linia dinamica se face prin inserarea unei referinte la o altalinie ın locul celei de iesire actuale si astfel ın cazul unor modificariulterioare se vor modifica si rezultatele vechi

1. Simbolul ”DOLAR”: insereaza o referire la rezultatul anterior

2. Simbolul ”DOLAR 5: inseraza o referire la rezultatul de pe linia5.

GeoGebra ofera o gama larga de comenzi CAS care pot fi utilizate pentrua crea obiecte ın CAS. Prin simpla ıncepere de tastare a numelui comenziiın campul de Input, GeoGebra ofera o lista de comenzi de unde sa o ale-gem pe cea potrivita (BinomialCoefficient, BinomialDist, CFactor, CSolu-tions, CSolve, Cauchy, ChiSquared, Coefficients, CommonDenominator, Co-variance, Cross, Degree, Delete, Denominator, Derivative, Determinant, Di-mension, Div, Division, Divisors, DivisorsList, DivisorsSum, Dot, Element,Expand, Exponential, FDistribution, Factor, Factors, First, FitExp, FitLog,FitPoly, FitPow, FitSin, GCD, Gamma, HyperGeometric, Identity, Implicit-Derivative, Integral, IntegralBetween, Intersect, Invert, IsPrime, Last, LCM,LeftSide, Length, Limit, LimitAbove, LimitBelow, Max, Mean, Median, Min,MixedNumber, Mod, NIntegral, nPr, NSolutions, NSolve, NextPrime, Nor-mal, Numerator, Numeric, PartialFractions, Pascal, PerpendicularVector, Po-isson, PreviousPrime, PrimeFactors, Product, RandomBetween, RandomBi-nomial, RandomElement RandomNormal RandomPoisson RandomPolyno-mial Rationalize, ReducedRowEchelonForm, RightSide, Root, SD, Sample,SampleSD, SampleVariance, Sequence, Shuffle, Simplify, Solutions, Solve,


SolveODE, Substitute, Sum, TDistribution, Take, TaylorPolynomial, ToCom-plex, ToExponential, ToPoint, ToPolar, Transpose, Unique, UnitPerpendicu-larVector, UnitVector, Variance, Weibull, Zipf). A se consulta [8].

In bara de unelte a CAS apar un numar de unelte proprii care permit evalu-area datelor de intrare si realizeaza direct calculele cerute. Se utilizeaza prinintroducerea directa a datelor si apoi selectarea uneltei CAS.

Figura: Bara de unelte a CAS

In GeoGebra ( Versiunea pentru Desktop) se poate da click dreapta pecapul unei linii header astfel aparand un meniu cu urmatoarele optiuni:

• Insert Above: Insereaza o linie goala deasupra celei curente.

• Insert Below: Insereaza o linie goala dedesubtul celei curente.

• Delete Row: Sterge continutul liniei curente.

• Text: Face comutarea ıntre rezultatul curent si un text care arata rezulta-tul curent continut ıntr-o linie, ceea ce ne permite sa inseram comentarii.

• Copy as LaTeX: Copiaza continutul unei linii curente ın memoria cal-culatorului, permitand apoi redarea continutului ın alta parte.

De retinut: Pentru a copia continutul mai multor linii CAS ca LaTeX, se se-lecteaza liniile dorite, apoi cu click-dreapta pe partea superioara a liniilor, seselecteaza ”Copy as LaTeX” [8]. Daca se da click dreapta pe o celula rezultatCAS, se deschide un meniu cu urmatoarele optiuni:

• Copy: Copiaza continutul celulei ın memoria calculatorului. Apoi, cuclick dreapta pe o noua celula pentru a putea aplica optiunea ”Paste”.

• Copy as LaTeX: Copiaza continutul celulei ın format LaTeX ın memo-ria calculatorului, pentru a putea fi aplicata optiunea ”Paste” ıntr-un textde editare LaTeX.


• Copy as LibreOffice Formula: Copiaza continutul celulei ın format Li-breOffice ın memoria calculatorului, pentru a putea fi aplicata optiunea”Paste” ıntr-un text de editare word.

• Copy as Image: Copiaza continutul celulei ın format PNG ın memoriacalculatorului, pentru a putea fi aplicata optiunea ”Paste” ıntr-un text deeditare word sau Image.

