ArithmétiqueDivisibilité dans ℤ & identité de BézoutProgramme de la 4ème maths

Plan de la leçon:• Divisibilité dans ℤ ( division euclidienne)• PGCD de deux entiers(algorithme d’Euclide)• Théorème de Bézout• Résolution d’équation diophantienne du type: ax + by =c• Évaluation

Prérequis et préparatif

QCMhttp://www.evalqcm.fr

Code d'inscription : 5199JUKP

Fichier Excel pour le calcul du PGCD & série d’exercicesLiens: Le PGCDLa Série

Des vidéos de YouTube partagées sur le mur du groupe de la classe et sur g+

Division euclidienne

Division dans ℤ

Division euclidienne dans IN

Division euclidienne dans ℤ

• Théorème:

Soit a et b deux entiers relatifs avec b non nul. Il existe un unique couple ( q,r) tel que:

a = bq+r et 0 r < |b| b est le quotientr est le reste

• Auto évaluation:

QCM on line http://www.evalqcm.fr

Code d'inscription : 5199JUKP

Chaque élève s’inscrira via son compte Facebook et répondra aux questions demandées

PGCD de deux entiers « algorithme

d’Euclide »

• On ré effectue la division euclidienne• a’=b’q+r’

a=bq+r

L’algorithme avec Excel

• On a partagé sur OneDrive un fichier Excel où la procédure de calcul du PGCD moyennant l’algorithme d’Euclide est déjà programmée

Lien http://1drv.ms/1HstBdt

Propriétés du PGCD de deux entiers

Noter bien …a et b deux entiers non nul: • Si b divise a alors: ab = |b|• Si b ne divise pas a et r le reste modulo b de a

alors ab = br

• ab = ba• Pour tout entier k: kakb =|k|(ab)• a(bc) = a(bc) • a et b deux entier et d = ab soit a’ et b’ tel que

a=da’ et b=db’ alors a’ b’ =1

QCM’s d’évaluationLien partagé sur le groupe Facebook

http://www.evalqcm.fr/qcmCode d'inscription : 5199JUKP

QCM sur les PGDC

Théorème de Bézout

Équations diophantiennes du type: ax +by =c

Lemme de Gaussa , b et c trois entiers non nuls. Si a b =1 et a divise bc alors a divise c

Théorème ( Identité de Bézout)Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux , si et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que: au + bv = 1

La procédure de la résolution de l’équation:

ax+by=C

Déterminer le PGCD d=a b• Vérifier si d

divise c • Si d ne divise

pas c alors l’ensembles des solutions dans ℤ est ²

Si d\c on simplifie l’équation par d • La nouvelle

équation devient:

• a’x +b’y=c’ où a’b’= 1

Déterminer une solution particulière• Par le biais de

l’algorithme d’Euclide une solution particulière est déterminée

Une solution de l’équation homogène

moyennant le lemme de

Gauss

Exemples à suivre …Trouver les

coefficients de Bézout

Résoudre une équation

diophantienne

Applications…I. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x=11yII. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x+12y=1III. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 198x+75y=4

I. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de GaussII. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de BézoutIII. Soit (S) Résoudre le système (S).

Les fichiers utilisés dans cette leçon sont partagés sur

OneDrive le lien est envoyer au groupe sur Gmail

Les vidéos sont partagées sur g+ et dans le groupe « notre classe » sur

Facebook