In CAS exista optiuni pentru a schimba stilul textului (bold, italic) sauculoarea.

In meniul CAS, icoana din stanga fiecarei linii arata starea vizibilitatii(vizibilsau ascuns) a obiectului definit. Se poate da direct click pe icoana ”Show /Hide Object” pentru a schimba statusul de vizibilitate a obiectului din Gra-phics View.

Exercitiul 48. Descompuneti ın factori primi numerele: 250, 170, 160, 80,480.

Exercitiul 49. Calculati cel mai mare divizor comuni si cel mai mic multiplucomun al perechilor de numere: {240, 160}, {250, 490}.

Exercitiul 50. Gasiti punctele de intersectie ıntre parabola f (x) := x2 −2x+1 si dreapta de ecuatie: g(x) := x+ 1 (indicatie: se definesc f (x), g(x) sifunctia h(x) := f (x)− g(x). Se descompune ın factori primi h(x), apoi secalculeaza solutiile pentru h(x) = 0. Se definesc punctele de intersectie, [2]).

Exercitiul 51. Calculati valoarea lui f (7) daca f (x) = 3x. Gasiti x dacaf (x) = 27.

Exercitiul 52. Costruiti o tangenta la graficul functiei f , unde f (x) = 2x3 +3x−2.

Exercitiul 53. Calculati derivata functiei f (x)= 6x3+2x2−5x+6 si construitigraficul functiilor f (x) si f ′(x).

Exercitiul 54. Utilizand sume Riemann, calculati aria descrisa de curba in-tegrala a graficului funtiei f (x), unde f (x) = x3 + 4x2 + 2x − 1 (luand ca


puncte de reper (’sample points’) sub curba cu a=-3, b=-1, n=-8). SchitatiG f si suprafetele dreptunghiulare Riemann. Cu ajutorul GG determinati arialor (pag. 33 [2]).

Exercitiul 55. Calculati aria subgraficului functiei f (x) = 6x3 +9x−6 cu xıntre −4 si −1.

MatricePutem folosi GG pentru calculele matriceale sau pentru rezolvarea siste-

melor de ecuatii.

Exercitiul 56. Calculati suma matricelor A+B, A−C, A∗B, unde

A =

1 2 34 5 67 8 9

B =

5 6 71 2 39 1 0

C =

2 3 14 7 05 2 1

(indicatie: utilizati ”matrix{{}}” pentru introducerea matricelor, pag. 36 [4],[2])

GeoGebra ın spatiu 7La deschiderea implicita, 3D Graphics View se deschide langa Algebra View.In plus, fie Input Bar-ul este pozitionat ın partea de jos a ferestrei GeoGebra(pentru GeoGebra Desktop), fie un camp de introducere de date este integratdirect ın Algebra View (pentru GeoGebra Web si Tablet Apps). Bara de uneltea 3D Graphics View-ului este asezatat ın partea de sus a ferestrei GeoGebra,cu butoanele ”Undo / Redo” ın coltul dreapta sus.

Figura 3D-GraphicsView

Fiecare utilizator ısi poate personaliza fereastra de grafica 3D corespunzatorcu tematica matematica dorita pentru a-si usura lucrul.

Setarile initiale pot fi modificate utilizand ”3D Graphics View Style Bar”(exemplu: afiseaza axele de coordonate, planul xOy, etc). Pentru o ıntelegeremai buna a se studia urmatoarele optiuni:

51

52 Capitolul 7. GeoGebra ın spatiu

• Show / Hide the Axes: Utilizatorul poate ascunde / afisa axele de coor-donate, precum si planul xOy.

• Show / Hide the Grid: Utilizatorul poate ascunde / afisa grilajul ınplanul xOy.

• Go Back to Default View: Utilizatorul poate muta sistemul de coordo-nate ınapoi la cel initial.

• Change the Point Capturing: Utilizatorul poate alege ıntre setarileAutomatic, Snap to Grid, Fixed to Grid, Off [14].

• Start / Stop rotating the View Automatically: Utilizatorul poate soli-cita rotirea automata a GW-ului si poate alege directiile precum si vitezade rotire.

• Adjust the View Direction: Utilizatorul poate alege cum se vad planelexOy, xOz, yOz sau roti ınapoi la setarile initiale.

• Toggle Clipping Box: Utilizatorul poate adapta dimensiunea aleganduna dintre optiunile: None, Small, Medium Large.

• Choose the Type of Projection: Utilizatorul poate alege ıntre urmatoareleoptiuni: Parallel Projection, Perspective Projection, Projection for 3DGlasses, Oblique Projection

• Open the Properties Dialog: Deschide Properties Dialog ([15]).

• Display Views.

Crearea de obiecte matematiceUtilizand uneltele de constructie disponibile ın bara de unelte a 3D Gra-

phics View-ului se pot crea constructii geometrice ın fereastra de grafica 3Dcu ajutorul mouse-ului. Se selecteaza orice unealta de construit din cele dis-ponibile si se citesc indiciile furnizate pentru a descoperi cum se utilizeazaunealta selectata.

De retinut: Orice obiect creat ın 3D Graphics View are deasemenea oreprezentare algebrica.

53

Exemplul 5. Selectati unealta ”Sfera cu Centrul ıntr-un punct” apoi daticlick ın fereastra 3D Graphics View de doua ori. Primul click creeaza centrul,ın timp ce al doilea creeaza o sfera si un punct pe sfera.

Pentru a crea un nou punct ın spatiul 3-dimensional, este nevoie de urmatoarele:

1. Se da click lung pe butonul mouse-ului pentru a defini coordonatele xsi y,

2. Se trage punctul ın sus si ın jos pentru a schimba coordonata z

3. Se elibereaza butonul mouse-ului cand se ajunge la coordonatele dorite.

Bara de unelte a ferestrei de grafica 3D furnizeaza o gama larga de instru-mente care pot fi accesate cu ajutorul mouse-ului permitand crearea de graficetridimensionale ale unor obiecte. Fiecare icoana din bara de unelte reprezintao cutie de unelte care contine o selectie de unelte de acelasi tip. Pentru a des-chide o cutie de unelte, se da click pe iconita uneltei corespunzatoare ce aparevizibil implicit din acea cutie, apoi pe sageata mica din coltul din dreapta josa icoanei.

Figura: Bara de unelte

De retinut: Uneltele din bara de unelte a 3D Graphics View-ului suntorganizate dupa natura obiectelor rezultate sau dupa functionalitatea uneltelor.Astfel se regasesc unelte care creeaza diferite tipuri de plane sau unelte carepermit crearea de alte figuri geometrice 3D.

Totodata folosind bara de introducere de date se pot crea puncte, vectori,drepte, segmente, poligoane, cercuri, etc toate ıntr-un sistem de coordonatetridimensional. Deasemena se pot folosi uneltele din bara de unelte sau di-rect prin introducerea reprezentarii algebrice pentru aceste obiecte ın bara deintroducere de date.


Exemplul 6. Introduceti punctul A = (5,−2,1) ın IB; astfel se creeaza punc-tul ıntr-un sistem de coordonate tri-dimensionale. In continuare, creati plane,precum si corpuri geometrice (piramida, prisma, sfera, cilindru, con).

Exemplul 7. Realizati graficul functiei f (x,y) = sin(x∗ y).

Exista ın plus fata de gama larga de comenzi o selectie de comenzi speci-fice 3D utilizate doar ın grafica 3D.

Exercitiul 57. Studiati comenzile: Bottom Command, Cone Command, CubeCommand, Cylinder Command, Dodecahedron Command, Ends Command,Height Command, Icosahedron Command, InfiniteCone Command, Infinite-Cylinder Command, IntersectConic Command, Net Command, OctahedronCommand, PerpendicularPlane Command, Plane Command, PlaneBisectorCommand, Prism Command Pyramid Command, Side Command Sphere Co-mmand, Surface Command Tetrahedron Command, Top Command VolumeCommand - [16].

Exemplul 8. Fie punctele A = (2,2,0),B = (−2,2,0),C = (0,−2,0) si D =(0,0,3). Introduceti ın IB: Pyramid[A,B,C,D] apoi apasati Enter pentru acrea piramida cu baza ABC si varful ın D.

Cu ajutorul uneltei ”Move” se pot trage (drag - drop) puncte ın 3D Gra-phics View. Pentru a muta un punct ın sistemul tridimensional se poate faceschimb ıntre cele doua moduri prin click pe puncte:

1. Mode xOy-plane: se poate muta punctul paralel si planul xOy fara aschimba coordonata z.

2. Mode z-axis: se poate muta punctul paralel cu axa z fara a schimbacoordonatele x si y.

In 3D Graphics View, se poate folosi tasta Page Up pentru a muta mai susun obiect selectat si tasta Page Down pentru a muta obictul selectat ın jos.

Totodata se pot translata coordonatele sistemului utilizand unealta MoveGraphics View si tragand de fundalul ferestrei de grafica 3D cu dispozitivulde indicare. Astfel, se poate schimba ıntre cele doua moduri prin click pefundalul 3D Graphics View astfel:

55

• Mode xOy-plane: se pot face translatii paralele cu planul xOy.

• Mode z-axis: se pot face translatii paralel cu axa Oz.

Alternativ daca se apasa si se tine apasata tasta Shift si se trage fundalul fe-restrei 3D se realizeaza translatarea coordonatelor sistemului. Din nou, estenevoie sa se dea click pentru a schimba cele doua moduri ıntre ele ın timp cetasta Shift este apasata.

De retinut: Oricand ne putem ıntoarce la setarile implicite initiale prinselectarea Back to Default View ın bara de stilizare a 3D Graphics View.

Rotirea coordonatelor sistemului se face folosind unealta Rotate 3D Gra-phics View si prin tragerea fundalului din fereastra de grafica 3D cu mouse-ul.

Daca se doreste sa se continue rotirea coordonatelor sistemului cand mouse-ul este eliberat, se poate utiliza optiunea Start Rotating the View si Stop Rota-ting the View din bara ferestrei 3D.

De retinut: se poate merge direct la rotirea initiala prin selectarea butonu-lui Rotate back to default view din bara 3D Graphics View-lui.

Se pot utiliza unealtele Zoom In Tool si Zoom Out pentru a mari imaginea.3D Graphics View Style Bar contine butoane pentru

• a afisa / ascunde axele de coordonate, planul xOy, reteaua grid din pla-nul xOy

• a reveni la setarile implicite

• a porni / opri rotirea automata

• a alege tipul proiectiei

• a accesa Properties Dialog (GeoGebra Web and Tablet Apps)

• a afisa meniul suplimentar, etc

Studiu individual:

• Uneltele ın GG 3D: [17].

• Crearea de unelte ın GG 3D: [18].


7.1 ExercitiiExercitiul 58. Combinati un cilindru si un con pentru a construi un turn [19].

Exercitiul 59. Construiti un paralelipiped [20].

Exercitiul 60. Construiti un cub si realizati desfasurarea acestuia [21].

Exercitiul 61. Pregatire pentru laborator: studiu individual de reprezentarigrafice [22].

Bibliografie[1] http://www.geogebra.org/manual/en/Graphics View

[2] http://www.geogebratube.org/student/m25968


[4] https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxjY2l0ZWFzcHxneDoyZDMwYmU4ZmUyNTRlNDRj


[6] https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o

[7] http://www.geogebra.org/manual/en/Commands

[8] http://www.geogebra.org/manual/en/CAS Specific Commands

[9] https://wiki.geogebra.org/en/Customizing the Graphics View

[10] https://www.geogebra.org/m/mD8RPYaD

[11] https://www.geogebra.org/m/anFUw9mP


[13] https://www.geogebra.org/m/muSnY4S8

[14] http://www.geogebra.org/manual/en/Point Capturing

[15] http://www.geogebra.org/manual/en/Properties Dialog

[16] http://www.geogebra.org/manual/en/3D Commands

[17] https://www.geogebra.org/m/FN8Dev7T#material/wVRDwThp

57

58 Bibliografie

[18] https://www.geogebra.org/m/FN8Dev7T#material/nOw1AuaB

[19] https://www.geogebra.org/m/FN8Dev7T#material/WgbiP4qi

[20] https://www.geogebra.org/m/FN8Dev7T#material/WHdJslwb

[21] https://www.geogebra.org/m/sJWkfJsd

[22] https://www.geogebra.org/m/MXNBQqun

aspecte metodice privind predarea matematicii cu softul...

Documents